Trigonometrinių lygčių sprendimo pavyzdžiai. Trigonometrinės lygtys

Sprendimo metodai trigonometrines lygtis

2 įvadas

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai 5

Algebrinė 5

Lygčių sprendimas naudojant to paties pavadinimo trigonometrinių funkcijų lygybės sąlygą 7

Faktoringas 8

Redukcija į homogeninę lygtį 10

11 pagalbinio kampo įvedimas

Konvertuoti produktą į sumą 14

Universalus pakeitimas 14

17 išvada

Įvadas

Iki dešimtos klasės daugelio pratimų, vedančių į tikslą, veiksmų tvarka, kaip taisyklė, yra vienareikšmiškai apibrėžta. Pavyzdžiui, tiesinės ir kvadratinės lygtys ir nelygybės, trupmenines lygtis ir lygtys, redukuojamos į kvadratus ir kt. Detaliau neanalizuodami kiekvieno iš paminėtų pavyzdžių sprendimo principo, atkreipiame dėmesį į bendrą dalyką, kuris būtinas sėkmingam jų sprendimui.

Daugeliu atvejų reikia nustatyti, kokio tipo užduotis yra, atsiminti veiksmų seką, vedančią į tikslą, ir atlikti šiuos veiksmus. Akivaizdu, kad mokinio sėkmė ar nesėkmė įsisavinant lygčių sprendimo būdus daugiausia priklauso nuo to, kiek jis sugebės teisingai nustatyti lygties tipą ir prisiminti visų jos sprendimo etapų seką. Žinoma, tai daro prielaidą, kad studentas turi įgūdžių atlikti identiškos transformacijos ir kompiuterija.

Visiškai kitokia situacija susiklosto mokiniui susidūrus su trigonometrinėmis lygtimis. Tuo pačiu metu nėra sunku nustatyti faktą, kad lygtis yra trigonometrinė. Sunkumai kyla ieškant veiksmų, kurie privestų prie teigiamas rezultatas. Ir čia studentas susiduria su dviem problemomis. Autorius išvaizda lygtis sunku nustatyti tipą. O nežinant rūšies, iš kelių dešimčių turimų norimą formulę išsirinkti beveik neįmanoma.

Siekiant padėti mokiniams susigaudyti sudėtingame trigonometrinių lygčių labirinte, jie pirmiausia supažindinami su lygtimis, kurios, įvedus naują kintamąjį, redukuojamos į kvadratines. Tada išspręskite vienarūšes lygtis ir sumažinkite iki jų. Viskas, kaip taisyklė, baigiasi lygtimis, kurių sprendimui reikia suskaidyti kairę pusę, tada kiekvieną veiksnį prilyginant nuliui.

Suprasdamas, kad pamokose analizuotų pusantros tuzino lygčių aiškiai neužtenka, kad mokinys galėtų savarankiškai plaukti trigonometrine „jūra“, mokytojas prideda dar keletą rekomendacijų iš savęs.

Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, turime pabandyti:

Suveskite visas į lygtį įtrauktas funkcijas „tais pačiais kampais“;

Suveskite lygtį į „tas pačias funkcijas“;

Paskaičiuokite kairę lygties pusę ir kt.

Tačiau, nepaisant žinių apie pagrindinius trigonometrinių lygčių tipus ir keletą jų sprendimo principų, daugelis studentų vis tiek atsiduria aklavietėje prieš kiekvieną lygtį, kuri šiek tiek skiriasi nuo tų, kurios buvo išspręstos anksčiau. Lieka neaišku, ko reikia siekti, turint tą ar kitą lygtį, kodėl vienu atveju reikia taikyti formules dvigubas kampas, kitoje - pusė, o trečioje - sudėjimo formulės ir kt.

1 apibrėžimas. Trigonometrinė lygtis yra lygtis, kurioje nežinomasis yra po trigonometrinių funkcijų ženklu.

2 apibrėžimas. Sakoma, kad trigonometrinė lygtis turi tuos pačius kampus, jei visos į ją įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi vienodus argumentus. Sakoma, kad trigonometrinė lygtis turi tas pačias funkcijas, jei joje yra tik viena iš trigonometrinių funkcijų.

3 apibrėžimas. Monomalio, kuriame yra trigonometrinių funkcijų, laipsnis yra į jį įtrauktų trigonometrinių funkcijų laipsnių suma.

4 apibrėžimas. Lygtis vadinama vienarūše, jei visi joje esantys monomai yra vienodo laipsnio. Šis laipsnis vadinamas lygties tvarka.

5 apibrėžimas. Trigonometrinė lygtis, kurioje yra tik funkcijos nuodėmė Ir cos, vadinamas vienarūšiu, jei visi trigonometrinių funkcijų monominiai laipsniai yra vienodi, o pačios trigonometrinės funkcijos turi vienodus kampus ir monomijų skaičius yra 1 didesnis už lygties eilę.

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.

Trigonometrinių lygčių sprendimas susideda iš dviejų etapų: lygties transformacijos, kad būtų gauta paprasčiausia forma, ir gautos paprasčiausios trigonometrinės lygties sprendimas. Yra septyni pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.

aš. algebrinis metodas.Šis metodas gerai žinomas iš algebros. (Kintamųjų pakeitimo ir pakeitimo metodas).

Išspręskite lygtis.

Supažindinkime su užrašu x=2 nuodėmė3 t, mes gauname

Išspręsdami šią lygtį, gauname:
arba

tie. galima parašyti

Rašant sprendimą, gautą dėl ženklų buvimo laipsnį
nera prasmės rašyti.

Atsakymas:

Pažymėti

Mes gauname kvadratinė lygtis
. Jo šaknys yra skaičiai
Ir
. Todėl ši lygtis redukuojama iki paprasčiausių trigonometrinių lygčių
Ir
. Išspręsdami juos, mes tai surandame
arba
.

Atsakymas:
;
.

Pažymėti

sąlygos netenkina

Reiškia

Atsakymas:

Transformuokime kairę lygties pusę:

Taigi šią pradinę lygtį galima parašyti taip:

, t.y.

Žymintys
, mes gauname
Išspręsdami šią kvadratinę lygtį, turime:

sąlygos netenkina

Užrašome pradinės lygties sprendinį:

Atsakymas:

Pakeitimas
sumažina šią lygtį į kvadratinę lygtį
. Jo šaknys yra skaičiai
Ir
. Nes
, tada duota lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: nėra šaknų.

II. Lygčių sprendimas naudojant to paties pavadinimo trigonometrinių funkcijų lygybės sąlygą.

bet)
, jei

b)
, jei

in)
, jei

Naudodamiesi šiomis sąlygomis, apsvarstykite šių lygčių sprendimą:

Naudodamiesi tuo, kas buvo pasakyta a dalyje, nustatome, kad lygtis turi sprendimą tada ir tik tada
.

Išspręsdami šią lygtį, randame
.

Turime dvi sprendimų grupes:

.

7) Išspręskite lygtį:
.

Naudodamiesi b) dalies sąlyga, išvedame, kad
.

Išspręsdami šias kvadratines lygtis, gauname:

8) Išspręskite lygtį
.

Iš šios lygties išvedame, kad . Išspręsdami šią kvadratinę lygtį, mes randame tai

.

III. Faktorizavimas.

Mes svarstome šį metodą su pavyzdžiais.

9) Išspręskite lygtį
.

Sprendimas. Perkelkime visus lygties narius į kairę: .

Transformuojame ir koeficientiname išraišką kairėje lygties pusėje:
.

1)
2)

Nes
Ir
neimkite reikšmės null

tuo pačiu metu, tada atskiriame abi dalis

lygtys už
,

Atsakymas:

10) Išspręskite lygtį:

Sprendimas.

arba

Atsakymas:

11) Išspręskite lygtį

Sprendimas:

1)
2)
3)

Atsakymas:

IV. Redukcija į homogeninę lygtį.

Norėdami išspręsti homogeninę lygtį, jums reikia:

Perkelkite visus jo narius į kairę pusę;

Skliausteliuose išrašykite visus įprastus veiksnius;

Visus veiksnius ir skliaustus prilyginti nuliui;

Nuliui prilyginti skliaustai duoda homogeninę mažesnio laipsnio lygtį, kurią reikia padalyti iš
(arba
) vyresnysis laipsnis;

Gautas sprendimas algebrinė lygtis palyginti
.

Apsvarstykite pavyzdžius:

12) Išspręskite lygtį:

Sprendimas.

Padalinkite abi lygties puses iš
,

Pristatome užrašą
, vardas

šios lygties šaknys yra šios:

iš čia 1)
2)

Atsakymas:

13) Išspręskite lygtį:

Sprendimas. Naudodami dvigubo kampo formules ir pagrindinę trigonometrinę tapatybę, šią lygtį sumažiname iki pusės argumento:

Sumažinus panašius terminus, turime:

Vienalytę paskutinę lygtį padalijus iš
, mes gauname

paskirsiu
, gauname kvadratinę lygtį
, kurios šaknys yra skaičiai

Šiuo būdu

Išraiška
dingsta ties
, t.y. adresu
,
.

Mūsų lygties sprendimas neapima šių skaičių.

Atsakymas:
, .

V. Pagalbinio kampo įvedimas.

Apsvarstykite formos lygtį

Kur a, b, c- koeficientai, x- nežinomas.

Abi šios lygties puses padalinkite iš

Dabar lygties koeficientai turi sinuso ir kosinuso savybes, būtent: kiekvieno iš jų modulis neviršija vieneto, o jų kvadratų suma lygi 1.

Tada galime juos atitinkamai pažymėti
(čia - pagalbinis kampas) ir mūsų lygtis yra tokia: .

Tada

Ir jo sprendimas

Atkreipkite dėmesį, kad įvestas žymėjimas yra keičiamas.

14) Išspręskite lygtį:

Sprendimas. čia
, todėl abi lygties puses padaliname iš

Atsakymas:

15) Išspręskite lygtį

Sprendimas. Nes
, tada ši lygtis yra lygi lygčiai

Nes
, tada yra toks kampas, kad
,
(tie.
).

Mes turime

Nes
, tada pagaliau gauname:

Atkreipkite dėmesį, kad formos lygtis turi sprendimą tada ir tik tada

16) Išspręskite lygtį:

Norėdami išspręsti šią lygtį, trigonometrines funkcijas sugrupuojame su tais pačiais argumentais

Padalinkite abi lygties puses iš dviejų

Trigonometrinių funkcijų sumą paverčiame sandauga:

Atsakymas:

VI. Konvertuoti produktą į sumą.

Čia naudojamos atitinkamos formulės.

17) Išspręskite lygtį:

Sprendimas. Paverskime kairę pusę į sumą:

VII.Universalus pakaitalas.

šios formulės tinka visiems

Pakeitimas
vadinamas universaliu.

18) Išspręskite lygtį:

Sprendimas: pakeiskite ir
į jų išraišką per
ir žymėti
.

Gauname racionalią lygtį
, kuris paverčiamas kvadratu
.

Šios lygties šaknys yra skaičiai
.

Todėl problema buvo sumažinta iki dviejų lygčių sprendimo
.

Mes tai randame
.

Žiūrėti vertę
netenkina pradinės lygties, kuri patikrinama tikrinant – pakeitimu duota vertė t prie pradinės lygties.

Atsakymas:
.

komentuoti. 18 lygtis gali būti išspręsta kitaip.

Abi šios lygties puses padalinkite iš 5 (ty iš
):
.

Nes
, tada yra skaičius
, ką
Ir
. Taigi lygtis tampa tokia:
arba
. Iš čia mes tai randame
kur
.

19) Išspręskite lygtį
.

Sprendimas. Kadangi funkcijos
Ir
turėti didžiausia vertė lygus 1, tai jų suma lygi 2, jei
Ir
, tuo pačiu metu, tai yra
.

Atsakymas:
.

Sprendžiant šią lygtį, buvo naudojamasi funkcijų ir ribos.

Išvada.

Dirbant su tema „Trigonometrinių lygčių sprendimai“, kiekvienam mokytojui naudinga laikytis šių rekomendacijų:

Susisteminti trigonometrinių lygčių sprendimo būdus.

Patys pasirinkite žingsnius atlikti lygties analizę ir vieno ar kito sprendimo metodo panaudojimo tikslingumo požymius.

Diegiant metodą apgalvoti veiklos savikontrolės būdus.

Išmokite sudaryti „savo“ lygtis kiekvienam iš tiriamų metodų.

Paraiška Nr.1

Išspręskite vienarūšes arba redukuojamas lygtis.

1.	Rep.
	Rep.

	Rep.
5.	Rep.
	Rep.
7.	Rep.
	Rep.

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas jums reikalingas temas sėkmingas pristatymas NAUDOKITE matematikoje 60-65 balams. Visiškai visos užduotys 1-13 profilio egzaminas matematika. Taip pat tinka išlaikyti matematikos pagrindinį USE. Jeigu norite išlaikyti egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo egzaminui kursas 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti 1 matematikos egzamino dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei šimtabalsis studentas, nei humanistas.

Visa reikalinga teorija. Greiti būdai egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos aktualios 1 dalies užduotys iš FIPI užduočių banko. Kursas visiškai atitinka USE-2018 reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai egzamino užduočių. Tekstinės problemos ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų tipų USE užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi triukai sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio – iki 13 užduoties. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus sudėtingų sąvokų paaiškinimas. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Pagrindas tirpalui sudėtingas užduotis 2 egzamino dalys.

Trigonometrinių lygčių sprendimo samprata.

Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, konvertuokite ją į vieną ar daugiau pagrindinių trigonometrinių lygčių. Trigonometrinės lygties sprendimas galiausiai yra keturių pagrindinių trigonometrinių lygčių sprendimas.

Pagrindinių trigonometrinių lygčių sprendimas.

Yra 4 pagrindinių trigonometrinių lygčių tipai:
sin x = a; cos x = a
įdegis x = a; ctg x = a
Sprendžiant pagrindines trigonometrines lygtis, reikia pažvelgti į skirtingas x padėtis vieneto apskritime, taip pat naudoti konvertavimo lentelę (arba skaičiuotuvą).
1 pavyzdys. sin x = 0.866. Naudodami konvertavimo lentelę (arba skaičiuotuvą) gausite atsakymą: x = π/3. Vieneto apskritimas pateikia kitą atsakymą: 2π/3. Atminkite: visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės, tai yra, jų reikšmės kartojasi. Pavyzdžiui, sin x ir cos x periodiškumas yra 2πn, o tg x ir ctg x – πn. Taigi atsakymas parašytas taip:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
2 pavyzdys cos x = -1/2. Naudodami konvertavimo lentelę (arba skaičiuotuvą) gausite atsakymą: x = 2π/3. Vieneto apskritimas pateikia kitą atsakymą: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
3 pavyzdys. tg (x - π/4) = 0.
Atsakymas: x \u003d π / 4 + πn.
4 pavyzdys. ctg 2x = 1,732.
Atsakymas: x \u003d π / 12 + πn.

Transformacijos, naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis.

Trigonometrinėms lygtims transformuoti naudojamos algebrinės transformacijos (faktorizavimas, redukcija vienarūšiai nariai ir tt) ir trigonometrinės tapatybės.
5 pavyzdys. Naudojant trigonometrines tapatybes, lygtis sin x + sin 2x + sin 3x = 0 paverčiama lygtimi 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Taigi, šios pagrindinės trigonometrinės lygtys reikia išspręsti: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Kampų paieška pagal žinomos vertės funkcijas.
- Prieš išmokdami išspręsti trigonometrines lygtis, turite išmokti rasti kampus pagal žinomų funkcijų reikšmes. Tai galima padaryti naudojant konvertavimo lentelę arba skaičiuotuvą.
- Pavyzdys: cos x = 0,732. Skaičiuoklė pateiks atsakymą x = 42,95 laipsniai. Vienetinis apskritimas duos papildomų kampų, kurių kosinusas taip pat lygus 0,732.
Atidėkite tirpalą ant vieneto apskritimo.
- Galite pateikti trigonometrinės lygties sprendinius vienetiniame apskritime. Vienetinio apskritimo trigonometrinės lygties sprendiniai yra taisyklingo daugiakampio viršūnės.
- Pavyzdys: Vienetinio apskritimo sprendiniai x = π/3 + πn/2 yra kvadrato viršūnės.
- Pavyzdys: vienetinio apskritimo sprendiniai x = π/4 + πn/3 yra taisyklingo šešiakampio viršūnės.
Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.
- Jei duotoje trigonometrinėje lygtyje yra tik viena trigonometrinė funkcija, išspręskite šią lygtį kaip pagrindinę trigonometrinę lygtį. Jei ši lygtis apima dvi ar daugiau trigonometrinių funkcijų, tai yra 2 būdai tokiai lygčiai išspręsti (priklausomai nuo jos transformacijos galimybės).
  - 1 būdas
- Paverskite šią lygtį į tokios formos lygtį: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kur f(x), g(x), h(x) yra pagrindinės trigonometrinės lygtys.
- 6 pavyzdys. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Sprendimas. Naudodami dvigubo kampo formulę sin 2x = 2*sin x*cos x, pakeiskite sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Dabar išspręskite dvi pagrindines trigonometrines lygtis: cos x = 0 ir (sin x + 1) = 0.
- 7 pavyzdys cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Sprendimas: Naudodami trigonometrines tapatybes, paverskite šią lygtį tokios formos lygtimi: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Dabar išspręskite dvi pagrindines trigonometrines lygtis: cos 2x = 0 ir (2cos x + 1) = 0.
- 8 pavyzdys. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Sprendimas: Naudodami trigonometrines tapatybes, paverskite šią lygtį tokios formos lygtimi: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Dabar išspręskite dvi pagrindines trigonometrines lygtis: cos 2x = 0 ir (2sin x + 1) = 0.
  - 2 būdas
- Konvertuokite pateiktą trigonometrinę lygtį į lygtį, kurioje yra tik viena trigonometrinė funkcija. Tada šią trigonometrinę funkciją pakeiskite kokia nors nežinoma, pavyzdžiui, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t ir tt).
- 9 pavyzdys. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Sprendimas. IN duota lygtis pakeisti (cos^2 x) į (1 - sin^2 x) (pagal tapatybę). Transformuota lygtis atrodo taip:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x pakeiskite t. Dabar lygtis atrodo taip: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Tai kvadratinė lygtis su dviem šaknimis: t1 = -1 ir t2 = 9/5. Antroji šaknis t2 neatitinka funkcijos diapazono (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- 10 pavyzdys. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Sprendimas. Pakeiskite tg x į t. Perrašykite pradinę lygtį taip: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Dabar raskite t ir raskite x, jei t = tg x.

Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas.

Bet kokio sudėtingumo trigonometrinių lygčių sprendimas galiausiai priklauso nuo paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo. Ir čia trigonometrinis ratas vėl pasirodo kaip geriausias pagalbininkas.

Prisiminkite kosinuso ir sinuso apibrėžimus.

Kampo kosinusas yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio sukimąsi tam tikru kampu, abscisė (ty koordinatė išilgai ašies).

Kampo sinusas yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio sukimąsi tam tikru kampu, ordinatė (ty koordinatė išilgai ašies).

Teigiama judėjimo išilgai trigonometrinio apskritimo kryptis laikomas judėjimas prieš laikrodžio rodyklę. Pasukimas 0 laipsnių (arba 0 radianų) atitinka tašką su koordinatėmis (1; 0)

Šiuos apibrėžimus naudojame norėdami išspręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis.

1. Išspręskite lygtį

Šią lygtį tenkina visos tokios sukimosi kampo reikšmės, kurios atitinka apskritimo taškus, kurių ordinatė lygi .

Pažymėkime tašką su ordinatėmis y ašyje:

Išleiskime horizontali linija lygiagrečiai x ašiai, kol susikerta su apskritimu. Gausime du taškus, gulėdami ant apskritimo ir turintys ordinatę. Šie taškai atitinka sukimosi kampus ir radianus:

Jei mes, palikę tašką, atitinkantį sukimosi kampą radianui, apeisime visą apskritimą, tada pateksime į tašką, atitinkantį sukimosi kampą radianui ir turintį tą pačią ordinatę. Tai yra, šis sukimosi kampas taip pat atitinka mūsų lygtį. Galime padaryti tiek „tuščiosios eigos“ posūkių, kiek norime, grįždami į tą patį tašką, ir visos šios kampų reikšmės patenkins mūsų lygtį. „Tuščiosios eigos“ apsisukimų skaičius žymimas raide (arba). Kadangi šiuos apsisukimus galime atlikti tiek teigiama, tiek neigiama kryptimi, (arba ) gali įgauti bet kokias sveikųjų skaičių reikšmes.

Tai yra, pirmoji pradinės lygties sprendinių serija turi tokią formą:

, , - sveikųjų skaičių rinkinys (1)

Panašiai antroji sprendimų serija turi tokią formą:

, kur,. (2)

Kaip atspėjote, ši sprendimų serija yra pagrįsta apskritimo tašku, atitinkančiu sukimosi kampą .

Šios dvi sprendimų serijos gali būti sujungtos į vieną įrašą:

Jei paimsime šį įrašą (ty net), tada gausime pirmąją sprendimų seriją.

Jei paimsime šį įrašą (ty nelyginį), gausime antrąją sprendimų seriją.

2. Dabar išspręskime lygtį

Kadangi vienetinio apskritimo taško, gauto sukant kampą, abscisė, ašyje pažymime tašką su abscise:

Nubrėžkite vertikalią liniją, lygiagrečią ašiai, kol ji susikirs su apskritimu. Gausime du taškus, gulėdami ant apskritimo ir turėdami abscisę. Šie taškai atitinka sukimosi kampus ir radianus. Prisiminkite, kad judant pagal laikrodžio rodyklę gauname neigiamą sukimosi kampą:

Užrašome dvi sprendimų serijas:

(Mes patenkame į norimą tašką, einant iš pagrindinio pilno rato, tai yra .

Sujungkime šias dvi serijas į vieną įrašą:

3. Išspręskite lygtį

Liestinių linija eina per tašką, kurio koordinatės (1,0) yra lygiagrečios OY ašiai

Pažymėkite jame tašką, kurio ordinatė lygi 1 (ieškome, kurios kampų liestinė yra 1):

Sujunkite šį tašką su pradine linija tiesia linija ir pažymėkite linijos susikirtimo taškus su vienetiniu apskritimu. Tiesės ir apskritimo susikirtimo taškai atitinka sukimosi kampus ir :

Kadangi taškai, atitinkantys mūsų lygtį atitinkančius sukimosi kampus, yra radianų atstumu vienas nuo kito, sprendimą galime parašyti taip:

4. Išspręskite lygtį

Kotangentų linija eina per tašką, kurio vieneto apskritimo koordinatės yra lygiagrečios ašiai.

Kotangentų eilutėje pažymime tašką abscise -1:

Prijunkite šį tašką prie tiesės pradžios ir tęskite tol, kol susikirs su apskritimu. Ši linija kirs apskritimą taškuose, kurie atitinka sukimosi kampus ir radianus: