Exempel på trigonometri. Trigonometriska ekvationer

När man löser många matteproblem, särskilt de som inträffar före årskurs 10, är ordningen för utförda åtgärder som kommer att leda till målet tydligt definierade. Sådana problem inkluderar till exempel linjära och andragradsekvationer, linjära och kvadratiska ojämlikheter, bråkekvationer och ekvationer som reduceras till kvadratisk. Principen för framgångsrik lösning av var och en av de nämnda uppgifterna är följande: det är nödvändigt att fastställa vilken typ av uppgift som löses, kom ihåg den nödvändiga sekvensen av åtgärder som kommer att leda till det önskade resultatet, d.v.s. svara och följ dessa steg.

Uppenbarligen beror framgång eller misslyckande i att lösa ett visst problem huvudsakligen på hur korrekt typen av ekvation som löses bestäms, hur korrekt sekvensen av alla steg i dess lösning reproduceras. Självklart är det nödvändigt att ha kompetens för att prestera identiska transformationer och datoranvändning.

En annan situation uppstår med trigonometriska ekvationer. Det är inte svårt att fastställa det faktum att ekvationen är trigonometrisk. Svårigheter uppstår när man ska bestämma sekvensen av åtgärder som skulle leda till rätt svar.

Förbi utseende ekvationer ibland är det svårt att bestämma dess typ. Och utan att känna till typen av ekvation är det nästan omöjligt att välja rätt bland flera dussin trigonometriska formler.

För att lösa den trigonometriska ekvationen måste vi försöka:

1. föra alla funktioner som ingår i ekvationen till "samma vinklar";
2. bringa ekvationen till "samma funktioner";
3. faktorisera vänster sida av ekvationen osv.

Överväga grundläggande metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

I. Reduktion till de enklaste trigonometriska ekvationerna

Lösningsschema

Steg 1. Uttryck den trigonometriska funktionen i termer av kända komponenter.

Steg 2 Hitta funktionsargument med formler:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n båge i a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Steg 3 Hitta en okänd variabel.

Exempel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösning.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Svar: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabel substitution

Lösningsschema

Steg 1. Ta ekvationen till en algebraisk form med avseende på en av de trigonometriska funktionerna.

Steg 2 Beteckna den resulterande funktionen med variabeln t (inför vid behov begränsningar för t).

Steg 3 Spela in och lös algebraisk ekvation.

Steg 4 Gör en omvänd substitution.

Steg 5 Lös den enklaste trigonometriska ekvationen.

Exempel.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Lösning.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Låt sin (x/2) = t, där |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2 uppfyller inte villkoret |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Svar: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Reduktionsmetod för ekvationsordning

Lösningsschema

Steg 1. Byta ut given ekvation linjär, med hjälp av reduktionsformlerna för detta:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2 Lös den resulterande ekvationen med metoderna I och II.

Exempel.

cos2x + cos2x = 5/4.

Lösning.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Svar: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogena ekvationer

Lösningsschema

Steg 1. Ta med denna ekvation till formen

a) a sin x + b cos x = 0 (homogen ekvation av första graden)

eller till utsikten

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ekvation av andra graden).

Steg 2 Dividera båda sidor av ekvationen med

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

och få ekvationen för tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Steg 3 Lös ekvationen med hjälp av kända metoder.

Exempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Lösning.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Låt då tg x = t

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, alltså

tg x = 1 eller tg x = -4.

Från den första ekvationen x = π/4 + πn, n Є Z; från den andra ekvationen x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metod för att transformera en ekvation med hjälp av trigonometriska formler

Lösningsschema

Steg 1. Använder alla möjliga trigonometriska formler, för denna ekvation till ekvationen löst med metoderna I, II, III, IV.

Steg 2 Lös den resulterande ekvationen med hjälp av kända metoder.

Exempel.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Lösning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Från den första ekvationen 2x = π/2 + πn, n Є Z; från den andra ekvationen cos x = -1/2.

Vi har x = π/4 + πn/2, n Є Z; från den andra ekvationen x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Som ett resultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Svar: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Förmågan och färdigheterna att lösa trigonometriska ekvationer är mycket viktigt, deras utveckling kräver avsevärd ansträngning, både från elevens och lärarens sida.

Många problem med stereometri, fysik etc. är förknippade med lösningen av trigonometriska ekvationer. Processen att lösa sådana problem innehåller så att säga många av de kunskaper och färdigheter som förvärvas när man studerar elementen i trigonometri.

Trigonometriska ekvationer intar en viktig plats i processen för undervisning i matematik och personlighetsutveckling i allmänhet.

Har du några frågor? Vet du inte hur man löser trigonometriska ekvationer?
För att få hjälp av en handledare – anmäl dig.
Första lektionen är gratis!

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera en specifik person eller kontakta denne.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress E-post etc.

Hur vi använder din personliga information:

Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
Vi kan också komma att använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att genomföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

Om nödvändigt - i enlighet med lag, rättsordning, i rättsliga förfaranden och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - lämna ut din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, brottsbekämpning eller andra ändamål av allmänt intresse.
I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Lektion och presentation om ämnet: "Lösning av de enklaste trigonometriska ekvationerna"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, feedback, förslag! Allt material kontrolleras av ett antivirusprogram.

Manualer och simulatorer i onlinebutiken "Integral" för årskurs 10 från 1C
Vi löser problem inom geometri. Interaktiva uppgifter för att bygga i rymden
Programvarumiljö "1C: Mathematical constructor 6.1"

Vad ska vi studera:
1. Vad är trigonometriska ekvationer?

3. Två huvudmetoder för att lösa trigonometriska ekvationer.
4. Homogena trigonometriska ekvationer.
5. Exempel.

Vad är trigonometriska ekvationer?

Killar, vi har redan studerat arcsine, arccosine, arctangent och arccotangent. Låt oss nu titta på trigonometriska ekvationer i allmänhet.

Trigonometriska ekvationer - ekvationer där variabeln finns under den trigonometriska funktionens tecken.

Vi upprepar formen för att lösa de enklaste trigonometriska ekvationerna:

1) Om |а|≤ 1, så har ekvationen cos(x) = a en lösning:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Om |а|≤ 1, så har ekvationen sin(x) = a en lösning:

3) Om |a| > 1, då har ekvationen sin(x) = a och cos(x) = a inga lösningar 4) Ekvationen tg(x)=a har en lösning: x=arctg(a)+ πk

5) Ekvationen ctg(x)=a har en lösning: x=arcctg(a)+ πk

För alla formler är k ett heltal

De enklaste trigonometriska ekvationerna har formen: Т(kx+m)=a, T- valfri trigonometrisk funktion.

Exempel.

Lös ekvationer: a) sin(3x)= √3/2

Lösning:

A) Låt oss beteckna 3x=t, då kommer vi att skriva om vår ekvation i formen:

Lösningen på denna ekvation blir: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Från värdetabellen får vi: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Låt oss gå tillbaka till vår variabel: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Då är x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Svar: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, där n är ett heltal. (-1)^n - minus ett till n.

Fler exempel på trigonometriska ekvationer.

Lös ekvationerna: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Lösning:

A) Den här gången går vi direkt till beräkningen av ekvationens rötter:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Då x/5= πk => x=5πk

Svar: x=5πk, där k är ett heltal.

B) Vi skriver i formen: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vi vet att: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Svar: x=2π/9 + πk/3, där k är ett heltal.

Lös ekvationer: cos(4x)= √2/2. Och hitta alla rötter på segmentet.

Lösning:

Vi bestämmer i allmän syn vår ekvation: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Låt oss nu se vilka rötter som faller på vårt segment. För k För k=0, x= π/16 är vi i det givna segmentet .
Med k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 träffar de igen.
För k=2, x= π/16+ π=17π/16, men här träffade vi inte, vilket betyder att vi inte träffar för stort k heller.

Svar: x= π/16, x= 9π/16

Två huvudsakliga lösningsmetoder.

Vi har övervägt de enklaste trigonometriska ekvationerna, men det finns mer komplexa. För att lösa dem används metoden för att introducera en ny variabel och faktoriseringsmetoden. Låt oss titta på exempel.

Låt oss lösa ekvationen:

Lösning:
För att lösa vår ekvation använder vi metoden för att introducera en ny variabel, betecknad: t=tg(x).

Som ett resultat av ersättningen får vi: t 2 + 2t -1 = 0

Låt oss hitta rötterna andragradsekvation: t=-1 och t=1/3

Sedan tg(x)=-1 och tg(x)=1/3, vi fick den enklaste trigonometriska ekvationen, låt oss hitta dess rötter.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Svar: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ett exempel på att lösa en ekvation

Lös ekvationer: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Lösning:

Låt oss använda identiteten: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Vår ekvation blir: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Låt oss introducera ersättningen t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Lösningen till vår andragradsekvation är rötterna: t=2 och t=-1/2

Sedan cos(x)=2 och cos(x)=-1/2.

Därför att cosinus kan inte ta värden större än ett, då har cos(x)=2 inga rötter.

För cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Svar: x= ±2π/3 + 2πk

Homogena trigonometriska ekvationer.

Definition: En ekvation av formen a sin(x)+b cos(x) kallas homogena trigonometriska ekvationer av första graden.

Formens ekvationer

homogena trigonometriska ekvationer av andra graden.

För att lösa en homogen trigonometrisk ekvation av första graden dividerar vi den med cos(x): Du kan inte dividera med cosinus om det är det noll-, låt oss se till att det inte är:
Låt cos(x)=0, sedan asin(x)+0=0 => sin(x)=0, men sinus och cosinus är inte lika med noll samtidigt, vi fick en motsägelse, så vi kan säkert dividera med noll.

Lös ekvationen:
Exempel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Lösning:

Ta ut den gemensamma faktorn: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Då måste vi lösa två ekvationer:

cos(x)=0 och cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 för x= π/2 + πk;

Betrakta ekvationen cos(x)+sin(x)=0 Dividera vår ekvation med cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Svar: x= π/2 + πk och x= -π/4+πk

Hur löser man homogena trigonometriska ekvationer av andra graden?
Killar, håll dig alltid till dessa regler!

1. Se vad koefficienten a är lika med, om a \u003d 0 kommer vår ekvation att ha formen cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), ett exempel på vars lösning finns på föregående glida

2. Om a≠0, då du måste dividera båda delarna av ekvationen med kvadratisk cosinus, får vi:

Vi gör ändringen av variabeln t=tg(x) vi får ekvationen:

Lös exempel #:3

Lös ekvationen:
Lösning:

Dividera båda sidor av ekvationen med cosinuskvadrat:

Vi gör en förändring av variabeln t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Hitta rötterna till andragradsekvationen: t=-3 och t=1

Sedan: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Svar: x=-arctg(3) + πk och x= π/4+ πk

Lös exempel #:4

Lös ekvationen:

Lösning:
Låt oss förvandla vårt uttryck:

Vi kan lösa sådana ekvationer: x= - π/4 + 2πk och x=5π/4 + 2πk

Svar: x= - π/4 + 2πk och x=5π/4 + 2πk

Lös exempel #:5

Lös ekvationen:

Lösning:
Låt oss förvandla vårt uttryck:

Vi introducerar ersättningen tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Lösningen på vår andragradsekvation blir rötterna: t=-2 och t=1/2

Då får vi: tg(2x)=-2 och tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Svar: x=-arctg(2)/2 + πk/2 och x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Uppgifter för självständig lösning.

1) Lös ekvationen

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Lös ekvationer: sin(3x)= √3/2. Och hitta alla rötter på segmentet [π/2; π].

3) Lös ekvationen: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Lös ekvationen: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lös ekvationen: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lös ekvationen: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Det är ingen hemlighet att framgång eller misslyckande i processen att lösa nästan alla problem beror huvudsakligen på riktigheten av typdefinitionen. given ekvation, såväl som på korrekt återgivning av sekvensen av alla stadier av dess lösning. Men när det gäller trigonometriska ekvationer är det inte alls svårt att avgöra att ekvationen är trigonometrisk. Men i processen att bestämma sekvensen av åtgärder som ska leda oss till det korrekta svaret, kan vi stöta på vissa svårigheter. Låt oss ta reda på hur man löser trigonometriska ekvationer korrekt från början.

Lösa trigonometriska ekvationer

För att lösa den trigonometriska ekvationen måste du försöka utföra följande punkter:

Vi för alla funktioner som ingår i vår ekvation till "samma vinklar";
Det är nödvändigt att bringa den givna ekvationen till "identiska funktioner";
Vi bryter ner den vänstra sidan av den givna ekvationen i faktorer eller andra nödvändiga komponenter.

Metoder

Metod 1. Det är nödvändigt att lösa sådana ekvationer i två steg. Först transformerar vi ekvationen för att få dess enklaste (förenklade) form. Ekvation: Cosx = a, Sinx = a och liknande kallas de enklaste trigonometriska ekvationerna. Det andra steget är att lösa den resulterande enkla ekvationen. Det bör noteras att den enklaste ekvationen kan lösas med den algebraiska metoden, som är välkänd för oss från skolalgebrakursen. Det kallas också för substitution och variabel substitution. Med hjälp av reduktionsformler behöver du först konvertera, sedan göra en ersättning och sedan hitta rötterna.

Därefter måste du dekomponera vår ekvation i möjliga faktorer, för detta måste du flytta alla termer åt vänster och sedan kan du dekomponera i faktorer. Nu måste du föra denna ekvation till en homogen, där alla termer är lika i samma grad och cosinus och sinus har samma vinkel.

Innan du löser trigonometriska ekvationer måste du överföra dess termer till vänster sida, ta dem från höger sida, och sedan tar vi ut alla gemensamma nämnare inom parentes. Vi likställer våra parenteser och faktorer till noll. Våra jämställda parenteser är en homogen ekvation med reducerad grad som ska divideras med sin(cos) till högsta potens. Nu löser vi den algebraiska ekvationen som erhölls i förhållande till tan.

Metod 2. En annan metod med vilken du kan lösa den trigonometriska ekvationen är övergången till en halv vinkel. Till exempel löser vi ekvationen: 3sinx-5cosx=7.

Vi måste gå till halv vinkel, i vårt fall är det: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2). Och efter det reducerar vi alla termer till en del (för enkelhetens skull är det bättre att välja rätt) och fortsätter med att lösa ekvationen.

Om det behövs kan du ange en extra vinkel. Detta görs när du behöver byta ut heltalsvärdet sin (a) eller cos (a) och tecknet "a" bara fungerar som en hjälpvinkel.

produkt för att summera

Hur löser man trigonometriska ekvationer med summaprodukt? Metoden som kallas produkt-till-summa-omvandling kan också användas för att lösa sådana ekvationer. I det här fallet är det nödvändigt att använda formlerna som motsvarar ekvationen.

Till exempel har vi en ekvation: 2sinx * sin3x= cos4x

Vi måste lösa detta problem genom att konvertera vänster sida till en summa, nämligen:

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8.

Om ovanstående metoder inte är lämpliga, och du fortfarande inte vet hur man löser de enklaste trigonometriska ekvationerna, kan du använda en annan metod - universell substitution. Med den kan du förvandla uttrycket och göra en ersättning. Till exempel: Cos(x/2)=u. Nu kan vi lösa ekvationen med den givna parametern u. Och efter att ha fått det önskade resultatet, glöm inte att översätta detta värde till det motsatta.

Många "erfarna" studenter rekommenderas att vända sig till människor online för att lösa ekvationer. Hur man löser en trigonometrisk ekvation online, frågar du. För onlinelösningar problem kan du vända dig till forumen för de relevanta ämnena, där de kan hjälpa dig med råd eller att lösa problemet. Men det bästa är att försöka klara sig själv.

Färdigheter och förmåga att lösa trigonometriska ekvationer är mycket viktiga och användbara. Deras utveckling kommer att kräva mycket ansträngning från dig. Många problem inom fysik, stereometri etc. är förknippade med lösningen av sådana ekvationer. Och själva processen att lösa sådana problem innebär närvaron av färdigheter och kunskaper som kan förvärvas när man studerar elementen i trigonometri.

Lär dig trigonometriska formler

I processen att lösa en ekvation kan du stöta på behovet av att använda valfri formel från trigonometri. Du kan förstås börja leta efter det i dina läroböcker och fuskblad. Och om dessa formler sätts i ditt huvud, kommer du inte bara att spara dina nerver, utan också göra din uppgift mycket enklare, utan att slösa tid på att söka efter den nödvändiga informationen. Således kommer du att ha möjlighet att tänka igenom det mest rationella sättet att lösa problemet.

Förhållandena mellan de trigonometriska huvudfunktionerna - sinus, cosinus, tangent och cotangens - anges trigonometriska formler. Och eftersom det finns ganska många kopplingar mellan trigonometriska funktioner, förklarar detta också överflödet av trigonometriska formler. Vissa formler förbinder de trigonometriska funktionerna i samma vinkel, andra - funktionerna i en multipel vinkel, andra - låter dig sänka graden, den fjärde - för att uttrycka alla funktioner genom tangenten till en halv vinkel, etc.

I den här artikeln listar vi i ordning alla grundläggande trigonometriska formler, som räcker för att lösa de allra flesta trigonometriproblem. För att underlätta memorering och användning kommer vi att gruppera dem efter deras syfte och lägga in dem i tabeller.

Sidnavigering.

Grundläggande trigonometriska identiteter

Main trigonometriska identiteter ställ in förhållandet mellan sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel. De följer av definitionen av sinus, cosinus, tangent och cotangens, samt begreppet enhetscirkel. De låter dig uttrycka en trigonometrisk funktion genom vilken som helst annan.

För en detaljerad beskrivning av dessa trigonometriformler, deras härledning och tillämpningsexempel, se artikeln.

Cast formler

Cast formler följer av egenskaperna för sinus, cosinus, tangent och cotangens, det vill säga de reflekterar egenskapen periodicitet för trigonometriska funktioner, egenskapen symmetri och även egenskapen för skiftning med en given vinkel. Dessa trigonometriska formler låter dig gå från att arbeta med godtyckliga vinklar till att arbeta med vinklar som sträcker sig från noll till 90 grader.

Motivering av dessa formler, mnemonisk regel för deras memorering och exempel på deras tillämpning kan studeras i artikeln.

Tilläggsformler

Trigonometriska additionsformler visa hur de trigonometriska funktionerna av summan eller skillnaden mellan två vinklar uttrycks i termer av dessa vinklars trigonometriska funktioner. Dessa formler tjänar som grund för härledningen av följande trigonometriska formler.

Formler för dubbel, trippel osv. vinkel

Formler för dubbel, trippel osv. vinkel (de kallas också multipla vinkelformler) visar hur de trigonometriska funktionerna av dubbel, trippel osv. vinklar () uttrycks i termer av trigonometriska funktioner för en enda vinkel. Deras härledning är baserad på additionsformler.

Mer detaljerad information samlas i artikelformlerna för dubbel, trippel osv. vinkel .

Halvvinkelformler

Halvvinkelformler visa hur de trigonometriska funktionerna för en halv vinkel uttrycks i termer av cosinus för en heltalsvinkel. Dessa trigonometriska formler följer av dubbelvinkelformlerna.

Deras slutsats och exempel på tillämpning finns i artikeln.

Reduktionsformler

Trigonometriska formler för minskande graderär utformade för att underlätta övergången från naturliga krafter av trigonometriska funktioner till sinus och cosinus i första graden, men flera vinklar. Med andra ord tillåter de en att reducera styrkorna hos trigonometriska funktioner till den första.

Formler för summan och skillnaden av trigonometriska funktioner

huvudmål summa- och differensformler för trigonometriska funktioner består i övergången till produkten av funktioner, vilket är mycket användbart när man förenklar trigonometriska uttryck. Dessa formler används också i stor utsträckning för att lösa trigonometriska ekvationer, eftersom de tillåter faktorisering av summan och skillnaden mellan sinus och cosinus.

Formler för produkten av sinus, cosinus och sinus för cosinus

Övergången från produkten av trigonometriska funktioner till summan eller skillnaden sker genom formlerna för produkten av sinus, cosinus och sinus för cosinus.

Bashmakov M.I. Algebra och början av analys: Proc. för 10-11 celler. snitt skola - 3:e uppl. - M.: Upplysningen, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra och början av analysen: Proc. för 10-11 celler. Allmän utbildning institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn och andra; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14:e uppl.- M.: Upplysning, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.

Upphovsrätt av smarta elever

Alla rättigheter förbehållna.
Skyddad av upphovsrättslagen. Ingen del av www.webbplatsen, inklusive inre material och yttre design får inte reproduceras i någon form eller användas utan föregående skriftligt tillstånd från upphovsrättsinnehavaren.