Teoretična mehanika predavanja 2 predmet. Osnovna mehanika za lutke

Kot del vsakega učnega načrta se študij fizike začne z mehaniko. Ne iz teoretične, ne iz uporabne in ne računske, ampak iz dobre stare klasične mehanike. Ta mehanika se imenuje tudi Newtonova mehanika. Po legendi se je znanstvenik sprehajal po vrtu, videl padec jabolka in prav ta pojav ga je spodbudil, da je odkril zakon gravitacija. Seveda je zakon vedno obstajal in Newton mu je dal le obliko, razumljivo ljudem, vendar je njegova zasluga neprecenljiva. V tem članku ne bomo čim bolj podrobno opisovali zakonov Newtonove mehanike, ampak bomo orisali osnove, osnovna znanja, definicije in formule, ki vam lahko vedno igrajo na roko.

Mehanika je veja fizike, veda, ki preučuje gibanje materialnih teles in interakcije med njimi.

Sama beseda ima grškega izvora in se prevaja kot "umetnost gradnje strojev". Toda pred gradnjo strojev nas čaka še dolga pot, zato pojdimo po stopinjah naših prednikov in preučevali bomo gibanje kamnov, vrženih pod kotom proti obzorju, in jabolk, ki padajo na glave z višine h.

Zakaj se študij fizike začne z mehaniko? Ker je povsem naravno, ne da bi ga začeli iz termodinamičnega ravnovesja?!

Mehanika je ena najstarejših ved, zgodovinsko pa se je študij fizike začel prav pri temeljih mehanike. Postavljeni v okvir časa in prostora, ljudje pravzaprav ne bi mogli začeti iz nečesa drugega, ne glede na to, kako so si želeli. Gibajoča se telesa so prva stvar, na katero smo pozorni.

Kaj je gibanje?

Mehansko gibanje je sprememba položaja teles v prostoru drug glede na drugega skozi čas.

Po tej definiciji povsem naravno pridemo do koncepta referenčnega okvira. Spreminjanje položaja teles v prostoru glede na drugo. Ključne besede tukaj: drug glede na drugega . Konec koncev se potnik v avtomobilu giblje glede na osebo, ki stoji ob cesti, z določeno hitrostjo in počiva glede na soseda na bližnjem sedežu in se premika z neko drugo hitrostjo glede na potnika v avtomobilu, ki jih prehiteva.

Zato potrebujemo, da bi normalno izmerili parametre premikajočih se predmetov in se ne zmedli referenčni sistem - togo medsebojno povezano referenčno telo, koordinatni sistem in ura. Zemlja se na primer giblje okoli sonca v heliocentričnem referenčnem okviru. V vsakdanjem življenju skoraj vse meritve izvajamo v geocentričnem referenčnem sistemu, ki je povezan z Zemljo. Zemlja je referenčno telo, glede na katerega se premikajo avtomobili, letala, ljudje, živali.

Mehanika ima kot znanost svojo nalogo. Naloga mehanike je, da v vsakem trenutku pozna položaj telesa v prostoru. Z drugimi besedami, mehanika gradi matematični opis gibanja in najde povezave med njimi fizične količine ki ga karakterizira.

Za napredek potrebujemo pojem » materialna točka ". Pravijo, da je fizika eksaktna znanost, a fiziki vedo, koliko približkov in predpostavk je treba narediti, da bi se strinjali prav o tej natančnosti. Nihče še ni videl materialne točke ali vohal idealnega plina, vendar obstajajo! Le z njimi je veliko lažje živeti.

Materialna točka je telo, katerega velikost in obliko lahko v kontekstu tega problema zanemarimo.

Odseki klasične mehanike

Mehanika je sestavljena iz več delov

Kinematika
Dinamika
Statika

Kinematika s fizičnega vidika natančno preučuje, kako se telo giblje. Z drugimi besedami, ta razdelek obravnava kvantitativne značilnosti gibanja. Najdi hitrost, pot - tipične naloge kinematike

Dinamika rešuje vprašanje, zakaj se premika tako, kot se. To pomeni, da upošteva sile, ki delujejo na telo.

Statika preučuje ravnotežje teles pod delovanjem sil, torej odgovarja na vprašanje: zakaj sploh ne pade?

Meje uporabnosti klasične mehanike.

Klasična mehanika ne trdi več, da je znanost, ki razlaga vse (na začetku prejšnjega stoletja je bilo vse povsem drugače) in ima jasen obseg uporabnosti. Na splošno veljajo zakoni klasične mehanike za svet, ki ga poznamo po velikosti (makrosvet). Nehajo delovati v primeru sveta delcev, ko se klasični zamenja s kvantna mehanika. Tudi klasična mehanika ni uporabna za primere, ko se gibanje teles odvija s hitrostjo, ki je blizu svetlobni. V takih primerih postanejo izraziti relativistični učinki. Grobo rečeno, v okviru kvantne in relativistične mehanike – klasične mehanike, ta poseben primer ko so dimenzije telesa velike in hitrost majhna. Več o tem lahko izveste iz našega članka.

Na splošno kvantni in relativistični učinki nikoli ne izginejo, pojavljajo pa se tudi pri običajnem gibanju makroskopskih teles s hitrostjo, ki je veliko nižja od svetlobne. Druga stvar je, da je delovanje teh učinkov tako majhno, da ne presega največ natančne meritve. Klasična mehanika tako nikoli ne bo izgubila svojega temeljnega pomena.

V prihodnjih člankih bomo nadaljevali s preučevanjem fizikalnih osnov mehanike. Za boljše razumevanje mehanike se lahko vedno obrnete na, ki posamezno osvetlijo temna pega najtežja naloga.

1 diapozitiv

Tečaj predavanj teoretična mehanika Dinamika (I del) Bondarenko A.N. Moskva - 2007 Elektronski tečaj usposabljanja je bil napisan na podlagi avtorjevih predavanj za študente, ki študirajo na specialnostih SZhD, PGS in SDM na NIIZhT in MIIT (1974-2006). Izobraževalno gradivo ustreza koledarskim načrtom v obsegu treh semestrov. Za popolno implementacijo animacijskih učinkov med predstavitvijo morate uporabiti pregledovalnik Power Point, ki ni nižji od vgrajenega sistema Microsoft Office operacijski sistem Windows-XP Professional. Pripombe in predloge lahko pošljete po e-pošti: [email protected]. Moskva Državna univerzaŽeleznice (MIIT) Oddelek za teoretično mehaniko Znanstveno-tehnični center za prometne tehnologije

2 diapozitiv

Vsebina Predavanje 1. Uvod v dinamiko. Zakoni in aksiomi dinamike materialnih točk. Osnovna enačba dinamike. Diferencialne in naravne enačbe gibanja. Dve glavni nalogi dinamike. Primeri reševanja neposrednega problema dinamike Predavanje 2. Reševanje inverznega problema dinamike. Splošna navodila za reševanje inverznega problema dinamike. Primeri reševanja inverznega problema dinamike. Gibanje telesa, vrženega pod kotom proti obzorju, brez upoštevanja zračnega upora. Predavanje 3. Premočrtna nihanja materialne točke. Pogoj za nastanek nihanj. Razvrstitev vibracij. Proste vibracije brez upoštevanja upornih sil. dušene vibracije. Zmanjšanje nihanja. Predavanje 4. Prisilna nihanja materialne točke. Resonanca. Vpliv upora proti gibanju pri prisilnih vibracijah. Predavanje 5. Relativno gibanje materialne točke. Sile vztrajnosti. Posebni primeri gibanja za različne vrste prenosnih premikov. Vpliv vrtenja Zemlje na ravnovesje in gibanje teles. Predavanje 6. Dinamika mehanskega sistema. mehanski sistem. Zunanji in notranje sile. Masno središče sistema. Izrek o gibanju središča mase. Ohranjevalni zakoni. Primer reševanja problema uporabe izreka o gibanju središča mase. Predavanje 7. Impulz sile. Količina gibanja. Izrek o spremembi zagona. Ohranjevalni zakoni. Eulerjev izrek. Primer reševanja problema uporabe izreka o spremembi gibalne količine. moment zagona. Izrek o spreminjanju kotne količine Predavanje 8. Ohranjevalni zakoni. Elementi teorije vztrajnostnih momentov. Kinetični moment togega telesa. Diferencialna enačba vrtenja togega telesa. Primer reševanja problema uporabe izreka o spreminjanju kotnega momenta sistema. Osnovna teorija žiroskopa. Priporočena literatura 1. Yablonsky A.A. Tečaj teoretične mehanike. 2. del. M.: podiplomska šola. 1977. 368 str. 2. Meshchersky I.V. Zbirka problemov iz teoretične mehanike. M.: Znanost. 1986 416 str. 3. Zbirka nalog za seminarske naloge/ Ed. A.A. Yablonski. M.: Višja šola. 1985. 366 str. 4. Bondarenko A.N. “ Teoretična mehanika v primerih in nalogah. Dynamics" (elektronski priročnik www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 diapozitiv

Predavanje 1 Dinamika je del teoretične mehanike, ki preučuje mehansko gibanje z najbolj splošnega vidika. Gibanje se obravnava v povezavi s silami, ki delujejo na predmet. Sekcija je sestavljena iz treh sklopov: Dinamika materialne točke Dinamika mehanskega sistema Analitična mehanika ■ Dinamika točke - preučuje gibanje materialne točke ob upoštevanju sil, ki to gibanje povzročajo. Glavni predmet je materialna točka - materialno telo z maso, katere dimenzije lahko zanemarimo. Osnovne predpostavke: - obstaja absolutni prostor (ima čisto geometrijske lastnosti, ki niso odvisne od snovi in njenega gibanja. - obstaja absolutni čas (ni odvisen od materije in njenega gibanja). Iz tega sledi: - obstaja absolutno nepremičen referenčni okvir - čas ni odvisen od gibanja referenčnega okvira - mase gibljivih točk niso odvisne od gibanja referenčnega okvira. Te predpostavke se uporabljajo v klasični mehaniki, ki sta jo ustvarila Galileo in Newton Še vedno ima dokaj širok obseg, saj mehanski sistemi, ki jih obravnavajo uporabne znanosti, nimajo tako velikih mas in hitrosti gibanja, za kar je treba upoštevati njihov vpliv na geometrijo prostora, časa, gibanja, kot npr. se izvaja v relativistični mehaniki (teoriji relativnosti) ■ Osnovni zakoni dinamike - prvi odkril Galileo in oblikoval Newton, so osnova za vse metode za opis in analizo gibanja mehanskih sistemov in njihove dinamične interakcije. delovanje pod vplivom različnih sil. ■ Zakon vztrajnosti (Galileo-Newtonov zakon) - Izolirana materialna točka telesa ohranja stanje mirovanja ali enakomernega pravokotnega gibanja, dokler ga uporabljene sile ne prisilijo, da to stanje spremeni. To pomeni enakovrednost stanja mirovanja in gibanja po vztrajnosti (Galilejev zakon relativnosti). Referenčni okvir, v zvezi s katerim je izpolnjen zakon vztrajnosti, se imenuje inercialni. Lastnost materialne točke, da si prizadeva ohraniti hitrost svojega gibanja (svoje kinematično stanje) nespremenjeno, se imenuje vztrajnost. ■ Zakon sorazmernosti sile in pospeška (Osnovna enačba dinamike - Newtonov II zakon) - Pospešek, ki se materialni točki prenese s silo, je neposredno sorazmeren s silo in obratno sorazmeren z maso te točke: ali Tukaj je m masa točke (merila vztrajnosti), merjena v kg, številčno enaka teži, deljeni s pospeškom prosti pad: F je delujoča sila, merjena v N (1 N daje točki z maso 1 kg pospešek 1 m / s2, 1 N \u003d 1 / 9,81 kg-s). ■ Dinamika mehanskega sistema - preučuje gibanje niza materialnih točk in trdnih teles, združenih s splošnimi zakoni interakcije, ob upoštevanju sil, ki to gibanje povzročajo. ■ Analitična mehanika - preučuje gibanje neprostih mehanskih sistemov z uporabo splošnih analitskih metod. eno

4 diapozitiv

Predavanje 1 (nadaljevanje - 1.2) Diferencialne enačbe gibanja materialne točke: - diferencialna enačba gibanja točke v vektorski obliki. - diferencialne enačbe gibanja točke v koordinatni obrazec. Ta rezultat je mogoče dobiti s formalno projekcijo vektorske diferencialne enačbe (1). Po združevanju se vektorska relacija razstavi v tri skalarne enačbe: V koordinatni obliki: Uporabimo razmerje polmera-vektorja s koordinatami in vektorja sile s projekcijami: diferencialna enačba gibanja na naravnih (premičnih) koordinatnih osi: ali: - naravne enačbe gibanja točke. ■ Osnovna enačba dinamike: - ustreza vektorskemu načinu podajanja gibanja točke. ■ Zakon neodvisnosti delovanja sil - Pospešek materialne točke pod delovanjem več sil je enak geometrijski vsoti pospeškov točke od delovanja vsake od sil posebej: ali Velja zakon. za katero koli kinematsko stanje teles. Sile interakcije, ki delujejo na različne točke (telesa), niso uravnotežene. ■ Zakon enakosti delovanja in reakcije (Newtonov III zakon) - Vsakemu dejanju ustreza enaka in nasprotno usmerjena reakcija: 2

5 diapozitiv

Dva glavna problema dinamike: 1. Neposredni problem: Gibanje je podano (enačbe gibanja, trajektorija). Potrebno je določiti sile, pod katerimi se določeno gibanje pojavi. 2. Inverzni problem: Podane so sile, pod vplivom katerih pride do gibanja. Potrebno je najti parametre gibanja (enačbe gibanja, trajektorijo gibanja). Oba problema sta rešena z uporabo osnovne enačbe dinamike in njene projekcije na koordinatne osi. Če upoštevamo gibanje neproste točke, se tako kot v statiki uporablja načelo sprostitve iz vezi. Kot rezultat reakcije so vezi vključene v sestavo sil, ki delujejo na materialno točko. Rešitev prvega problema je povezana z diferenciacijskimi operacijami. Rešitev inverznega problema zahteva integracijo ustreznih diferencialnih enačb, kar je veliko težje kot diferenciacija. Inverzni problem je težji od neposrednega problema. Rešitev neposrednega problema dinamike - poglejmo primere: Primer 1. Kabino s težo G dvigala dvigne kabel s pospeškom a . Določite napetost kabla. 1. Izberite predmet (kabina dvigala se premika naprej in se lahko obravnava kot materialna točka). 2. Priključek (kabel) zavržemo in ga nadomestimo z reakcijo R. 3. Sestavimo osnovno enačbo dinamike: Določimo reakcijo kabla: Določimo napetost kabla: Z enakomernim gibanjem kabine ay = 0 in napetost kabla je enaka teži: T = G. Ko se kabel pretrga T = 0 in je pospešek kabine enak pospešku prostega pada: ay = -g. 3 4. Osnovno enačbo dinamike projiciramo na os y: y Primer 2. Točka mase m se giblje vzdolž vodoravne površine (ravnina Oxy) po enačbah: x = a coskt, y = b coskt. Določite silo, ki deluje na točko. 1. Izberite predmet (materialno točko). 2. Povezavo (ravnino) zavržemo in jo nadomestimo z reakcijo N. 3. Sistemu sil dodamo neznano silo F. 4. Sestavimo osnovno enačbo dinamike: 5. Osnovno enačbo dinamike projiciramo na osi x, y: Določite projekcije sile: Modul sile: Smerni kosinusi: Tako je velikost sile sorazmerna z razdaljo točke do središča koordinat in je usmerjena proti središču vzdolž premice, ki povezuje točko s središčem. Pot gibanja točke je elipsa s središčem v izhodišču: O r Predavanje 1 (nadaljevanje - 1.3)

6 diapozitiv

1. predavanje (nadaljevanje 1.4) Primer 3: Tovor z utežjo G je obešen na vrvi dolžine l in se premika po krožni poti v vodoravni ravnini z določeno hitrostjo. Kot odstopanja kabla od navpičnice je enak. Določite napetost kabla in hitrost bremena. 1. Izberite predmet (tovor). 2. Zavrzite povezavo (vrv) in jo zamenjajte z reakcijo R. 3. Sestavite glavno enačbo dinamike: Iz tretje enačbe določite reakcijo kabla: Določite napetost kabla: Nadomestite vrednost reakcije kabla, normalni pospešek v drugo enačbo in določimo hitrost obremenitve: 4. Projiciraj glavno enačbo osno dinamiko,n,b: Primer 4: Avtomobil teže G se giblje po konveksnem mostu (polmer ukrivljenosti je R ) s hitrostjo V. Določi pritisk avtomobila na most. 1. Izberemo predmet (avto, dimenzije zanemarimo in ga obravnavamo kot točko). 2. Povezavo (hrapava površina) zavržemo in jo nadomestimo z reakcijama N in torno silo Ffr. 3. Sestavimo osnovno enačbo dinamike: 4. Osnovno enačbo dinamike projiciramo na os n: Od tu določimo normalno reakcijo: Določimo tlak avtomobila na mostu: Od tu lahko določimo hitrost ustreza ničelnemu tlaku na mostu (Q = 0): 4

7 diapozitiv

Predavanje 2 Po zamenjavi najdenih vrednosti konstant dobimo: Tako lahko materialna točka pod delovanjem istega sistema sil izvede cel razred premikov, določenih z začetnimi pogoji. Začetne koordinate upoštevajo začetni položaj točke. Začetna hitrost, podana s projekcijami, upošteva vpliv na njeno gibanje vzdolž obravnavanega odseka poti sil, ki so delovale na točko pred prihodom na ta odsek, t.j. začetno kinematično stanje. Rešitev inverznega problema dinamike - V splošnem primeru gibanja točke so sile, ki delujejo na točko, spremenljivke, ki so odvisne od časa, koordinat in hitrosti. Gibanje točke je opisano s sistemom treh diferencialnih enačb drugega reda: Po integraciji vsake od njih bo šest konstant C1, C2,…., C6: vrednosti konstant C1, C2,… ., C6 najdemo iz šestih začetnih pogojev pri t = 0: Primer 1 rešitve inverznega problema: Prosta materialna točka mase m se premika pod delovanjem sile F, ki je konstantna po velikosti in velikosti. . V začetnem trenutku je bila hitrost točke v0 in je sovpadala v smeri s silo. Določite enačbo gibanja točke. 1. Sestavimo osnovno enačbo dinamike: 3. Znižamo vrstni red izpeljanke: 2. Izberemo kartezinski referenčni sistem, ki usmerimo os x vzdolž smeri sile in na to os projiciramo glavno enačbo dinamike: ali x y z 4. Loči spremenljivke: 5. Izračunaj integrale iz obeh delov enačbe : 6. Predstavimo projekcijo hitrosti kot časovno izpeljanko koordinate: 8. Izračunaj integrale obeh delov enačbe: 7. Ločimo spremenljivke: 9. Za določitev vrednosti konstant C1 in C2 uporabimo začetne pogoje t = 0, vx = v0 , x = x0: Kot rezultat dobimo enačbo enakomerno gibanje(os x): 5

8 diapozitiv

Splošna navodila za reševanje neposrednih in inverznih nalog. Postopek rešitve: 1. Sestavljanje diferencialne enačbe gibanja: 1.1. Izberite koordinatni sistem - pravokoten (fiksen) z neznano potjo gibanja, naravni (gibljiv) z znano potjo, na primer krog ali ravna črta. V slednjem primeru se lahko uporabi ena premočrtna koordinata. Referenčno točko je treba kombinirati z začetnim položajem točke (pri t = 0) ali z ravnotežnim položajem točke, če obstaja, na primer, ko točka niha. 6 1.2. Nariši točko na položaju, ki ustreza poljubnemu trenutku v času (za t > 0), tako da so koordinate pozitivne (s > 0, x > 0). Predvidevamo tudi, da je tudi projekcija hitrosti v tem položaju pozitivna. V primeru nihanja projekcija hitrosti spremeni predznak, na primer ob vrnitvi v ravnotežni položaj. Pri tem je treba domnevati, da se v obravnavanem trenutku točka odmakne od ravnotežnega položaja. Izvajanje tega priporočila je pomembno v prihodnosti pri delu z upornimi silami, ki so odvisne od hitrosti. 1.3. Osvobodite materialno točko vezi, njihovo delovanje nadomestite z reakcijami, dodajte aktivne sile. 1.4. Zapišite osnovni zakon dinamike v vektorski obliki, projicirate na izbrane osi, izrazite dane ali reaktivne sile s časovnimi, koordinatnimi ali hitrostnimi spremenljivkami, če so od njih odvisne. 2. Rešitev diferencialnih enačb: 2.1. Zmanjšajte izvod, če enačba ni reducirana na kanonično (standardno) obliko. na primer: ali 2.2. Ločene spremenljivke, na primer: ali 2.4. Izračunaj nedoločene integrale na levi in desni strani enačbe, na primer: 2.3. Če so v enačbi tri spremenljivke, spremenite spremenljivke, na primer: in nato ločite spremenljivke. Komentar. Namesto vrednotenja nedoločenih integralov lahko ovrednotimo določene integrale s spremenljivo zgornjo mejo. Spodnje meje predstavljajo začetne vrednosti spremenljivk (začetne pogoje). Potem ni treba posebej iskati konstante, ki je samodejno vključena v rešitev, na primer: z uporabo začetnih pogojev, na primer t = 0 , vx = vx0, določimo konstanto integracije: 2.5. Hitrost izrazite na primer s časovno izpeljavo koordinate in ponovite korake 2.2 -2.4 Opomba. Če se enačba zmanjša na kanonično obliko, ki ima standardna rešitev, to je rešitev na ključ in se uporablja. Konstante integracije še vedno najdemo iz začetnih pogojev. Glej na primer nihanja (predavanje 4, str. 8). 2. predavanje (nadaljevanje 2.2)

9 diapozitiv

2. predavanje (nadaljevanje 2.3) 2. primer reševanja inverznega problema: Sila je odvisna od časa. Tovor z utežjo P se začne premikati po gladki vodoravni površini pod delovanjem sile F, katere velikost je sorazmerna s časom (F = kt). Določite razdaljo, ki jo je tovor prevozil v času t. 3. Sestavite osnovno enačbo dinamike: 5. Zmanjšajte vrstni red izpeljanke: 4. Osnovno enačbo dinamike projicirate na os x: ali 7 6. Ločite spremenljivke: 7. Izračunajte integrale obeh delov enačba: 9. Predstavite projekcijo hitrosti kot izvod koordinate glede na čas: 10. Izračunajte integrale obeh delov enačbe: 9. Ločite spremenljivke: 8. Določite vrednost konstante C1 iz začetni pogoj t = 0, vx = v0=0: Kot rezultat dobimo enačbo gibanja (vzdolž osi x), ki poda vrednost prevožene razdalje za čas t: 1. Izberemo referenčni sistem (kartezijanski koordinate), tako da ima telo pozitivno koordinato: 2. Predmet gibanja vzamemo kot materialno točko (telo se premika naprej), ga sprostimo iz povezave (referenčne ravnine) in nadomestimo z reakcijo (normalna reakcija gladka površina) : 11. Določi vrednost konstante C2 iz začetnega pogoja t = 0, x = x0=0: 3. primer reševanja inverzne naloge: Sila je odvisna od koordinate. Materialna točka mase m se vrže z zemeljskega površja navzgor s hitrostjo v0. Sila težnosti Zemlje je obratno sorazmerna s kvadratom razdalje od točke do težišča (središče Zemlje). Določi odvisnost hitrosti od razdalje y do središča Zemlje. 1. Referenčni sistem (kartezijanske koordinate) izberemo tako, da ima telo pozitivno koordinato: 2. Sestavimo osnovno enačbo dinamike: 3. Osnovno enačbo dinamike projiciramo na os y: ali Koeficient sorazmernosti lahko najdemo s pomočjo teže točke na zemeljskem površju: R Zato je diferencial enačbe videti tako: ali 4. Znižaj vrstni red odvoda: 5. Spremeni spremenljivko: 6. Loči spremenljivke: 7. Izračunaj integralov obeh strani enačbe: 8. Zamenjaj meje: Kot rezultat dobimo izraz za hitrost kot funkcijo koordinate y: Največjo višino leta lahko najdemo tako, da hitrost enačimo z nič: Največja višina leta ko se imenovalec obrne na nič: Od tu se pri nastavitvi polmera Zemlje in pospeška prostega pada dobi II kozmična hitrost:

10 diapozitiv

2. predavanje (nadaljevanje 2.4) 2. primer reševanja inverzne naloge: Sila je odvisna od hitrosti. Ladja mase m je imela hitrost v0. Odpor vode proti gibanju ladje je sorazmeren s hitrostjo. Določite čas, ki je potreben, da se hitrost ladje po izklopu motorja zmanjša za polovico, ter razdaljo, ki jo je ladja prepotovala do popolne ustavitve. 8 1. Izberemo referenčni sistem (kartezijeve koordinate), tako da ima telo pozitivno koordinato: 2. Predmet gibanja vzamemo kot materialno točko (ladja se premika naprej), ga osvobodimo vezi (vode) in zamenjamo. z reakcijo (vzgonska sila - Arhimedova sila), pa tudi silo upora proti gibanju. 3. Dodajte aktivno silo (gravitacijo). 4. Sestavimo glavno enačbo dinamike: 5. Glavno enačbo dinamike projiciramo na os x: ali 6. Spustimo vrstni red izpeljanke: 7. Ločimo spremenljivke: 8. Izračunamo integrale iz obeh deli enačbe: 9. Zamenjamo meje: Dobimo izraz, ki povezuje hitrost in čas t, iz katerega lahko določimo čas gibanja: Čas gibanja, med katerim bo hitrost padla za polovico: Je zanimivo je, da ko se hitrost približa nič, čas gibanja teži k neskončnosti, tj. končna hitrost ne more biti nič. Zakaj ne "perpetual motion"? Vendar je v tem primeru prevožena razdalja do postajališča končna vrednost. Za določitev prevožene razdalje se obrnemo na izraz, ki ga dobimo po znižanju vrstnega reda odvoda, in spremenimo spremenljivko: Po integraciji in zamenjavi mej dobimo: Prevožena razdalja do postanka: ■ Gibanje točke, vržene na kota proti obzorju v enotnem gravitacijskem polju brez upoštevanja zračnega upora. Če izločimo čas iz enačb gibanja, dobimo enačbo trajektorije: Čas letenja se določi tako, da se koordinata y enači z ničlo: Domet leta se določi z zamenjavo čas letenja:

11 diapozitiv

Predavanje 3 Premočrtno nihanje materialne točke - Nihanje materialne točke se pojavi pod pogojem, da obstaja obnovitvena sila, ki teži k vrnitvi točke v ravnotežni položaj za kakršno koli odstopanje od tega položaja. 9 Obstaja obnovitvena sila, ravnotežni položaj je stabilen Ni obnovitvene sile, ravnotežni položaj je nestabilen Ni obnovitvene sile, ravnotežni položaj je indiferenten Vedno je usmerjen proti ravnotežnemu položaju, vrednost je premosorazmerna z linearnim raztezkom (skrajšanjem) vzmeti, enaka odstopanju telesa od ravnotežnega položaja: c je koeficient togosti vzmeti, številčno enaka po moči, pod vplivom katerega vzmet spremeni svojo dolžino za eno, se v sistemu SI meri v N / m. x y O Vrste nihanja materialne točke: 1. Prosta nihanja (brez upoštevanja upora medija). 2. Prosta nihanja ob upoštevanju upora medija (dušena nihanja). 3. Prisilne vibracije. 4. Prisilna nihanja ob upoštevanju upora medija. ■ Prosta nihanja - nastanejo pod delovanjem le obnovitvene sile. Zapišimo osnovni zakon dinamike: Izberimo koordinatni sistem s središčem na ravnotežni položaj (točka O) in projiciramo enačbo na os x: Dobljeno enačbo privedemo v standardno (kanonično) obliko: Ta enačba je homogena linearna diferencialna enačba drugega reda, katere obliko rešitve določajo korenine karakteristične enačbe, pridobljene z univerzalno substitucijo: Korenine karakteristične enačbe so namišljene in enake: Skupna odločitev diferencialna enačba ima obliko: Hitrost točke: Začetni pogoji: Definirajmo konstante: Torej, enačba prostih vibracij ima obliko: Enačbo lahko predstavimo z izrazom z enim členom: kjer je a amplituda, je začetna faza. Novi konstanti a in - sta povezani s konstantama C1 in C2 z relacijama: Definirajmo a in: Razlog za nastanek prostih nihanj je začetni premik x0 in/ali začetna hitrost v0.

12 diapozitiv

10 Predavanje 3 (nadaljevanje 3.2) Dušeno nihanje materialne točke - Nihanje materialne točke se pojavi ob prisotnosti obnovitvene sile in sile upora proti gibanju. Odvisnost sile upora proti gibanju od premika ali hitrosti je določena s fizično naravo medija ali povezave, ki ovira gibanje. Najenostavnejša odvisnost je linearna odvisnost od hitrosti (viskozni upor): - koeficient viskoznosti x y O Osnovna enačba dinamike: Projekcija enačbe dinamike na os: standardni obrazec: kjer ima karakteristična enačba korenine: Splošna rešitev te diferencialne enačbe ima drugačno obliko, odvisno od vrednosti korenin: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - primer visoke viskozne odpornosti: - prave korenine, razl. ali - te funkcije so aperiodične: 3. n = k: - koreni so realni, večkratni. te funkcije so tudi aperiodične:

13 diapozitiv

Predavanje 3 (nadaljevanje 3.3) Klasifikacija rešitev prostih nihanj. Vzmetne povezave. enakovredno trdoto. y y 11 Razl. Znak enačbe. Enačba Roots char. enačba Reševanje diferencialne enačbe Graf nk n=k

14 diapozitiv

Predavanje 4 Prisilne vibracije materialne točke - Skupaj z obnovitveno silo deluje periodično spreminjajoča se sila, imenovana moteča sila. Motilna sila ima lahko drugačno naravo. Na primer, v določenem primeru inercialni učinek neuravnotežene mase m1 vrtečega se rotorja povzroči harmonično spreminjajoče se projekcije sile: Glavna enačba dinamike: Projekcija enačbe dinamike na os: Enačbo približamo standardu oblika: 12 Rešitev te nehomogene diferencialne enačbe je sestavljena iz dveh delov x = x1 + x2: x1 je splošna rešitev ustrezne homogene enačbe in x2 je posebna rešitev nehomogene enačbe: Izberemo določeno rešitev v obliki desna stran: Dobljena enakost mora biti izpolnjena za kateri koli t . Nato: ali Tako s hkratnim delovanjem obnovitvenih in motečih sil materialna točka izvede kompleksno nihajno gibanje, ki je rezultat seštevanja (superpozicije) prostih (x1) in prisilnih (x2) nihanj. Če je p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием popolna rešitev(!): Torej posebna rešitev: Če je p > k (prisilna nihanja visoke frekvence), je faza nihanja nasprotna fazi moteče sile:

15 diapozitiv

Predavanje 4 (nadaljevanje 4.2) 13 Dinamični koeficient - razmerje med amplitudo prisilnih nihanj in statičnim odklonom točke pod delovanjem konstantne sile H = const: Amplitudo prisilnih nihanj: Statični odklon je mogoče najti iz ravnotežna enačba: Tukaj: Zato: Tako na str< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (visoka frekvenca prisilnih nihanj) dinamični koeficient: Resonanca - nastane, ko frekvenca prisilnih nihanj sovpada s frekvenco lastnih nihanj (p = k). Najpogosteje se to zgodi pri zagonu in ustavitvi vrtenja slabo uravnoteženih rotorjev, nameščenih na elastičnih vzmetenjih. Diferencialna enačba nihanja z enakimi frekvencami: določene rešitve v obliki desne strani ni mogoče vzeti, ker dobimo linearno odvisno rešitev (glej splošno rešitev). Splošna rešitev: Nadomestek v diferencialni enačbi: Vzemimo določeno rešitev v obliki in izračunamo odvodke: Tako dobimo rešitev: ali Prisilna nihanja pri resonanci imajo amplitudo, ki se neomejeno povečuje sorazmerno s časom. Vpliv upora proti gibanju pri prisilnih vibracijah. Diferencialna enačba ob prisotnosti viskoznega upora ima obliko: Splošna rešitev je izbrana iz tabele (predavanje 3, str. 11) glede na razmerje n in k (glej). Vzamemo določeno rešitev v obliki in izračunamo izpeljanke: Nadomestimo v diferencialno enačbo: Izenačimo koeficiente pri istem trigonometrične funkcije dobimo sistem enačb: Če obe enačbi dvignemo na stopnjo in ju seštejemo, dobimo amplitudo prisilnih nihanj: Če drugo enačbo delimo s prvo, dobimo fazni premik prisilnih nihanj: Tako je enačba gibanja za prisilna nihanja, ob upoštevanju upora proti gibanju, na primer pri n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 diapozitiv

Predavanje 5 Relativno gibanje materialne točke - Predpostavimo, da se gibljivi (neinercialni) koordinatni sistem Oxyz giblje po nekem zakonu glede na fiksni (inercialni) koordinatni sistem O1x1y1z1. Gibanje materialne točke M (x, y, z) glede na mobilni sistem Oxyz je relativno, glede na negibni sistem O1x1y1z1 je absolutno. Gibanje mobilnega sistema Oxyz glede na fiksni sistem O1x1y1z1 je prenosno gibanje. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Osnovna enačba dinamike: Absolutni pospešek točke: Absolutni pospešek točke nadomestimo v glavno enačbo dinamike: Prenesimo člene s translacijskim in Coriolisovim pospeškom na desno stran: preneseni členi imajo dimenzijo sil in se štejejo za ustrezne inercialne sile, enake: Potem lahko relativno gibanje točke štejemo za absolutno, če delujočim silam dodamo translacijsko in Coriolisovo vztrajnostno silo: V projekcijah na osi gibljivega koordinatnega sistema, imamo: različne vrste translacijsko gibanje: 1. Vrtenje okoli fiksne osi: Če je vrtenje enakomerno, potem je εe = 0: 2. Translacijsko krivolinijsko gibanje: Če je gibanje premočrtno, potem = : Če je gibanje premočrtno in enakomerno, potem je gibljivi sistem inercialno in relativno gibanje se lahko šteje za absolutno: noben mehanski pojav ne more zaznati premočrtnega enakomerno gibanje(načelo relativnosti klasične mehanike). Vpliv vrtenja Zemlje na ravnotežje teles - Predpostavimo, da je telo v ravnotežju na Zemljinem površju na poljubni širini φ (vzporednice). Zemlja se vrti okoli svoje osi od zahoda proti vzhodu s kotno hitrostjo: polmer Zemlje je približno 6370 km. S R je skupna reakcija negladke površine. G - sila privlačnosti Zemlje v središče. Ф - vztrajnostna centrifugalna sila. Pogoj relativnega ravnotežja: Rezultanta sil privlačnosti in vztrajnosti je sila teže (teža): Velikost sile teže (teža) na površini Zemlje je P = mg. Centrifugalna vztrajnostna sila je majhen del sile gravitacije: Majhen je tudi odklon sile teže od smeri privlačne sile: Tako je vpliv vrtenja Zemlje na ravnovesje teles izjemno majhen. in se pri praktičnih izračunih ne upošteva. Največja vrednost vztrajnostna sila (pri φ = 0 - na ekvatorju) je le 0,00343 velikosti gravitacije

17 diapozitiv

Predavanje 5 (nadaljevanje 5.2) 15 Vpliv vrtenja Zemlje na gibanje teles v Zemljinem gravitacijskem polju - Recimo, da telo pade na Zemljo z določene višine H nad zemeljskim površjem na zemljepisni širini φ . Izberimo gibljiv referenčni okvir, togo povezan z Zemljo, ki usmerja osi x, y tangencialno na vzporednico in na poldnevnik: Relativna enačba gibanja: Tukaj je majhnost centrifugalne sile vztrajnosti v primerjavi s silo gravitacije upoštevati. Tako je sila teže poistovetena s silo gravitacije. Poleg tega domnevamo, da je gravitacija usmerjena pravokotno na zemeljsko površino zaradi majhnosti njenega upogiba, kot je razloženo zgoraj. Coriolisov pospešek je enak in usmerjen vzporedno z osjo y proti zahodu. Coriolisova vztrajnostna sila je usmerjena v nasprotno smer. Enačbo relativnega gibanja projiciramo na os: Rešitev prve enačbe daje: Začetne pogoje: Rešitev tretje enačbe daje: Začetne pogoje: Tretja enačba ima obliko: Začetni pogoji: Njena rešitev daje: Dobljeno rešitev kaže, da se telo ob padcu odmakne proti vzhodu. Izračunajmo vrednost tega odstopanja, na primer pri padcu z višine 100 m. Čas padca najdemo iz rešitve druge enačbe: Tako je vpliv vrtenja Zemlje na gibanje teles izjemno majhen. za praktične višine in hitrosti in se pri tehničnih izračunih ne upošteva. Rešitev druge enačbe pomeni tudi obstoj hitrosti vzdolž osi y, ki bi prav tako morala povzročiti in povzročiti ustrezen pospešek in Coriolisovo vztrajnostno silo. Vpliv te hitrosti in z njo povezane vztrajnostne sile na spremembo gibanja bo celo manjši od obravnavane Coriolisove vztrajnostne sile, povezane z navpično hitrostjo.

18 diapozitiv

Predavanje 6 Dinamika mehanskega sistema. Sistem materialnih točk ali mehanski sistem - Nabor materialnih točk ali tistih materialnih točk, ki jih združujejo splošni zakoni interakcije (položaj ali gibanje vsake od točk ali telesa je odvisno od položaja in gibanja vseh drugih). sistem prostih točk - katerih gibanje ni omejeno z nobenimi povezavami (na primer planetarni sistem, v katerem se planeti štejejo za materialne točke). Sistem neprostih točk ali neprosti mehanski sistem - gibanje materialnih točk ali teles je omejeno z omejitvami, ki so naložene sistemu (na primer mehanizem, stroj itd.). 16 Sile, ki delujejo na sistem. Poleg predhodno obstoječe klasifikacije sil (aktivne in reaktivne sile) se uvaja nova klasifikacija sil: 1. Zunanje sile (e) - delujejo na točke in telesa sistema iz točk ali teles, ki niso del tega sistem. 2. Notranje sile (i) - sile interakcije med materialnimi točkami ali telesi, vključenimi v ta sistem. Ista sila je lahko tako zunanja kot notranja sila. Vse je odvisno od tega, kateri mehanski sistem se upošteva. Na primer: V sistemu Sonca, Zemlje in Lune so vse gravitacijske sile med njimi notranje. Če upoštevamo sistem Zemlje in Lune, so gravitacijske sile, ki delujejo s strani Sonca, zunanje: C Z L Na podlagi zakona delovanja in reakcije vsaka notranja sila Fk ustreza drugi notranji sili Fk', enaki po absolutni vrednosti in nasprotni po smer. Iz tega sledita dve izjemni lastnosti notranjih sil: Glavni vektor vseh notranjih sil sistema nič: Glavni moment vseh notranjih sil sistema glede na katero koli središče je enak nič: Ali v projekcijah na koordinatne osi: Opomba. Čeprav so te enačbe podobne ravnotežnim enačbam, niso, saj se notranje sile uporabljajo na različne točke ali teles sistema in lahko povzroči premikanje teh točk (teles) med seboj. Iz teh enačb izhaja, da notranje sile ne vplivajo na gibanje sistema, ki ga obravnavamo kot celoto. Masno središče sistema materialnih točk. Za opis gibanja sistema kot celote uvajamo geometrijska točka, imenovano središče mase, katerega polmer je določen z izrazom, kjer je M masa celotnega sistema: Ali v projekcijah na koordinatne osi: Formule za središče mase so podobne tistim za središče gravitacije. Vendar pa je pojem središča mase bolj splošen, saj ni povezan z gravitacijskimi silami ali silami gravitacije.

19 diapozitiv

Predavanje 6 (nadaljevanje 6.2) 17 Izrek o gibanju masnega središča sistema - Razmislimo o sistemu n materialnih točk. Sile, ki delujejo na vsako točko, razdelimo na zunanje in notranje ter jih nadomestimo z ustreznima rezultantama Fke in Fki. Za vsako točko zapišimo osnovno enačbo dinamike: ali Te enačbe seštejmo po vseh točkah: Na levi strani enačbe bomo uvedli mase pod predznakom odvoda in vsoto odvodov zamenjali z izpeljanko. od vsote: Iz definicije središča mase: Nadomestimo v dobljeno enačbo: dobimo ali: Zmnožek mase sistema in pospeška njegove mase središča je enak glavnemu vektorju zunanjih sil. Pri projekcijah na koordinatne osi: Masno središče sistema se premika kot materialna točka z maso, ki je enaka masi celotnega sistema, na katero delujejo vse zunanje sile, ki delujejo na sistem. Posledice iz izreka o gibanju masnega središča sistema (zakoni ohranjanja): 1. Če je v časovnem intervalu glavni vektor zunanjih sil sistema nič, Re = 0, potem je hitrost središča mase je konstantna, vC = const (središče mase se giblje enakomerno pravokotno - zakon ohranjanja gibalnega središča mase). 2. Če je v časovnem intervalu projekcija glavnega vektorja zunanjih sil sistema na os x enaka nič, Rxe = 0, potem je hitrost središča mase vzdolž osi x konstantna, vCx = const (središče mase se enakomerno premika vzdolž osi). Podobne trditve veljajo za osi y in z. Primer: Dve osebi z maso m1 in m2 sta v čolnu mase m3. V začetnem trenutku je čoln z ljudmi miroval. Določite premik čolna, če se je oseba z maso m2 premaknila do premca čolna na razdalji a. 3. Če je v časovnem intervalu glavni vektor zunanjih sil sistema enak nič, Re = 0 in je v začetnem trenutku hitrost središča mase nič, vC = 0, potem je vektor polmera središče mase ostane konstantno, rC = const (središče mase miruje je zakon o ohranitvi položaja središča mase). 4. Če je v časovnem intervalu projekcija glavnega vektorja zunanjih sil sistema na os x enaka nič, je Rxe = 0 in je v začetnem trenutku hitrost središča mase vzdolž te osi enaka nič , vCx = 0, potem ostane koordinata središča mase vzdolž osi x konstantna, xC = const (središče mase se ne premika vzdolž te osi). Podobne trditve veljajo za osi y in z. 1. Predmet gibanja (čoln z ljudmi): 2. Odvržemo povezave (voda): 3. Povezavo zamenjamo z reakcijo: 4. Seštejemo aktivne sile: 5. Zapiši izrek o masnem središču: Projektirajte na os x: O Ugotovite, kako daleč morate prenesti do osebe z maso m1, da bo čoln ostal na mestu: Čoln se bo premaknil za razdaljo l v nasprotni smeri.

20 diapozitiv

Predavanje 7 Impulz sile je mera mehanske interakcije, ki označuje prenos mehansko gibanje od sil, ki delujejo na točko v določenem časovnem obdobju: 18 V projekcijah na koordinatne osi: V primeru konstantne sile: V projekcijah na koordinatne osi: Moč rezultante je enak geometrijski vsoti osi impulzi sil, ki delujejo na točko v istem časovnem obdobju: dt: Integrirajmo na danem časovnem intervalu: Zagon točke je mera mehanskega gibanja, določena z vektorjem, ki je enak produktu mase točke in njegov vektor hitrosti: Izrek o spremembi gibalne količine sistema - Razmislite o sistemu n materialnih točk. Sile, ki delujejo na vsako točko, razdelimo na zunanje in notranje ter jih nadomestimo z ustreznima rezultantama Fke in Fki. Za vsako točko napišemo osnovno enačbo dinamike: ali Količina gibanja sistema materialnih točk - geometrijska vsota količine gibanja materialnih točk: Po definiciji masnega središča: Vektor gibalne količine sistema je enak zmnožku mase celotnega sistema z vektorjem hitrosti masnega središča sistema. Nato: V projekcijah na koordinatne osi: Časovni izvod vektorja zagona sistema je enak glavnemu vektorju zunanjih sil sistema. Seštejmo te enačbe po vseh točkah: Na levi strani enačbe uvedemo mase pod predznakom izvoda in nadomestimo vsoto odvodov z izpeljanko vsote: Iz definicije gibalne količine sistema: V projekcijah na koordinatne osi:

21 diapozitiv

Eulerjev izrek - Uporaba izreka o spremembi gibalne količine sistema na gibanje neprekinjenega medija (vode). 1. Za predmet gibanja izberemo prostornino vode, ki se nahaja v krivolinijskem kanalu turbine: 2. Zavržemo povezave in njihovo delovanje nadomestimo z reakcijami (Rpov - rezultanta površinskih sil) 3. Dodajmo aktivne sile (Rb - rezultanta telesnih sil): 4. Zapiši izrek o spremembi gibalne količine sistema: Količino gibanja vode v časih t0 in t1 bomo predstavili kot vsote: Sprememba gibalne količine vode v časovnem intervalu : Sprememba gibalne količine vode v neskončno majhnem časovnem intervalu dt: , kjer F1 F2 Če vzamemo zmnožek gostote, površine preseka in hitrosti na sekundno maso, dobimo: Zamenjava diferenciala gibalne količine sistema v izrek o spremembi , dobimo: Posledice iz izreka o spremembi gibalne količine sistema (zakoni ohranjanja): 1. Če je v časovnem intervalu glavni vektor zunanjih sil sistema enak nič, Re = 0, potem je kvantitetno vektorsko gibanje je konstantno, Q = const je zakon o ohranitvi gibalne količine sistema). 2. Če je v časovnem intervalu projekcija glavnega vektorja zunanjih sil sistema na os x enaka nič, Rxe = 0, potem je projekcija gibalne količine sistema na os x konstantna, Qx = konst. Podobne trditve veljajo za osi y in z. 7. predavanje (nadaljevanje 7.2) Primer: Granata mase M, ki je letela s hitrostjo v, je eksplodirala na dva dela. Hitrost enega od drobcev mase m1 se je v smeri gibanja povečala na vrednost v1. Določite hitrost drugega fragmenta. 1. Predmet gibanja (granata): 2. Predmet je prosti sistem, ni povezav in njihovih reakcij. 3. Dodajte aktivne sile: 4. Zapišite izrek o spremembi zagona: Projektirajte na os: β Razdelite spremenljivke in integrirajte: Desni integral je skoraj nič, ker čas eksplozije t

22 diapozitiv

Predavanje 7 (nadaljevanje 7.3) 20 Kotni moment točke ali kinetični moment gibanja glede na določeno središče je mera mehanskega gibanja, določena z vektorjem, ki je enak vektorskemu produktu vektorja polmera materialne točke in vektor njegove gibalne količine: kinetični moment sistema materialnih točk glede na določeno središče je geometrijski vsota momentov števila gibov vseh materialnih točk glede na isto središče: v projekcijah na os: v projekcijah na os: Izrek o spremembi momenta gibalne količine sistema - Razmislite o sistemu n materialnih točk. Sile, ki delujejo na vsako točko, razdelimo na zunanje in notranje ter jih nadomestimo z ustreznima rezultantama Fke in Fki. Za vsako točko zapišimo osnovno enačbo dinamike: ali Seštejmo te enačbe za vse točke: Vsoto odvodov zamenjamo z izpeljanko vsote: Izraz v oklepaju je moment gibanja sistema. Od tukaj: Vsako od enakosti vektorsko pomnožimo s polmerom-vektorjem na levi: Poglejmo, ali je mogoče predznak odvoda vzeti izven vektorskega produkta: Tako smo dobili: center. V projekcijah na koordinatne osi: Derivat momenta gibanja sistema glede na neko os v času je enak glavnemu momentu zunanjih sil sistema glede na isto os.

23 diapozitiv

Predavanje 8 21 ■ Posledice iz izreka o spremembi gibalne količine sistema (ohranjevalni zakoni): 1. Če je v časovnem intervalu vektor glavnega momenta zunanjih sil sistema glede na določeno središče enak. na nič, MOe = 0, potem je vektor kotne količine sistema glede na isto središče konstanten, KO = const je zakon o ohranitvi gibalne količine sistema). 2. Če je v časovnem intervalu glavni moment zunanjih sil sistema glede na os x enak nič, Mxe = 0, potem je kotni moment sistema glede na os x konstanten, Kx = const. Podobne trditve veljajo za osi y in z. 2. Vztrajnostni moment togega telesa okoli osi: Vztrajnostni moment materialne točke okoli osi je enak zmnožku mase točke in kvadrata razdalje točke do osi. Vztrajnostni moment togega telesa okoli osi je enak vsoti produktov mase vsake točke in kvadrata oddaljenosti te točke od osi. ■ Elementi teorije vztrajnostnih momentov - Pri rotacijskem gibanju togega telesa je mera vztrajnosti (upora proti spremembi gibanja) vztrajnostni moment okoli osi vrtenja. Razmislite o osnovnih konceptih definicije in metodah za izračun vztrajnostnih momentov. 1. Vztrajnostni moment materialne točke okoli osi: Pri prehodu iz diskretne majhne mase v neskončno majhno maso točke je meja takšne vsote določena z integralom: aksialni vztrajnostni moment togega telesa. . Poleg aksialnega vztrajnostnega momenta togega telesa obstajajo še druge vrste vztrajnostnih momentov: centrifugalni vztrajnostni moment togega telesa. polarni vztrajnostni moment togega telesa. 3. Izrek o vztrajnostnih momentih togega telesa glede vzporednih osi - formula za prehod na vzporedne osi: Vztrajnostni moment okoli referenčne osi Statični vztrajnostni momenti glede referenčnih osi Telesna masa Razdalja med osi z1 in z2 Tako : trenutki so nič:

24 diapozitiv

Predavanje 8 (nadaljevanje 8.2) 22 Vztrajnostni moment enotne palice konstantnega prereza okoli osi: x z L Izberite elementarni volumen dV = Adx na razdalji x: x dx Osnovna masa: Izračunajte vztrajnostni moment okoli osrednje osi (prehaja skozi težišče), je dovolj, da spremenite lokacijo osi in nastavite meje integracije (-L/2, L/2). Tukaj prikazujemo formulo za prehod na vzporedne osi: zС 5. Vztrajnostni moment homogenega trdnega valja okoli osi simetrije: H dr r Izpostavimo elementarni volumen dV = 2πrdrH (tanek valj polmera r) : Osnovna masa: Tukaj uporabljamo formulo volumna valja V=πR2H. Za izračun vztrajnostnega momenta votlega (debelega) valja je dovolj, da nastavite integracijske meje od R1 do R2 (R2> R1): 6. Vztrajnostni moment tankega valja glede na os simetrije (t

25 diapozitiv

Predavanje 8 (nadaljevanje 8.3) 23 ■ Diferencialna enačba vrtenja togega telesa okoli osi: Napišimo izrek o spreminjanju kotne količine togega telesa, ki se vrti okoli nepremične osi: Moč vrtenja togega telesa je: Moment zunanjih sil okoli osi vrtenja je enak navoru (reakcije in sila ne ustvarjajo gravitacijskih momentov): V izrek nadomestimo kinetični moment in navor Primer: Dve osebi enake teže G1 = G2 visita na vrženi vrvi nad trdnim blokom z utežjo G3 = G1/4. V nekem trenutku je eden od njiju začel plezati po vrvi z relativno hitrostjo u. Določite hitrost dviga vsake osebe. 1. Izberite predmet gibanja (blok z ljudmi): 2. Zavrzite povezave (podporna naprava bloka): 3. Zamenjajte povezavo z reakcijami (ležaj): 4. Dodajte aktivne sile (teža): 5. Zapišite izrek o spreminjanju kinetičnega momenta sistema glede na os vrtenja bloka: R Ker je moment zunanjih sil enak nič, mora kinetični moment ostati konstanten: V začetnem trenutku časa t = 0 je je bila ravnotežna in Kz0 = 0. Po začetku gibanja ene osebe glede na vrv se je celoten sistem začel premikati, vendar mora kinetični moment sistema ostati enak nič: Kz = 0. Kotni moment sistem je vsota kotnih momentov obeh ljudi in bloka: Tukaj je v2 hitrost druge osebe, enaka hitrosti kabla, Primer: Določite obdobje majhnih prostih nihanj homogene palice mase M in dolžine l, obešena z enim koncem na fiksno vrtilno os. Ali: v primeru majhnih nihanj sinφ φ: obdobje nihanja: vztrajnostni moment droga:

26 diapozitiv

Predavanje 8 (nadaljevanje 8.4 - dodatno gradivo) 24 ■ Osnovna teorija žiroskopa: Žiroskop je togo telo, ki se vrti okoli osi simetrije materiala, katerega ena od točk je fiksna. Prosti žiroskop je pritrjen tako, da njegovo središče mase ostane nepremično, os vrtenja pa poteka skozi središče mase in lahko zavzame poljuben položaj v prostoru, t.j. os vrtenja spremeni svoj položaj kot os lastnega vrtenja telesa med sferičnim gibanjem. Glavna predpostavka približne (elementarne) teorije žiroskopa je, da velja, da je vektor zagona (kinetični moment) rotorja usmerjen vzdolž lastne osi vrtenja. Tako se kljub dejstvu, da v splošnem primeru rotor sodeluje v treh rotacijah, upošteva le kotna hitrost lastnega vrtenja ω = dφ/dt. Osnova za to je, da v sodobna tehnologija rotor žiroskopa se vrti s kotno hitrostjo reda 5000-8000 rad/s (približno 50000-80000 vrt/min), medtem ko sta drugi dve kotni hitrosti, povezani s precesijo in nutacijo lastne vrtilne osi, več deset tisočkrat manjša od te hitrosti. Glavna lastnost prostega žiroskopa je, da os rotorja ohranja isto smer v prostoru glede na inercialni (zvezdni) referenčni sistem (dokazuje Foucaultovo nihalo, ki ohranja ravnino nihanja nespremenjeno glede na zvezde, 1852). To izhaja iz zakona o ohranjanju kinetičnega momenta glede na središče mase rotorja, pod pogojem, da se zanemari trenje v ležajih osi vzmetenja rotorja, zunanjega in notranjega okvirja: Delovanje sile na os prostega žiroskop. V primeru sile, ki deluje na os rotorja, moment zunanjih sil glede na središče mase ni enak nič: sila ω ω С in proti vektorju momenta te sile, t.j. se ne vrti okoli osi x (notranje vzmetenje), ampak okoli y-osi (zunanje vzmetenje). Ko sila preneha, bo os rotorja ostala v enakem položaju, ki ustreza zadnji trenutek trajanje sile, ker od tega trenutka postane trenutek zunanjih sil spet enak nič. V primeru kratkotrajnega delovanja sile (udarca) os žiroskopa praktično ne spremeni svojega položaja. Tako hitro vrtenje rotorja daje žiroskopu možnost, da se zoperstavi naključnim vplivom, ki težijo k spremembi položaja osi vrtenja rotorja, in ko trajno delovanje sila ohranja položaj ravnine, pravokotne na delujočo silo, v kateri leži os rotorja. Te lastnosti se uporabljajo v inercialnih sistemov navigacijo.

Uvod

Teoretična mehanika je ena najpomembnejših temeljnih splošnoznanstvenih disciplin. Ima bistveno vlogo pri usposabljanju inženirjev vseh specialnosti. Splošne inženirske discipline temeljijo na rezultatih teoretične mehanike: trdnost materialov, strojni deli, teorija mehanizmov in strojev in drugo.

Glavna naloga teoretične mehanike je preučevanje gibanja materialnih teles pod delovanjem sil. Pomemben poseben problem je preučevanje ravnotežja teles pod delovanjem sil.

Tečaj predavanj. Teoretična mehanika

Struktura teoretične mehanike. Osnove statike

Pogoji za ravnotežje poljubnega sistema sil.

Enačbe ravnotežja togega telesa.

Ploščati sistem sil.

Posebni primeri ravnotežja togega telesa.

Problem ravnotežja žarka.

Določanje notranjih sil v paličnih konstrukcijah.

Osnove točkovne kinematike.

naravne koordinate.

Eulerjeva formula.

Porazdelitev pospeškov točk togega telesa.

Translacijski in rotacijski gibi.

Ravninsko vzporedno gibanje.

Zapleteno premikanje točke.

Osnove točkovne dinamike.

Diferencialne enačbe gibanja točke.

Posebne vrste polj sil.

Osnove dinamike sistema točk.

Splošni izreki dinamike sistema točk.

Dinamika rotacijskega gibanja telesa.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Tečaj teoretične mehanike. M., Višja šola, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Tečaj teoretične mehanike, 1. in 2. del. M., Višja šola, 1971.

Petkevič V.V. Teoretična mehanika. M., Nauka, 1981.

Zbirka nalog za seminarske naloge iz teoretične mehanike. Ed. A. A. Yablonski. M., Višja šola, 1985.

Predavanje 1 Struktura teoretične mehanike. Osnove statike

V teoretični mehaniki se preučuje gibanje teles glede na druga telesa, ki so fizični referenčni sistemi.

Mehanika omogoča ne le opisovanje, temveč tudi napovedovanje gibanja teles, vzpostavljanje vzročne zveze v določenem, zelo širokem spektru pojavov.

Osnovni abstraktni modeli resničnih teles:

materialna točka - ima maso, vendar nima dimenzij;

absolutno trdna - prostornina končnih dimenzij, v celoti napolnjena s snovjo, in razdalje med katerima koli točkama medija, ki zapolnjujeta prostornino, se med gibanjem ne spreminjata;

neprekinjen deformabilni medij - zapolni končen volumen ali neomejen prostor; razdalje med točkami takega medija se lahko razlikujejo.

Od tega sistemi:

Sistem brezplačnih materialnih točk;

Sistemi s povezavami;

Popolnoma trdno telo z votlino, napolnjeno s tekočino itd.

"degeneriran" modeli:

Neskončno tanke palice;

Neskončno tanke plošče;

Breztežnostne palice in niti, ki povezujejo materialne točke itd.

Iz izkušenj: mehanski pojavi potekajo drugače različnih mestih fizični referenčni sistem. Ta lastnost je nehomogenost prostora, ki jo določa fizični referenčni sistem. Heterogenost tukaj razumemo kot odvisnost narave pojava pojava od kraja, v katerem ta pojav opazujemo.

Druga lastnost je anizotropija (neizotropnost), gibanje telesa glede na fizični referenčni sistem je lahko različno, odvisno od smeri. Primeri: tok reke vzdolž poldnevnika (od severa proti jugu - Volga); let projektila, Foucaultovo nihalo.

Lastnosti referenčnega sistema (heterogenost in anizotropija) otežujejo opazovanje gibanja telesa.

Praktično brez tega geocentrično sistem: središče sistema je v središču Zemlje in sistem se ne vrti glede na "nepremične" zvezde). Geocentrični sistem je primeren za izračun premikov na Zemlji.

Za nebesna mehanika(za telesa sončnega sistema): heliocentrični referenčni okvir, ki se premika s središčem mase solarni sistem in se ne vrti glede na "nepremične" zvezde. Za ta sistem še ni našel heterogenost in anizotropija prostora

v zvezi s pojavi mehanike.

Torej, uvajamo povzetek inercialni referenčni okvir, za katerega je prostor homogen in izotropen v zvezi s pojavi mehanike.

inercialni referenčni okvir- tisti, katerega lastnega gibanja ni mogoče zaznati z nobeno mehansko izkušnjo. Miselni eksperiment: »točka, ki je sama na celem svetu« (izolirana) miruje ali se premika v ravni črti in enakomerno.

Vsi referenčni okvirji, ki se gibljejo glede na izvirnik pravokotno, bodo enakomerno inercialni. To vam omogoča uvedbo enega kartezijanskega koordinatnega sistema. Tak prostor se imenuje evklidsko.

Pogojni dogovor - vzemite pravi koordinatni sistem (slika 1).

AT čas– v klasični (nerelativistični) mehaniki absolutno, kar je enako za vse referenčne sisteme, torej začetni moment je poljuben. V nasprotju z relativistično mehaniko, kjer se uporablja načelo relativnosti.

Stanje gibanja sistema v času t določajo koordinate in hitrosti točk v tem trenutku.

Realna telesa medsebojno delujejo in nastanejo sile, ki spremenijo stanje gibanja sistema. To je bistvo teoretične mehanike.

Kako se preučuje teoretična mehanika?

Nauk o ravnotežju množice teles določenega referenčnega okvira - preseka statika.

Odsek kinematika: del mehanike, ki proučuje razmerja med količinami, ki označujejo stanje gibanja sistemov, ne upošteva pa vzrokov, ki povzročajo spremembo stanja gibanja.

Po tem upoštevajte vpliv sil [GLAVNI DEL].

Odsek dinamika: del mehanike, ki obravnava vpliv sil na stanje gibanja sistemov materialnih predmetov.

Načela gradnje glavnega tečaja - dinamika:

1) na podlagi sistema aksiomov (na podlagi izkušenj, opažanj);

Nenehno - neusmiljen nadzor nad prakso. Znak natančne znanosti - prisotnost notranje logike (brez nje - niz nepovezanih receptov)!

statična imenujemo tisti del mehanike, kjer se preučujejo pogoji, ki jih morajo izpolnjevati sile, ki delujejo na sistem materialnih točk, da je sistem v ravnotežju, in pogoji za enakovrednost sistemov sil.

Probleme ravnotežja v osnovni statiki bomo obravnavali z izključno geometrijskimi metodami, ki temeljijo na lastnostih vektorjev. Ta pristop se uporablja v geometrijska statika(v nasprotju z analitično statiko, ki je tukaj ne upoštevamo).

Položaje različnih materialnih teles bomo sklicevali na koordinatni sistem, ki ga bomo vzeli za fiksnega.

Idealni modeli materialnih teles:

1) materialna točka - geometrijska točka z maso.

2) popolnoma togo telo - niz materialnih točk, razdalje med katerimi ni mogoče spremeniti z nobenim dejanjem.

S silami bomo poklicali objektivnih razlogov, ki so posledica interakcije materialnih predmetov, ki lahko povzročijo gibanje teles iz stanja mirovanja ali spremenijo obstoječe gibanje slednjih.

Ker je sila določena z gibanjem, ki ga povzroči, ima tudi relativni značaj, odvisno od izbire referenčnega okvira.

Obravnava se vprašanje narave sil v fiziki.

Sistem materialnih točk je v ravnotežju, če se v mirovanju ne premika od sil, ki nanj delujejo.

Iz vsakdanjih izkušenj: sile so vektorske narave, to je velikost, smer, linija delovanja, točka uporabe. Pogoj za ravnotežje sil, ki delujejo na togo telo, je reduciran na lastnosti sistemov vektorjev.

Galileo in Newton sta s povzetkom izkušenj s preučevanjem fizikalnih zakonov narave oblikovala osnovne zakone mehanike, ki jih lahko štejemo za aksiome mehanike, saj imajo na podlagi eksperimentalnih dejstev.

Aksiom 1. Delovanje več sil na točko togega telesa je enako delovanju ene rezultantna sila, zgrajena po pravilu seštevanja vektorjev (slika 2).

Posledica. Sile, ki delujejo na točko togega telesa, se seštejejo po pravilu paralelograma.

Aksiom 2. Na togo telo delujeta dve sili medsebojno uravnoteženiče in samo če sta enaka po velikosti, usmerjena v nasprotni smeri in ležita na isti ravni črti.

Aksiom 3. Delovanje sistema sil na togo telo se ne bo spremenilo, če dodajte v ta sistem ali opustite iz njega dve sili enake velikosti, usmerjeni v nasprotni smeri in ležita na isti ravni črti.

Posledica. Silo, ki deluje na točko togega telesa, lahko prenesemo vzdolž linije delovanja sile, ne da bi spremenili ravnotežje (to je, da je sila drsni vektor, slika 3)

1) Aktivni - ustvarijo ali so sposobni ustvariti gibanje togega telesa. Na primer, sila teže.

2) Pasivna - ne ustvarja gibanja, ampak omejuje gibanje togega telesa in preprečuje gibanje. Na primer natezna sila neraztegljive niti (slika 4).

Aksiom 4. Delovanje enega telesa na drugo je enako in nasprotno delovanju tega drugega telesa na prvo ( akcija je enaka reakciji).

Priklicani bodo geometrijski pogoji, ki omejujejo gibanje točk povezave.

Komunikacijski pogoji: npr.

- palica posredne dolžine l.

- upogljiva neraztegljiva nit dolžine l.

Imenujejo se sile zaradi vezi in preprečujejo gibanje reakcijske sile.

Aksiom 5. Vezi, ki so naložene sistemu materialnih točk, je mogoče nadomestiti z reakcijskimi silami, katerih delovanje je enakovredno delovanju vezi.

Ko pasivne sile ne morejo uravnotežiti delovanja aktivnih sil, se začne gibanje.

Dva posebna problema statike

1. Sistem konvergentnih sil, ki delujejo na togo telo

Sistem konvergentnih sil imenujemo tak sistem sil, katerih akcijske črte se sekajo v eni točki, ki jo lahko vedno vzamemo za izhodišče (slika 5).

Projekcije rezultatov:

;

Če je , potem sila povzroči gibanje togega telesa.

Ravnotežni pogoj za konvergentni sistem sil:

2. Ravnovesje treh sil

Če na togo telo delujejo tri sile in se premici delovanja dveh sil sekata v neki točki A, je ravnovesje možno, če in samo če poteka tudi črta delovanja tretje sile skozi točko A, sama sila pa je enaka po velikosti in nasprotno usmerjeni vsoti (slika 6).

Primeri:

Moment sile glede na točko O definiraj kot vektor, v velikosti enako dvakratni površini trikotnika, katerega osnova je vektor sile z vrhom v dani točki O; smer- pravokotno na ravnino obravnavanega trikotnika v smeri, od koder je vidna rotacija, ki jo povzroča sila okoli točke O v nasprotni smeri urinega kazalca. je trenutek drsnega vektorja in je prosti vektor(slika 9).

Torej: oz

kje ;;.

Kjer je F modul sile, je h rama (razdalja od točke do smeri sile).

Moment sile okoli osi se imenuje algebraična vrednost projekcije na to os vektorja momenta sile glede na poljubno točko O, vzeto na osi (slika 10).

To je skalar, neodvisen od izbire točke. Pravzaprav razširimo :|| in v letalu.

O trenutkih: naj bo О 1 presečna točka z ravnino. Nato:

a) od - trenutka => projekcija = 0.

b) od - trenutka naprej => je projekcija.

torej moment okoli osi je moment komponente sile v ravnini, pravokotni na os okoli presečišča ravnine in osi.

Varignonov izrek za sistem konvergentnih sil:

Trenutek rezultantne sile za sistem konvergentnih sil glede na poljubno točko A je enak vsoti momentov vseh komponent sil glede na isto točko A (slika 11).

Dokaz v teoriji konvergentnih vektorjev.

Pojasnilo: seštevanje sil po pravilu paralelograma => nastala sila daje skupni moment.

Testna vprašanja:

1. Poimenujte glavne modele realnih teles v teoretični mehaniki.

2. Formulirajte aksiome statike.

3. Kaj imenujemo moment sile o točki?

2. predavanje Ravnotežni pogoji za poljuben sistem sil

Iz osnovnih aksiomov statike sledijo osnovne operacije s silami:

1) sila se lahko prenaša vzdolž linije delovanja;

2) sile, katerih akcijske črte se sekajo, lahko dodamo po pravilu paralelograma (po pravilu seštevanja vektorjev);

3) sistemu sil, ki delujejo na togo telo, lahko vedno dodamo dve sili, enaki po velikosti, ki ležita na isti ravni črti in sta usmerjeni v nasprotni smeri.

Elementarne operacije ne spremenijo mehanskega stanja sistema.

Poimenujmo dva sistema sil enakovrednoče je mogoče enega od drugega dobiti z uporabo elementarnih operacij (kot v teoriji drsnih vektorjev).

Imenuje se sistem dveh vzporednih sil, enakih po velikosti in usmerjenih v nasprotni smeri par sil(slika 12).

Trenutek para sil- vektor, ki je po velikosti enak površini paralelograma, zgrajenega na vektorjih para, in usmerjen pravokotno na ravnino para v smeri, iz katere je mogoče videti, da pride do vrtenja, o katerem poročajo vektorji para v nasprotni smeri urinega kazalca.

, to je moment sile okoli točke B.

Za par sil je v celoti značilen trenutek.

Par sil lahko z elementarnimi operacijami prenesemo na katero koli ravnino, vzporedno z ravnino para; spremenite velikost sil para, ki je obratno sorazmerna z rameni para.

Pare sil je mogoče seštevati, trenutke parov sil pa po pravilu seštevanja (prostih) vektorjev.

Sistem sil, ki delujejo na togo telo, pripeljemo na poljubno točko (redukcijsko središče)- pomeni zamenjavo sedanjega sistema z enostavnejšim: sistemom treh sil, od katerih ena poteka vnaprej dano točko, druga dva pa predstavljata par.

Dokazano je s pomočjo osnovnih operacij (slika 13).

Sistem konvergentnih sil in sistem parov sil.

- nastala sila.

Nastali par

Kar je bilo treba pokazati.

Dva sistema sil volja so enakovredniče in samo če sta oba sistema reducirana na eno rezultantno silo in en rezultantni par, to je pod naslednjimi pogoji:

Splošni primer ravnotežja sistema sil, ki delujejo na togo telo

Sistem sil pripeljemo do (slika 14):

Posledična sila skozi izvor;

Poleg tega nastali par skozi točko O.

To pomeni, da so pripeljali do in - dve sili, od katerih ena poteka skozi dano točko O.

Ravnotežje, če sta druga ravna črta enaka, usmerjena nasprotno (aksiom 2).

Nato gre skozi točko O, tj.

Torej, splošni pogoji ravnotežje togega telesa:

Ti pogoji veljajo za poljubno točko v prostoru.

Testna vprašanja:

1. Naštej osnovne operacije na silah.

2. Kateri sistemi sil se imenujejo enakovredni?

3. Napiši splošne pogoje za ravnotežje togega telesa.

3. predavanje Enačbe ravnotežja togega telesa

Naj bo O izvor koordinat; je nastala sila; je moment nastalega para. Naj bo točka O1 novo redukcijsko središče (slika 15).

Nov sistem sile:

Ko se točka oddaje spremeni, se => spremeni samo (v eno smer z enim znakom, v drugi z drugim). To je bistvo: se ujemajo s črtami

analitično: (kolinearnost vektorjev)

; koordinate točke O1.

To je enačba premice, za vse točke katere smer nastalega vektorja sovpada s smerjo trenutka nastalega para - ravna črta se imenuje dinamo.

Če je na osi dinam => , potem je sistem enak eni rezultantni sili, ki se imenuje rezultantna sila sistema. V tem primeru vedno, tj.

Štirje primeri vlaganja sil:

1.) ;- dinamo.

2.) ; - rezultat.

3.) ;- par.

4.) ;- ravnovesje.

Dve vektorski ravnotežni enačbi: glavni vektor in glavni moment sta enaka nič.

Ali šest skalarnih enačb v projekcijah na kartezične koordinatne osi:

tukaj:

Kompleksnost vrste enačb je odvisna od izbire redukcijske točke => umetnost kalkulatorja.

Iskanje ravnotežnih pogojev za sistem togih teles v interakciji<=>problem ravnotežja vsakega telesa posebej, na telo pa vplivajo zunanje sile in notranje sile (interakcija teles na stičnih točkah z enakimi in nasprotno usmerjenimi silami - aksiom IV, sl. 17).

Izbiramo za vsa telesa sistema en referenčni center. Nato za vsako telo s številko ravnotežnega pogoja:

, , (= 1, 2, …, k)

kjer je , - nastala sila in moment nastalega para vseh sil, razen notranjih reakcij.

Nastala sila in moment nastalega para sil notranjih reakcij.

Formalno povzemanje in upoštevanje aksioma IV

dobimo potrebni pogoji za ravnovesje togega telesa:

Primer.

Ravnotežje: = ?

Testna vprašanja:

1. Poimenuj vse primere približevanja sistema sil na eno točko.

2. Kaj je dinamo?

3. Formulirajte potrebne pogoje za ravnotežje sistema togih teles.

4. predavanje Ploščati sistem sil

Poseben primer izvajanja splošne naloge.

Naj vse delujoče sile ležijo v isti ravnini - na primer list. Izberimo točko O kot središče redukcije - v isti ravnini. Dobimo dobljeno silo in nastali par v isti ravnini, to je (slika 19)