Transformacija racionalnih izrazov: vrste transformacij, primeri. racionalno izražanje

V daljni preteklosti, ko še ni bil izumljen računski sistem, so ljudje vse prešteli na prste. S prihodom aritmetike in osnov matematike je postalo veliko lažje in bolj praktično voditi evidenco blaga, izdelkov in gospodinjskih predmetov. Vendar, kako izgleda sodoben sistem račun: na katere vrste so razdeljena obstoječa števila in kaj pomeni "racionalna oblika števil"? Ugotovimo.

Koliko vrst števil je v matematiki?

Sam koncept "števila" označuje določeno enoto katerega koli predmeta, ki označuje njegove kvantitativne, primerjalne ali redne kazalce. Da bi pravilno prešteli število določenih stvari ali izvedli določene matematične operacije s številkami (seštejte, pomnožite itd.), Najprej se morate seznaniti z sortami teh istih številk.

Torej lahko obstoječe številke razdelimo v naslednje kategorije:

1. Naravna števila so tista števila, s katerimi štejemo število predmetov (najmanjše naravno število je 1, logično je, da vrsta naravna števila je neskončno, to pomeni, da ni največjega naravnega števila). Nabor naravnih števil je običajno označen s črko N.
2. Cela števila. Ta komplet vključuje vse, medtem ko je dodan in negativne vrednosti, vključno s številko "nič". Zapis za množico celih števil je zapisan kot latinsko črko Z.
3. Racionalna števila so tista, ki jih lahko miselno pretvorimo v ulomek, katerega števec bo pripadal množici celih števil, imenovalec pa naravnim številom. Spodaj bomo podrobneje analizirali, kaj pomeni "racionalno število" in navedli nekaj primerov.
4. - množica, ki vključuje vse racionalne in Ta množica je označena s črko R.
5. Kompleksna števila vsebujejo del realnega in del spremenljivke. Uporabljajo se pri reševanju različnih kubičnih enačb, ki pa imajo lahko negativen izraz v formulah (i 2 = -1).

Kaj pomeni "racionalno": analiziramo ga s primeri

Če so racionalna števila tista, ki jih lahko predstavimo v obliki navadni ulomek, se izkaže, da so v množico racionalnih vključena tudi vsa pozitivna in negativna cela števila. Navsezadnje lahko vsako celo število, na primer 3 ali 15, predstavimo kot ulomek, pri čemer bo imenovalec ena.

Ulomki: -9/3; 7/5, 6/55 so primeri racionalna števila.

Kaj pomeni "racionalno izražanje"?

Pojdi naprej. Kaj pomeni racionalna oblika števil, smo že razpravljali. Zdaj si predstavljajmo matematični izraz, ki je sestavljen iz vsote, razlike, produkta ali količnika različne številke in spremenljivke. Tukaj je primer: ulomek, v števcu katerega je vsota dveh ali več celih števil, imenovalec pa vsebuje tako celo število kot neko spremenljivko. Ta izraz se imenuje racionalen. Na podlagi pravila "ne morete deliti z nič" lahko ugibate, da vrednost te spremenljivke ne more biti taka, da vrednost imenovalca postane nič. Zato morate pri reševanju racionalnega izraza najprej določiti obseg spremenljivke. Na primer, če imenovalec vsebuje naslednji izraz: x+5-2, se izkaže, da "x" ne more biti enak -3. Dejansko se v tem primeru celoten izraz spremeni v nič, zato je treba pri reševanju izključiti celo število -3 za to spremenljivko.

Kako pravilno rešiti racionalne enačbe?

Racionalni izrazi lahko vsebujejo kar nekaj veliko številoštevila in celo 2 spremenljivki, zato včasih postane njihova rešitev težavna. Da bi olajšali rešitev takega izraza, je priporočljivo, da nekatere operacije izvajate na racionalen način. Kaj torej pomeni "na racionalen način" in katera pravila je treba upoštevati pri odločanju?

1. Prva vrsta, ko je dovolj samo poenostaviti izraz. Če želite to narediti, se lahko zatečete k operaciji zmanjševanja števca in imenovalca na nezmanjšljivo vrednost. Na primer, če števec vsebuje izraz 18x, imenovalec pa 9x, potem z zmanjšanjem obeh kazalnikov za 9x dobimo samo celo število, ki je enako 2.
2. Druga metoda je praktična, če imamo v števcu monom in v imenovalcu polinom. Poglejmo primer: v števcu imamo 5x, v imenovalcu pa 5x + 20x 2 . V tem primeru je najbolje, da spremenljivko v imenovalcu vzamemo iz oklepajev, dobimo naslednjo obliko imenovalca: 5x(1+4x). In zdaj lahko uporabite prvo pravilo in poenostavite izraz tako, da zmanjšate 5x v števcu in imenovalcu. Kot rezultat dobimo ulomek oblike 1/1+4x.

Katere operacije je mogoče izvesti z racionalnimi števili?

Nabor racionalnih števil ima številne svoje posebnosti. Veliko jih je zelo podobnih lastnostim, ki so prisotne v celih in naravnih številih, glede na dejstvo, da so slednja vedno vključena v racionalno množico. Tukaj je nekaj lastnosti racionalnih števil, če veste, katere, lahko zlahka rešite kateri koli racionalni izraz.

1. Lastnost komutativnosti vam omogoča, da seštejete dve ali več števil, ne glede na njihov vrstni red. Preprosto povedano, vsota se ne spremeni zaradi spremembe krajev izrazov.
2. Lastnost distributivnosti omogoča reševanje problemov z uporabo distribucijskega zakona.
3. In končno, operacije seštevanja in odštevanja.

Tudi šolarji vedo, kaj pomenijo »racionalna števila« in kako na podlagi takšnih izrazov reševati probleme, zato se mora izobražen odrasel preprosto spomniti vsaj osnov nabora racionalnih števil.

racionalno izražanje algebraični izraz ki ne vsebujejo radikalov. Z drugimi besedami, to je ena ali več algebrskih količin (številk in črk), povezanih z znaki aritmetične operacije: seštevanje, odštevanje, množenje ... ... Wikipedia

Algebraični izraz, ki ne vsebuje radikalov in vključuje samo operacije seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja. Na primer, a2 + b, x/(y z2) … Veliki enciklopedični slovar

Algebraični izraz, ki ne vsebuje radikalov in vključuje samo operacije seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja. Na primer, a2 + b, x/(y z2). * * * RATIONAL EXPRESSION RATIONAL EXPRESSION, algebraični izraz, ki ne vsebuje ... ... enciklopedični slovar

Algebraični izraz, ki ne vsebuje radikalov, kot so a2 + b, x/(y z3). Če je vključen v R. stoletje. črke se štejejo za spremenljivke, potem R. in. definira racionalno funkcijo (glej Racionalna funkcija) teh spremenljivk ... Velika sovjetska enciklopedija

Algebraični izraz, ki ne vsebuje radikalov in vključuje samo operacije seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja. Na primer, a2 + b, x/(y z2) ... Naravoslovje. enciklopedični slovar

IZRAZ- primarni matematični pojem, ki pomeni zapis črk in številk, povezanih z znaki računskih operacij, pri čemer se lahko uporabljajo oklepaji, funkcijski simboli ipd.; običajno je B formula milijona. Razlikovati v (1) ... ... Velika politehnična enciklopedija

RACIONALNO- (Racionalno; Racionalno) izraz, ki se uporablja za opis misli, občutkov in dejanj, skladnih z umom; odnos, ki temelji na objektivnih vrednotah, pridobljenih kot rezultat praktičnih izkušenj. "Objektivne vrednote se vzpostavijo v izkušnjah ... ... Slovar analitične psihologije

RACIONALNO ZNANJE- subjektivna podoba objektivnega sveta, pridobljena s pomočjo mišljenja. Razmišljanje - aktivni proces posplošen in posredovan odraz realnosti, ki zagotavlja odkrivanje njenih pravilnih povezav na podlagi čutnih podatkov in njihovega izražanja ... Filozofija znanosti in tehnologije: Tematski slovar

ENAČBA, RACIONALNA- Logični ali matematični izraz, ki temelji na (racionalnih) predpostavkah o procesih. Takšne enačbe se od empiričnih enačb razlikujejo po tem, da so njihovi parametri pridobljeni kot rezultat deduktivnih zaključkov iz teoretičnih ... ... Slovar v psihologiji

RACIONALNO, racionalno, racionalno; racionalno, racionalno, racionalno. 1. prid. do racionalizma (knjiga). racionalna filozofija. 2. Povsem razumno, upravičeno, smotrno. Podal je racionalen predlog. Racionalno...... Razlagalni slovar Ushakov

1) R. algebraična enačba f (x) = 0 stopinj p algebraična enačba g(y)=0 dano enačbo… … Matematična enciklopedija

Celoštevilski izraz je matematični izraz, sestavljen iz številk in dobesednih spremenljivk z uporabo operacij seštevanja, odštevanja in množenja. Cela števila vključujejo tudi izraze, ki vključujejo deljenje z nekim številom, ki ni nič.

Primeri celoštevilskih izrazov

Spodaj je nekaj primerov celoštevilskih izrazov:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y-((5*y+3)/5) -1;

Ulomni izrazi

Če izraz vsebuje deljenje s spremenljivko ali z drugim izrazom, ki vsebuje spremenljivko, potem tak izraz ni celo število. Takšen izraz se imenuje frakcijski izraz. Dajmo popolno definicijo frakcijskega izraza.

Ulomni izraz je matematični izraz, ki poleg operacij seštevanja, odštevanja in množenja, izvedenih s številkami in abecednimi spremenljivkami, ter deljenja s številom ne nič, vsebuje tudi delitev na izraze z dobesednimi spremenljivkami.

Primeri ulomnih izrazov:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x-((5*y+3)/(5-y)) +1;

Ulomni in celoštevilski izrazi sestavljajo dva velika niza matematičnih izrazov. Če te množice združimo, dobimo novo množico, ki se imenuje racionalni izrazi. To pomeni, da so vsi racionalni izrazi celoštevilski in ulomni izrazi.

Vemo, da so celoštevilski izrazi smiselni za vse vrednosti spremenljivk, ki so vanj vključene. To izhaja iz dejstva, da je za iskanje vrednosti celoštevilskega izraza potrebno izvesti dejanja, ki so vedno možna: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje s številom, ki ni nič.

Ulomni izrazi, za razliko od celih, morda niso smiselni. Ker obstaja operacija delitve s spremenljivko ali izrazom, ki vsebuje spremenljivke, in se ta izraz lahko spremeni v nič, vendar je deljenje z ničlo nemogoče. Vrednosti spremenljivk, za katere frakcijski izraz bo smiselno, pokličite veljavne vrednosti spremenljivk.

racionalni ulomek

Eden od posebnih primerov racionalni izrazi bo ulomek, katerega števec in imenovalec sta polinoma. Za tak ulomek v matematiki obstaja tudi ime - racionalni ulomek.

Racionalni ulomek bo smiseln, če njegov imenovalec ni enak nič. To pomeni, da bodo veljavne vse vrednosti spremenljivk, pri katerih je imenovalec ulomka drugačen od nič.

Ta lekcija bo zajemala osnovne informacije o racionalnih izrazih in njihovih transformacijah ter primere transformacije racionalnih izrazov. Ta tema povzema teme, ki smo jih do sedaj preučevali. Transformacije racionalnih izrazov vključujejo seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, stopnjevanje algebraične ulomke, redukcija, faktorizacija itd. V okviru pouka si bomo ogledali, kaj je racionalni izraz, analizirali pa bomo tudi primere za njihovo preoblikovanje.

Zadeva:Algebraični ulomki. Aritmetične operacije nad algebrskimi ulomki

Lekcija:Osnovne informacije o racionalnih izrazih in njihovih transformacijah

Opredelitev

racionalno izražanje je izraz, sestavljen iz številk, spremenljivk, aritmetičnih operacij in stopnjevanja.

Razmislite o primeru racionalnega izraza:

Posebni primeri racionalnih izrazov:

1. stopnja: ;

2. monom: ;

3. ulomek: .

Racionalna transformacija izraza je poenostavitev racionalnega izraza. Vrstni red operacij pri pretvorbi racionalnih izrazov: najprej so dejanja v oklepajih, nato operacije množenja (deljenja) in nato operacije seštevanja (odštevanja).

Oglejmo si nekaj primerov preoblikovanja racionalnih izrazov.

Primer 1

Odločitev:

Rešimo ta primer korak za korakom. Najprej se izvede dejanje v oklepajih.

odgovor:

Primer 2

Odločitev:

odgovor:

Primer 3

Odločitev:

odgovor: .

Opomba: mogoče ko vidiš ta primer pojavila se je ideja: zmanjšati ulomek, preden pripeljemo do skupnega imenovalca. Dejansko je popolnoma pravilno: najprej je zaželeno čim bolj poenostaviti izraz in ga nato preoblikovati. Isti primer poskusimo rešiti na drugi način.

Kot vidite, se je odgovor izkazal za popolnoma podoben, vendar se je rešitev izkazala za nekoliko preprostejšo.

V tej lekciji smo si ogledali racionalni izrazi in njihove transformacije, pa tudi več konkretni primeri podatke o transformaciji.

Bibliografija

1. Bašmakov M.I. Algebra 8. razred. - M.: Razsvetljenje, 2004.

2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovič E.A. in drugi Algebra 8. - 5. izd. - M.: Izobraževanje, 2010.

Iz tečaja algebre šolski kurikulum Spustimo se k podrobnostim. V tem članku bomo podrobno preučili posebne vrste racionalni izrazi - racionalne ulomke, in tudi analizirati, katera lastnost je enaka transformacije racionalnih ulomkov zgoditi se.

Takoj ugotavljamo, da se racionalni ulomki v smislu, v katerem jih definiramo spodaj, v nekaterih učbenikih algebre imenujejo algebraični ulomki. Se pravi, v tem članku bomo razumeli isto stvar pod racionalnimi in algebraičnimi ulomki.

Kot običajno začnemo z definicijo in primeri. Nato se pogovorimo o približevanju racionalnega ulomka novemu imenovalcu in o spremembi predznakov članov ulomka. Po tem bomo analizirali, kako se izvaja redukcija ulomkov. Na koncu se osredotočimo na predstavitev racionalnega ulomka kot vsote več ulomkov. Vse informacije bomo opremili s primeri podrobni opisi rešitve.

Navigacija po straneh.

Definicija in primeri racionalnih ulomkov

Racionalne ulomke se preučujejo pri pouku algebre v 8. razredu. Uporabili bomo definicijo racionalnega ulomka, ki je podana v učbeniku algebre za 8. razred Yu. N. Makarycheva in drugih.

Ta definicija ne določa, ali morajo biti polinomi v števcu in imenovalcu racionalnega ulomka polinomi standardni pogled ali ne. Zato bomo domnevali, da lahko racionalni ulomki vsebujejo tako standardne kot nestandardne polinome.

Tukaj je nekaj primeri racionalnih ulomkov. Torej, x/8 in - racionalne ulomke. In ulomki in ne ustrezajo zveneči definiciji racionalnega ulomka, saj v prvem od njih števec ni polinom, v drugi pa tako števec kot imenovalec vsebujeta izraze, ki niso polinomi.

Pretvorba števca in imenovalca racionalnega ulomka

Števec in imenovalec katerega koli ulomka sta samozadostna matematična izraza, pri racionalnih ulomkih sta polinoma, v določenem primeru so monomi in števila. Zato je s števcem in imenovalcem racionalnega ulomka, tako kot pri vsakem izrazu, mogoče izvesti identične transformacije. Z drugimi besedami, izraz v števcu racionalnega ulomka lahko nadomestimo z izrazom, ki mu je identično enak, tako kot imenovalec.

V števcu in imenovalcu racionalnega ulomka je mogoče izvesti enake transformacije. Na primer, v števcu lahko združite in zmanjšate podobne izraze, v imenovalcu pa lahko zmnožek več številk nadomestite z njegovo vrednostjo. In ker sta števec in imenovalec racionalnega ulomka polinoma, je z njimi mogoče izvesti transformacije, značilne za polinome, na primer redukcijo na standardno obliko ali predstavitev kot produkt.

Za jasnost razmislite o rešitvah več primerov.

Primer.

Pretvorba racionalni ulomek tako da je števec polinom standardne oblike, imenovalec pa produkt polinomov.

Odločitev.

Zmanjšanje racionalnih ulomkov na nov imenovalec se uporablja predvsem pri seštevanju in odštevanju racionalnih ulomkov.

Spreminjanje predznakov pred ulomkom, pa tudi v njegovem števcu in imenovalcu

Osnovno lastnost ulomka lahko uporabimo za spreminjanje predznakov členov ulomka. Dejansko je množenje števca in imenovalca racionalnega ulomka z -1 enakovredno spremembi njihovih predznakov, rezultat pa je ulomek, ki je identično enak danemu. Takšno transformacijo je treba pri delu z racionalnimi ulomki uporabljati precej pogosto.

Torej, če hkrati spremenite znake števca in imenovalca ulomka, boste dobili ulomek, enak prvotnemu. Ta izjava ustreza enakosti.

Vzemimo primer. Racionalni ulomek lahko nadomestimo z enako enakim ulomkom z obrnjenimi predznaki števca in imenovalca obrazca.

Z ulomki lahko naredite še eno preoblikovanje identitete, pri katerem se predznak spremeni bodisi v števcu bodisi v imenovalcu. Pojdimo čez ustrezno pravilo. Če zamenjate predznak ulomka skupaj s predznakom števca ali imenovalca, dobite ulomek, ki je identično enak izvirniku. Pisna izjava ustreza enakosti in .

Te enakosti ni težko dokazati. Dokaz temelji na lastnostih množenja števil. Dokažimo prvo izmed njih: . S pomočjo podobnih transformacij se dokazuje tudi enakost.

Na primer, ulomek lahko nadomestite z izrazom ali .

Za zaključek tega pododdelka predstavljamo še dve uporabni enakosti in . To pomeni, da če spremenite predznak samo števca ali samo imenovalca, bo ulomek spremenil svoj predznak. na primer in .

Obravnavane transformacije, ki omogočajo spreminjanje predznaka členov ulomka, se pogosto uporabljajo pri preoblikovanju ulomno racionalnih izrazov.

Zmanjšanje racionalnih ulomkov

Naslednja transformacija racionalnih ulomkov, imenovana redukcija racionalnih ulomkov, temelji na isti osnovni lastnosti ulomka. Ta transformacija ustreza enakosti , kjer so a , b in c nekateri polinomi, b in c pa nista nič.

Iz zgornje enakosti postane jasno, da zmanjšanje racionalnega ulomka pomeni, da se znebimo skupnega faktorja v njegovem števcu in imenovalcu.

Primer.

Zmanjšajte racionalni ulomek.

Odločitev.

Skupni faktor 2 je takoj viden, zmanjšajmo ga (pri pisanju je priročno prečrtati skupne faktorje, s katerimi se zmanjša). Imamo . Ker je x 2 = x x in y 7 = y 3 y 4 (glejte, če je potrebno), je jasno, da je x skupni faktor števca in imenovalca nastalega ulomka, kot je y 3 . Zmanjšajmo s temi dejavniki: . S tem je zmanjšanje končano.

Zgoraj smo redukcijo racionalnega ulomka izvedli zaporedno. In redukcijo je bilo mogoče izvesti v enem koraku in takoj zmanjšati ulomek za 2·x·y 3 . V tem primeru bi bila rešitev videti takole: .

odgovor:

.

Pri redukciji racionalnih ulomkov je glavna težava, da skupni faktor števca in imenovalca ni vedno viden. Poleg tega ne obstaja vedno. Da bi našli skupni faktor ali se prepričali, da ne obstaja, morate faktorizirati števec in imenovalec racionalnega ulomka. Če ni skupnega faktorja, potem prvotnega racionalnega ulomka ni treba zmanjšati, sicer se izvede zmanjšanje.

V procesu zmanjševanja racionalnih ulomkov se lahko pojavijo različne nianse. Glavne tankosti s primeri in podrobnostmi so obravnavane v članku zmanjševanje algebrskih ulomkov.

Ob zaključku pogovora o redukciji racionalnih ulomkov ugotavljamo, da je ta transformacija identična, glavna težava pri njeni izvedbi pa je v faktorizaciji polinomov v števcu in imenovalcu.

Predstavitev racionalnega ulomka kot vsote ulomkov

Precej specifična, a v nekaterih primerih zelo uporabna je transformacija racionalnega ulomka, ki je sestavljena iz njegove predstavitve kot vsote več ulomkov ali vsote celega izraza in ulomka.

Racionalni ulomek, v števcu katerega je polinom, ki je vsota več monomov, lahko vedno zapišemo kot vsoto ulomkov z enaki imenovalci, katerega števci vsebujejo ustrezne monome. na primer . Ta predstavitev je razložena s pravilom seštevanja in odštevanja algebraičnih ulomkov z enakimi imenovalci.

Na splošno lahko vsak racionalni ulomek predstavimo kot vsoto ulomkov na več različnih načinov. Na primer, ulomek a/b lahko predstavimo kot vsoto dveh ulomkov - poljubnega ulomka c/d in ulomka, ki je enak razliki med ulomkoma a/b in c/d. Ta izjava je resnična, saj je enakost . Na primer, racionalni ulomek je mogoče predstaviti kot vsoto ulomkov različne poti: Izvirni ulomek predstavljamo kot vsoto celoštevilskega izraza in ulomka. Ko števec delimo z imenovalcem s stolpcem, dobimo enakost . Vrednost izraza n 3 +4 za katero koli celo število n je celo število. In vrednost ulomka je celo število, če in samo če je njegov imenovalec 1, −1, 3 ali −3. Te vrednosti ustrezajo vrednostim n=3, n=1, n=5 in n=−1.

odgovor:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografija.

• algebra: učbenik za 8 celic. Splošna izobrazba ustanove / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ur. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M. : Izobraževanje, 2008. - 271 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. algebra. 7. razred. Ob 14. uri 1. del. Študentski učbenik izobraževalne ustanove/ A. G. Mordkovich. - 13. izd., Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.