Gjutformler med fullständig förklaring av grader. Reduktionsformler: bevis, exempel, mnemonisk regel

Lektionens ämne

Förändring i sinus, cosinus och tangent när vinkeln ökar.

Lektionens mål

Bekanta dig med nya definitioner och kom ihåg några som redan studerats.
Bekanta dig med mönstret av förändringar i värdena för sinus, cosinus och tangent med ökande vinkel.
Utveckla - att utveckla elevernas uppmärksamhet, uthållighet, uthållighet, logiskt tänkande, matematiskt tal.
Utbildning - genom lektionen att odla en uppmärksam attityd mot varandra, att ingjuta förmågan att lyssna på kamrater, ömsesidig hjälp, oberoende.

Lektionens mål

Testa elevernas kunskaper.

Lektionsplanering

Upprepning av tidigare inlärt material.
Upprepade uppgifter.
Förändring i sinus, cosinus och tangent när vinkeln ökar.
Praktisk användning.

Upprepning av tidigare studerat material

Låt oss börja från början och komma ihåg vad som kommer att vara användbart för att fräscha upp ditt minne. Vad är sinus, cosinus och tangent och vilken del av geometrin tillhör dessa begrepp.

Trigonometri- det är så komplicerat grekiska ord: trigonon - triangel, metro - mått. Därför betyder det på grekiska: mätt med trianglar.

Ämnen > Matematik > Matematik Årskurs 8

Trigonometri Reduktionsformler.

Gjutformler behöver inte läras ut, de måste förstås. Förstå algoritmen för deras utdata. Det är väldigt lätt!

Låt oss ta en enhetscirkel och placera alla grader (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) på den.

Låt oss analysera funktionerna sin(a) och cos(a) i varje kvartal.

Kom ihåg att vi tittar på sin (a)-funktionen längs Y-axeln och cos (a)-funktionen längs X-axeln.

Under första kvartalet kan man se att funktionen sin(a)>0
Och funktion cos(a)>0
Det första kvartalet kan beskrivas genom ett gradmått, som (90-α) eller (360+α).

Under andra kvartalet kan man se att funktionen sin(a)>0, eftersom y-axeln är positiv i det kvartalet.
En funktion cos(a) eftersom x-axeln är negativ i det kvartalet.
Andra kvartalet kan beskrivas genom ett gradmått, som (90+α) eller (180-α).

Under tredje kvartalet kan man se att funktionerna synd(a) Det tredje kvartalet kan beskrivas i termer av grader som (180+α) eller (270-α).

Under fjärde kvartalet kan man se att funktionen sin(a) eftersom y-axeln är negativ i det kvartalet.
En funktion cos(a)>0, eftersom x-axeln är positiv i det kvartalet.
Det fjärde kvartalet kan beskrivas i termer av grader som (270+α) eller (360-α).

Låt oss nu titta på själva reduktionsformlerna.

Låt oss komma ihåg en enkel algoritm:
1. Fjärdedel.(Titta alltid på vilket kvarter du befinner dig i).
2. Tecken.(För en fjärdedel, se positiva eller negativa cosinus- eller sinusfunktioner).
3. Om du har (90° eller π/2) och (270° eller 3π/2) inom parentes funktionsändringar.

Och så börjar vi demontera denna algoritm i kvartalet.

Ta reda på vad uttrycket cos(90-α) kommer att vara lika med
Låt oss prata om algoritmen:
1. Kvart ett.

Kommer cos(90-α) = sin(α)

Ta reda på vad uttrycket sin (90-α) kommer att vara lika med
Låt oss prata om algoritmen:
1. Kvart ett.

Kommer sin(90-α) = cos(α)

Ta reda på vad uttrycket cos(360+α) kommer att vara lika med
Låt oss prata om algoritmen:
1. Kvart ett.
2. Under det första kvartalet är tecknet på cosinusfunktionen positivt.

Kommer cos(360+α) = cos(α)

Ta reda på vad uttrycket sin (360 + α) kommer att vara lika med
Låt oss prata om algoritmen:
1. Kvart ett.
2. Under det första kvartalet är tecknet för sinusfunktionen positivt.
3. Det finns inga (90° eller π/2) och (270° eller 3π/2) inom parentes, då ändras inte funktionen.
Kommer sin(360+α) = sin(α)

Ta reda på vad uttrycket cos(90+α) kommer att vara lika med
Låt oss prata om algoritmen:
1. Kvart två.

3. Det står (90 ° eller π / 2) inom parentes, då ändras funktionen från cosinus till sinus.
Kommer cos(90+α) = -sin(α)

Ta reda på vad uttrycket sin (90 + α) kommer att vara lika med
Låt oss prata om algoritmen:
1. Kvart två.

3. Det står (90 ° eller π / 2) inom parentes, då ändras funktionen från sinus till cosinus.
Kommer sin(90+α) = cos(α)

Ta reda på vad uttrycket cos(180-α) kommer att vara lika med
Låt oss prata om algoritmen:
1. Kvart två.
2. Under andra kvartalet är tecknet för cosinusfunktionen negativt.
3. Det finns inga (90° eller π/2) och (270° eller 3π/2) inom parentes, då ändras inte funktionen.
Kommer cos(180-α) = cos(α)

Ta reda på vad uttrycket sin (180-α) kommer att vara lika med
Låt oss prata om algoritmen:
1. Kvart två.
2. Under andra kvartalet är tecknet för sinusfunktionen positivt.
3. Det finns inga (90° eller π/2) och (270° eller 3π/2) inom parentes, då ändras inte funktionen.
Kommer sin(180-α) = sin(α)

Jag pratar om tredje och fjärde kvartalet på liknande sätt, vi kommer att göra en tabell:

Prenumerera till kanalen på YOUTUBE och se videon, förbered dig för prov i matematik och geometri med oss.

Definition. Reduktionsformler är formler som låter dig gå från trigonometriska funktioner snäll mot argumentfunktionerna. Med deras hjälp kan sinus, cosinus, tangent och cotangens för en godtycklig vinkel reduceras till sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel från intervallet från 0 till 90 grader (från 0 till radianer). Således tillåter reduktionsformler oss att gå vidare till att arbeta med vinklar inom 90 grader, vilket utan tvekan är mycket bekvämt.

Cast formler:

Det finns två regler för att använda cast-formler.

1. Om vinkeln kan representeras som (π/2 ±a) eller (3*π/2 ±a), då funktionsnamn ändras synd till cos, cos till synd, tg till ctg, ctg till tg. Om vinkeln kan representeras som (π ±a) eller (2*π ±a), då funktionsnamnet förblir oförändrat.

Titta på figuren nedan, den visar schematiskt när man ska byta skylt och när inte

2. Reducerat funktionstecken förblir densamma. Om den ursprungliga funktionen hade ett plustecken, så har den reducerade funktionen också ett plustecken. Om den ursprungliga funktionen hade ett minustecken, så har den reducerade funktionen också ett minustecken.

Figuren nedan visar tecknen för de trigonometriska huvudfunktionerna beroende på fjärdedel.

Exempel:

Beräkna

Låt oss använda reduktionsformlerna:

Sin(150˚) är i andra kvartalet, vi kan se från figuren att syndtecknet i detta kvartal är lika med "+". Detta betyder att ovanstående funktion också kommer att ha ett "+"-tecken. Vi har tillämpat den andra regeln.

Nu 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ är π/2. Det vill säga att vi har att göra med fallet π / 2 + 60, därför ändrar vi enligt den första regeln funktionen från sin till cos. Som ett resultat får vi Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Lektion och presentation om ämnet: "Tillämpning av reduktionsformler för att lösa problem"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, feedback, förslag. Allt material kontrolleras av ett antivirusprogram.

Läromedel och simulatorer i webbutiken "Integral" för årskurs 10
1C: Skola. Interaktiva bygguppgifter för årskurs 7-10
1C: Skola. Vi löser problem inom geometri. Interaktiva uppgifter för att bygga i rymden för årskurs 10-11

Vad ska vi studera:
1. Låt oss upprepa lite.
2. Regler för reduktionsformler.
3. Tabell över transformationer för reduktionsformler.
4. Exempel.

Upprepning av trigonometriska funktioner

Killar, ni har redan stött på spökformler, men de har ännu inte kallats så. Vart tror du?

Titta på våra ritningar. Rätt, när de introducerade definitionerna av trigonometriska funktioner.

Regel för reduktionsformler

Låt oss introducera grundregeln: Om tecknet för den trigonometriska funktionen innehåller ett tal av formen π×n/2 + t, där n är vilket heltal som helst, så kan vår trigonometriska funktion reduceras till mer klar sikt, som bara kommer att innehålla t-argumentet. Sådana formler kallas spökformler.

Låt oss komma ihåg några formler:

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
sin(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
sin(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tg(t + π*k) = tg(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

det finns många spökformler, låt oss göra en regel genom vilken vi kommer att bestämma våra trigonometriska funktioner när vi använder spökformler:

Om tecknet för den trigonometriska funktionen innehåller tal av formen: π + t, π - t, 2π + t och 2π - t, så kommer funktionen inte att förändras, det vill säga, till exempel, sinus förblir en sinus, cotangens förblir en cotangens.
Om tecknet för den trigonometriska funktionen innehåller tal av formen: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t och 3π/2 - t, så kommer funktionen att ändras till en relaterad, dvs sinus blir en cosinus, cotangensen blir en tangent.
Före den resulterande funktionen måste du sätta tecknet som den konverterade funktionen skulle ha om 0

Dessa regler gäller även när funktionsargumentet är i grader!

Vi kan också göra en tabell över omvandlingar av trigonometriska funktioner:

Exempel på användning av reduktionsformler

1. Låt oss transformera cos(π + t). Funktionsnamnet finns kvar, d.v.s. vi får cos(t). Antag sedan att π/2

2. Transformera sin(π/2 + t). Namnet på funktionen ändras, d.v.s. vi får cos(t). Antag vidare att 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Låt oss transformera tg(π + t). Funktionsnamnet finns kvar, d.v.s. vi får tg(t). Anta vidare att 0

4. Låt oss transformera ctg(270 0 + t). Namnet på funktionen ändras, det vill säga vi får tg(t). Anta vidare att 0

Problem med reduktionsformler för oberoende lösning

Killar, konvertera dig själv med våra regler:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

De tillhör matematikens "trigonometri". Deras kärna är att föra vinklarnas trigonometriska funktioner till en mer "enkel" form. Mycket kan skrivas om vikten av deras kunskap. Det finns 32 av dessa formler!

Oroa dig inte, du behöver inte lära dig dem, som många andra formler i matematik. Du behöver inte fylla huvudet med onödig information, du behöver memorera "nycklarna" eller lagar, och att komma ihåg eller härleda den önskade formeln kommer inte att vara ett problem. Förresten, när jag skriver i artiklar "... du behöver lära dig !!!" – det betyder att det verkligen är nödvändigt att lära sig det.

Om du inte är bekant med reduktionsformlerna, kommer enkelheten i deras härledning positivt att överraska dig - det finns en "lag" med vilken det är lätt att göra detta. Och du kommer att skriva någon av de 32 formlerna på 5 sekunder.

Jag kommer bara att lista några av de uppgifter som kommer att finnas på provet i matematik, där det utan att känna till dessa formler är stor sannolikhet att misslyckas i lösningen. Till exempel:

- uppgifter för att lösa en rätvinklig triangel, där vi talar om en yttre vinkel, och uppgifter för inre hörn några av dessa formler är också nödvändiga.
- uppgifter för att beräkna värdena för trigonometriska uttryck; transformationer av numeriska trigonometriska uttryck; transformationer av bokstavliga trigonometriska uttryck.
– uppgifter för tangent och geometrisk betydelse tangent krävs en reduktionsformel för tangenten, samt andra uppgifter.
- stereometriska problem, i samband med att lösa det är det ofta nödvändigt att bestämma sinus eller cosinus för en vinkel som ligger i området från 90 till 180 grader.

Och det här är bara de punkter som hänför sig till provet. Och under själva algebra finns det många problem, i vars lösning, utan kunskap om reduktionsformlerna, det helt enkelt är omöjligt att göra.

Så vad leder det till och hur förenklar de angivna formlerna lösningen av problem för oss?

Till exempel måste du bestämma sinus, cosinus, tangens eller cotangens för valfri vinkel från 0 till 450 grader:

alfavinkeln varierar från 0 till 90 grader

* * *

Så det är nödvändigt att förstå "lagen" som fungerar här:

1. Bestäm tecknet för funktionen i motsvarande kvartal.

Låt mig påminna dem:

2. Kom ihåg följande:

funktion ändras till samfunktion

funktion ändras inte till samfunktion

Vad betyder begreppet - en funktion ändras till en samfunktion?

Svar: sinus ändras till cosinus eller vice versa, tangent till cotangens eller vice versa.

Det är allt!

Nu, enligt den presenterade lagen, skriver vi flera reduktionsformler oberoende:

Denna vinkel ligger i tredje kvartalet, cosinus i tredje kvartalet är negativ. Vi ändrar inte funktionen för cofunction, eftersom vi har 180 grader, vilket betyder:

Vinkeln ligger i första kvartalet, sinus i första kvartalet är positivt. Vi ändrar inte funktionen till en samfunktion, eftersom vi har 360 grader, vilket betyder:

Här är ytterligare en ytterligare bekräftelse på att sinusen för intilliggande vinklar är lika:

Vinkeln ligger i andra kvartalet, sinus i andra kvartalet är positiv. Vi ändrar inte funktionen till en samfunktion, eftersom vi har 180 grader, vilket betyder:

Arbeta igenom varje formel mentalt eller skriftligt, och du kommer att se att det inte är något komplicerat.

***

I artikeln om lösningen noterades ett sådant faktum - sinus för en spetsig vinkel in rät triangelär lika med cosinus för en annan spetsig vinkel i den.