Vad visar exponentialfunktionen. Lektion "Exponentialfunktion, dess egenskaper och graf

Knowledge Hypermarket >>Matematik >>Matematik Årskurs 10 >>

Exponentiell funktion, dess egenskaper och graf

Betrakta uttrycket 2x och hitta dess värden för olika rationella värden för variabeln x, till exempel för x=2;

I allmänhet, oavsett vilket rationellt värde vi ger till variabeln x, kan vi alltid beräkna motsvarande numeriska värde för uttrycket 2x. Man kan alltså tala om en exponentiell funktioner y=2 x definierad på uppsättningen Q rationella nummer:

Låt oss överväga några egenskaper hos denna funktion.

Fastighet 1.är en ökande funktion. Vi genomför bevisningen i två steg.
Första stadiet. Låt oss bevisa att om r är ett positivt rationellt tal, så är 2 r >1.
Två fall är möjliga: 1) r - naturligt nummer r = n; 2) vanlig irreducerbar fraktion,

På vänster sida av den sista ojämlikheten har vi , och på höger sida 1. Därför kan den sista ojämlikheten skrivas om som

Sålunda gäller i alla fall olikheten 2 r > 1, efter behov.

Andra fasen. Låt x 1 och x 2 vara tal, och x 1 och x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(vi betecknade skillnaden x 2 -x 1 med bokstaven r).

Eftersom r är ett positivt rationellt tal, då, av det som bevisades i det första steget, 2 r > 1, dvs. 2r-1 >0. Talet 2x" är också positivt, vilket betyder att produkten 2 x-1 (2 Г -1) också är positiv. Således har vi bevisat att olikhet 2 Xr -2x "\u003e 0.

Så, från ojämlikheten x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Fastighet 2. begränsat underifrån och inte begränsat från ovan.
Begränsningen av funktionen underifrån följer av olikheten 2 x > 0, som är giltig för alla värden på x från funktionens domän. Samtidigt kan man, oavsett vilket positivt tal M man tar, alltid välja en sådan indikator x att olikheten 2 x > M kommer att uppfyllas - vilket kännetecknar funktionens ogränslighet uppifrån. Låt oss ge några exempel.

Fastighet 3. har varken ett minimum eller ett maximivärde.

Vad den här funktionen inte har det största värdet, uppenbarligen, eftersom den, som vi nyss har sett, inte är begränsad från ovan. Men underifrån är det begränsat, varför har det inte det minsta värdet?

Antag att 2r är det minsta värdet på funktionen (r är någon rationell exponent). Ta ett rationellt tal q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Allt detta är bra, säger du, men varför betraktar vi funktionen y-2 x bara på mängden rationella tal, varför betraktar vi den inte, som andra kända funktioner, på hela tallinjen eller på något kontinuerligt intervall av sifferraden? Vad hindrar oss? Låt oss tänka på situationen.

Talraden innehåller inte bara rationella, utan även irrationella tal. För de tidigare studerade funktionerna störde detta oss inte. Till exempel hittade vi värdena för funktionen y \u003d x 2 lika lätt för både rationella och irrationella värden på x: det räckte med att kvadrera det givna värdet på x.

Men med funktionen y \u003d 2 x är situationen mer komplicerad. Om argumentet x ges ett rationellt värde kan x i princip beräknas (återvänd till början av stycket, där vi gjorde just det). Och om argumentet x ges ett irrationellt värde? Hur ska man till exempel räkna? Vi vet inte detta än.
Matematiker har hittat en väg ut; så här pratade de.

Det är känt att Betrakta en sekvens av rationella tal - decimala approximationer av ett tal genom brist:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Det är tydligt att 1,732 = 1,7320 och 1,732050 = 1,73205. För att undvika sådana upprepningar kasserar vi de medlemmar i sekvensen som slutar med siffran 0.

Då får vi en ökande sekvens:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

På motsvarande sätt ökar också sekvensen.

Alla medlemmar i denna sekvens är positiva tal mindre än 22, dvs. denna sekvens är begränsad. Enligt Weierstrass-satsen (se § 30), om en sekvens är ökande och avgränsad, då konvergerar den. Dessutom vet vi från § 30 att om en sekvens konvergerar, då bara till en gräns. Denna enda gräns ansågs betraktas som värdet av ett numeriskt uttryck. Och det spelar ingen roll att det är mycket svårt att hitta ens ett ungefärligt värde på det numeriska uttrycket 2; det är viktigt att detta är ett specifikt tal (vi var trots allt inte rädda för att säga att det till exempel är roten till en rationell ekvation, roten till den trigonometriska ekvationen, utan att egentligen tänka på exakt vad dessa siffror är:
Så vi fick reda på vilken betydelse matematiker lägger i symbolen 2 ^. På samma sätt kan man bestämma vad som är och i allmänhet vad som är ett a, där a är ett irrationellt tal och a > 1.
Men hur är det när 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Nu kan vi prata inte bara om grader med godtyckliga rationella exponenter, utan också om grader med godtyckliga reella exponenter. Det är bevisat att grader med reella exponenter har alla vanliga egenskaper för grader: när man multiplicerar grader med samma baser adderas exponenterna, när de divideras subtraheras de, när man höjer en grad till en potens multipliceras de, etc. . Men det viktigaste är att nu kan vi prata om funktionen y-ax definierad på mängden av alla reella tal.
Låt oss återgå till funktionen y \u003d 2 x, bygga dess graf. För att göra detta kommer vi att sammanställa en tabell med funktionsvärden med 2 x:

Låt oss notera punkterna på koordinatplanet (fig. 194), de skisserar en viss linje, ritar den (fig. 195).

Funktionsegenskaper y - 2 x:
1)
2) är varken jämnt eller udda; 248
3) ökar;

5) har varken de största eller de minsta värdena;
6) kontinuerlig;
7)
8) konvex nedåt.

Strikta bevis på de listade egenskaperna för funktionen y-2 x ges i kursen högre matematik. Vissa av dessa egenskaper har vi diskuterat tidigare i en eller annan grad, några av dem visas tydligt av den konstruerade grafen (se fig. 195). Till exempel är frånvaron av paritet eller udda för en funktion geometriskt relaterad till avsaknaden av symmetri i grafen, respektive om y-axeln eller om origo.

Vilken funktion som helst av formen y=a x, där a >1, har liknande egenskaper. På fig. 196 i ett koordinatsystem konstrueras, grafer för funktioner y=2 x, y=3 x, y=5 x.

Låt oss nu överväga funktionen, låt oss göra en värdetabell för den:

Låt oss markera punkterna på koordinatplanet (Fig. 197), de skisserar en viss linje, ritar den (Fig. 198).

Funktionsegenskaper

1)
2) är varken jämnt eller udda;
3) minskar;
4) inte begränsat från ovan, begränsat underifrån;
5) det finns varken de största eller de minsta värdena;
6) kontinuerlig;
7)
8) konvex nedåt.
Vilken funktion som helst av formen y \u003d a x, där O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Observera: funktionsdiagram de där. y \u003d 2 x, symmetrisk kring y-axeln (Fig. 201). Detta är en konsekvens av det allmänna påståendet (se § 13): graferna för funktionerna y = f(x) och y = f(-x) är symmetriska kring y-axeln. På liknande sätt är graferna för funktionerna y \u003d 3 x and

För att sammanfatta det som har sagts kommer vi att ge en definition av exponentialfunktionen och lyfta fram dess viktigaste egenskaper.

Definition. View-funktionen kallas exponentialfunktionen.
Huvudegenskaperna för exponentialfunktionen y \u003d a x

Grafen för funktionen y \u003d a x för a> 1 visas i fig. 201 och för 0<а < 1 - на рис. 202.

Kurvan som visas i fig. 201 eller 202 kallas exponenten. Faktum är att matematiker brukar kalla själva exponentialfunktionen y = a x. Så termen "exponent" används i två betydelser: både för namnet på exponentialfunktionen och för namnet på grafen för exponentialfunktionen. Vanligtvis är det tydligt i betydelsen om vi talar om en exponentialfunktion eller dess graf.

Var uppmärksam på den geometriska egenskapen hos grafen för exponentialfunktionen y \u003d axe: x-axeln är den horisontella asymptoten i grafen. Det är sant att detta uttalande vanligtvis förfinas enligt följande.
X-axeln är den horisontella asymptoten i grafen för funktionen

Med andra ord

Första viktiga anmärkningen. Skolbarn blandar ofta ihop termerna: maktfunktion, exponentiell funktion. Jämföra:

Det här är exempel på maktfunktioner;

är exempel på exponentialfunktioner.

I allmänhet är y \u003d x r, där r är ett specifikt tal, en potensfunktion (argumentet x finns i gradens bas);
y \u003d a", där a är ett specifikt tal (positivt och annorlunda från 1), är en exponentiell funktion (argumentet x finns i exponenten).

En attackerande "exotisk" funktion som y = x" anses varken exponentiell eller potenslag (den kallas ibland exponentiell potensfunktion).

Andra viktiga anmärkningen. Vanligtvis betraktar man inte en exponentialfunktion med basen a = 1 eller med basen a som uppfyller olikheten a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0och a Faktum är att om en \u003d 1, så är likheten Ix \u003d 1 sann för vilket värde x som helst. Således degenererar exponentialfunktionen y \u003d a "för en \u003d 1" till en konstant funktion y \ u003d 1 - detta är inte intressant. Om en \u003d 0, då 0x \u003d 0 för något positivt värde av x, dvs vi får funktionen y \u003d 0 definierad för x\u003e 0 - detta är inte heller intressant.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Innan vi går vidare till att lösa exempel noterar vi att exponentialfunktionen skiljer sig väsentligt från alla funktioner som du har studerat hittills. För att noggrant studera ett nytt föremål måste du överväga det från olika vinklar, i olika situationer, så det kommer att finnas många exempel.
Exempel 1

Beslut, a) Efter att ha ritat graferna för funktionerna y \u003d 2 x och y \u003d 1 i ett koordinatsystem, märker vi (Fig. 203) att de har en gemensam punkt (0; 1). Så ekvationen 2x = 1 har en enda rot x = 0.

Så från ekvationen 2x = 2° fick vi x = 0.

b) Efter att ha konstruerat graferna för funktionerna y \u003d 2 x och y \u003d 4 i ett koordinatsystem, märker vi (Fig. 203) att de har en gemensam punkt (2; 4). Så ekvationen 2x = 4 har en enda rot x = 2.

Så från ekvationen 2 x \u003d 2 2 fick vi x \u003d 2.

c) och d) Baserat på samma överväganden drar vi slutsatsen att ekvationen 2 x \u003d 8 har en enda rot, och för att hitta den kanske grafer för motsvarande funktioner inte byggs;

det är tydligt att x=3, eftersom 2 3 =8. På samma sätt hittar vi den enda roten till ekvationen

Så från ekvationen 2x = 2 3 fick vi x = 3, och från ekvationen 2 x = 2 x fick vi x = -4.
e) Grafen för funktionen y \u003d 2 x är placerad ovanför grafen för funktionen y \u003d 1 för x\u003e 0 - detta läses väl i fig. 203. Därför är lösningen på olikheten 2x > 1 intervallet
f) Grafen för funktionen y \u003d 2 x finns under grafen för funktionen y \u003d 4 vid x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Du märkte förmodligen att grunden för alla slutsatser som gjordes när du löste exempel 1 var egenskapen monotoni (ökning) av funktionen y \u003d 2 x. Liknande resonemang tillåter oss att verifiera giltigheten av följande två satser.

Beslut. Du kan agera så här: bygg en graf av funktionen y-3 x, sträck den sedan från x-axeln med en faktor 3 och höj sedan den resulterande grafen med 2 skalenheter. Men det är bekvämare att använda det faktum att 3- 3* \u003d 3 * + 1, och därför rita funktionen y \u003d 3 x * 1 + 2.

Låt oss gå vidare, som vi upprepade gånger har gjort i sådana fall, till ett extra koordinatsystem med origo i punkten (-1; 2) - streckade linjer x = - 1 och 1x = 2 i fig. 207. Låt oss "bifoga" funktionen y=3* till nytt system koordinater. För att göra detta väljer vi kontrollpunkter för funktionen , men vi kommer att bygga dem inte i det gamla utan i det nya koordinatsystemet (dessa punkter är markerade i Fig. 207). Sedan kommer vi att konstruera en exponent med punkter - detta kommer att vara den nödvändiga grafen (se fig. 207).
För att hitta de största och minsta värdena av en given funktion på segmentet [-2, 2] använder vi det faktum att den givna funktionen ökar, och därför tar den sina minsta respektive största värden till vänster och högra änden av segmentet.
Så:

Exempel 4 Lös ekvationen och ojämlikheterna:

Beslut, a) Låt oss konstruera grafer för funktionerna y=5* och y=6-x i ett koordinatsystem (Fig. 208). De skär varandra vid en punkt; av ritningen att döma är detta poängen (1; 5). Kontrollen visar att punkten (1; 5) faktiskt uppfyller både ekvationen y = 5* och ekvationen y=6x. Abskissan på denna punkt fungerar som den enda roten till given ekvation.

Så, ekvationen 5 x = 6-x har en enda rot x = 1.

b) och c) Exponenten y-5x ligger ovanför den räta linjen y=6-x, om x>1, - detta syns tydligt i fig. 208. Därför kan lösningen av olikheten 5*>6-x skrivas på följande sätt: x>1. Och lösningen av ojämlikhet 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Svar: a) x = 1; b)x>1; c) x<1.

Exempel 5 Givet en funktion Bevisa det
Beslut. Efter villkor har vi.

Lösningen av de flesta matematiska problem är på något sätt kopplad till transformationen av numeriska, algebraiska eller funktionella uttryck. Detta gäller särskilt för lösningen. I USE-varianterna i matematik innefattar denna typ av uppgifter i synnerhet uppgift C3. Att lära sig hur man löser C3-uppgifter är viktigt inte bara för att lyckas med provet, utan också av den anledningen att denna färdighet kommer väl till pass när man studerar en matematikkurs i högre utbildning.

Genom att utföra uppgifter C3 måste du lösa olika typer av ekvationer och ojämlikheter. Bland dem är rationella, irrationella, exponentiella, logaritmiska, trigonometriska, innehållande moduler (absoluta värden), såväl som kombinerade. Den här artikeln diskuterar huvudtyperna av exponentiella ekvationer och ojämlikheter, samt olika metoder för att lösa dem. Läs om att lösa andra typer av ekvationer och ojämlikheter i rubriken "" i artiklar som ägnas åt metoder för att lösa C3-problem från USE-varianterna i matematik.

Innan du går vidare till analysen av specifika exponentiella ekvationer och ojämlikheter, som matematiklärare föreslår jag att du fräscha upp lite av det teoretiska material som vi kommer att behöva.

Exponentiell funktion

Vad är en exponentiell funktion?

Visa funktion y = yxa, var a> 0 och a≠ 1, kallad exponentiell funktion.

Main exponentialfunktionsegenskaper y = yxa:

Graf över en exponentiell funktion

Grafen för exponentialfunktionen är utställare:

Grafer för exponentialfunktioner (exponenter)

Lösning av exponentiella ekvationer

indikativ kallade ekvationer där den okända variabeln bara finns i exponenter för någon potens.

För lösningar exponentiella ekvationer du behöver känna till och kunna använda följande enkla sats:

Sats 1. exponentiell ekvation a f(x) = a g(x) (var a > 0, a≠ 1) är ekvivalent med ekvationen f(x) = g(x).

Dessutom är det användbart att komma ihåg de grundläggande formlerna och åtgärderna med grader:

Title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}

Exempel 1 Lös ekvationen:

Beslut: använd ovanstående formler och ersättning:

Ekvationen blir då:

Mottog diskriminerande andragradsekvation positiv:

Title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}

Det betyder att denna ekvation har två rötter. Vi hittar dem:

Om vi ​​går tillbaka till utbyte får vi:

Den andra ekvationen har inga rötter, eftersom exponentialfunktionen är strikt positiv över hela definitionsdomänen. Låt oss lösa den andra:

Med hänsyn till vad som sades i sats 1, går vi vidare till ekvationen: x= 3. Detta blir svaret på uppgiften.

Svar: x = 3.

Exempel 2 Lös ekvationen:

Beslut: ekvationen har inga begränsningar för området för tillåtna värden, eftersom det radikala uttrycket är vettigt för alla värden x(exponentiell funktion y = 9 4 -x positiv och inte lika med noll).

Vi löser ekvationen genom ekvivalenta transformationer med hjälp av reglerna för multiplikation och division av potenser:

Den sista övergången genomfördes i enlighet med sats 1.

Svar:x= 6.

Exempel 3 Lös ekvationen:

Beslut: båda sidorna av den ursprungliga ekvationen kan delas med 0,2 x. Denna övergång kommer att vara ekvivalent, eftersom detta uttryck är större än noll för något värde x(exponentialfunktionen är strikt positiv på sin domän). Sedan tar ekvationen formen:

Svar: x = 0.

Exempel 4 Lös ekvationen:

Beslut: vi förenklar ekvationen till en elementär genom ekvivalenta transformationer med hjälp av reglerna för division och multiplikation av potenser som anges i början av artikeln:

Dela båda sidor av ekvationen med 4 x, som i föregående exempel, är en ekvivalent transformation, eftersom detta uttryck inte är lika med noll för några värden x.

Svar: x = 0.

Exempel 5 Lös ekvationen:

Beslut: fungera y = 3x, som står på vänster sida av ekvationen, ökar. Fungera y = —x-2/3, som står på höger sida av ekvationen, minskar. Detta betyder att om graferna för dessa funktioner skär varandra, då som mest vid en punkt. I det här fallet är det lätt att gissa att graferna skär varandra vid punkten x= -1. Det kommer inte att finnas några andra rötter.

Svar: x = -1.

Exempel 6 Lös ekvationen:

Beslut: vi förenklar ekvationen genom ekvivalenta transformationer, med tanke på att exponentialfunktionen är strikt större än noll för vilket värde som helst x och med hjälp av reglerna för beräkning av produkten och partiella potenser som anges i början av artikeln:

Svar: x = 2.

Lösa exponentiella ojämlikheter

indikativ kallas ojämlikheter där den okända variabeln endast finns i exponenterna för vissa potenser.

För lösningar exponentiella ojämlikheter kunskap om följande teorem krävs:

Sats 2. Om en a> 1, sedan ojämlikheten a f(x) > a g(x) är ekvivalent med en olikhet av samma betydelse: f(x) > g(x). Om 0< a < 1, то exponentiell ojämlikhet a f(x) > a g(x) motsvarar en olikhet av motsatt betydelse: f(x) < g(x).

Exempel 7 Lös ojämlikheten:

Beslut: representerar den ursprungliga ojämlikheten i formen:

Dividera båda sidor av denna ojämlikhet med 3 2 x, och (på grund av det positiva med funktionen y= 3 2x) ojämlikhetstecknet kommer inte att ändras:

Låt oss använda en ersättning:

Då tar ojämlikheten formen:

Så, lösningen på ojämlikheten är intervallet:

övergår vi till det omvända utbytet får vi:

Den vänstra ojämlikheten, på grund av exponentialfunktionens positivitet, uppfylls automatiskt. Utnyttja känd egendom logaritm, går vi över till den ekvivalenta olikheten:

Eftersom basen för graden är ett tal större än ett, kommer ekvivalent (enligt sats 2) att vara övergången till följande olikhet:

Så får vi äntligen svar:

Exempel 8 Lös ojämlikheten:

Beslut: med hjälp av egenskaperna för multiplikation och division av potenser, skriver vi om olikheten i formen:

Låt oss introducera en ny variabel:

Med denna substitution tar ojämlikheten formen:

Multiplicera täljaren och nämnaren för bråket med 7, vi får följande ekvivalenta olikhet:

Så ojämlikheten är tillfredsställd följande värden variabel t:

När vi sedan går tillbaka till utbyte får vi:

Eftersom basen för graden här är större än en, är det likvärdigt (enligt sats 2) att övergå till ojämlikheten:

Äntligen får vi svar:

Exempel 9 Lös ojämlikheten:

Beslut:

Vi delar båda sidor av ojämlikheten med uttrycket:

Den är alltid större än noll (eftersom exponentialfunktionen är positiv), så olikhetstecknet behöver inte ändras. Vi får:

t , som är i intervallet:

Om vi ​​går över till den omvända substitutionen finner vi att den ursprungliga ojämlikheten delas upp i två fall:

Den första ojämlikheten har inga lösningar på grund av exponentialfunktionens positivitet. Låt oss lösa den andra:

Exempel 10 Lös ojämlikheten:

Beslut:

Parabolgrenar y = 2x+2-x 2 är riktade nedåt, därför begränsas den uppifrån av värdet den når vid sin spets:

Parabolgrenar y = x 2 -2x+2, som finns i indikatorn, är riktade uppåt, vilket innebär att den begränsas underifrån av värdet som den når överst:

Samtidigt visar sig funktionen vara avgränsad underifrån y = 3 x 2 -2x+2 på höger sida av ekvationen. Den når sitt minsta värde vid samma punkt som parabeln i indexet, och detta värde är lika med 3 1 = 3. Så den ursprungliga olikheten kan bara vara sann om funktionen till vänster och funktionen till höger tar värde , lika med 3 (skärningspunkten mellan intervallen för dessa funktioner är endast detta nummer). Detta villkor är uppfyllt vid en enda punkt x = 1.

Svar: x= 1.

Att lära sig att lösa exponentiella ekvationer och ojämlikheter, du måste hela tiden träna på deras lösning. I denna svåra fråga, div undervisningshjälpmedel, problemböcker i elementär matematik, samlingar av tävlingsproblem, matematiklektioner i skolan, samt individuella sessioner med en professionell handledare. Jag önskar dig verkligen framgång i dina förberedelser och lysande resultat på tentamen.

Sergey Valerievich

P.S. Kära gäster! Vänligen skriv inte förfrågningar om att lösa dina ekvationer i kommentarerna. Tyvärr har jag inte tid med detta alls. Sådana meddelanden kommer att raderas. Läs artikeln. Kanske hittar du svar på frågor i den som inte tillät dig att lösa din uppgift på egen hand.

Exponentiell funktion

Funktion av formen y = a x , där a är större än noll och a inte är lika med ett kallas en exponentialfunktion. Exponentialfunktionens huvudsakliga egenskaper:

1. Exponentialfunktionens domän kommer att vara mängden reella tal.

2. Exponentialfunktionens intervall kommer att vara mängden av alla positiva reella tal. Ibland betecknas denna uppsättning som R+ för korthetens skull.

3. Om basen a i en exponentiell funktion är större än ett, kommer funktionen att öka över hela definitionsdomänen. Om exponentialfunktionen för basen a uppfyller följande villkor 0

4. Alla grundläggande egenskaper för examina kommer att vara giltiga. De huvudsakliga egenskaperna hos grader representeras av följande likheter:

a x *a y = a (x+y) ;

(a x )/(a y ) = a (x-y) ;

(a*b) x = (a x )*(a y );

(a/b) x = a x /b x ;

(a x ) y = a (x*y) .

Dessa likheter kommer att vara giltiga för alla reella värden av x och y.

5. Grafen för exponentialfunktionen går alltid genom punkten med koordinater (0;1)

6. Beroende på om exponentialfunktionen ökar eller minskar, kommer dess graf att ha en av två typer.

Följande figur visar en graf över en ökande exponentialfunktion: a>0.

Följande figur är en graf över en minskande exponentialfunktion: 0

Både grafen för den ökande exponentialfunktionen och grafen för den minskande exponentialfunktionen, enligt egenskapen som beskrivs i femte stycket, passerar genom punkten (0; 1).

7. En exponentialfunktion har inte extrema punkter, det vill säga att den inte har minimum- och maximumpunkter för funktionen. Om vi ​​betraktar funktionen på ett visst segment, kommer funktionen att ta minimi- och maximivärdena i slutet av detta intervall.

8. Funktionen är inte jämn eller udda. En exponentialfunktion är en funktion allmän syn. Detta kan också ses av graferna, ingen av dem är symmetrisk vare sig om Oy-axeln eller om origo.

Logaritm

Logaritmer har alltid ansetts vara ett svårt ämne i skolans matematikkurs. Det finns många olika definitioner av logaritmen, men av någon anledning använder de flesta läroböcker den mest komplexa och olyckliga av dem.

Vi kommer att definiera logaritmen enkelt och tydligt. Låt oss skapa en tabell för detta:

Så vi har två makter. Om du tar numret från den nedersta raden kan du enkelt hitta kraften till vilken du måste höja en tvåa för att få detta nummer. Till exempel, för att få 16, måste du höja två till den fjärde potensen. Och för att få 64 måste du höja två till sjätte potensen. Detta kan ses från tabellen.

Och nu - faktiskt definitionen av logaritmen:

Definition

Logaritm basera a från argument x är den makt till vilken siffran måste höjas a för att få numret x.

Beteckning

log a x = b
där a är basen, x är argumentet, b Exakt vad är logaritmen.

Till exempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (bas 2-logaritmen av 8 är tre eftersom 2 3 = 8). Kan lika gärna logga 2 64 = 6, eftersom 2 6 = 64.

Operationen att hitta logaritmen för ett tal till en given bas kallaslogaritm . Så låt oss lägga till en ny rad i vår tabell:

Tyvärr övervägs inte alla logaritmer så lätt. Försök till exempel att hitta log 2 5. Siffran 5 finns inte i tabellen, men logiken säger att logaritmen kommer att ligga någonstans på segmentet. Eftersom 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Sådana tal kallas irrationella: talen efter decimalkomma kan skrivas i det oändliga, och de upprepas aldrig. Om logaritmen visar sig vara irrationell är det bättre att lämna det så här: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det är viktigt att förstå att logaritmen är ett uttryck med två variabler (bas och argument). Till en början förvirrar många människor var basen finns och var argumentet finns. Att undvika olyckliga missförstånd ta bara en titt på bilden:

Före oss ligger inget annat än definitionen av logaritmen. Kom ihåg: logaritmen är en potens , som du måste höja basen till för att få argumentet. Det är basen som höjs till en makt – på bilden är den rödmarkerad. Det visar sig att basen alltid är i botten! Jag berättar denna underbara regel för mina elever redan vid första lektionen - och det är ingen förvirring.

Vi kom på definitionen - det återstår att lära sig hur man räknar logaritmer, d.v.s. bli av med "logg"-tecknet. Till att börja med noterar vi det Två saker följer av definitionen. viktiga fakta:

Argumentet och basen måste alltid vara större än noll. Detta följer av definitionen av examen rationell indikator, till vilken definitionen av logaritmen reduceras.

Basen måste skilja sig från enhet, eftersom en enhet till vilken makt som helst fortfarande är en enhet. På grund av detta är frågan "till vilken makt måste man höjas för att få två" meningslös. Det finns ingen sådan examen!

Sådana restriktioner kallad giltigt intervall(ODZ). Det visar sig att ODZ för logaritmen ser ut så här: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Lägg märke till att ingen begränsning på antalet b (logaritmvärde) överlappar inte. Till exempel kan logaritmen mycket väl vara negativ: log 2 0,5 = −1, eftersom 0,5 = 2 −1 .

Men nu överväger vi bara numeriska uttryck, där det inte är nödvändigt att känna till ODZ för logaritmen. Alla begränsningar har redan tagits i beaktande av kompilatorerna av problemen. Men när logaritmiska ekvationer och ojämlikheter kommer in i bilden kommer DHS-kraven att bli obligatoriska. I grunden och argumentet kan det faktiskt finnas mycket starka konstruktioner, som inte nödvändigtvis motsvarar ovanstående begränsningar.

Nu betrakta det allmänna schema för beräkning av logaritmer. Den består av tre steg:

Skicka in Foundation a och argument x som en kraft med minsta möjliga bas större än en. Längs vägen är det bättre att bli av med decimalbråk;

Bestäm dig för en variabel b ekvation: x = a b ;

Mottaget nummer b blir svaret.

Det är allt! Om logaritmen visar sig vara irrationell kommer detta att synas redan vid första steget. Kravet på att basen ska vara större än ett är mycket relevant: detta minskar sannolikheten för fel och förenklar beräkningarna avsevärt. På samma sätt med decimalbråk: om du omedelbart konverterar dem till vanliga, blir det många gånger färre fel.

Låt oss se hur detta schema fungerar konkreta exempel:

Beräkna logaritmen: log 5 25

Låt oss representera basen och argumentet som en fempotens: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Låt oss göra och lösa ekvationen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Fick svar: 2.

Beräkna logaritmen:

Låt oss representera basen och argumentet som en potens av tre: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

Låt oss göra och lösa ekvationen:

Fick svaret: -4.

−4

Beräkna logaritmen: log 4 64

Låt oss representera basen och argumentet som en potens av två: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Låt oss göra och lösa ekvationen:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Fick svar: 3.

Beräkna logaritmen: log 16 1

Låt oss representera basen och argumentet som en potens av två: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Låt oss göra och lösa ekvationen:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Fick ett svar: 0.

Beräkna logaritmen: log 7 14

Låt oss representera basen och argumentet som sjupotens: 7 = 7 1 ; 14 representeras inte som en sjupotens, eftersom 7 1< 14 < 7 2 ;

Det följer av föregående stycke att logaritmen inte beaktas;

Svaret är ingen förändring: log 7 14.

log 7 14

En liten notering om det sista exemplet. Hur säkerställer man att ett tal inte är en exakt potens av ett annat tal? Väldigt enkelt - bara sönderdela det i primära faktorer. Om det finns minst två distinkta faktorer i expansionen är siffran inte en exakt potens.

Ta reda på om talets exakta potenser är: 8; 48; 81; 35; fjorton.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - den exakta graden, eftersom det finns bara en multiplikator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 är inte en exakt potens eftersom det finns två faktorer: 3 och 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - exakt grad;
35 = 7 5 - återigen inte en exakt grad;
14 \u003d 7 2 - återigen inte en exakt grad;

8, 81 - exakt grad; 48, 35, 14 - nr.

Observera också att själva primtalen alltid är exakta potenser för sig själva.

Decimallogaritm

Vissa logaritmer är så vanliga att de har ett speciellt namn och beteckning.

Definition

Decimallogaritm från argument x är logaritmen till bas 10, dvs. styrkan till vilken du behöver höja siffran 10 för att få numret x.

Beteckning

lg x

Till exempel log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Från och med nu, när en fras som "Hitta lg 0.01" dyker upp i läroboken, vet att detta inte är ett stavfel. Detta är decimallogaritmen. Men om du inte är van vid en sådan beteckning kan du alltid skriva om den:
log x = log 10 x

Allt som är sant för vanliga logaritmer är också sant för decimaler.

naturlig logaritm

Det finns en annan logaritm som har sin egen notation. På sätt och vis är det ännu viktigare än decimal. Det handlar om om den naturliga logaritmen.

Definition

naturlig logaritm från argument x är baslogaritmen e , dvs. den makt till vilken siffran måste höjas e för att få numret x.

Beteckning

ln x

Många kommer att fråga: vad är siffran e? Detta är ett irrationellt tal exakt värde omöjligt att hitta och registrera. Här är bara de första siffrorna:
e = 2,718281828459...

Vi kommer inte att fördjupa oss i vad detta nummer är och varför det behövs. Kom bara ihåg att e - bas naturlig logaritm:
ln x = log e x

Således ln e = 1; log e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. Å andra sidan är ln 2 ett irrationellt tal. I allmänhet är den naturliga logaritmen för alla rationella tal irrationell. Förutom, naturligtvis, enhet: ln 1 = 0.

För naturliga logaritmer är alla regler som är sanna för vanliga logaritmer giltiga.

Grundläggande egenskaper hos logaritmer

Logaritmer, som alla tal, kan läggas till, subtraheras och konverteras på alla möjliga sätt. Men eftersom logaritmer inte är helt vanliga tal finns det regler här, som kallas för grundläggande egenskaper.

Dessa regler måste vara kända - inga allvarliga logaritmiska problem kan lösas utan dem. Dessutom är det väldigt få av dem – allt går att lära sig på en dag. Så låt oss börja.

Addition och subtraktion av logaritmer

Betrakta två logaritmer med samma bas: log a x och logga ett y . Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

logga yxa +logg ett y = logg a ( x · y );

logga yxa −logg ett y = logg a ( x : y ).

Så, summan av logaritmerna är lika med produktens logaritm, och skillnaden är logaritmen för kvoten. Notera: nyckelmoment här är samma grunder. Om grunderna är olika fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper dig att beräkna det logaritmiska uttrycket även när dess enskilda delar inte beaktas (se lektionen " "). Ta en titt på exemplen - och se:

Hitta värdet på uttrycket: log 6 4 + log 6 9.

Eftersom logaritmernas baser är desamma använder vi summaformeln:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Hitta värdet på uttrycket: log 2 48 − log 2 3.

Baserna är desamma, vi använder skillnadsformeln:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Hitta värdet på uttrycket: log 3 135 − log 3 5.

Återigen, baserna är desamma, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se är de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "dåliga" logaritmer, som inte betraktas separat. Men efter omvandlingar visar sig ganska normala siffror. Baserat på detta faktum, många testpapper. Ja, den kontrollen - liknande uttryck på fullt allvar (ibland - med praktiskt taget inga förändringar) erbjuds på tentan.

Ta bort exponenten från logaritmen

Låt oss nu komplicera uppgiften lite. Vad händer om det finns en grad i basen eller argumentet för logaritmen? Sedan exponenten för denna grad kan tas ur logaritmens tecken in följande regler:

Det är lätt att se det sista regeln följer de två första. Men det är bättre att komma ihåg det ändå - i vissa fall kommer det att minska mängden beräkningar avsevärt.

Självklart alla dessa regler är vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ≠ 1, x > 0 du kan ange siffrorna före logaritmens tecken i själva logaritmen. Detta är vad som oftast krävs.

Hitta värdet på uttrycket: log 7 49 6 .

Låt oss bli av med graden i argumentet enligt den första formeln:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Hitta värdet på uttrycket:

Observera att nämnaren är en logaritm vars bas och argument är exakta potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Vi har:

Jag tror att det sista exemplet behöver förtydligas. Var har logaritmerna tagit vägen? Hela vägen sista stunden vi arbetar bara med nämnaren. De presenterade basen och argumentet för logaritmen som stod där i form av grader och tog ut indikatorerna - de fick en "tre våningar" bråkdel.

Låt oss nu titta på huvudfraktionen. Täljaren och nämnaren har samma nummer: log 2 7. Eftersom log 2 7 ≠ 0 kan vi reducera bråket - 2/4 blir kvar i nämnaren. Enligt aritmetikens regler kan de fyra överföras till täljaren, vilket gjordes. Resultatet är svaret: 2.

Övergång till ny stiftelse

På tal om reglerna för att addera och subtrahera logaritmer, betonade jag specifikt att de bara fungerar med samma baser. Vad händer om grunderna är olika? Vad händer om de inte är exakta potenser av samma nummer?

Formler för övergång till en ny bas kommer till undsättning. Vi formulerar dem i form av ett teorem:

Sats

Låt logaritmen logga yxa . Sedan för vilket nummer som helst c så att c > 0 och c ≠ 1, likheten är sann:

I synnerhet om vi sätter c = x, vi får:

Det följer av den andra formeln att det är möjligt att växla basen och argumentet för logaritmen, men i det här fallet "vänds hela uttrycket om", dvs. logaritmen är i nämnaren.

Dessa formler finns sällan i vanliga numeriska uttryck. Det är möjligt att utvärdera hur bekväma de är endast när man löser logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som inte alls kan lösas förutom genom att flytta till en ny stiftelse. Låt oss överväga ett par av dessa:

Hitta värdet på uttrycket: log 5 16 log 2 25.

Observera att argumenten för båda logaritmerna är exakta exponenter. Låt oss ta ut indikatorerna: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Låt oss nu vända den andra logaritmen:

Eftersom produkten inte ändras från permutation av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och två och räknade sedan ut logaritmerna.

Hitta värdet på uttrycket: log 9 100 lg 3.

Basen och argumentet för den första logaritmen är exakta potenser. Låt oss skriva ner det och bli av med indikatorerna:

Låt oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta i processen för att lösa det krävs att representera ett tal som en logaritm till en given bas. I det här fallet kommer formlerna att hjälpa oss:

I det första fallet, numret n blir argumentets exponent. siffra n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara är värdet på logaritmen.

Den andra formeln är faktiskt en omskriven definition. Det heter så här:grundläggande logaritmisk identitet.

Ja, vad händer om talet b höjs till en sådan grad att talet b i denna grad ger talet a? Det stämmer: det här är samma nummer a. Läs det här stycket noggrant igen - många "hänger" på det.

Liksom de nya basomvandlingsformlerna är den grundläggande logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

Uppgift

Hitta värdet på uttrycket:

Beslut

Observera att log 25 64 = log 5 8 - tog precis ut kvadraten från basen och logaritmens argument. Med tanke på reglerna för att multiplicera potenser med samma bas, vi får:

200

Om någon inte vet så var det här en riktig uppgift från provet :)

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Avslutningsvis kommer jag att ge två identiteter som är svåra att kalla egenskaper – snarare är dessa konsekvenser från definitionen av logaritmen. De återfinns ständigt i problem och skapar överraskande problem även för "avancerade" elever.

log a a = 1 är logaritmisk enhet. Kom ihåg en gång för alla: logaritmen till valfri bas a från just denna stiftelse lika med ett.

log a 1 = 0 är logaritmisk noll. Bas a kan vara vad som helst, men om argumentet är ett - logaritmen är noll! därför att en 0 = 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Se till att träna på att omsätta dem i praktiken!

Hitta värdet på uttrycket för olika rationella värden för variabeln x=2; 0; -3; -

Observera, oavsett vilket tal vi ersätter istället för variabeln x, kan du alltid hitta värdet på detta uttryck. Så vi överväger en exponentialfunktion (y är lika med tre till potensen x), definierad på uppsättningen rationella tal: .

Låt oss bygga en graf över denna funktion genom att göra en tabell över dess värden.

Låt oss rita en jämn linje som går genom dessa punkter (Fig. 1)

Använd grafen för denna funktion och överväg dess egenskaper:

3. Ökar över hela definitionsområdet.

1. sträcker sig från noll till plus oändlighet.

8. Funktionen är konvex nedåt.

Om i ett koordinatsystem för att bygga grafer av funktioner; y=(y är lika med två till potensen x, y är lika med fem till potensen x, y är sju till potensen x), du kan se att de har samma egenskaper som y=(y är lika med tre till x-potentialen) ( Fig. .2), det vill säga alla funktioner av formen y = (y är lika med a till potensen av x, med en större än en) kommer att ha sådana egenskaper

Låt oss plotta funktionen:

1. Sammanställa en tabell över dess värden.

Vi markerar de erhållna punkterna på koordinatplanet.

Låt oss rita en jämn linje som går genom dessa punkter (Fig. 3).

Med hjälp av grafen för denna funktion anger vi dess egenskaper:

1. Definitionsdomänen är mängden av alla reella tal.

2. Är varken jämnt eller udda.

3. Minskar över hela definitionsdomänen.

4. Har varken de största eller de minsta värdena.

5. Begränsad underifrån, men inte begränsad från ovan.

6. Kontinuerlig över hela definitionsdomänen.

7. värdeintervall från noll till plus oändlighet.

8. Funktionen är konvex nedåt.

På samma sätt, om i ett koordinatsystem för att bygga grafer av funktioner; y=(y är lika med en sekund till x-potentialen, y är lika med en femtedel av x-potentialen, y är lika med en sjundedel till x-potentialen), du kan se att de har samma egenskaper som y=(y är lika med en tredjedel till potens av x). x) (Fig. 4), det vill säga alla funktioner av formen y \u003d (y är lika med en dividerad med a till potensen av x, med en större än noll men mindre än en) kommer att har sådana egenskaper

Låt oss konstruera grafer för funktioner i ett koordinatsystem

detta betyder att graferna för funktionerna y \u003d y \u003d (y är lika med a i potensen av x och y är lika med ett dividerat med a i potensen av x) också kommer att vara symmetriska för samma värde av en .

Vi sammanfattar vad som har sagts genom att ge en definition av en exponentiell funktion och ange dess huvudsakliga egenskaper:

Definition: En funktion av formen y \u003d, där (y är lika med a till potensen av x, där a är positiv och skiljer sig från ett), kallas en exponentialfunktion.

Det är nödvändigt att komma ihåg skillnaderna mellan exponentialfunktionen y= och potensfunktionen y=, a=2,3,4,…. både auditivt och visuellt. Exponentialfunktionen Xär en examen, och kraftfunktion Xär grunden.

Exempel 1: Lös ekvationen (tre i potensen av x är lika med nio)

(y är lika med tre i potensen av x och y är lika med nio) fig.7

Observera att de har en gemensam punkt M (2; 9) (em med koordinater två; nio), vilket betyder att punktens abskiss kommer att vara roten till denna ekvation. Det vill säga, ekvationen har en enda rot x = 2.

Exempel 2: Lös ekvationen

I ett koordinatsystem kommer vi att konstruera två grafer för funktionen y \u003d (y är lika med fem i potensen av x och y är lika med en tjugofemtedel) Fig.8. Graferna skär varandra i en punkt T (-2; (te med koordinater minus två; en tjugofemtedel). Därför är roten till ekvationen x \u003d -2 (tal minus två).

Exempel 3: Lös ojämlikheten

I ett koordinatsystem konstruerar vi två grafer för funktionen y \u003d

(y är lika med tre i potensen av x och y är lika med tjugosju).

Fig.9 Grafen för funktionen är placerad ovanför grafen för funktionen y=när

x Därför är lösningen på ojämlikheten intervallet (från minus oändlighet till tre)

Exempel 4: Lös ojämlikheten

I ett koordinatsystem kommer vi att konstruera två grafer för funktionen y \u003d (y är lika med en fjärdedel i potensen av x och y är lika med sexton). (Fig. 10). Grafer skär varandra i en punkt K (-2;16). Det betyder att lösningen på olikheten är intervallet (-2; (från minus två till plus oändlighet), eftersom grafen för funktionen y \u003d ligger under grafen för funktionen vid x

Vårt resonemang tillåter oss att verifiera giltigheten av följande satser:

Term 1: Om är sant om och endast om m=n.

Sats 2: Om är sant om och bara om, då är olikheten sann om och bara om (Fig. *)

Sats 4: Om är sant om och endast om (Fig.**), olikheten är sann om och endast om Sats 3: Om är sant om och endast om m=n.

Exempel 5: Rita funktionen y=

Vi modifierar funktionen genom att tillämpa egenskapen degree y=

Låt oss bygga ytterligare system koordinater och i det nya koordinatsystemet kommer vi att konstruera en graf av funktionen y \u003d (y är lika med två i potensen av x) Fig.11.

Exempel 6: Lös ekvationen

I ett koordinatsystem konstruerar vi två grafer för funktionen y \u003d

(Y är lika med sju i potensen av x och Y är lika med åtta minus x) Fig.12.

Grafer skär varandra i en punkt E (1; (e med koordinater ett; sju). Därför är roten av ekvationen x = 1 (x lika med ett).

Exempel 7: Lös ojämlikheten

I ett koordinatsystem konstruerar vi två grafer för funktionen y \u003d

(Y är lika med en fjärdedel i potensen av x och Y är lika med x plus fem). Grafen för funktionen y \u003d ligger under grafen för funktionen y \u003d x + 5 at, lösningen på olikheten är intervallet x (från minus ett till plus oändlighet).