Taškas. Linijos segmentas

Taškas yra abstraktus objektas, neturintis jokių matavimo charakteristikų: jokio aukščio, ilgio, spindulio. Vykdant užduotį svarbi tik jos vieta

Taškas nurodomas skaičiumi arba didžiąja (didele) lotyniška raide. Keli taškai – skirtingi skaičiai arba skirtingos raidės kad būtų galima juos atskirti

taškas A, taškas B, taškas C

A B C

1 punktas, 2 punktas, 3 punktas

1 2 3

Galite ant popieriaus lapo nupiešti tris „A“ taškus ir pakviesti vaiką nubrėžti liniją per du „A“ taškus. Bet kaip suprasti per kurį? A A A

Linija yra taškų rinkinys. Ji matuoja tik ilgį. Jis neturi pločio ar storio.

Žymima mažosiomis raidėmis (mažomis) su lotyniškomis raidėmis

eilutė a, eilutė b, eilutė c

a b c

Linija gali būti

1. uždarytas, jei jo pradžia ir pabaiga yra tame pačiame taške,
2. atidaryti, jei jo pradžia ir pabaiga nesusietos

uždaros linijos

atviros linijos

Išėjote iš buto, parduotuvėje nusipirkote duonos ir grįžote į butą. Kokią eilutę gavai? Teisingai, uždaryta. Jūs grįžote į pradinį tašką. Išėjote iš buto, nusipirkote duonos parduotuvėje, įėjote į įėjimą ir pasikalbėjote su kaimynu. Kokią eilutę gavai? Atviras. Jūs negrįžote į pradinį tašką. Išėjai iš buto, parduotuvėje nusipirkai duonos. Kokią eilutę gavai? Atviras. Jūs negrįžote į pradinį tašką.

1. savaime susikertančios
2. be savarankiškų susikirtimų

savaime susikertančios linijos

linijos be savarankiškų susikirtimų

1. tiesiai
2. nutrūkusi linija
3. kreivas

tiesios linijos

laužytos linijos

lenktos linijos

Tiesi linija yra linija, kuri nelenkta, neturi nei pradžios, nei pabaigos, ji gali būti tęsiama neribotą laiką į abi puses

Net ir pamačius mažas sklypas tiesus, daroma prielaida, kad ji tęsiasi neribotą laiką abiem kryptimis

Jis žymimas mažąja (maža) lotyniška raide. Arba dvi didžiosios (didelės) lotyniškos raidės – taškai, esantys tiesioje linijoje

tiesi linija a

a

tiesė AB

B A

tiesios linijos gali būti

1. susikerta, jei jie turi bendrą tašką. Dvi linijos gali susikirsti tik viename taške.
   • statmenos, jei jos susikerta stačiu kampu (90°).
2. lygiagrečiai, jei nesusikerta, neturi bendro taško.

lygiagrečios linijos

susikertančios linijos

statmenos linijos

Spindulys yra tiesės dalis, kuri turi pradžią, bet neturi pabaigos, ji gali būti pratęsta neribotą laiką tik viena kryptimi

Šviesos pluošto pradžios taškas paveikslėlyje yra saulė.

saulė

Taškas padalija tiesę į dvi dalis – du spindulius A A

Spindulys žymimas mažąja (maža) lotyniška raide. Arba dvi didžiosios (didelės) lotyniškos raidės, kur pirmoji yra taškas, nuo kurio prasideda spindulys, o antroji yra taškas, esantis ant sijos

sija a

a

sija AB

B A

Sijos sutampa, jei

1. esantis toje pačioje tiesioje linijoje
2. pradėti viename taške
3. nukreiptas į vieną pusę

spinduliai AB ir AC sutampa

spinduliai CB ir CA sutampa

C B A

Atkarpa yra tiesės dalis, kurią riboja du taškai, tai yra, ji turi ir pradžią, ir pabaigą, o tai reiškia, kad jos ilgį galima išmatuoti. Atkarpos ilgis yra atstumas tarp jo pradžios ir pabaigos taškų.

Per vieną tašką galima nubrėžti bet kokį skaičių linijų, įskaitant tiesias linijas.

Per du taškus – neribotas kreivių skaičius, bet tik viena tiesė

lenktos linijos, einančios per du taškus

B A

tiesė AB

B A

Nuo tiesios linijos buvo „nupjauta“ dalis ir liko segmentas. Iš aukščiau pateikto pavyzdžio matote, kad jo ilgis yra trumpiausias atstumas tarp dviejų taškų. ✂ B A ✂

Segmentas žymimas dviem didžiosiomis (didelėmis) lotyniškomis raidėmis, kur pirmoji yra taškas, nuo kurio prasideda atkarpa, o antroji yra taškas, nuo kurio segmentas baigiasi.

AB segmentas

B A

Užduotis: kur yra linija, spindulys, atkarpa, kreivė?

Nutrūkusi linija yra linija, susidedanti iš paeiliui sujungtų atkarpų ne 180° kampu

Ilgas segmentas buvo „suskaidytas“ į keletą trumpų.

Polilinijos grandys (panašios į grandinės grandis) yra segmentai, sudarantys poliliniją. Gretimos nuorodos yra nuorodos, kuriose vienos nuorodos pabaiga yra kitos pradžia. Gretimos jungtys neturėtų būti toje pačioje tiesioje linijoje.

Polilinijos viršūnės (panašios į kalnų viršūnes) yra taškas, nuo kurio prasideda polilinija, taškai, kuriuose jungiasi atkarpos, sudarančios poliliniją, taškas, kuriame polilinija baigiasi.

Polilinija žymima išvardijant visas jos viršūnes.

laužyta linija ABCDE

polilinijos viršūnė A, polilinijos viršūnė B, polilinijos viršūnė C, polilinijos viršūnė D, polilinijos E viršūnė

trūkinės linijos nuoroda AB, trūkinės linijos nuoroda BC, trūkinės linijos nuoroda CD, trūkinės linijos nuoroda DE

jungtis AB ir jungtis BC yra gretimos

nuoroda BC ir nuoroda CD yra greta

nuoroda CD ir nuoroda DE yra greta

A B C D E 64 62 127 52

Polilinijos ilgis yra jos grandžių ilgių suma: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Užduotis: kuri nutrūkusi linija ilgesnė, a kuri turi daugiau viršūnių? Pirmoje eilutėje visos nuorodos yra vienodo ilgio, ty 13 cm. Antroje eilutėje yra visos vienodo ilgio jungtys, ty 49 cm. Trečioje eilutėje yra visos vienodo ilgio jungtys, ty 41 cm.

Daugiakampis yra uždara polilinija

Daugiakampio kraštinės (jos padės prisiminti posakius: „eik į visas keturias puses“, „bėk link namų“, „kurioje stalo pusėje atsisėsi?“) – tai trūkinės linijos saitai. Gretimos daugiakampio kraštinės yra gretimos trūkinės linijos grandys.

Daugiakampio viršūnės yra polilinijos viršūnės. Kaimyninės viršūnės yra vienos daugiakampio pusės galiniai taškai.

Daugiakampis žymimas išvardijant visas jo viršūnes.

uždara polilinija be savaiminio susikirtimo, ABCDEF

daugiakampis ABCDEF

daugiakampio viršūnė A, daugiakampio viršūnė B, daugiakampio viršūnė C, daugiakampio viršūnė D, daugiakampio viršūnė E, daugiakampio viršūnė F

viršūnė A ir viršūnė B yra gretimos

viršūnės B ir viršūnės C yra gretimos

viršūnės C ir viršūnės D yra gretimos

viršūnė D ir viršūnė E yra gretimos

viršūnė E ir viršūnė F yra gretimos

viršūnė F ir viršūnė A yra gretimos

daugiakampio kraštinė AB, daugiakampio kraštinė BC, daugiakampio kraštinė CD, daugiakampio kraštinė DE, daugiakampio kraštinė EF

pusė AB ir BC yra gretimos

pusė BC ir šoninė CD yra greta

šoninis CD ir šoninis DE yra greta

DE ir EF pusės yra gretimos

šoninės EF ir FA pusės yra greta

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Daugiakampio perimetras yra polilinijos ilgis: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Trijų viršūnių daugiakampis vadinamas trikampiu, keturių – keturkampiu, penkių – penkiakampiu ir pan.

Taškas ir linija yra pagrindiniai geometrines figūras ant paviršiaus.

Senovės graikų mokslininkas Euklidas sakė: „taškas“ yra tai, kas neturi dalių. Žodis "taškas" vertimas iš lotynų kalba reiškia momentinio prisilietimo, dūrio rezultatą. Taškas yra bet kokios geometrinės figūros konstravimo pagrindas.

Tiesi linija arba tiesiog tiesi linija, išilgai kurios atstumas tarp dviejų taškų yra trumpiausias. Tiesi linija yra begalinė, ir neįmanoma pavaizduoti visos linijos ir jos išmatuoti.

Taškai žymimi didžiosiomis lotyniškomis raidėmis A, B, C, D, E ir kt., o tiesios – tomis pačiomis raidėmis, bet mažosiomis raidėmis a, b, c, d, e ir tt Tiesią taip pat galima žymėti dvi raidės, atitinkančios ant jos gulinčius taškus. Pavyzdžiui, eilutę a galima žymėti AB.

Galime sakyti, kad taškai AB yra tiesėje a arba priklauso tiesei a. Ir galime sakyti, kad tiesė a eina per taškus A ir B.

Paprasčiausios geometrinės figūros plokštumoje yra linijos atkarpa, spindulys, nutrūkusi linija.

Atkarpa yra linijos dalis, kurią sudaro visi šios linijos taškai, ribojami dviejų pasirinktų taškų. Šie taškai yra segmento galai. Segmentas nurodomas nurodant jo galus.

Spindulys arba pustiesė yra linijos dalis, kurią sudaro visi šios tiesės taškai, esantys vienoje jos taško pusėje. Šis taškas vadinamas pusės linijos pradžios tašku arba spindulio pradžia. Spindulys turi pradžios tašką, bet neturi pabaigos taško.

Puslinijos arba spinduliai žymimi dviem mažosiomis lotyniškomis raidėmis: pradine ir bet kuria kita raide, atitinkančia tašką, priklausantį pusiau linijai. Šiuo atveju pirmoje vietoje dedamas atskaitos taškas.

Pasirodo, linija yra begalinė: ji neturi nei pradžios, nei pabaigos; spindulys turi tik pradžią, bet ne pabaigą, o atkarpa turi pradžią ir pabaigą. Todėl galime išmatuoti tik segmentą.

Keli segmentai, kurie nuosekliai sujungti vienas su kitu taip, kad atkarpos (gretimos), turinčios vieną bendrą tašką, nebūtų toje pačioje tiesioje linijoje, yra laužyta linija.

Poliline gali būti uždara arba atvira. Jei paskutinės atkarpos pabaiga sutampa su pirmojo pradžia, turime uždarą laužtą liniją, jei ne – atvirą.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Geometrijoje pagrindinės geometrinės figūros yra taškas ir linija. Taškams žymėti įprasta naudoti didžiąsias lotyniškas raides: A, B, C, D, E, F .... Tiesioms linijoms žymėti naudojamos mažosios lotyniškos raidės: a, b, c, d, e, f .... Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduota tiesė a ir keli taškai A, B, C, D.

Norėdami pavaizduoti tiesią liniją paveiksle, naudojame liniuotę, tačiau vaizduojame ne visą liniją, o tik jos dalį. Kadangi linija, mūsų požiūriu, tęsiasi iki begalybės abiem kryptimis, linija yra begalinė.

Aukščiau esančiame paveikslėlyje matome, kad taškai A ir C yra tiesioje linijoje. a. Tokiais atvejais sakome, kad taškai A ir C priklauso tiesei a. Arba sako, kad linija eina per taškus A ir C. Rašant taško priklausymas linijai nurodomas specialia piktograma. O tai, kad taškas nepriklauso linijai, pažymėtas ta pačia piktograma, tik perbraukta.

Mūsų atveju taškai B ir D nepriklauso tiesei a.

Kaip minėta aukščiau, paveikslėlyje taškai A ir C priklauso tiesei a. Vadinama tiesės dalis, kurią sudaro visi tos tiesės taškai, esantys tarp dviejų nurodytų taškų segmentas. Kitaip tariant, atkarpa yra tiesės, apribotos dviem taškais, dalis.

Mūsų atveju turime segmentą AB. Taškai A ir B vadinami atkarpos galais. Norint pažymėti segmentą, nurodomi jo galai, mūsų atveju AB. Viena iš pagrindinių taškų ir linijų narystės savybių yra tokia nuosavybė: per bet kuriuos du taškus galite nubrėžti liniją, be to, tik vieną.

Jei dvi tiesės turi bendrą tašką, tada sakoma, kad dvi tiesės susikerta. Paveiksle tiesės a ir b susikerta taške A. Tiesės a ir c nesikerta.

Bet kurios dvi linijos turi tik vieną bendrą tašką arba neturi bendrų taškų. Jei manytume priešingai, kad dvi tiesės turi du bendrus taškus, tada per jas eitų dvi tiesės. Bet tai neįmanoma, nes per du taškus galima nubrėžti tik vieną liniją.

Apžvelgsime kiekvieną iš temų, o pabaigoje bus atliekami testai temomis.

Taškas matematikoje

Kas yra matematikos taškas? Matematinis taškas neturi matmenų ir žymimas didžiosiomis lotyniškomis raidėmis: A, B, C, D, F ir kt.

Paveiksle galite pamatyti taškų A, B, C, D, F, E, M, T, S vaizdą.

Segmentas matematikoje

Kas yra matematikos segmentas? Matematikos pamokose galite išgirsti tokį paaiškinimą: matematinė atkarpa turi ilgį ir pabaigas. Matematikoje atkarpa yra visų taškų, esančių tiesėje tarp atkarpos galų, rinkinys. Atkarpos galai yra du ribiniai taškai.

Paveiksle matome: atkarpas ,,, ir , taip pat du taškus B ir S.

Tiesios linijos matematikoje

Kas yra tiesi linija matematikoje? Tiesės apibrėžimas matematikoje: tiesė neturi galų ir gali tęstis abiem kryptimis iki begalybės. Tiesioji linija matematikoje žymima bet kuriais dviem tiesės taškais. Norėdami paaiškinti mokiniui tiesės sąvoką, galime pasakyti, kad tiesė yra atkarpa, kuri neturi dviejų galų.

Paveiksle pavaizduotos dvi tiesios linijos: CD ir EF.

Ray matematikoje

Kas yra spindulys? Spindulio apibrėžimas matematikoje: Spindulys yra linijos dalis, kuri turi pradžią ir neturi pabaigos. Spindulio pavadinime yra dvi raidės, pavyzdžiui, DC. Be to, pirmoji raidė visada nurodo spindulio pradžios tašką, todėl negalite sukeisti raidžių.

Paveikslėlyje pavaizduoti spinduliai: DC, KC, EF, MT, MS. Sijos KC ir KD – viena sija, nes jie turi bendrą kilmę.

Skaičių eilutė matematikoje

Skaičių tiesės apibrėžimas matematikoje: Tiesė, kurios taškai žymi skaičius, vadinama skaičių tiese.

Paveikslėlyje parodyta skaičių eilutė, taip pat spindulys OD ir ED

Kursas naudoja geometrine kalba, sudarytas iš užrašų ir simbolių, priimtų matematikos kurse (ypač naujajame geometrijos kurse vidurinėje mokykloje).

Visą pavadinimų ir simbolių įvairovę bei ryšius tarp jų galima suskirstyti į dvi grupes:

I grupė - geometrinių figūrų žymėjimai ir santykiai tarp jų;

II grupės loginių operacijų žymėjimai, sudarantys geometrinės kalbos sintaksinį pagrindą.

Toliau nurodyta visas sąrašasšiame kurse naudojami matematiniai simboliai. Ypatingas dėmesys yra skiriamas simboliams, kurie naudojami geometrinių formų projekcijoms žymėti.

I grupė

GEOMETRINĖS FIGŪROS IR JŲ RYŠYS

A. Geometrinių formų žymėjimas

1. Geometrinė figūra žymima – F.

2. Nurodomi taškai Didžiosios raidės Lotynų abėcėlė arba arabiški skaitmenys:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Linijos, savavališkai išdėstytos projekcijų plokštumų atžvilgiu, žymimos mažosiomis lotyniškos abėcėlės raidėmis:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Nurodytos lygio linijos: h - horizontali; f- priekinė.

Šis žymėjimas taip pat naudojamas tiesioms linijoms:

(AB) - tiesė, einanti per taškus A ir B;

[AB) - spindulys, kurio pradžia yra taške A;

[AB] – tiesi atkarpa, ribojama taškais A ir B.

4. Paviršiai žymimi mažosiomis graikų abėcėlės raidėmis:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Norėdami pabrėžti paviršiaus apibrėžimo būdą, turėtumėte nurodyti geometrinius elementus, kuriais jis apibrėžiamas, pavyzdžiui:

α(a || b) - plokštuma α nustatoma lygiagrečiomis tiesėmis a ir b;

β(d 1 d 2 gα) - paviršius β nustatomas kreiptuvais d 1 ir d 2 , generatoriumi g ir lygiagretumo plokštuma α.

5. Nurodyti kampai:

∠ABC – kampas su viršūne taške B, taip pat ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Kampinis: reikšmė (laipsnio matas) nurodoma ženklu, kuris yra virš kampo:

Kampo ABC reikšmė;

Kampo φ reikšmė.

Status kampas pažymėtas kvadratu, kurio viduje yra taškas

7. Atstumai tarp geometrinių figūrų žymimi dviem vertikaliais segmentais - ||.

Pavyzdžiui:

|AB| - atstumas tarp taškų A ir B (atkarpos AB ilgis);

|Aa| - atstumas nuo taško A iki linijos a;

|Aα| - atstumai nuo taško A iki paviršiaus α;

|ab| - atstumas tarp eilučių a ir b;

|αβ| atstumas tarp paviršių α ir β.

8. Projekcinėms plokštumoms priimtinos šios žymos: π 1 ir π 2, kur π 1 yra horizontali projekcijos plokštuma;

π 2 -fryuntal projekcijų plokštuma.

Keičiant projekcines plokštumas arba įvedant naujas plokštumas, pastarosios žymi π 3, π 4 ir kt.

9. Projekcijų ašys žymimos: x, y, z, kur x yra x ašis; y yra y ašis; z - taikymo ašis.

Monge diagramos pastovi linija žymima k.

10. Taškų, linijų, paviršių, bet kokios geometrinės figūros projekcijos žymimos tomis pačiomis raidėmis (arba skaičiais) kaip ir originalas, pridedant viršutinį indeksą, atitinkantį projekcijos plokštumą, kurioje jos buvo gautos:

A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontalios taškų projekcijos; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... priekinės taškų projekcijos; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horizontalios linijų projekcijos; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... priekinės tiesių projekcijos; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horizontalios paviršių projekcijos; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... priekinės paviršių projekcijos.

11. Plokštumų (paviršių) pėdsakai žymimi tomis pačiomis raidėmis kaip ir horizontalioji arba frontalinė, pridedant indeksą 0α, pabrėžiant, kad šios linijos yra projekcijos plokštumoje ir priklauso plokštumai (paviršiui) α.

Taigi: h 0α - horizontalus plokštumos (paviršiaus) pėdsakas α;

f 0α - priekinis plokštumos (paviršiaus) pėdsakas α.

12. Tiesių linijų (linijų) pėdsakai žymimi didžiosiomis raidėmis, kurios prasideda žodžiais, apibrėžiančiais projekcijos plokštumos, kurią linija kerta, pavadinimą (lotyniškai transkripcija), su apatiniu indeksu, nurodančiu priklausomybę linijai.

Pavyzdžiui: H a - horizontalus tiesės (linijos) pėdsakas a;

F a - priekinis tiesės (linijos) pėdsakas a.

13. Taškų, linijų (bet kurios figūros) seka pažymėta indeksais 1,2,3,..., n:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α1, α2, α3,...,αn;

F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n ir kt.

Pagalbinė taško projekcija, gauta transformuojant, kad būtų gauta tikroji geometrinės figūros vertė, žymima ta pačia raide su indeksu 0:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Aksonometrinės projekcijos

14. Taškų, linijų, paviršių aksonometrinės projekcijos žymimos tomis pačiomis raidėmis kaip ir gamta, pridedant viršutinį indeksą 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0, β 0, γ 0, δ 0, ...

15. Antrinės projekcijos nurodomos pridedant viršutinį indeksą 1:

A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0, β 1 0, γ 1 0, δ 1 0, ...

Kad būtų lengviau skaityti vadovėlio piešinius, kuriant iliustruojančią medžiagą buvo panaudotos kelios spalvos, kurių kiekviena turi tam tikrą prasmė: juodos linijos (taškai) nurodo pradinius duomenis; žalia spalva naudojamas pagalbinių grafinių konstrukcijų linijoms; raudonos linijos (taškai) rodo konstrukcijų rezultatus arba tuos geometrinius elementus, kuriems reikia skirti ypatingą dėmesį.

B. Simboliai, žymintys ryšius tarp geometrinių figūrų

ne.	Paskyrimas	Turinys	Simbolinio žymėjimo pavyzdys
1	≡	Rungtynės	(AB) ≡ (CD) - tiesė, einanti per taškus A ir B, sutampa su tiese, einančia per taškus C ir D
2	≅	Sutampa	∠ABC≅∠MNK – kampas ABC sutampa su kampu MNK
3	∼	Panašus	ΔABS∼ΔMNK – trikampiai ABC ir MNK yra panašūs
4	||	Lygiagretus	α||β - plokštuma α lygiagreti plokštumai β
5	⊥	Statmenas	a⊥b – tiesės a ir b yra statmenos
6		kryžmintis	su d - tiesės c ir d susikerta
7		Tangentai	t l - tiesė t yra l linijos liestinė. βα – paviršiaus α liestinė β
8	→	Rodomi	F 1 → F 2 – figūra F 1 susieta su figūra F 2
9	S	projekcinis centras. Jei projekcijos centras nėra tinkamas taškas, jo padėtis pažymėta rodykle, nurodant projekcijos kryptį	-
10	s	Projekcijos kryptis	-
11	P	Lygiagreti projekcija	p s α Lygiagreti projekcija – lygiagreti projekcija į plokštumą α s kryptimi

B. Aibių teorinis žymėjimas

ne.	Paskyrimas	Turinys	Simbolinio žymėjimo pavyzdys	Simbolinio žymėjimo geometrijoje pavyzdys
1	M,N	Rinkiniai	-	-
2	A, B, C,...	Nustatykite elementus	-	-
3	{ ... }	Susideda iš...	F(A, B, C,... )	Ф(A, B, C,...) - figūra Ф susideda iš taškų A, B, C, ...
4	∅	Tuščias komplektas	L - ∅ - rinkinys L tuščias (nėra elementų)	-
5	∈	Priklauso, yra elementas	2∈N (kur N yra aibė natūraliuosius skaičius) - skaičius 2 priklauso aibei N	A ∈ a - taškas A priklauso tiesei a (taškas A yra tiesėje a)
6	⊂	Apima, turi	N⊂M – aibė N yra aibės dalis (poaibis). M visų racionaliųjų skaičių	a⊂α - linija a priklauso plokštumai α (suprantama ta prasme: tiesės a taškų aibė yra plokštumos α taškų poaibis)
7	∪	sąjunga	C \u003d A U B - aibė C yra aibių sąjunga A ir B; (1, 2, 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5)	ABCD = ∪ [BC] ∪ – trūkinė linija, ABCD yra segmentų sąjunga [AB], [BC],
8	∩	Daugelio sankirta	М=К∩L - aibė М yra aibių К ir L sankirta (yra elementų, priklausančių ir aibei K, ir aibei L). M ∩ N = ∅- aibių M ir N sankirta yra tuščioji aibė (Aibės M ir N neturi bendrų elementų)	a = α ∩ β - tiesė a yra sankirta plokštumos α ir β ir ∩ b = ∅ – tiesės a ir b nesikerta (neturi bendrų taškų)

II grupė LOGINES OPERACIJOS ŽYMĖJANTYS SIMBOLIAI

ne.	Paskyrimas	Turinys	Simbolinio žymėjimo pavyzdys
1	∧	sakinių jungtukas; atitinka sąjungą „ir“. Sakinys (p∧q) yra teisingas tada ir tik tada, kai p ir q yra teisingi	α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Paviršių α ir β susikirtimas yra taškų rinkinys (tiesė), susidedanti iš visų tų ir tik tų taškų K, kurie priklauso ir paviršiui α, ir paviršiui β
2	∨	Sakinių disjunkcija; atitinka sąjungą „arba“. Sakinys (p∨q) tiesa, kai bent vienas iš sakinių p arba q yra teisingas (t. y. arba p, arba q, arba abu).	-
3	⇒	Potekstė yra logiška pasekmė. Sakinys p⇒q reiškia: „jei p, tai q“	(a||c∧b||c)⇒a||b. Jei dvi tiesės lygiagrečios trečiajai, tai jos lygiagrečios viena kitai.
4	⇔	Sakinys (p⇔q) suprantamas reikšme: "jei p, tai q; jei q, tai p"	А∈α⇔А∈l⊂α. Taškas priklauso plokštumai, jei jis priklauso kokiai nors tai plokštumai priklausančiai tiesei. Ir atvirkščiai: jei taškas priklauso kokiai nors tiesei, priklausantis plokštumai, tada jis priklauso ir pačiai plokštumai.
5	∀	Bendrasis kiekybinis rodiklis skamba: visiems, visiems, bet kam. Išraiška ∀(x)P(x) reiškia: "bet kuriam x: savybė P(x)"	∀(ΔABC)( = 180°) Bet kurio (bet kurio) trikampio kampų verčių suma viršūnėse yra 180°
6	∃	Egzistencinis kvantorius yra toks: egzistuoja. Išraiška ∃(x)P(x) reiškia: "yra x, kuris turi savybę P(x)"	(∀α)(∃a). Bet kuriai plokštumai α egzistuoja tiesė a, nepriklausanti plokštumai α ir lygiagrečiai plokštumai α
7	∃1	Egzistencijos unikalumo kvantorius rašo: yra unikalus (-th, -th)... Išraiška ∃1(x)(Px) reiškia: "yra unikalus (tik vienas) x, turėdamas nuosavybę Rx"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Bet kokiems dviem įvairių taškų A ir B yra viena eilutė a, einantis per šiuos taškus.
8	(px)	Teiginio P(x) neigimas	ab(∃α )(α⊃а, b). Jei tiesės a ir b susikerta, tai nėra plokštumos a, kurioje jos būtų
9	\	Neigiamas ženklas	≠ - atkarpa [AB] nėra lygi atkarpai .a? b - tiesė a nėra lygiagreti tiesei b