Soluția online a inegalităților complexe. Câteva puncte despre cum sunt rezolvate inegalitățile

În primul rând, câteva versuri pentru a înțelege problema pe care o rezolvă metoda intervalului. Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea inegalitate:

(x − 5)(x + 3) > 0

Care sunt optiunile? Primul lucru care vine în minte pentru majoritatea studenților sunt regulile „plus ori plus face plus” și „minus ori minus face plus”. Prin urmare, este suficient să luăm în considerare cazul când ambele paranteze sunt pozitive: x − 5 > 0 și x + 3 > 0. Atunci luăm în considerare și cazul când ambele paranteze sunt negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Elevii mai avansați își vor aminti (poate) că în stânga este o funcție pătratică al cărei grafic este o parabolă. Mai mult, această parabolă intersectează axa OX în punctele x = 5 și x = −3. Pentru lucrări ulterioare, trebuie să deschideți parantezele. Avem:

x 2 − 2x − 15 > 0

Acum este clar că ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, deoarece coeficient a = 1 > 0. Să încercăm să desenăm o diagramă a acestei parabole:

Funcția este mai mare decât zero acolo unde trece deasupra axei OX. În cazul nostru, acestea sunt intervalele (−∞ −3) și (5; +∞) - acesta este răspunsul.

Vă rugăm să rețineți că imaginea arată exact diagrama functionala, nu programul ei. Pentru că pentru o diagramă reală, trebuie să numărați coordonatele, să calculați decalajele și alte prostii, de care nu avem deloc nevoie acum.

De ce sunt aceste metode ineficiente?

Deci, am luat în considerare două soluții la aceeași inegalitate. Ambele s-au dovedit a fi foarte greoaie. Apare prima decizie - doar gândește-te! este un set de sisteme de inegalități. A doua soluție nu este, de asemenea, foarte ușoară: trebuie să vă amintiți graficul parabolei și o grămadă de alte fapte mici.

A fost o inegalitate foarte simplă. Are doar 2 multiplicatori. Acum imaginați-vă că nu vor fi 2 multiplicatori, ci cel puțin 4. De exemplu:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Cum să rezolvi o astfel de inegalitate? Treci prin toate combinațiile posibile de argumente pro și contra? Da, vom adormi mai repede decât găsim o soluție. Desenarea unui grafic nu este, de asemenea, o opțiune, deoarece nu este clar cum se comportă o astfel de funcție pe planul de coordonate.

Pentru astfel de inegalități, este nevoie de un algoritm de soluție special, pe care îl vom lua în considerare astăzi.

Care este metoda intervalului

Metoda intervalului este un algoritm special conceput pentru a rezolva inegalitățile complexe de forma f (x) > 0 și f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Rezolvați ecuația f (x) \u003d 0. Astfel, în loc de o inegalitate, obținem o ecuație care este mult mai ușor de rezolvat;
Marcați toate rădăcinile obținute pe linia de coordonate. Astfel, linia dreaptă va fi împărțită în mai multe intervale;
Aflați semnul (plus sau minus) al funcției f (x) în intervalul din dreapta. Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți în f (x) orice număr care va fi în dreapta tuturor rădăcinilor marcate;
Marcați semnele pe alte intervale. Pentru a face acest lucru, este suficient să ne amintim că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă.

Asta e tot! După aceea, rămâne doar să scriem intervalele care ne interesează. Ele sunt marcate cu un semn „+” dacă inegalitatea a fost de forma f (x) > 0, sau cu un semn „−” dacă inegalitatea a fost de forma f (x)< 0.

La prima vedere, poate părea că metoda intervalului este un fel de tablă. Dar, în practică, totul va fi foarte simplu. Este nevoie de puțină practică - și totul va deveni clar. Aruncă o privire la exemple și vezi singur:

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

(x − 2)(x + 7)< 0

Lucrăm la metoda intervalelor. Pasul 1: Înlocuiți inegalitatea cu o ecuație și rezolvați-o:

(x − 2)(x + 7) = 0

Produsul este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Are două rădăcini. Treceți la pasul 2: marcați aceste rădăcini pe linia de coordonate. Avem:

Acum pasul 3: găsim semnul funcției pe intervalul din dreapta (în dreapta punctului marcat x = 2). Pentru a face acest lucru, trebuie să luați orice număr care este mai mare decât numărul x = 2. De exemplu, să luăm x = 3 (dar nimeni nu interzice să luați x = 4, x = 10 și chiar x = 10.000). Primim:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Obținem că f (3) = 10 > 0, așa că punem un semn plus în intervalul din dreapta.

Trecem la ultimul punct - este necesar să notăm semnele pe intervalele rămase. Amintiți-vă că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul trebuie să se schimbe. De exemplu, în dreapta rădăcinii x = 2 există un plus (ne-am asigurat de acest lucru în pasul anterior), deci trebuie să fie un minus în stânga.

Acest minus se extinde la întregul interval (−7; 2), deci există un minus la dreapta rădăcinii x = −7. Prin urmare, există un plus la stânga rădăcinii x = −7. Rămâne să marcați aceste semne pe axa de coordonate. Avem:

Să revenim la inegalitatea inițială, care arăta astfel:

(x − 2)(x + 7)< 0

Deci funcția trebuie să fie mai mică decât zero. Aceasta înseamnă că ne interesează semnul minus, care apare doar pe un interval: (−7; 2). Acesta va fi răspunsul.

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Pasul 1: Echivalează partea stângă cu zero:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Rețineți: produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aceea avem dreptul de a echivala cu zero fiecare paranteză individuală.

Pasul 2: marcați toate rădăcinile pe linia de coordonate:

Pasul 3: aflați semnul golului cel mai din dreapta. Luăm orice număr care este mai mare decât x = 1. De exemplu, putem lua x = 10. Avem:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

Pasul 4: Așezați restul semnelor. Amintiți-vă că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă. Drept urmare, imaginea noastră va arăta astfel:

Asta e tot. Rămâne doar să scrieți răspunsul. Aruncă o altă privire la inegalitatea inițială:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Aceasta este o inegalitate de forma f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Acesta este răspunsul.

O notă despre semnele de funcție

Practica arată că cele mai mari dificultăți în metoda intervalului apar la ultimii doi pași, i.e. la amplasarea semnelor. Mulți elevi încep să se încurce: ce numere să ia și unde să pună semne.

Pentru a înțelege în sfârșit metoda intervalului, luați în considerare două observații pe care este construită:

O funcție continuă își schimbă semnul numai în puncte unde este egal cu zero. Astfel de puncte rup axa de coordonate în bucăți, în interiorul cărora semnul funcției nu se schimbă niciodată. De aceea rezolvăm ecuația f (x) \u003d 0 și marchem rădăcinile găsite pe o linie dreaptă. Numerele găsite sunt punctele de „limită” care separă plusurile de minusurile.
Pentru a afla semnul unei funcții pe orice interval, este suficient să înlocuiți orice număr din acest interval în funcție. De exemplu, pentru intervalul (−5; 6) putem lua x = −4, x = 0, x = 4 și chiar x = 1,29374 dacă vrem. De ce este important? Da, pentru că mulți studenți încep să roadă îndoieli. Cum ar fi, ce se întâmplă dacă pentru x = −4 obținem un plus, iar pentru x = 0 obținem un minus? Nu se va întâmpla niciodată așa ceva. Toate punctele din același interval dau același semn. Tine minte asta.

Asta este tot ce trebuie să știi despre metoda intervalului. Desigur, l-am demontat în cea mai simplă formă. Există inegalități mai complexe - nestrictive, fracționale și cu rădăcini repetate. Pentru ei, puteți aplica și metoda intervalului, dar acesta este un subiect pentru o lecție mare separată.

Acum aș dori să analizez un truc avansat care simplifică drastic metoda intervalului. Mai precis, simplificarea afectează doar al treilea pas - calculul semnului din partea din dreapta a liniei. Din anumite motive, această tehnică nu se desfășoară în școli (cel puțin nimeni nu mi-a explicat asta). Dar degeaba - de fapt, acest algoritm este foarte simplu.

Deci, semnul funcției este pe piesa dreaptă a axei numerice. Această piesă are forma (a; +∞), unde a este cea mai mare rădăcină a ecuației f (x) = 0. Pentru a nu ne sufla creierul, luați în considerare un exemplu specific:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Avem 3 rădăcini. Le enumerăm în ordine crescătoare: x = −2, x = 1 și x = 7. Evident, cea mai mare rădăcină este x = 7.

Pentru cei cărora le este mai ușor să raționeze grafic, voi marca aceste rădăcini pe linia de coordonate. Să vedem ce se întâmplă:

Este necesar să găsiți semnul funcției f (x) pe intervalul din dreapta, adică. pe (7; +∞). Dar, după cum am observat deja, pentru a determina semnul, puteți lua orice număr din acest interval. De exemplu, puteți lua x = 8, x = 150 etc. Și acum - aceeași tehnică care nu se predă în școli: să luăm infinitul ca număr. Mai precis, plus infinit, adică +∞.

"Esti drogat? Cum poți înlocui infinitul într-o funcție? poate, întrebi tu. Dar gândiți-vă: nu avem nevoie de valoarea funcției în sine, avem nevoie doar de semn. Prin urmare, de exemplu, valorile f (x) = −1 și f (x) = −938 740 576 215 înseamnă același lucru: funcția este negativă pe acest interval. Prin urmare, tot ceea ce ți se cere este să găsești semnul care apare la infinit, și nu valoarea funcției.

De fapt, înlocuirea infinitului este foarte simplă. Să revenim la funcția noastră:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Imaginează-ți că x este un număr foarte mare. Un miliard sau chiar un trilion. Acum să vedem ce se întâmplă în fiecare paranteză.

Prima paranteză: (x − 1). Ce se întâmplă dacă scazi unul dintr-un miliard? Rezultatul va fi un număr nu foarte diferit de un miliard, iar acest număr va fi pozitiv. Similar cu a doua paranteză: (2 + x). Dacă adăugăm un miliard la doi, obținem un miliard cu copeici - acesta este un număr pozitiv. În cele din urmă, a treia paranteză: (7 − x ). Aici va fi minus un miliard, din care o bucată mizerabilă în formă de șapte a fost „roșată”. Acestea. numărul rezultat nu va diferi mult de minus un miliard - va fi negativ.

Rămâne de găsit semnul întregii lucrări. Deoarece am avut un plus în primele paranteze și un minus în ultima paranteză, obținem următoarea construcție:

(+) · (+) · (−) = (−)

Semnul final este minus! Nu contează care este valoarea funcției în sine. Principalul lucru este că această valoare este negativă, adică. pe intervalul din dreapta există un semn minus. Rămâne să finalizați al patrulea pas al metodei intervalului: aranjați toate semnele. Avem:

Inegalitatea inițială arăta astfel:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Prin urmare, ne interesează intervalele marcate cu semnul minus. Scriem răspunsul:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Acesta este tot trucul pe care am vrut să-l spun. În concluzie, mai există o inegalitate, care se rezolvă prin metoda intervalului folosind infinitul. Pentru a scurta vizual soluția, nu voi scrie numere de pași și comentarii detaliate. Voi scrie doar ceea ce trebuie scris cu adevărat atunci când rezolv probleme reale:

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Înlocuim inegalitatea cu o ecuație și o rezolvăm:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Marcam toate cele trei rădăcini pe linia de coordonate (imediat cu semne):

Există un plus în partea dreaptă a axei de coordonate, deoarece functia arata asa:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

Și dacă înlocuim infinitul (de exemplu, un miliard), obținem trei paranteze pozitive. Deoarece expresia originală trebuie să fie mai mare decât zero, ne interesează doar plusuri. Rămâne de scris răspunsul:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Și astăzi nu toată lumea poate rezolva inegalitățile raționale. Mai exact, nu numai toată lumea poate decide. Puțini oameni o pot face.
Klitschko

Această lecție va fi dură. Atât de dur încât doar Aleșii vor ajunge la capăt. Prin urmare, înainte de a citi, recomand îndepărtarea femeilor, pisicilor, copiilor însărcinate și...

Bine, de fapt este destul de simplu. Să presupunem că ați stăpânit metoda intervalului (dacă nu ați stăpânit-o, vă recomand să vă întoarceți și să o citiți) și ați învățat cum să rezolvați inegalitățile de forma $P\left(x \right) \gt 0$, unde $P \left(x \right)$ este un polinom sau un produs al polinoamelor.

Cred că nu vă va fi greu să rezolvați, de exemplu, un astfel de joc (apropo, încercați-l pentru o încălzire):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Acum să complicăm puțin sarcina și să luăm în considerare nu doar polinoamele, ci și așa-numitele fracții raționale ale formei:

unde $P\left(x \right)$ și $Q\left(x \right)$ sunt aceleași polinoame de forma $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ sau produsul unor astfel de polinoame.

Aceasta va fi o inegalitate rațională. Punctul fundamental este prezența variabilei $x$ în numitor. De exemplu, iată inegalitățile raționale:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

Și aceasta nu este o inegalitate rațională, ci cea mai comună, care este rezolvată prin metoda intervalului:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Privind în viitor, voi spune imediat: există cel puțin două moduri de a rezolva inegalitățile raționale, dar toate într-un fel sau altul sunt reduse la metoda intervalelor deja cunoscută nouă. Prin urmare, înainte de a analiza aceste metode, să ne amintim faptele vechi, altfel nu va mai avea sens din noul material.

Ce trebuie să știi deja

Nu sunt multe fapte importante. Avem nevoie de doar patru.

Formule de înmulțire prescurtate

Da, da: ne vor bântui pe tot parcursul curriculumului școlar de matematică. Și la universitate. Există destul de multe dintre aceste formule, dar avem nevoie doar de următoarele:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\dreapta); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\ dreapta). \\ \end(align)\]

Atenție la ultimele două formule - aceasta este suma și diferența de cuburi (și nu cubul sumei sau diferenței!). Sunt ușor de reținut dacă observați că semnul din prima paranteză este același cu semnul din expresia originală, iar în a doua paranteză este opus semnului din expresia originală.

Ecuatii lineare

Acestea sunt cele mai simple ecuații de forma $ax+b=0$, unde $a$ și $b$ sunt numere obișnuite, iar $a\ne 0$. Această ecuație este ușor de rezolvat:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Observ că avem dreptul de a împărți la coeficientul $a$, deoarece $a\ne 0$. Această cerință este destul de logică, deoarece cu $a=0$ obținem asta:

În primul rând, nu există nicio variabilă $x$ în această ecuație. Acest lucru, în general, nu ar trebui să ne încurce (așa se întâmplă, să zicem, în geometrie și destul de des), dar totuși nu mai suntem o ecuație liniară.

În al doilea rând, soluția acestei ecuații depinde numai de coeficientul $b$. Dacă $b$ este și zero, atunci ecuația noastră este $0=0$. Această egalitate este întotdeauna adevărată; prin urmare, $x$ este orice număr (de obicei scris ca $x\în \mathbb(R)$). Dacă coeficientul $b$ nu este egal cu zero, atunci egalitatea $b=0$ nu este niciodată satisfăcută, adică. nici un răspuns (scris $x\în \varnothing $ și citiți „setul de soluții este gol”).

Pentru a evita toate aceste complicații, presupunem pur și simplu $a\ne 0$, ceea ce nu ne limitează în niciun fel la reflecții ulterioare.

Ecuații cuadratice

Permiteți-mi să vă reamintesc că aceasta se numește ecuație pătratică:

Aici în stânga este un polinom de gradul doi și din nou $a\ne 0$ (altfel, în loc de o ecuație pătratică, obținem una liniară). Următoarele ecuații sunt rezolvate prin discriminant:

Dacă $D \gt 0$, obținem două rădăcini diferite;
Dacă $D=0$, atunci rădăcina va fi una, dar a celei de-a doua multiplicități (ce fel de multiplicitate este și cum să o luăm în considerare - mai multe despre asta mai târziu). Sau putem spune că ecuația are două rădăcini identice;
Pentru $D \lt 0$ nu există deloc rădăcini, iar semnul polinomului $a((x)^(2))+bx+c$ pentru orice $x$ coincide cu semnul coeficientului $a $. Acesta, apropo, este un fapt foarte util, care din anumite motive este uitat să fie spus la orele de algebră.

Rădăcinile în sine sunt calculate după formula binecunoscută:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

De aici, de altfel, restricțiile asupra discriminantului. La urma urmei, rădăcina pătrată a unui număr negativ nu există. În ceea ce privește rădăcinile, mulți studenți au o mizerie groaznică în cap, așa că am înregistrat special o lecție întreagă: ce este o rădăcină în algebră și cum să o calculez - recomand cu căldură să o citești. :)

Operații cu fracții raționale

Tot ce a fost scris mai sus, știi deja dacă ai studiat metoda intervalelor. Dar ceea ce vom analiza acum nu are analogi în trecut - acesta este un fapt complet nou.

Definiție. O fracție rațională este o expresie a formei

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

unde $P\left(x \right)$ și $Q\left(x \right)$ sunt polinoame.

Este evident că este ușor să obțineți o inegalitate dintr-o astfel de fracție - este suficient doar să atribuiți semnul „mai mare decât” sau „mai puțin decât” la dreapta. Și puțin mai departe vom constata că rezolvarea unor astfel de probleme este o plăcere, totul este foarte simplu acolo.

Problemele încep atunci când există mai multe astfel de fracții într-o expresie. Ele trebuie reduse la un numitor comun - și tocmai în acest moment se comit un număr mare de greșeli ofensive.

Prin urmare, pentru a rezolva cu succes ecuații raționale, este necesar să stăpânești cu fermitate două abilități:

Factorizarea polinomului $P\left(x \right)$;
De fapt, aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Cum se factorizează un polinom? Foarte simplu. Să avem un polinom de forma

Să-l echivalăm cu zero. Obținem ecuația de gradul $n$-al-lea:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Să presupunem că am rezolvat această ecuație și am obținut rădăcinile $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (nu vă faceți griji: în cele mai multe cazuri nu va exista mai mult de două dintre aceste rădăcini) . În acest caz, polinomul nostru original poate fi rescris astfel:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Asta e tot! Vă rugăm să rețineți: coeficientul principal $((a)_(n))$ nu a dispărut nicăieri - va fi un factor separat în fața parantezelor și, dacă este necesar, poate fi inserat în oricare dintre aceste paranteze (practica arată că cu $((a)_ (n))\ne \pm 1$ există aproape întotdeauna fracţii printre rădăcini).

O sarcină. Simplificați expresia:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Soluţie. În primul rând, să ne uităm la numitori: toate sunt binoame liniare și nu există nimic de factorizat aici. Deci, să factorizăm numărătorii:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\dreapta)\stanga(x-1\dreapta); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \ dreapta) \ stânga (2-5x \ dreapta). \\\end(align)\]

Vă rugăm să rețineți: în al doilea polinom, coeficientul senior „2”, în deplină conformitate cu schema noastră, a apărut mai întâi în fața parantezei, apoi a fost inclus în prima paranteză, deoarece o fracțiune a ieșit acolo.

Același lucru s-a întâmplat și în al treilea polinom, doar că acolo se confundă și ordinea termenilor. Totuși, coeficientul „−5” a ajuns să fie inclus în a doua paranteză (rețineți: puteți introduce un factor într-o singură paranteză!), ceea ce ne-a scutit de neplăcerile asociate rădăcinilor fracționale.

În ceea ce privește primul polinom, totul este simplu acolo: rădăcinile lui sunt căutate fie în mod standard prin discriminant, fie folosind teorema Vieta.

Să ne întoarcem la expresia originală și să o rescriem cu numărătorii descompusi în factori:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrice)\]

Răspuns: $5x+4$.

După cum puteți vedea, nimic complicat. Un pic de matematică de clasa a 7-a-8 și atât. Scopul tuturor transformărilor este de a transforma o expresie complexă și înfricoșătoare în ceva simplu și ușor de lucrat.

Cu toate acestea, acest lucru nu va fi întotdeauna cazul. Deci acum vom lua în considerare o problemă mai serioasă.

Dar mai întâi, să ne dăm seama cum să aducem două fracții la un numitor comun. Algoritmul este extrem de simplu:

Factorizați ambii numitori;
Luați în considerare primul numitor și adăugați la el factorii prezenți în al doilea numitor, dar nu și în primul. Produsul rezultat va fi numitorul comun;
Aflați ce factori îi lipsesc fiecărei fracții originale, astfel încât numitorii să devină egali cu cel comun.

Poate că acest algoritm ți se va părea doar un text în care sunt „multe litere”. Deci, să aruncăm o privire la un exemplu specific.

O sarcină. Simplificați expresia:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]

Soluţie. Astfel de sarcini voluminoase sunt cel mai bine rezolvate pe părți. Să scriem ce este în prima paranteză:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Spre deosebire de problema anterioară, aici numitorii nu sunt atât de simpli. Să factorizăm pe fiecare dintre ele.

Trinomul pătrat $((x)^(2))+2x+4$ nu poate fi factorizat deoarece ecuația $((x)^(2))+2x+4=0$ nu are rădăcini (discriminantul este negativ) . O lasam neschimbata.

Al doilea numitor, polinomul cubic $((x)^(3))-8$, la o examinare mai atentă este diferența de cuburi și poate fi descompus cu ușurință folosind formulele de înmulțire abreviate:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \dreapta)\]

Nimic altceva nu poate fi factorizat, deoarece prima paranteză conține un binom liniar, iar a doua este o construcție deja familiară nouă, care nu are rădăcini reale.

În cele din urmă, al treilea numitor este un binom liniar care nu poate fi descompus. Astfel, ecuația noastră va lua forma:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \dreapta))-\frac(1)(x-2)\]

Este destul de evident că $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ va fi numitorul comun, iar pentru a reduce toate fracțiile la acesta, trebuie să trebuie să înmulțiți prima fracție la $\left(x-2 \right)$, iar ultima la $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Apoi, rămâne doar să aduceți următoarele:

\[\begin(matrice) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ dreapta))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ stânga(((x)^(2))+2x+4 \dreapta)). \\ \end(matrice)\]

Atenție la a doua linie: când numitorul este deja comun, i.e. în loc de trei fracții separate, am scris una mare, nu ar trebui să scapi imediat de paranteze. Este mai bine să scrieți o linie suplimentară și să rețineți că, să zicem, a existat un minus înainte de a treia fracție - și nu va merge nicăieri, dar se va „atârna” în numărătorul din fața parantezei. Acest lucru vă va scuti de multe greșeli.

Ei bine, în ultima linie este utilă factorizarea numărătorului. Mai mult, acesta este un pătrat exact, iar formulele de înmulțire prescurtate ne vin din nou în ajutor. Avem:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Acum să ne ocupăm de a doua paranteză în același mod. Aici voi scrie pur și simplu un lanț de egalități:

\[\begin(matrice) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrice)\]

Revenim la problema inițială și ne uităm la produs:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Răspuns: \[\frac(1)(x+2)\].

Semnificația acestei probleme este aceeași cu cea anterioară: să arate cât de mult pot fi simplificate expresiile raționale dacă abordezi cu înțelepciune transformarea lor.

Și acum, când știi toate acestea, să trecem la subiectul principal al lecției de astăzi - rezolvarea inegalităților raționale fracționale. Mai mult decât atât, după o astfel de pregătire, inegalitățile în sine vor face clic ca nucile. :)

Principala modalitate de a rezolva inegalitățile raționale

Există cel puțin două abordări pentru rezolvarea inegalităților raționale. Acum vom lua în considerare una dintre ele - cea care este general acceptată în cursul de matematică din școală.

Dar mai întâi, să notăm un detaliu important. Toate inegalitățile sunt împărțite în două tipuri:

Strict: $f\left(x \right) \gt 0$ sau $f\left(x \right) \lt 0$;
Nestrict: $f\left(x \right)\ge 0$ sau $f\left(x \right)\le 0$.

Inegalitățile de al doilea tip sunt ușor reduse la primul, precum și ecuația:

Această mică „adăugare” $f\left(x \right)=0$ duce la un lucru atât de neplăcut precum punctele umplute - le-am întâlnit din nou în metoda intervalului. În caz contrar, nu există diferențe între inegalitățile stricte și non-strictive, așa că haideți să analizăm algoritmul universal:

Colectați toate elementele diferite de zero de pe o parte a semnului de inegalitate. De exemplu, în stânga;

Aduceți toate fracțiile la un numitor comun (dacă există mai multe astfel de fracții), aduceți unele similare. Apoi, dacă este posibil, factorizați în numărător și numitor. Într-un fel sau altul, vom obține o inegalitate de forma $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, unde bifa este semnul inegalității.

Echivalează numărătorul cu zero: $P\left(x \right)=0$. Rezolvăm această ecuație și obținem rădăcinile $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Apoi avem nevoie de că numitorul nu era egal cu zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Desigur, în esență, trebuie să rezolvăm ecuația $Q\left(x \right)=0$ și obținem rădăcinile $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (în problemele reale cu greu vor fi mai mult de trei astfel de rădăcini).

Marcam toate aceste rădăcini (atât cu cât și fără asteriscuri) pe o singură linie numerică, iar rădăcinile fără stele sunt pictate peste, iar cele cu stele sunt perforate.

Punem semnele plus și minus, selectăm intervalele de care avem nevoie. Dacă inegalitatea are forma $f\left(x \right) \gt 0$, atunci răspunsul vor fi intervalele marcate cu „plus”. Dacă $f\left(x \right) \lt 0$, atunci ne uităm la intervale cu „minusuri”.

Practica arată că punctele 2 și 4 provoacă cele mai mari dificultăți - transformări competente și aranjarea corectă a numerelor în ordine crescătoare. Ei bine, la ultimul pas, fiți extrem de atenți: plasăm întotdeauna semne pe baza ultima inegalitate scrisă înainte de a trece la ecuații. Aceasta este o regulă universală moștenită din metoda intervalului.

Deci, există o schemă. Sa exersam.

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Soluţie. Avem o inegalitate strictă de forma $f\left(x \right) \lt 0$. Evident, punctele 1 și 2 din schema noastră au fost deja completate: toate elementele inegalității sunt adunate în stânga, nimic nu trebuie adus la un numitor comun. Deci, să trecem la al treilea punct.

Setați numărătorul la zero:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(align)\]

Și numitorul:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

În acest loc, mulți oameni rămân blocați, pentru că, teoretic, trebuie să scrieți $x+7\ne 0$, așa cum este cerut de ODZ (nu puteți împărți la zero, asta-i tot). Dar la urma urmei, în viitor vom scoate punctele care au venit de la numitor, așa că nu ar trebui să vă complicați încă o dată calculele - scrieți un semn egal peste tot și nu vă faceți griji. Nimeni nu va deduce puncte pentru asta. :)

Al patrulea punct. Marcăm rădăcinile obținute pe dreapta numerică:
Toate punctele sunt perforate deoarece inegalitatea este strictă
Notă: toate punctele sunt perforate deoarece inegalitatea originală este strictă. Și aici nu mai contează: aceste puncte au venit de la numărător sau de la numitor.

Ei bine, uită-te la semne. Luați orice număr $((x)_(0)) \gt 3$. De exemplu, $((x)_(0))=100$ (dar ați fi putut lua la fel de bine $((x)_(0))=3.1$ sau $((x)_(0)) = 1\000\000$). Primim:

Deci, în dreapta tuturor rădăcinilor avem o zonă pozitivă. Și atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă (nu va fi întotdeauna cazul, dar mai multe despre asta mai târziu). Prin urmare, trecem la al cincilea punct: plasăm semnele și alegem pe cel potrivit:

Revenim la ultima inegalitate, care era înainte de rezolvarea ecuațiilor. De fapt, coincide cu cea originală, deoarece nu am efectuat nicio transformare în această sarcină.

Deoarece este necesară rezolvarea unei inegalități de forma $f\left(x \right) \lt 0$, am umbrit intervalul $x\in \left(-7;3 \right)$ - este singurul marcat cu semnul minus. Acesta este răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-7;3 \right)$

Asta e tot! Este dificil? Nu, nu este greu. Într-adevăr, a fost o sarcină ușoară. Acum să complicăm puțin misiunea și să luăm în considerare o inegalitate mai „fantezică”. Când o rezolv, nu voi mai da astfel de calcule detaliate - voi sublinia pur și simplu punctele cheie. În general, o vom aranja așa cum am fi făcut-o la o muncă sau un examen independent. :)

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Soluţie. Aceasta este o inegalitate nestrictă de forma $f\left(x\right)\ge 0$. Toate elementele diferite de zero sunt colectate în stânga, nu există numitori diferiți. Să trecem la ecuații.

Numărător:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Numitor:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Nu știu ce fel de pervers a alcătuit această problemă, dar rădăcinile nu au ieșit foarte bine: va fi dificil să le aranjezi pe o linie numerică. Și dacă totul este mai mult sau mai puțin clar cu rădăcina $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (acesta este singurul număr pozitiv - va fi în dreapta), atunci $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ și $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ necesită un studiu suplimentar: care dintre ele este mai mare?

Puteți afla asta, de exemplu:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Sper că nu este nevoie să explic de ce fracția numerică $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Dacă este necesar, vă recomand să vă amintiți cum să efectuați acțiuni cu fracții.

Și marchem toate cele trei rădăcini pe linia numerică:
Punctele de la numărător sunt umbrite, de la numitor sunt decupate
Am pus semne. De exemplu, puteți lua $((x)_(0))=1$ și puteți afla semnul în acest moment:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Ultima inegalitate dinaintea ecuațiilor a fost $f\left(x \right)\ge 0$, deci ne interesează semnul plus.

Avem două seturi: unul este un segment obișnuit, iar celălalt este o rază deschisă pe linia numerică.

Răspuns: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

O notă importantă despre numerele pe care le înlocuim pentru a afla semnul din cel mai din dreapta interval. Nu este necesar să înlocuiți un număr apropiat de rădăcina din dreapta. Puteți lua miliarde sau chiar „plus-infinit” - în acest caz, semnul polinomului din paranteză, numărător sau numitor este determinat numai de semnul coeficientului principal.

Să aruncăm o altă privire la funcția $f\left(x\right)$ din ultima inegalitate:

Conține trei polinoame:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(align)\]

Toate sunt binoame liniare și toate au coeficienți pozitivi (numerele 7, 11 și 13). Prin urmare, atunci când înlocuiți numere foarte mari, polinoamele în sine vor fi și ele pozitive. :)

Această regulă poate părea excesiv de complicată, dar numai la început, când analizăm probleme foarte ușoare. În inegalități grave, substituția „plus-infinit” ne va permite să descoperim semnele mult mai rapid decât standardul $((x)_(0))=100$.

Ne vom confrunta foarte curând cu astfel de provocări. Dar mai întâi, să ne uităm la o modalitate alternativă de a rezolva inegalitățile raționale fracționale.

Mod alternativ

Această tehnică mi-a fost sugerată de unul dintre elevii mei. Eu însumi nu l-am folosit niciodată, dar practica a arătat că este cu adevărat mai convenabil pentru mulți studenți să rezolve inegalitățile în acest fel.

Deci, datele originale sunt aceleași. Trebuie să rezolvăm o inegalitate rațională fracțională:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Să ne gândim: de ce polinomul $Q\left(x \right)$ este „mai rău” decât polinomul $P\left(x \right)$? De ce trebuie să luăm în considerare grupuri separate de rădăcini (cu și fără asterisc), să ne gândim la punctele perforate etc.? Este simplu: o fracție are un domeniu de definiție, conform căruia fracția are sens doar atunci când numitorul ei este diferit de zero.

În rest, nu există diferențe între numărător și numitor: îl echivalăm și cu zero, căutăm rădăcinile, apoi le notăm pe linia numerică. Deci, de ce să nu înlocuiți bara fracțională (de fapt, semnul diviziunii) cu înmulțirea obișnuită și să scrieți toate cerințele DHS ca o inegalitate separată? De exemplu, așa:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Vă rugăm să rețineți: această abordare vă va permite să reduceți problema la metoda intervalelor, dar nu va complica deloc soluția. La urma urmei, oricum, vom echivala polinomul $Q\left(x\right)$ cu zero.

Să vedem cum funcționează în sarcini reale.

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Soluţie. Deci, să trecem la metoda intervalului:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Prima inegalitate este rezolvată elementar. Doar setați fiecare paranteză la zero:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Cu a doua inegalitate, totul este, de asemenea, simplu:

Marcam punctele $((x)_(1))$ și $((x)_(2))$ pe linia reală. Toate sunt perforate deoarece inegalitatea este strictă:
Punctul potrivit s-a dovedit a fi perforat de două ori. Este în regulă.
Atenție la punctul $x=11$. Se pare că este „de două ori scos”: pe de o parte, îl scoatem din cauza severității inegalității, pe de altă parte, din cauza cerinței suplimentare a ODZ.

În orice caz, va fi doar un punct perforat. Prin urmare, punem semne pentru inegalitatea $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ultimul pe care l-am văzut înainte de a începe rezolvarea ecuațiilor:

Suntem interesați de regiunile pozitive, deoarece rezolvăm o inegalitate de forma $f\left(x \right) \gt 0$ și le vom colora. Rămâne doar să scrieți răspunsul.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Folosind această soluție ca exemplu, aș dori să vă avertizez împotriva unei greșeli comune în rândul studenților începători. Și anume: nu deschideți niciodată paranteze în inegalități! Dimpotrivă, încercați să factorizați totul - acest lucru va simplifica soluția și vă va economisi o mulțime de probleme.

Acum să încercăm ceva mai dificil.

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Soluţie. Aceasta este o inegalitate nestrictă de forma $f\left(x\right)\le 0$, deci aici trebuie să monitorizați cu atenție punctele completate.

Să trecem la metoda intervalului:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ nou 0. \\ \end(align) \right.\]

Să trecem la ecuație:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Luăm în considerare cerința suplimentară:

Marcam toate rădăcinile obținute pe linia numerică:
Dacă un punct este eliminat și completat în același timp, acesta este considerat eliminat.
Din nou, două puncte se „suprapun” unul pe celălalt - acest lucru este normal, așa va fi întotdeauna. Este important doar să înțelegeți că un punct marcat atât ca perforat, cât și ca completat este de fapt un punct perforat. Acestea. „Gouging” este o acțiune mai puternică decât „picting over”.

Acest lucru este absolut logic, deoarece prin perforare marchem puncte care afectează semnul funcției, dar nu participă ei înșiși la răspuns. Și dacă la un moment dat numărul nu ne mai convine (de exemplu, nu intră în ODZ), îl ștergem din considerare până la sfârșitul sarcinii.

În general, încetează să filosofezi. Aranjam semnele și pictăm pe acele intervale care sunt marcate cu semnul minus:

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Și din nou am vrut să vă atrag atenția asupra acestei ecuații:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Încă o dată: nu deschideți niciodată paranteze în astfel de ecuații! Doar îți faci totul mai greu. Rețineți: produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. În consecință, această ecuație pur și simplu „se destramă” în câteva mai mici, pe care le-am rezolvat în problema anterioară.

Ținând cont de multiplicitatea rădăcinilor

Din problemele anterioare, este ușor de observat că tocmai inegalitățile nestricte sunt cele mai dificile, pentru că în ele trebuie să ții evidența punctelor umplute.

Dar există un rău și mai mare în lume - acestea sunt rădăcini multiple în inegalități. Aici este deja necesar să urmăriți nu unele puncte umplute acolo - aici semnul inegalității nu se poate schimba brusc la trecerea prin aceleași puncte.

Nu am considerat încă așa ceva în această lecție (deși o problemă similară a fost adesea întâlnită în metoda intervalului). Deci, să introducem o nouă definiție:

Definiție. Rădăcina ecuației $((\left(x-a \right))^(n))=0$ este egală cu $x=a$ și se numește rădăcina multiplicității $n$.

De fapt, nu ne interesează în mod deosebit valoarea exactă a multiplicității. Singurul lucru important este dacă acest număr $n$ este par sau impar. Pentru că:

Dacă $x=a$ este o rădăcină a multiplicității pare, atunci semnul funcției nu se schimbă la trecerea prin ea;
Și invers, dacă $x=a$ este o rădăcină a multiplicității impare, atunci semnul funcției se va schimba.

Un caz special al unei rădăcini de multiplicitate impară sunt toate problemele anterioare luate în considerare în această lecție: acolo multiplicitatea este egală cu unul peste tot.

Și mai departe. Înainte de a începe să rezolvăm probleme, aș dori să vă atrag atenția asupra unei subtilități care pare evidentă unui student cu experiență, dar care îi duce pe mulți începători într-o stupoare. Și anume:

Rădăcina multiplicității $n$ apare numai atunci când întreaga expresie este ridicată la această putere: $((\left(xa \right))^(n))$, și nu $\left(((x)^( n) )-a\dreapta)$.

Încă o dată: paranteza $((\left(xa \right))^(n))$ ne oferă rădăcina $x=a$ a multiplicității $n$, dar paranteza $\left(((x)^( n)) -a \right)$ sau, așa cum se întâmplă adesea, $(a-((x)^(n)))$ ne oferă o rădăcină (sau două rădăcini, dacă $n$ este par) a primei multiplicități , indiferent ce este egal cu $n$.

Comparaţie:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Totul este clar aici: toată paranteza a fost ridicată la puterea a cincea, așa că la ieșire am obținut rădăcina gradului al cincilea. Si acum:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Avem două rădăcini, dar ambele au prima multiplicitate. Sau iată altul:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Și nu vă confundați cu gradul al zecelea. Principalul lucru este că 10 este un număr par, deci avem două rădăcini la ieșire și ambele au din nou prima multiplicitate.

În general, fiți atenți: multiplicitatea apare numai atunci când gradul se aplică întregii paranteze, nu doar variabilei.

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \dreapta))^(5)))\ge 0\]

Soluţie. Să încercăm să o rezolvăm într-un mod alternativ - prin trecerea de la particular la produs:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\dreapta.\]

Ne ocupăm de prima inegalitate folosind metoda intervalului:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \dreapta))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

În plus, rezolvăm a doua inegalitate. De fapt, am rezolvat-o deja, dar pentru ca recenzenții să nu găsească defectul soluției, este mai bine să o rezolvăm:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Rețineți că nu există multiplicități în ultima inegalitate. Într-adevăr: ce diferență are de câte ori se taie punctul $x=-7$ pe dreapta numerică? Cel puțin o dată, de cel puțin cinci ori - rezultatul va fi același: un punct perforat.

Să notăm tot ce avem pe linia numerică:

După cum am spus, punctul $x=-7$ va fi în cele din urmă eliminat. Multiplicitățile sunt aranjate pe baza soluției inegalității prin metoda intervalului.

Rămâne de plasat semnele:

Deoarece punctul $x=0$ este o rădăcină a multiplicității pare, semnul nu se schimbă la trecerea prin el. Punctele rămase au o multiplicitate ciudată și totul este simplu cu ele.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Fii atent la $x=0$ din nou. Din cauza multiplicității uniforme, apare un efect interesant: totul în stânga este pictat peste, în dreapta - de asemenea, iar punctul în sine este complet pictat.

În consecință, nu trebuie să fie izolat atunci când înregistrați un răspuns. Acestea. nu trebuie să scrieți ceva de genul $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (deși formal un astfel de răspuns ar fi de asemenea corect). În schimb, scriem imediat $x\în \left[ -4;6 \right]$.

Astfel de efecte sunt posibile numai pentru rădăcini de multiplicitate pară. Și în următoarea sarcină, vom întâlni „manifestarea” inversă a acestui efect. Gata?

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Soluţie. De data aceasta vom urma schema standard. Setați numărătorul la zero:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

Și numitorul:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă de forma $f\left(x \right)\ge 0$, rădăcinile de la numitor (care au asteriscuri) vor fi tăiate, iar cele de la numărător vor fi pictate peste .

Aranjam semnele și mângâiem zonele marcate cu „plus”:
Punctul $x=3$ este izolat. Aceasta este o parte a răspunsului
Înainte de a scrie răspunsul final, aruncați o privire atentă asupra imaginii:

Punctul $x=1$ are o multiplicitate pară, dar este el însuși perforat. Prin urmare, va trebui să fie izolat în răspuns: trebuie să scrieți $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ și nu $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.

Punctul $x=3$ are și el o multiplicitate pară și este umbrit. Dispunerea semnelor indică faptul că punctul în sine ni se potrivește, dar un pas spre stânga și dreapta - și ne aflăm într-o zonă care cu siguranță nu ni se potrivește. Astfel de puncte se numesc izolate și sunt scrise ca $x\în \left$ 3 \right$$.

Combinăm toate piesele obținute într-un set comun și notăm răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definiție. Rezolvarea inegalității înseamnă găsiți setul tuturor soluțiilor sale, sau dovediți că acest set este gol.

S-ar părea: ce poate fi de neînțeles aici? Da, adevărul este că seturile pot fi specificate în moduri diferite. Să rescriem răspunsul la ultima problemă:

Citim literalmente ceea ce este scris. Variabila „x” aparține unei anumite mulțimi, care se obține prin unirea (simbolul „U”) a patru mulțimi separate:

Intervalul $\left(-\infty ;1 \right)$, care înseamnă literal „toate numerele mai mici decât unu, dar nu unul în sine”;
Intervalul este $\left(1;2 \right)$, adică. „toate numerele între 1 și 2, dar nu și numerele 1 și 2 în sine”;
Mulțimea $\left$ 3 \right$$, constând dintr-un singur număr - trei;
Intervalul $\left[ 4;5 \right)$ care conține toate numerele între 4 și 5, plus 4 în sine, dar nu 5.

Al treilea punct este de interes aici. Spre deosebire de intervale, care definesc seturi infinite de numere și denotă doar limitele acestor mulțimi, mulțimea $\left$ 3 \right$$ definește exact un număr prin enumerare.

Pentru a înțelege că enumeram numerele specifice incluse în set (și nu stabilim limite sau orice altceva), sunt folosite bretele. De exemplu, notația $\left$ 1;2 \right$$ înseamnă exact „o mulțime formată din două numere: 1 și 2”, dar nu un segment de la 1 la 2. În niciun caz nu confundați aceste concepte .

Regula de adunare a multiplicității

Ei bine, la sfârșitul lecției de astăzi, o mică conserve de la Pavel Berdov. :)

Elevii atenți probabil și-au pus deja întrebarea: ce se va întâmpla dacă aceleași rădăcini se găsesc la numărător și numitor? Deci următoarea regulă funcționează:

Se adaugă multiplicități de rădăcini identice. Este mereu. Chiar dacă această rădăcină apare atât la numărător, cât și la numitor.

Uneori este mai bine să decizi decât să vorbești. Prin urmare, rezolvăm următoarea problemă:

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \dreapta))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Până acum, nimic deosebit. Setați numitorul la zero:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Se găsesc două rădăcini identice: $((x)_(1))=-2$ și $x_(4)^(*)=-2$. Ambele au prima multiplicitate. Prin urmare, le înlocuim cu o singură rădăcină $x_(4)^(*)=-2$, dar cu o multiplicitate de 1+1=2.

În plus, există și rădăcini identice: $((x)_(2))=-4$ și $x_(2)^(*)=-4$. Ele sunt de asemenea din prima multiplicitate, deci rămâne doar $x_(2)^(*)=-4$ din multiplicitatea 1+1=2.

Vă rugăm să rețineți: în ambele cazuri, am lăsat exact rădăcina „decupată” și am aruncat-o din considerare pe cea „vopsită peste”. Pentru că, chiar și la începutul lecției, am fost de acord: dacă un punct este șters și pictat în același timp, atunci tot îl considerăm perforat.

Ca rezultat, avem patru rădăcini și toate s-au dovedit a fi scoase:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Le marchem pe linia numerică, ținând cont de multiplicitatea:

Amplasăm semnele și pictăm peste zonele care ne interesează:

Tot. Fără puncte izolate și alte perversiuni. Puteți nota răspunsul.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

regula înmulțirii

Uneori apare o situație și mai neplăcută: o ecuație care are rădăcini multiple este ea însăși ridicată la o anumită putere. Acest lucru modifică multiplicitățile tuturor rădăcinilor originale.

Acest lucru este rar, așa că majoritatea studenților nu au experiență în rezolvarea unor astfel de probleme. Iar regula aici este:

Când o ecuație este ridicată la o putere $n$, multiplicitatea tuturor rădăcinilor sale crește, de asemenea, cu un factor de $n$.

Cu alte cuvinte, ridicarea la o putere are ca rezultat înmulțirea multiplicităților cu aceeași putere. Să luăm ca exemplu această regulă:

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Soluţie. Setați numărătorul la zero:

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Totul este clar cu primul multiplicator: $x=0$. Și aici încep problemele:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

După cum puteți vedea, ecuația $((x)^(2))-6x+9=0$ are o rădăcină unică a celei de-a doua multiplicități: $x=3$. Întreaga ecuație este apoi pătrat. Prin urmare, multiplicitatea rădăcinii va fi $2\cdot 2=4$, pe care am notat-o în cele din urmă.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Nicio problemă cu numitorul:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

În total, am obținut cinci puncte: două eliminate și trei completate. Nu există rădăcini care coincid în numărător și numitor, așa că le marchem doar pe linia numerică:

Aranjam semnele ținând cont de multiplicitățile și pictăm pe intervalele care ne interesează:
Din nou un punct izolat și unul perforat
Din cauza rădăcinilor chiar și a multiplicității, am primit din nou câteva elemente „non-standard”. Acesta este $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nu $x\in \left[ 0;2 \right)$ și, de asemenea, un punct izolat $ x\în \left$ 3 \right$$.

Răspuns. $x\în \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

După cum puteți vedea, totul nu este atât de dificil. Principalul lucru este atenția. Ultima secțiune a acestei lecții este dedicată transformărilor - chiar acelea despre care am discutat chiar la început.

Preconversii

Inegalitățile pe care le vom discuta în această secțiune nu sunt complexe. Totuși, spre deosebire de sarcinile anterioare, aici va trebui să aplicați abilități din teoria fracțiilor raționale - factorizarea și reducerea la un numitor comun.

Am discutat această problemă în detaliu chiar la începutul lecției de astăzi. Dacă nu sunteți sigur că înțelegeți despre ce este vorba, vă recomand cu tărie să vă întoarceți și să repetați. Pentru că nu are rost să înghesuim metodele de rezolvare a inegalităților dacă „înoți” în conversia fracțiilor.

La teme, apropo, vor exista și multe sarcini similare. Ele sunt plasate într-o subsecțiune separată. Și acolo vei găsi exemple foarte non-triviale. Dar asta va fi în teme, dar acum să analizăm câteva astfel de inegalități.

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Soluţie. Mutând totul spre stânga:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Reducem la un numitor comun, deschidem parantezele, dăm termeni similari la numărător:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ dreapta))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Acum avem o inegalitate rațională fracțională clasică, a cărei soluție nu mai este dificilă. Îmi propun să o rezolv printr-o metodă alternativă - prin metoda intervalelor:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Nu uita de constrângerea care vine de la numitor:

Marcam toate numerele și restricțiile pe linia numerică:

Toate rădăcinile au prima multiplicitate. Nici o problemă. Punem doar semnele și pictăm peste zonele de care avem nevoie:

Asta este tot. Puteți nota răspunsul.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Desigur, acesta a fost un exemplu foarte simplu. Deci acum să aruncăm o privire mai atentă asupra problemei. Și apropo, nivelul acestei sarcini este destul de consistent cu munca independentă și de control pe această temă în clasa a VIII-a.

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Soluţie. Mutând totul spre stânga:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Înainte de a aduce ambele fracții la un numitor comun, descompunem acești numitori în factori. Deodată vor ieși aceleași paranteze? Cu primul numitor este ușor:

\[((x)^(2))+8x-9=\stanga(x-1 \dreapta)\stanga(x+9 \dreapta)\]

Al doilea este puțin mai dificil. Simțiți-vă liber să adăugați un multiplicator constant la paranteza în care a fost găsită fracția. Amintiți-vă: polinomul original a avut coeficienți întregi, deci este foarte probabil ca factorizarea să aibă și coeficienți întregi (de fapt, va avea întotdeauna, cu excepția cazului în care discriminantul este irațional).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

După cum puteți vedea, există o paranteză comună: $\left(x-1 \right)$. Revenim la inegalitate și aducem ambele fracții la un numitor comun:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ stânga(3x-2\dreapta))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

Setați numitorul la zero:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( alinia)\]

Fără multiplicități și fără rădăcini care coincid. Marcam patru numere pe o linie dreaptă:

Punem semnele:

Scriem răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ dreapta)$.

Tot! Așa, am citit până la această linie. :)

În articol vom lua în considerare rezolvarea inegalităților. Să vorbim clar despre cum să construim o soluție la inegalități cu exemple clare!

Înainte de a lua în considerare soluția inegalităților cu exemple, să ne ocupăm de conceptele de bază.

Introducere în inegalități

inegalitate se numește expresie în care funcțiile sunt legate prin semne de relație >, . Inegalitățile pot fi atât numerice, cât și alfabetice.
Inegalitățile cu două semne de relație se numesc dublu, cu trei - triplu etc. De exemplu:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Inegalitățile care conțin semnul > sau sau nu sunt stricte.
Soluția inegalității este orice valoare a variabilei pentru care această inegalitate este adevărată.
"Rezolvați inegalitatea" înseamnă că trebuie să găsiți setul tuturor soluțiilor sale. Există diverse metode de rezolvare a inegalităților. Pentru soluții pentru inegalități utilizați o dreaptă numerică care este infinită. De exemplu, rezolvarea inegalitatii x > 3 este un interval de la 3 la +, iar numărul 3 nu este inclus în acest interval, deci punctul de pe linie este notat cu un cerc gol, deoarece inegalitatea este strictă.
+
Răspunsul va fi: x (3; +).
Valoarea x=3 nu este inclusă în setul de soluții, deci paranteza este rotundă. Semnul infinitului este întotdeauna inclus într-o paranteză. Semnul înseamnă „apartenere”.
Luați în considerare cum să rezolvați inegalitățile folosind un alt exemplu cu semnul:
x2
-+
Valoarea x=2 este inclusă în setul de soluții, astfel încât paranteza pătrată și punctul de pe linie sunt notate cu un cerc umplut.
Răspunsul va fi: x

În termeni simpli, modulul este „un număr fără minus”. Și este în această dualitate (undeva nu trebuie să faceți nimic cu numărul inițial, dar undeva trebuie să eliminați un minus acolo) și toată dificultatea pentru studenții începători se află.

Există și o definiție geometrică. De asemenea, este util să-l cunoaștem, dar ne vom referi la el doar în cazuri complexe și unele deosebite, în care abordarea geometrică este mai convenabilă decât cea algebrică (spoiler: nu astăzi).

Definiție. Fie marcat punctul $a$ pe linia reală. Apoi modulul $\left| x-a \right|$ este distanța de la punctul $x$ la punctul $a$ de pe această dreaptă.

Dacă desenați o imagine, obțineți ceva de genul acesta:

Definirea modulului grafic

Într-un fel sau altul, proprietatea sa cheie decurge imediat din definiția modulului: modulul unui număr este întotdeauna o valoare nenegativă. Acest fapt va fi un fir roșu care traversează întreaga noastră poveste de astăzi.

Rezolvarea inegalităților. Metoda de spațiere

Acum să ne ocupăm de inegalități. Sunt foarte multe dintre ele, dar sarcina noastră acum este să le putem rezolva cel puțin pe cele mai simple. Cele care se reduc la inegalități liniare, precum și la metoda intervalelor.

Am două tutoriale mari pe această temă (apropo, foarte, FOARTE utile - recomand să studiezi):

Metoda intervalului pentru inegalități (în special urmăriți videoclipul);
Inegalitățile fracționale-raționale sunt o lecție foarte voluminoasă, dar după ea nu veți mai avea deloc întrebări.

Dacă știi toate astea, dacă expresia „să trecem de la inegalitate la ecuație” nu te face să vrei vag să te sinucizi de perete, atunci ești gata: bine ai venit în iad la subiectul principal al lecției. :)

1. Inegalități de formă „Modul mai mic decât funcția”

Aceasta este una dintre sarcinile cele mai frecvent întâlnite cu module. Este necesar să se rezolve o inegalitate de forma:

\[\stanga| f\right| \ltg\]

Orice poate acționa ca funcții $f$ și $g$, dar de obicei sunt polinoame. Exemple de astfel de inegalități:

Toate acestea sunt rezolvate literalmente într-o singură linie conform schemei:

\[\stanga| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \corect corect)\]

Este ușor de observat că scăpăm de modul, dar în schimb obținem o inegalitate dublă (sau, ceea ce este același, un sistem de două inegalități). Dar această tranziție ia în considerare absolut toate problemele posibile: dacă numărul de sub modul este pozitiv, metoda funcționează; dacă este negativ, încă funcționează; și chiar și cu cea mai inadecvată funcție în locul $f$ sau $g$, metoda va funcționa în continuare.

Desigur, se pune întrebarea: nu este mai ușor? Din păcate, nu poți. Acesta este scopul modulului.

Dar destul de filosofat. Să rezolvăm câteva probleme:

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 2x+3\dreapta| \ltx+7\]

Soluţie. Deci, avem o inegalitate clasică de forma „modulul este mai mic decât” - chiar nu există nimic de transformat. Lucrăm conform algoritmului:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\dreapta| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Nu vă grăbiți să deschideți parantezele precedate de un „minus”: este foarte posibil ca din cauza grabei să faceți o greșeală ofensivă.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problema a fost redusă la două inegalități elementare. Notăm soluțiile lor pe drepte reale paralele:
Intersectia multora
Intersecția acestor mulțimi va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Soluţie. Această sarcină este puțin mai dificilă. Pentru început, izolăm modulul mutând al doilea termen la dreapta:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Evident, avem din nou o inegalitate de forma „modulul este mai mic”, așa că scăpăm de modul conform algoritmului deja cunoscut:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Acum atenție: cineva va spune că sunt un pic cam pervers cu toate aceste paranteze. Dar încă o dată vă reamintesc că scopul nostru cheie este rezolvați corect inegalitatea și obțineți răspunsul. Mai târziu, când ai stăpânit perfect tot ceea ce este descris în această lecție, te poți perverti după cum vrei: deschide paranteze, adaugă minusuri etc.

Și pentru început, scăpăm doar de minusul dublu din stânga:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\stânga(x+1\dreapta)\]

Acum să deschidem toate parantezele din inegalitatea dublă:

Să trecem la dublarea inegalității. De data aceasta calculele vor fi mai serioase:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aliniați)\dreapta.\]

Ambele inegalități sunt pătrate și se rezolvă prin metoda intervalului (de aceea spun: dacă nu știi ce este, mai bine să nu iei încă module). Trecem la ecuația din prima inegalitate:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, rezultatul s-a dovedit a fi o ecuație pătratică incompletă, care este rezolvată elementar. Acum să ne ocupăm de a doua inegalitate a sistemului. Acolo trebuie să aplicați teorema lui Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Marcam numerele obținute pe două drepte paralele (separați pentru prima inegalitate și separați pentru a doua):
Din nou, deoarece rezolvăm un sistem de inegalități, ne interesează intersecția mulțimilor umbrite: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Acesta este răspunsul.
Răspuns: $x\în \left(-5;-2 \right)$

Cred că după aceste exemple schema de soluție este foarte clară:

Izolați modulul mutând toți ceilalți termeni în partea opusă a inegalității. Astfel obținem o inegalitate de forma $\left| f\right| \ltg$.
Rezolvați această inegalitate eliminând modulul așa cum este descris mai sus. La un moment dat, va fi necesar să trecem de la o inegalitate dublă la un sistem de două expresii independente, fiecare dintre acestea putând fi deja rezolvată separat.
În sfârșit, rămâne doar să traversăm soluțiile acestor două expresii independente - și atât, vom obține răspunsul final.

Un algoritm similar există pentru inegalitățile de tipul următor, când modulul este mai mare decât funcția. Cu toate acestea, există câteva „dar” serioase. Despre aceste „dar” vom vorbi acum.

2. Inegalități de formă „Modulul este mai mare decât funcția”

Arata asa:

\[\stanga| f\right| \gt g\]

Similar cu precedentul? Se pare ca. Cu toate acestea, astfel de sarcini sunt rezolvate într-un mod complet diferit. Formal, schema este următoarea:

\[\stanga| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Cu alte cuvinte, luăm în considerare două cazuri:

În primul rând, pur și simplu ignorăm modulul - rezolvăm inegalitatea obișnuită;
Apoi, de fapt, deschidem modulul cu semnul minus și apoi înmulțim ambele părți ale inegalității cu −1, cu un semn.

În acest caz, opțiunile sunt combinate cu o paranteză pătrată, adică. Avem o combinație de două cerințe.

Fiți atenți din nou: înaintea noastră nu este un sistem, ci un agregat, așadar în răspuns, mulțimile sunt combinate, nu intersectate. Aceasta este o diferență fundamentală față de paragraful anterior!

În general, mulți studenți au multă confuzie cu uniunile și intersecțiile, așa că haideți să analizăm această problemă odată pentru totdeauna:

„∪” este un semn de concatenare. De fapt, aceasta este o litera stilizată „U”, care ne-a venit din limba engleză și este o abreviere pentru „Union”, adică. "Asociațiile".
„∩” este semnul de intersecție. Prostia asta nu a venit de nicăieri, ci doar a apărut ca o opoziție cu „∪”.

Pentru a vă aminti și mai ușor, adăugați picioare la aceste semne pentru a face ochelari (numai să nu mă acuzați că promovez dependența de droguri și alcoolismul acum: dacă studiați serios această lecție, atunci ești deja dependent de droguri):

Diferența dintre intersecția și unirea mulțimilor

Tradus în rusă, aceasta înseamnă următoarele: uniunea (colecția) include elemente din ambele seturi, prin urmare, nu mai puțin decât fiecare dintre ele; dar intersecția (sistemul) include doar acele elemente care se află atât în primul set, cât și în al doilea. Prin urmare, intersecția mulțimilor nu este niciodată mai mare decât mulțimile sursă.

Deci a devenit mai clar? Asta este grozav. Să trecem la practică.

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\]

Soluţie. Acționăm conform schemei:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ dreapta.\]

Rezolvăm inegalitatea fiecărei populații:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcam fiecare set rezultat pe linia numerică și apoi le combinăm:
Unirea de seturi
În mod evident, răspunsul este $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Răspuns: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

Soluţie. Bine? Nu, e tot la fel. Trecem de la o inegalitate cu un modul la o mulțime de două inegalități:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(aliniere) \dreapta.\]

Rezolvăm fiecare inegalitate. Din păcate, rădăcinile nu vor fi foarte bune acolo:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

În a doua inegalitate, există și un pic de joc:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Acum trebuie să marchem aceste numere pe două axe - o axă pentru fiecare inegalitate. Cu toate acestea, trebuie să marcați punctele în ordinea corectă: cu cât numărul este mai mare, cu atât punctul se deplasează mai departe spre dreapta.

Și aici așteptăm o configurație. Dacă totul este clar cu numerele $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termenii din numărătorul primului fracție sunt mai mici decât termenii din numărătorul celui de-al doilea, deci și suma este mai mică), cu numerele $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ nici nu va fi nicio dificultate (un număr pozitiv evident mai negativ), dar cu ultimul cuplu totul nu este atât de simplu. Care este mai mare: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ sau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Dispunerea punctelor pe dreptele numerice și, de fapt, răspunsul va depinde de răspunsul la această întrebare.

Deci hai sa comparam:

\[\begin(matrice) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Am izolat rădăcina, am obținut numere nenegative de ambele părți ale inegalității, deci avem dreptul de a pătra ambele părți:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Cred că nu este o idee că $4\sqrt(13) \gt 3$, deci $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, în final punctele de pe axe vor fi aranjate astfel:
Caz de rădăcini urâte
Permiteți-mi să vă reamintesc că rezolvăm o mulțime, deci răspunsul va fi unirea, și nu intersecția mulțimilor umbrite.

Răspuns: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

După cum puteți vedea, schema noastră funcționează excelent atât pentru sarcini simple, cât și pentru cele foarte grele. Singurul „punct slab” al acestei abordări este că trebuie să comparați corect numerele iraționale (și credeți-mă: acestea nu sunt doar rădăcini). Dar o lecție separată (și foarte serioasă) va fi dedicată întrebărilor de comparație. Și mergem mai departe.

3. Inegalități cu „cozi” nenegative

Așa că am ajuns la cele mai interesante. Acestea sunt inegalități de formă:

\[\stanga| f\right| \gt\left| g\dreapta|\]

În general, algoritmul despre care vom vorbi acum este valabil doar pentru modul. Funcționează în toate inegalitățile în care există expresii nenegative garantate în stânga și dreapta:

Ce să faci cu aceste sarcini? Doar aminteste-ti:

În inegalitățile cu cozi nenegative, ambele părți pot fi ridicate la orice putere naturală. Nu vor exista restricții suplimentare.

În primul rând, ne va interesa pătrarea - arde module și rădăcini:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Doar nu confundați acest lucru cu luarea rădăcinii pătratului:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \dreapta|\ne f\]

S-au făcut nenumărate greșeli atunci când un student a uitat să instaleze un modul! Dar aceasta este o poveste complet diferită (acestea sunt, parcă, ecuații iraționale), așa că nu vom intra în ea acum. Să rezolvăm mai bine câteva probleme:

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \dreapta|\]

Soluţie. Observăm imediat două lucruri:

Aceasta este o inegalitate nestrictă. Punctele de pe linia numerică vor fi eliminate.

Ambele părți ale inegalității sunt în mod evident nenegative (aceasta este o proprietate a modulului: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Prin urmare, putem pătra ambele părți ale inegalității pentru a scăpa de modul și a rezolva problema folosind metoda obișnuită a intervalului:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

La ultimul pas, am înșelat puțin: am schimbat șirul termenilor, folosind paritatea modulului (de fapt, am înmulțit expresia $1-2x$ cu −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ dreapta)\dreapta)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rezolvăm prin metoda intervalului. Să trecem de la inegalitate la ecuație:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Marcam rădăcinile găsite pe linia numerică. Încă o dată: toate punctele sunt umbrite pentru că inegalitatea originală nu este strictă!
A scăpa de semnul modulului
Permiteți-mi să vă reamintesc pentru cei deosebit de încăpățânați: luăm semnele din ultima inegalitate, care a fost notă înainte de a trece la ecuație. Și pictăm peste zonele necesare în aceeași inegalitate. În cazul nostru, acesta este $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Ei bine, asta-i tot. Problema rezolvata.

Răspuns: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \dreapta|\]

Soluţie. Facem totul la fel. Nu voi comenta - doar uitați-vă la succesiunea acțiunilor.

Să-l pătram:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \dreapta))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ dreapta))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda de spațiere:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Săgeată dreapta x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Există o singură rădăcină pe linia numerică:
Răspunsul este o gamă întreagă
Răspuns: $x\în \left[ -1.5;+\infty \right)$.

O mică notă despre ultima sarcină. După cum a remarcat cu exactitate unul dintre studenții mei, ambele expresii ale submodulelor din această inegalitate sunt în mod evident pozitive, astfel încât semnul modulului poate fi omis fără a dăuna sănătății.

Dar acesta este deja un nivel complet diferit de gândire și o abordare diferită - poate fi numit în mod condiționat metoda consecințelor. Despre el - într-o lecție separată. Și acum să trecem la ultima parte a lecției de astăzi și să luăm în considerare un algoritm universal care funcționează întotdeauna. Chiar și atunci când toate abordările anterioare au fost neputincioase. :)

4. Metoda de enumerare a opțiunilor

Ce se întâmplă dacă toate aceste trucuri nu funcționează? Dacă inegalitatea nu se reduce la cozi nenegative, dacă este imposibil de izolat modulul, dacă este deloc durere-tristețe-dor?

Apoi intră în scenă „artileria grea” a tuturor matematicii - metoda de enumerare. În ceea ce privește inegalitățile cu modulul, arată astfel:

Scrieți toate expresiile submodulelor și egalați-le cu zero;
Rezolvați ecuațiile rezultate și marcați rădăcinile găsite pe o dreaptă numerică;
Linia dreaptă va fi împărțită în mai multe secțiuni, în cadrul cărora fiecare modul are un semn fix și, prin urmare, se extinde fără ambiguitate;
Rezolvați inegalitatea pe fiecare astfel de secțiune (puteți lua în considerare separat rădăcinile limită obținute în paragraful 2 - pentru fiabilitate). Combină rezultatele - acesta va fi răspunsul. :)

Ei bine, cum? Slab? Uşor! Doar pentru mult timp. Să vedem în practică:

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \dreapta| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Soluţie. Prostia asta nu se rezumă la inegalități precum $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ sau $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, deci haideți.

Scriem expresiile submodulelor, le echivalăm cu zero și găsim rădăcinile:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Săgeată la dreapta x=1. \\\end(align)\]

În total, avem două rădăcini care împart linia numerică în trei secțiuni, în interiorul cărora fiecare modul este dezvăluit în mod unic:
Împărțirea dreptei numerice cu zerouri a funcțiilor submodulare
Să luăm în considerare fiecare secțiune separat.

1. Fie $x \lt -2$. Atunci ambele expresii ale submodulului sunt negative, iar inegalitatea originală este rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Avem o constrângere destul de simplă. Să-l intersectăm cu presupunerea inițială că $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

În mod evident, variabila $x$ nu poate fi simultan mai mică de −2 dar mai mare de 1,5. Nu există soluții în acest domeniu.

1.1. Să considerăm separat cazul limită: $x=-2$. Să înlocuim acest număr în inegalitatea originală și să verificăm: se menține?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Evident, lanțul de calcule ne-a condus la o inegalitate greșită. Prin urmare, inegalitatea originală este, de asemenea, falsă, iar $x=-2$ nu este inclus în răspuns.

2. Acum fie $-2 \lt x \lt 1$. Modulul din stânga se va deschide deja cu un „plus”, dar cel din dreapta este încă cu „minus”. Avem:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Din nou ne intersectăm cu cerința inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Și din nou, mulțimea goală de soluții, deoarece nu există numere care să fie atât mai mici decât −2,5, cât și mai mari decât −2.

2.1. Și din nou un caz special: $x=1$. Înlocuim în inegalitatea originală:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\dreapta| \lt\left| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Similar cu „cazul special” anterior, numărul $x=1$ nu este în mod clar inclus în răspuns.

3. Ultima bucată a liniei: $x \gt 1$. Aici toate modulele sunt extinse cu un semn plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Și din nou intersectăm mulțimea găsită cu constrângerea inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \dreapta)\]

In cele din urma! Am găsit intervalul, care va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

În sfârșit, o notă care te poate scuti de greșeli stupide atunci când rezolvi probleme reale:

Soluțiile inegalităților cu module sunt de obicei mulțimi continue pe linia numerică - intervale și segmente. Punctele izolate sunt mult mai rare. Și chiar mai rar, se întâmplă ca limitele soluției (sfârșitul segmentului) să coincidă cu limita intervalului luat în considerare.

În consecință, dacă granițele (aceleași „cazuri speciale”) nu sunt incluse în răspuns, atunci aproape sigur că zonele din stânga-dreapta acestor limite nu vor fi incluse în răspuns. Și invers: granița a intrat ca răspuns, ceea ce înseamnă că unele zone din jurul ei vor fi și răspunsuri.

Țineți cont de acest lucru când verificați soluțiile.

După ce primim informațiile inițiale despre inegalitățile cu variabile, trecem la întrebarea soluției acestora. Să analizăm soluția inegalităților liniare cu o variabilă și toate metodele de rezolvare a acestora cu algoritmi și exemple. Vor fi luate în considerare doar ecuațiile liniare cu o variabilă.

Ce este o inegalitate liniară?

Mai întâi trebuie să definiți o ecuație liniară și să aflați forma ei standard și cum va diferi de altele. Din cursul școlar avem că inegalitățile nu au o diferență fundamentală, așa că trebuie folosite mai multe definiții.

Definiția 1

Inegalitatea liniară cu o variabilă x este o inegalitate de forma a x + b > 0 când se folosește orice semn de inegalitate în loc de >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definiția 2

Inegalitățile a x< c или a · x >c , cu x fiind o variabilă și a și c unele numere, se numește inegalități liniare cu o variabilă.

Deoarece nu se spune nimic despre dacă coeficientul poate fi egal cu 0, atunci o inegalitate strictă de forma 0 x > c și 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Diferențele lor sunt:

notația a · x + b > 0 în primul, iar a · x > c – în al doilea;
admisibilitatea coeficientului zero a , a ≠ 0 - în primul și a = 0 - în al doilea.

Se crede că inegalitățile a x + b > 0 și a x > c sunt echivalente, deoarece se obțin prin transferul termenului dintr-o parte în alta. Rezolvarea inegalității 0 · x + 5 > 0 va duce la faptul că va trebui rezolvată, iar cazul a = 0 nu va funcționa.

Definiția 3

Se consideră că inegalitățile liniare dintr-o variabilă x sunt inegalități de formă a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0Și a x + b ≥ 0, unde a și b sunt numere reale. În loc de x, poate exista un număr obișnuit.

Pe baza regulii, avem că 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 se numesc liniare.

Cum se rezolvă o inegalitate liniară

Principala modalitate de a rezolva astfel de inegalități este utilizarea transformărilor echivalente pentru a găsi inegalitățile elementare x< p (≤ , >, ≥) , p fiind un număr, pentru a ≠ 0 , și de forma a< p (≤ , >, ≥) pentru a = 0 .

Pentru a rezolva o inegalitate cu o variabilă, puteți aplica metoda intervalului sau o puteți reprezenta grafic. Oricare dintre ele poate fi folosit izolat.

Folosind transformări echivalente

Pentru a rezolva o inegalitate liniara de forma a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , este necesar să se aplice transformări echivalente ale inegalității. Coeficientul poate fi sau nu zero. Să luăm în considerare ambele cazuri. Pentru a clarifica, este necesar să adere la o schemă formată din 3 puncte: esența procesului, algoritmul, soluția în sine.

Definiția 4

Algoritm pentru rezolvarea unei inegalități liniare a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pentru a ≠ 0

numărul b va fi transferat în partea dreaptă a inegalității cu semnul opus, ceea ce ne va permite să ajungem la echivalentul a x< − b (≤ , > , ≥) ;
ambele părți ale inegalității vor fi împărțite la un număr care nu este egal cu 0. Mai mult, atunci când a este pozitiv, semnul rămâne, când a este negativ, se schimbă la opus.

Luați în considerare aplicarea acestui algoritm pentru rezolvarea exemplelor.

Exemplul 1

Rezolvați o inegalitate de forma 3 · x + 12 ≤ 0 .

Soluţie

Această inegalitate liniară are a = 3 și b = 12 . Prin urmare, coeficientul a lui x nu este egal cu zero. Să aplicăm algoritmii de mai sus și să rezolvăm.

Este necesar să transferați termenul 12 într-o altă parte a inegalității cu o schimbare de semn în față. Atunci obținem o inegalitate de forma 3 · x ≤ − 12 . Este necesar să împărțiți ambele părți la 3. Semnul nu se va schimba deoarece 3 este un număr pozitiv. Obținem că (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , ceea ce va da rezultatul x ≤ − 4 .

O inegalitate de forma x ≤ − 4 este echivalentă. Adică, soluția pentru 3 x + 12 ≤ 0 este orice număr real care este mai mic sau egal cu 4 . Răspunsul se scrie ca o inegalitate x ≤ − 4 , sau un interval numeric de forma (− ∞ , − 4 ] .

Întregul algoritm descris mai sus este scris după cum urmează:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Răspuns: x ≤ − 4 sau (− ∞ , − 4 ] .

Exemplul 2

Indicați toate soluțiile disponibile ale inegalității − 2 , 7 · z > 0 .

Soluţie

Din condiție vedem că coeficientul a la z este egal cu - 2, 7 și b este explicit absent sau egal cu zero. Nu puteți folosi primul pas al algoritmului, ci treceți imediat la al doilea.

Împărțim ambele părți ale ecuației cu numărul - 2, 7. Deoarece numărul este negativ, este necesar să se schimbe semnul inegalității la opus. Adică, obținem că (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Scriem întregul algoritm într-o formă scurtă:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Răspuns: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Exemplul 3

Rezolvați inegalitatea - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Soluţie

Conform condiției, vedem că este necesară rezolvarea inegalității cu coeficientul a pentru variabila x, care este egală cu - 5, cu coeficientul b, care corespunde fracției - 15 22 . Este necesar să se rezolve inegalitatea urmând algoritmul, adică: mutați - 15 22 în altă parte cu semnul opus, împărțiți ambele părți la - 5, schimbați semnul inegalității:

5 x ≤ 1522; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

La ultima tranziție pentru partea dreaptă, se folosește regula de împărțire a unui număr cu semne diferite 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, după care împărțim fracția obișnuită la un număr natural - 15 22: 5 \ u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Răspuns: x ≥ - 3 22 și [ - 3 22 + ∞) .

Luați în considerare cazul când a = 0. Expresia liniară a formei a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Totul se bazează pe definiția soluției inegalității. Pentru orice valoare a lui x, obținem o inegalitate numerică de forma b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Considerăm toate judecățile sub forma unui algoritm pentru rezolvarea inegalităților liniare 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definiția 5

Inegalitatea numerică de forma b< 0 (≤ , >, ≥) este adevărată, atunci inegalitatea originală are o soluție pentru orice valoare și falsă atunci când inegalitatea originală nu are soluții.

Exemplul 4

Rezolvați inegalitatea 0 · x + 7 > 0 .

Soluţie

Această inegalitate liniară 0 · x + 7 > 0 poate lua orice valoare x . Atunci obținem o inegalitate de forma 7 > 0 . Ultima inegalitate este considerată adevărată, deci orice număr poate fi soluția lui.

Răspuns: interval (− ∞ , + ∞) .

Exemplul 5

Găsiți o soluție la inegalitatea 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Soluţie

Înlocuind variabila x pentru orice număr, obținem că inegalitatea va lua forma − 12 , 7 ≥ 0 . Este incorect. Adică 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nu are soluții.

Răspuns: nu exista solutii.

Luați în considerare soluția inegalităților liniare, unde ambii coeficienți sunt egali cu zero.

Exemplul 6

Să se determine o inegalitate de nerezolvat din 0 · x + 0 > 0 și 0 · x + 0 ≥ 0 .

Soluţie

Când înlocuim orice număr în loc de x, obținem două inegalități de forma 0 > 0 și 0 ≥ 0 . Primul este incorect. Aceasta înseamnă că 0 x + 0 > 0 nu are soluții, iar 0 x + 0 ≥ 0 are un număr infinit de soluții, adică orice număr.

Răspuns: inegalitatea 0 x + 0 > 0 nu are soluții, iar 0 x + 0 ≥ 0 are soluții.

Această metodă este luată în considerare în cursul școlar de matematică. Metoda intervalului este capabilă să rezolve diferite tipuri de inegalități, inclusiv cele liniare.

Metoda intervalului este utilizată pentru inegalitățile liniare când valoarea coeficientului x nu este egală cu 0 . În caz contrar, va trebui să calculați folosind o altă metodă.

Definiția 6

Metoda de spațiere este:

introducerea funcției y = a x + b ;
căutarea zerourilor pentru a împărți domeniul definiției în intervale;
determinarea semnelor pentru conceptul lor pe intervale.

Să asamblam un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor liniare a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pentru a ≠ 0 folosind metoda intervalului:

aflarea zerourilor functiei y = a · x + b pentru a rezolva o ecuatie de forma a · x + b = 0 . Dacă a ≠ 0, atunci soluția va fi singura rădăcină care va lua denumirea x 0;
construirea unei linii de coordonate cu imaginea unui punct cu o coordonată x 0, cu o inegalitate strictă, punctul este indicat printr-un perforat, cu o inegalitate nestrict, este umbrit;
determinarea semnelor funcției y = a x + b pe intervale, pentru aceasta este necesar să se găsească valorile funcției în punctele din interval;
soluția inegalității cu semnele > sau ≥ pe linia de coordonate, se adaugă hașura deasupra decalajului pozitiv,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Luați în considerare câteva exemple de rezolvare a unei inegalități liniare folosind metoda intervalului.

Exemplul 6

Rezolvați inegalitatea − 3 · x + 12 > 0 .

Soluţie

Din algoritm rezultă că mai întâi trebuie să găsiți rădăcina ecuației − 3 · x + 12 = 0 . Obținem că − 3 · x = − 12 , x = 4 . Este necesar să descriem linia de coordonate, unde marchem punctul 4. Va fi perforat deoarece inegalitatea este strictă. Luați în considerare desenul de mai jos.

Este necesar să se determine semnele pe intervale. Pentru a-l determina pe intervalul (− ∞ , 4) , este necesar să se calculeze funcția y = − 3 · x + 12 pentru x = 3 . De aici obținem că − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Semnul de pe interval este pozitiv.

Determinăm semnul din intervalul (4, + ∞), apoi înlocuim valoarea x \u003d 5. Avem − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Efectuăm soluția inegalității cu semnul > , iar hașura se efectuează peste decalajul pozitiv. Luați în considerare desenul de mai jos.

Din desen se poate observa că soluția dorită are forma (− ∞ , 4) sau x< 4 .

Răspuns: (− ∞ , 4) sau x< 4 .

Pentru a înțelege cum să reprezentăm grafic, este necesar să luăm în considerare 4 inegalități liniare ca exemplu: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 și 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Soluțiile lor vor fi x< 2 , x ≤ 2 , x >2 și x ≥ 2 . Pentru a face acest lucru, desenați mai jos un grafic al funcției liniare y = 0 , 5 · x − 1.

Este clar că

Definiția 7

soluția inegalității 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
soluția 0 , 5 x − 1 ≤ 0 este intervalul în care funcția y = 0 , 5 x − 1 este sub 0 x sau coincide;
soluția 0 , 5 x − 1 > 0 este considerată a fi intervalul, în care funcția este situată deasupra O x;
soluția 0 , 5 x − 1 ≥ 0 este intervalul în care graficul este mai mare decât O x sau coincide.

Semnificația soluției grafice a inegalităților este de a găsi golurile, care trebuie reprezentate pe grafic. În acest caz, obținem că partea stângă are y \u003d a x + b, iar partea dreaptă are y \u003d 0 și coincide cu Despre x.

Definiția 8

Se realizează reprezentarea grafică a funcției y = a x + b:

în timp ce rezolvăm inegalitatea a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
în timp ce se rezolvă inegalitatea a x + b ≤ 0, se determină intervalul în care graficul este afișat sub axa O x sau coincide;
în timp ce se rezolvă inegalitatea a x + b > 0, se determină intervalul, unde graficul este afișat deasupra O x;
în timp ce se rezolvă inegalitatea a x + b ≥ 0, se determină intervalul acolo unde graficul este deasupra O x sau coincide.

Exemplul 7

Rezolvați inegalitatea - 5 · x - 3 > 0 folosind graficul.

Soluţie

Este necesar să se construiască un grafic al unei funcții liniare - 5 · x - 3 > 0 . Această linie este în scădere deoarece coeficientul lui x este negativ. Pentru a determina coordonatele punctului său de intersecție cu O x - 5 · x - 3 > 0, obținem valoarea - 3 5 . Să-l graficăm.

Rezolvarea inegalității cu semnul >, atunci trebuie să acordați atenție intervalului de deasupra O x. Evidențiem cu roșu partea necesară a avionului și obținem asta

Spațiul necesar este partea O x a culorii roșii. Prin urmare, raza numărului deschis - ∞ , - 3 5 va fi soluția inegalității. Dacă, prin condiție, au avut o inegalitate nestrictă, atunci și valoarea punctului - 3 5 ar fi o soluție a inegalității. Și ar coincide cu O x.

Răspuns: - ∞ , - 3 5 sau x< - 3 5 .

Soluția grafică este folosită atunci când partea stângă va corespunde funcției y = 0 x + b , adică y = b . Apoi linia va fi paralelă cu O x sau coincide la b \u003d 0. Aceste cazuri arată că o inegalitate poate să nu aibă soluții sau orice număr poate fi o soluție.

Exemplul 8

Determinați din inegalitățile 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Soluţie

Reprezentarea y = 0 x + 7 este y = 7 , atunci se va da un plan de coordonate cu o dreaptă paralelă cu O x și deasupra lui O x. Deci 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Graficul funcției y \u003d 0 x + 0 este considerat y \u003d 0, adică linia coincide cu O x. Prin urmare, inegalitatea 0 · x + 0 ≥ 0 are multe soluții.

Răspuns: a doua inegalitate are o soluție pentru orice valoare a lui x .

Inegalități liniare

Soluția inegalităților poate fi redusă la soluția unei ecuații liniare, care se numesc inegalități liniare.

Aceste inegalități au fost luate în considerare în cursul școlar, întrucât au fost un caz special de rezolvare a inegalităților, ceea ce a dus la deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari. De exemplu, să considerăm că 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Inegalitățile prezentate mai sus sunt întotdeauna reduse la forma unei ecuații liniare. După aceea, se deschid parantezele și se dau termeni similari, transferați din diferite părți, schimbând semnul în opus.

Când reducem inegalitatea 5 − 2 x > 0 la una liniară, o reprezentăm în așa fel încât să aibă forma − 2 x + 5 > 0 , iar pentru a o reduce pe a doua, obținem că 7 (x − 1 ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Este necesar să deschideți parantezele, să aduceți termeni asemănători, să mutați toți termenii în partea stângă și să aduceți termenii asemănători. Arata cam asa:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Aceasta aduce soluția unei inegalități liniare.

Aceste inegalități sunt considerate liniare, deoarece au același principiu de soluție, după care este posibil să le reducă la inegalități elementare.

Pentru a rezolva acest tip de inegalitate de acest fel, este necesar să o reducem la una liniară. Ar trebui făcut astfel:

Definiția 9

paranteze deschise;
colectează variabile în stânga și numere în dreapta;
aduceți condiții similare;
împărțiți ambele părți la coeficientul lui x .

Exemplul 9

Rezolvați inegalitatea 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Soluţie

Extindem parantezele, apoi obținem o inegalitate de forma 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . După reducerea termenilor similari, avem că 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . După mutarea termenilor de la stânga la dreapta, obținem că 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Prin urmare, are o inegalitate de forma 32 ≤ 0 din rezultatul obținut în calculul 0 · x + 32 ≤ 0 . Se poate observa că inegalitatea este falsă, ceea ce înseamnă că inegalitatea dată de condiție nu are soluții.

Răspuns: fara solutii.

Este de remarcat faptul că există multe inegalități de alt fel, care pot fi reduse la una liniară sau la o inegalitate de tipul prezentat mai sus. De exemplu, 5 2 x − 1 ≥ 1 este o ecuație exponențială care se reduce la o soluție liniară 2 · x − 1 ≥ 0 . Aceste cazuri vor fi luate în considerare la rezolvarea inegalităților de acest tip.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter