Pagrindinės trigonometrijos formulės. Pagrindinė trigonometrinė tapatybė
Redukcijos formulės yra koeficientai, leidžiantys pereiti nuo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento su kampais `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` toms pačioms kampo `\alpha` funkcijoms, kurios yra pirmajame vieneto apskritimo ketvirtyje. Taigi redukcinės formulės mus „veda“ dirbti su kampais nuo 0 iki 90 laipsnių, o tai labai patogu.
Iš viso yra 32 redukcijos formulės. Jie neabejotinai pravers per egzaminą, egzaminus, testus. Bet mes iš karto perspėsime, kad nereikia jų įsiminti! Turite praleisti šiek tiek laiko ir suprasti jų taikymo algoritmą, tada jums nebus sunku tinkamu metu išvesti reikiamą lygybę.
Pirmiausia užsirašykime visas redukcijos formules:
Kampui (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) arba (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha
Kampui (`\pi \pm \alpha`) arba (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha
Jei kampas (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) arba (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha
Kampui (`2\pi \pm \alpha`) arba (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha
Redukcijos formules dažnai galite rasti lentelės pavidalu, kur kampai parašyti radianais:
Norėdami jį naudoti, turite pasirinkti eilutę su mums reikalinga funkcija ir stulpelį su norimu argumentu. Pavyzdžiui, norint sužinoti, kas bus ` sin(\pi + \alpha)` naudojant lentelę, pakanka rasti atsakymą eilutės ` sin \beta` ir stulpelio ` \pi + \ sankirtoje. alfa“. Gauname ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Ir antra, panaši lentelė, kur kampai rašomi laipsniais:
Mnemoninė formulių liejimo taisyklė arba kaip jas atsiminti
Kaip jau minėjome, nebūtina įsiminti visų minėtų santykių. Jei atidžiai pažvelgėte į juos, tikriausiai pastebėjote kai kuriuos modelius. Jie leidžia mums suformuluoti mnemoninę taisyklę (mnemoninę - įsiminti), kurią naudodami galite lengvai gauti bet kurią redukcijos formulę.
Iš karto pastebime, kad norint taikyti šią taisyklę, reikia gerai nustatyti (arba atsiminti) trigonometrinių funkcijų požymius skirtinguose vieneto apskritimo ketvirčiuose. 
Pats transplantatas susideda iš 3 etapų:
- Funkcijos argumentas turi būti tokiomis formomis: \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm \alpha, kur \alfa visada yra smailusis kampas (nuo 0 iki 90 laipsnių).
- Argumentams „\frac (\pi)2 \pm \alpha“, „\frac (3\pi)2 \pm \alpha“ trigonometrinė funkcija konvertuotos išraiškos pasikeičia į kofunkciją, tai yra, priešingą (sinusą į kosinusą, liestinę į kotangentą ir atvirkščiai). Argumentams „\pi \pm \alpha“, „2\pi \pm \alpha“ funkcija nesikeičia.
- Nustatomas pradinės funkcijos ženklas. Dešinėje pusėje gauta funkcija turės tą patį ženklą.
Norėdami pamatyti, kaip šią taisyklę galima pritaikyti praktiškai, pakeiskime keletą posakių:
1. „cos(\pi + \alpha)“.
Funkcija nekeičiama. Kampas ` \pi + \alpha` yra trečiame kvadrante, kosinusas šiame kvadrante turi "-" ženklą, todėl konvertuota funkcija taip pat turės "-" ženklą.
Atsakymas: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)'.
Pagal mnemoninė taisyklė funkcija bus pakeista. Kampas `\frac (3\pi)2 - \alpha` yra trečiame kvadrante, sinusas čia turi "-" ženklą, todėl rezultatas taip pat bus su "-" ženklu.
Atsakymas: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha
3. „cos(\frac (7\pi)2 – \alpha)“.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))". Pavaizduokime „3\pi“ kaip „2\pi+\pi“. „2\pi“ yra funkcijos laikotarpis.
Svarbu: funkcijų „cos \alpha“ ir „sin \alpha“ laikotarpis yra „2\pi“ arba „360^\circ“, jų reikšmės nepasikeis, jei argumentas bus padidintas arba sumažintas šiomis reikšmėmis.
Remiantis tuo mūsų išraišką galima parašyti taip: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Du kartus pritaikę mnemoninę taisyklę, gauname: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Atsakymas: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha.
arklio taisyklė
Antrasis minėtos mnemoninės taisyklės punktas dar vadinamas redukcijos formulių arklio taisykle. Įdomu, kodėl arkliai?
Taigi turime funkcijas su argumentais „\frac (\pi)2 \pm \alpha”, „\pi \pm \alpha”, „\frac (3\pi)2 \pm \alpha”, „2\pi \ pm \alpha, taškai \frac (\pi)2, \pi, \frac (3\pi)2, 2\pi yra pagrindiniai taškai, jie yra koordinačių ašyse. „\pi“ ir „2\pi“ yra horizontalioje x ašyje, o „\frac (\pi)2“ ir „\frac (3\pi)2“ yra vertikalioje y ašyje.
Užduodame sau klausimą: „Ar funkcija virsta kofunkcija? Norėdami atsakyti į šį klausimą, turite pasukti galvą išilgai ašies, kurioje yra pagrindinis taškas.
Tai yra, į argumentus, kurių pagrindiniai taškai yra horizontalioje ašyje, atsakome „ne“ purtydami galvas į šonus. O į kampus, kurių pagrindiniai taškai yra vertikalioje ašyje, atsakome „taip“ linksėdami galvą iš viršaus į apačią, kaip arklys 🙂
Rekomenduojame pažiūrėti vaizdo pamoką, kurioje autorius išsamiai paaiškina, kaip įsiminti redukcijos formules jų neįsiment.
Praktiniai liejimo formulių naudojimo pavyzdžiai
Sumažinimo formules pradedama naudoti 9 ir 10 klasėse. Egzaminui pateikiama daug užduočių su jų naudojimu. Štai keletas užduočių, kuriose turėsite taikyti šias formules:
- stačiakampio trikampio sprendimo užduotys;
- skaitinių ir abėcėlinių trigonometrinių reiškinių konvertavimas, jų reikšmių skaičiavimas;
- stereometrines problemas.
1 pavyzdys. Naudokite redukcijos formules, kad apskaičiuotumėte a) „sin 600^\circ“, b) „tg 480^\circ“, c) „cos 330^\circ“, d) „sin 240^\circ“.
Sprendimas: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) „tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3“;
c) „cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2“;
d) „sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2“.
2 pavyzdys. Išreiškę kosinusą per sinusą naudodami redukcijos formules, palyginkite skaičius: 1) `sin \frac (9\pi)8` ir `cos \frac (9\pi)8; 2) „sin \frac (\pi)8“ ir „cos \frac (3\pi)10“.
Sprendimas: 1)`sin \frac (9\pi)8 = sin (\pi+\frac (\pi)8) = -sin \frac (\pi)8
„cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8“
„-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8“.
„sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8“.
2) „cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5) = sin \frac (\pi)5“
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Pirmiausia įrodome dvi argumento `\frac (\pi)2 + \alpha sinuso ir kosinuso formules: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` ir ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Likusi dalis yra kilusi iš jų. Paimkite vienetinį apskritimą ir tašką A su koordinatėmis (1,0). Leiskite įjungus Iš liestinės ir kotangento apibrėžimo gauname ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` ir ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac) (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, kuris įrodo redukciją kampo `\frac (\pi)2 + \alpha' liestinės ir kotangento formulės. Norint įrodyti formules su argumentu `\frac (\pi)2 - \alpha`, pakanka pateikti ją kaip `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` ir eiti tuo pačiu keliu, kaip nurodyta aukščiau. Pavyzdžiui, „cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)“. Kampai '\pi + \alpha' ir '\pi - \alpha' gali būti pavaizduoti kaip '\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)' ir '\frac (\pi) ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` atitinkamai. Ir „\frac (3\pi)2 + \alpha“ ir „\frac (3\pi)2 - \alpha“ kaip „\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)“ ir „\pi“ +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Šiame straipsnyje mes išsamiai apžvelgsime . Pagrindinės trigonometrinės tapatybės yra lygybės, kurios nustato ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ir leidžia rasti bet kurią iš šių trigonometrinių funkcijų per žinomą kitą. Iš karto išvardijame pagrindines trigonometrines tapatybes, kurias analizuosime šiame straipsnyje. Jas surašome į lentelę, o žemiau pateikiame šių formulių išvedimą ir pateikiame reikiamus paaiškinimus. Puslapio naršymas. Kartais jie kalba ne apie pagrindines trigonometrines tapatybes, išvardytas aukščiau esančioje lentelėje, o apie vieną vienintelį pagrindinė trigonometrinė tapatybė malonus Tai yra, ypač domina lygybė, kuriai buvo suteiktas pagrindinės trigonometrinės tapatybės pavadinimas. Prieš įrodydami pagrindinį trigonometrinį tapatumą, pateikiame jo formuluotę: vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra identiškai lygi vienetui. Dabar įrodykime. Labai dažnai naudojama pagrindinė trigonometrinė tapatybė trigonometrinių išraiškų transformacija. Tai leidžia vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų sumą pakeisti vienu. Ne rečiau pagrindinė trigonometrinė tapatybė naudojama atvirkštine tvarka: vienetas pakeičiamas bet kurio kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma. Tapatybės, jungiančios liestinę ir kotangentą su vieno formos ir formos kampo sinusu ir kosinusu Dėl šio tapatybių akivaizdumo ir Baigiant šį skyrių, reikia pažymėti, kad tapatybės ir Dar akivaizdesnė trigonometrinė tapatybė nei dvi ankstesnės yra tapatybė, jungianti vieno formos kampo liestinę ir kotangentą. Formulės įrodymas Taigi, vieno kampo liestinė ir kotangentė, kurioje jie turi prasmę, yra. Pateikiami santykiai tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų – sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. trigonometrines formules. O kadangi sąsajų tarp trigonometrinių funkcijų yra gana daug, tai paaiškina ir trigonometrinių formulių gausą. Vienos formulės jungia to paties kampo trigonometrines funkcijas, kitos – daugiakampio funkcijas, kitos – leidžia sumažinti laipsnį, ketvirtos – visas funkcijas išreikšti per puskampio liestinę ir pan. Šiame straipsnyje eilės tvarka išvardijame visas pagrindines trigonometrines formules, kurių pakanka daugumai trigonometrijos problemų išspręsti. Kad būtų lengviau įsiminti ir naudoti, sugrupuosime juos pagal paskirtį ir surašysime į lenteles. Puslapio naršymas. Pagrindinės trigonometrinės tapatybės nustatyti ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. Jie išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo, taip pat vieneto apskritimo sąvokos. Jie leidžia išreikšti vieną trigonometrinę funkciją per bet kurią kitą. Išsamų šių trigonometrinių formulių aprašymą, jų išvedimą ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje. Liejamos formulės išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybių, tai yra, jos atspindi trigonometrinių funkcijų periodiškumo savybę, simetrijos savybę, taip pat poslinkio tam tikru kampu savybę. Šios trigonometrinės formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkais kampais prie darbo su kampais nuo nulio iki 90 laipsnių. Straipsnyje galima išnagrinėti šių formulių pagrindimą, mnemoninę jų įsiminimo taisyklę ir jų taikymo pavyzdžius. Trigonometrinės sudėties formulės parodykite, kaip dviejų kampų sumos arba skirtumo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos šių kampų trigonometrinėmis funkcijomis. Šios formulės yra šių trigonometrinių formulių išvedimo pagrindas. Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampas (jos dar vadinamos kelių kampų formulėmis) parodo, kaip trigonometrinės funkcijos veikia dvigubai, trigubai ir kt. kampai () išreiškiami vieno kampo trigonometrinėmis funkcijomis. Jų išvedimas pagrįstas sudėjimo formulėmis. Išsamesnė informacija surinkta straipsnių formulėse, skirtose dvigubai, trigubai ir kt. kampas . Pusės kampo formulės parodykite, kaip pusės kampo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos sveikojo kampo kosinusu. Šios trigonometrinės formulės kyla iš dvigubo kampo formulių. Jų išvadas ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje. Trigonometrinės mažėjančių laipsnių formulės yra skirti palengvinti perėjimą nuo natūralių trigonometrinių funkcijų galių prie sinusų ir kosinusų pirmojo laipsnio, bet kelių kampų. Kitaip tariant, jie leidžia sumažinti trigonometrinių funkcijų galias iki pirmosios. pagrindinė paskirties vieta trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės susideda iš perėjimo prie funkcijų sandaugos, o tai labai naudinga supaprastinant trigonometrines išraiškas. Šios formulės taip pat plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis, nes leidžia apskaičiuoti sinusų ir kosinusų sumą ir skirtumą. Perėjimas nuo trigonometrinių funkcijų sandaugos prie sumos arba skirtumo atliekamas naudojant sinusų, kosinusų ir sinusų sandaugos formules. Autorių teisės priklauso protingiems studentams Visos teisės saugomos. Trigonometrinės tapatybės yra lygybės, nustatančios ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento, kuris leidžia rasti bet kurią iš šių funkcijų, jei žinoma bet kuri kita. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha) tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 Ši tapatybė sako, kad vieno kampo sinuso kvadrato ir vieno kampo kosinuso kvadrato suma yra lygi vienetui, o tai praktiškai leidžia apskaičiuoti vieno kampo sinusą, kai žinomas jo kosinusas ir atvirkščiai. . Konvertuojant trigonometrines išraiškas, labai dažnai naudojama ši tapatybė, leidžianti vieno kampo kosinuso ir sinuso kvadratų sumą pakeisti vienu ir taip pat atlikti pakeitimo operaciją atvirkštine tvarka. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace Šios tapatybės susidaro iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Galų gale, jei pažvelgsite, tada pagal apibrėžimą y ordinatė yra sinusas, o x abscisė yra kosinusas. Tada liestinė bus lygi santykiui \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), ir santykis \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bus kotangentas. Pridedame, kad tik tokie kampai \alpha, kuriems į juos įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi prasmę, bus tapatybės, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Pavyzdžiui: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) galioja \alpha kampams, kurie skiriasi nuo \frac(\pi)(2)+\pi z, bet ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kampui \alpha, išskyrus \pi z , z yra sveikas skaičius. tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 Ši tapatybė galioja tik kampams \alpha, kurie skiriasi nuo \frac(\pi)(2) z. Priešingu atveju nei kotangentas, nei tangentas nebus nustatyti. Remdamiesi aukščiau pateiktais punktais, mes tai gauname tg \alpha = \frac(y)(x), bet ctg\alpha=\frac(x)(y). Iš to išplaukia tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Taigi vieno kampo, kuriame jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra abipusiai abipusiai skaičiai. tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- kampo \alpha ir 1 liestinės kvadrato suma lygi atvirkštiniam šio kampo kosinuso kvadratui. Ši tapatybė galioja visoms \alpha, išskyrus \frac(\pi)(2)+ \pi z. 1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 ir kampo \alpha kotangento kvadrato suma lygi duoto kampo sinuso atvirkštiniam kvadratui. Ši tapatybė galioja bet kuriai \alpha, išskyrus \pi z . Raskite \sin \alpha ir tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
; Rodyti sprendimą Sprendimas Funkcijos \sin \alpha ir \cos \alpha yra susietos pagal formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Pakeičiant šią formulę \cos \alpha = -\frac12, mes gauname: \sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1 Ši lygtis turi 2 sprendinius: \sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3) (2) Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Antrajame ketvirtyje sinusas yra teigiamas, todėl \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2). Norėdami rasti tg \alpha , naudojame formulę tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3 Raskite \cos \alpha ir ctg \alpha if ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Rodyti sprendimą Sprendimas Pakeitimas į formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 sąlyginis skaičius \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), mes gauname \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ši lygtis turi du sprendinius \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14. Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Antrajame ketvirtyje kosinusas yra neigiamas, todėl \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12. Norėdami rasti ctg \alpha , naudojame formulę ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Mes žinome atitinkamas reikšmes. ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3). Tai paskutinė ir svarbiausia pamoka, reikalinga B11 problemoms spręsti. Mes jau žinome, kaip kampus konvertuoti iš radiano į laipsnio matą (žr. pamoką „ Kampo radianas ir laipsnio matas“), taip pat žinome, kaip nustatyti trigonometrinės funkcijos ženklą, sutelkiant dėmesį į koordinačių ketvirčius (žr. "Trigonometrinių funkcijų ženklai"). Lieka maža: apskaičiuoti pačios funkcijos reikšmę – tą patį skaičių, kuris parašytas atsakyme. Čia į pagalbą ateina pagrindinė trigonometrinė tapatybė. Pagrindinė trigonometrinė tapatybė. Bet kuriam kampui α teisingas teiginys: sin 2 α + cos 2 α = 1. Ši formulė susieja vieno kampo sinusus ir kosinusus. Dabar, žinodami sinusą, galime nesunkiai rasti kosinusą – ir atvirkščiai. Pakanka paimti kvadratinę šaknį: Atkreipkite dėmesį į „±“ ženklą priešais šaknis. Faktas yra tas, kad iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės neaišku, kas buvo pradinis sinusas ir kosinusas: teigiamas ar neigiamas. Juk kvadratas yra lygi funkcija, kuri „sudegina“ visus minusus (jei tokių yra). Štai kodėl visose B11 užduotyse, kurios yra USE matematikoje, būtinai yra papildomų sąlygų, kurios padeda atsikratyti neapibrėžtumo ženklais. Paprastai tai yra koordinačių ketvirčio, pagal kurį galima nustatyti ženklą, nuoroda. Dėmesingas skaitytojas tikrai paklaus: „O kaip su tangentu ir kotangentu? Iš aukščiau pateiktų formulių šių funkcijų tiesiogiai apskaičiuoti neįmanoma. Tačiau yra svarbios pagrindinės trigonometrinės tapatybės pasekmės, kuriose jau yra liestinių ir kotangentų. Būtent: Svarbi išvada: bet kurio kampo α atveju pagrindinė trigonometrinė tapatybė gali būti perrašyta taip: Šios lygtys nesunkiai išvedamos iš pagrindinės tapatybės – pakanka abi puses padalinti iš cos 2 α (kad gautume liestinę) arba iš sin 2 α (kotangentui). Pažvelkime į visa tai su konkrečiais pavyzdžiais. Toliau pateikiamos tikrosios B11 problemos, paimtos iš 2012 m. Mathematics USE bandymų. Mes žinome kosinusą, bet nežinome sinuso. Pagrindinė trigonometrinė tapatybė („gryna“ forma) jungia būtent šias funkcijas, todėl su ja dirbsime. Mes turime: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1. Norint išspręsti problemą, belieka rasti sinuso ženklą. Kadangi kampas α ∈ (π /2; π ), tai laipsniu mase jis rašomas taip: α ∈ (90°; 180°). Todėl kampas α yra II koordinačių ketvirtyje – visi ten esantys sinusai yra teigiami. Todėl sin α = 0,1. Taigi, mes žinome sinusą, bet turime rasti kosinusą. Abi šios funkcijos yra pagrindinėje trigonometrinėje tapatybėje. Mes pakeičiame: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5. Belieka susidoroti su ženklu prieš trupmeną. Ką pasirinkti: pliusą ar minusą? Pagal sąlygą kampas α priklauso intervalui (π 3π /2). Paverskime kampus iš radianinio mato į laipsnio matą – gauname: α ∈ (180°; 270°). Akivaizdu, kad tai III koordinačių ketvirtis, kur visi kosinusai yra neigiami. Todėl cosα = –0,5. Užduotis. Raskite tg α, jei žinote: Tangentas ir kosinusas yra susiję su lygtimi, išplaukiančia iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės: Gauname: tg α = ±3. Liestinės ženklas nustatomas pagal kampą α. Yra žinoma, kad α ∈ (3π /2; 2π ). Kampus iš radianinio mato paverskime laipsnio matu – gauname α ∈ (270°; 360°). Akivaizdu, kad tai IV koordinačių ketvirtis, kur visos liestinės yra neigiamos. Todėl tgα = −3. Užduotis. Raskite cos α, jei žinote: Vėlgi, sinusas yra žinomas, o kosinusas nežinomas. Užrašome pagrindinę trigonometrinę tapatybę: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6. Ženklas nustatomas pagal kampą. Turime: α ∈ (3π /2; 2π ). Kampus perverskime iš laipsnių į radianus: α ∈ (270°; 360°) yra IV koordinačių ketvirtis, ten kosinusai yra teigiami. Todėl cos α = 0,6. Užduotis. Raskite sin α, jei žinote: Parašykime formulę, kuri išplaukia iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės ir tiesiogiai jungia sinusą ir kotangentą: Iš čia gauname, kad nuodėmė 2 α = 1/25, t.y. sin α = ±1/5 = ±0,2. Yra žinoma, kad kampas α ∈ (0; π /2). Laipsniais tai rašoma taip: α ∈ (0°; 90°) - I koordinačių ketvirtis. Taigi kampas yra I koordinačių ketvirtyje - ten visos trigonometrinės funkcijos yra teigiamos, todėl sin α \u003d 0,2.
kampe `\alpha` jis eis į tašką `A_1(x, y)`, o pasukus kampu `\frac (\pi)2 + \alpha` į tašką `A_2(-y,x)` . Numetę statmenus iš šių taškų į tiesę OX, matome, kad trikampiai `OA_1H_1` ir `OA_2H_2` yra lygūs, nes jų hipotenuzės ir gretimi kampai yra lygūs. Tada, remdamiesi sinuso ir kosinuso apibrėžimais, galime parašyti „sin \alpha=y“, „cos \alpha=x“, „sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x“, „cos“ (\frac (\pi)2 + \alpha)=-y`. Kaip galima parašyti, kad ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` ir ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, kas įrodo redukciją kampo sinuso ir kosinuso formulės `\frac (\pi)2 + \alpha.Ryšys tarp vieno kampo sinuso ir kosinuso
. Šio fakto paaiškinimas yra gana paprastas: lygybės gaunamos iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės, padalijus abi jo dalis atitinkamai ir lygybes 
Ir 
išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Išsamiau tai aptarsime tolesnėse pastraipose.Tangentas ir kotangentas per sinusą ir kosinusą
iš karto išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Iš tiesų, pagal apibrėžimą sinusas yra y ordinatė, kosinusas yra x abscisė, liestinė yra ordinatės ir abscisės santykis, tai yra, 
, o kotangentas yra abscisių ir ordinačių santykis, ty 
.dažnai liestinės ir kotangento apibrėžimai pateikiami ne per abscisės ir ordinatės santykį, o per sinuso ir kosinuso santykį. Taigi kampo liestinė yra sinuso santykis su šio kampo kosinusu, o kotangentas yra kosinuso ir sinuso santykis.laikykitės visų tokių kampų, kuriems juose esančios trigonometrinės funkcijos turi prasmę. Taigi formulė galioja bet kuriai kitai nei (kitaip vardiklis bus lygus nuliui, o dalybos iš nulio neapibrėžėme), o formulė - visiems , skiriasi nuo , kur z yra bet kuris .Ryšys tarp liestinės ir kotangento
. Akivaizdu, kad tai vyksta bet kuriems kitiems kampams, išskyrus , kitaip nei liestinė, nei kotangentas nėra apibrėžti.labai paprasta. Pagal apibrėžimą ir iš kur 
. Įrodinėjimas galėjo būti atliktas kiek kitaip. Nuo ir , tada 
.Pagrindinės trigonometrinės tapatybės
Liejamos formulės
Papildymo formulės
Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampu
Pusės kampo formulės
Sumažinimo formulės
Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės
Sinusų, kosinusų ir sinusų sandauga pagal kosinusą formulės
Saugoma autorių teisių įstatymo. Jokia www.svetainės dalis, įskaitant vidinę medžiagą ir išorinį dizainą, negali būti atgaminta jokia forma arba naudojama be išankstinio raštiško autorių teisių savininko leidimo.Lietinės ir kotangento radimas per sinusą ir kosinusą
Ryšys tarp liestinės ir kotangento
Tangento ir kosinuso, kotangento ir sinuso ryšiai
Pavyzdžiai su problemų sprendimais naudojant trigonometrines tapatybes
1 pavyzdys
2 pavyzdys
Taip pat rekomenduojame
Perjungimo maitinimo šaltinis: remontas ir tobulinimas
Nuotolinis šviesos valdymas
Plaukimo pamokos ikimokyklinio amžiaus vaikams
Pastabos meistrui – namų buitinė signalizacija
Atmega8 laikrodžio sraigtas
Įrenginių ir relių taikymo pavyzdžiai, kaip teisingai pasirinkti ir prijungti relę Mikrovaldiklio ir relių paprastos perjungimo grandinės
Įkeliama...