Calculator de inegalități cu soluție online. Inegalități liniare

Inegalitatea este un raport numeric care ilustrează mărimea numerelor unul față de celălalt. Inegalitățile sunt utilizate pe scară largă în căutarea cantităților în științe aplicate. Calculatorul nostru vă va ajuta să rezolvați un subiect atât de dificil precum rezolvarea inegalităților liniare.

Ce este inegalitatea

Raporturi inegale în viața reală corespund comparării constante a diferitelor obiecte: mai sus sau mai jos, mai departe sau mai aproape, mai grele sau mai ușoare. Intuitiv sau vizual, putem înțelege că un obiect este mai mare, mai înalt sau mai greu decât altul, dar de fapt este întotdeauna vorba de a compara numerele care caracterizează cantitățile corespunzătoare. Puteți compara obiecte pe orice bază și, în orice caz, putem face o inegalitate numerică.

Dacă mărimile necunoscute în condiții specifice sunt egale, atunci pentru determinarea lor numerică facem o ecuație. Dacă nu, atunci în loc de semnul „egal”, putem indica orice alt raport între aceste cantități. Două numere sau obiecte matematice pot fi mai mari decât „>”, mai mici decât „<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Semnele de inegalitate în forma lor modernă au fost inventate de matematicianul britanic Thomas Harriot, care în 1631 a publicat o carte despre rapoartele inegale. Mai mare decât „>” și mai mic decât „<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Rezolvarea inegalităților

Inegalitățile, ca și ecuațiile, vin în diferite tipuri. Raporturile inegale liniare, pătrate, logaritmice sau exponențiale sunt dezlănțuite prin diferite metode. Oricum, indiferent de metodă, orice inegalitate trebuie mai întâi redusă la o formă standard. Pentru aceasta se folosesc transformări identice, care sunt identice cu modificările egalităților.

Transformări identitare ale inegalităților

Astfel de transformări ale expresiilor sunt foarte asemănătoare cu fantoma ecuațiilor, dar au nuanțe care sunt importante de luat în considerare atunci când dezlegați inegalitățile.

Prima transformare a identităţii este identică cu operaţia analogă cu egalităţi. Puteți adăuga sau scădea același număr sau expresie cu un x necunoscut de ambele părți ale raportului inegal, în timp ce semnul inegalității rămâne același. Cel mai adesea, această metodă este utilizată într-o formă simplificată ca transfer al termenilor expresiei prin semnul de inegalitate cu schimbarea semnului numărului la opus. Aceasta se referă la schimbarea semnului termenului în sine, adică + R atunci când este transferat prin orice semn de inegalitate se va schimba în - R și invers.

A doua transformare are două puncte:

Ambele părți ale unui raport inegal pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr pozitiv. Semnul inegalității în sine nu se va schimba.
Ambele părți ale inegalității pot fi împărțite sau înmulțite cu același număr negativ. Semnul inegalității în sine se va schimba în opus.

A doua transformare identică a inegalităților are diferențe serioase cu modificarea ecuațiilor. În primul rând, la înmulțirea/împărțirea cu un număr negativ, semnul unei expresii inegale se inversează întotdeauna. În al doilea rând, împărțirea sau înmulțirea părților unei relații este permisă numai printr-un număr, și nu prin orice expresie care conține o necunoscută. Cert este că nu putem ști cu siguranță dacă în spatele necunoscutului se ascunde un număr mai mare sau mai mic decât zero, așa că a doua transformare identică se aplică inegalităților exclusiv cu numere. Să ne uităm la aceste reguli cu exemple.

Exemple de dezlegare a inegalităților

În sarcinile de algebră, există o varietate de sarcini pe tema inegalităților. Să ne dăm o expresie:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Mai întâi, deschideți parantezele și mutați toate necunoscutele la stânga și toate numerele la dreapta.

6x − 12x > 6 + 3

Trebuie să împărțim ambele părți ale expresiei la −6, așa că atunci când găsim un x necunoscut, semnul de inegalitate se va schimba la opus.

La rezolvarea acestei inegalități, am folosit ambele transformări identice: am mutat toate numerele la dreapta semnului și am împărțit ambele părți ale raportului la un număr negativ.

Programul nostru este un calculator pentru rezolvarea inegalităților numerice care nu conțin necunoscute. Programul conține următoarele teoreme pentru rapoartele a trei numere:

în cazul în care un< B то A–C< B–C;
dacă A > B, atunci A–C > B–C.

În loc să scădeți termenii A-C, puteți specifica orice operație aritmetică: adunare, înmulțire sau împărțire. Astfel, calculatorul va prezenta automat inegalitățile de sume, diferențe, produse sau fracții.

Concluzie

În viața reală, inegalitățile sunt la fel de comune ca și ecuațiile. Desigur, în viața de zi cu zi, s-ar putea să nu fie necesare cunoștințe despre rezolvarea inegalităților. Cu toate acestea, în științele aplicate, inegalitățile și sistemele lor sunt utilizate pe scară largă. De exemplu, diverse studii ale problemelor economiei globale se reduc la compilarea și dezlănțuirea sistemelor de inegalități liniare sau pătrate, iar unele relații inegale servesc ca o modalitate fără ambiguitate de a demonstra existența anumitor obiecte. Utilizați programele noastre pentru a rezolva inegalitățile liniare sau verificați propriile calcule.

Forma ax 2 + bx + 0 0, unde (în loc de semnul >, poate exista, desigur, orice alt semn de inegalitate). Avem toate faptele teoriei necesare pentru rezolvarea unor astfel de inegalități, pe care acum le vom verifica.

Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Soluţie,

a) Luați în considerare parabola y \u003d x 2 - 2x - 3 prezentată în fig. 117.

Pentru a rezolva inegalitatea x 2 - 2x - 3 > 0 - aceasta înseamnă a răspunde la întrebarea, pentru care valorile lui x ordonatele punctelor parabolei sunt pozitive.

Observăm că y > 0, adică graficul funcției este situat deasupra axei x, la x< -1 или при х > 3.

Prin urmare, soluțiile inegalității sunt toate punctele deschise grindă(- 00 , - 1), precum și toate punctele fasciculului deschis (3, +00).

Folosind semnul U (semnul unirii multimilor), raspunsul se poate scrie astfel: (-00 , - 1) U (3, +00). Cu toate acestea, răspunsul poate fi scris și astfel:< - 1; х > 3.

b) Inegalitatea x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: programa situat sub axa x dacă -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Inegalitatea x 2 - 2x - 3 > 0 diferă de inegalitatea x 2 - 2x - 3 > 0 prin aceea că răspunsul trebuie să includă și rădăcinile ecuației x 2 - 2x - 3 = 0, adică punctele x = - 1

și x \u003d 3. Astfel, soluțiile acestei inegalități nestricte sunt toate punctele fasciculului (-00, - 1], precum și toate punctele fasciculului.

Matematicienii practicieni spun de obicei așa: de ce, rezolvând inegalitatea ax 2 + bx + c > 0, construim cu atenție un grafic parabolă al unei funcții pătratice

y \u003d ax 2 + bx + c (așa cum sa făcut în exemplul 1)? Este suficient să faceți o schiță schematică a graficului, pentru care trebuie doar să găsiți rădăcini trinom pătrat (punctul de intersecție al parabolei cu axa x) și stabiliți unde sunt îndreptate ramurile parabolei - în sus sau în jos. Această schiță schematică va oferi o interpretare vizuală a soluției inegalității.

Exemplul 2 Rezolvați inegalitatea - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Soluţie.

1) Aflați rădăcinile trinomului pătrat - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, care servește ca grafic al funcției y \u003d -2x 2 + Zx + 9, intersectează axa x în punctele 3 și - 1,5, iar ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, deoarece cele mai vechi coeficient- număr negativ - 2. În fig. 118 este o schiță a unui grafic.

3) Folosind fig. 118, concluzionăm:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Raspuns: x< -1,5; х > 3.

Exemplul 3 Rezolvați inegalitatea 4x 2 - 4x + 1< 0.
Soluţie.

1) Din ecuația 4x 2 - 4x + 1 = 0 găsim.

2) Trinomul pătrat are o rădăcină; aceasta înseamnă că parabola care servește ca grafic al unui trinom pătrat nu intersectează axa x, ci o atinge în punct. Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus (Fig. 119.)

3) Folosind modelul geometric prezentat în fig. 119, stabilim că inegalitatea specificată este satisfăcută numai la punctul, deoarece pentru toate celelalte valori ale lui x, ordonatele graficului sunt pozitive.
Răspuns: .
Probabil ați observat că, de fapt, în exemplele 1, 2, 3, un bine definit algoritm rezolvând inegalități pătratice, o vom formaliza.

Algoritmul de rezolvare a inegalității pătratice ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Primul pas al acestui algoritm este găsirea rădăcinilor unui trinom pătrat. Dar rădăcinile s-ar putea să nu existe, așa că ce să faci? Atunci algoritmul este inaplicabil, ceea ce înseamnă că este necesar să raționăm diferit. Cheia acestor argumente este dată de următoarele teoreme.

Cu alte cuvinte, dacă D< 0, а >0, atunci inegalitatea ax 2 + bx + c > 0 este satisfăcută pentru tot x; dimpotrivă, inegalitatea ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Dovada. programa funcții y \u003d ax 2 + bx + c este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus (deoarece a > 0) și care nu intersectează axa x, deoarece trinomul pătrat nu are rădăcini după condiție. Graficul este prezentat în fig. 120. Vedem că pentru tot x graficul este situat deasupra axei x, ceea ce înseamnă că pentru tot x este satisfăcută inegalitatea ax 2 + bx + c > 0, ceea ce trebuia demonstrat.

Cu alte cuvinte, dacă D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nu are soluții.

Dovada. Graficul funcției y \u003d ax 2 + bx + c este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos (deoarece un< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Exemplul 4. Rezolvați inegalitatea:

a) 2x 2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Aflați discriminantul trinomului pătrat 2x 2 - x + 4. Avem D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Coeficientul senior al trinomului (numărul 2) este pozitiv.

Prin urmare, prin teorema 1, pentru tot x, inegalitatea 2x 2 - x + 4 > 0 este satisfăcută, adică soluția inegalității date este întregul (-00, + 00).

b) Aflați discriminantul trinomului pătrat - x 2 + Zx - 8. Avem D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Răspuns: a) (-00, + 00); b) nu există soluții.

În exemplul următor, ne vom familiariza cu un alt mod de raționament, care este folosit în rezolvarea inegalităților pătratice.

Exemplul 5 Rezolvați inegalitatea 3x 2 - 10x + 3< 0.
Soluţie. Să factorizăm trinomul pătrat 3x 2 - 10x + 3. Rădăcinile trinomului sunt numerele 3 și, prin urmare, folosind ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), obținem Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Notăm pe linia numerică rădăcinile trinomului: 3 și (Fig. 122).

Fie x > 3; atunci x-3>0 și x->0 și, prin urmare, produsul 3(x - 3)(x - ) este pozitiv. În continuare, lasă< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Prin urmare, produsul 3(x-3)(x-) este negativ. În cele din urmă, fie x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) este pozitiv.

Rezumând raționamentul, ajungem la concluzia: semnele trinomului pătrat Zx 2 - 10x + 3 se modifică așa cum se arată în Fig. 122. Ne interesează pentru ce x ia valori negative trinomul pătrat. Din fig. 122 concluzionăm: trinomul pătrat 3x 2 - 10x + 3 ia valori negative pentru orice valoare a lui x din intervalul (, 3)
Răspuns (, 3) sau< х < 3.

Cometariu. Metoda de raționament pe care am aplicat-o în Exemplul 5 se numește de obicei metoda intervalelor (sau metoda intervalelor). Este folosit în mod activ în matematică pentru a rezolva raţional inegalităților. În clasa a IX-a vom studia mai detaliat metoda intervalului.

Exemplul 6. La ce valori ale parametrului p este ecuația pătratică x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) are două rădăcini diferite;

b) are o singură rădăcină;

c) nu are -rădăcini?

Soluţie. Numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice depinde de semnul discriminantului său D. În acest caz, găsim D \u003d 25 - 4p 2.

a) O ecuație pătratică are două rădăcini diferite, dacă D> 0, atunci problema se reduce la rezolvarea inegalității 25 - 4p 2 > 0. Înmulțim ambele părți ale acestei inegalități cu -1 (amintindu-ne să schimbăm semnul inegalității). Obținem o inegalitate echivalentă 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Semnele expresiei 4(p - 2,5) (p + 2,5) sunt prezentate în fig. 123.

Concluzionăm că inegalitatea 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) ecuație pătratică are o rădăcină dacă D este 0.
După cum am menționat mai sus, D = 0 la p = 2,5 sau p = -2,5.

Pentru aceste valori ale parametrului p, această ecuație pătratică are o singură rădăcină.

c) O ecuație pătratică nu are rădăcini dacă D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Obținem 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, de unde (vezi Fig. 123) p< -2,5; р >2.5. Pentru aceste valori ale parametrului p, această ecuație pătratică nu are rădăcini.

Răspuns: a) la p (-2,5, 2,5);

b) la p = 2,5 sau p = -2,5;
c) la r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algebră. Nota 8: Proc. pentru invatamantul general instituţii.- ed. a III-a, finalizat. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.

Ajutați un student online, descărcare Matematică pentru clasa a 8-a, planificare calendaristică

vezi și Rezolvarea grafică a unei probleme de programare liniară, Forma canonică a problemelor de programare liniară

Sistemul de constrângeri pentru o astfel de problemă constă din inegalități în două variabile:
iar funcţia obiectiv are forma F = C 1 X + C 2 y, care urmează să fie maximizat.

Să răspundem la întrebarea: ce perechi de numere ( X; y) sunt soluții ale sistemului de inegalități, adică satisfac fiecare dintre inegalități simultan? Cu alte cuvinte, ce înseamnă să rezolvi un sistem grafic?
Mai întâi trebuie să înțelegeți care este soluția unei inegalități liniare cu două necunoscute.
A rezolva o inegalitate liniară cu două necunoscute înseamnă a determina toate perechile de valori ale necunoscutelor pentru care inegalitatea este satisfăcută.
De exemplu, inegalitatea 3 X – 5y≥ 42 satisfac perechile ( X , y): (100, 2); (3, –10), etc. Problema este de a găsi toate astfel de perechi.
Luați în considerare două inegalități: topor + de≤ c, topor + de≥ c. Drept topor + de = cîmparte planul în două semiplane astfel încât coordonatele punctelor unuia dintre ele să satisfacă inegalitatea topor + de >c, iar cealaltă inegalitate topor + +de <c.
Într-adevăr, luați un punct cu coordonate X = X 0; apoi un punct situat pe o linie dreaptă și având o abscisă X 0 , are o ordonată

Lăsați pentru certitudine A<0, b>0, c>0. Toate punctele cu abscisă X 0 mai sus P(de exemplu, punct M), avea y M>y 0 și toate punctele sub punct P, cu abscisă X 0, au yN<y 0 . În măsura în care X 0 este un punct arbitrar, atunci vor exista întotdeauna puncte pe o parte a liniei pentru care topor+ de > c, formând un semiplan, iar pe de altă parte, puncte pentru care topor + de< c.

Poza 1

Semnul de inegalitate în semiplan depinde de numere A, b , c.
Aceasta implică următoarea metodă de rezolvare grafică a sistemelor de inegalități liniare în două variabile. Pentru a rezolva sistemul, aveți nevoie de:

Pentru fiecare inegalitate, scrieți ecuația corespunzătoare inegalității date.
Construiți linii care sunt grafice ale funcțiilor date prin ecuații.
Pentru fiecare linie dreaptă, determinați semiplanul, care este dat de inegalitatea. Pentru a face acest lucru, luați un punct arbitrar care nu se află pe o linie dreaptă, înlocuiți coordonatele sale în inegalitate. dacă inegalitatea este adevărată, atunci semiplanul care conține punctul ales este soluția inegalității inițiale. Dacă inegalitatea este falsă, atunci semiplanul de pe cealaltă parte a dreptei este mulțimea soluțiilor acestei inegalități.
Pentru a rezolva un sistem de inegalități, este necesar să găsiți aria de intersecție a tuturor semiplanurilor care sunt soluția fiecărei inegalități din sistem.

Această zonă se poate dovedi goală, atunci sistemul de inegalități nu are soluții, este inconsecvent. În caz contrar, se spune că sistemul este compatibil.
Soluțiile pot fi un număr finit și o mulțime infinită. Zona poate fi un poligon închis sau poate fi nelimitată.

Să ne uităm la trei exemple relevante.

Exemplul 1. Rezolvați grafic sistemul:
X + y- 1 ≤ 0;
–2X- 2y + 5 ≤ 0.

se consideră ecuațiile x+y–1=0 și –2x–2y+5=0 corespunzătoare inegalităților;
să construim drepte date de aceste ecuații.

Figura 2

Să definim semiplanurile date de inegalități. Luați un punct arbitrar, fie (0; 0). Considera X+ y– 1 0, înlocuim punctul (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. prin urmare, în semiplanul în care se află punctul (0; 0), X + y – 1 ≤ 0, adică semiplanul situat sub linia dreaptă este soluția primei inegalități. Înlocuind acest punct (0; 0) în al doilea, obținem: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, i.e. în semiplanul în care se află punctul (0; 0), -2 X – 2y+ 5≥ 0 și am fost întrebați unde -2 X – 2y+ 5 ≤ 0, deci, într-un alt semiplan - în cel de deasupra dreptei.
Găsiți intersecția acestor două semiplane. Dreptele sunt paralele, deci planele nu se intersectează nicăieri, ceea ce înseamnă că sistemul acestor inegalități nu are soluții, este inconsecvent.

Exemplul 2. Găsiți grafic soluții ale sistemului de inegalități:

Figura 3
1. Notați ecuațiile corespunzătoare inegalităților și construiți drepte.
X + 2y– 2 = 0

X	2	0
y	0	1

y – X – 1 = 0

X	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. După ce am ales punctul (0; 0), determinăm semnele inegalităților în semiplanuri:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, adică. X + 2y– 2 ≤ 0 în semiplanul de sub dreapta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, adică y –X– 1 ≤ 0 în semiplanul de sub dreapta;
0 + 2 =2 ≥ 0, adică y+ 2 ≥ 0 în semiplanul de deasupra dreptei.
3. Intersecția acestor trei semiplane va fi o zonă care este un triunghi. Nu este dificil să găsiți vârfurile regiunii ca puncte de intersecție ale dreptelor corespunzătoare

În acest fel, DAR(–3; –2), ÎN(0; 1), DIN(6; –2).

Să luăm în considerare încă un exemplu, în care domeniul rezultat al soluției sistemului nu este limitat.

Rezolvarea inegalităților online

Înainte de a rezolva inegalitățile, este necesar să înțelegem bine cum se rezolvă ecuațiile.

Nu contează dacă inegalitatea este strictă () sau nestrictă (≤, ≥), primul pas este rezolvarea ecuației prin înlocuirea semnului de inegalitate cu egalitate (=).

Explicați ce înseamnă rezolvarea unei inegalități?

După ce a studiat ecuațiile, elevul are următoarea imagine în cap: trebuie să găsiți astfel de valori ale variabilei pentru care ambele părți ale ecuației iau aceleași valori. Cu alte cuvinte, găsiți toate punctele în care este valabilă egalitatea. Totul este corect!

Când se vorbește despre inegalități, ele înseamnă găsirea intervalelor (segmentelor) pe care se ține inegalitatea. Dacă există două variabile în inegalitate, atunci soluția nu va mai fi intervale, ci niște zone din plan. Ghici care va fi soluția inegalității în trei variabile?

Cum se rezolvă inegalitățile?

Metoda intervalelor (aka metoda intervalelor) este considerată a fi o modalitate universală de rezolvare a inegalităților, care constă în determinarea tuturor intervalelor în care se va îndeplini inegalitatea dată.

Fără a intra în tipul inegalității, în acest caz nu este esența, se cere să se rezolve ecuația corespunzătoare și să se determine rădăcinile acesteia, urmată de desemnarea acestor soluții pe axa numerică.

Care este modul corect de a scrie soluția unei inegalități?

Când ați determinat intervalele pentru rezolvarea inegalității, trebuie să scrieți corect soluția în sine. Există o nuanță importantă - limitele intervalelor sunt incluse în soluție?

Totul este simplu aici. Dacă soluția ecuației satisface ODZ și inegalitatea nu este strictă, atunci granița intervalului este inclusă în soluția inegalității. Altfel, nu.

Luând în considerare fiecare interval, soluția inegalității poate fi intervalul în sine, sau un semi-interval (când una dintre limitele sale satisface inegalitatea), sau un segment - un interval împreună cu limitele sale.

Punct important

Să nu credeți că numai intervalele, semiintervalele și segmentele pot fi soluția unei inegalități. Nu, punctele individuale pot fi incluse și în soluție.

De exemplu, inegalitatea |x|≤0 are o singură soluție - punctul 0.

Și inegalitatea |x|

Pentru ce este calculatorul de inegalități?

Calculatorul de inegalități oferă răspunsul final corect. În acest caz, în cele mai multe cazuri, este dată o ilustrare a unei axe numerice sau a unui plan. Puteți vedea dacă limitele intervalelor sunt incluse sau nu în soluție - punctele sunt afișate umplute sau perforate.

Datorită calculatorului de inegalități online, puteți verifica dacă ați găsit corect rădăcinile ecuației, le-ați marcat pe linia numerică și ați verificat condițiile de inegalitate pe intervale (și limite)?

Dacă răspunsul dvs. diferă de răspunsul calculatorului, atunci trebuie neapărat să vă verificați soluția și să identificați greșeala făcută.

Inegalitate este o expresie cu, ≤ sau ≥. De exemplu, 3x - 5 A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi toate valorile variabilelor pentru care această inegalitate este adevărată. Fiecare dintre aceste numere este o soluție a inegalității, iar mulțimea tuturor acestor soluții este a acestuia multe solutii. Se numesc inegalitățile care au același set de soluții inegalități echivalente.

Inegalități liniare

Principiile de rezolvare a inegalităților sunt similare cu principiile de rezolvare a ecuațiilor.

Principii de rezolvare a inegalităților
Pentru orice numere reale a, b și c:
Principiul adunării inegalităților: În cazul în care un Principiul înmulțirii pentru inegalități: Dacă un 0 este adevărat, atunci ac Dacă un bc este și adevărat.
Afirmații similare se aplică și pentru a ≤ b.

Când ambele părți ale unei inegalități sunt înmulțite cu un număr negativ, semnul inegalității trebuie inversat.
Se numesc inegalitățile de primul nivel, ca în exemplul 1 (mai jos). inegalități liniare.

Exemplul 1 Rezolvați fiecare dintre următoarele inegalități. Apoi desenați un set de soluții.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Soluţie
Orice număr mai mic de 11/5 este o soluție.
Mulțimea soluțiilor este (x|x
Pentru a face o verificare, putem reprezenta grafic y 1 = 3x - 5 și y 2 = 6 - 2x. Atunci se vede de aici că pentru x
Mulțimea soluției este (x|x ≤ 1), sau (-∞, 1). Graficul setului de soluții este prezentat mai jos.

Inegalități duble

Când două inegalități sunt legate printr-un cuvânt Și, sau, apoi se formează dubla inegalitate. Dubla inegalitate ca
-3 Și 2x + 5 ≤ 7
numit conectat pentru ca foloseste Și. Înregistrarea -3 Inegalitățile duble pot fi rezolvate folosind principiile adunării și înmulțirii inegalităților.

Exemplul 2 Rezolvați -3 Soluţie Avem

Mulțimea soluțiilor (x|x ≤ -1 sau x > 3). De asemenea, putem scrie soluția folosind notația de spațiere și simbolul pentru asociațiile sau incluziuni ale ambelor multimi: (-∞ -1] (3, ∞). Graficul multimii de solutii este prezentat mai jos.

Pentru a testa, desenați y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 și y 3 = 1. Rețineți că pentru (x|x ≤ -1 sau x > 3), y 1 ≤ y 2 sau y 1 > y 3 .

Inegalități cu valoare absolută (modul)

Inegalitățile conțin uneori module. Următoarele proprietăți sunt folosite pentru a le rezolva.
Pentru a > 0 și o expresie algebrică x:
|x| |x| > a este echivalent cu x sau x > a.
Afirmații similare pentru |x| ≤ a și |x| ≥ a.

De exemplu,
|x| |y| ≥ 1 este echivalent cu y ≤ -1 sau y ≥ 1;
și |2x + 3| ≤ 4 este echivalent cu -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Exemplul 4 Rezolvați fiecare dintre următoarele inegalități. Trasează setul de soluții.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Soluţie
a) |3x + 2|

Mulțimea soluției este (x|-7/3