Acasă > Agricultură

Paranteza deschisă este un număr. Paranteze extinse - Knowledge Hypermarket

Parantezele sunt folosite pentru a indica ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii numerice și alfabetice, precum și în expresii cu variabile. Este convenabil să treceți de la o expresie cu paranteze la identic expresie egală fara paranteze. Această tehnică se numește deschidere a parantezei.

A extinde paranteze înseamnă a elimina expresia acestor paranteze.

Un alt punct merită o atenție specială, care se referă la particularitățile soluțiilor de scriere la deschiderea parantezelor. Putem scrie expresia inițială cu paranteze și rezultatul obținut după deschiderea parantezelor ca egalitate. De exemplu, după deschiderea parantezelor, în locul expresiei
3−(5−7) obținem expresia 3−5+7. Putem scrie ambele expresii ca egalitatea 3−(5−7)=3−5+7.

Și încă unul punct important. La matematică, pentru a reduce intrările, se obișnuiește să nu se scrie semnul plus dacă este primul într-o expresie sau între paranteze. De exemplu, dacă adăugăm două numere pozitive, de exemplu, șapte și trei, atunci scriem nu +7 + 3, ci pur și simplu 7 + 3, în ciuda faptului că șapte este și un număr pozitiv. În mod similar, dacă vedeți, de exemplu, expresia (5 + x) - știți că există un plus în fața parantezei, care nu este scris, și există un plus + (+5 + x) în fața parantezei. cinci.

Regula de extindere a parantezei pentru adăugare

La deschiderea parantezelor, dacă există un plus înainte de paranteze, atunci acest plus este omis împreună cu parantezele.

Exemplu. Deschideți parantezele din expresia 2 + (7 + 3) Înainte de paranteze plus, apoi caracterele din fața numerelor din paranteze nu se schimbă.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Regula pentru extinderea parantezelor la scădere

Dacă există un minus înaintea parantezelor, atunci acest minus este omis împreună cu parantezele, dar termenii care erau în paranteze își schimbă semnul în sens opus. Absența unui semn înaintea primului termen între paranteze implică un semn +.

Exemplu. Deschideți paranteze în expresia 2 − (7 + 3)

Există un minus înaintea parantezelor, așa că trebuie să schimbați semnele înaintea numerelor din paranteze. Nu există niciun semn între paranteze înaintea numărului 7, ceea ce înseamnă că șapte este pozitiv, se consideră că semnul + este în fața lui.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Când deschidem parantezele, eliminăm minusul din exemplu, care era înainte de paranteze, și parantezele în sine 2 − (+ 7 + 3) și schimbăm semnele care erau în paranteze cu cele opuse.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Parantezele extinse la înmulțire

Dacă există un semn de înmulțire în fața parantezelor, atunci fiecare număr din paranteze este înmulțit cu factorul din fața parantezelor. În același timp, înmulțirea unui minus cu un minus dă un plus, iar înmulțirea unui minus cu un plus, ca și înmulțirea unui plus cu un minus, dă un minus.

Astfel, parantezele din produse sunt extinse în conformitate cu proprietatea distributivă a înmulțirii.

Exemplu. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Când înmulțiți paranteza cu paranteză, fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua paranteză.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

De fapt, nu este nevoie să ne amintim toate regulile, este suficient să ne amintim doar una, aceasta: c(a−b)=ca−cb. De ce? Pentru că dacă înlocuim unul în loc de c, obținem regula (a−b)=a−b. Și dacă înlocuim minus unu, obținem regula −(a−b)=−a+b. Ei bine, dacă înlocuiți o altă paranteză în loc de c, puteți obține ultima regulă.

Extindeți parantezele la împărțire

Dacă există un semn de împărțire după paranteze, atunci fiecare număr din paranteze este divizibil cu divizorul după paranteze și invers.

Exemplu. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3

Cum să extindeți parantezele imbricate

Dacă expresia conține paranteze imbricate, atunci acestea sunt extinse în ordine, începând cu externe sau interne.

În același timp, la deschiderea unuia dintre paranteze, este important să nu atingeți celelalte paranteze, doar rescriindu-le așa cum sunt.

Exemplu. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

să formeze capacitatea de a deschide paranteze, ținând cont de semnul din fața parantezelor;

  • în curs de dezvoltare:
    • dezvolta gandire logica, atenție, vorbire matematică, capacitatea de a analiza, compara, generaliza, trage concluzii;
  • educatori:
    •  formarea responsabilitatii, interes cognitiv pentru subiect

    În timpul orelor

    I. Moment organizatoric.

    Verifică-l prietene
    Ești pregătit pentru lecție?
    Este totul la locul lui? Totul e bine?
    Pix, carte și caiet.
    Toată lumea este așezată corect?
    Toată lumea urmărește cu atenție?

    Vreau să încep lecția cu o întrebare pentru tine:

    Care crezi că este cel mai valoros lucru de pe pământ? (Răspunsurile copiilor.)

    Această întrebare a tulburat omenirea de mii de ani. Iată răspunsul dat de celebrul om de știință Al-Biruni: „Cunoașterea este cea mai excelentă posesie. Toată lumea se străduiește pentru asta, dar nu vine de la sine.”

    Lăsați aceste cuvinte să fie motto-ul lecției noastre.

    II. Actualizarea cunoștințelor, abilităților, abilităților anterioare:

    Numărarea verbală:

    1.1. Ce dată este azi?

    2. Ce știi despre numărul 20?

    3. Și unde se află acest număr pe linia de coordonate?

    4. Numiți numărul reversului său.

    5. Numiți numărul opus acestuia.

    6. Care este numele numărului - 20?

    7. Ce numere se numesc opuse?

    8. Ce numere se numesc negative?

    9. Care este modulul numărului 20? - douăzeci?

    10. Care este suma numerelor opuse?

    2. Explicați următoarele intrări:

    a) Vechiul matematician al geniului Arhimede s-a născut în 0 287 î.Hr.

    b) Genialul matematician rus N.I. Lobaciovski s-a născut în 1792.

    pentru prima dată jocuri Olimpice a avut loc în Grecia în 776.

    d) Primele Jocuri Olimpice Internaționale au avut loc în 1896.

    e) În 2014 s-au desfășurat XXII-a Jocurile Olimpice de iarnă.

    3. Aflați ce numere se învârt pe „caruselul de matematică” (toate acțiunile sunt efectuate oral).

    II. Formarea de noi cunoștințe, abilități și abilități.

    Ați învățat cum să efectuați diferite operații cu numere întregi. Ce vom face mai departe? Cum vom rezolva exemple și ecuații?

    Să găsim sensul acestor expresii

    7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
    -7 + 3 + 4 = 0

    Care este procedura din 1 exemplu? Cât este între paranteze? Ordinea acțiunilor în al doilea exemplu? Rezultatul primei acțiuni? Ce se poate spune despre aceste expresii?

    Desigur, rezultatele primei și celei de a doua expresii sunt aceleași, așa că puteți pune un semn egal între ele: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

    Ce am făcut cu parantezele? (Pierdut.)

    Ce crezi că vom face astăzi în clasă? (Copiii formulează subiectul lecției.) În exemplul nostru, ce semn se află în fața parantezelor. (Plus.)

    Și așa ajungem la următoarea regulă:

    Dacă există un semn + înainte de paranteze, atunci puteți omite parantezele și acest semn +, păstrând semnele termenilor între paranteze. Dacă primul termen dintre paranteze este scris fără semn, atunci trebuie scris cu semnul +.

    Dar dacă există un semn minus în fața parantezelor?

    În acest caz, trebuie să raționați în același mod ca atunci când scădeți: trebuie să adăugați numărul opus celui care se scade:

    7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

    - Așa că, am deschis parantezele când era un semn minus în fața lor.

    Regula pentru extinderea parantezelor atunci când există un semn „-” în fața parantezelor.

    Pentru a deschide parantezele precedate de semnul -, trebuie să înlocuiți acest semn cu +, schimbând semnele tuturor termenilor din paranteze cu cele opuse, apoi deschideți parantezele.

    Să ascultăm regulile pentru deschiderea parantezelor în versete:

    Există un plus în fața parantezei.
    El vorbește despre asta
    Ce arunci parantezele
    Lasă toate semnele să iasă!
    Înainte de paranteză minus strict
    Ne va bloca drumul
    Pentru a elimina parantezele
    Trebuie să schimbăm semnele!

    Da, băieți, semnul minus este foarte insidios, este un „paznic” la poartă (paranteze), eliberează numere și variabile doar atunci când își schimbă „pașapoartele”, adică semnele.

    De ce trebuie să deschideți parantezele? (Când există paranteze, există un moment al unui element de incompletitudine, un fel de mister. Este ca și cum usa inchisa, în spatele căruia se află ceva interesant.) Astăzi am aflat acest secret.

    O mică digresiune în istorie:

    Paranteze apar în scrierile lui Vieta (1593). Parantezele au fost utilizate pe scară largă abia în prima jumătate a secolului al XVIII-lea, datorită lui Leibniz și cu atât mai mult lui Euler.

    Fizkultminutka.

    III. Consolidarea noilor cunoștințe, abilități și abilități.

    Lucrări manuale:

    Nr. 1234 (paranteze deschise) - oral.

    Nr. 1236 (paranteze deschise) - oral.

    Nr 1235 (aflați sensul expresiei) - în scris.

    Nr 1238 (simplificați expresiile) - lucrați în perechi.

    IV. Rezumând lecția.

    1. Se anunță punctajele.

    2. Casa. sarcina. 39 nr. 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.

    3. Ce am învățat astăzi?

    Ce ai invatat?

    Și vreau să închei lecția cu urări pentru fiecare dintre voi:

    „Arătați capacitatea de a face matematică,
    Nu fi leneș, ci dezvoltă-te zilnic.
    Înmulțiți, împărțiți, munciți, gândiți,
    Nu uita să fii prieten cu matematica.

    Funcția principală a parantezelor este de a schimba ordinea acțiunilor la calcularea valorilor. De exemplu, în expresia numerică \(5 3+7\) se va calcula mai întâi înmulțirea, iar apoi adunarea: \(5 3+7 =15+7=22\). Dar în expresia \(5·(3+7)\), se va calcula mai întâi adunarea între paranteze și abia apoi înmulțirea: \(5·(3+7)=5·10=50\).


    Exemplu. Extindeți paranteza: \(-(4m+3)\).
    Soluţie : \(-(4m+3)=-4m-3\).

    Exemplu. Extindeți paranteza și dați termeni similari \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
    Soluţie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).


    Exemplu. Extindeți parantezele \(5(3-x)\).
    Soluţie : Avem \(3\) și \(-x\) în paranteză și cinci în fața parantezei. Aceasta înseamnă că fiecare membru al parantezei este înmulțit cu \ (5 \) - vă reamintesc că semnul înmulțirii dintre un număr și o paranteză la matematică nu este scris pentru a reduce dimensiunea înregistrărilor.


    Exemplu. Extindeți parantezele \(-2(-3x+5)\).
    Soluţie : Ca și în exemplul anterior, \(-3x\) și \(5\) dintre paranteze sunt înmulțite cu \(-2\).

    Exemplu. Simplificați expresia: \(5(x+y)-2(x-y)\).
    Soluţie : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).


    Rămâne de luat în considerare ultima situație.

    Atunci când înmulțiți paranteza cu paranteză, fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua:

    \((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

    Exemplu. Extindeți parantezele \((2-x)(3x-1)\).
    Soluţie : Avem un produs de paranteze și poate fi deschis imediat folosind formula de mai sus. Dar pentru a nu ne încurca, să facem totul pas cu pas.
    Pasul 1. Îndepărtați primul parantez - fiecare dintre membrii săi este înmulțit cu al doilea paranteză:

    Pasul 2. Extindeți produsele suportului cu factorul descris mai sus:
    - primul primul...

    Apoi al doilea.

    Pasul 3. Acum înmulțim și aducem termeni similari:

    Nu este necesar să pictați toate transformările în detaliu, vă puteți înmulți imediat. Dar dacă doar înveți să deschideți paranteze - scrieți în detaliu, vor fi mai puține șanse să faceți o greșeală.

    Notă la întreaga secțiune. De fapt, nu trebuie să vă amintiți toate cele patru reguli, trebuie să vă amintiți doar una, aceasta: \(c(a-b)=ca-cb\) . De ce? Pentru că dacă înlocuim unul în loc de c, obținem regula \((a-b)=a-b\) . Și dacă înlocuim minus unu, obținem regula \(-(a-b)=-a+b\) . Ei bine, dacă înlocuiți o altă paranteză în loc de c, puteți obține ultima regulă.

    paranteză în paranteză

    Uneori, în practică, există probleme cu parantezele imbricate în alte paranteze. Iată un exemplu de astfel de sarcină: pentru a simplifica expresia \(7x+2(5-(3x+y))\).

    Pentru a avea succes în aceste sarcini, trebuie să:
    - înțelegeți cu atenție imbricarea parantezelor - care este în care;
    - deschideți parantezele succesiv, începând, de exemplu, cu cel mai interior.

    Este important la deschiderea unuia dintre suporturi nu atingeți restul expresiei, doar rescriindu-l așa cum este.
    Să luăm ca exemplu sarcina de mai sus.

    Exemplu. Deschideți parantezele și dați termeni similari \(7x+2(5-(3x+y))\).
    Soluţie:


    Exemplu. Extindeți parantezele și dați termeni similari \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
    Soluţie :

    \(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)

    Acesta este un triplu cuib de paranteze. Începem cu cel mai interior (evidențiat cu verde). Există un plus în fața parantezei, așa că este pur și simplu eliminat.

    \(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)

    Acum trebuie să deschideți al doilea parantez, intermediar. Dar înainte de asta, vom simplifica expresia prin plasarea unor termeni similari în această a doua paranteză.

    \(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)

    Acum deschidem al doilea parantez (evidențiat cu albastru). Există un multiplicator în fața parantezei - deci fiecare termen din paranteză este înmulțit cu acesta.

    \(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)

    Și deschide ultima paranteză. Înainte de paranteză minus - deci toate semnele sunt inversate.

    Deschiderea parantezei este o abilitate de bază în matematică. Fără această abilitate, este imposibil să ai o notă peste trei în clasele a 8-a și a 9-a. Prin urmare, recomand o bună înțelegere a acestui subiect.

    În acest articol, vom lua în considerare în detaliu regulile de bază pentru un subiect atât de important într-un curs de matematică precum parantezele de deschidere. Trebuie să cunoașteți regulile de deschidere a parantezelor pentru a rezolva corect ecuațiile în care sunt utilizate.

    Cum să deschideți corect parantezele atunci când adăugați

    Extindeți parantezele precedate de semnul „+”.

    Acesta este cel mai simplu caz, deoarece dacă în fața parantezelor există un semn de adunare, atunci când parantezele sunt deschise, semnele din interiorul lor nu se schimbă. Exemplu:

    (9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

    Cum să deschideți parantezele precedate de semnul „-”.

    În acest caz, trebuie să rescrieți toți termenii fără paranteze, dar în același timp să schimbați toate semnele din interiorul lor cu cele opuse. Semnele se schimbă numai pentru termenii din acele paranteze care au fost precedate de semnul „-”. Exemplu:

    (9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

    Cum să deschideți parantezele la înmulțire

    Parantezele sunt precedate de un multiplicator

    În acest caz, trebuie să înmulțiți fiecare termen cu un factor și să deschideți parantezele fără a schimba semnele. Dacă multiplicatorul are semnul „-”, atunci la înmulțire, semnele termenilor sunt inversate. Exemplu:

    3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

    Cum să deschideți două paranteze cu un semn de înmulțire între ele

    În acest caz, trebuie să înmulțiți fiecare termen din primele paranteze cu fiecare termen din a doua paranteză și apoi să adăugați rezultatele. Exemplu:

    (9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

    Cum să deschideți paranteze într-un pătrat

    Dacă suma sau diferența dintre doi termeni este pătrată, parantezele trebuie extinse conform următoarei formule:

    (x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

    În cazul unui minus între paranteze, formula nu se modifică. Exemplu:

    (9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

    Cum să deschideți parantezele într-un grad diferit

    Dacă suma sau diferența termenilor este ridicată, de exemplu, la a 3-a sau a 4-a putere, atunci trebuie doar să spargeți gradul parantezei în „pătrate”. Se adună puterile acelorași factori, iar la împărțire se scade gradul divizorului din gradul dividendului. Exemplu:

    (9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

    Cum se deschide 3 paranteze

    Există ecuații în care 3 paranteze sunt înmulțite deodată. În acest caz, trebuie mai întâi să înmulțiți termenii primelor două paranteze între ei, apoi să înmulțiți suma acestei înmulțiri cu termenii celui de-al treilea paranteză. Exemplu:

    (1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

    Aceste reguli de deschidere a parantezei se aplică în mod egal atât ecuațiilor liniare, cât și trigonometrice.

    Extinderea bracket-ului este un tip de transformare a expresiei. În această secțiune, vom descrie regulile de extindere a parantezelor și vom lua în considerare cele mai comune exemple de probleme.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Ce este extinderea parantezei?

    Parantezele sunt folosite pentru a indica ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii numerice și alfabetice, precum și în expresii cu variabile. Este convenabil să treceți de la o expresie cu paranteze la o expresie identică egală fără paranteze. De exemplu, înlocuiți expresia 2 (3 + 4) cu o expresie ca 2 3 + 2 4 fara paranteze. Această tehnică se numește deschidere a parantezei.

    Definiția 1

    Sub deschiderea parantezelor, ne referim la metodele de a scăpa de paranteze și sunt de obicei luate în considerare în raport cu expresii care pot conține:

    • semnele „+” sau „-” în fața parantezelor care conțin sume sau diferențe;
    • produsul unui număr, literă sau mai multor litere și suma sau diferența, care este plasată între paranteze.

    Acesta este modul în care obișnuiam să luăm în considerare procesul de extindere a parantezelor în curs curiculumul scolar. Cu toate acestea, nimeni nu ne împiedică să privim această acțiune mai larg. Putem numi extinderea parantezei tranziția de la o expresie care conține numere negative în paranteze la o expresie care nu are paranteze. De exemplu, putem trece de la 5 + (− 3) − (− 7) la 5 − 3 + 7 . De fapt, aceasta este și extinderea parantezei.

    În același mod, putem înlocui produsul expresiilor din paranteze de forma (a + b) · (c + d) cu suma a · c + a · d + b · c + b · d . De asemenea, această tehnică nu contrazice sensul extinderii parantezelor.

    Iată un alt exemplu. Putem presupune că în expresii, în loc de numere și variabile, se pot folosi orice expresii. De exemplu, expresia x 2 1 a - x + sin (b) va corespunde unei expresii fără paranteze de forma x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .

    Încă un punct merită o atenție specială, care se referă la particularitățile soluțiilor de scriere la deschiderea parantezelor. Putem scrie expresia inițială cu paranteze și rezultatul obținut după deschiderea parantezelor ca egalitate. De exemplu, după deschiderea parantezelor, în locul expresiei 3 − (5 − 7) obținem expresia 3 − 5 + 7 . Putem scrie ambele expresii ca egalitatea 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

    Efectuarea acțiunilor cu expresii greoaie poate necesita înregistrarea rezultatelor intermediare. Atunci soluția va avea forma unui lanț de egalități. De exemplu, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 sau 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

    Reguli pentru deschiderea parantezelor, exemple

    Să începem cu regulile de deschidere a parantezelor.

    Numerele simple între paranteze

    Numerele negative dintre paranteze apar adesea în expresii. De exemplu, (− 4) și 3 + (− 4) . Au loc și numere pozitive între paranteze.

    Să formulăm regula pentru deschiderea parantezelor care conțin numere pozitive simple. Să presupunem că a este orice număr pozitiv. Apoi putem înlocui (a) cu a, + (a) cu + a, - (a) cu - a. Dacă în loc de a luăm un anumit număr, atunci conform regulii: numărul (5) se va scrie ca 5 , expresia 3 + (5) fără paranteze va lua forma 3 + 5 , deoarece + (5) este înlocuit cu + 5 , iar expresia 3 + (− 5) este echivalentă cu expresia 3 − 5 , deoarece + (− 5) este înlocuit cu − 5 .

    Numerele pozitive sunt scrise de obicei fără a folosi paranteze, deoarece parantezele sunt redundante în acest caz.

    Acum luați în considerare regula pentru deschiderea parantezelor care conțin un singur număr negativ. + (−a) inlocuim cu − a, − (− a) se înlocuiește cu + a . Dacă expresia începe cu un număr negativ (-A), care este scris între paranteze, apoi parantezele sunt omise și în loc de (-A) ramane − a.

    Aici sunt cateva exemple: (− 5) poate fi scris ca − 5 , (− 3) + 0 , 5 devine − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) devine 4 − 3 , iar − (− 4) − (− 3) după deschiderea parantezelor ia forma 4 + 3 , deoarece − (− 4) și − (− 3) se înlocuiește cu + 4 și + 3 .

    Trebuie înțeles că expresia 3 · (− 5) nu poate fi scrisă ca 3 · − 5. Acest lucru va fi discutat în paragrafele următoare.

    Să vedem pe ce se bazează regulile de extindere a parantezei.

    Conform regulii, diferența a − b este egală cu a + (− b) . Pe baza proprietăților acțiunilor cu numere, putem face un lanț de egalități (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a care va fi corect. Acest lanț de egalități, în virtutea sensului de scădere, demonstrează că expresia a + (− b) este diferența a-b.

    Pe baza proprietăților numerelor opuse și a regulilor de scădere a numerelor negative, putem afirma că − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

    Există expresii care sunt formate dintr-un număr, semne minus și mai multe perechi de paranteze. Utilizarea regulilor de mai sus vă permite să scăpați secvențial de paranteze, trecând de la parantezele interioare la cele exterioare sau invers. Un exemplu de astfel de expresie ar fi − (− ((− (5)))) . Să deschidem parantezele, deplasându-ne din interior spre exterior: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Acest exemplu poate fi analizat și invers: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

    Sub Ași b poate fi înțeles nu numai ca numere, ci și ca numeric arbitrar sau expresii literale cu semnul „+” în față care nu sunt sume sau diferențe. În toate aceste cazuri, puteți aplica regulile în același mod în care am făcut-o cu numerele simple între paranteze.

    De exemplu, după deschiderea parantezelor, expresia − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) ia forma 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Cum am făcut-o? Știm că − (− 2 x) este + 2 x , și deoarece această expresie vine mai întâi, atunci + 2 x poate fi scris ca 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x și − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

    În produsele a două numere

    Să începem cu regula pentru extinderea parantezelor în produsul a două numere.

    Să ne prefacem că Ași b sunt două numere pozitive. În acest caz, produsul a două numere negative − ași − b de forma (− a) (− b) poate fi înlocuit cu (a b) , iar produsele a două numere cu semne opuse de forma (− a) b și a (− b) pot fi înlocuite cu (− a b). Înmulțirea unui minus cu un minus dă un plus, iar înmulțirea unui minus cu un plus, ca și înmulțirea unui plus cu un minus, dă un minus.

    Corectitudinea primei părți a regulii scrise este confirmată de regula de înmulțire a numerelor negative. Pentru a confirma a doua parte a regulii, putem folosi regulile de înmulțire a numerelor cu semne diferite.

    Să ne uităm la câteva exemple.

    Exemplul 1

    Se consideră algoritmul de deschidere a parantezelor în produsul a două numere negative - 4 3 5 și - 2 , de forma (- 2) · - 4 3 5 . Pentru a face acest lucru, înlocuim expresia originală cu 2 · 4 3 5 . Să extindem parantezele și să obținem 2 · 4 3 5 .

    Și dacă luăm câtul numerelor negative (− 4) : (− 2) , atunci înregistrarea după deschiderea parantezelor va arăta ca 4: 2

    În loc de numere negative − ași − b pot fi orice expresii cu semnul minus care nu sunt sume sau diferențe. De exemplu, acestea pot fi produse, parțiale, fracții, grade, rădăcini, logaritmi, funcții trigonometrice etc.

    Să deschidem parantezele din expresia - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Conform regulii, putem face următoarele transformări: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

    Expresie (− 3) 2 poate fi convertit la expresia (− 3 2) . După aceea, puteți deschide parantezele: − 3 2.

    2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

    Împărțirea numerelor cu semne diferite poate necesita, de asemenea, extinderea preliminară a parantezelor: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 și 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .

    Regula poate fi folosită pentru a efectua înmulțirea și împărțirea expresiilor cu semne diferite. Să dăm două exemple.

    1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

    sin (x) (- x 2) \u003d (- sin (x) x 2) \u003d - sin (x) x 2

    În produsele a trei sau mai multe numere

    Să trecem la produs și la coeficienti, care conțin cantitate mare numerele. Pentru extinderea parantezei, aici se va acționa următoarea regulă. La număr par numere negative, puteți omite parantezele, înlocuind numerele cu opuse. După aceea, trebuie să includeți expresia rezultată între paranteze noi. Pentru un număr impar de numere negative, omițând parantezele, înlocuiți numerele cu opuse. După aceea, expresia rezultată trebuie luată între paranteze noi și pune semnul minus în fața ei.

    Exemplul 2

    De exemplu, să luăm expresia 5 · (− 3) · (− 2) , care este produsul a trei numere. Există două numere negative, așa că putem scrie expresia ca (5 3 2) și apoi deschideți în cele din urmă parantezele, obținând expresia 5 3 2 .

    În produsul (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) cinci numere sunt negative. deci (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) . În cele din urmă, deschizând parantezele, obținem −2,5 3:2 4:1.25:1.

    Regula de mai sus poate fi justificată după cum urmează. În primul rând, putem rescrie astfel de expresii ca un produs, înlocuind împărțirea cu înmulțirea cu reciprocă. Reprezentăm fiecare număr negativ ca produs al unui multiplicator și înlocuim - 1 sau - 1 cu (− 1) a.

    Folosind proprietatea comutativă a înmulțirii, schimbăm factorii și transferăm toți factorii egali cu − 1 , până la începutul expresiei. Produsul unui număr par minus uni este egal cu 1, iar un număr impar este egal cu − 1 , care ne permite să folosim semnul minus.

    Dacă nu am folosi regula, atunci lanțul de acțiuni pentru deschiderea parantezelor în expresia - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 ar arăta astfel:

    2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

    Regula de mai sus poate fi folosită la extinderea parantezelor în expresii care sunt produse și coeficiente cu semnul minus care nu sunt sume sau diferențe. Luați de exemplu expresia

    x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .

    Poate fi redusă la o expresie fără paranteze x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

    Paranteze de deschidere precedate de semnul +

    Luați în considerare o regulă care poate fi aplicată pentru a extinde parantezele care sunt precedate de un semn plus, iar „conținutul” acelor paranteze nu este înmulțit sau împărțit cu niciun număr sau expresie.

    Conform regulii, parantezele împreună cu semnul din fața lor sunt omise, în timp ce semnele tuturor termenilor din paranteze sunt păstrate. Dacă nu există niciun semn în fața primului termen între paranteze, atunci trebuie să puneți un semn plus.

    Exemplul 3

    De exemplu, dăm expresia (12 − 3 , 5) − 7 . Omitând parantezele, păstrăm semnele termenilor din paranteze și punem semnul plus înaintea primului termen. Intrarea va arăta ca (12 − ​​​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . În exemplul de mai sus, nu este necesar să puneți un semn în fața primului termen, deoarece + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

    Exemplul 4

    Să luăm în considerare încă un exemplu. Luați expresia x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x și efectuați acțiuni cu ea x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

    Iată un alt exemplu de extindere a parantezei:

    Exemplul 5

    2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

    Cum se extinde parantezele precedate de un semn minus

    Luați în considerare cazurile în care există un semn minus în fața parantezelor și care nu sunt înmulțite (sau împărțite) cu niciun număr sau expresie. Conform regulii de extindere a parantezelor precedate de semnul „-”, parantezele cu semnul „-” sunt omise, în timp ce semnele tuturor termenilor din paranteze sunt inversate.

    Exemplul 6

    De exemplu:

    1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

    Expresiile variabile pot fi convertite folosind aceeași regulă:

    X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

    obținem x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .

    Deschiderea parantezelor la înmulțirea unui număr cu o paranteză, expresii cu o paranteză

    Aici vom lua în considerare cazurile în care este necesar să deschidem paranteze care sunt înmulțite sau împărțite cu orice număr sau expresie. Aici formule de forma (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) sau b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), Unde a 1 , a 2 , … , a nși b sunt niște numere sau expresii.

    Exemplul 7

    De exemplu, să extindem parantezele din expresie (3 − 7) 2. Conform regulii, putem face următoarele transformări: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Se obține 3 · 2 − 7 · 2 .

    Extinderea parantezelor din expresia 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, obținem 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

    Înmulțiți o paranteză cu o paranteză

    Se consideră produsul a două paranteze de forma (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Acest lucru ne va ajuta să obținem o regulă pentru extinderea parantezelor atunci când înmulțim o paranteză cu o paranteză.

    Pentru a rezolva exemplul de mai sus, notăm expresia (b 1 + b 2) ca b. Acest lucru ne va permite să folosim regula de multiplicare a parantezei-expresie. Se obține (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Făcând o înlocuire inversă b pe (b 1 + b 2), se aplică din nou regula de înmulțire a expresiei cu paranteză: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

    Datorită unui număr de trucuri simple, putem ajunge la suma produselor fiecăruia dintre termenii din prima paranteză și fiecare dintre termenii din a doua paranteză. Regula poate fi extinsă la orice număr de termeni dintre paranteze.

    Să formulăm regulile de înmulțire a parantezelor cu paranteze: pentru a înmulți două sume între ele, este necesar să înmulțim fiecare dintre termenii primei sume cu fiecare dintre termenii celei de-a doua sume și să adunăm rezultatele.

    Formula va arăta astfel:

    (a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

    Să extindem parantezele din expresia (1 + x) · (x 2 + x + 6) Este un produs al două sume. Să scriem soluția: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + xx 2 + xx + x 6

    Separat, merită să insistăm asupra cazurilor în care există un semn minus între paranteze împreună cu semnele plus. De exemplu, să luăm expresia (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

    În primul rând, reprezentăm expresiile dintre paranteze ca sume: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Acum putem aplica regula: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 xy + ( − x) (− 2 xy 3))

    Să extindem parantezele: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

    Extinderea parantezelor în produse din mai multe paranteze și expresii

    Dacă există trei sau mai multe expresii între paranteze în expresie, este necesar să extindeți parantezele succesiv. Este necesar să începem transformarea cu faptul că primii doi factori sunt luați între paranteze. În interiorul acestor paranteze, putem efectua transformări conform regulilor discutate mai sus. De exemplu, parantezele din expresia (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .

    Expresia conține trei factori simultan (2 + 4) , 3 și (5 + 7 8) . Vom extinde parantezele secvenţial. Închidem primii doi factori în încă una dintre paranteze, pe care le vom face roșu pentru claritate: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

    În conformitate cu regula înmulțirii unei paranteze cu un număr, putem efectua următoarele acțiuni: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

    Înmulțiți paranteză cu paranteză: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

    Paranteză în natură

    Gradele, ale căror baze sunt câteva expresii scrise între paranteze, cu exponenți naturali pot fi considerate ca un produs al mai multor paranteze. Mai mult, conform regulilor din cele două paragrafe precedente, acestea pot fi scrise fără aceste paranteze.

    Luați în considerare procesul de transformare a expresiei (a + b + c) 2 . Poate fi scris ca un produs din două paranteze (a + b + c) (a + b + c). Înmulțim paranteză cu paranteză și obținem a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .

    Să luăm un alt exemplu:

    Exemplul 8

    1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

    Împărțirea unei paranteze la un număr și a unei paranteze la o paranteză

    Împărțirea unei paranteze cu un număr sugerează că trebuie să împărțiți la număr toți termenii cuprinsi între paranteze. De exemplu, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

    Împărțirea poate fi înlocuită anterior cu înmulțire, după care puteți utiliza regula potrivita paranteze de deschidere într-o lucrare. Aceeași regulă se aplică la împărțirea unei paranteze la o paranteză.

    De exemplu, trebuie să deschidem parantezele din expresia (x + 2): 2 3 . Pentru a face acest lucru, înlocuiți mai întâi împărțirea prin înmulțirea cu reciproca lui (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Înmulțiți paranteza cu numărul (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

    Iată un alt exemplu de împărțire în paranteză:

    Exemplul 9

    1 x + x + 1: (x + 2) .

    Să înlocuim împărțirea cu înmulțirea: 1 x + x + 1 1 x + 2 .

    Să facem înmulțirea: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

    Ordinea de extindere a suportului

    Acum luați în considerare ordinea de aplicare a regulilor discutate mai sus în expresii vedere generala, adică în expresii care conţin sume cu diferenţe, produse cu câte, paranteze în natură.

    Ordinea acțiunilor:

    • primul pas este ridicarea parantezelor la o putere naturală;
    • la a doua etapă, parantezele sunt deschise în lucrări și private;
    • pasul final este deschiderea parantezelor în sume și diferențe.

    Să considerăm ordinea acțiunilor folosind exemplul expresiei (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Să transformăm din expresiile 3 (− 2) : (− 4) și 6 (− 7) , care ar trebui să ia forma (3 2:4)și (− 6 7) . Înlocuind rezultatele obținute în expresia originală, obținem: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7) ). Extindeți parantezele: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .

    Când aveți de-a face cu expresii care conțin paranteze în paranteze, este convenabil să efectuați transformări din interior spre exterior.

    Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

    Recomandăm și noi

    Se încarcă...Se încarcă...