Połóż różne korzenie. Zasady odejmowania pierwiastków

Pierwiastek kwadratowy z liczby X zadzwonił pod numer A, który w procesie samorzutnego rozmnażania się ( A*A) może podać liczbę X.
Tych. A * A = A 2 = X, oraz √X = A.

Ponad pierwiastkami kwadratowymi ( x), podobnie jak w przypadku innych liczb, można wykonywać operacje arytmetyczne, takie jak odejmowanie i dodawanie. Aby odjąć i dodać pierwiastki, należy je połączyć za pomocą znaków odpowiadających tym czynnościom (na przykład x- y ).
A potem przynieś im korzenie najprostsza forma- jeśli są między nimi podobne, konieczne jest wykonanie odlewu. Polega ona na tym, że brane są współczynniki wyrazów podobnych ze znakami wyrazów odpowiadających, następnie ujmuje się je w nawiasy, a pierwiastek wspólny jest wyświetlany poza nawiasami mnożnikowymi. Otrzymany przez nas współczynnik jest uproszczony zgodnie ze zwykłymi zasadami.

Krok 1. Wyodrębnianie pierwiastków kwadratowych

Po pierwsze, aby dodać pierwiastki kwadratowe, najpierw musisz je wyodrębnić. Można to zrobić, jeśli liczby pod znakiem pierwiastka są idealnymi kwadratami. Na przykład weź podane wyrażenie √4 + √9 . Pierwsza liczba 4 jest kwadratem liczby 2 . Druga liczba 9 jest kwadratem liczby 3 . W ten sposób można uzyskać następującą równość: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Wszystko, przykład jest rozwiązany. Ale nie zawsze tak się dzieje.

Krok 2. Wyjmowanie mnożnika liczby spod korzenia

Jeśli pod pierwiastkiem nie ma pełnych kwadratów, możesz spróbować wyjąć mnożnik liczby spod znaku pierwiastka. Weźmy na przykład wyrażenie √24 + √54 .

Rozłóżmy liczby na czynniki:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Na liście 24 mamy mnożnik 4 , można go wyjąć spod znaku pierwiastka kwadratowego. Na liście 54 mamy mnożnik 9 .

Otrzymujemy równość:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Rozważając ten przykład, otrzymujemy usunięcie czynnika spod znaku pierwiastka, tym samym upraszczając dane wyrażenie.

Krok 3. Zmniejszenie mianownika

Rozważmy następującą sytuację: suma dwóch pierwiastków kwadratowych jest mianownikiem ułamka, na przykład A / (√a + √b).
Teraz stoimy przed zadaniem „pozbywania się irracjonalności w mianowniku”.
Użyjmy następującej metody: pomnóż licznik i mianownik ułamka przez wyrażenie a - √b.

Otrzymujemy teraz skróconą formułę mnożenia w mianowniku:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Podobnie, jeśli mianownik zawiera różnicę pierwiastków: a - √b, licznik i mianownik ułamka mnoży się przez wyrażenie a + √b.

Weźmy jako przykład ułamek:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Przykład złożonej redukcji mianownika

Teraz zastanówmy się wystarczająco złożony przykład pozbycie się irracjonalności w mianowniku.

Weźmy jako przykład ułamek: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Musisz wziąć jego licznik i mianownik i pomnożyć przez wyrażenie √2 + √3 - √5 .

Otrzymujemy:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Krok 4. Oblicz przybliżoną wartość na kalkulatorze

Jeśli potrzebujesz tylko przybliżonej wartości, możesz to zrobić na kalkulatorze, obliczając wartość pierwiastków kwadratowych. Oddzielnie dla każdej liczby wartość jest obliczana i rejestrowana z wymaganą dokładnością, którą określa liczba miejsc po przecinku. Ponadto wszystkie wymagane operacje są wykonywane, podobnie jak w przypadku zwykłych liczb.

Szacunkowy przykład obliczeń

Należy obliczyć przybliżoną wartość tego wyrażenia √7 + √5 .

W rezultacie otrzymujemy:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Uwaga: w żadnym wypadku pierwiastki kwadratowe nie powinny być dodawane jako liczby pierwsze, jest to całkowicie niedopuszczalne. To znaczy, jeśli dodamy Pierwiastek kwadratowy na pięć i na trzy nie możemy wyliczyć pierwiastka kwadratowego z ośmiu.

Przydatna rada: jeśli zdecydujesz się na faktoryzację liczby, aby wyprowadzić kwadrat spod znaku pierwiastka, musisz wykonać odwrotną kontrolę, czyli pomnożyć wszystkie czynniki, które wynikają z obliczeń, i końcowy wynik tego obliczenia matematyczne powinny być liczbą, którą otrzymaliśmy pierwotnie.

W matematyce pierwiastki mogą być kwadratowe, sześcienne lub mieć dowolny inny wykładnik (potęgę), który jest zapisany po lewej stronie nad znakiem pierwiastka. Wyrażenie pod znakiem root nazywa się wyrażeniem root. Dodawanie korzenia jest podobne do dodawania terminów. wyrażenie algebraiczne, to znaczy wymaga definicji podobnych korzeni.

Kroki

Część 1 z 2: Znajdowanie korzeni

Oznaczenie korzenia. Wyrażenie pod znakiem pierwiastka () oznacza, że konieczne jest wyodrębnienie z tego wyrażenia pierwiastka pewnego stopnia.

Korzeń jest oznaczony znakiem.
Indeks (stopień) pierwiastka jest napisany po lewej stronie nad znakiem pierwiastka. Na przykład pierwiastek sześcienny liczby 27 jest zapisany jako: (27)
Jeśli wykładnik (stopień) pierwiastka jest nieobecny, wówczas wykładnik jest uważany za równy 2, czyli jest pierwiastkiem kwadratowym (lub pierwiastkiem drugiego stopnia).
Liczba zapisana przed znakiem pierwiastka nazywana jest mnożnikiem (czyli ta liczba jest mnożona przez pierwiastek), na przykład 5 (2)
Jeśli nie ma czynnika przed pierwiastkiem, to jest on równy 1 (przypomnij sobie, że dowolna liczba pomnożona przez 1 jest równa samej sobie).
Jeśli po raz pierwszy pracujesz z pierwiastkami, zanotuj odpowiednio mnożnik i wykładnik pierwiastka, aby się nie pomylić i lepiej zrozumieć ich cel.

Pamiętaj, które korzenie można złożyć, a które nie. Tak jak nie możesz dodać różnych terminów wyrażenia, takich jak 2a + 2b 4ab, nie możesz dodać różnych pierwiastków.

Nie możesz dodawać korzeni z różnymi wyrażeniami korzeni, na przykład (2) + (3) (5). Ale możesz dodać liczby pod tym samym pierwiastkiem, na przykład (2 + 3) = (5) (pierwiastek z 2 to w przybliżeniu 1,414, pierwiastek z 3 to w przybliżeniu 1,732, a pierwiastek z 5 to w przybliżeniu 2,236 ).

Nie można dodawać pierwiastków z tymi samymi wyrażeniami pierwiastków, ale z różnymi wykładnikami, na przykład (64) + (64) (ta suma nie jest równa (64), ponieważ pierwiastek kwadratowy z 64 wynosi 8, pierwiastek sześcienny z 64 jest 4, 8 + 4 = 12, co jest znacznie większe niż piąty pierwiastek 64, czyli około 2,297).

Część 2 z 2: Upraszczanie i dodawanie korzeni

Zidentyfikuj i pogrupuj podobne korzenie. Podobne pierwiastki to pierwiastki, które mają te same wykładniki i te same wyrażenia pierwiastków. Rozważmy na przykład wyrażenie:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Najpierw przepisz wyrażenie, aby pierwiastki z tym samym wykładnikiem były w szeregu.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Następnie przepisz wyrażenie tak, aby pierwiastki z tym samym wykładnikiem i tym samym wyrażeniem pierwiastka znajdowały się w szeregu.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Uprość swoje korzenie. Aby to zrobić, rozłóż (jeśli to możliwe) radykalne wyrażenia na dwa czynniki, z których jeden jest wyjęty spod korzenia. W takim przypadku wyrenderowana liczba i czynnik główny są mnożone.

W powyższym przykładzie podziel 50 na 2*25, a liczbę 32 na 2*16. Z liczby 25 i 16 można wyodrębnić pierwiastki kwadratowe (odpowiednio 5 i 4) i wyciągnąć 5 i 4 spod pierwiastka, mnożąc je odpowiednio przez współczynniki 2 i 1. W ten sposób otrzymujemy uproszczone wyrażenie: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Liczbę 81 można podzielić na 3 * 27, a pierwiastek sześcienny z 3 można pobrać z liczby 27. Ta liczba 3 może zostać wyjęta spod pierwiastka. W ten sposób otrzymujesz jeszcze bardziej uproszczone wyrażenie: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Dodaj czynniki o podobnych korzeniach. W naszym przykładzie są podobne pierwiastki kwadratowe z 2 (można je dodać) i podobne pierwiastki kwadratowe z 3 (mogą być również dodawane). Na pierwiastek sześcienny na 3 nie ma takich korzeni.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Ostateczne wyrażenie uproszczone: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Nie ma ogólnie przyjętych zasad kolejności, w jakiej pierwiastki są zapisywane w wyrażeniu. Dlatego możesz pisać pierwiastki w porządku rosnącym ich wykładników oraz w porządku rosnącym wyrażeń radykalnych.

Uwaga, tylko DZIŚ!

Wszystkie interesujące

Liczba znajdująca się pod znakiem pierwiastka często przeszkadza w rozwiązaniu równania, praca z nią jest niewygodna. Nawet jeśli jest podniesiona do potęgi, ułamkowa lub nie może być do pewnego stopnia reprezentowana jako liczba całkowita, można spróbować wyprowadzić ją z…

Pierwiastek liczby x to liczba, która po podniesieniu do potęgi pierwiastka będzie równa x. Mnożnik to mnożona liczba. Oznacza to, że w wyrażeniu takim jak x*ª-&radic-y musisz dodać x pod korzeniem. Instrukcja 1 Określ stopień ...

Jeżeli wyrażenie pierwiastkowe zawiera zbiór operacji matematycznych ze zmiennymi, to czasami w wyniku jego uproszczenia można uzyskać stosunkowo prostą wartość, której część można wydobyć spod pierwiastka. To uproszczenie jest przydatne...

Operacje arytmetyczne z pierwiastkami o różnych stopniach mogą znacznie uprościć obliczenia w fizyce i technologii oraz zwiększyć ich dokładność. Podczas mnożenia i dzielenia wygodniej jest nie wyodrębniać pierwiastka z każdego czynnika lub dywidendy i dzielnika, ale najpierw ...

Pierwiastek kwadratowy z liczby x to liczba a, która po pomnożeniu przez samą siebie daje liczbę x: a * a = a^2 = x, x = a. Jak w przypadku każdej liczby, możesz wykonywać operacje arytmetyczne dodawania i odejmowania na pierwiastkach kwadratowych. Instrukcja...

Korzeń w matematyce może mieć dwa znaczenia: jest operacją arytmetyczną i każdym z rozwiązań równania, algebraicznego, parametrycznego, różniczkowego lub dowolnego innego. Instrukcja 1Pierwiastek n-tego stopnia liczby a jest liczbą, która ...

Podczas wykonywania różnych działania arytmetyczne mając korzenie, często konieczna jest umiejętność przekształcania radykalnych wyrażeń. Aby uprościć obliczenia, może być konieczne usunięcie czynnika ze znaku rodnika lub umieszczenie go pod nim. Ta akcja może...

Korzeń to ikona, która reprezentuje działanie matematyczne znalezienie takiej liczby, której konstrukcja do potęgi wskazanej przed znakiem pierwiastka powinna dać liczbę wskazaną pod tym samym znakiem. Często, aby rozwiązać problemy, w których występują ...

Nazywa się znak korzenia w naukach matematycznych symbol dla korzeni. Liczba pod znakiem korzenia nazywana jest radykalnym wyrażeniem. W przypadku braku wykładnika pierwiastek jest kwadratem, w przeciwnym razie liczba wskazuje ...

pierwiastek arytmetyczny n-ty stopień z liczby rzeczywistej a nazywamy taką liczbą nieujemną x, n-ty stopień która jest równa liczbie a. Tych. (n) a = x, x^n = a. Istnieć różne drogi wzbogacenie pierwiastek arytmetyczny i liczba wymierna...

N-ty pierwiastek liczby rzeczywistej a jest liczbą b, dla której równość b^n = a jest prawdziwa. Pierwiastki nieparzyste istnieją dla liczb ujemnych i dodatnich, a pierwiastki parzyste istnieją tylko dla liczb dodatnich.…

Pierwiastek kwadratowy z liczby X zadzwonił pod numer A, który w procesie samorzutnego rozmnażania się ( A*A) może podać liczbę X.
Tych. A * A = A 2 = X, oraz √X = A.

Ponad pierwiastkami kwadratowymi ( x), podobnie jak w przypadku innych liczb, można wykonywać operacje arytmetyczne, takie jak odejmowanie i dodawanie. Aby odjąć i dodać pierwiastki, należy je połączyć za pomocą znaków odpowiadających tym czynnościom (na przykład x - y ).
A potem doprowadź korzenie do najprostszej postaci - jeśli są między nimi podobne, musisz wykonać odlew. Polega ona na tym, że brane są współczynniki wyrazów podobnych ze znakami wyrazów odpowiadających, następnie ujmuje się je w nawiasy, a pierwiastek wspólny jest wyświetlany poza nawiasami mnożnikowymi. Otrzymany przez nas współczynnik jest uproszczony zgodnie ze zwykłymi zasadami.

Krok 1. Wyodrębnianie pierwiastków kwadratowych

Krok 2. Wyjmowanie mnożnika liczby spod korzenia

Jeśli pod pierwiastkiem nie ma pełnych kwadratów, możesz spróbować wyjąć mnożnik liczby spod znaku pierwiastka. Weźmy na przykład wyrażenie √24 + √54 .

Rozłóżmy liczby na czynniki:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Na liście 24 mamy mnożnik 4 , można go wyjąć spod znaku pierwiastka kwadratowego. Na liście 54 mamy mnożnik 9 .

Otrzymujemy równość:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Rozważając ten przykład, otrzymujemy usunięcie czynnika spod znaku pierwiastka, tym samym upraszczając dane wyrażenie.

Krok 3. Zmniejszenie mianownika

Otrzymujemy teraz skróconą formułę mnożenia w mianowniku:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Podobnie, jeśli mianownik zawiera różnicę pierwiastków: a - √b, licznik i mianownik ułamka mnoży się przez wyrażenie a + √b.

Weźmy jako przykład ułamek:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Przykład złożonej redukcji mianownika

Teraz rozważymy dość skomplikowany przykład pozbycia się irracjonalności w mianowniku.

Weźmy jako przykład ułamek: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Musisz wziąć jego licznik i mianownik i pomnożyć przez wyrażenie √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Krok 4. Oblicz przybliżoną wartość na kalkulatorze

Szacunkowy przykład obliczeń

Należy obliczyć przybliżoną wartość tego wyrażenia √7 + √5 .

W rezultacie otrzymujemy:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Uwaga: w żadnym wypadku pierwiastki kwadratowe nie powinny być dodawane jako liczby pierwsze, jest to całkowicie niedopuszczalne. To znaczy, jeśli dodasz pierwiastek kwadratowy z pięciu i trzech, nie możemy uzyskać pierwiastka kwadratowego z ośmiu.

Zasady odejmowania pierwiastków

1. Pierwiastek stopnia z iloczynu liczb nieujemnych jest równy iloczynowi pierwiastków tego samego stopnia z czynników: gdzie (zasada wyodrębniania pierwiastka z iloczynu).

2. Jeśli , to y (reguła wyodrębniania pierwiastka z ułamka).

3. Jeśli to (zasada wyciągania korzenia z korzenia).

4. Jeśli to zasada podnoszenia korzenia do potęgi).

5. Jeśli więc gdzie, tj. indeks pierwiastka i indeks wyrażenia radykalnego można pomnożyć przez tę samą liczbę.

6. Jeśli wtedy 0, tj. większe dodatnie wyrażenie radykalne odpowiada większej wartości pierwiastka.

7. Wszystkie powyższe wzory są często używane w Odwrotna kolejność(tj. od prawej do lewej). Na przykład,

(zasada rozmnażania korzeni);

(zasada dzielenia korzeni);

8. Zasada wyjmowania mnożnika spod znaku korzenia. Na

9. Zagadnienie odwrotne - wprowadzenie czynnika pod znakiem pierwiastka. Na przykład,

10. Zniszczenie irracjonalności w mianowniku ułamka.

Rozważmy kilka typowych przypadków.

Znaczenie słowa Wyjaśnij znaczenie słów: prawo, lichwiarz, dłużnik-niewolnik. wyjaśnij znaczenie słów: prawo, lichwiarz, dłużnik niewolnik. DELICIOUS STRAWBERRY (Gość) Pytania szkolne na temat 1. Jakie są 3 rodzaje […]
Czy potrzebujesz pozwolenia na krótkofalówkę w samochodzie? gdzie czytać? I tak musisz zarejestrować swoją stację radiową. Walkie-talkie działające na częstotliwości 462 MHz, jeśli nie jesteś przedstawicielem MSW, […]
Jednolita stawka podatkowa - 2018 Jednolita stawka podatkowa - 2018 dla przedsiębiorców-osób fizycznych z pierwszej i drugiej grupy jest obliczana jako procent minimum egzystencji i płacy minimalnej ustalonej na dzień 01 stycznia […]
Ubezpieczenie Avito GWARANCJA LEGALNOŚCI. Zdecydowałeś się samodzielnie wystawić adres e-mail OSAGO, ale nic Ci się nie udaje? !!Wprowadzę dla Ciebie wszystkie niezbędne dane w elektronicznym wniosku […]
Procedura obliczania i opłacania podatku akcyzowego Podatek akcyzowy jest jednym z podatków pośrednich od towarów i usług, który wliczany jest w ich koszt. Podatek akcyzowy różni się od VAT tym, że jest nakładany na […]
Załącznik. Zasady użytkowania gruntów i zagospodarowania przestrzennego miasta Rostów nad Donem Załącznik do decyzji Dumy Miejskiej z dnia 17 czerwca 2008 r. N 405 Zasady użytkowania gruntów i zagospodarowania przestrzennego miasta Rostów nad Donem Ze zmianami i [… ]

Na przykład,

11. Zastosowanie skróconych tożsamości mnożenia do operacji z pierwiastkami arytmetycznymi:

12. Czynnik przed pierwiastkiem nazywa się jego współczynnikiem. Na przykład tutaj 3 jest czynnikiem.

13. Korzenie (rodniki) nazywane są podobnymi, jeśli mają te same wykładniki pierwiastkowe i te same wyrażenia radykalne, ale różnią się tylko współczynnikiem. Aby ocenić, czy te korzenie (rodniki) są podobne, czy nie, należy je zredukować do najprostszej postaci.

Na przykład i są podobne, ponieważ

ĆWICZENIA Z ROZWIĄZANIAMI

1. Uprość wyrażenia:

Decyzja. 1) Mnożenie wyrażenia pierwiastka nie ma sensu, ponieważ każdy z czynników reprezentuje kwadrat liczby całkowitej. Skorzystajmy z zasady wydobywania korzenia z produktu:

W przyszłości takie działania będą wykonywane ustnie.

2) Spróbujmy, jeśli to możliwe, przedstawić radykalne wyrażenie jako iloczyn czynników, z których każdy jest sześcianem liczby całkowitej, i zastosujmy zasadę dotyczącą pierwiastka iloczynu:

2. Znajdź wartość wyrażenia:

Decyzja. 1) Zgodnie z zasadą wydobywania korzenia z ułamka mamy:

3) Przekształcamy radykalne wyrażenia i wydobywamy korzeń:

3. Uprość, kiedy

Decyzja. Podczas wyciągania korzenia z korzenia, indeksy korzeni są mnożone, a wyrażenie korzenia pozostaje niezmienione.

Jeśli przed korzeniem pod korzeniem znajduje się współczynnik, to przed wykonaniem operacji wydobycia korzenia współczynnik ten wpisuje się pod znakiem rodnika, przed którym stoi.

W oparciu o powyższe zasady wyodrębniamy dwa ostatnie korzenie:

4. Podnieś się do potęgi:

Decyzja. Podczas podnoszenia pierwiastka do potęgi, wykładnik pierwiastka pozostaje niezmieniony, a wykładniki wyrażenia radykalnego są mnożone przez wykładnik.

(ponieważ jest zdefiniowany, to );

Jeśli dany korzeń ma współczynnik, to współczynnik ten jest oddzielnie podnoszony do potęgi, a wynik jest zapisywany jako współczynnik u pierwiastka.

Tutaj użyliśmy zasady, że indeks pierwiastka i indeks wyrażenia radykalnego można pomnożyć przez tę samą liczbę (mnożyliśmy przez, czyli dzielimy przez 2).

Na przykład lub

4) Wyrażenie w nawiasie, reprezentujące sumę dwóch różnych pierwiastków, zostanie sześcienne i uproszczone:

Ponieważ mamy:

5. Wyeliminuj irracjonalność w mianowniku:

Decyzja. Aby wyeliminować (zniszczyć) irracjonalność w mianowniku ułamka, należy znaleźć najprostsze z wyrażeń, które w iloczynie z mianownikiem daje racjonalne wyrażenie i pomnóż licznik i mianownik tego ułamka przez znaleziony czynnik.

Na przykład, jeśli w mianowniku ułamka występuje dwumian, licznik i mianownik ułamka należy pomnożyć przez wyrażenie sprzężone z mianownikiem, to znaczy sumę należy pomnożyć przez odpowiednią różnicę i odwrotnie.

Więcej trudne przypadki zniszczyć irracjonalność nie od razu, ale w kilku krokach.

1) Wyrażenie musi zawierać

Mnożąc licznik i mianownik ułamka przez otrzymujemy:

2) Mnożąc licznik i mianownik ułamka przez niepełny kwadrat sumy, otrzymujemy:

3) Sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika:

Rozwiązując ten przykład, musimy pamiętać, że każdy ułamek ma znaczenie, to znaczy mianownik każdego ułamka jest różny od zera. Oprócz,

Podczas konwersji wyrażeń zawierających pierwiastki często popełniane są błędy. Są one spowodowane niemożnością poprawnego zastosowania pojęcia (definicji) pierwiastka arytmetycznego i wartości bezwzględnej.

Zasady odejmowania pierwiastków

Oblicz wartość wyrażenia

Decyzja.

Wyjaśnienie.
Aby zwinąć wyrażenie pierwiastkowe, reprezentujmy w drugim czynniku w wyrażeniu pierwiastkowym liczbę 31 jako sumę 15+16. (linia 2)

Po przekształceniu można zauważyć, że sumę w drugim wyrażeniu pierwiastkowym można przedstawić jako kwadrat sumy za pomocą skróconych wzorów mnożenia. (wiersz 3)

Teraz przedstawmy każdy pierwiastek z danego iloczynu jako stopień. (wiersz 4)

Uprość wyrażenie (wiersz 5)

Ponieważ potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg każdego z czynników, przedstawiamy to odpowiednio (wiersz 6)

Jak widać, zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia mamy różnicę kwadratów dwóch liczb. Skąd i oblicz wartość wyrażenia (wiersz 7)

Oblicz wartość wyrażenia.

Decyzja.

Wyjaśnienie.

Korzystamy z własności pierwiastka, że pierwiastek dowolnej potęgi liczb prywatnych jest równy prywatnemu pierwiastków tych liczb (wiersz 2)

Pierwiastek dowolnej potęgi liczby o tym samym stopniu jest równy tej liczbie (wiersz 3)

Usuńmy minus z nawiasu pierwszego mnożnika. W takim przypadku wszystkie znaki w nawiasie zostaną odwrócone (linia 4)

Zmniejszmy ułamek (wiersz 5)

Reprezentujmy liczbę 729 jako kwadrat liczby 27, a liczbę 27 jako sześcian liczby 3. Skąd otrzymujemy wartość wyrażenia radykalnego.

Pierwiastek kwadratowy. Pierwszy poziom.

Chcesz sprawdzić swoje siły i dowiedzieć się, jak jesteś gotowy do egzaminu Unified State lub OGE?

1. Wprowadzenie pojęcia arytmetycznego pierwiastka kwadratowego

Pierwiastek kwadratowy (arytmetyczny pierwiastek kwadratowy) liczby nieujemnej jest liczbą nieujemną, której kwadrat jest równy.
.

Liczba lub wyrażenie pod znakiem korzenia nie może być ujemna

2. Tabela kwadratów

3. Własności arytmetycznego pierwiastka kwadratowego

Wprowadzenie do pojęcia arytmetycznego pierwiastka kwadratowego

Spróbujmy dowiedzieć się, jakiego rodzaju pojęciem jest „korzeń” i „z czym jest zjadany”. Aby to zrobić, rozważ przykłady, które już spotkałeś na lekcjach (cóż, albo po prostu musisz się z tym zmierzyć).

Na przykład mamy równanie. Jakie jest rozwiązanie podane równanie? Jakie liczby można podnieść do kwadratu i uzyskać w tym samym czasie? Pamiętając tabliczkę mnożenia, możesz łatwo udzielić odpowiedzi: i (bo gdy pomnożysz dwie liczby ujemne, otrzymasz liczbę dodatnią)! W uproszczeniu matematycy wprowadzili specjalne pojęcie pierwiastka kwadratowego i przypisali mu specjalny symbol.

Zdefiniujmy arytmetyczny pierwiastek kwadratowy.

Dlaczego liczba musi być nieujemna? Na przykład, co jest równe? Dobra, spróbujmy to rozgryźć. Może trzy? Sprawdźmy: i nie. Być może, ? Ponownie sprawdź: Czy to nie jest wybrane? Należy się tego spodziewać - ponieważ nie ma liczb, które podniesione do kwadratu dają liczbę ujemną!

Jednak prawdopodobnie już zauważyłeś, że definicja mówi, że rozwiązanie pierwiastka kwadratowego z „liczby jest liczbą nieujemną, której kwadrat jest równy”. I na samym początku przeanalizowaliśmy przykład, wybrane liczby, które można podnosić do kwadratu i jednocześnie otrzymać, odpowiedź brzmiała i, a tu mowa o jakiejś „liczbie nieujemnej”! Taka uwaga jest całkiem słuszna. Tutaj konieczne jest po prostu rozróżnienie koncepcji równań kwadratowych i arytmetycznego pierwiastka kwadratowego z liczby. Na przykład nie jest odpowiednikiem wyrażenia.

I z tego wynika.

Oczywiście jest to bardzo zagmatwane, ale należy pamiętać, że znaki są wynikiem rozwiązania równania, ponieważ przy rozwiązywaniu równania musimy zapisać wszystkie x, które po wstawieniu do oryginalnego równania dadzą poprawną wynik. W naszym równaniu kwadratowym pasuje zarówno i.

Jednakże, jeśli po prostu wyciągniesz z czegoś pierwiastek kwadratowy, to zawsze otrzymasz jeden nieujemny wynik.

Teraz spróbuj rozwiązać to równanie. Nie wszystko jest takie proste i gładkie, prawda? Spróbuj posortować liczby, może coś się wypali?

Zacznijmy od samego początku - od zera: - nie pasuje, przejdźmy dalej; - mniej niż trzy, my też odsuwamy na bok, ale co jeśli? Sprawdźmy: - też nie pasuje, bo to więcej niż trzy. Przy liczbach ujemnych okaże się ta sama historia. A co teraz zrobić? Czy poszukiwania nic nam nie dały? Wcale nie, teraz wiemy na pewno, że odpowiedzią będzie jakaś liczba pomiędzy a, a także pomiędzy a. Również oczywiste jest, że rozwiązania nie będą liczbami całkowitymi. Co więcej, nie są racjonalne. Więc co dalej? Zbudujmy wykres funkcji i zaznaczmy na nim rozwiązania.

Spróbujmy oszukać system i uzyskać odpowiedź za pomocą kalkulatora! Wyrzućmy korzenie z biznesu! O-o-o, okazuje się, że taka liczba nigdy się nie kończy. Jak możesz to zapamiętać, skoro na egzaminie nie będzie kalkulatora!? Wszystko jest bardzo proste, nie musisz tego pamiętać, musisz zapamiętać (lub być w stanie szybko oszacować) przybliżoną wartość. i same odpowiedzi. Takie liczby nazywa się irracjonalnymi, a żeby uprościć zapis takich liczb, wprowadzono pojęcie pierwiastka kwadratowego.
Spójrzmy na inny przykład do wzmocnienia. Przeanalizujmy następujący problem: trzeba przejechać po przekątnej kwadratowe pole o boku kilometra, ile kilometrów trzeba przebyć?

Najbardziej oczywistą rzeczą jest tutaj osobne rozważenie trójkąta i użycie twierdzenia Pitagorasa:. Zatem, . Więc jaka jest wymagana odległość tutaj? Oczywiście odległość nie może być ujemna, rozumiemy. Pierwiastek z dwóch jest w przybliżeniu równy, ale, jak zauważyliśmy wcześniej, jest już pełną odpowiedzią.

Ekstrakcja korzeni

Aby rozwiązywanie przykładów z korzeniami nie sprawiało problemów, musisz je zobaczyć i rozpoznać. Aby to zrobić, musisz znać przynajmniej kwadraty liczb od do, a także umieć je rozpoznać.

Oznacza to, że musisz wiedzieć, co jest do kwadratu, a także odwrotnie, co jest do kwadratu. Na początku ta tabela pomoże ci w wyodrębnieniu korzenia.

Gdy tylko rozwiążesz wystarczającą liczbę przykładów, potrzeba tego automatycznie zniknie.
Spróbuj samodzielnie wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z następujących wyrażeń:

Jak to działało? Zobaczmy teraz te przykłady:

Własności arytmetycznego pierwiastka kwadratowego

Teraz wiesz, jak wyodrębnić pierwiastki i nadszedł czas, aby poznać właściwości arytmetycznego pierwiastka kwadratowego. Są tylko 3 z nich:

mnożenie;
dział;
potęgowanie.

Cóż, są po prostu bardzo łatwe do zapamiętania przy pomocy tego stołu i oczywiście treningu:

Jak decydować
równania kwadratowe

Na poprzednich lekcjach analizowaliśmy „Jak rozwiązywać równania liniowe”, czyli równania pierwszego stopnia. W tej lekcji będziemy badać co to jest równanie kwadratowe i jak to rozwiązać.

Co to jest równanie kwadratowe

Stopień równania jest określony przez najwyższy stopień, w jakim stoi niewiadoma.

Jeśli maksymalny stopień, w jakim niewiadoma stoi, wynosi „2”, to masz równanie kwadratowe.

Przykłady równań kwadratowych

5x2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +

Aby znaleźć „a”, „b” i „c”, musisz porównać swoje równanie z ogólną postacią równania kwadratowego „ax 2 + bx + c = 0”.

Przećwiczmy wyznaczanie współczynników „a”, „b” i „c” w równaniach kwadratowych.

a=5
b = −14
c = 17

a = -7
b = −13
c = 8

a = -1
b = 1

a = 1
b = 0,25
c = 0

a = 1
b = 0
c = -8

Jak rozwiązywać równania kwadratowe

w odróżnieniu równania liniowe rozwiązywać równania kwadratowe, specjalny formuła wyszukiwania korzeni.

Aby rozwiązać równanie kwadratowe, potrzebujesz:

sprowadzić równanie kwadratowe do ogólny widok" topór 2 + bx + c = 0 ". Oznacza to, że po prawej stronie powinno pozostać tylko „0”;
użyj wzoru na korzenie:

Użyjmy przykładu, aby dowiedzieć się, jak zastosować wzór do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Rozwiążmy równanie kwadratowe.

Równanie „x 2 − 3x − 4 = 0” zostało już zredukowane do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c = 0” i nie wymaga dodatkowych uproszczeń. Aby go rozwiązać, wystarczy złożyć wniosek wzór do znajdowania pierwiastków równania kwadratowego.

Zdefiniujmy współczynniki „a”, „b” i „c” dla tego równania.

a = 1
b = -3
c = -4

Zastąp je w formule i znajdź korzenie.

Pamiętaj, aby zapamiętać formułę wyszukiwania korzeni.

Z jego pomocą rozwiązuje się dowolne równanie kwadratowe.

Rozważ inny przykład równania kwadratowego.

W tej formie dość trudno jest określić współczynniki „a”, „b” i „c”. Najpierw sprowadźmy równanie do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c = 0”.

Teraz możesz użyć formuły dla korzeni.

Są chwile, kiedy w równaniach kwadratowych nie ma pierwiastków. Taka sytuacja ma miejsce, gdy w formule pod pierwiastkiem pojawia się liczba ujemna.

Z definicji pierwiastka kwadratowego pamiętamy, że nie można wyciągnąć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.

Rozważ przykład równania kwadratowego, które nie ma pierwiastków.

Mamy więc sytuację, w której pod pierwiastkiem znajduje się liczba ujemna. Oznacza to, że w równaniu nie ma pierwiastków. Dlatego w odpowiedzi napisaliśmy „Nie ma prawdziwych korzeni”.

Co oznaczają słowa „brak prawdziwych korzeni”? Dlaczego nie możesz po prostu napisać „bez korzeni”?

Właściwie w takich przypadkach są korzenie, ale w ramach program nauczania nie są przekazywane, dlatego w odpowiedzi zapisujemy, że wśród liczby rzeczywiste nie ma korzeni. Innymi słowy: „Nie ma prawdziwych korzeni”.

Niepełne równania kwadratowe

Czasami istnieją równania kwadratowe, w których nie ma wyraźnych współczynników „b” i/lub „c”. Na przykład w tym równaniu:

Takie równania nazywane są niekompletnymi. równania kwadratowe. Jak je rozwiązać, omówiono w lekcji „Niekompletne równania kwadratowe”.

Wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z liczby nie jest jedyną operacją, którą można wykonać za pomocą tego matematycznego zjawiska. Podobnie jak zwykłe liczby, pierwiastki kwadratowe można dodawać i odejmować.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Zasady dodawania i odejmowania pierwiastków kwadratowych

Definicja 1

Akcje takie jak dodawanie i odejmowanie pierwiastka kwadratowego są możliwe tylko wtedy, gdy wyrażenie pierwiastka jest takie samo.

Przykład 1

Możesz dodawać lub odejmować wyrażenia 2 3 i 6 3, ale nie 5 6 oraz 9 4 . Jeśli można uprościć wyrażenie i sprowadzić je do pierwiastków o tym samym numerze pierwiastkowym, uprość, a następnie dodaj lub odejmij.

Akcje rootowania: podstawy

Przykład 2

6 50 - 2 8 + 5 12

Algorytm działania:

Uprość wyrażenie root. Aby to zrobić, konieczne jest rozłożenie wyrażenia pierwiastka na 2 czynniki, z których jeden jest liczbą kwadratową (liczba, z której wyodrębniony jest cały pierwiastek kwadratowy, na przykład 25 lub 9).
Następnie musisz wydobyć korzeń z liczba kwadratowa i zapisz wynikową wartość przed znakiem głównym. Zwróć uwagę, że drugi czynnik jest wpisany pod znakiem pierwiastka.
Po uproszczeniu konieczne jest podkreślenie korzeni za pomocą tych samych wyrażeń korzeni - tylko one mogą być dodawane i odejmowane.
W przypadku pierwiastków o tych samych radykalnych wyrażeniach konieczne jest dodanie lub odjęcie czynników poprzedzających znak pierwiastka. Wyrażenie root pozostaje niezmienione. Nie dodawaj ani nie odejmuj liczb głównych!

Wskazówka 1

Jeśli masz przykład z duża ilość identycznych wyrażeń pierwiastkowych, a następnie podkreśl takie wyrażenia pojedynczymi, podwójnymi i potrójnymi liniami, aby ułatwić proces obliczania.

Przykład 3

Wypróbujmy ten przykład:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Najpierw musisz rozłożyć 50 na 2 czynniki 25 i 2, następnie wyjmij korzeń z 25, czyli 5, i wyjmij 5 spod pierwiastka. Następnie musisz pomnożyć 5 przez 6 (mnożnik u podstawy) i uzyskać 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Najpierw musisz rozłożyć 8 na 2 czynniki: 4 i 2. Następnie z 4 wyodrębnij korzeń, który jest równy 2, i wyjmij 2 spod korzenia. Następnie musisz pomnożyć 2 przez 2 (współczynnik u podstawy) i otrzymać 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Najpierw musisz rozłożyć 12 na 2 czynniki: 4 i 3. Następnie wyciągnij korzeń z 4, czyli 2, i wyjmij go spod korzenia. Następnie musisz pomnożyć 2 przez 5 (współczynnik u podstawy) i uzyskać 10 3 .

Wynik uproszczenia: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

W rezultacie zobaczyliśmy, ile identycznych wyrażeń radykalnych jest zawartych w ten przykład. Teraz poćwiczmy z innymi przykładami.

Przykład 4

Uprość (45) . Faktoryzujemy 45: (45) = (9 × 5) ;
Wyciągamy 3 spod korzenia (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Dodajemy czynniki u pierwiastków: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Przykład 5

6 40 - 3 10 + 5:

Uproszczenie 6 40 . Faktoryzujemy 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Wyciągamy 2 spod korzenia (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Mnożymy czynniki, które są przed pierwiastkiem: 12 10;
Wyrażenie zapisujemy w uproszczonej formie: 12 10 - 3 10 + 5;
Ponieważ pierwsze dwa wyrazy mają te same liczby pierwiastkowe, możemy je odjąć: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Przykład 6

Jak widać, nie można uprościć liczb rodnikowych, więc szukamy prętów o tych samych liczbach rodnikowych w przykładzie, wykonujemy operacje matematyczne (dodawanie, odejmowanie itp.) i zapisujemy wynik:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Porada:

Przed dodaniem lub odjęciem konieczne jest uproszczenie (jeśli to możliwe) radykalnych wyrażeń.
Dodawanie i odejmowanie korzeni z różnymi wyrażeniami korzeni jest surowo zabronione.
Nie dodawaj ani nie odejmuj liczby całkowitej ani pierwiastka kwadratowego: 3 + (2 x) 1 / 2 .
Wykonując akcje z ułamkami, musisz znaleźć liczbę, która jest całkowicie podzielna przez każdy mianownik, a następnie sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, a następnie dodać liczniki i pozostawić mianowniki bez zmian.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter