Pierwiastek kwadratowy arytmetyczny i jego własności.

Ten artykuł to zbiór szczegółowych informacji na temat właściwości korzeni. Rozważając temat, zaczniemy od właściwości, przestudiujemy wszystkie sformułowania i przedstawimy dowody. Aby skonsolidować temat, rozważymy właściwości n-tego stopnia.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Właściwości korzenia

Porozmawiamy o właściwościach.

Nieruchomość pomnożone liczby a oraz b, który jest reprezentowany jako równość a · b = a · b . Może być reprezentowana jako mnożniki, dodatnie lub równe zero a 1 , a 2 , … , a k jako a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
z prywatnego a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, można też zapisać w tej postaci a b = a b ;
Własność z potęgi liczby a z parzystym wykładnikiem a 2 m = a m dla dowolnej liczby a, na przykład właściwość z kwadratu liczby a 2 = a .

W każdym z przedstawionych równań można zamienić części przed i za kreską, np. równość a·b = a·b jest przekształcana jako a·b = a·b . Właściwości równości są często używane do uproszczenia złożonych równań.

Dowód pierwszych właściwości opiera się na definicji pierwiastek kwadratowy i właściwości potęg z wykładnikiem naturalnym. Aby uzasadnić trzecią właściwość, należy odwołać się do definicji modułu liczby.

Przede wszystkim należy udowodnić własności pierwiastka kwadratowego a · b = a · b . Zgodnie z definicją należy wziąć pod uwagę, że a b jest liczbą dodatnią lub równą zeru, która będzie równa b w trakcie budowy w kwadrat. Wartość wyrażenia a · b jest dodatnia lub równa zeru jako iloczyn liczb nieujemnych. Własność stopnia pomnożenia liczb pozwala nam przedstawić równość w postaci (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Zgodnie z definicją pierwiastka kwadratowego a 2 \u003d a i b 2 \u003d b, a następnie a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

W podobny sposób można to udowodnić z produktu k mnożniki a 1 , a 2 , … , a k będzie równy iloczynowi pierwiastków kwadratowych tych czynników. Rzeczywiście, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Z tej równości wynika, że a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Spójrzmy na kilka przykładów, aby wzmocnić temat.

Przykład 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 i 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0, 2 (1).

Konieczne jest udowodnienie własności arytmetycznego pierwiastka kwadratowego z ilorazu: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Właściwość pozwala na zapisanie równości a: b 2 = a 2: b 2 , oraz a 2: b 2 = a: b , podczas gdy a: b jest liczbą dodatnią lub równą zero. To wyrażenie będzie dowodem.

Na przykład 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 i 30, 121 = 30, 121.

Rozważ własność pierwiastka kwadratowego z kwadratu liczby. Można to zapisać jako równość jako a 2 = a Aby udowodnić tę właściwość, należy szczegółowo rozważyć kilka równości dla a ≥ 0 i w a< 0 .

Oczywiście, dla a ≥ 0, równość a 2 = a jest prawdziwa. Na a< 0 równość a 2 = - a będzie prawdziwa. Właściwie w tym przypadku − a > 0 oraz (-a)2 = a2. Możemy wywnioskować, że a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 2

5 2 = 5 = 5 i -0,36 2 = -0,36 = 0,36.

Udowodniona własność pomoże uzasadnić 2 m = a m , gdzie a- prawdziwy i m-Liczba naturalna. Rzeczywiście, własność potęgowania pozwala nam zastąpić stopień 2 m² wyrażenie (przed południem) 2, to a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Przykład 3

3 8 = 3 4 = 3 4 i (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7 .

Właściwości n-tego pierwiastka

Najpierw musisz wziąć pod uwagę główne właściwości korzeni n-tego stopnia:

Własność z iloczynu liczb a oraz b, które są dodatnie lub równe zeru, można wyrazić jako równość a b n = a n b n , ta własność jest ważna dla produktu k liczby a 1 , a 2 , … , a k jako a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
z liczba ułamkowa ma własność a b n = a n b n , gdzie a- każdy prawdziwy numer, który jest dodatni lub równy zero, oraz b jest dodatnią liczbą rzeczywistą;
Dla każdego a i liczby parzyste n = 2 m a 2 m 2 m = a jest prawdziwe, a dla nieparzystego n = 2 m − 1 równość a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a jest spełniona.
Własność ekstrakcji z a m n = a n m , gdzie a- dowolna liczba, dodatnia lub równa zero, n oraz m są liczbami naturalnymi, właściwość tę można również przedstawić jako . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
Dla dowolnego nieujemnego a i arbitralnego n oraz m, które są naturalne, można również zdefiniować sprawiedliwą równość a m n · m = a n ;
stopień własności n z potęgi liczby a, która jest dodatnia lub równa zeru, w naturze m, określony przez równość a m n = a n m ;
Własność porównania, które mają te same wykładniki: dla dowolnych liczb dodatnich a oraz b takie, że a< b , nierówność a n< b n ;
Właściwość porównania, która posiada te same liczby korzeń: jeśli m oraz n- liczby naturalne, które m > n, potem w 0 < a < 1 nierówność a m > a n jest ważna, a dla a > 1 jestem< a n .

Powyższe równania są ważne, jeśli części przed i po znaku równości są odwrócone. Mogą być używane również w tej formie. Jest to często używane podczas upraszczania lub przekształcania wyrażeń.

Dowód powyższych własności pierwiastka opiera się na definicji, własności stopnia i definicji modułu liczby. Te właściwości muszą zostać udowodnione. Ale wszystko jest w porządku.

Przede wszystkim udowodnimy własności pierwiastka n-tego stopnia z iloczynu a · b n = a n · b n . Do a oraz b , który są dodatni lub zero , wartość a n · b n jest również dodatnia lub równa zeru, ponieważ jest to konsekwencja mnożenia liczb nieujemnych. Własność produktu mocy naturalnej pozwala nam zapisać równość a n · b n n = a n n · b n n . Z definicji korzenia n stopień a n n = a i b n n = b , zatem a n · b n n = a · b . Wynikająca z tego równość jest dokładnie tym, co należało udowodnić.

Ta właściwość jest podobnie udowodniona dla produktu k współczynniki: dla liczb nieujemnych a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Oto przykłady użycia właściwości root n-ta potęga z produktu: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 i 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

Udowodnijmy własność pierwiastka ilorazu a b n = a n b n . Na a ≥ 0 oraz b > 0 warunek a n b n ≥ 0 jest spełniony, a a n b n n = a n n b n n = a b .

Pokażmy przykłady:

Przykład 4

8 27 3 = 8 3 27 3 i 2 , 3 10 : 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

W kolejnym kroku konieczne jest udowodnienie własności n-tego stopnia od liczby do stopnia n. Przedstawiamy to jako równość a 2 m 2 m = a i a 2 m - 1 2 m - 1 = a dla dowolnej rzeczywistej a i naturalny m. Na a ≥ 0 otrzymujemy a = a i a 2 m = a 2 m , co dowodzi równości a 2 m 2 m = a , a równość a 2 m - 1 2 m - 1 = a jest oczywista. Na a< 0 otrzymujemy odpowiednio a = - a i a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Ostatnia transformacja liczby obowiązuje zgodnie z właściwością stopnia. To dowodzi, że równość a 2 m 2 m \u003d a, a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a będzie prawdą, ponieważ - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m jest uważane za nieparzyste stopień - 1 dla dowolnej liczby c , dodatnia lub równa zero.

Aby skonsolidować otrzymane informacje, rozważ kilka przykładów wykorzystujących właściwość:

Przykład 5

7 4 4 = 7 = 7, (-5) 12 12 = - 5 = 5, 0,8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 i (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

Udowodnijmy następującą równość a m n = a n · m . Aby to zrobić, musisz zmienić liczby przed znakiem równości i po nim w miejscach a n · m = a m n . To wskaże poprawny wpis. Do a , co jest pozytywne lub równy zero , postaci a m n jest liczbą dodatnią lub zero. Zwróćmy się do właściwości wznoszenia potęgi do potęgi i definicji. Za ich pomocą możesz przekształcić równości w postaci a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Dowodzi to rozważanej właściwości korzenia od korzenia.

Podobnie udowadnia się inne właściwości. Naprawdę, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

Na przykład 7 3 5 = 7 5 3 i 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

Udowodnijmy następującą własność a m n · m = a n . Aby to zrobić, konieczne jest pokazanie, że n jest liczbą dodatnią lub równą zero. Po podniesieniu do potęgi n m to jestem. Jeśli numer a jest dodatnia lub zerowa, to n stopień spośród a jest liczbą dodatnią lub równą zeru Ponadto, a n · m n = a n n m , co miało zostać udowodnione.

Aby utrwalić zdobytą wiedzę, rozważ kilka przykładów.

Udowodnijmy następującą własność - własność pierwiastka potęgi postaci a m n = a n m . Oczywiste jest, że w a ≥ 0 stopień an m jest liczbą nieujemną. Co więcej, jej n-ty stopień jest równy jestem rzeczywiście, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Dowodzi to rozważanej właściwości stopnia.

Na przykład 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

Musimy to udowodnić dla dowolnych liczb dodatnich a oraz b a< b . Rozważ nierówność a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Dlatego n< b n при a< b .

Na przykład podajemy 12 4< 15 2 3 4 .

Rozważ właściwość root n-ty stopień. Najpierw rozważ pierwszą część nierówności. Na m > n oraz 0 < a < 1 prawda a m > a n . Załóżmy, że a m ≤ a n . Właściwości uprościją wyrażenie do a n m · n ≤ a m m · n . Następnie, zgodnie z własnościami stopnia z wykładnikiem naturalnym, nierówność a n m n m n ≤ a m m n m n jest spełniona, czyli a n ≤ a m. Wartość uzyskana w m > n oraz 0 < a < 1 nie odpowiada powyższym właściwościom.

W ten sam sposób można to udowodnić m > n oraz a > 1 kondycjonować m< a n .

Aby naprawić powyższe właściwości, rozważ kilka konkretne przykłady. Rozważ nierówności, używając konkretnych liczb.

Przykład 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Powierzchnia kwadratowej działki wynosi 81 dm². Znajdź jego stronę. Załóżmy, że długość boku kwadratu wynosi X decymetry. Wtedy powierzchnia działki to X² decymetrów kwadratowych. Ponieważ zgodnie z warunkiem powierzchnia ta wynosi 81 dm², to X² = 81. Długość boku kwadratu jest liczbą dodatnią. Liczba dodatnia, której kwadrat wynosi 81, to liczba 9. Przy rozwiązywaniu problemu należało znaleźć liczbę x, której kwadrat wynosi 81, czyli rozwiązać równanie X² = 81. To równanie ma dwa pierwiastki: x 1 = 9 i x 2 \u003d - 9, ponieważ 9² \u003d 81 i (- 9)² \u003d 81. Obie liczby 9 i - 9 nazywane są pierwiastkami kwadratowymi liczby 81.

Zauważ, że jeden z pierwiastków kwadratowych X= 9 to liczba dodatnia. Nazywa się to arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym z 81 i oznacza √81, więc √81 = 9.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby a jest liczbą nieujemną, której kwadrat jest równy a.

Na przykład liczby 6 i -6 to pierwiastki kwadratowe z 36. Liczba 6 jest arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym z 36, ponieważ 6 jest liczbą nieujemną, a 6² = 36. Liczba -6 nie jest pierwiastkiem arytmetycznym.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby a oznaczony następująco: √ a.

Znak nazywa się arytmetycznym znakiem pierwiastka kwadratowego; a nazywa się wyrażeniem głównym. Wyrażenie √ a czytać w ten sposób: arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby a. Na przykład √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. W przypadkach, w których jest jasne, że rozmawiamy o pierwiastku arytmetycznym mówią krótko: „pierwiastek kwadratowy z a«.

Czynność znalezienia pierwiastka kwadratowego z liczby nazywa się wyciąganiem pierwiastka kwadratowego. Ta czynność jest odwrotnością kwadratury.

Dowolna liczba może być podniesiona do kwadratu, ale nie każda liczba może być pierwiastkiem kwadratowym. Na przykład nie można wyodrębnić pierwiastka kwadratowego z liczby - 4. Jeśli taki pierwiastek istniał, to oznaczając go literą X, otrzymalibyśmy niewłaściwą równość x² \u003d - 4, ponieważ po lewej stronie znajduje się liczba nieujemna, a po prawej liczba ujemna.

Wyrażenie √ a ma sens tylko wtedy, gdy a ≥ 0. Definicję pierwiastka kwadratowego można krótko zapisać jako: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Równość (√ a)² = a ważne przez a ≥ 0. Tak więc, aby upewnić się, że pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej a równa się b, czyli że √ a =b, musisz sprawdzić, czy spełnione są następujące dwa warunki: b ≥ 0, b² = a.

Pierwiastek kwadratowy z ułamka

Obliczmy . Zauważ, że √25 = 5, √36 = 6 i sprawdź, czy równość jest zachowana.

Dlatego i , to równość jest prawdziwa. Więc, .

Twierdzenie: Jeśli a≥ 0 i b> 0, czyli pierwiastek ułamka równy pierwiastkowi od licznika podzielonego przez pierwiastek mianownika. Wymagane jest wykazanie, że: i .

Od √ a≥0 i √ b> 0, to .

Przez własność podniesienia ułamka do potęgi i określenia pierwiastka kwadratowego twierdzenie jest udowodnione. Spójrzmy na kilka przykładów.

Oblicz , zgodnie ze sprawdzonym twierdzeniem .

Drugi przykład: udowodnij, że , jeśli a ≤ 0, b < 0. .

Inny przykład: Oblicz .

Transformacja pierwiastka kwadratowego

Wyjęcie mnożnika spod znaku korzenia. Niech zostanie podane wyrażenie. Jeśli a≥ 0 i b≥ 0, to przez twierdzenie o pierwiastku iloczynu możemy napisać:

Taka transformacja nazywana jest rozkładaniem znaku korzenia na czynniki. Rozważ przykład;

Oblicz w X= 2. Bezpośrednia substytucja X= 2 w wyrażeniu radykalnym prowadzi do skomplikowanych obliczeń. Obliczenia te można uprościć, jeśli najpierw usuniemy czynniki spod znaku pierwiastka: . Teraz zastępując x = 2, otrzymujemy:.

Tak więc, wyjmując czynnik spod znaku pierwiastka, wyrażenie radykalne jest reprezentowane jako iloczyn, w którym jeden lub więcej czynników jest kwadratami liczb nieujemnych. Następnie stosuje się twierdzenie o iloczynie korzeniowym i bierze się pierwiastek każdego czynnika. Rozważmy przykład: Uprość wyrażenie A = √8 + √18 - 4√2 przez usunięcie czynników spod znaku pierwiastka w pierwszych dwóch wyrażeniach, otrzymujemy:. Podkreślamy, że równość ważne tylko wtedy, gdy a≥ 0 i b≥ 0. jeśli a < 0, то .

Fakt 1.
\(\bullet\) Weź pewną liczbę nieujemną \(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Następnie (arytmetyka) pierwiastek kwadratowy z liczby \(a\) nazywamy taką liczbę nieujemną \(b\), podnosząc ją do kwadratu otrzymujemy liczbę \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tak samo jak )\quad a=b^2\] Z definicji wynika, że \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Te ograniczenia są ważny warunek istnienie pierwiastka kwadratowego i należy o nich pamiętać!
Przypomnij sobie, że dowolna liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny. Czyli \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Co to jest \(\sqrt(25)\) ? Wiemy, że \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Ponieważ z definicji musimy znaleźć liczbę nieujemną, to \(-5\) nie jest odpowiednie, stąd \(\sqrt(25)=5\) (od \(25=5^2\) ).
Znalezienie wartości \(\sqrt a\) nazywa się wyciąganiem pierwiastka kwadratowego z liczby \(a\) , a liczba \(a\) nazywa się wyrażeniem pierwiastka.
\(\bullet\) Na podstawie definicji wyrażenia \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , itp. nie ma sensu.

Fakt 2.
Do szybkich obliczeń przyda się nauka tabeli kwadratów liczby naturalne od \(1\) do \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hlinia \koniec(tablica)\]

Fakt 3.
Co można zrobić z pierwiastkami kwadratowymi?
\(\pocisk\) Suma lub różnica pierwiastków kwadratowych NIE JEST RÓWNA pierwiastkowi kwadratowemu z sumy lub różnicy, tj. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jeśli więc chcesz obliczyć np. \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , to najpierw musisz znaleźć wartości \(\sqrt(25)\) i \(\sqrt (49)\ ), a następnie dodaj je. W konsekwencji, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jeśli podczas dodawania \(\sqrt a+\sqrt b\) nie można znaleźć wartości \(\sqrt a\) lub \(\sqrt b\), to takie wyrażenie nie jest dalej konwertowane i pozostaje takie, jakie jest. Na przykład w sumie \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) możemy znaleźć \(\sqrt(49)\) - to jest \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nie może być przekonwertowany w jakikolwiek sposób, dlatego \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Co więcej, tego wyrażenia niestety nie można w żaden sposób uprościć.\(\bullet\) Iloczyn/iloraz pierwiastków kwadratowych jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu/ilorazu, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod warunkiem, że obie części równości mają sens)
Przykład: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Korzystając z tych właściwości, wygodnie jest znaleźć pierwiastki kwadratowe z duże liczby poprzez faktoring.
Rozważ przykład. Znajdź \(\sqrt(44100)\) . Ponieważ \(44100:100=441\) , to \(44100=100\cdot 441\) . Zgodnie z kryterium podzielności liczba \(441\) jest podzielna przez \(9\) (ponieważ suma jej cyfr wynosi 9 i jest podzielna przez 9), zatem \(441:9=49\) , czyli \(441=9\ cdot 49\) .
W ten sposób otrzymaliśmy: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Spójrzmy na inny przykład: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9)=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokażmy, jak wprowadzać liczby pod pierwiastkiem kwadratowym na przykładzie wyrażenia \(5\sqrt2\) (skrót od wyrażenia \(5\cdot \sqrt2\) ). Ponieważ \(5=\sqrt(25)\) , to \ Zwróć też uwagę, że na przykład
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Dlaczego? Wyjaśnijmy na przykładzie 1). Jak już zrozumiałeś, nie możemy w jakiś sposób przekonwertować liczby \(\sqrt2\) . Wyobraź sobie, że \(\sqrt2\) to pewna liczba \(a\) . W związku z tym wyrażenie \(\sqrt2+3\sqrt2\) to nic innego jak \(a+3a\) (jedna liczba \(a\) plus jeszcze trzy takie same liczby \(a\) ). A wiemy, że to jest równe czterem takim liczbom \(a\) , czyli \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Często mówi się „nie można wyodrębnić pierwiastka”, gdy nie można pozbyć się znaku \(\sqrt () \ \) pierwiastka (rodnik) podczas znajdowania wartości jakiejś liczby. Na przykład możesz wykorzenić liczbę \(16\), ponieważ \(16=4^2\) , więc \(\sqrt(16)=4\) . Ale wyciągnięcie pierwiastka z liczby \(3\) , czyli znalezienie \(\sqrt3\) , jest niemożliwe, ponieważ nie ma takiej liczby, która do kwadratu da \(3\) .
Takie liczby (lub wyrażenia z takimi liczbami) są irracjonalne. Na przykład liczby \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) itp. są irracjonalne.
Nieracjonalne są również liczby \(\pi\) (liczba „pi”, w przybliżeniu równa \(3,14\) ), \(e\) (liczba ta nazywa się liczbą Eulera, w przybliżeniu równą \(2 ,7\) ) itp.
\(\bullet\) Należy pamiętać, że każda liczba będzie wymierna lub nieracjonalna. I razem wszyscy racjonalni i wszyscy liczby niewymierne tworzą zestaw o nazwie zbiór liczb rzeczywistych (rzeczywistych). Ten zestaw jest oznaczony literą \(\mathbb(R)\) .
Oznacza to, że wszystkie liczby, które są ten moment wiemy, że nazywane są liczbami rzeczywistymi.

Fakt 5.
\(\bullet\) Moduł liczby rzeczywistej \(a\) jest liczbą nieujemną \(|a|\) równą odległości od punktu \(a\) do \(0\) na rzeczywistej linia. Na przykład \(|3|\) i \(|-3|\) są równe 3, ponieważ odległości od punktów \(3\) i \(-3\) do \(0\) są taki sam i równy \(3 \) .
\(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą nieujemną, to \(|a|=a\) .
Przykład: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to \(|a|=-a\) .
Przykład: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mówią, że dla liczb ujemnych moduł „zjada” minus, a dodatnie, a także liczbę \(0\) , moduł pozostaje bez zmian.
ALE ta zasada dotyczy tylko liczb. Jeżeli mamy nieznaną \(x\) (lub inną niewiadomą) pod znakiem modułu, na przykład \(|x|\) , o której nie wiemy, czy jest dodatnia, równa zero czy ujemna, to pozbyć się modułu, którego nie możemy. W tym przypadku to wyrażenie pozostaje takie: \(|x|\) . \(\bullet\) Następujące formuły mają zastosowanie: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( pod warunkiem ) a\geqslant 0\] Często popełniany jest następujący błąd: mówią, że \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) to to samo. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy \(a\) jest liczbą dodatnią lub zerem. Ale jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to nie jest to prawdą. Wystarczy rozważyć taki przykład. Weźmy liczbę \(-1\) zamiast \(a\). Wtedy \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale wyrażenie \((\sqrt (-1))^2\) w ogóle nie istnieje (ponieważ jest niemożliwe pod znakiem korzenia wprowadź liczby ujemne!).
Dlatego zwracamy uwagę, że \(\sqrt(a^2)\) nie jest równe \((\sqrt a)^2\) ! Przykład 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), dlatego \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Ponieważ \(\sqrt(a^2)=|a|\) , wtedy \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (wyrażenie \(2n\) oznacza liczbę parzystą)
Oznacza to, że podczas wyciągania pierwiastka z liczby, która jest w pewnym stopniu, stopień ten zmniejsza się o połowę.
Przykład:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (zauważ, że jeśli moduł nie jest ustawiony, to okazuje się, że pierwiastek liczby jest równy \(-25 \) ; ale pamiętamy , że z definicji pierwiastka nie może to być: przy wyciąganiu pierwiastka zawsze powinniśmy otrzymać liczbę dodatnią lub zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ponieważ dowolna liczba do potęgi parzystej nie jest ujemna)

Fakt 6.
Jak porównać dwa pierwiastki kwadratowe?
\(\bullet\) Prawda dla pierwiastków kwadratowych: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPrzykład:
1) porównaj \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Najpierw przekształcamy drugie wyrażenie w \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Tak więc, ponieważ \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Pomiędzy którymi liczbami całkowitymi jest \(\sqrt(50)\) ?
Ponieważ \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porównaj \(\sqrt 2-1\) i \(0,5\) . Załóżmy \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(wyrównany) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((dodaj po jednym z obu stron))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kwadrat obie części))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Widzimy, że uzyskaliśmy niewłaściwą nierówność. Dlatego nasze założenie było błędne i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Zauważ, że dodanie pewnej liczby po obu stronach nierówności nie wpływa na jej znak. Mnożenie/dzielenie obu stron nierówności przez liczbę dodatnią również nie zmienia jej znaku, ale mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności!
Obie strony równania/nierówności można podnosić do kwadratu TYLKO JEŚLI obie strony są nieujemne. Na przykład, w nierówności z poprzedniego przykładu, możesz podnieść obie strony do kwadratu, w nierówności \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Zauważ, że \[\begin(wyrównane) &\sqrt 2\ok 1,4\\ &\sqrt 3\ok 1,7 \end(wyrównane)\] Znajomość przybliżonego znaczenia tych liczb pomoże ci przy porównywaniu liczb! \(\bullet\) Aby wydobyć pierwiastek (jeśli jest wyciągnięty) z jakiejś dużej liczby, której nie ma w tabeli kwadratów, musisz najpierw określić, między którymi to jest „setkami”, a następnie między którymi „dziesiątkami”, a następnie określ ostatnią cyfrę tej liczby. Pokażmy jak to działa na przykładzie.
Weź \(\sqrt(28224)\) . Wiemy, że \(100^2=10\000\) , \(200^2=40\000\) i tak dalej. Zauważ, że \(28224\) jest pomiędzy \(10\,000\) a \(40\,000\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) jest pomiędzy \(100\) a \(200\) .
Teraz ustalmy, między którymi „dziesiątkami” jest nasza liczba (czyli na przykład między \(120\) a \(130\) ). Z tablicy kwadratów wiemy też, że \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., a następnie \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\ ) . Widzimy więc, że \(28224\) jest pomiędzy \(160^2\) a \(170^2\) . Dlatego liczba \(\sqrt(28224)\) znajduje się między \(160\) a \(170\) .
Spróbujmy określić ostatnią cyfrę. Pamiętajmy, jakie liczby jednocyfrowe przy kwadracie dają na końcu \ (4 \) ? Są to \(2^2\) i \(8^2\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) kończy się na 2 lub 8. Sprawdźmy to. Znajdź \(162^2\) i \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Stąd \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Aby właściwie rozwiązać egzamin z matematyki, należy przede wszystkim przestudiować materiał teoretyczny, który wprowadza liczne twierdzenia, wzory, algorytmy itp. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że jest to dość proste. Jednak znalezienie źródła, w którym teoria do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki jest przedstawiona w sposób łatwy i zrozumiały dla uczniów o dowolnym poziomie przygotowania, jest w rzeczywistości dość trudnym zadaniem. Podręczniki szkolne nie zawsze można mieć pod ręką. A znalezienie podstawowych wzorów na egzamin z matematyki może być trudne nawet w Internecie.

Dlaczego tak ważne jest studiowanie teorii z matematyki, nie tylko dla tych, którzy przystępują do egzaminu?

Ponieważ poszerza horyzonty. Studiowanie materiału teoretycznego z matematyki jest przydatne dla każdego, kto chce uzyskać odpowiedzi na szeroki zakres pytań związanych ze znajomością świata. Wszystko w naturze jest uporządkowane i ma jasną logikę. Właśnie to znajduje odzwierciedlenie w nauce, dzięki której można zrozumieć świat.
Ponieważ rozwija intelekt. Studiując materiały pomocnicze do egzaminu z matematyki, a także rozwiązując różne problemy, człowiek uczy się logicznego myślenia i rozumowania, poprawnego i jasnego formułowania myśli. Rozwija umiejętność analizowania, uogólniania, wyciągania wniosków.

Zapraszamy do osobistej oceny wszystkich zalet naszego podejścia do systematyzacji i prezentacji materiałów edukacyjnych.

Matematyka narodziła się, gdy człowiek uświadomił sobie siebie i zaczął pozycjonować się jako autonomiczna jednostka świata. Chęć mierzenia, porównywania, obliczania tego, co cię otacza - to jest podstawą jednej z podstawowych nauk naszych czasów. Początkowo były to cząstki matematyki elementarnej, które umożliwiały powiązanie liczb z ich wyrażeniami fizycznymi, później wnioski zaczęto przedstawiać tylko teoretycznie (ze względu na ich abstrakcyjność), ale po pewnym czasie, jak ujął to jeden naukowiec, „ matematyka osiągnęła pułap złożoności, gdy wszystkie liczby”. Pojęcie „pierwiastka kwadratowego” pojawiło się w czasach, gdy można było je łatwo poprzeć danymi empirycznymi, wykraczającymi poza płaszczyznę obliczeń.

Jak to się wszystko zaczeło

Pierwsza wzmianka o rdzeniu, obecnie oznaczanym jako √, została odnotowana w pismach babilońskich matematyków, którzy położyli podwaliny pod nowoczesną arytmetykę. Oczywiście wyglądały trochę jak obecna forma - naukowcy tamtych lat po raz pierwszy używali nieporęcznych tabletek. Ale w drugim tysiącleciu pne. mi. wymyślili przybliżoną formułę obliczeniową, która pokazała, jak wyciągnąć pierwiastek kwadratowy. Poniższe zdjęcie pokazuje kamień, na którym babilońscy naukowcy wyrzeźbili proces wyjściowy √2 i okazało się, że jest tak poprawne, że rozbieżność w odpowiedzi została znaleziona tylko w dziesiątym miejscu po przecinku.

Ponadto korzeń był używany, jeśli trzeba było znaleźć bok trójkąta, pod warunkiem, że znane były dwa pozostałe. Cóż, przy rozwiązywaniu równań kwadratowych nie ma ucieczki przed wydobyciem pierwiastka.

Wraz z pracami babilońskimi przedmiot artykułu był badany również w chińskim dziele „Matematyka w dziewięciu księgach”, a starożytni Grecy doszli do wniosku, że każda liczba, z której nie wyodrębnia się korzenia, daje wynik irracjonalny .

Pochodzenie tego terminu jest związane z arabskim przedstawieniem liczby: starożytni naukowcy wierzyli, że kwadrat dowolnej liczby wyrasta z korzenia, jak roślina. Po łacinie to słowo brzmi jak radix (można prześledzić wzór - wszystko, co ma „korzeniowy” ładunek semantyczny, jest spółgłoską, czy to rzodkiewka, czy rwa kulszowa).

Pomysł ten podchwycili naukowcy kolejnych pokoleń, nazywając go Rx. Na przykład w XV wieku, aby wskazać, że pierwiastek kwadratowy pochodzi z dowolnej liczby a, napisali R 2 a. Znany współczesnemu wyglądowi „kleszcz” pojawił się dopiero w XVII wieku za sprawą Rene Descartes.

Nasze dni

Matematycznie pierwiastek kwadratowy z y jest liczbą z, której kwadrat to y. Innymi słowy, z 2 =y jest równoważne √y=z. Jednak ta definicja dotyczy tylko pierwiastka arytmetycznego, ponieważ sugeruje nieujemną wartość wyrażenia. Innymi słowy, √y=z, gdzie z jest większe lub równe 0.

Ogólnie, co jest ważne dla określenia pierwiastka algebraicznego, wartość wyrażenia może być dodatnia lub ujemna. Zatem z uwagi na to, że z 2 =y i (-z) 2 =y, mamy: √y=±z lub √y=|z|.

Z uwagi na to, że miłość do matematyki wzrosła dopiero wraz z rozwojem nauki, pojawiają się różne przejawy przywiązania do niej, nie wyrażające się suchymi obliczeniami. Na przykład obok tak ciekawych wydarzeń jak dzień Pi obchodzone są również święta pierwiastka kwadratowego. Są obchodzone dziewięć razy w ciągu stu lat i są ustalane zgodnie z następującą zasadą: liczby oznaczające kolejno dzień i miesiąc muszą być pierwiastkiem kwadratowym z roku. Tak więc następnym razem to święto będzie obchodzone 4 kwietnia 2016 r.

Własności pierwiastka kwadratowego na polu R

Prawie wszystkie wyrażenia matematyczne mają podstawę geometryczną, ten los nie przeminął i √y, który jest zdefiniowany jako bok kwadratu o polu y.

Jak znaleźć pierwiastek liczby?

Istnieje kilka algorytmów obliczeniowych. Najprostsze, ale jednocześnie dość kłopotliwe, jest zwykłe obliczenie arytmetyczne, które wygląda następująco:

1) od liczby, której pierwiastka potrzebujemy, liczby nieparzyste są kolejno odejmowane - aż reszta wyniku będzie mniejsza niż odjęta jedynka lub nawet równa zero. Liczba ruchów ostatecznie stanie się pożądaną liczbą. Na przykład, obliczając pierwiastek kwadratowy z 25:

Następna nieparzysta liczba to 11, reszta to: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

W takich przypadkach istnieje rozszerzenie serii Taylora:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , gdzie n przyjmuje wartości od 0 do

+∞, oraz |y|≤1.

Graficzna reprezentacja funkcji z=√y

Rozważmy funkcję elementarną z=√y na polu liczb rzeczywistych R, gdzie y jest większe lub równe zero. Jej wykres wygląda tak:

Krzywa rośnie od początku i koniecznie przecina punkt (1; 1).

Własności funkcji z=√y na ciele liczb rzeczywistych R

1. Dziedziną definicji rozważanej funkcji jest przedział od zera do plus nieskończoności (uwzględnia się zero).

2. Zakres wartości rozważanej funkcji to przedział od zera do plus nieskończoności (znowu uwzględnia się zero).

3. Funkcja przyjmuje wartość minimalną (0) tylko w punkcie (0; 0). Nie ma maksymalnej wartości.

4. Funkcja z=√y nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

5. Funkcja z=√y nie jest okresowa.

6. Jest tylko jeden punkt przecięcia wykresu funkcji z=√y z osiami współrzędnych: (0; 0).

7. Punkt przecięcia wykresu funkcji z=√y jest jednocześnie zerem tej funkcji.

8. Funkcja z=√y stale rośnie.

9. Funkcja z=√y przyjmuje tylko wartości dodatnie, dlatego jej wykres zajmuje pierwszą współrzędną kąta.

Opcje wyświetlania funkcji z=√y

W matematyce, aby ułatwić obliczenie wyrażeń złożonych, czasami używają potęgi zapisu pierwiastka kwadratowego: √y=y 1/2. Ta opcja jest wygodna na przykład przy podnoszeniu funkcji do potęgi: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Metoda ta jest również dobrą reprezentacją dla różniczkowania z całkowaniem, ponieważ dzięki niej pierwiastek kwadratowy jest reprezentowany przez zwykłą funkcję potęgową.

A w programowaniu zamiennikiem symbolu √ jest kombinacja liter sqrt.

Warto zauważyć, że w tym obszarze pierwiastek kwadratowy jest bardzo poszukiwany, ponieważ jest częścią większości wzorów geometrycznych niezbędnych do obliczeń. Sam algorytm zliczania jest dość skomplikowany i opiera się na rekurencji (funkcji, która sama siebie wywołuje).

Pierwiastek kwadratowy w polu zespolonym C

W zasadzie to właśnie temat tego artykułu był impulsem do odkrycia ciała liczb zespolonych C, ponieważ matematyków prześladowała kwestia uzyskania pierwiastka parzystego stopnia z liczby ujemnej. Tak powstała jednostka urojona i, która charakteryzuje się bardzo ciekawą właściwością: jej kwadrat wynosi -1. Dzięki temu rozwiązano równania kwadratowe iz ujemnym wyróżnikiem. W C dla pierwiastka kwadratowego obowiązują te same właściwości, co w R, jedyną rzeczą jest to, że usunięto ograniczenia dotyczące wyrażenia pierwiastka.