Inženirski kalkulator na spletu

Pohitimo, da vsem predstavimo brezplačen inženirski kalkulator. Z njim lahko vsak študent hitro in, kar je najpomembneje, enostavno izvede različne vrste matematičnih izračunov na spletu.

Kalkulator je vzet s spletnega mesta - znanstvenega kalkulatorja web 2.0

Preprost in za uporabo enostaven inženirski kalkulator z nevsiljivim in intuitivnim vmesnikom bo resnično koristen najširšemu krogu uporabnikov interneta. Zdaj, ko potrebujete kalkulator, obiščite našo spletno stran in uporabite brezplačen inženirski kalkulator.

Inženirski kalkulator lahko izvaja tako preproste aritmetične operacije kot precej zapletene matematične izračune.

Web20calc je inženirski kalkulator, ki ima ogromno funkcij, na primer, kako izračunati vse osnovne funkcije. Kalkulator podpira tudi trigonometrične funkcije, matrike, logaritme in celo risanje.

Nedvomno bo Web20calc zanimiv za tisto skupino ljudi, ki v iskanju preprostih rešitev vnese v iskalnike poizvedbo: spletni matematični kalkulator. Brezplačna spletna aplikacija vam bo pomagala takoj izračunati rezultat katerega koli matematičnega izraza, na primer odšteti, sešteti, deliti, izvleči koren, dvigniti na potenciju itd.

V izrazu lahko uporabite operacije stopnjevanja, seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja, odstotka, PI konstante. Za zapletene izračune je treba uporabiti oklepaje.

Značilnosti inženirskega kalkulatorja:

1. osnovne aritmetične operacije;
2. delo s številkami v standardni obliki;
3. izračun trigonometričnih korenin, funkcij, logaritmov, stopnjevanja;
4. statistični izračuni: seštevek, aritmetična sredina ali standardni odklon;
5. uporaba pomnilniške celice in uporabniških funkcij 2 spremenljivk;
6. delo s koti v radianskih in stopinjskih merah.

Inženirski kalkulator omogoča uporabo različnih matematičnih funkcij:

Ekstrakcija korenin (kvadratni koren, kubični koren, pa tudi koren n-te stopnje);
ex (e do x moč), eksponent;
trigonometrične funkcije: sinus - sin, kosinus - cos, tangenta - tan;
inverzne trigonometrične funkcije: arksinus - sin-1, arkkosinus - cos-1, arktangent - tan-1;
hiperbolične funkcije: sinus - sinh, kosinus - cosh, tangenta - tanh;
logaritmi: logaritem osnove dva je log2x, logaritem osnove deset je log, naravni logaritem je ln.

Ta inženirski kalkulator vključuje tudi kalkulator veličin z možnostjo pretvorbe fizikalnih veličin za različne merske sisteme - računalniške enote, razdalja, teža, čas itd. S to funkcijo lahko takoj pretvorite milje v kilometre, funte v kilograme, sekunde v ure itd.

Za matematične izračune najprej vnesite zaporedje matematičnih izrazov v ustrezno polje, nato kliknite na znak enakosti in si oglejte rezultat. Vrednosti lahko vnesete neposredno s tipkovnice (za to mora biti območje kalkulatorja aktivno, zato bo koristno, da kazalec postavite v polje za vnos). Med drugim je mogoče podatke vnašati s pomočjo gumbov samega kalkulatorja.

Če želite sestaviti grafe v vnosnem polju, napišite funkcijo, kot je prikazano v vzorčnem polju, ali uporabite za to posebej zasnovano orodno vrstico (če jo želite odpreti, kliknite na gumb z ikono v obliki grafa). Za pretvorbo vrednosti pritisnite Unit, za delo z matrikami - Matrix.

Prva stopnja

Pretvorba izrazov. Podrobna teorija (2019)

Pogosto slišimo ta neprijeten stavek: "poenostavi izraz." Običajno imamo v tem primeru takšno pošast:

»Da, veliko lažje,« rečemo, a tak odgovor običajno ne deluje.

Zdaj vas bom naučil, da se ne bojite takšnih nalog.

Poleg tega boste na koncu lekcije sami poenostavili ta primer na (samo!) navadno številko (da, k vragu s temi črkami).

Toda preden začnete s to lekcijo, morate biti sposobni obravnavati ulomke in faktoriziraj polinome.

Zato, če tega še niste storili, se prepričajte, da obvladate temi "" in "".

prebrati? Če da, potem ste pripravljeni.

Gremo! (Gremo!)

Pomembna opomba!Če namesto formul vidite neumnost, počistite predpomnilnik. Če želite to narediti, pritisnite CTRL+F5 (v sistemu Windows) oz Cmd + R (v Macu)

Operacije poenostavitve osnovnih izrazov

Zdaj bomo analizirali glavne tehnike, ki se uporabljajo za poenostavitev izrazov.

Najpreprostejši med njimi je

1. Prinašanje podobnih

Kaj so podobni? Skozi to ste šli v 7. razredu, ko so se pri matematiki namesto številk prvič pojavile črke.

Podobno so izrazi (monomi) z enakim črkovnim delom.

Na primer, v vsoti so podobni izrazi in.

Ste se spomnili?

Prinesi podobno- pomeni med seboj dodati več podobnih izrazov in dobiti en izraz.

Toda kako lahko sestavimo črke? - vprašaš.

To je zelo enostavno razumeti, če si predstavljate, da so črke nekakšni predmeti.

Na primer, črka je stol. Kakšen je potem izraz?

Dva stola plus trije stoli, koliko bo to? Tako je, stoli: .

Zdaj poskusite ta izraz:

Da se ne bi zmedli, naj različne črke označujejo različne predmete.

Na primer, - to je (kot običajno) stol in - to je miza.

stoli mize stol mize stoli stoli mize

Številke, s katerimi se pomnožijo črke v takih izrazih, se imenujejo koeficienti.

Na primer, v monomu je koeficient enak. In je enak.

Torej, pravilo za prinašanje podobnega:

Primeri:

Prinesi podobno:

odgovori:

2. (in so si podobni, saj imajo torej ti izrazi enak črkovni del).

2. Faktorizacija

To je običajno najpomembnejši del pri poenostavitvi izrazov.

Potem ko ste dali podobne, je najpogosteje potreben nastali izraz faktoriziraj, torej predstavljati kot izdelek.

Še posebej to pomembno v ulomkih: ker da bi zmanjšali ulomek, števec in imenovalec morata biti izražena kot produkt.

Pregledali ste podrobne metode faktoriranja izrazov v temi "", zato se morate tukaj samo spomniti, kaj ste se naučili.

Če želite to narediti, rešite nekaj primerov (morate faktorizirati)

Primeri:

rešitve:

3. Zmanjšanje frakcije.

No, kaj bi bilo lepšega kot prečrtati del števca in imenovalca ter ju zavreči iz svojega življenja?

To je lepota okrajšav.

Preprosto je:

Če števec in imenovalec vsebujeta enake faktorje, ju je mogoče zmanjšati, torej odstraniti iz ulomka.

To pravilo izhaja iz osnovne lastnosti ulomka:

Se pravi, bistvo operacije redukcije je to Števec in imenovalec ulomka delimo z istim številom (ali z istim izrazom).

Če želite zmanjšati ulomek, potrebujete:

1) števec in imenovalec faktoriziraj

2) če števec in imenovalec vsebujeta skupni dejavniki, jih je mogoče izbrisati.

Primeri:

Mislim, da je načelo jasno?

Rad bi vas opozoril na eno tipično napako v kratici. Čeprav je ta tema preprosta, vendar mnogi ljudje počnejo vse narobe, ne zavedajo se tega rezati- to pomeni delitištevec in imenovalec za isto število.

Brez okrajšav, če je števec ali imenovalec vsota.

Na primer: morate poenostaviti.

Nekateri to počnejo: kar je popolnoma narobe.

Drug primer: zmanjšati.

"Najpametnejši" bo naredil to:

Povej mi, kaj je tukaj narobe? Zdi se: - to je množitelj, tako da lahko zmanjšate.

Ampak ne: - to je faktor samo enega člena v števcu, vendar sam števec kot celota ni razložen na faktorje.

Tukaj je še en primer: .

Ta izraz je razstavljen na faktorje, kar pomeni, da lahko zmanjšate, torej delite števec in imenovalec z, nato pa z:

Takoj lahko razdelite na:

Da bi se izognili takšnim napakam, si zapomnite preprost način za ugotavljanje, ali je izraz faktorjen:

Aritmetična operacija, ki se pri izračunu vrednosti izraza izvede zadnja, je "glavna".

Se pravi, če namesto črk zamenjate nekaj (katerih koli) številk in poskusite izračunati vrednost izraza, potem če je zadnje dejanje množenje, potem imamo produkt (izraz je razstavljen na faktorje).

Če je zadnje dejanje seštevanje ali odštevanje, to pomeni, da izraz ni faktoriziran (in ga zato ni mogoče zmanjšati).

Če želite to popraviti sami, nekaj primerov:

Primeri:

rešitve:

1. Upam, da niste takoj hiteli rezati in? Še vedno ni bilo dovolj za "zmanjšanje" enot, kot je ta:

Prvi korak bi moral biti faktorizacija:

4. Seštevanje in odštevanje ulomkov. Približevanje ulomkov k skupnemu imenovalcu.

Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov je dobro znana operacija: iščemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in seštejemo/odštejemo števce.

Spomnimo se:

odgovori:

1. Imenovalci in so sopraprosti, torej nimajo skupnih faktorjev. Zato je LCM teh številk enak njihovemu produktu. To bo skupni imenovalec:

2. Tukaj je skupni imenovalec:

3. Tukaj najprej mešane frakcije spremenimo v nepravilne, nato pa - po običajni shemi:

Povsem druga stvar je, če ulomki vsebujejo črke, na primer:

Začnimo preprosto:

a) Imenovniki ne vsebujejo črk

Tukaj je vse enako kot pri navadnih številskih ulomkih: najdemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in dodamo / odštejemo števce:

zdaj lahko v števcu prinesete podobne, če sploh obstajajo, in jih faktorizirate:

Poskusite sami:

odgovori:

b) Imenovniki vsebujejo črke

Spomnimo se načela iskanja skupnega imenovalca brez črk:

Najprej določimo skupne dejavnike;

Nato enkrat izpišemo vse skupne faktorje;

in jih pomnožimo z vsemi drugimi faktorji, ne s skupnimi.

Za določitev skupnih faktorjev imenovalcev jih najprej razstavimo na preproste faktorje:

Poudarjamo skupne dejavnike:

Sedaj enkrat zapišemo skupne faktorje in jim dodamo vse neobičajne (nepodčrtane) faktorje:

To je skupni imenovalec.

Vrnimo se k črkam. Imenovalci so podani na popolnoma enak način:

Imenovce razstavimo na faktorje;

določiti skupne (identične) množitelje;

enkrat napišite vse skupne dejavnike;

Pomnožimo jih z vsemi drugimi faktorji, ne s skupnimi.

Torej, po vrsti:

1) imenovalce razstavi na faktorje:

2) določite skupne (identične) dejavnike:

3) enkrat napišite vse skupne faktorje in jih pomnožite z vsemi drugimi (nepodčrtanimi) faktorji:

Skupni imenovalec je torej tukaj. Prvi ulomek je treba pomnožiti z, drugega - z:

Mimogrede, obstaja en trik:

Na primer: .

V imenovalcih vidimo enake faktorje, le da vsi z različnimi kazalniki. Skupni imenovalec bo:

do te mere

do te mere

do te mere

v stopnji.

Zapletemo nalogo:

Kako narediti ulomke enak imenovalec?

Spomnimo se osnovne lastnosti ulomka:

Nikjer ni rečeno, da je mogoče isto število odšteti (ali dodati) od števca in imenovalca ulomka. Ker ni res!

Prepričajte se sami: vzemite na primer kateri koli ulomek in števcu in imenovalcu dodajte nekaj števila, na primer . Kaj se je naučilo?

Torej, še eno neomajno pravilo:

Ko ulomke pripeljete do skupnega imenovalca, uporabite samo operacijo množenja!

Toda kaj morate pomnožiti, da dobite?

Tukaj naprej in pomnožite. In pomnožite z:

Izrazi, ki jih ni mogoče faktorizirati, se imenujejo "elementarni faktorji".

Na primer, elementarni dejavnik. - tudi. Ampak – ne: razčlenjen je na faktorje.

Kaj pa izražanje? Je osnovno?

Ne, ker se lahko faktorizira:

(o faktorizaciji ste že prebrali v temi "").

Torej so osnovni faktorji, na katere razstaviš izraz s črkami, analog preprostih faktorjev, na katere razstaviš števila. In enako bomo storili z njimi.

Vidimo, da imata oba imenovalca faktor. Šlo bo na skupni imenovalec v moči (se spomnite, zakaj?).

Množitelj je elementaren in ga nimata skupnega, kar pomeni, da bo treba prvi ulomek preprosto pomnožiti z njim:

Še en primer:

rešitev:

Preden panično pomnožite te imenovalce, morate razmisliti, kako jih faktorizirati? Oba predstavljata:

V redu! Nato:

Še en primer:

rešitev:

Kot običajno razložimo imenovalce na faktorje. V prvem imenovalcu ga preprosto postavimo iz oklepajev; v drugem - razlika kvadratov:

Zdi se, da ni skupnih dejavnikov. Če pa pogledate natančno, sta si že tako podobni ... In resnica je:

Pa zapišimo:

To pomeni, da se je izkazalo tako: znotraj oklepaja smo zamenjali izraze, hkrati pa se je znak pred ulomkom spremenil v nasprotno. Upoštevajte, to boste morali storiti pogosto.

Zdaj pripeljemo do skupnega imenovalca:

Razumem? Zdaj pa preverimo.

Naloge za samostojno reševanje:

odgovori:

Tukaj si moramo zapomniti še eno stvar - razliko kock:

Upoštevajte, da imenovalec drugega ulomka ne vsebuje formule "kvadrat vsote"! Kvadrat vsote bi izgledal takole:

A je tako imenovani nepopolni kvadrat vsote: drugi člen v njem je zmnožek prvega in zadnjega in ne njunega podvojenega produkta. Nepopolni kvadrat vsote je eden od dejavnikov pri razširitvi razlike kock:

Kaj pa, če so že trije ulomki?

Ja, enako! Najprej bomo poskrbeli, da bo največje število faktorjev v imenovalcih enako:

Bodite pozorni: če spremenite predznake v enem oklepaju, se znak pred ulomkom spremeni v nasprotno. Ko zamenjamo predznake v drugem oklepaju, se znak pred ulomkom ponovno obrne. Posledično se on (znak pred ulomkom) ni spremenil.

Prvi imenovalec v celoti izpišemo v skupni imenovalec, nato pa mu dodamo vse faktorje, ki še niso zapisani, iz drugega in nato iz tretjega (in tako naprej, če je ulomkov več). Se pravi, gre takole:

Hmm ... Z ulomki je jasno, kaj storiti. Toda kaj je z dvema?

Preprosto je: znate seštevati ulomke, kajne? Torej morate poskrbeti, da bo dvojka postala ulomek! Ne pozabite: ulomek je operacija deljenja (števec je deljen z imenovalcem, če ste nenadoma pozabili). In ni nič lažjega kot deljenje števila. V tem primeru se številka sama ne bo spremenila, ampak se bo spremenila v ulomek:

Točno tisto, kar je potrebno!

5. Množenje in deljenje ulomkov.

No, zdaj je najtežjega konec. In pred nami je najpreprostejše, a hkrati najpomembnejše:

Postopek

Kakšen je postopek za izračun številskega izraza? Ne pozabite, če upoštevate vrednost takega izraza:

Ste šteli?

Moralo bi delovati.

Torej, spomnim te.

Prvi korak je izračun stopnje.

Drugi je množenje in deljenje. Če je hkrati več množenja in deljenja, jih lahko naredite v poljubnem vrstnem redu.

In na koncu izvedemo seštevanje in odštevanje. Spet v poljubnem vrstnem redu.

Toda: izraz v oklepaju je ovrednoten po zaporedju!

Če med seboj pomnožimo ali delimo več oklepajev, najprej ocenimo izraz v vsakem od oklepajev, nato pa jih pomnožimo ali razdelimo.

Kaj pa, če so v oklepajih še drugi oklepaji? No, pomislimo: nek izraz je napisan v oklepajih. Kaj je treba najprej narediti pri ocenjevanju izraza? Tako je, izračunaj oklepaje. No, ugotovili smo: najprej izračunamo notranje oklepaje, nato vse ostalo.

Torej, vrstni red dejanj za zgornji izraz je naslednji (trenutno dejanje je označeno z rdečo, to je dejanje, ki ga trenutno izvajam):

V redu, vse je preprosto.

Ampak to ni isto kot izraz s črkami, kajne?

Ne, isto je! Samo namesto aritmetičnih operacij je potrebno izvesti algebraične operacije, torej operacije, opisane v prejšnjem razdelku: prinaša podobno, seštevanje ulomkov, zmanjševanje ulomkov itd. Edina razlika bo delovanje faktoriranja polinomov (pogosto ga uporabljamo pri delu z ulomki). Najpogosteje morate za faktorizacijo uporabiti i ali preprosto vzeti skupni faktor iz oklepajev.

Običajno je naš cilj predstaviti izraz kot produkt ali količnik.

Na primer:

Poenostavimo izraz.

1) Najprej poenostavimo izraz v oklepajih. Tam imamo razliko ulomkov in naš cilj je, da jo predstavimo kot produkt ali količnik. Torej, ulomke pripeljemo do skupnega imenovalca in dodamo:

Ta izraz je nemogoče dodatno poenostaviti, vsi dejavniki so tukaj osnovni (se še spomnite, kaj to pomeni?).

2) Dobimo:

Množenje ulomkov: kaj bi lahko bilo lažje.

3) Zdaj lahko skrajšate:

No to je vse. Nič zapletenega, kajne?

Še en primer:

Poenostavite izraz.

Najprej poskusite rešiti sami in šele nato poglejte rešitev.

rešitev:

Najprej definirajmo postopek.

Najprej dodajmo ulomke v oklepajih, namesto dveh ulomkov se bo izkazala ena.

Nato bomo naredili delitev ulomkov. No, rezultat dodamo z zadnjim ulomkom.

Shematično bom oštevilčil korake:

Zdaj bom pokazal celoten postopek in obarval trenutno dejanje z rdečo:

Na koncu vam bom dal dva koristna nasveta:

1. Če so podobni, jih je treba takoj prinesti. V vsakem trenutku, ko imamo podobne, je priporočljivo, da jih prinesemo takoj.

2. Enako velja za zmanjševanje ulomkov: takoj ko se pojavi priložnost za zmanjšanje, jo je treba izkoristiti. Izjema so ulomki, ki jih seštevate ali odštevate: če imajo zdaj enake imenovalce, potem zmanjšanje pustite za pozneje.

Tukaj je nekaj nalog, ki jih lahko rešite sami:

In obljubil na samem začetku:

odgovori:

Rešitve (na kratko):

Če ste se spopadli z vsaj prvimi tremi primeri, potem ste, pomislite, obvladali temo.

Zdaj pa k učenju!

PRETVORBA IZRAZA. POVZETEK IN OSNOVNA FORMULA

Osnovne operacije poenostavitve:

• Prinašanje podobnih: če želite dodati (zmanjšati) podobne izraze, morate dodati njihove koeficiente in dodeliti črkovni del.
• Faktorizacija: vzeti skupni faktor iz oklepajev, uporabiti itd.
• Zmanjšanje frakcije: števec in imenovalec ulomka lahko pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, od katerega se vrednost ulomka ne spremeni.
  1) števec in imenovalec faktoriziraj
  2) če so v števcu in imenovalcu skupni faktorji, jih lahko prečrtamo.

  POMEMBNO: zmanjšati je mogoče samo množitelje!

• Seštevanje in odštevanje ulomkov:
  ;
• Množenje in deljenje ulomkov:
  ;

Opomba 1

Logično funkcijo je mogoče zapisati z logičnim izrazom, nato pa lahko greš na logično vezje. Logične izraze je treba poenostaviti, da dobimo čim bolj preprosto (in s tem cenejše) logično vezje. Pravzaprav so logična funkcija, logični izraz in logično vezje trije različni jeziki, ki govorijo o isti entiteti.

Za poenostavitev logičnih izrazov uporabite zakoni algebre logike.

Nekatere transformacije so podobne transformacijam formul v klasični algebri (zaklepanje skupnega faktorja, uporaba komutativnih in asociativnih zakonov itd.), medtem ko druge transformacije temeljijo na lastnostih, ki jih klasične algebrske operacije nimajo (z uporabo zakona distribucije za konjunkcijo, zakoni absorpcije, lepljenja, de Morganova pravila itd.).

Zakoni algebre logike so oblikovani za osnovne logične operacije - "NE" - inverzija (negacija), "IN" - konjunkcija (logično množenje) in "ALI" - disjunkcija (logično seštevanje).

Zakon dvojne negacije pomeni, da je operacija "NE" reverzibilna: če jo uporabite dvakrat, se na koncu logična vrednost ne bo spremenila.

Zakon izključene sredine pravi, da je vsak logični izraz resničen ali napačen (»tretjega ni«). Torej, če je $A=1$, potem je $\bar(A)=0$ (in obratno), kar pomeni, da je konjunkcija teh veličin vedno enaka nič, disjunkcija pa ena.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Poenostavimo to formulo:

Slika 3

To pomeni, da je $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

odgovor: učenci $B$, $C$ in $D$ igrajo šah, študent $A$ pa ne igra.

Pri poenostavitvi logičnih izrazov lahko izvedete naslednje zaporedje dejanj:

1. Zamenjajte vse »neosnovne« operacije (ekvivalentnost, implikacijo, ekskluzivno ALI itd.) z njihovimi izrazi z osnovnimi operacijami inverzije, konjunkcije in disjunkcije.
2. Razširite inverzije kompleksnih izrazov po de Morganovih pravilih tako, da imajo samo posamezne spremenljivke operacije negacije.
3. Nato poenostavite izraz z uporabo razširitve oklepajev, skupnih faktorjev v oklepajih in drugih zakonov algebre logike.

Primer 2

Tu se zaporedoma uporabljajo de Morganovo pravilo, distributivni zakon, zakon izključene sredine, komutativni zakon, zakon ponavljanja, spet komutativni zakon in zakon absorpcije.

S pomočjo katerega koli jezika lahko izrazite iste informacije z različnimi besedami in besednimi zvezami. Matematični jezik ni izjema. Toda isti izraz je mogoče enakovredno zapisati na različne načine. In v nekaterih situacijah je eden od vnosov enostavnejši. V tej lekciji bomo govorili o poenostavitvi izrazov.

Ljudje se sporazumevajo v različnih jezikih. Za nas je pomembna primerjava par "ruski jezik - matematični jezik". Isti podatki se lahko poročajo v različnih jezikih. Toda poleg tega se lahko v enem jeziku izgovori različno.

Na primer: "Peter je prijatelj z Vasjo", "Vasya je prijatelj s Petjo", "Peter in Vasya sta prijatelja". Rečeno drugače, a eno in isto. S katerim koli od teh stavkov bi razumeli, kaj je na kocki.

Poglejmo ta stavek: "Fant Petya in fant Vasya sta prijatelja." Razumemo, kaj je na kocki. Vendar nam ni všeč, kako ta fraza zveni. Ali ga ne moremo poenostaviti, reči enako, a preprosteje? "Fant in fant" - enkrat lahko rečete: "Fanta Petya in Vasya sta prijatelja."

"Fantje" ... Ali ni iz njihovih imen razvidno, da niso dekleta. Odstranimo "fantje": "Petya in Vasya sta prijatelja." In besedo "prijatelji" je mogoče zamenjati s "prijatelji": "Petya in Vasya sta prijatelja." Posledično je bila prva, dolga, grda fraza zamenjana z enakovredno izjavo, ki jo je lažje reči in razumeti. To besedno zvezo smo poenostavili. Poenostaviti pomeni povedati lažje, vendar ne izgubiti, ne izkrivljati pomena.

Enako se dogaja v matematičnem jeziku. Enako lahko rečemo drugače. Kaj pomeni poenostaviti izraz? To pomeni, da za izvirni izraz obstaja veliko enakovrednih izrazov, torej tistih, ki pomenijo isto stvar. In iz vse te množice moramo izbrati najpreprostejšega, po našem mnenju, oziroma najprimernejšega za naše nadaljnje namene.

Na primer, razmislite o številskem izrazu. To bo enakovredno .

Prav tako bo enakovreden prvima dvema: .

Izkazalo se je, da smo svoje izraze poenostavili in našli najkrajši enakovredni izraz.

Za številske izraze morate vedno opraviti vse delo in dobiti enakovredni izraz kot eno število.

Razmislite o primeru dobesednega izraza . Očitno bo bolj preprosto.

Ko poenostavljate dobesedne izraze, morate izvesti vsa možna dejanja.

Ali je vedno treba izraz poenostaviti? Ne, včasih nam bo bolj priročen enakovredni, a daljši zapis.

Primer: Odštejte število od števila.

Možno je izračunati, vendar če bi bilo prvo število predstavljeno z enakovrednim zapisom: , potem bi bili izračuni trenutni: .

To pomeni, da nam poenostavljen izraz ni vedno koristen za nadaljnje izračune.

Kljub temu se zelo pogosto soočamo z nalogo, ki zveni le kot »poenostavi izraz«.

Poenostavite izraz: .

Rešitev

1) Izvedite dejanja v prvem in drugem oklepaju: .

2) Izračunajte izdelke: .

Očitno ima zadnji izraz enostavnejšo obliko od začetnega. Poenostavili smo ga.

Za poenostavitev izraza ga je treba nadomestiti z enakovrednim (enako).

Za določitev enakovrednega izraza morate:

1) izvesti vsa možna dejanja,

2) uporabite lastnosti seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja za poenostavitev izračunov.

Lastnosti seštevanja in odštevanja:

1. Komutativna lastnost seštevanja: vsota se ne spremeni od preureditve členov.

2. Asociativna lastnost seštevanja: če želite vsoti dveh številk dodati še tretje število, lahko prvemu številu dodate vsoto drugega in tretjega števila.

3. Lastnost odštevanja vsote od števila: če želite vsoto odšteti od števila, lahko odštejete vsak člen posebej.

Lastnosti množenja in deljenja

1. Komutativna lastnost množenja: produkt se ne spremeni iz permutacije faktorjev.

2. Asociativna lastnost: če želite število pomnožiti z zmnožkom dveh števil, ga lahko najprej pomnožite s prvim faktorjem, nato pa dobljeni produkt pomnožite z drugim faktorjem.

3. Distributivna lastnost množenja: če želite število pomnožiti z vsoto, ga morate pomnožiti z vsakim členom posebej.

Poglejmo, kako dejansko izvajamo miselne izračune.

Izračunaj:

Rešitev

1) Predstavljajte si, kako

2) Predstavljajmo prvi množitelj kot vsoto bitnih členov in izvedemo množenje:

3) lahko si predstavljate, kako in izvajate množenje:

4) Prvi faktor zamenjajte z enakovredno vsoto:

Distribucijski zakon se lahko uporablja tudi v nasprotni smeri: .

Sledite tem korakom:

1) 2)

Rešitev

1) Za udobje lahko uporabite zakon o distribuciji, le uporabite ga v nasprotni smeri - vzemite skupni faktor iz oklepajev.

2) Vzemimo skupni faktor iz oklepajev

V kuhinji in na hodniku je treba kupiti linolej. Kuhinjski prostor - hodnik -. Obstajajo tri vrste linoleja: za in rubljev za. Koliko bo stala vsaka od treh vrst linoleja? (slika 1)

riž. 1. Ilustracija za stanje problema

Rešitev

Metoda 1. Ločeno lahko najdete, koliko denarja bo potrebno za nakup linoleja v kuhinji, nato pa ga dodajte na hodnik in seštejte nastala dela.

§ 1 Koncept poenostavitve dobesednega izraza

V tej lekciji se bomo seznanili s konceptom »podobnih izrazov« in se na primerih naučili, kako izvesti redukcijo podobnih izrazov, s čimer poenostavimo dobesedne izraze.

Ugotovimo pomen koncepta "poenostavitev". Beseda "poenostavitev" izhaja iz besede "poenostaviti". Poenostaviti pomeni narediti preprosto, enostavnejše. Zato poenostavitev dobesednega izraza pomeni, da ga naredimo krajšega z minimalnim številom dejanj.

Razmislite o izrazu 9x + 4x. To je dobesedni izraz, ki je vsota. Izrazi so tukaj predstavljeni kot produkti številke in črke. Številčni faktor takšnih izrazov se imenuje koeficient. V tem izrazu bosta koeficienta številki 9 in 4. Upoštevajte, da je množitelj, ki ga predstavlja črka, enak v obeh izrazih te vsote.

Spomnimo se distribucijskega zakona množenja:

Če želite vsoto pomnožiti s številom, lahko vsak izraz pomnožite s to številko in seštejete nastale produkte.

Na splošno je zapisano takole: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.

Ta zakon velja v obeh smereh ac + bc = (a + b) ∙ c

Uporabimo ga za naš dobesedni izraz: vsota produktov 9x in 4x je enaka zmnožku, katerega prvi faktor je vsota 9 in 4, drugi faktor je x.

9 + 4 = 13 je 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Namesto treh dejanj v izrazu je ostalo eno dejanje - množenje. Tako smo naš dobesedni izraz poenostavili, tj. poenostavil.

§ 2 Zmanjšanje podobnih izrazov

Izraza 9x in 4x se razlikujeta le po svojih koeficientih - takšni izrazi se imenujejo podobni. Črkovni del podobnih izrazov je enak. Podobni izrazi vključujejo tudi številke in enake izraze.

Na primer, v izrazu 9a + 12 - 15 bosta številki 12 in -15 podobna izraza, v vsoti produktov 12 in 6a pa števili 14 in produkti 12 in 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), bodo enaki členi podobni, predstavljeni z zmnožkom 12 in 6a.

Pomembno je omeniti, da izrazi z enakimi koeficienti in različnimi dobesednimi faktorji niso podobni, čeprav je včasih koristno zanje uporabiti distribucijski zakon množenja, na primer vsota produktov 5x in 5y je enaka produktu števila 5 in vsote x in y

5x + 5y = 5(x + y).

Poenostavimo izraz -9a + 15a - 4 + 10.

V tem primeru sta izraza -9a in 15a podobna, saj se razlikujeta le po koeficientih. Imata enak množitelj črk, podobna sta tudi izraza -4 in 10, saj sta številki. Dodamo podobne izraze:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Dobimo: 6a + 6.

S poenostavitvijo izraza smo našli vsote podobnih izrazov, v matematiki se temu reče redukcija podobnih členov.

Če je prinašanje takšnih izrazov težko, si lahko zanje izmislite besede in dodate predmete.

Upoštevajte na primer izraz:

Za vsako črko vzamemo svoj predmet: b-jabolko, c-hruška, potem se bo izkazalo: 2 jabolki minus 5 hrušk plus 8 hrušk.

Ali lahko od jabolk odštejemo hruške? Seveda ne. Lahko pa minus 5 hruškam dodamo 8 hrušk.

Podobne pogoje dajemo -5 hrušk + 8 hrušk. Podobni izrazi imajo enak dobesedni del, zato je pri zmanjševanju podobnih izrazov dovolj, da dodate koeficiente in rezultatu dodate dobesedni del:

(-5 + 8) hrušk - dobite 3 hruške.

Če se vrnemo k našemu dobesednemu izrazu, imamo -5s + 8s = 3s. Tako po redukciji podobnih členov dobimo izraz 2b + 3c.

Torej, v tej lekciji ste se seznanili s konceptom »podobnih izrazov« in se naučili, kako poenostaviti dobesedne izraze z uporabo podobnih izrazov.

Seznam uporabljene literature:

1. matematika. 6. razred: učni načrti za učbenik I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // avtor-prevajalec L.A. Topilin. Mnemosyne 2009.
2. matematika. 6. razred: učbenik za dijake izobraževalnih ustanov. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. matematika. 6. razred: učbenik za izobraževalne ustanove / G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov in drugi / uredil G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Ruska akademija znanosti, Ruska akademija za izobraževanje. M.: "Razsvetljenje", 2010.
4. matematika. 6. razred: učbenik za splošno izobraževalne ustanove / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
5. matematika. 6. razred: učbenik / G.K. Muravin, O.V. Mravlja. – M.: Droha, 2014.

Uporabljene slike: