Formler för att reducera logaritmer. Naturlig logaritm, ln x-funktion

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra och början av analys: En lärobok för årskurserna 10-11 av allmänna utbildningsinstitutioner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor).

Logaritm av b (b > 0) till bas a (a > 0, a ≠ 1)är exponenten till vilken du måste höja talet a för att få b.

Basen 10 logaritmen för b kan skrivas som log(b), och logaritmen till basen e (naturlig logaritm) - ln(b).

Används ofta när man löser problem med logaritmer:

Egenskaper för logaritmer

Det finns fyra huvudsakliga egenskaper hos logaritmer.

Låt a > 0, a ≠ 1, x > 0 och y > 0.

Egenskap 1. Logaritm för produkten

Logaritm för produktenär lika med summan av logaritmer:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Egenskap 2. Logaritm för kvoten

Logaritm av kvotenär lika med skillnaden mellan logaritmer:

log a (x / y) = log a x – log a y

Egenskap 3. Gradens logaritm

Gradlogaritmär lika med produkten av graden och logaritmen:

Om basen för logaritmen finns i exponenten, gäller en annan formel:

Egenskap 4. Logaritm för roten

Denna egenskap kan erhållas från egenskapen för gradens logaritm, eftersom roten av den n:e graden är lika med potensen 1/n:

Formeln för att gå från en logaritm i en bas till en logaritm i en annan bas

Denna formel används också ofta när man löser olika uppgifter för logaritmer:

Specialfall:

Jämförelse av logaritmer (olikheter)

Anta att vi har 2 funktioner f(x) och g(x) under logaritmer med samma baser och att det finns ett olikhetstecken mellan dem:

För att jämföra dem måste du först titta på basen av logaritmerna a:

• Om a > 0, då f(x) > g(x) > 0
• Om 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Hur man löser problem med logaritmer: exempel

Uppgifter med logaritmer ingår i ANVÄNDNING i matematik för årskurs 11 i uppgift 5 och uppgift 7 kan du hitta uppgifter med lösningar på vår hemsida i lämpliga avsnitt. Även uppgifter med logaritmer finns i uppgiftsbanken i matematik. Du hittar alla exempel genom att söka på sajten.

Vad är en logaritm

Logaritmer har alltid ansetts vara ett svårt ämne i skolans matematikkurs. Det finns många olika definitioner av logaritmen, men av någon anledning använder de flesta läroböcker den mest komplexa och olyckliga av dem.

Vi kommer att definiera logaritmen enkelt och tydligt. Låt oss skapa en tabell för detta:

Så vi har två makter.

Logaritmer - egenskaper, formler, hur man löser

Om du tar numret från den nedersta raden kan du enkelt hitta kraften till vilken du måste höja en tvåa för att få detta nummer. Till exempel, för att få 16, måste du höja två till den fjärde potensen. Och för att få 64 måste du höja två till sjätte potensen. Detta kan ses från tabellen.

Och nu - faktiskt definitionen av logaritmen:

basen a av argumentet x är den potens till vilken talet a måste höjas för att få talet x.

Notation: log a x \u003d b, där a är basen, x är argumentet, b är faktiskt vad logaritmen är lika med.

Till exempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (bas 2-logaritmen av 8 är tre eftersom 2 3 = 8). Kan lika gärna logga 2 64 = 6, eftersom 2 6 = 64.

Operationen att hitta logaritmen för ett tal till en given bas kallas. Så låt oss lägga till en ny rad i vår tabell:

Tyvärr övervägs inte alla logaritmer så lätt. Försök till exempel att hitta log 2 5. Siffran 5 finns inte i tabellen, men logiken säger att logaritmen kommer att ligga någonstans på segmentet. Eftersom 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Sådana tal kallas irrationella: talen efter decimalkomma kan skrivas i det oändliga, och de upprepas aldrig. Om logaritmen visar sig vara irrationell är det bättre att lämna det så här: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det är viktigt att förstå att logaritmen är ett uttryck med två variabler (bas och argument). Till en början förvirrar många människor var basen finns och var argumentet finns. För att undvika irriterande missförstånd, ta bara en titt på bilden:

Före oss ligger inget annat än definitionen av logaritmen. Kom ihåg: logaritmen är potensen, som du måste höja basen till för att få argumentet. Det är basen som höjs till en makt – på bilden är den rödmarkerad. Det visar sig att basen alltid är i botten! Jag berättar denna underbara regel för mina elever redan vid första lektionen - och det är ingen förvirring.

Hur man räknar logaritmer

Vi kom på definitionen - det återstår att lära sig hur man räknar logaritmer, d.v.s. bli av med "logg"-tecknet. Till att börja med noterar vi att två viktiga fakta följer av definitionen:

1. Argumentet och basen måste alltid vara större än noll. Detta följer av definitionen av graden av en rationell exponent, till vilken definitionen av logaritmen reduceras.
2. Basen måste skilja sig från enhet, eftersom en enhet till vilken makt som helst fortfarande är en enhet. På grund av detta är frågan "till vilken makt måste man höjas för att få två" meningslös. Det finns ingen sådan examen!

Sådana begränsningar kallas giltigt intervall(ODZ). Det visar sig att ODZ för logaritmen ser ut så här: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Observera att det inte finns några begränsningar för att talet b (värdet på logaritmen) inte är pålagt. Till exempel kan logaritmen mycket väl vara negativ: log 2 0,5 = −1, eftersom 0,5 = 2 −1 .

Men nu överväger vi bara numeriska uttryck, där det inte är nödvändigt att känna till ODZ för logaritmen. Alla begränsningar har redan tagits i beaktande av kompilatorerna av problemen. Men när logaritmiska ekvationer och ojämlikheter kommer in i bilden kommer DHS-kraven att bli obligatoriska. I grunden och argumentet kan det faktiskt finnas mycket starka konstruktioner som inte nödvändigtvis motsvarar ovanstående begränsningar.

Tänk nu på det allmänna schemat för beräkning av logaritmer. Den består av tre steg:

1. Uttryck basen a och argumentet x som en potens med minsta möjliga bas större än ett. Längs vägen är det bättre att bli av med decimalbråk;
2. Lös ekvationen för variabeln b: x = a b ;
3. Det resulterande talet b kommer att vara svaret.

Det är allt! Om logaritmen visar sig vara irrationell kommer detta att synas redan vid första steget. Kravet på att basen ska vara större än ett är mycket relevant: detta minskar sannolikheten för fel och förenklar beräkningarna avsevärt. På samma sätt med decimalbråk: om du omedelbart konverterar dem till vanliga, blir det många gånger färre fel.

Låt oss se hur detta schema fungerar med specifika exempel:

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 5 25

1. Låt oss representera basen och argumentet som en fempotens: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Låt oss göra och lösa ekvationen:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Fick svar: 2.

Uppgift. Beräkna logaritmen:

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 4 64

1. Låt oss representera basen och argumentet som en potens av två: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Låt oss göra och lösa ekvationen:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Fick svar: 3.

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 16 1

1. Låt oss representera basen och argumentet som en potens av två: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Låt oss göra och lösa ekvationen:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Fick ett svar: 0.

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 7 14

1. Låt oss representera basen och argumentet som sjupotens: 7 = 7 1 ; 14 representeras inte som en sjupotens, eftersom 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Det följer av föregående stycke att logaritmen inte beaktas;
3. Svaret är ingen förändring: log 7 14.

En liten notering om det sista exemplet. Hur säkerställer man att ett tal inte är en exakt potens av ett annat tal? Väldigt enkelt - bara sönderdela det i primära faktorer. Om det finns minst två olika faktorer i expansionen är siffran inte en exakt potens.

Uppgift. Ta reda på om talets exakta potenser är: 8; 48; 81; 35; fjorton.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - den exakta graden, eftersom det finns bara en multiplikator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 är inte en exakt potens eftersom det finns två faktorer: 3 och 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - exakt grad;
35 = 7 5 - återigen inte en exakt grad;
14 \u003d 7 2 - återigen inte en exakt grad;

Observera också att själva primtalen alltid är exakta potenser för sig själva.

Decimallogaritm

Vissa logaritmer är så vanliga att de har ett speciellt namn och beteckning.

av x-argumentet är basen 10-logaritmen, dvs. den effekt till vilken 10 måste höjas för att få x. Beteckning: lgx.

Till exempel log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Från och med nu, när du ser en fras som "Hitta lg 0.01" i en lärobok, vet att detta inte är ett stavfel. Detta är decimallogaritmen. Men om den här notationen är ovanlig för dig kan du alltid skriva om den:
log x = log 10 x

Allt som är sant för vanliga logaritmer är också sant för decimaler.

naturlig logaritm

Det finns en annan logaritm som har sin egen notation. På sätt och vis är det ännu viktigare än decimal. Detta är den naturliga logaritmen.

av x-argumentet är logaritmen till basen e, dvs. den potens till vilken talet e måste höjas för att få talet x. Beteckning: lnx.

Många kommer att fråga: vad är siffran e? Detta är ett irrationellt tal, dess exakta värde kan inte hittas och skrivas ner. Här är bara de första siffrorna:
e = 2,718281828459...

Vi kommer inte att fördjupa oss i vad detta nummer är och varför det behövs. Kom bara ihåg att e är basen för den naturliga logaritmen:
ln x = log e x

Således ln e = 1; log e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. Å andra sidan är ln 2 ett irrationellt tal. I allmänhet är den naturliga logaritmen för alla rationella tal irrationell. Förutom, naturligtvis, enhet: ln 1 = 0.

För naturliga logaritmer är alla regler som är sanna för vanliga logaritmer giltiga.

Se även:

Logaritm. Egenskaper för logaritmen (logaritmens potens).

Hur representerar man ett tal som en logaritm?

Vi använder definitionen av en logaritm.

Logaritmen är ett mått på den potens som basen måste höjas till för att få talet under logaritmens tecken.

Således, för att representera ett visst tal c som en logaritm till basen a, är det nödvändigt att sätta en grad under logaritmens tecken med samma bas som basen för logaritmen, och skriva detta tal c i exponenten :

I form av en logaritm kan du representera absolut vilket tal som helst - positivt, negativt, heltal, bråktal, rationellt, irrationellt:

För att inte blanda ihop a och c under stressiga förhållanden under ett test eller examen, kan du använda följande regel för att komma ihåg:

det som är under går ner, det som är ovan går upp.

Till exempel vill du representera talet 2 som en logaritm till bas 3.

Vi har två tal - 2 och 3. Dessa tal är basen och exponenten, som vi kommer att skriva under logaritmens tecken. Det återstår att bestämma vilka av dessa siffror som ska skrivas ner, i basen av graden, och vilka - upp, i exponenten.

Basen 3 i logaritmen ligger längst ner, vilket betyder att när vi representerar tvåan som en logaritm till basen av 3, kommer vi också att skriva ner 3 till basen.

2 är högre än 3. Och i gradens notation skriver vi de två ovanför de tre, det vill säga i exponenten:

Logaritmer. Första nivån.

Logaritmer

logaritm Positivt nummer b av skäl a, var a > 0, a ≠ 1, är exponenten till vilken talet måste höjas. a, För att uppnå b.

Definition av logaritm kan kort skrivas så här:

Denna jämlikhet gäller för b > 0, a > 0, a ≠ 1. Han brukar kallas logaritmisk identitet.
Åtgärden att hitta logaritmen för ett tal kallas logaritm.

Egenskaper för logaritmer:

Produktens logaritm:

Logaritm för kvoten från division:

Ersätter basen av logaritmen:

Gradlogaritm:

rotlogaritm:

Logaritm med potensbas:

Decimala och naturliga logaritmer.

Decimallogaritm siffror kallar basen 10-logaritmen för det numret och skriver   lg b
naturlig logaritm siffror anropar logaritmen för detta tal till basen e, var eär ett irrationellt tal, ungefär lika med 2,7. Samtidigt skriver de ln b.

Andra anteckningar om algebra och geometri

Grundläggande egenskaper hos logaritmer

Grundläggande egenskaper hos logaritmer

Logaritmer, som alla tal, kan läggas till, subtraheras och konverteras på alla möjliga sätt. Men eftersom logaritmer inte är helt vanliga tal finns det regler här som kallas grundläggande egenskaper.

Dessa regler måste vara kända - inga allvarliga logaritmiska problem kan lösas utan dem. Dessutom är det väldigt få av dem – allt går att lära sig på en dag. Så låt oss börja.

Addition och subtraktion av logaritmer

Betrakta två logaritmer med samma bas: logga a x och logga a y. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Så summan av logaritmerna är lika med produktens logaritm, och skillnaden är logaritmen för kvoten. Observera: nyckelpunkten här är - samma grunder. Om grunderna är olika fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper till att beräkna det logaritmiska uttrycket även när dess enskilda delar inte beaktas (se lektionen "Vad är en logaritm"). Ta en titt på exemplen och se:

log 6 4 + log 6 9.

Eftersom logaritmernas baser är desamma använder vi summaformeln:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 2 48 − log 2 3.

Baserna är desamma, vi använder skillnadsformeln:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 3 135 − log 3 5.

Återigen, baserna är desamma, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se är de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "dåliga" logaritmer, som inte betraktas separat. Men efter omvandlingar visar sig ganska normala siffror. Många tester är baserade på detta faktum. Ja, kontroll - liknande uttryck på fullt allvar (ibland - med praktiskt taget inga förändringar) erbjuds vid tentamen.

Ta bort exponenten från logaritmen

Låt oss nu komplicera uppgiften lite. Vad händer om det finns en grad i basen eller argumentet för logaritmen? Sedan kan exponenten för denna grad tas ur logaritmens tecken enligt följande regler:

Det är lätt att se att den sista regeln följer deras två första. Men det är bättre att komma ihåg det ändå - i vissa fall kommer det att minska mängden beräkningar avsevärt.

Naturligtvis är alla dessa regler vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Och en sak till: lär dig att tillämpa alla formler inte bara från vänster till höger, utan också vice versa, d.v.s. du kan ange siffrorna före logaritmens tecken i själva logaritmen.

Hur man löser logaritmer

Detta är vad som oftast krävs.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 7 49 6 .

Låt oss bli av med graden i argumentet enligt den första formeln:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att nämnaren är en logaritm vars bas och argument är exakta potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Vi har:

Jag tror att det sista exemplet behöver förtydligas. Var har logaritmerna tagit vägen? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren. De presenterade basen och argumentet för logaritmen som stod där i form av grader och tog ut indikatorerna - de fick en "tre våningar" bråkdel.

Låt oss nu titta på huvudfraktionen. Täljaren och nämnaren har samma nummer: log 2 7. Eftersom log 2 7 ≠ 0 kan vi reducera bråket - 2/4 blir kvar i nämnaren. Enligt aritmetikens regler kan de fyra överföras till täljaren, vilket gjordes. Resultatet är svaret: 2.

Övergång till ny stiftelse

På tal om reglerna för att addera och subtrahera logaritmer, betonade jag specifikt att de bara fungerar med samma baser. Vad händer om grunderna är olika? Vad händer om de inte är exakta potenser av samma nummer?

Formler för övergång till en ny bas kommer till undsättning. Vi formulerar dem i form av ett teorem:

Låt logaritmen log a x ges. Sedan för vilket tal c som helst så att c > 0 och c ≠ 1, är likheten sann:

I synnerhet, om vi sätter c = x, får vi:

Det följer av den andra formeln att det är möjligt att växla basen och argumentet för logaritmen, men i det här fallet "vänds hela uttrycket om", dvs. logaritmen är i nämnaren.

Dessa formler finns sällan i vanliga numeriska uttryck. Det är möjligt att utvärdera hur bekväma de är endast när man löser logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som inte alls kan lösas förutom genom att flytta till en ny stiftelse. Låt oss överväga ett par av dessa:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 5 16 log 2 25.

Observera att argumenten för båda logaritmerna är exakta exponenter. Låt oss ta ut indikatorerna: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Låt oss nu vända den andra logaritmen:

Eftersom produkten inte ändras från permutation av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och två och räknade sedan ut logaritmerna.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 9 100 lg 3.

Basen och argumentet för den första logaritmen är exakta potenser. Låt oss skriva ner det och bli av med indikatorerna:

Låt oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta i processen för att lösa det krävs att representera ett tal som en logaritm till en given bas.

I det här fallet kommer formlerna att hjälpa oss:

I det första fallet blir talet n exponenten i argumentet. Talet n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara är värdet på logaritmen.

Den andra formeln är faktiskt en omskriven definition. Det heter så här:

Ja, vad händer om talet b höjs till en sådan grad att talet b i denna grad ger talet a? Det stämmer: det här är samma nummer a. Läs det här stycket noggrant igen - många människor "hänger" på det.

Liksom de nya basomvandlingsformlerna är den grundläggande logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att log 25 64 = log 5 8 - tog bara ut kvadraten från basen och logaritmens argument. Med tanke på reglerna för att multiplicera potenser med samma bas får vi:

Om någon inte är insatt var detta en riktig uppgift från Unified State Examination 🙂

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Avslutningsvis kommer jag att ge två identiteter som är svåra att kalla egenskaper – snarare är dessa konsekvenser från definitionen av logaritmen. De återfinns ständigt i problem och skapar överraskande problem även för "avancerade" elever.

1. log a a = 1 är. Kom ihåg en gång för alla: logaritmen till valfri bas a från själva basen är lika med ett.
2. log a 1 = 0 är. Basen a kan vara vad som helst, men om argumentet är ett är logaritmen noll! Eftersom en 0 = 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Se till att träna på att omsätta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i början av lektionen, skriv ut det och lös problemen.

härledd från dess definition. Och så logaritmen för talet b av skäl a definieras som exponenten till vilken ett tal måste höjas a för att få numret b(logaritmen finns bara för positiva tal).

Av denna formulering följer att beräkningen x=log a b, motsvarar att lösa ekvationen ax=b. Till exempel, log 2 8 = 3 därför att 8 = 2 3 . Formuleringen av logaritmen gör det möjligt att motivera att if b=a c, sedan logaritmen för talet b av skäl a lika med. Det är också tydligt att ämnet för logaritmen är nära relaterat till ämnet om ett tals potens.

Med logaritmer, som med alla siffror, kan du utföra operationer av addition, subtraktion och förvandla på alla möjliga sätt. Men med tanke på att logaritmer inte är helt vanliga tal, gäller här deras egna speciella regler, som kallas grundläggande egenskaper.

Addition och subtraktion av logaritmer.

Ta två logaritmer med samma bas: log x och logga ett y. Ta sedan bort det är möjligt att utföra additions- och subtraktionsoperationer:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

logga a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + logga a x k.

Från kvotlogaritmsatser ytterligare en egenskap hos logaritmen kan erhållas. Det är välkänt att loggen a 1= 0, därför,

logga a 1 /b= logg a 1 - logg a b= -logg a b.

Så det finns en jämställdhet:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmer av två inbördes ömsesidiga tal på samma grund kommer att skilja sig från varandra endast i tecken. Så:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.