Ce numere sunt iraționale. Numere raționale și iraționale

Definiția unui număr irațional

Numerele iraționale sunt acele numere care, în notație zecimală, sunt fracții zecimale neperiodice infinite.

De exemplu, numerele obținute prin luarea rădăcinii pătrate a numere naturale, sunt iraționale și nu sunt pătrate ale numerelor naturale. Dar nu toate numerele iraționale se obțin prin extracție rădăcini pătrate, deoarece numărul „pi” obținut prin împărțire este, de asemenea, irațional și este puțin probabil să îl obțineți atunci când încercați să extrageți rădăcina pătrată a unui număr natural.

Proprietățile numerelor iraționale

Spre deosebire de numerele scrise în fracții zecimale infinite, numai numerele iraționale sunt scrise în fracții zecimale infinite neperiodice.
Suma a două numere iraționale nenegative poate fi în cele din urmă un număr rațional.
Numere irationale definiți secțiunile Dedekind în mulțimea numerelor raționale, din clasa inferioară care nu au un numar mare, și nu există unul mai mic în cel de sus.
Orice număr transcendental real este irațional.
Toate numerele iraționale sunt fie algebrice, fie transcendentale.
Setul de numere iraționale de pe linie este dens împachetat, iar între oricare două dintre numerele sale există în mod necesar un ir Numar rational.
Mulțimea numerelor iraționale este infinită, nenumărabilă și este o mulțime din categoria a 2-a.
Când se efectuează orice operație aritmetică pe numere raționale, cu excepția împărțirii cu 0, rezultatul acesteia va fi un număr rațional.
Când adăugați un număr rațional la un număr irațional, rezultatul este întotdeauna un număr irațional.
Când adunăm numere iraționale, putem obține un număr rațional ca rezultat.
Mulțimea numerelor iraționale nu este par.

Cifrele nu sunt iraționale

Uneori este destul de dificil să răspunzi la întrebarea dacă un număr este irațional, mai ales în cazurile în care numărul este sub forma unei fracții zecimale sau sub forma unei expresii numerice, rădăcină sau logaritm.

Prin urmare, nu va fi de prisos să știm care numere nu sunt iraționale. Dacă urmăm definiția numerelor iraționale, atunci știm deja că numerele raționale nu pot fi iraționale.

Numerele iraționale nu sunt:

În primul rând, toate numerele naturale;
În al doilea rând, numere întregi;
În al treilea rând, fracțiile obișnuite;
În al patrulea rând, diferite numere mixte;
În al cincilea rând, acestea sunt fracții zecimale periodice infinite.

În plus față de toate cele de mai sus, orice combinație de numere raționale care este efectuată de semnele operațiilor aritmetice, cum ar fi +, -, , :, nu poate fi un număr irațional, deoarece în acest caz rezultatul a două numere raționale va fi un număr rațional.

Acum să vedem care dintre numere sunt iraționale:

Știți de existența unui fan club unde fanii acestui misterios fenomen matematic caută din ce în ce mai multe informații despre Pi, încercând să-i dezvăluie misterul. Orice persoană care știe pe de rost un anumit număr de numere Pi după virgulă poate deveni membru al acestui club;

Știați că în Germania, sub protecția UNESCO, există palatul Castadel Monte, datorită proporțiilor cărora puteți calcula Pi. Un întreg palat a fost dedicat acestui număr de regele Frederic al II-lea.

Se pare că au încercat să folosească numărul Pi în construcția Turnului Babel. Dar, spre marele nostru regret, acest lucru a dus la prăbușirea proiectului, deoarece la acel moment calculul exact al valorii lui Pi nu era suficient studiat.

Cântăreața Kate Bush pe noul său disc a înregistrat o melodie numită „Pi”, care a sunat o sută douăzeci și patru de numere din celebra serie de numere 3, 141 ... ..

Mulțimea tuturor numerelor naturale se notează cu litera N. Numerele naturale sunt numerele pe care le folosim pentru a număra obiectele: 1,2,3,4, ... În unele surse, numărul 0 se referă și la numere naturale.

Mulțimea tuturor numerelor întregi este notată cu litera Z. Numerele întregi sunt toate numerele naturale, zero și numere negative:

1,-2,-3, -4, …

Acum adăugăm la mulțimea tuturor numerelor întregi mulțimea tuturor fracții obișnuite: 2/3, 18/17, -4/5 și așa mai departe. Apoi obținem mulțimea tuturor numerelor raționale.

Set de numere raționale

Mulțimea tuturor numerelor raționale se notează cu litera Q. Mulțimea tuturor numerelor raționale (Q) este mulțimea formată din numere de forma m/n, -m/n și numărul 0. În ca n,m poate fi orice număr natural. Trebuie remarcat faptul că toate numerele raționale pot fi reprezentate ca o fracție zecimală PERIODICĂ finită sau infinită. Este adevărat și invers, că orice fracție zecimală periodică finită sau infinită poate fi scrisă ca număr rațional.

Dar cum rămâne cu, de exemplu, numărul 2.0100100010...? Este o zecimală infinit NON-PERIODICĂ. Și nu se aplică numerelor raționale.

În cursul școlar de algebră sunt studiate numai numerele reale (sau reale). Multe dintre toate numere reale notată cu litera R. Mulțimea R este formată din toate numerele raționale și toate numerele iraționale.

Conceptul de numere iraționale

Numerele iraționale sunt toate fracții zecimale neperiodice infinite. Numerele iraționale nu au notații speciale.

De exemplu, toate numerele obținute prin extragerea rădăcinii pătrate a numerelor naturale care nu sunt pătrate ale numerelor naturale vor fi iraționale. (√2, √3, √5, √6 etc.).

Dar să nu credeți că numerele iraționale se obțin doar prin extragerea rădăcinilor pătrate. De exemplu, numărul „pi” este, de asemenea, irațional și se obține prin împărțire. Și oricât de mult ai încerca, nu poți obține luând rădăcina pătrată a oricărui număr natural.

Cu un segment de unitate de lungime, matematicienii antici știau deja: cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea numărului.

Iraționale sunt:

Exemple de dovezi de iraționalitate

Rădăcina lui 2

Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție ireductibilă, unde și sunt numere întregi. Să punem la pătrat presupusa egalitate:

.

Din aceasta rezultă că chiar, deci, chiar și . Lasă unde întregul. Apoi

Prin urmare, chiar, deci, chiar și . Am obținut că și suntem pari, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Prin urmare, presupunerea inițială a fost greșită și este un număr irațional.

Logaritmul binar al numărului 3

Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și poate fi considerat pozitiv. Apoi

Dar e clar, e ciudat. Primim o contradicție.

e

Istorie

Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manawa (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, precum 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit.

Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreian care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor unei pentagrame. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că dacă ipotenuza unui isoscel triunghi dreptunghic conține un număr întreg de segmente de unitate, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar în același timp. Dovada arăta astfel:

• Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde AȘi b selectat ca cel mai mic posibil.
• Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
• pentru că A² chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
• În măsura în care A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
• pentru că A chiar, denotă A = 2y.
• Apoi A² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², prin urmare b este chiar, atunci b chiar.
• Cu toate acestea, s-a dovedit că b ciudat. Contradicţie.

Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(inexprimabil), dar conform legendelor, lui Hippasus nu i s-a acordat respectul cuvenit. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru a crea un element al universului, care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor. " Descoperirea lui Hippas a pus înainte matematica pitagoreică problema serioasa, distrugând ipoteza care stă la baza întregii teorii că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.

Vezi si

Note

Sisteme numerice
Socoteală seturi	Numere naturale () Numere întregi ()

Un număr rațional este un număr care poate fi exprimat ca o fracție, unde . Q este mulțimea tuturor numerelor raționale.

Numerele raționale se împart în: pozitive, negative și zero.

Fiecare număr rațional poate fi asociat cu un singur punct pe linia de coordonate. Relația „la stânga” pentru puncte corespunde relației „mai puțin decât” pentru coordonatele acestor puncte. Se poate observa că fiecare număr negativ este mai mic decât zero și fiecare număr pozitiv; a două numere negative, cel al cărui modul este mai mare este mai mic. Deci, -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Orice număr rațional poate fi reprezentat printr-o fracție periodică zecimală. De exemplu, .

Algoritmii pentru operații pe numere raționale decurg din regulile semnelor pentru operațiile corespunzătoare pe fracții zero și pozitive. Q efectuează o altă împărțire decât împărțirea la zero.

Orice ecuație liniară, adică ecuația de forma ax+b=0, unde , este rezolvabilă pe mulțimea Q, dar nu orice ecuație pătratică drăguț , este rezolvabil în numere raționale. Nu fiecare punct de pe linia de coordonate are un punct rațional. Chiar și la sfârșitul secolului al VI-lea î.Hr. n. e în școala lui Pitagora, s-a dovedit că diagonala unui pătrat nu este proporțională cu înălțimea lui, ceea ce echivalează cu afirmația: „Ecuația nu are rădăcini raționale”. Toate cele de mai sus au condus la necesitatea extinderii mulțimii Q, a fost introdus conceptul de număr irațional. Notați cu literă mulțimea numerelor iraționale J .

Pe o linie de coordonate, toate punctele care nu au coordonate raționale au coordonate iraționale. , unde r sunt mulțimi de numere reale. într-un mod universal atribuirile de numere reale sunt zecimale. Decimalele periodice definesc numerele raționale, iar zecimale neperiodice definesc numerele iraționale. Deci, 2,03 (52) este un număr rațional, 2,03003000300003 ... (perioada fiecărei cifre următoare „3” se mai scrie cu un zero) este un număr irațional.

Mulțimile Q și R au proprietățile pozitivității: între oricare două numere raționale există un număr rațional, de exemplu, ecoi a

Pentru fiecare număr irațional α se poate preciza o aproximare rațională atât cu o deficiență, cât și cu un exces cu orice precizie: a< α

Operația de extragere a unei rădăcini din unele numere raționale duce la numere iraționale. Extragerea rădăcinii unui grad natural este o operație algebrică, adică. introducerea lui este legată de rezolvarea unei ecuații algebrice de formă . Dacă n este impar, adică n=2k+1, unde , atunci ecuația are o singură rădăcină. Dacă n este par, n=2k, unde , atunci pentru a=0 ecuația are o singură rădăcină x=0, pentru a<0 корней нет, при a>0 are două rădăcini care sunt opuse una față de cealaltă. Extragerea unei rădăcini este operația inversă a creșterii la o putere naturală.

Rădăcina aritmetică (pentru concizie, rădăcina) al n-lea grad al unui număr nenegativ a este un număr nenegativ b, care este rădăcina ecuației. Rădăcina gradului al n-lea din numărul a se notează prin simbol. Pentru n=2 nu este indicat gradul rădăcinii 2: .

De exemplu, pentru că 2 2 =4 și 2>0; , deoarece 3 3 =27 și 3>0; nu există pentru că -4<0.

Pentru n=2k și a>0, rădăcinile ecuației (1) se scriu ca și . De exemplu, rădăcinile ecuației x 2 \u003d 4 sunt 2 și -2.

Pentru n impar, ecuația (1) are o singură rădăcină pentru orice . Dacă a≥0, atunci - rădăcina acestei ecuații. În cazul în care un<0, то –а>0 și - rădăcina ecuației. Deci, ecuația x 3 \u003d 27 are o rădăcină.

Ce sunt numerele iraționale? De ce se numesc asa? Unde se folosesc si ce sunt? Puțini pot răspunde la aceste întrebări fără ezitare. Dar, de fapt, răspunsurile la ele sunt destul de simple, deși nu toată lumea are nevoie de ele și în situații foarte rare.

Esența și denumirea

Numerele iraționale sunt infinite neperiodice Necesitatea introducerii acestui concept se datorează faptului că, pentru rezolvarea unor noi probleme emergente, conceptele existente anterior de numere reale sau reale, întreg, naturale și raționale nu mai erau suficiente. De exemplu, pentru a calcula care este pătratul lui 2, trebuie să utilizați zecimale infinite nerecurente. În plus, multe dintre cele mai simple ecuații nu au nicio soluție fără a introduce conceptul de număr irațional.

Această mulțime este desemnată I. Și, așa cum este deja clar, aceste valori nu pot fi reprezentate ca o fracție simplă, în numărătorul căreia va fi un număr întreg, iar la numitor -

Pentru prima dată, într-un fel sau altul, matematicienii indieni au întâlnit acest fenomen în secolul al VII-lea, când s-a descoperit că rădăcinile pătrate ale unor cantități nu pot fi indicate în mod explicit. Și prima dovadă a existenței unor astfel de numere este atribuită lui Hippasus pitagoreian, care a făcut acest lucru în procesul de studiu a unui triunghi dreptunghic isoscel. O contribuție serioasă la studiul acestui set a fost adusă de alți oameni de știință care au trăit înaintea erei noastre. Introducerea conceptului de numere iraționale a presupus o revizuire a sistemului matematic existent, motiv pentru care sunt atât de importante.

originea numelui

Dacă raportul în latină este „fracție”, „raport”, atunci prefixul „ir”
dă cuvântului sensul opus. Astfel, denumirea mulțimii acestor numere indică faptul că ele nu pot fi corelate cu un număr întreg sau fracționar, ele au un loc separat. Acest lucru rezultă din natura lor.

Locul în clasamentul general

Numerele iraționale, împreună cu numerele raționale, aparțin grupului numerelor reale sau reale, care la rândul lor sunt complexe. Nu există submulțimi, însă, există varietăți algebrice și transcendentale, care vor fi discutate mai jos.

Proprietăți

Deoarece numerele iraționale fac parte din mulțimea numerelor reale, li se aplică toate proprietățile lor care sunt studiate în aritmetică (se mai numesc și legi algebrice de bază).

a + b = b + a (comutativitate);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate);

a + (-a) = 0 (existența numărului opus);

ab = ba (legea deplasării);

(ab)c = a(bc) (distributivitate);

a(b+c) = ab + ac (legea distributivă);

a x 1/a = 1 (existența unui număr invers);

Comparația se realizează și în conformitate cu legile și principiile generale:

Dacă a > b și b > c, atunci a > c (tranzitivitatea relației) și. etc.

Desigur, toate numerele iraționale pot fi transformate folosind baza operatii aritmetice. Nu există reguli speciale pentru asta.

În plus, acțiunea axiomei lui Arhimede se extinde la numerele iraționale. Se spune că pentru oricare două mărimi a și b, afirmația este adevărată că, luând a ca termen de destule ori, este posibil să se depășească b.

Utilizare

În ciuda faptului că în viață obișnuită nu atât de des trebuie să te ocupi de ele, numerele iraționale nu pot fi numărate. Sunt multe, dar sunt aproape invizibile. Suntem înconjurați de numere iraționale peste tot. Exemplele familiare tuturor sunt pi, care este 3,1415926... sau e, care este în esență baza logaritmul natural, 2.718281828... În algebră, trigonometrie și geometrie, trebuie să le folosești tot timpul. Apropo, faimoasa semnificație a „secțiunii de aur”, adică raportul dintre partea mai mare și cea mai mică, și invers, de asemenea

aparține acestui set. Mai puțin cunoscut „argint” – de asemenea.

Pe linia numerică, ele sunt situate foarte dens, astfel încât între oricare două mărimi legate de mulțimea celor raționale apare neapărat una irațională.

Există încă multe probleme nerezolvate asociate cu acest set. Există criterii precum măsura iraționalității și normalitatea unui număr. Matematicienii continuă să examineze cele mai semnificative exemple pentru apartenența lor la un grup sau altul. De exemplu, se consideră că e este un număr normal, adică probabilitatea ca diferite cifre să apară în intrarea sa este aceeași. În ceea ce privește pi, cercetările sunt încă în desfășurare cu privire la acesta. O măsură a iraționalității este o valoare care arată cât de bine poate fi aproximat un anumit număr prin numere raționale.

Algebric și transcendental

După cum sa menționat deja, numerele iraționale sunt împărțite condiționat în algebrice și transcendentale. Condițional, deoarece, strict vorbind, această clasificare este folosită pentru a împărți mulțimea C.

Sub această denumire, sunt ascunse numerele complexe, care includ numere reale sau reale.

Deci, o valoare algebrică este o valoare care este rădăcina unui polinom care nu este identic egal cu zero. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 2 ar fi în această categorie deoarece este soluția ecuației x 2 - 2 = 0.

Toate celelalte numere reale care nu îndeplinesc această condiție sunt numite transcendentale. Această varietate include și cele mai faimoase și deja menționate exemple - numărul pi și baza logaritmului natural e.

Interesant este că nici unul, nici al doilea nu a fost inițial dedus de matematicieni în această calitate, iraționalitatea și transcendența lor au fost dovedite la mulți ani după descoperirea lor. Pentru pi, dovada a fost dată în 1882 și simplificată în 1894, ceea ce a pus capăt controversei de 2.500 de ani despre problema pătrarii cercului. Încă nu este pe deplin înțeles, așa că matematicienii moderni au la ce să lucreze. Apropo, primul calcul suficient de precis al acestei valori a fost efectuat de Arhimede. Înaintea lui, toate calculele erau prea aproximative.

Pentru e (numărul Euler sau Napier), o dovadă a transcendenței sale a fost găsită în 1873. Este folosit în rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Alte exemple includ valorile sinus, cosinus și tangente pentru orice valoare algebrică diferită de zero.