ผลต่างของลอการิทึมที่มีฐานเท่ากัน คุณสมบัติของลอการิทึมและตัวอย่างการแก้ปัญหา
ดังที่คุณทราบ เมื่อคูณนิพจน์ด้วยกำลัง เลขชี้กำลังจะรวมกันเสมอ (a b * a c = a b + c) นี้ กฎหมายคณิตศาสตร์ได้มาจากอาร์คิมิดีส และต่อมาในศตวรรษที่ 8 นักคณิตศาสตร์ วิราเซน ได้สร้างตารางตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม พวกเขาเป็นผู้ค้นพบลอการิทึมเพิ่มเติม ตัวอย่างของการใช้ฟังก์ชันนี้สามารถพบได้เกือบทุกที่ซึ่งจำเป็นต้องทำให้การคูณที่ยุ่งยากง่ายขึ้นไปเป็นการบวกอย่างง่าย หากคุณใช้เวลาอ่านบทความนี้ 10 นาที เราจะอธิบายให้คุณทราบว่าลอการิทึมคืออะไรและจะทำงานกับลอการิทึมได้อย่างไร ภาษาที่ง่ายและเข้าถึงได้
คำนิยามในวิชาคณิตศาสตร์
ลอการิทึมคือนิพจน์ของรูปแบบต่อไปนี้: log a b=c นั่นคือลอการิทึมของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบใดๆ (นั่นคือ ค่าบวกใดๆ) "b" โดยฐาน "a" ถือเป็นกำลังของ "c" ซึ่งต้องยกฐาน "a" เพื่อที่จะได้รับค่า "b" ในท้ายที่สุด มาวิเคราะห์ลอการิทึมโดยใช้ตัวอย่าง สมมติว่ามีนิพจน์ log 2 8. จะหาคำตอบได้อย่างไร? มันง่ายมาก คุณต้องหาระดับที่ตั้งแต่ 2 ถึงระดับที่กำหนด คุณจะได้ 8 เมื่อคำนวณในใจแล้ว เราได้เลข 3! และถูกต้องแล้ว เพราะ 2 ยกกำลัง 3 ให้เลข 8 อยู่ในคำตอบ
ความหลากหลายของลอการิทึม
สำหรับนักเรียนและนักเรียนหลายคน หัวข้อนี้ดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่ในความเป็นจริง ลอการิทึมไม่ได้น่ากลัวนัก สิ่งสำคัญคือการเข้าใจความหมายทั่วไปและจดจำคุณสมบัติและกฎเกณฑ์บางประการ มีสาม บางชนิดนิพจน์ลอการิทึม:
- ลอการิทึมธรรมชาติ ln a โดยที่ฐานคือเลขออยเลอร์ (e = 2.7)
- ทศนิยม a โดยที่ฐานคือ 10
- ลอการิทึมของจำนวนใดๆ b ยกกำลังฐาน a>1
แต่ละรายการได้รับการแก้ไขด้วยวิธีมาตรฐาน รวมถึงการทำให้เข้าใจง่าย การลดลง และการลดลงที่ตามมาเป็นลอการิทึมเดียวโดยใช้ทฤษฎีบทลอการิทึม เพื่อให้ได้ค่าลอการิทึมที่ถูกต้องเราควรจำคุณสมบัติและลำดับของการกระทำในการตัดสินใจ
กฎและข้อจำกัดบางประการ
ในวิชาคณิตศาสตร์ มีกฎ-ข้อจำกัดหลายประการที่ยอมรับเป็นสัจพจน์ กล่าวคือ กฎเหล่านี้ไม่อยู่ภายใต้การอภิปรายและเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะหารตัวเลขด้วยศูนย์ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของระดับคู่ออกจากจำนวนลบ ลอการิทึมยังมีกฎของตัวเองด้วย ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้วิธีทำงานได้อย่างง่ายดายแม้ในนิพจน์ลอการิทึมที่ยาวและกว้างขวาง:
- ฐาน "a" ต้องมากกว่าศูนย์เสมอ และในขณะเดียวกันต้องไม่เท่ากับ 1 มิฉะนั้น นิพจน์จะสูญเสียความหมายไป เนื่องจาก "1" และ "0" ในระดับใดก็ตามจะเท่ากับค่าของมันเสมอ
- ถ้า a > 0 แล้ว a b > 0 ปรากฎว่า "c" ต้องมากกว่าศูนย์
จะแก้ลอการิทึมได้อย่างไร?
ตัวอย่างเช่น มอบหมายงานเพื่อค้นหาคำตอบของสมการ 10 x \u003d 100 มันง่ายมาก คุณต้องเลือกพลังดังกล่าวโดยการเพิ่มจำนวนสิบที่เราได้ 100 แน่นอนว่านี่คือ 10 2 \u003d 100.
ทีนี้ลองแทนนิพจน์นี้เป็นหนึ่งลอการิทึม เราจะได้ log 10 100 = 2 เมื่อแก้โจทย์ลอการิทึม การกระทำทั้งหมดจะมาบรรจบกันเพื่อหาระดับที่จะต้องป้อนฐานของลอการิทึมเพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด
ในการกำหนดค่าระดับที่ไม่รู้จักได้อย่างถูกต้อง คุณต้องเรียนรู้วิธีการทำงานกับตารางองศา ดูเหมือนว่านี้:
อย่างที่คุณเห็น เลขชี้กำลังบางตัวสามารถเดาได้โดยสัญชาตญาณถ้าคุณมีความคิดทางเทคนิคและความรู้เกี่ยวกับตารางสูตรคูณ อย่างไรก็ตาม ค่าที่มากขึ้นจะต้องใช้ตารางพลังงาน สามารถใช้ได้แม้กับผู้ที่ไม่เข้าใจอะไรเลยในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน คอลัมน์ด้านซ้ายประกอบด้วยตัวเลข (ฐาน a) แถวบนสุดของตัวเลขคือค่าของยกกำลัง c ที่ตัวเลข a ถูกยกขึ้น ที่จุดตัดในเซลล์ ค่าของตัวเลขจะถูกกำหนดซึ่งเป็นคำตอบ (a c =b) ตัวอย่างเช่น เซลล์แรกสุดที่มีตัวเลข 10 และยกกำลังสอง เราจะได้ค่า 100 ซึ่งระบุไว้ที่จุดตัดของเซลล์ทั้งสองของเรา ทุกอย่างเรียบง่ายและง่ายจนแม้แต่นักมนุษยนิยมที่แท้จริงที่สุดก็ยังเข้าใจ!
สมการและอสมการ
ปรากฎว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ เลขชี้กำลังคือลอการิทึม ดังนั้น นิพจน์ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ใดๆ สามารถเขียนเป็นสมการลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น 3 4 =81 สามารถเขียนเป็นลอการิทึมของ 81 ถึงฐาน 3 ซึ่งก็คือสี่ (log 3 81 = 4) สำหรับกำลังลบ กฎจะเหมือนกัน: 2 -5 = 1/32 เราเขียนเป็นลอการิทึม เราได้ล็อก 2 (1/32) = -5 หนึ่งในส่วนที่น่าสนใจที่สุดของคณิตศาสตร์คือหัวข้อ "ลอการิทึม" เราจะพิจารณาตัวอย่างและคำตอบของสมการให้ต่ำลงเล็กน้อยทันทีหลังจากศึกษาคุณสมบัติของสมการแล้ว ทีนี้มาดูกันว่าอสมการมีลักษณะอย่างไรและจะแยกความแตกต่างจากสมการได้อย่างไร
นิพจน์ของแบบฟอร์มต่อไปนี้ได้รับ: log 2 (x-1) > 3 - it is อสมการลอการิทึมเนื่องจากค่าที่ไม่รู้จัก "x" อยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม และในนิพจน์เปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณ: ลอการิทึมของจำนวนที่ต้องการในฐานสองมากกว่าจำนวนสาม
ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการลอการิทึมกับอสมการคือสมการที่มีลอการิทึม (เช่น ลอการิทึมของ 2 x = √9) ระบุค่าตัวเลขเฉพาะหนึ่งค่าหรือมากกว่าในคำตอบ ในขณะที่แก้สมการลอการิทึมทั้งช่วงของ ค่าที่ยอมรับได้และคะแนนที่ทำลายฟังก์ชันนี้ ด้วยเหตุนี้ คำตอบจึงไม่ใช่ชุดตัวเลขธรรมดาๆ อย่างในคำตอบของสมการ แต่เป็นชุดต่อเนื่องหรือชุดตัวเลข
ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม
เมื่อแก้ปัญหาเบื้องต้นในการหาค่าของลอการิทึม คุณสมบัติของลอการิทึมอาจไม่เป็นที่รู้จัก อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึมหรืออสมการ อย่างแรกเลย จำเป็นต้องเข้าใจให้ชัดเจนและนำคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของลอการิทึมไปประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ ต่อไปเราจะมาทำความรู้จักกับตัวอย่างสมการกัน เรามาวิเคราะห์คุณสมบัติแต่ละอย่างอย่างละเอียดกันก่อนดีกว่า
- ข้อมูลประจำตัวพื้นฐานมีลักษณะดังนี้: a logaB =B ใช้เฉพาะเมื่อ a มากกว่า 0 ไม่เท่ากับหนึ่ง และ B มากกว่าศูนย์
- ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ในสูตรต่อไปนี้: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2 ในกรณีนี้ ข้อกำหนดเบื้องต้นคือ: d, s 1 และ s 2 > 0; ≠1. คุณสามารถพิสูจน์สูตรลอการิทึมนี้ได้ พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา ให้ล็อก a s 1 = f 1 และล็อก a s 2 = f 2 จากนั้น a f1 = s 1 , a f2 = s 2 เราจะได้ s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (คุณสมบัติองศา ) และเพิ่มเติมตามคำจำกัดความ: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ซึ่งจะต้องได้รับการพิสูจน์
- ลอการิทึมของผลหารมีลักษณะดังนี้: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2
- ทฤษฎีบทในรูปแบบของสูตรใช้รูปแบบต่อไปนี้: log a q b n = n/q log a b
สูตรนี้เรียกว่า "คุณสมบัติของดีกรีของลอการิทึม" มันคล้ายกับคุณสมบัติขององศาปกติ และไม่น่าแปลกใจเพราะคณิตศาสตร์ทั้งหมดอยู่บนสมมุติฐานปกติ มาดูหลักฐานกัน
ให้ล็อก a b \u003d t ปรากฎว่า a t \u003d b หากคุณยกทั้งสองส่วนกำลัง m: a tn = b n ;
แต่เนื่องจาก a tn = (a q) nt/q = b n ดังนั้นบันทึก a q b n = (n*t)/t จากนั้นบันทึก a q b n = n/q log a b ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ตัวอย่างของปัญหาและความไม่เท่าเทียมกัน
ปัญหาลอการิทึมที่พบบ่อยที่สุดคือตัวอย่างของสมการและอสมการ มีอยู่ในหนังสือปัญหาเกือบทั้งหมด และยังรวมอยู่ในส่วนบังคับของการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ด้วย สำหรับการเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยหรือผ่าน การสอบเข้าในวิชาคณิตศาสตร์ คุณจำเป็นต้องรู้วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง
น่าเสียดายที่แผนเดียวหรือโครงการที่จะระบุและกำหนด ไม่ทราบค่าไม่มีลอการิทึม แต่ทุกอสมการทางคณิตศาสตร์หรือสมการลอการิทึมสามารถนำมาใช้ได้ กฎบางอย่าง. ก่อนอื่น คุณควรหาว่านิพจน์สามารถทำให้ง่ายขึ้นหรือลดลงเป็น ปริทัศน์. คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ลอการิทึมแบบยาวได้ หากคุณใช้คุณสมบัติของนิพจน์ลอการิทึมอย่างถูกต้อง มาทำความรู้จักกับพวกเขาเร็ว ๆ นี้
เมื่อแก้สมการลอการิทึม จำเป็นต้องกำหนดประเภทของลอการิทึมที่เรามีอยู่ก่อนเรา: ตัวอย่างของนิพจน์อาจมีลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม
นี่คือตัวอย่าง ln100, ln1026 การแก้ปัญหาของพวกเขาทำให้คุณต้องกำหนดระดับว่าฐาน 10 จะเท่ากับ 100 และ 1026 ตามลำดับ สำหรับการแก้ปัญหา ลอการิทึมธรรมชาติหนึ่งต้องใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมหรือคุณสมบัติของพวกเขา มาดูตัวอย่างการแก้ปัญหาลอการิทึมประเภทต่างๆ
วิธีใช้สูตรลอการิทึม: พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา
เรามาดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทหลักกับลอการิทึมกัน
- คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถใช้ในงานที่จำเป็นต้องขยาย สำคัญมากตัวเลข b เป็นปัจจัยที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 4 + บันทึก 2 128 = บันทึก 2 (4*128) = บันทึก 2 512 คำตอบคือ 9
- บันทึก 4 8 = บันทึก 2 2 2 3 = 3/2 บันทึก 2 2 = 1.5 - อย่างที่คุณเห็น ด้วยการใช้คุณสมบัติที่สี่ของดีกรีลอการิทึม เราจัดการแก้นิพจน์ที่ซับซ้อนและแก้ไม่ได้ในทันที จำเป็นต้องแยกตัวประกอบของฐานแล้วเอาค่าเลขชี้กำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมเท่านั้น
ภารกิจจากการสอบ
ลอการิทึมมักพบในการสอบเข้าโดยเฉพาะปัญหาลอการิทึมมากมายในการสอบ ( การสอบของรัฐสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลายทุกคน) โดยปกติงานเหล่านี้จะมีอยู่ไม่เฉพาะในส่วน A (ส่วนการทดสอบที่ง่ายที่สุดของการสอบ) แต่ยังอยู่ในส่วน C (งานที่ยากและใหญ่โตที่สุด) ข้อสอบต้องมีความแม่นยำและ ความรู้ที่สมบูรณ์หัวข้อ "ลอการิทึมธรรมชาติ".
ตัวอย่างและแนวทางแก้ไขปัญหานำมาจากทางการ ใช้ตัวเลือก. เรามาดูกันว่างานดังกล่าวจะแก้ไขอย่างไร
ให้บันทึก 2 (2x-1) = 4. วิธีแก้ไข:
มาเขียนนิพจน์ใหม่ ลดความซับซ้อนของ log 2 (2x-1) = 2 2 โดยนิยามของลอการิทึมเราจะได้ 2x-1 = 2 4 ดังนั้น 2x = 17; x = 8.5.
- ลอการิทึมทั้งหมดถูกลดขนาดลงเป็นฐานเดียวกัน เพื่อไม่ให้การแก้ปัญหายุ่งยากและสับสน
- นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมจะถูกระบุว่าเป็นค่าบวก ดังนั้น เมื่อนำเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลังของนิพจน์ออก ซึ่งอยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมและเป็นฐาน นิพจน์ที่เหลืออยู่ภายใต้ลอการิทึมต้องเป็นค่าบวก
วันนี้เราจะมาพูดถึง สูตรลอการิทึมและให้การสาธิต ตัวอย่างการแก้ปัญหา.
โดยตัวมันเอง มันบ่งบอกถึงรูปแบบการแก้ปัญหาตามคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม ก่อนนำสูตรลอการิทึมไปใช้กับโซลูชัน เราจำคุณสมบัติทั้งหมดให้คุณก่อน:
ตอนนี้ ตามสูตรเหล่านี้ (คุณสมบัติ) เราแสดง ตัวอย่างการแก้ลอการิทึม.
ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึมตามสูตร
ลอการิทึมจำนวนบวก b ในฐาน a (แสดงว่าล็อก a b) คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้ b โดยที่ b > 0, a > 0, และ 1
ตามคำจำกัดความ บันทึก a b = x ซึ่งเทียบเท่ากับ a x = b ดังนั้น บันทึก a a x = x
ลอการิทึม, ตัวอย่าง:
บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 2 3 = 8
บันทึก 7 49 = 2 เพราะ 7 2 = 49
บันทึก 5 1/5 = -1 เพราะ 5 -1 = 1/5
ลอการิทึมทศนิยมเป็นลอการิทึมธรรมดาซึ่งมีฐานเท่ากับ 10 เขียนว่า lg
บันทึก 10 100 = 2 เพราะ 10 2 = 100
ลอการิทึมธรรมชาติ- ลอการิทึมลอการิทึมปกติเช่นกัน แต่มีฐาน e แล้ว (e \u003d 2.71828 ... - จำนวนอตรรกยะ). เรียกว่า ln.
เป็นที่พึงปรารถนาที่จะจำสูตรหรือคุณสมบัติของลอการิทึมเพราะเราจะต้องการมันในภายหลังเมื่อแก้ลอการิทึมสมการลอการิทึมและอสมการ มาดูแต่ละสูตรกันอีกครั้งพร้อมตัวอย่าง
- เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บันทึก a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม
บันทึก a (bc) = บันทึก a b + บันทึก a cบันทึก 3 8.1 + บันทึก 3 10 = บันทึก 3 (8.1*10) = บันทึก 3 81 = 4
- ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
บันทึก a (b/c) = บันทึก a b - บันทึก a c9 บันทึก 5 50 /9 บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 50- บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 25 = 9 2 = 81
- คุณสมบัติของดีกรีของจำนวนลอการิทึมและฐานของลอการิทึม
เลขชี้กำลังของลอการิทึมล็อก a b m = mlog a b
เลขชี้กำลังฐานของลอการิทึมล็อก a n b =1/n*log a b
บันทึก a n b m = m/n*log a b,
ถ้า m = n เราจะได้ log a n b n = log a b
บันทึก 4 9 = บันทึก 2 2 3 2 = บันทึก 2 3
- การเปลี่ยนผ่านสู่รากฐานใหม่
บันทึก a b = log c b / log c a,ถ้า c = b เราจะได้ log b b = 1
จากนั้นล็อก a b = 1/log b a
บันทึก 0.8 3*log 3 1.25 = บันทึก 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = บันทึก 0.8 1.25 = บันทึก 4/5 5/4 = -1
อย่างที่คุณเห็น สูตรลอการิทึมไม่ได้ซับซ้อนอย่างที่คิด เมื่อพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมแล้ว เราก็สามารถไปยังสมการลอการิทึมได้ เราจะพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยละเอียดในบทความ: "" ไม่ควรพลาด!
หากคุณยังคงมีคำถามเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา เขียนไว้ในความคิดเห็นของบทความ
หมายเหตุ: ตัดสินใจเลือกเรียนวิชาอื่นในต่างประเทศเป็นทางเลือก
ลอการิทึมของตัวเลข นู๋ ด้วยเหตุผล เอ เรียกว่าเลขชี้กำลัง X ที่คุณต้องเลี้ยงดู เอ เพื่อรับหมายเลข นู๋
โดยมีเงื่อนไขว่า 
,
,
จากนิยามของลอการิทึมว่า 
, เช่น.
- ความเท่าเทียมกันนี้เป็นเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
ลอการิทึมถึงฐาน 10 เรียกว่าลอการิทึมทศนิยม แทน 
เขียน 
.
ลอการิทึมฐาน อี
เรียกว่าเป็นธรรมชาติและแสดงว่า 
.
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมของความสามัคคีในฐานใด ๆ ศูนย์
ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึมของตัวประกอบ
3) ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
ปัจจัย 
เรียกว่าโมดูลัสของการเปลี่ยนแปลงจากลอการิทึมที่ฐาน เอ
กับลอการิทึมที่ฐาน ข
.
การใช้คุณสมบัติ 2-5 มักจะเป็นไปได้ที่จะลดลอการิทึมของนิพจน์ที่ซับซ้อนเป็นผลจากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายบนลอการิทึม
ตัวอย่างเช่น, 
การแปลงลอการิทึมดังกล่าวเรียกว่าลอการิทึม การแปลงส่วนกลับของลอการิทึมเรียกว่าโพเทนทิเอชัน
บทที่ 2 องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น
1. ขีดจำกัด
ฟังก์ชั่นจำกัด 
เป็นจำนวนจำกัด A ถ้าเมื่อพยายาม xx
0
สำหรับแต่ละที่กำหนดไว้ล่วงหน้า 
,มีเบอร์ 
ว่าทันที 
, แล้ว 
.
ฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดแตกต่างจากจำนวนเล็กน้อย: 
โดยที่ - b.m.w., i.e. 
.
ตัวอย่าง. พิจารณาฟังก์ชัน 
.
เมื่อมุ่งมั่น 
, การทำงาน y
ไปที่ศูนย์: 
1.1. ทฤษฎีพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัด
ลิมิตของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้
.
ขีดจำกัดของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันจำนวนจำกัดจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้
ลิมิตของผลคูณของฟังก์ชันจำนวนจำกัด เท่ากับผลคูณของลิมิตของฟังก์ชันเหล่านี้
ลิมิตของผลหารของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลหารของลิมิตของฟังก์ชันเหล่านี้ ถ้าขีดจำกัดของตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์
ขีด จำกัด ที่โดดเด่น
,
, ที่ไหน 
1.2. ตัวอย่างการคำนวณขีดจำกัด
อย่างไรก็ตาม ไม่ได้คำนวณขีดจำกัดทั้งหมดอย่างง่ายๆ บ่อยครั้งที่การคำนวณขีด จำกัด ลดลงเป็นการเปิดเผยประเภทความไม่แน่นอน: 
หรือ .
.
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ให้เรามีฟังก์ชั่น 
,ต่อเนื่องในส่วนของ 
.
การโต้แย้ง 
ได้กำลังใจ 
. จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น 
.
ค่าอาร์กิวเมนต์ 
สอดคล้องกับค่าของฟังก์ชัน 
.
ค่าอาร์กิวเมนต์ 
สอดคล้องกับค่าของฟังก์ชัน
เพราะเหตุนี้, .
ให้เราหาขีดจำกัดของความสัมพันธ์นี้ได้ที่ 
. หากขีดจำกัดนี้มีอยู่ จะเรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด
นิยามของอนุพันธ์ 3 ของฟังก์ชันที่กำหนด 
โดยการโต้แย้ง 
เรียกว่าขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์โดยพลการ
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
สามารถแสดงได้ดังนี้:
;
;
;
.
นิยาม 4 การดำเนินการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่า ความแตกต่าง
2.1. ความหมายทางกลของอนุพันธ์
พิจารณาการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของวัตถุแข็งหรือจุดวัสดุ
ให้ในบางช่วงเวลา 
จุดเคลื่อนที่ 
อยู่ห่างไกล 
จากตำแหน่งเริ่มต้น 
.
หลังจากผ่านไประยะหนึ่ง 
เธอก้าวไปไกล 
. ทัศนคติ 
=
- ความเร็วเฉลี่ยจุดวัสดุ 
. ให้เราหาขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้โดยพิจารณาว่า 
.
ดังนั้น การหาความเร็วชั่วขณะของจุดวัสดุจึงลดลงเหลือเพียงการหาอนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลา
2.2. ค่าเรขาคณิตของอนุพันธ์
สมมติว่าเรามีฟังก์ชันบางอย่างที่กำหนดไว้แบบกราฟิก 
.
ข้าว. 1. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
ถ้า 
แล้วประเด็น 
,จะเคลื่อนไปตามทางโค้งเข้าหาจุด 
.
เพราะเหตุนี้ 
, เช่น. ค่าของอนุพันธ์ที่กำหนดมูลค่าของอาร์กิวเมนต์ 
เท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนดด้วยทิศทางบวกของแกน 
.
2.3. ตารางสูตรการสร้างความแตกต่างพื้นฐาน
ฟังก์ชั่นพลังงาน
|
|
|
|
|
|
|
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
|
|
|
|
|
ฟังก์ชันลอการิทึม
|
|
|
|
|
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. กฎความแตกต่าง
อนุพันธ์ของ 
อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน
2.5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ให้ฟังก์ชั่น 
เพื่อให้สามารถแสดงเป็น
และ 
โดยที่ตัวแปร 
เป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง แล้ว 
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดเทียบกับอาร์กิวเมนต์ระดับกลางโดยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางเทียบกับ x
ตัวอย่างที่ 1 
ตัวอย่าง2. 
3. ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล
ให้มี 
, แยกความแตกต่างได้ในบางช่วงเวลา 
ปล่อยมันไป ที่
ฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์
,
จากนั้นคุณสามารถเขียน
(1),
ที่ไหน 
- ปริมาณที่น้อยมาก
เพราะที่ 
การคูณเงื่อนไขความเท่าเทียมกันทั้งหมด (1) โดย 
เรามี:
ที่ไหน 
- บีเอ็มวี การสั่งซื้อสินค้าที่สูงขึ้น.
ค่า 
เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน 
และเขียนว่า 
.
3.1. ค่าเรขาคณิตของส่วนต่าง
ให้ฟังก์ชั่น 
.
รูปที่ 2 ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล
.
เห็นได้ชัดว่าส่วนต่างของฟังก์ชัน 
เท่ากับการเพิ่มขึ้นของพิกัดของแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนด
3.2. อนุพันธ์และความแตกต่างของคำสั่งต่างๆ
ถ้ามี 
, แล้ว 
เรียกว่าอนุพันธ์อันดับ 1
อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่งเรียกว่าอนุพันธ์อันดับสองและเขียน 
.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n ของฟังก์ชัน 
เรียกว่าอนุพันธ์ของคำสั่ง (n-1) และเขียนว่า:
.
ดิฟเฟอเรนเชียลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลที่สองหรือดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สอง
.
.
3.3 การแก้ปัญหาทางชีววิทยาโดยใช้การสร้างความแตกต่าง
งาน1. จากการศึกษาพบว่าการเติบโตของอาณานิคมของจุลินทรีย์เป็นไปตามกฎหมาย 
, ที่ไหน นู๋
– จำนวนจุลินทรีย์ (พันตัว) t
– เวลา (วัน)
ข) ประชากรในอาณานิคมจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงในช่วงเวลานี้หรือไม่?
ตอบ. อาณานิคมจะเติบโตในขนาด
ภารกิจที่ 2 น้ำในทะเลสาบได้รับการทดสอบเป็นระยะเพื่อควบคุมเนื้อหาของแบคทีเรียที่ทำให้เกิดโรค ผ่าน t วันหลังการทดสอบความเข้มข้นของแบคทีเรียจะถูกกำหนดโดยอัตราส่วน
.
แบคทีเรียความเข้มข้นต่ำสุดจะมาในทะเลสาบเมื่อใดและจะสามารถว่ายน้ำในทะเลสาบได้หรือไม่?
โซลูชัน ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเมื่ออนุพันธ์เป็นศูนย์
,
ลองกำหนดสูงสุดหรือต่ำสุดใน 6 วัน ในการทำสิ่งนี้ เราหาอนุพันธ์อันดับสอง
คำตอบ: หลังจากผ่านไป 6 วัน จะมีความเข้มข้นของแบคทีเรียน้อยที่สุด
มาเริ่มกันที่ คุณสมบัติของลอการิทึมของความสามัคคี. สูตรของมันมีดังนี้: ลอการิทึมของความสามัคคีเท่ากับศูนย์นั่นคือ บันทึก 1=0สำหรับ a>0 , a≠1 ใดๆ การพิสูจน์ตรงไปตรงมา: เนื่องจาก a 0 =1 สำหรับ a ใดๆ ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น a>0 และ a≠1 จากนั้นบันทึกความเท่าเทียมกันที่พิสูจน์แล้ว a 1=0 จะตามมาทันทีจากคำจำกัดความของลอการิทึม
มายกตัวอย่างการใช้คุณสมบัติที่พิจารณา: log 3 1=0 , lg1=0 และ .
ไปที่คุณสมบัติถัดไป: ลอการิทึมของจำนวนเท่ากับฐาน เท่ากับหนึ่ง , นั่นคือ, ล็อก a=1สำหรับ a>0 , a≠1 อันที่จริงตั้งแต่ 1 =a สำหรับ a ดังนั้นโดยคำจำกัดความของลอการิทึมล็อก a=1
ตัวอย่างของการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมคือ log 5 5=1 , log 5.6 5.6 และ lne=1
ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 และ 
.
ลอการิทึมของผลคูณของจำนวนบวกสองตัว x และ y เท่ากับผลคูณของลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้: บันทึก a (x y)=บันทึก a x+บันทึก a y, a>0 , a≠1 . ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เนื่องจากคุณสมบัติของปริญญา บันทึก a x+บันทึก a y = บันทึก a x บันทึก a yและเนื่องจากเอกลักษณ์ลอการิทึมหลัก บันทึก a x =x และบันทึก a y =y จากนั้นบันทึก a x a บันทึก a y =x y ดังนั้น บันทึก a x+log a y =x y ดังนั้น ความเท่าเทียมกันที่ต้องการจึงตามด้วยคำจำกัดความของลอการิทึม
มาดูตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์กัน: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 and 
.
คุณสมบัติลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถสรุปผลคูณของจำนวนจำกัด n ของจำนวนบวก x 1 , x 2 , …, x n เป็น บันทึก a (x 1 x 2 ... x n)= บันทึก a x 1 + บันทึก a x 2 +…+ บันทึก a x n . ความเท่าเทียมกันนี้พิสูจน์ได้ง่าย
ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมธรรมชาติของผลิตภัณฑ์สามารถแทนที่ด้วยผลรวมของลอการิทึมธรรมชาติสามตัวของตัวเลข 4 , e และ .
ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกสองตัว x และ y เท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้ คุณสมบัติลอการิทึมเชาวน์สอดคล้องกับสูตรของแบบฟอร์ม โดยที่ a>0 , a≠1 , x และ y เป็นจำนวนบวก ความถูกต้องของสูตรนี้ได้รับการพิสูจน์เหมือนสูตรสำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: ตั้งแต่ 
แล้วโดยนิยามของลอการิทึม
นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: 
.
มาต่อกันที่ คุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี. ลอการิทึมของดีกรีเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมของโมดูลัสของฐานของดีกรีนี้ เราเขียนคุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรีในรูปแบบของสูตร: บันทึก a b p =p บันทึก a |b|โดยที่ a>0 , a≠1 , b และ p เป็นตัวเลขที่ระดับของ b p สมเหตุสมผลและ b p >0
ก่อนอื่นเราพิสูจน์คุณสมบัตินี้ว่าเป็นค่าบวก b เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานช่วยให้เราสามารถแสดงตัวเลข b เป็นบันทึก a b จากนั้น b p =(a log a b) p และนิพจน์ผลลัพธ์เนื่องจากคุณสมบัติกำลังเท่ากับ a p log a b ดังนั้นเราจึงมาถึงความเท่าเทียมกัน b p =a p log a b จากคำจำกัดความของลอการิทึมเราสรุปได้ว่า log a b p =p log a b
มันยังคงพิสูจน์คุณสมบัตินี้สำหรับลบ b ที่นี่เราทราบว่าบันทึกนิพจน์ a b p สำหรับลบ b เหมาะสมสำหรับเลขชี้กำลังคู่เท่านั้น (เนื่องจากค่าของดีกรี b p ต้องมากกว่าศูนย์ มิฉะนั้น ลอการิทึมจะไม่สมเหตุสมผล) และในกรณีนี้ b p =|b| พี แล้ว b p =|b| p =(บันทึก a |b|) p =a p บันทึก a |b|โดยที่ล็อก a b p =p บันทึก a |b| .
ตัวอย่างเช่น, 
และ ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3
สืบเนื่องมาจากทรัพย์สินครั้งก่อน คุณสมบัติของลอการิทึมจากรูท: ลอการิทึมของรูทของดีกรีที่ n เท่ากับผลคูณของเศษส่วน 1/n และลอการิทึมของนิพจน์รูท นั่นคือ 
, โดยที่ a>0 , a≠1 , n – ตัวเลขธรรมชาติ, มากกว่าหนึ่ง b>0 .
การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน (ดู ) ซึ่งใช้ได้กับค่าบวก b และคุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี: 
.
นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัตินี้: 
.
มาพิสูจน์กัน สูตรการแปลงเป็นฐานใหม่ของลอการิทึมใจดี 
. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน log c b=log a b log c a เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานช่วยให้เราสามารถแสดงตัวเลข b เป็น a log a b จากนั้น log c b=log c a log a b มันยังคงใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี: log c a log a b = บันทึก a b log c a. ดังนั้น บันทึกความเท่าเทียมกัน c b=log a b log c a ได้รับการพิสูจน์แล้ว ซึ่งหมายความว่าสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึมก็ได้รับการพิสูจน์เช่นกัน
มาดูตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมกัน: และ 
.
สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ช่วยให้คุณสามารถทำงานกับลอการิทึมที่มีฐานที่ "สะดวก" ตัวอย่างเช่น สามารถใช้เพื่อไปที่ลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม เพื่อให้คุณสามารถคำนวณค่าของลอการิทึมจากตารางลอการิทึม สูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นฐานใหม่ของลอการิทึมยังช่วยให้ในบางกรณีสามารถค้นหาค่าของลอการิทึมที่กำหนดได้เมื่อทราบค่าของลอการิทึมบางตัวกับฐานอื่น
ใช้บ่อย กรณีพิเศษสูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นฐานใหม่ของลอการิทึมสำหรับ c=b ของฟอร์ม 
. นี่แสดงว่าบันทึก a b และ log b a – ตัวอย่างเช่น, 
.
ที่มักใช้คือสูตร 
ซึ่งมีประโยชน์ในการค้นหาค่าลอการิทึม เพื่อยืนยันคำพูดของเรา เราจะแสดงวิธีคำนวณค่าลอการิทึมของแบบฟอร์มโดยใช้ค่าดังกล่าว เรามี 
. เพื่อพิสูจน์สูตร 
ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงเป็นฐานใหม่ของลอการิทึม a: 
.
มันยังคงพิสูจน์คุณสมบัติการเปรียบเทียบของลอการิทึม
ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนบวกใด ๆ b 1 และ b 2 , b 1 บันทึก a b 2 และสำหรับ a>1 อสมการบันทึก a b 1 ท้ายที่สุด ยังคงเป็นการพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายของลอการิทึม เราจำกัดตัวเองให้พิสูจน์ส่วนแรก นั่นคือ เราพิสูจน์ว่าถ้า 1 >1 , 2 >1 และ 1 1 เป็นจริง log a 1 b>log a 2 b ข้อความที่เหลือของคุณสมบัติของลอการิทึมนี้ได้รับการพิสูจน์โดยหลักการที่คล้ายกัน ลองใช้วิธีที่ตรงกันข้ามกัน สมมติว่าสำหรับ 1 >1 , 2 >1 และ 1 1 บันทึก a 1 b≤log a 2 b เป็นจริง โดยคุณสมบัติของลอการิทึม ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถเขียนใหม่เป็น 
และ 
ตามลำดับ และต่อจากนั้น บันทึก b a 1 ≤log b a 2 และ log b a 1 ≥log b a 2 ตามลำดับ จากนั้นโดยคุณสมบัติของพลังที่มีฐานเดียวกันจะต้องเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน b log b a 1 ≥b log b a 2 และ b log b a 1 ≥b log b a 2 นั่นคือ a 1 ≥a 2 ดังนั้นเราจึงมาถึงข้อขัดแย้งกับเงื่อนไข a 1
บรรณานุกรม.
- Kolmogorov A.N. , Abramov A.M. , Dudnitsyn Yu.P. และอื่นๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
- Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค)
เกี่ยวกับ
งานในการค้นหาตัวเลขใด ๆ ในสามตัวเลขจากอีกสองตัวที่กำหนดสามารถกำหนดได้ ให้ a แล้ว N หาได้จากการยกกำลัง หากให้ N และพบ a โดยการดึงรากของกำลัง x (หรือการยกกำลัง) พิจารณากรณีที่เมื่อกำหนดให้ a และ N ต้องหา x
ให้จำนวน N เป็นบวก: จำนวน a เป็นบวกและไม่เท่ากับหนึ่ง: .
คำนิยาม. ลอการิทึมของตัวเลข N ยกกำลังฐาน a คือเลขชี้กำลังที่คุณต้องยก a เพื่อให้ได้ตัวเลข N ลอการิทึมเขียนแทนด้วย
ดังนั้น ในความเท่าเทียมกัน (26.1) จะพบว่าเลขชี้กำลังเป็นลอการิทึมของ N ถึงฐาน a รายการ
มีความหมายเหมือนกัน ความเท่าเทียมกัน (26.1) บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์พื้นฐานของทฤษฎีลอการิทึม อันที่จริงมันเป็นการแสดงออกถึงคำจำกัดความของแนวคิดของลอการิทึม ตามคำจำกัดความนี้ ฐานของลอการิทึม a เป็นบวกเสมอและแตกต่างจากเอกภาพ จำนวนลอการิทึม N เป็นบวก ตัวเลขติดลบและศูนย์ไม่มีลอการิทึม สามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนใด ๆ ที่มีฐานที่กำหนดมีลอการิทึมที่กำหนดไว้อย่างดี ความเท่าเทียมกันจึงเกิดขึ้น โปรดทราบว่าเงื่อนไขมีความจำเป็นที่นี่ มิฉะนั้น ข้อสรุปจะไม่ได้รับการพิสูจน์ เนื่องจากความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของ x และ y
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา
วิธีการแก้. กว่าจะได้เลขต้องยกฐาน 2 ยกกำลัง ดังนั้น
คุณสามารถบันทึกเมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าวในรูปแบบต่อไปนี้:
ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา
วิธีการแก้. เรามี
ในตัวอย่างที่ 1 และ 2 เราพบลอการิทึมที่ต้องการได้อย่างง่ายดายโดยแทนจำนวนลอการิทึมเป็นระดับฐานด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ในกรณีทั่วไป ตัวอย่างเช่น เป็นต้น ไม่สามารถทำได้ เนื่องจากลอการิทึมมีค่าอตรรกยะ ให้เราใส่ใจกับคำถามหนึ่งข้อที่เกี่ยวข้องกับข้อความนี้ ใน § 12 เราได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการพิจารณากำลังจริงของจำนวนบวกที่กำหนด นี่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแนะนำลอการิทึม ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว อาจเป็นจำนวนอตรรกยะ
พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของลอการิทึม
คุณสมบัติ 1 หากจำนวนและฐานเท่ากัน ลอการิทึมจะเท่ากับหนึ่ง และในทางกลับกัน หากลอการิทึมเท่ากับหนึ่ง ตัวเลขและฐานจะเท่ากัน
การพิสูจน์. ให้ ตามคำจำกัดความของลอการิทึมเรามีและที่ไหน
ตรงกันข้าม ให้ แล้ว โดยนิยาม
คุณสมบัติ 2 ลอการิทึมของเอกภาพกับฐานใด ๆ เท่ากับศูนย์
การพิสูจน์. ตามคำจำกัดความของลอการิทึม (กำลังศูนย์ของฐานบวกใดๆ เท่ากับหนึ่ง ดู (10.1)) จากที่นี่
คิวอีดี
ประโยคสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ถ้า แล้ว N = 1 แน่นอน เรามี
ก่อนที่จะระบุคุณสมบัติของลอการิทึมต่อไปนี้ ให้เราตกลงที่จะบอกว่าตัวเลขสองตัว a และ b อยู่ด้านเดียวกันของจำนวนที่สาม c ถ้าทั้งคู่มากกว่า c หรือน้อยกว่า c ถ้าหนึ่งในจำนวนเหล่านี้มากกว่า c และอีกจำนวนหนึ่งน้อยกว่า c เราก็บอกว่ามันอยู่ตรงข้ามกับ c
คุณสมบัติ 3 หากจำนวนและฐานอยู่บนด้านเดียวกันของความสามัคคี ลอการิทึมจะเป็นบวก ถ้าจำนวนและฐานอยู่ด้านตรงข้ามของเอกภาพ ลอการิทึมจะเป็นลบ
การพิสูจน์คุณสมบัติ 3 ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าดีกรีของ a มากกว่าหนึ่งถ้าฐานมีค่ามากกว่าหนึ่งและเลขชี้กำลังเป็นบวก หรือฐานน้อยกว่าหนึ่งและเลขชี้กำลังเป็นลบ ดีกรีน้อยกว่าหนึ่งถ้าฐานมากกว่าหนึ่งและเลขชี้กำลังเป็นลบ หรือฐานน้อยกว่าหนึ่งและเลขชี้กำลังเป็นบวก
มีสี่กรณีที่ต้องพิจารณา:
เราจำกัดตัวเองให้อยู่ในการวิเคราะห์ส่วนแรก ผู้อ่านจะพิจารณาส่วนที่เหลือด้วยตัวเขาเอง
ให้เลขชี้กำลังในความเท่าเทียมกันไม่เป็นค่าลบหรือเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นค่าบวก นั่นคือ ซึ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์
ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาว่าลอการิทึมใดต่อไปนี้เป็นค่าบวกและค่าลบ:
วิธีแก้ปัญหา ก) เนื่องจากเลข 15 และฐาน 12 อยู่ด้านเดียวกันของตัวเครื่อง
b) เนื่องจาก 1,000 และ 2 อยู่ด้านเดียวกันของหน่วย ในขณะเดียวกันก็ไม่จำเป็นที่ฐานจะมากกว่าจำนวนลอการิทึม
c) เนื่องจาก 3.1 และ 0.8 อยู่บนด้านตรงข้ามของความสามัคคี
ช) ; ทำไม
จ) ; ทำไม
คุณสมบัติ 4-6 ต่อไปนี้มักเรียกว่ากฎของลอการิทึม: อนุญาตให้รู้ลอการิทึมของตัวเลขบางตัวเพื่อค้นหาลอการิทึมของผลิตภัณฑ์, ผลหาร, ระดับของแต่ละรายการ
คุณสมบัติ 4 (กฎสำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์) ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ของจำนวนบวกหลายจำนวนในฐานที่กำหนดจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้ในฐานเดียวกัน
การพิสูจน์. ให้ตัวเลขที่เป็นบวก
สำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์นั้น เราเขียนความเท่าเทียมกัน (26.1) ที่กำหนดลอการิทึม:
จากนี้ไปเราจะพบว่า
การเปรียบเทียบเลขชี้กำลังของนิพจน์แรกและนิพจน์สุดท้าย เราได้รับความเท่าเทียมกันตามที่กำหนด:
โปรดทราบว่าเงื่อนไขเป็นสิ่งจำเป็น ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ของจำนวนลบสองตัวนั้นสมเหตุสมผล แต่ในกรณีนี้เราจะได้
โดยทั่วไป ถ้าผลคูณของปัจจัยหลายตัวเป็นบวก ลอการิทึมของมันจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของโมดูลของปัจจัยเหล่านี้
คุณสมบัติ 5 (กฎลอการิทึมเชาวน์) ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกเท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของตัวหารและตัวหาร ถ่ายในฐานเดียวกัน การพิสูจน์. ค้นหาอย่างต่อเนื่อง
คิวอีดี
คุณสมบัติ 6 (กฎของลอการิทึมของดีกรี) ลอการิทึมของกำลังของจำนวนบวกใดๆ เท่ากับลอการิทึมของจำนวนนั้นคูณเลขชี้กำลัง
การพิสูจน์. เราเขียนข้อมูลประจำตัวหลักอีกครั้ง (26.1) สำหรับหมายเลข :
คิวอีดี
ผลที่ตามมา ลอการิทึมของรูทของจำนวนบวกเท่ากับลอการิทึมของจำนวนรูทหารด้วยเลขชี้กำลังของรูท:
เราสามารถพิสูจน์ความถูกต้องของผลสืบเนื่องนี้โดยนำเสนอวิธีการและการใช้คุณสมบัติ 6
ตัวอย่างที่ 4 ลอการิทึมกับฐาน a:
ก) (ถือว่าค่าทั้งหมด b, c, d, e เป็นบวก);
b) (สันนิษฐานว่า ).
วิธีแก้ปัญหา ก) สะดวกในการส่งผ่านนิพจน์นี้ไปยังกำลังเศษส่วน:
ตามความเท่าเทียมกัน (26.5)- (26.7) ตอนนี้เราสามารถเขียน:
เราสังเกตเห็นว่าลอการิทึมของตัวเลขดำเนินการได้ง่ายกว่าตัวมันเอง: เมื่อคูณตัวเลข ลอการิทึมของพวกมันจะถูกเพิ่ม เมื่อถูกหาร พวกมันจะถูกลบ ฯลฯ
นั่นคือเหตุผลที่มีการใช้ลอการิทึมในการคำนวณ (ดูข้อ 29)
การกระทำผกผันกับลอการิทึมเรียกว่าโพเทนทิเอชั่น กล่าวคือ โพเทนทิเอชั่นคือการกระทำที่ตัวเลขนี้หาได้จากลอการิทึมที่กำหนดของตัวเลข โดยพื้นฐานแล้ว การโพเทนชิ่งไม่ใช่การกระทำพิเศษใดๆ เป็นการยกระดับฐานให้เป็นกำลัง (เท่ากับลอการิทึมของตัวเลข) คำว่า "ศักยภาพ" ถือได้ว่ามีความหมายเหมือนกันกับคำว่า "การยกกำลัง"
เมื่อโพเทนชิ่ง จำเป็นต้องใช้กฎที่ตรงกันข้ามกับกฎของลอการิทึม: แทนที่ผลรวมของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ ความแตกต่างของลอการิทึมกับลอการิทึมของผลหาร ฯลฯ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากมี ปัจจัยใด ๆ ที่ด้านหน้าเครื่องหมายของลอการิทึมจากนั้นในระหว่างการโพเทนชิ่งจะต้องโอนไปยังองศาตัวบ่งชี้ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 5. ค้นหา N ถ้ารู้ว่า
วิธีการแก้. ในการเชื่อมต่อกับกฎการโพเทนชิ่งที่เพิ่งระบุไว้ ตัวประกอบ 2/3 และ 1/3 ซึ่งอยู่หน้าเครื่องหมายของลอการิทึมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ จะถูกถ่ายโอนไปยังเลขชี้กำลังภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมเหล่านี้ เราได้รับ
ตอนนี้เราแทนที่ผลต่างของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลหาร:
เพื่อให้ได้เศษส่วนสุดท้ายในห่วงโซ่ของความเท่าเทียมนี้ เราได้ปลดปล่อยเศษส่วนก่อนหน้าจากความไม่สมเหตุสมผลในตัวส่วน (ส่วนที่ 25)
คุณสมบัติ 7 หากฐานมากกว่าหนึ่ง ตัวเลขที่มากกว่าจะมีลอการิทึมที่ใหญ่กว่า (และตัวที่เล็กกว่าจะมีตัวที่เล็กกว่า) ถ้าฐานน้อยกว่าหนึ่ง ตัวเลขที่มากกว่าก็มีลอการิทึมที่เล็กกว่า (และตัวที่เล็กกว่า อันหนึ่งมีอันที่ใหญ่กว่า)
คุณสมบัตินี้ยังถูกกำหนดขึ้นตามกฎสำหรับลอการิทึมของอสมการ ซึ่งทั้งสองส่วนเป็นค่าบวก:
เมื่อนำลอการิทึมของอสมการไปที่ฐานที่มากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะยังคงอยู่ และเมื่อนำลอการิทึมไปที่ฐานที่น้อยกว่าหนึ่ง เครื่องหมายของอสมการจะกลับกัน (ดูข้อ 80)
การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติ 5 และ 3 พิจารณากรณีที่ ถ้า แล้ว และนำลอการิทึม เราจะได้
(a และ N/M อยู่บนด้านเดียวกันของความสามัคคี) จากที่นี่
กรณีต่อไปนี้ผู้อ่านจะคิดออกเอง
นอกจากนี้เรายังแนะนำ
กำลังโหลด...