Valorile ecuațiilor trigonometrice. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice

Necesită cunoașterea formulelor de bază ale trigonometriei - suma pătratelor sinusului și cosinusului, expresia tangentei prin sinus și cosinus și altele. Pentru cei care le-au uitat sau nu le cunosc, recomandam citirea articolului „”.
Așadar, cunoaștem formulele trigonometrice de bază, este timpul să le punem în practică. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice cu abordarea corectă, este o activitate destul de interesantă, cum ar fi, de exemplu, rezolvarea unui cub Rubik.

Pe baza numelui în sine, este clar că o ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul se află sub semnul unei funcții trigonometrice.
Există așa-zise simple ecuații trigonometrice. Iată cum arată: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Considera, cum se rezolvă astfel de ecuații trigonometrice, pentru claritate, vom folosi cercul trigonometric deja familiar.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

pat x = a

Orice ecuație trigonometrică se rezolvă în două etape: aducem ecuația la cea mai simplă formă și apoi o rezolvăm ca cea mai simplă ecuație trigonometrică.
Există 7 metode principale prin care se rezolvă ecuațiile trigonometrice.

1. Substituția variabilă și metoda substituției

Rezolvați ecuația 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Folosind formulele de reducere obținem:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Să înlocuim cos(x + /6) cu y pentru simplitate și să obținem ecuația pătratică obișnuită:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Rădăcinile cărora y 1 = 1, y 2 = 1/2

Acum să mergem înapoi

Înlocuim valorile găsite ale lui y și obținem două răspunsuri:

2. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin factorizare

Cum se rezolvă ecuația sin x + cos x = 1?

Să mutam totul la stânga, astfel încât 0 să rămână în dreapta:

sin x + cos x - 1 = 0

Folosim identitățile de mai sus pentru a simplifica ecuația:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Să facem factorizarea:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Obținem două ecuații

3. Reducerea la o ecuație omogenă

O ecuație este omogenă față de sinus și cosinus dacă toți termenii ei față de sinus și cosinus sunt de același grad și același unghi. Pentru a rezolva o ecuație omogenă, procedați după cum urmează:

a) transferă toți membrii săi în partea stângă;

b) scoateți toți factorii comuni dintre paranteze;

c) egalează toți factorii și parantezele la 0;

d) între paranteze se obține o ecuație omogenă de grad mai mic, care, la rândul ei, este împărțită cu un sinus sau cosinus la un grad superior;

e) rezolvați ecuația rezultată pentru tg.

Rezolvați ecuația 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Să folosim formula sin 2 x + cos 2 x = 1 și să scăpăm de cele două deschise din dreapta:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Împărțiți la cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Înlocuim tg x cu y și obținem o ecuație pătratică:

y 2 + 4y +3 = 0 ale căror rădăcini sunt y 1 =1, y 2 = 3

De aici găsim două soluții la ecuația inițială:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Rezolvarea ecuațiilor, prin trecerea la jumătate de unghi

Rezolvați ecuația 3sin x - 5cos x = 7

Să trecem la x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Mutând totul la stânga:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Împărțire la cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introducerea unui unghi auxiliar

Pentru a lua în considerare, să luăm o ecuație de forma: a sin x + b cos x \u003d c,

unde a, b, c sunt niște coeficienți arbitrari și x este o necunoscută.

Împărțiți ambele părți ale ecuației la:



Acum coeficienții ecuației, conform formulelor trigonometrice, au proprietățile sin și cos și anume: modulul lor nu este mai mare de 1 și suma pătratelor = 1. Să-i notăm, respectiv, cos și sin, unde este așa-numitul unghi auxiliar. Atunci ecuația va lua forma:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

sau sin(x + ) = C

Soluția pentru această ecuație trigonometrică simplă este

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, unde



Trebuie remarcat faptul că denumirile cos și sin sunt interschimbabile.

Rezolvați ecuația sin 3x - cos 3x = 1

În această ecuație, coeficienții sunt:

a \u003d, b \u003d -1, deci împărțim ambele părți la \u003d 2

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru un succes promovarea examenului la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 examen de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri complicate soluții, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru solutie sarcini provocatoare 2 părți ale examenului.

Nu este un secret pentru nimeni că succesul sau eșecul în procesul de rezolvare a aproape orice problemă depinde în principal de corectitudinea definiției tipului. ecuația dată, precum și asupra reproducerii corecte a secvenței tuturor etapelor soluției sale. Totuși, în cazul ecuațiilor trigonometrice, nu este deloc greu de determinat faptul că ecuația este trigonometrică. Dar în procesul de determinare a secvenței de acțiuni care ar trebui să ne conducă la răspunsul corect, putem întâmpina anumite dificultăți. Să ne dăm seama cum să rezolvăm corect ecuațiile trigonometrice de la bun început.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice

Pentru a rezolva ecuația trigonometrică, trebuie să încercați să efectuați următoarele puncte:

• Aducem toate funcțiile care sunt incluse în ecuația noastră la „aceleași unghiuri”;
• Trebuie să aduci pentru ecuația dată la „aceleași funcții”;
• Descompunem partea stângă a ecuației date în factori sau alte componente necesare.

Metode

Metoda 1. Este necesar să se rezolve astfel de ecuații în două etape. Mai întâi, transformăm ecuația pentru a obține cea mai simplă formă (simplificată). Ecuația: Cosx = a, Sinx = a și altele asemenea sunt numite cele mai simple ecuații trigonometrice. Al doilea pas este de a rezolva ecuația simplă rezultată. De menționat că cea mai simplă ecuație poate fi rezolvată prin metoda algebrică, care ne este bine cunoscută de la cursul de algebră școlară. Se mai numește și metoda substituției și substituției variabile. Cu ajutorul formulelor de reducere, trebuie mai întâi să convertiți, apoi să faceți o înlocuire și apoi să găsiți rădăcinile.

În continuare, trebuie să ne descompuneți ecuația în factori posibili, pentru aceasta trebuie să mutați toți termenii la stânga și apoi să puteți descompune în factori. Acum trebuie să aduceți această ecuație la una omogenă, în care toți termenii sunt egali la același grad, iar cosinusul și sinusul au același unghi.

Înainte de a rezolva ecuațiile trigonometrice, trebuie să-i transferați termenii în partea stângă, luându-i din partea dreaptă, apoi scoatem toți numitorii comuni dintre paranteze. Echivalăm parantezele și factorii noștri cu zero. Parantezele noastre echivalente sunt o ecuație omogenă de grad redus care trebuie împărțită la sin(cos) la cea mai mare putere. Acum decidem ecuație algebrică, care s-a obţinut, în raport cu bronzul.

Metoda 2. O altă metodă prin care puteți rezolva ecuația trigonometrică este trecerea la jumătate de unghi. De exemplu, rezolvăm ecuația: 3sinx-5cosx=7.

Trebuie să mergem la jumătate de unghi, în cazul nostru este: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2) Și după aceea, reducem toți termenii într-o singură parte (pentru comoditate, este mai bine să-l alegem pe cel potrivit) și procedăm la rezolvarea ecuației.

Dacă este necesar, puteți introduce un unghi auxiliar. Acest lucru se face atunci când trebuie să înlocuiți valoarea întreagă sin (a) sau cos (a) și semnul „a” acționează doar ca un unghi auxiliar.

produs în totalitate

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice folosind produsul sumă? Metoda cunoscută sub numele de conversie produs în sumă poate fi folosită și pentru a rezolva astfel de ecuații. În acest caz, este necesar să folosiți formulele corespunzătoare ecuației.

De exemplu, avem o ecuație: 2sinx * sin3x= cos4x

Trebuie să rezolvăm această problemă transformând partea stângă într-o sumă, și anume:

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8.

Dacă metodele de mai sus nu sunt potrivite și încă nu știți cum să rezolvați cele mai simple ecuații trigonometrice, puteți utiliza o altă metodă - substituția universală. Cu el, puteți transforma expresia și face o înlocuire. De exemplu: Cos(x/2)=u. Acum putem rezolva ecuația cu parametrul dat u. Și după ce ați primit rezultatul dorit, nu uitați să traduceți această valoare în opus.

Mulți studenți „cu experiență” sunt sfătuiți să apeleze la oameni online pentru a rezolva ecuații. Cum să rezolvi o ecuație trigonometrică online, te întrebi. Pentru soluții online probleme, poti apela la forumurile subiectelor relevante, unde te pot ajuta cu sfaturi sau in rezolvarea problemei. Dar cel mai bun lucru este să încerci să te descurci singur.

Abilitățile și abilitățile în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice sunt foarte importante și utile. Dezvoltarea lor va necesita mult efort din partea ta. Multe probleme din fizică, stereometrie etc. sunt asociate cu rezolvarea unor astfel de ecuații. Și însuși procesul de rezolvare a unor astfel de probleme implică prezența abilităților și cunoștințelor care pot fi dobândite în timpul studierii elementelor de trigonometrie.

Învață formule trigonometrice

În procesul de rezolvare a unei ecuații, este posibil să întâmpinați nevoia de a folosi orice formulă din trigonometrie. Puteți, desigur, să începeți să-l căutați în manualele dvs. și în foile de cheat. Iar dacă ți se pun aceste formule în cap, nu doar că îți vei salva nervii, dar îți vei face sarcina mult mai ușoară, fără să pierzi timpul căutând informațiile necesare. Astfel, vei avea ocazia să te gândești la modul cel mai rațional de a rezolva problema.

Lecţie aplicație complexă cunoştinţe.

Obiectivele lecției.

1. Considera diverse metode soluții de ecuații trigonometrice.
2. Dezvoltare creativitate elevilor prin rezolvarea de ecuații.
3. Încurajarea elevilor la autocontrol, control reciproc, autoanaliză a activităților lor educaționale.

Echipament: ecran, proiector, material de referinta.

În timpul orelor

Conversație introductivă.

Principala metodă de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice este cea mai simplă reducere a acestora. În acest caz, se folosesc metodele obișnuite, de exemplu, factorizarea, precum și tehnicile folosite doar pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Există destul de multe dintre aceste trucuri, de exemplu, diferite substituții trigonometrice, transformări de unghi, transformări ale funcțiilor trigonometrice. Aplicarea fără discernământ a oricăror transformări trigonometrice de obicei nu simplifică ecuația, ci o complică dezastruos. Să te antrenezi în in termeni generali plan pentru rezolvarea ecuației, schițați o modalitate de a reduce ecuația la cel mai simplu, trebuie mai întâi să analizați unghiurile - argumentele funcțiilor trigonometrice incluse în ecuație.

Astăzi vom vorbi despre metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. O metodă aleasă corect permite adesea o simplificare semnificativă a soluției, așa că toate metodele pe care le-am studiat trebuie păstrate întotdeauna în zona de atenție pentru a rezolva ecuațiile trigonometrice în cel mai adecvat mod.

II. (Folosind un proiector, repetăm ​​metodele de rezolvare a ecuațiilor.)

1. O metodă de reducere a unei ecuații trigonometrice la una algebrică.

Toate trebuie exprimate funcții trigonometrice printr-unul, cu același argument. Acest lucru se poate face folosind identitatea trigonometrică de bază și corolarele acesteia. Obținem o ecuație cu o funcție trigonometrică. Luând-o ca pe o nouă necunoscută, obținem o ecuație algebrică. Îi găsim rădăcinile și ne întoarcem la vechea necunoscută, rezolvând cele mai simple ecuații trigonometrice.

2. Metoda de factorizare.

Pentru a schimba unghiurile, formulele de reducere, sumele și diferențele de argumente, precum și formulele de conversie a sumei (diferențelor) funcțiilor trigonometrice într-un produs și invers sunt adesea utile.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Metoda de introducere a unui unghi suplimentar.

4. Metoda de utilizare a substituției universale.

Ecuațiile de forma F(sinx, cosx, tgx) = 0 sunt reduse la ecuații algebrice folosind substituția trigonometrică universală

Exprimarea sinusului, cosinusului și tangentei în termenii tangentei unui semiunghi. Acest truc poate duce la o ecuație de ordin superior. A cărui decizie este dificilă.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi informatii personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.