자연수의 수입니다. 자연수란? 역사, 범위, 속성

정수우리에게 매우 친숙하고 자연스러운 그리고 그들과의 친분은 우리 인생의 첫 해부터 직관적 인 수준에서 시작되기 때문에 이것은 놀라운 일이 아닙니다.

이 기사의 정보는 자연수에 대한 기본적인 이해를 돕고, 그 목적을 밝히고, 자연수를 쓰고 읽는 기술을 가르칩니다. 을 위한 더 나은 동화자료, 필요한 예 및 삽화가 제공됩니다.

페이지 탐색.

자연수는 일반적인 표현입니다.

다음 의견에는 건전한 논리가 결여되어 있지 않습니다. 개체를 계산하는 문제(첫 번째, 두 번째, 세 번째 개체 등)의 출현 및 개체 수(하나, 둘, 세 개체 등)를 나타내는 문제 주도 솔루션을 위한 도구를 만들기 위해 이 도구는 정수.

이 제안은 보여줍니다 자연수의 주요 목적- 고려된 항목 세트에서 항목의 수 또는 주어진 항목의 일련 번호에 대한 정보를 전달합니다.

사람이 자연수를 사용하려면 지각과 재생산을 위해 어떤 방식으로든 자연수에 접근할 수 있어야 합니다. 각각의 자연수를 소리내면 귀로 인지할 수 있고, 자연수를 그리면 볼 수 있다. 이것은 자연수를 전달하고 인식하는 가장 자연스러운 방법입니다.

그럼 자연수를 표현(쓰기)하는 기술과 자연수를 발음하는(읽는) 기술을 익히면서 그 의미를 배워 봅시다.

자연수에 대한 10진수 표기법.

먼저 자연수를 작성할 때 무엇을 기반으로 할 것인지 결정해야 합니다.

다음 문자의 이미지를 기억합시다(쉼표로 구분하여 표시). 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . 표시된 이미지는 소위 숫자. 쓸 때 숫자를 뒤집거나 기울이거나 왜곡하지 않도록 즉시 동의합시다.

이제 우리는 표시된 숫자만 자연수 표기법에 존재할 수 있고 다른 기호는 존재할 수 없다는 데 동의합니다. 우리는 또한 자연수 표기법의 자릿수가 동일한 높이를 가지며 차례로 줄로 배열되고(거의 들여쓰기 없이) 왼쪽에 자릿수와 다른 자릿수가 있다는 데 동의합니다. 0 .

다음은 자연수의 올바른 표기법의 몇 가지 예입니다. 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (참고: 숫자 사이의 들여쓰기가 항상 동일한 것은 아닙니다. 이에 대한 자세한 내용은 검토할 때 논의됩니다.) 위의 예에서 자연수가 반드시 모든 자릿수를 포함하는 것은 아님을 알 수 있습니다. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; 자연수 쓰기에 관련된 숫자의 일부 또는 전체가 반복될 수 있습니다.

엔트리 014 , 0005 , 0 , 0209 왼쪽에 숫자가 있기 때문에 자연수의 기록이 아닙니다. 0 .

이 단락에 설명된 모든 요구 사항을 고려하여 수행된 자연수의 기록을 자연수의 십진수 표기법.

더 나아가 우리는 자연수와 그 표기법을 구별하지 않을 것입니다. 이것을 명확히 합시다. 텍스트에서 더 나아가 "주어진 자연수 582 "는 자연수가 주어졌음을 의미하며, 그 표기법은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 582 .

개체 수의 의미에서 자연수.

기록된 자연수가 담고 있는 양적 의미를 다룰 때입니다. 개체 번호 매기기 측면에서 자연수의 의미는 자연수 비교 기사에서 고려됩니다.

자연수부터 시작합시다. 그 항목은 숫자의 항목과 일치합니다. 즉, 숫자 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 그리고 9 .

우리가 눈을 뜨고 이와 같은 어떤 물체를 보았다고 상상해 보십시오. 이 경우 우리는 우리가 본 것을 쓸 수 있습니다 1 물건. 자연수 1은 " 하나"(숫자 "1"의 감소 및 다른 숫자는 단락에서 제공함), 1 다른 이름을 채택했습니다 - " 단위».

그러나 "단위"라는 용어는 다중 값입니다. 1 , 전체로 간주되는 것을 말합니다. 예를 들어, 해당 세트의 항목 중 하나를 단위라고 부를 수 있습니다. 예를 들어, 많은 사과 중 사과는 하나이고, 많은 새 떼에서 새 떼도 하나입니다.

이제 우리는 눈을 뜨고 다음을 봅니다. 즉, 우리는 하나의 개체와 다른 개체를 봅니다. 이 경우 우리는 우리가 본 것을 쓸 수 있습니다 2 주제. 자연수 2 , "처럼 읽습니다. 둘».

비슷하게, - 3 주제(" 삼" 주제), - 4 (« 네"") 주제, - 5 (« 다섯»), - 6 (« 육»), - 7 (« 일곱»), - 8 (« 여덟»), - 9 (« 아홉") 항목.

따라서 고려한 위치에서 자연수 1 , 2 , 3 , …, 9 나타내다 양항목.

표기법이 숫자 표기법과 일치하는 숫자 0 , 라고 불리는 " 영". 숫자 0은 자연수가 아니지만 일반적으로 자연수와 함께 고려됩니다. 기억하십시오: 0은 어떤 것이 없다는 것을 의미합니다. 예를 들어 0개의 항목은 단일 항목이 아닙니다.

기사의 다음 단락에서는 수량을 나타내는 측면에서 자연수의 의미를 계속해서 밝힐 것입니다.

한 자리 자연수.

분명히, 각 자연수의 기록은 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 하나의 기호 - 하나의 숫자로 구성됩니다.

정의.

한 자리 자연수자연수이며, 그 레코드는 하나의 부호로 구성됩니다 - 하나의 숫자.

모든 한 자리 자연수를 나열해 보겠습니다. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . 한 자리 자연수는 9개입니다.

두 자리 및 세 자리 자연수.

먼저 두 자리 자연수의 정의를 제공합니다.

정의.

두 자리 자연수- 이들은 자연수이며, 그 레코드는 두 자릿수(다르거나 같음)인 두 문자입니다.

예를 들어, 자연수 45 - 두 자리 숫자 10 , 77 , 82 역시 두자리수 5 490 , 832 , 90 037 - 두 자리 숫자가 아닙니다.

두 자리 숫자가 의미하는 바가 무엇인지 알아보고, 이미 알고 있는 한 자리 자연수의 양적 의미부터 알아보도록 하겠습니다.

먼저 개념을 소개하자면 십.

그러한 상황을 상상해 봅시다. 우리는 눈을 뜨고 9개의 물체와 하나의 물체로 구성된 세트를 보았습니다. 이 경우 하나는 1 십(십) 항목. 하나를 열로 생각하고 하나를 더 열로 생각하면 2 십(두 십). 10에 20을 더하면 30이 됩니다. 이 과정을 계속하면 네 십, 오십, 육십, 일곱 십, 여덟 십, 마지막으로 아홉 십이 나옵니다.

이제 두 자리 자연수의 본질로 넘어갈 수 있습니다.

이렇게하려면 두 자리 숫자를 2로 간주하십시오. 한 자리 숫자- 하나는 두 자리 숫자 표기법에서 왼쪽에 있고 다른 하나는 오른쪽에 있습니다. 왼쪽의 숫자는 십의 수를 나타내고 오른쪽의 숫자는 단위의 수를 나타냅니다. 또한, 두 자리 숫자의 기록에서 오른쪽에 숫자가 있는 경우 0 , 그러면 단위가 없음을 의미합니다. 이것이 양을 나타내는 두 자리 자연수의 요점입니다.

예를 들어, 두 자리 자연수 72 해당 7 수십과 2 단위(즉, 72 사과는 74개의 사과와 2개의 추가 사과가 한 세트입니다. 30 대답 3 수십과 0 단위가 없습니다. 즉, 수십 단위로 결합되지 않은 단위가 없습니다.

"2자리 자연수는 몇 개나 있습니까?"라는 질문에 답해 봅시다. 답: 그들 90 .

우리는 세 자리 자연수의 정의로 돌아갑니다.

정의.

표기법이 다음으로 구성된 자연수 3 표지판 - 3 숫자(다르거나 반복되는)가 호출됩니다. 세 자리.

세 자리 자연수의 예는 다음과 같습니다. 372 , 990 , 717 , 222 . 정수 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 세 자리 숫자가 아닙니다.

세 자리 자연수에 내재된 의미를 이해하려면 개념이 필요합니다. 수백.

10개의 10개 세트는 1 백(백). 백 백은 2 수백. 이백과 또 다른 백은 삼백입니다. 등등, 우리는 사백, 오백, 육백, 칠백, 팔백, 그리고 마지막으로 구백이 있습니다.

이제 세 자리 자연수를 세 자리 자연수 표기법으로 오른쪽에서 왼쪽으로 차례로 세 자리 자연수 세 자리 자연수를 살펴보겠습니다. 오른쪽의 숫자는 단위의 수를 나타내고, 다음 숫자는 십의 수를 나타내고, 다음 숫자는 백의 수를 나타냅니다. 숫자 0 세 자리 숫자의 기록에서 십 및 (또는) 단위가 없음을 의미합니다.

따라서 세 자리 자연수 812 해당 8 수백 1 상위 10위와 2 단위; 숫자 305 - 삼백 0 수십, 즉 수십이 수백으로 결합되지 않음) 및 5 단위; 숫자 470 - 사백 칠십 (십으로 결합되지 않은 단위가 없음); 숫자 500 - 오백(십이 백으로 결합되지 않고 단위가 십으로 결합되지 않음, 아니요).

마찬가지로 4자리, 5자리, 6자리 등을 정의할 수 있습니다. 자연수.

다중값 자연수.

그래서 우리는 다중 값 자연수의 정의로 돌아갑니다.

정의.

다중값 자연수- 이들은 2 또는 3 또는 4 등으로 구성된 자연수입니다. 표지판. 즉, 여러 자리 자연수는 두 자리, 세 자리, 네 자리 등입니다. 숫자.

1000개로 구성된 집합이 천, 천은 백만, 천만은 10억, 천억은 1조. 천조, 천조 등도 자신의 이름을 붙일 수 있지만 특별히 그럴 필요는 없다.

그렇다면 다중 값 자연수의 의미는 무엇입니까?

여러 자리 자연수를 오른쪽에서 왼쪽으로 차례로 이어지는 한 자리 자연수로 살펴보겠습니다. 오른쪽의 숫자는 단위수, 다음은 십수, 그 다음은 백수, 그 다음은 천수, 그 다음은 만수, 그 다음은 십만 , 다음은 백만 수, 다음은 수천만, 다음은 수억, 다음은 수 - 십억, 그 다음은 - 천억, 그 다음은 - 천억, 그리고 - 수조, 그 다음 - 수십 조, 그 다음 - 수백 조 등등.

예를 들어, 여러 자리 자연수 7 580 521 해당 1 단위, 2 수십, 5 수백 0 수천 8 수만의 5 수십만과 7 수백만.

따라서 우리는 단위를 수십으로, 수십에서 수백으로, 수백에서 수천으로, 수천에서 수만 등으로 그룹화하는 방법을 배웠고, 여러 자리 자연수의 기록에 있는 숫자가 해당 숫자를 나타냄을 알아냈습니다. 위의 그룹.

자연수, 클래스 읽기.

우리는 이미 한 자리 자연수를 읽는 방법에 대해 언급했습니다. 다음 표의 내용을 마음으로 배워봅시다.

그리고 다른 두 자리 숫자는 어떻게 읽습니까?

예를 들어 설명하겠습니다. 자연수 읽기 74 . 위에서 알 수 있듯이 이 숫자는 7 수십과 4 단위, 즉, 70 그리고 4 . 우리는 방금 쓰여진 표로 돌아가서 숫자를 74 "Seventy-four"(우리는 결합 "and"를 발음하지 않음)로 읽습니다. 숫자를 읽고 싶다면 74 문장에서: "아니오 74 사과"(속격격)를 입력하면 "일흔네 개의 사과는 없습니다."와 같이 들립니다. 다른 예시. 숫자 88 - 이것 80 그리고 8 , 그러므로 우리는 읽습니다: "88." 그리고 다음은 문장의 예입니다. "그는 88 루블에 대해 생각하고 있습니다."

세 자리 자연수를 읽는 방법으로 넘어 갑시다.

이렇게 하려면 몇 가지 새로운 단어를 더 배워야 합니다.

나머지 세 자리 자연수를 읽는 방법을 보여줘야 합니다. 이 경우 한 자리 및 두 자리 숫자를 읽는 데 이미 습득한 기술을 사용합니다.

예를 들어 보겠습니다. 숫자를 읽자 107 . 이 숫자는 1 백과 7 단위, 즉, 100 그리고 7 . 테이블로 돌아가서 "백일곱"이라고 읽습니다. 이제 숫자를 말해보자 217 . 이 숫자는 200 그리고 17 그러므로 우리는 "이백 십일곱"이라고 읽습니다. 비슷하게, 888 - 이것 800 (팔백) 그리고 88 (팔십팔), 우리는 "팔백팔십팔"을 읽습니다.

우리는 여러 자리 숫자를 읽습니다.

읽기를 위해 여러 자리 자연수의 레코드는 오른쪽에서 시작하여 세 자리 그룹으로 나뉘며 가장 왼쪽에 있는 그룹에는 다음 중 하나가 있을 수 있습니다. 1 , 또는 2 , 또는 3 숫자. 이러한 그룹을 클래스. 오른쪽에 있는 클래스는 단위 클래스. 다음 클래스(오른쪽에서 왼쪽으로)가 호출됩니다. 수천 명의 클래스, 다음 클래스는 수백만의 클래스, 다음 - 수십억의 클래스, 다음 간다 조 클래스. 다음 클래스의 이름을 지정할 수 있지만 자연수는 다음으로 구성됩니다. 16 , 17 , 18 등. 징후는 귀로 인식하기가 매우 어렵기 때문에 일반적으로 읽지 않습니다.

여러 자리 숫자를 클래스로 나누는 예를 살펴보십시오(명확성을 위해 클래스는 작은 들여쓰기로 서로 구분됩니다). 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

기록 된 자연수를 읽는 방법을 배우기 쉽도록 테이블에 넣어 봅시다.

자연수를 읽으려면 클래스별로 구성되는 숫자를 왼쪽에서 오른쪽으로 호출하고 클래스 이름을 추가합니다. 동시에 우리는 단위 클래스의 이름을 발음하지 않으며 세 자리를 구성하는 클래스도 건너 뜁니다. 0 . 수업 기록의 왼쪽에 숫자가 있는 경우 0 또는 두 자리 0 , 다음 숫자를 무시하십시오 0 이 숫자를 버리고 얻은 숫자를 읽습니다. 0 . 예를 들어, 002 "2"로 읽고, 025 - "스물 다섯"처럼.

숫자를 읽자 489 002 주어진 규칙에 따라.

우리는 왼쪽에서 오른쪽으로 읽고,

• 숫자를 읽다 489 , 수천의 클래스를 나타내는 는 "사백팔십구"입니다.
• 클래스 이름을 추가하면 "사십팔만구천"이 됩니다.
• 우리가 보는 단위 클래스에서 더 나아가 002 , 0은 왼쪽에 있으므로 무시하므로 002 "2"로 읽습니다.
• 단위 클래스 이름을 추가할 필요가 없습니다.
• 결과적으로 우리는 489 002 - 사십팔만구천둘.

숫자 읽기 시작하자 10 000 501 .

• 수백만 클래스의 왼쪽에 숫자가 표시됩니다. 10 , 우리는 "10"을 읽습니다.
• 클래스 이름을 추가하면 "천만"이 있습니다.
• 다음으로 우리는 기록을 본다 000 천 단위 클래스에서는 세 자리가 모두 숫자이기 때문에 0 , 그런 다음 이 클래스를 건너뛰고 다음 클래스로 넘어갑니다.
• 단위 클래스는 숫자를 나타냅니다. 501 , 우리는 "오백일"이라고 읽습니다.
• 이와 같이, 10 000 501 1000만 501.

자세한 설명 없이 해봅시다. 1 789 090 221 214 - "1조 7천 8백 9십 억 9천만 221천 2백 14."

따라서 여러 자리 자연수를 읽는 기술은 여러 자리 숫자를 클래스로 나누는 능력, 클래스 이름에 대한 지식 및 세 자리 숫자를 읽는 능력을 기반으로 합니다.

자연수의 자릿수, 자릿수의 값.

자연수를 쓸 때 각 숫자의 값은 위치에 따라 다릅니다. 예를 들어, 자연수 539 해당 5 수백 3 수십과 9 단위, 따라서 그림 5 번호 입력에서 539 백의 수, 숫자를 정의합니다. 3 는 십의 수이고 숫자는 9 - 단위 수. 수라고 한다. 9 에 서다 단위 자릿수그리고 번호 9 이다 단위 자릿수 값, 숫자 3 에 서다 십 자리그리고 번호 3 이다 십 자리 값, 그리고 숫자 5 - 에 수백 장소그리고 번호 5 이다 수백 자리 값.

따라서, 해고하다- 이것은 한편으로는 자연수 표기법에서 숫자의 위치이고 다른 한편으로는 위치에 의해 결정되는 이 숫자의 값입니다.

순위에 이름이 부여되었습니다. 자연수 기록의 숫자를 오른쪽에서 왼쪽으로 보면 단위, 십, 백, 천, 수만, 수십만, 수백만, 수천만 및 곧.

범주 이름은 표 형식으로 표시될 때 기억하기 편리합니다. 15자리의 이름을 포함하는 테이블을 작성해 봅시다.

주어진 자연수의 자릿수는 이 숫자를 쓰는 데 관련된 문자 수와 같습니다. 따라서 기록 된 테이블에는 최대 15자를 포함하는 모든 자연수의 자릿수 이름이 포함됩니다. 다음 숫자에도 고유한 이름이 있지만 거의 사용되지 않으므로 언급하는 것이 의미가 없습니다.

자릿수 테이블을 사용하여 주어진 자연수의 자릿수를 결정하는 것이 편리합니다. 이렇게 하려면 이 자연수를 이 테이블에 기록하여 각 자릿수에 한 자릿수가 있고 가장 오른쪽 자릿수가 단위 자릿수에 있도록 해야 합니다.

예를 들어 보겠습니다. 자연수를 쓰자 67 922 003 942 표에 있고 이 숫자의 숫자와 값이 명확하게 표시됩니다.

이 숫자의 기록에서 숫자는 2 단위 자리, 자리에 서다 4 - 십의 자리에서 숫자 9 - 수백 곳 등 숫자에주의하십시오 0 , 수만, 수십만 자릿수입니다. 숫자 0 이 숫자에서 이 숫자의 단위가 없음을 의미합니다.

우리는 또한 다중값 자연수의 가장 낮은(가장 낮은) 및 가장 높은(높은) 범주를 언급해야 합니다. 하위(주니어) 계급모든 다중값 자연수는 단위 자릿수입니다. 자연수의 가장 높은(가장 높은) 자릿수이 숫자의 레코드에서 가장 오른쪽 숫자에 해당하는 숫자입니다. 예를 들어, 자연수 23004의 최하위 자릿수는 단위 자릿수이고 최상위 자릿수는 수만 자릿수입니다. 자연수의 표기법에서 왼쪽에서 오른쪽으로 자릿수만큼 이동하면 다음 각 자릿수가 낮은 (어린)이전 것. 예를 들어, 천의 자릿수는 수만의 자릿수보다 작고, 특히 천의 자릿수는 수십만, 백만, 수천만 등의 자릿수보다 작습니다. 자연수의 표기법에서 오른쪽에서 왼쪽으로 숫자를 이동하면 다음 각 숫자가 더 높은 (오래된)이전 것. 예를 들어, 백의 자리는 십의 자리보다 오래되었고, 더욱이 1의 자리보다 더 오래되었습니다.

경우에 따라(예: 덧셈이나 뺄셈을 수행할 때) 자연수 자체가 사용되지 않고 이 자연수의 비트 항의 합이 사용됩니다.

십진수 체계에 대해 간략히 설명합니다.

그래서 자연수에 대해 알게 되었고 자연수에 내재된 의미와 10자리 숫자를 사용하여 자연수를 쓰는 방법을 알게 되었습니다.

일반적으로 기호를 사용하여 숫자를 쓰는 방법을 숫자 체계. 숫자 항목의 숫자 값은 위치에 따라 달라질 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 숫자 항목의 숫자 값이 위치에 따라 달라지는 숫자 체계를 위치.

따라서 우리가 고려한 자연수와 작성 방법은 우리가 위치 수 체계를 사용하고 있음을 나타냅니다. 다음 사항에 유의해야 합니다. 특별한 장소이 숫자 체계에는 숫자가 있습니다 10 . 실제로 점수는 십 단위로 유지됩니다. 10 단위가 결합되면 10이 되고, 10 단위가 결합되면 100이 되고, 1000이 100 단위가 되는 식입니다. 숫자 10 ~라고 불리는 기초주어진 숫자 체계, 그리고 숫자 체계 자체는 소수.

10진수 시스템 외에도 다른 것들이 있습니다. 예를 들어 컴퓨터 과학에서는 이진 위치 수 시스템이 사용되며 다음과 같은 경우 60진수 시스템이 발생합니다. 우리는 얘기하고있다시간 측정에 대해.

서지.

• 수학. 교육 기관의 5개 클래스에 대한 모든 교과서.

자연수는 계산에 사용할 수 있습니다(사과 1개, 사과 2개 등).

정수(위도에서. 자연주의- 자연스러운; 자연수) - 셀 때 자연스럽게 발생하는 숫자(예: 1, 2, 3, 4, 5 ...). 오름차순으로 정렬된 모든 자연수의 수열을 자연스럽게 나란히.

자연수 정의에는 두 가지 접근 방식이 있습니다.

• 카운팅(넘버링)항목( 첫 번째, 두번째, 세 번째, 네번째, 다섯 번째"…);
• 자연수 - 다음과 같은 경우에 발생하는 숫자 수량 지정항목( 0개 항목, 1개 항목, 2개 항목, 3개 항목, 4개 항목, 5개 항목"...).

첫 번째 경우 일련의 자연수는 1부터 시작하고 두 번째 경우에는 0부터 시작합니다. 첫 번째 또는 두 번째 접근 방식(0을 자연수로 간주할지 여부)에 대한 대부분의 수학자에게는 공통된 의견이 없습니다. 대다수의 러시아 출처는 전통적으로 첫 번째 접근 방식을 채택했습니다. 예를 들어 두 번째 접근 방식은 Nicolas Bourbaki의 글에서 사용되며, 여기서 자연수는 유한 집합의 카디널리티로 정의됩니다.

음수 및 정수가 아닌(합리적, 실수, ...) 숫자는 자연수에 속하지 않습니다.

모든 자연수의 집합기호 N (\displaystyle \mathbb (N) )을 나타내는 것이 관례입니다. 자연주의- 자연스러운). 모든 자연수 n(\displaystyle n)에 대해 n(\displaystyle n)보다 큰 자연수가 있기 때문에 자연수 집합은 무한합니다.

0의 존재는 자연수 산술에서 많은 정리의 공식화 및 증명을 용이하게 하므로 첫 번째 접근 방식은 유용한 개념을 도입합니다. 확장된 자연 계열, 0을 포함합니다. 확장된 행은 N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) 또는 Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)) 로 표시됩니다.

자연수 집합을 정의하는 것을 가능하게 하는 공리

자연수에 대한 Peano 공리

주요 기사: 페아노의 공리

집합 N (\displaystyle \mathbb (N) )은 일부 요소가 고정되어 있으면 자연수의 집합이라고 합니다. 1 (하나) N (\displaystyle \mathbb (N) ) (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), 그리고 도메인 N(\displaystyle \mathbb (N) ) 및 범위 N (\displaystyle \mathbb (N) ) (승계 함수라고 함, S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) )) 다음 조건이 충족됩니다.

1. 단위는 자연수(1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ))입니다.
2. 자연수 뒤의 숫자도 자연수입니다(만약 x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) , 그러면 S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )) ;
3. 하나는 자연수를 따르지 않습니다 (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1))));
4. 자연수 a(\displaystyle a)가 자연수 b(\displaystyle b)와 자연수 c(\displaystyle c) 바로 뒤에 오는 경우 b = c (\displaystyle b=c) (if S (b ) = a (\displaystyle S(b)=a) 및 S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , b = c (\displaystyle b=c));
5. (귀납의 공리) 임의의 문장(명제) P(\displaystyle P)가 자연수 n = 1(\displaystyle n=1)에 대해 증명된 경우( 유도 베이스) 그리고 다른 자연수 n(\displaystyle n)에 대해 참이라는 가정이 n(\displaystyle n) 다음에 오는 자연수에 대해 참임을 암시하는 경우( 귀납 가설), 이 명제는 모든 자연수에 대해 참입니다( P (n) (\displaystyle P(n)) 을 매개변수가 자연수 n (\displaystyle n) 인 어떤 한 자리(단항) 술어가 되도록 하십시오. P (1 ) (\displaystyle P(1)) 및 ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\오른쪽 화살표 P(S(n)) ))) , ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

위의 공리는 자연 급수와 수선에 대한 직관적인 이해를 반영합니다.

근본적인 사실은 이러한 공리가 본질적으로 고유하게 자연수(Peano 공리 시스템의 범주적 특성)를 결정한다는 것입니다. 즉, (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) 및 (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ( (\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))는 Peano 공리 시스템에 대한 두 가지 모델이며, 그러면 반드시 동형이어야 합니다. 즉, 역 매핑이 존재합니다. (전사) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) f (1) = 1 ~ (\displaystyle f( 1) =(\tilde (1))) 및 f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)) ) 모든 x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

따라서 자연수 집합의 특정 모델을 N (\displaystyle \mathbb (N) )로 고정하는 것으로 충분합니다.

자연수의 집합-이론적 정의(Frege-Russell 정의)

집합 이론에 따르면 모든 수학적 시스템을 구성하는 유일한 대상은 집합입니다.

따라서 두 가지 규칙에 따라 집합의 개념을 기반으로 자연수도 도입됩니다.

• S (n) = n ∪ ( n ) (\displaystyle S(n)=n\cup \left\(n\right\)) .

이렇게 정의된 숫자를 서수라고 합니다.

처음 몇 개의 서수와 해당하는 자연수를 설명하겠습니다.

• 0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing ) ;
• 1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\displaystyle 1=\left\(0\right\)=\left\(\varnothing \right\)) ;
• 2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\displaystyle 2=\left\(0,1\right\)=(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \ 오른쪽\)(\큰 \))) ;
• 3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\디스플레이 스타일 3=\왼쪽\(0,1,2\오른쪽\)=(\큰 \() \varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )) .

자연수인 0

때때로, 특히 외국 및 번역 문헌에서 Peano의 첫 번째 및 세 번째 공리는 1을 0으로 대체합니다. 이 경우 0은 자연수로 간주됩니다. 등가 집합의 클래스로 정의할 때 0은 정의상 자연수입니다. 구체적으로 폐기하는 것은 부자연스럽습니다. 또한, 이것은 대부분의 구성에서 빈 집합과 같이 0이 고립된 것이 아니기 때문에 이론의 추가 구성 및 적용을 상당히 복잡하게 만듭니다. 0을 자연수로 간주하는 또 다른 이점은 N (\displaystyle \mathbb (N) )이 모노이드를 형성한다는 것입니다.

러시아 문헌에서 0은 일반적으로 자연수의 수에서 제외되며(0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N))), 0이 있는 자연수의 집합은 N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0) ) . 자연수의 정의에 0이 포함되면 자연수 집합은 N (\displaystyle \mathbb (N) ) 으로 작성되고 0이 없는 경우 - N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) ) .

국제 수학 문헌에서 위의 사항을 고려하고 모호성을 피하기 위해 집합 ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \))는 일반적으로 양의 정수 집합이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다. Z + (\displaystyle\mathbb (Z) _(+)) . 집합 ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \))는 종종 음이 아닌 정수의 집합이라고 하며 Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(\ geqslant 0)) .

정수 집합(Z (\displaystyle \mathbb (Z))) 중 자연수 집합(N (\displaystyle \mathbb (N)))의 위치, 유리수(Q (\displaystyle \mathbb (Q) )), 실수(R (\displaystyle \mathbb (R) )) 및 무리수(R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) ))

자연수 집합의 값

무한 집합의 크기는 유한 집합의 요소 수를 무한 집합으로 일반화한 "집합의 거듭제곱" 개념이 특징입니다. 크기(즉, 카디널리티)에서 자연수 집합은 유한 집합보다 크지만 간격 (0 , 1) (\displaystyle (0,1)) 과 같은 간격보다 작습니다. 자연수 집합은 유리수 집합과 동일한 카디널리티를 갖습니다. 자연수의 집합과 같은 카디널리티의 집합을 셀 수 있는 집합이라고 합니다. 따라서 모든 시퀀스의 항 집합은 셀 수 있습니다. 동시에, 자연수의 집합은 분리된 가산 집합의 가산 합집합으로 표현될 수 있기 때문에 각 자연수가 무한번 발생하는 수열이 있습니다(예: N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0) )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\right)))).

자연수 연산

자연수에 대한 폐쇄 연산(자연수 집합의 결과를 출력하지 않는 연산)에는 다음과 같은 산술 연산이 포함됩니다.

• 덧셈: 항 + 항 = 합계;
• 곱셈: 승수 × 승수 = 곱;
• 지수화: a b (\displaystyle a^(b)) , 여기서 a (\displaystyle a)는 지수의 밑수, b (\displaystyle b)는 지수입니다. a(\displaystyle a)와 b(\displaystyle b)가 자연수이면 결과도 자연수입니다.

또한 두 가지 연산이 더 고려됩니다(형식적 관점에서 자연수에 대한 연산은 정의되지 않았기 때문에 자연수에 대한 연산이 아닙니다. 모두숫자 쌍(존재할 때도 있고 없을 때도 있음):

• 빼기: 빼기 - 빼기 = 차이. 이 경우 빼기는 감수보다 커야 합니다(또는 0을 자연수로 간주하는 경우 동일해야 함).
• 나머지로 나누기: 피제수 / 제수 = (몫, 나머지). a(\displaystyle a)를 b(\displaystyle b)로 나눌 때의 몫 p(\displaystyle p)와 나머지 r(\displaystyle r)은 다음과 같이 정의됩니다. a = p ⋅ b + r (\displaystyle a= p\cdot b+ r) 및 0 ⩽ r b (\displaystyle 0\leqslant r은 a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a) 로 나타낼 수 있습니다. 즉, 임의의 숫자를 고려할 수 있습니다. private, 나머지는 a (\displaystyle a) .

덧셈과 곱셈 연산은 기본적이라는 점에 유의해야 합니다. 특히, 정수의 고리는 덧셈과 곱셈의 이진 연산을 통해 정확하게 정의됩니다.

기본 속성

• 덧셈의 ​​교환성:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

• 곱셈의 가환성:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

• 덧셈의 ​​결합 법칙:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)) .

• 곱셈의 연관성:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

• 덧셈에 대한 곱셈의 분포:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))) .

대수 구조

덧셈은 자연수 집합을 1인 반군으로 변환하고 1의 역할은 다음과 같습니다. 0 . 곱셈은 ​​또한 자연수 집합을 단위가 있는 반군으로 변환하는 반면, 항등 요소는 다음과 같습니다. 1 . 덧셈-뺄셈 및 곱셈-나눗셈 연산에서 종료하면 정수 Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) 및 유리수 양수 Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) 의 그룹이 각각 생성됩니다. .

집합 이론 정의

유한 집합의 등가 클래스로 자연수의 정의를 사용합시다. 집합의 등가 클래스를 표시하면 ㅏ, 대괄호를 사용하여 전사에 의해 생성됨: [ ㅏ], 기본 산술 연산은 다음과 같이 정의됩니다.

• [ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] (\디스플레이 스타일 [A]+[B]=) ;
• [ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\디스플레이 스타일 [A]\cdot [B]=) ;
• [ A ] [ B ] = [ A B ] (\디스플레이 스타일([A])^([B])=) ,

• A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - 집합의 분리된 합집합;
• A × B (\displaystyle A\times B) - 직접 제품;
• A B (\displaystyle A^(B)) - 디스플레이 세트 비~에 ㅏ.

클래스에 대한 결과 연산이 올바르게 도입되었음을 알 수 있습니다. 즉, 클래스 요소의 선택에 의존하지 않고 귀납적 정의와 일치합니다.

자연수란? 역사, 범위, 속성

수학은 기원전 6세기경 일반 철학에서 등장했습니다. e. 그리고 그 순간부터 그녀의 승리의 행진이 시작되었습니다. 개발의 각 단계는 새로운 것을 도입했습니다. 기본 계정이 진화하고 미분 및 적분 미적분학으로 변형되었으며 수세기가 바뀌고 공식이 점점 더 혼란스러워졌으며 "가장 많이 복잡한 수학"숫자가 모두 사라졌습니다." 그러나 그 근거는 무엇이었습니까?

시간의 시작

자연수는 최초의 수학 연산과 함께 나타났습니다. 한 번 척추, 두 개의 가시, 세 개의 가시 ... 최초의 자릿수 체계를 개발한 인도 과학자들 덕분에 등장했습니다.
"위치성"이라는 단어는 숫자에서 각 숫자의 위치가 엄격하게 정의되고 해당 범주에 해당한다는 것을 의미합니다. 예를 들어, 숫자 784와 487은 같은 숫자이지만 첫 번째는 700을 포함하고 두 번째는 4만 포함하기 때문에 숫자가 같지 않습니다. 아랍인들은 숫자를 형식으로 가져온 인디언의 혁신을 받아들였습니다. 우리가 지금 알고 있습니다.

고대에는 숫자에 신비한 의미가 부여되었으며 가장 위대한 수학자 피타고라스는 숫자가 불, 물, 흙, 공기와 같은 주요 요소와 함께 세계 창조의 기초가 된다고 믿었습니다. 수학적 측면에서만 모든 것을 고려한다면 자연수는 무엇입니까? 자연수 필드는 N으로 표시되며 정수와 양수인 1, 2, 3, … + ∞의 무한한 일련의 숫자입니다. 제로는 제외됩니다. 그것은 주로 항목을 세고 순서를 나타내는 데 사용됩니다.

수학에서 자연수는 무엇입니까? 페아노의 공리

필드 N은 초등 수학이 의존하는 기본 필드입니다. 시간이 지남에 따라 정수, 유리수, 복소수의 필드가 구별되었습니다.

이탈리아 수학자 주세페 페아노(Giuseppe Peano)의 연구는 산술의 추가 구조화를 가능하게 하고 형식을 달성했으며 필드 N을 넘어서는 추가 결론을 위한 길을 열었습니다. 자연수는 이전에 간단한 언어로 설명되었으며 아래에서는 Peano의 공리를 기반으로 한 수학적 정의를 고려할 것입니다.

• 하나는 자연수로 간주됩니다.
• 자연수 뒤에 오는 수는 자연수입니다.
• 1 앞에 자연수는 없습니다.
• 숫자 b가 숫자 c와 숫자 d 모두 뒤에 오는 경우 c=d입니다.
• 자연수가 무엇인지 보여주는 귀납 공리: 매개변수에 의존하는 일부 진술이 숫자 1에 대해 참이면 자연수 N 필드의 숫자 n에도 적용된다고 가정합니다. 그런 다음 이 진술은 자연수 N 필드의 n =1에 대해서도 참입니다.

자연수 분야의 기본 연산

필드 N이 수학적 계산의 첫 번째 필드가 되었기 때문에 아래의 여러 연산의 정의 영역과 값 범위가 모두 이를 참조합니다. 그들은 닫혀 있지 않습니다. 주요 차이점은 닫힌 작업은 관련된 숫자에 관계없이 집합 N 내에 결과를 남기는 것이 보장된다는 것입니다. 자연스러우면 충분합니다. 나머지 숫자 상호 작용의 결과는 더 이상 모호하지 않으며 기본 정의와 모순될 수 있으므로 표현식에 포함된 숫자의 종류에 직접적으로 의존합니다. 따라서 폐쇄 작업:

• 더하기 – x + y = z, 여기서 x, y, z는 필드 N에 포함됩니다.
• 곱셈 - x * y = z, 여기서 x, y, z는 필드 N에 포함됩니다.
• 지수 - xy, 여기서 x, y는 N 필드에 포함됩니다.

"자연수란 무엇인가"라는 정의의 맥락에서 결과가 존재하지 않을 수 있는 나머지 연산은 다음과 같습니다.

필드 N에 속하는 숫자의 속성

모든 추가 수학적 추론은 가장 사소하지만 덜 중요한 다음 속성을 기반으로 합니다.

• 덧셈의 ​​가환 속성은 x + y = y + x이며, 여기서 숫자 x, y는 필드 N에 포함됩니다. 또는 잘 알려진 "합은 항의 위치가 바뀌어도 변하지 않습니다."
• 곱셈의 교환 속성은 x * y = y * x이며, 여기서 숫자 x, y는 필드 N에 포함됩니다.
• 덧셈의 ​​연관 속성은 (x + y) + z = x + (y + z)입니다. 여기서 x, y, z는 필드 N에 포함됩니다.
• 곱셈의 연관 속성은 (x * y) * z = x * (y * z)입니다. 여기서 숫자 x, y, z는 필드 N에 포함됩니다.
• 분포 속성 - x (y + z) = x * y + x * z, 여기서 숫자 x, y, z는 필드 N에 포함됩니다.

피타고라스식 표

어떤 숫자가 자연이라고 불리는지 스스로 이해한 후 학생들이 초등 수학의 전체 구조에 대한 지식의 첫 번째 단계 중 하나는 피타고라스 표입니다. 과학의 관점에서 볼 때뿐만 아니라 귀중한 과학적 기념물로 간주 될 수 있습니다.

이 곱셈 테이블은 시간이 지남에 따라 여러 가지 변경 사항을 거쳤습니다. 0이 제거되었으며 1에서 10까지의 숫자는 주문(수백, 수천 ...)을 고려하지 않고 자체를 나타냅니다. 행과 열의 머리글이 숫자이고 교차하는 셀의 내용이 곱과 같은 테이블입니다.

최근 수십 년 동안의 교수법에서는 피타고라스 표를 "순서대로" 암기할 필요가 있었습니다. 즉, 암기가 먼저였습니다. 1의 곱은 결과가 1 이상이므로 제외했습니다. 한편, 육안으로 테이블에서 패턴을 볼 수 있습니다. 숫자의 곱이 라인의 제목과 같은 한 단계씩 증가합니다. 따라서 두 번째 요소는 원하는 제품을 얻기 위해 첫 번째 요소를 몇 번 취해야 하는지 보여줍니다. 이 시스템중세 시대에 행해진 것과는 달리 자연수가 무엇이고 그것이 얼마나 사소한지 이해하더라도 사람들은 2의 거듭제곱을 기반으로 하는 시스템을 사용하여 일상적인 계산을 복잡하게 만들었습니다.

수학의 요람으로서의 부분집합

에 이 순간자연수 N 필드는 복소수의 하위 집합 중 하나로 간주되지만 이것이 과학에서 덜 가치있게 만들지는 않습니다. 자연수는 아이가 자신과 주변 세계를 공부하면서 가장 먼저 배우는 것입니다. 한 손가락, 두 손가락 ... 덕분에 사람은 논리적 사고와 원인을 결정하고 결과를 추론하는 능력을 개발하여 위대한 발견의 길을 닦습니다.

토론: 자연수

제로를 둘러싼 논란

어째서인지 0을 자연수로 상상할 수 없다... 고대인들은 0을 전혀 몰랐던 것 같다. 네, 그리고 TSB는 0을 자연수로 간주하지 않습니다. 그래서 적어도 그것은 논쟁의 여지가 있습니다. 0에 대해 좀 더 중립적으로 말할 수 있습니까? 아니면 좋은 주장이 있습니까? --.:Ajvol:. 2004년 9월 9일 18:18(UTC)

복구하다 마지막 변경. --최대 20:24 2004년 9월 9일(UTC)

프랑스 아카데미는 한때 자연수 집합에 0이 포함된다는 특별 법령을 발표했습니다. 이제 이것이 표준입니다. 제 생각에는 "러시아 자연수"의 개념을 도입할 필요는 없지만 이 표준을 준수해야 합니다. 당연히 한 번은 그렇지 않았다는 사실을 언급해야 합니다(러시아뿐만 아니라 모든 곳에서). Tosha 23:16, 2004년 9월 9일(UTC)

프랑스 아카데미는 우리를 위한 법령이 아닙니다. 영어 수학 문헌에도 이 문제에 대한 확고한 의견이 없습니다. 예를 들어 --Maxal 23:58, 2004년 9월 9일(UTC) 참조

거기 어딘가에 "논쟁의 여지가 있는 문제에 대한 기사를 작성하는 경우 모든 관점을 제시하고 다양한 의견에 대한 링크를 제공하십시오."라고 되어 있습니다. 베스 섬 23:15, 2004년 12월 25일(UTC)

여기 안보이네 논쟁 적 이슈, 하지만 나는 다음을 봅니다: 1) 다른 참가자의 텍스트를 크게 변경/삭제하여 다른 참가자에 대한 무례함(중요한 변경을 하기 전에 논의하는 것이 일반적임); 2) 엄격한 정의(집합의 카디널리티를 나타냄)를 불분명한 정의로 대체("번호 매기기"와 "수량 표기" 사이에 큰 차이가 있습니까?). 그래서 롤백을 다시 해보지만 마지막으로 한마디 남깁니다. --최대 23:38, 2004년 12월 25일(UTC)

무례함은 내가 당신의 리베이트를 보는 방식일 뿐입니다. 그래서 그것에 대해 이야기하지 맙시다. 내 편집 본질을 바꾸지 않는다기사에서는 두 가지 정의만 명확하게 공식화합니다. 이전 버전의 기사에서는 "0이 없는" 정의를 주요 정의로, "0이 있는"을 일종의 반체제로 규정했습니다. 이것은 Wikipedia의 요구 사항을 절대적으로 충족하지 않으며(위의 인용문 참조) 과학적인 스타일의 진술 이전 버전. "수량 지정"에 대한 설명과 "번호 매기기"에 대한 "열거"에 대한 설명으로 "세트의 카디널리티"라는 문구를 추가했습니다. 그리고 "번호 매기기"와 "수량 지정"의 차이가 보이지 않는다면, 그렇다면 왜 수학 기사를 편집합니까? 베스 섬 23:58, 2004년 12월 25일(UTC)

"본질을 바꾸지 않는다"에 관해서는 - 이전 버전에서는 정의의 차이가 자연수를 0으로 지칭하는 데 있을 뿐이라고 강조했습니다. 귀하의 버전에서 정의는 근본적으로 다른 것으로 표시됩니다. "기본" 정의에 관해서는 그렇게 해야 합니다. 왜냐하면 이 기사는 러시아인 Wikipedia, 기본적으로 당신이 말하는 것을 고수해야 함을 의미합니다. 일반적으로 러시아 수학 학교에서 인정. 습격을 무시합니다. --최대 00:15, 2004년 12월 26일(UTC)

사실 이것은 단지 0의 차이일 뿐입니다. 사실, 이것은 정확히 자연수의 본질에 대한 다른 이해에서 비롯된 기본적인 차이입니다. 한 가지 버전에서 - 수량으로; 다른 - 숫자로. 이것은 물론 다른 개념당신이 그것을 이해하지 못한다는 것을 숨기려고 아무리 애를 써도.

러시아 Wikipedia에서는 러시아의 관점을 지배적인 관점으로 인용해야 한다는 사실에 대해. 여기를 잘 보세요. 크리스마스에 관한 영어 기사를 보십시오. 영국과 미국에서는 크리스마스를 12월 25일에 축하해야 한다고 말하지 않습니다. 두 가지 관점이 모두 제공되며(그리고 "0이 있는" 자연수와 "0이 없는" 자연수가 다름) 그 중 어느 것이 더 정확한지에 대한 단 한 단어도 제공하지 않습니다.

내 기사 버전에서는 두 가지 관점 모두 독립적이고 동등하게 유효한 것으로 지정됩니다. 러시아어 표준은 위에서 언급한 단어로 표시됩니다.

아마도 철학적 관점에서 자연수의 개념은 실제로 물론다르지만 이 기사는 본질적으로 수학적 정의를 제공합니다. 여기서 차이는 0 ∈ N (\displaystyle 0\in \mathbb (N) ) 또는 0 ∉ N (\displaystyle 0\not \in \mathbb (N) ) 입니다. 지배적 관점이냐 아니냐는 미묘한 문제다. 나는 그 구절을 높이 평가한다 12월 25일 대부분의 서방 세계에서 관찰됨첫 번째 단락에 다른 날짜가 주어지지 않은 지배적인 관점을 표현하는 것으로 크리스마스에 관한 영어 기사에서 발췌했습니다. 그건 그렇고, 자연수에 대한 이전 버전의 기사에서도 어떻게 직접적인 표시가 없었습니다. 필요한자연수를 결정하기 위해 0이 없는 정의만 더 일반적인 것으로 제시되었습니다(러시아에서는). 어쨌든 타협점을 찾은 것은 좋은 일입니다. --최대 00:53, 2004년 12월 26일(UTC)

다소 불쾌한 것은 "러시아 문헌에서 0은 일반적으로 자연수에서 제외됩니다"라는 표현입니다. 여러분, 전 세계에서 달리 지정되지 않는 한 0은 자연수로 간주되지 않습니다. 내가 읽는 한 동일한 프랑스어는 0의 포함을 구체적으로 규정합니다. 물론 N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) 가 더 자주 사용되지만, 예를 들어 내가 여자를 좋아한다면 남자를 여자로 바꾸지 않을 것입니다. 드루이드. 2014-02-23

자연수의 인기 없음

자연수는 수학 기사에서 인기가 없는 주제인 것 같습니다(아마도 단일 정의가 없기 때문에). 내 경험상, 나는 종종 수학 기사에서 용어를 접합니다. 정수가 아닌 정수그리고 정수 정수(명확하게 해석되는) 보다 정수. 이해 당사자는 이 관찰에 대한 (반대) 동의를 표명해야 합니다. 이 관찰이 뒷받침된다면 기사에 그것을 표시하는 것이 합리적입니다. --최대 01:12, 2004년 12월 26일(UTC)

의심의 여지 없이, 당신은 당신의 진술의 요약 부분이 옳습니다. 이는 모두 정의의 차이 때문입니다. 나는 어떤 경우에는 0을 포함하는 것과 관련된 불일치를 피하기 위해 "자연적" 대신 "양의 정수" 또는 "음이 아닌 정수"를 표시하는 것을 선호합니다. 그리고 나는 일반적으로 수술 부분에 동의합니다. Bes Island 01:19, 26 Dec 2004 (UTC) 기사에서 - 예, 아마도 그렇습니다. 그러나 더 방대한 텍스트와 개념이 자주 사용되는 곳에서는 일반적으로 여전히 사용합니다. 정수, 그러나 예비적이지만 0이 있든 없든 "어떤" 자연수에 대해 이야기하고 있는지 설명합니다. LoKi 07:31 PM 2005년 7월 30일(UTC)

숫자

이 기사의 마지막 부분에 숫자 이름(1, 2, 3 등)을 나열할 가치가 있습니까? 이것을 Number 기사에 넣는 것이 더 합리적이지 않습니까? 그래도 내 생각에 이 기사는 본질적으로 더 수학적이어야 합니다. 당신은 어떻게 생각하십니까? --LoKi 07:32 PM, 2005년 7월 30일(UTC)

일반적으로 *빈* 집합에서 일반 자연수를 얻는 것이 어떻게 가능한지 이상합니다. 일반적으로 얼마나 많은 공허함과 공허함이 결합되지 않는지, 공허함을 제외하고는 아무 것도 작동하지 않을 것입니다! 그것은 전혀 대안적 정의가 아닙니까? 2009년 7월 17일 21:46에 게시됨(모스크바)

Peano 공리 체계의 범주적 성격

나는 Peano's axioms의 체계의 범주적 성격에 대한 언급을 추가했는데, 이것은 내 생각에 근본적인 것입니다. 책에 대한 링크의 형식을 올바르게 지정하세요.[[User:A_Devyatkov 06:58, June 11, 2010 (UTC)]]

페아노의 공리

거의 모든 외국 문헌과 Wikipedia에서 Peano의 공리는 "0은 자연수"로 시작합니다. 실제로 원문에는 "1은 자연수"라고 쓰여 있습니다. 그러나 1897년 Peano가 변경하여 1을 0으로 변경했습니다. 이것은 "Formulaaire de mathematiques", Volume II - No. 2에 기록되어 있습니다. 81페이지. 오른쪽 페이지의 전자 버전에 대한 링크입니다.

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up(fr).

이러한 변경 사항에 대한 설명은 "Rivista di matematica", Volume 6-7, 1899, page 76에 나와 있습니다. 또한 오른쪽 페이지의 전자 버전에 대한 링크:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up(이탈리아어).

0=0

"디지털 턴테이블 공리"란 무엇입니까?

기사를 최신 순찰 버전으로 롤백하고 싶습니다. 첫째, 누군가 Peano의 공리를 Piano's axioms로 이름을 변경했는데 링크가 작동을 멈췄기 때문입니다. 둘째, 특정 Curd가 기사에 매우 많은 정보를 추가했는데, 제 생각에는 이 기사에서 완전히 부적절합니다. 또한 백과사전 없이 작성된 Tvorogov 자신의 결과와 자신의 책에 대한 링크가 제공됩니다. 나는 이 기사에서 "디지털 턴테이블 공리"에 대한 섹션을 제거해야 한다고 주장합니다. 추신. 숫자 0에 대한 섹션이 제거된 이유는 무엇입니까? mesyarik 14:58, 2014년 3월 12일(UTC)

주제가 공개되지 않았으며, 자연수에 대한 명확한 정의가 필요합니다.

"와 같은 이단을 쓰지 마십시오. 자연수(자연수) - 셀 때 자연스럽게 생기는 숫자."자연적으로 뇌에는 아무 것도 일어나지 않습니다. 당신이 거기에 정확히 무엇을 넣을 것입니다.

그리고 다섯 살짜리 아이에게 자연수는 무엇인지 어떻게 설명할 수 있을까요? 결국 다섯 살이라고 설명해야 할 사람들이 있다. 자연수는 일반수와 어떻게 다릅니까? 필요한 예! 1, 2, 3은 내츄럴, 12는 내츄럴, 그리고 -12? 및 4분의 3, 또는 예를 들어 4.25 자연? 95.181.136.132 2014년 11월 6일 오후 3시 09분(UTC)

• 자연수는 기본 개념, 초기 추상화입니다. 정의할 수 없습니다. 당신은 당신이 원하는 만큼 철학에 깊이 들어갈 수 있지만, 결국 당신은 어떤 엄격한 형이상학적 태도를 인정해야 합니다(신앙으로 받아들이나요?) 아니면 절대적인 정의가 없다는 것을 인정해야 합니다, 자연수는 인공적인 형식 체계의 일부입니다 , 사람(또는 신)이 고안한 모델). 여기에 이 ​​주제에 대한 흥미로운 논문이 있습니다. 예를 들어 이 옵션은 어떻습니까? "자연 급수는 구체적인 Peano 시스템, 즉 Peano의 공리 이론의 모델입니다." 기분이 나아지 다? RomanSuzi 17:52, 2014년 11월 6일(UTC)
  • 당신의 모델과 공리 이론으로 모든 것을 복잡하게 만드는 것 같습니다. 이 정의는 다음에서 이해될 것입니다. 가장 좋은 경우천 명 중 두 명. 따라서 첫 번째 단락에 " 간단한 말로: 자연수는 1부터 시작하는 양의 정수입니다." 그런 정의는 대부분 정상으로 들립니다. 그리고 자연수의 정의를 의심할 이유가 되지 않습니다. 결국 기사를 읽고 나서 까지 정말 이해가 되지 않았습니다. 끝 자연수는 무엇이며 숫자 807423은 자연수 또는 자연수는 이 숫자로 구성된 숫자입니다. 즉 8 0 7 4 2 3 다른 페이지로.95.181.136.132 10:03, 2014년 11월 7일(UTC)
    • 여기서 두 가지 작업을 구별할 필요가 있습니다. (1) 수학에서 멀리 떨어져 있는 독자에게 자연수가 무엇인지 명확하게(엄밀하게는 아니지만) 설명하여 어느 정도 정확하게 이해하도록 하는 것. (2) 자연수의 기본 속성을 따르는 자연수의 엄격한 정의를 제공합니다. 당신은 전문의 첫 번째 옵션에 찬성하는 것이 옳지만 기사에 주어진 것은 바로 그것입니다. 자연수는 1, 2, 3 등의 수학적 공식화입니다. 귀하의 예(807423)는 다음과 같이 할 수 있습니다. 계산할 때 확실히 밝혀집니다. 이는 또한 자연수를 의미합니다. 왜 숫자를 혼합하고 숫자로 쓰는 방식을 사용하는지 명확하지 않습니다. 이것은 숫자의 정의와 직접적인 관련이 없는 별도의 주제입니다. 귀하의 설명: 자연수는 1부터 시작하는 양의 정수입니다.» 다음보다 작게 정의할 수 없기 때문에 좋지 않습니다. 일반 개념(자연수)를 통해 아직 정의되지 않은 더 일반적인 (숫자). 양의 정수가 무엇인지는 알지만 자연수가 무엇인지는 모르는 독자를 상상하기는 어렵습니다. LGB 12:06 2014년 11월 7일(UTC)
      • 자연수는 정수로 정의할 수 없습니다. RomanSuzi 17:01, 2014년 11월 7일(UTC)

• "당연히 뇌에서는 아무 일도 일어나지 않습니다." 최근 연구에 따르면 인간의 두뇌는 언어를 사용할 준비가 되어 있습니다(지금은 링크를 찾을 수 없습니다). 따라서 자연스럽게 우리는 이미 유전자에 언어를 마스터할 준비가 되어 있습니다. 글쎄, 자연수의 경우 이것이 당신이 필요로 하는 것입니다. "1"의 개념은 손으로 보여줄 수 있으며, 그런 다음 유도에 의해 막대기를 추가하고 2, 3을 얻는 등의 방식으로 표시할 수 있습니다. 또는: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. 그러나 권위 있는 출처를 기반으로 기사를 개선하기 위한 구체적인 제안이 있습니까? RomanSuzi 17:57, 2014년 11월 6일(UTC)

수학에서 자연수는 무엇입니까?

블라디미르 Z

자연수는 개체를 열거하고 개체의 수를 계산하는 데 사용됩니다. 번호 매기기에는 1부터 시작하는 양의 정수가 사용됩니다.

그리고 숫자를 세기 위해 여기에 0도 포함되어 개체가 없음을 나타냅니다.

자연수의 개념이 숫자 0을 포함하는지 여부는 공리학에 따라 다릅니다. 어떤 수학 이론을 제시하기 위해 자연수 집합에 0이 있어야 하는 경우, 이는 이 이론 내에서 규정되고 논쟁의 여지가 없는 진리(공리)로 간주됩니다. 양수와 음수 모두 0의 정의는 이것에 매우 가깝습니다. 모든 NON-NEGATIVE 정수의 집합으로 자연수의 정의를 취하면 숫자 0은 무엇입니까 - 양수 또는 음수는 무엇입니까?

에 실용적인 응용 프로그램, 원칙적으로 숫자 0을 포함하지 않는 첫 번째 정의가 사용됩니다.

연필

자연수는 양의 정수입니다. 자연수는 개체 수를 세거나 개체 수를 나타내거나 목록에 있는 개체의 일련 번호를 나타내는 데 사용됩니다. 일부 저자는 "자연수"의 개념에 인위적으로 0을 포함합니다. 다른 사람들은 "자연수와 0"이라는 표현을 사용합니다. 이것은 비원칙적입니다. 임의의 큰 자연수를 사용하여 다른 자연수로 더하기 연산을 수행하고 더 큰 수를 얻을 수 있기 때문에 자연수의 집합은 무한합니다.

음수와 정수가 아닌 숫자는 자연수 집합에 포함되지 않습니다.

사야인

자연수는 계산에 사용되는 숫자입니다. 그들은 긍정적이고 전체적 일 수 있습니다. 예에서 이것은 무엇을 의미합니까? 이 숫자는 계산에 사용되므로 무언가를 계산해 보겠습니다. 무엇을 셀 수 있습니까? 예를 들어, 사람들. 1명, 2명, 3명 등으로 사람을 셀 수 있습니다. 계산에 사용되는 1, 2, 3 및 기타 숫자는 자연 수입니다. 우리는 -1(빼기 1) 사람 또는 1.5(1.5) 사람(말장난에 대해 죄송합니다 :)이라고 말하지 않으므로 -1과 1.5(모든 음수 및 분수와 마찬가지로)는 자연수가 아닙니다.

로렐라이

자연수는 물체를 셀 때 사용되는 숫자입니다.

가장 작은 자연수는 1입니다. 0이 자연수인지 여부에 대한 질문이 종종 발생합니다. 아니요, 대부분의 러시아 소스에는 없지만 다른 국가에서는 숫자 0이 자연스러운 것으로 인식됩니다 ...

모렐주바

수학에서 자연수는 무언가 또는 누군가를 순차적으로 계산하는 데 사용되는 숫자입니다. 1은 가장 작은 자연수로 간주됩니다. 대부분의 경우 0은 자연수 범주에 속하지 않습니다. 여기에도 음수는 포함되지 않습니다.

슬라브 인사드립니다.

자연수는 자연수이며 계산할 때 일반적인 방식으로 발생하는 숫자로 0보다 큽니다. 오름차순으로 배열된 각 자연수의 수열을 자연 급수라고 합니다.

엘레나 니키투크

자연수라는 용어는 수학에서 사용됩니다. 양의 정수를 자연수라고 합니다. 가장 작은 자연수는 "0"으로 간주됩니다. 무엇이든 계산하기 위해 동일한 자연수(예: 1,2,3 ... 등)를 사용합니다.

자연수는 우리가 계산하는 숫자입니다. 즉, isla 1, 2, 3, 4, 5이고 나머지는 자연수입니다.

이들은 반드시 0보다 큰 양수입니다.

분수는 또한 자연수 집합에 속하지 않습니다.

-난초-

자연수는 무언가를 셀 때 필요합니다. 1부터 시작하는 일련의 양수입니다. 이 숫자는 독점적으로 정수라는 것을 아는 것이 중요합니다. 모든 것은 자연수로 셀 수 있습니다.

마를레나

자연수는 정수이며 일반적으로 개체를 셀 때 사용합니다. 0은 일반적으로 계산에 사용하지 않기 때문에 자연수 영역에 포함되지 않습니다.

Inara-pd

자연수는 1, 2, 3 등으로 계산하는 데 사용하는 숫자입니다.

자연수는 인간의 실제적인 필요에서 생겨났습니다.

자연수는 10자리로 작성됩니다.

0은 자연수가 아닙니다.

자연수란?

나우멘코

숫자를 자연수라고 합니다. 자연 (꽃, 나무, 동물, 새 등) 개체의 번호를 매기고 계산하는 데 사용됩니다.

정수라고 합니다 숫자 자연, 반대 및 0,

설명하다. 정수를 통해 자연스러운 것은 잘못된 것입니다!! !

숫자는 2로 나누어 떨어지는 짝수, 2로 나누어 떨어지지 않는 홀수입니다.

숫자를 소수라고 합니다. 2개의 제수만 가짐 - 하나와 자기 자신 ...
첫 번째 방정식에는 해가 없습니다. 두 번째 x=6 6 자연수에 대해.

자연수(자연수) - 계산할 때 자연스럽게 발생하는 숫자(열거의 의미와 미적분의 의미 모두).

모든 자연수의 집합은 일반적으로 \mathbb(N)로 표시됩니다. 모든 자연수에는 더 큰 자연수가 있기 때문에 자연수의 집합은 무한합니다.

안나 세멘첸코

계산하는 동안 자연스럽게 발생하는 숫자(열거의 의미와 미적분의 의미 모두).
자연수 정의에는 두 가지 접근 방식이 있습니다.
항목의 열거(번호 매기기)(첫 번째, 두 번째, 세 번째, ...);
항목 수 지정(항목 없음, 항목 1개, 항목 2개, ...). 자연수가 유한 집합의 거듭제곱으로 정의되는 Bourbaki의 작업에서 채택되었습니다.
음수와 정수가 아닌(합리적, 실수, ...) 숫자는 자연적이지 않습니다.
모든 자연수의 집합은 일반적으로 부호로 표시됩니다. 모든 자연수에는 더 큰 자연수가 있기 때문에 자연수의 집합은 무한합니다.

정수

자연수는 계산하는 데 사용되는 숫자입니다. 다양한 아이템또는 유사하거나 동종 사이의 모든 개체의 일련 번호를 표시하기 위해.

자연수는 처음 10자리를 사용하여 쓸 수 있습니다.

간단한 자연수를 작성하려면 위치 십진법을 사용하는 것이 일반적입니다. 여기서 임의의 숫자 값은 레코드에서의 해당 위치에 따라 결정됩니다.

자연수는 우리가 자주 사용하는 가장 단순한 숫자입니다. 일상 생활. 이 숫자의 도움으로 우리는 계산을 하고, 물체를 세고, 수량, 주문 및 수를 결정합니다.

우리는 어린 시절부터 자연수에 익숙해지기 시작하므로 우리 각자에게 친숙하고 자연스럽습니다.

자연수의 일반적인 개념

자연수는 개체 수, 일련 번호 및 개체 집합에 대한 정보를 전달하도록 설계되었습니다.

지각 수준과 재생산 수준 모두에서 자연수를 사용할 수 있기 때문에 사람은 자연수를 사용합니다. 임의의 자연수를 발음할 때 우리는 귀로 쉽게 알아들을 수 있고 자연수를 묘사한 후에는 그것을 봅니다.

모든 자연수는 오름차순으로 배열되어 가장 작은 자연수인 1부터 시작하여 일련의 수열을 형성합니다.

가장 작은 자연수를 결정했다면 가장 큰 자연수를 결정하는 것이 더 어려울 것입니다. 일련의 자연수는 무한하기 때문에 그러한 수는 존재하지 않기 때문입니다.

자연수에 1을 더하면 주어진 숫자 다음에 오는 숫자가 됩니다.

0과 같은 숫자는 자연수가 아니라 숫자 "0"을 나타내는 역할만 하며 "없음"을 의미합니다. 0은 십진 표기법에서 이 계열의 단위 수가 없음을 의미합니다.

모든 자연수는 대문자로 표시됩니다. 라틴 문자 N.

자연수 지정에 대한 역사적 참조

고대에 사람들은 아직 숫자가 무엇인지, 사물의 수를 세는 방법을 몰랐습니다. 그러나 이미 계산할 필요성이 생겼고 그 남자는 잡은 물고기, 수집 한 열매 등을 계산하는 방법을 알아 냈습니다.

조금 있다가, 고대인필요한 금액을 적는 것이 더 쉽다는 결론에 도달했습니다. 이러한 목적을 위해 원시인그들은 자갈을 사용하기 시작한 다음 로마 숫자로 보존된 막대기를 사용했습니다.

미적분 시스템 개발의 다음 순간은 일부 숫자 표기법에서 알파벳 문자를 사용하는 것이었습니다.

첫 번째 계산 시스템에는 십진법 인도 시스템과 60진수 바빌론이 포함됩니다.

현대 미적분학 체계는 아랍어라고 불리지만 사실 인도 체계의 변종 중 하나입니다. 사실, 계산 시스템에는 숫자 0이 없지만 아랍인은 그것을 추가했고 시스템은 현재 형태를 얻었습니다.

십진법

우리는 이미 자연수를 만났고 10자리를 사용하여 자연수를 쓰는 방법을 배웠습니다. 기호를 사용하여 숫자를 쓰는 것을 숫자 체계라고 한다는 것도 이미 알고 있습니다.

숫자 항목의 숫자 값은 위치에 따라 달라지며 위치라고 합니다. 즉, 자연수를 쓸 때 위치 미적분을 사용합니다.

이 시스템은 비트 깊이와 십진수를 기반으로 합니다. 십진법에서 구성의 기초는 0에서 9까지의 숫자입니다.

이러한 시스템의 특별한 위치는 기본적으로 계정이 10으로 유지되기 때문에 숫자 10에 부여됩니다.

클래스 및 카테고리 표:

예를 들어, 10개의 단위는 수십으로 결합된 다음 수백, 수천 등으로 결합됩니다. 따라서 숫자 10은 미적분 시스템의 기초이며 소수 미적분 시스템이라고합니다.

정수- 개체를 계산하는 데 사용되는 숫자 . 10을 사용하여 모든 자연수를 쓸 수 있습니다. 숫자: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 이러한 숫자 기록을 소수.

모든 자연수의 수열을 자연스럽게 나란히 .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

최대 작은자연수는 1입니다. 자연 급수에서 각 다음 숫자는 이전 숫자보다 1이 더 큽니다. 내츄럴 시리즈 끝없는가장 큰 수는 없습니다.

숫자의 의미는 숫자 표기법에서의 위치에 따라 다릅니다. 예를 들어 숫자 4는 다음을 의미합니다. 마지막 장소번호 입력에서 (단위 장소에서); 4 십,그녀가 마지막 장소에 있다면 (십 자리에서); 4 수백,끝에서 3위일 경우 (에 수백 곳).

숫자 0은 이 범주의 단위 부족숫자의 십진법 표기법으로 숫자를 나타내는 역할도 합니다. " 영". 이 숫자는 "없음"을 의미합니다. 점수 0:3 축구 경기첫 번째 팀은 상대를 상대로 한 골도 넣지 못했다고 말합니다.

영 포함하지 않는다자연수에. 그리고 실제로 항목 계산은 처음부터 시작되지 않습니다.

자연수가 하나의 숫자만 있는 경우 – 한 자리, 다음 호출 분명하다.저것들. 분명한자연수- 레코드가 한 문자로 구성된 자연수 – 한 자리. 예를 들어 숫자 1, 6, 8은 한 자리 숫자입니다.

두 자릿수자연수- 자연수, 그 레코드는 두 문자-두 자리 숫자로 구성됩니다.

예를 들어 숫자 12, 47, 24, 99는 두 자릿수입니다.

또한 주어진 숫자의 문자 수에 따라 다른 숫자에 이름이 지정됩니다.

번호 326, 532, 893 - 세 자리;

번호 1126, 4268, 9999 - 네 자리등.

두 자리, 세 자리, 네 자리, 다섯 자리 등 숫자가 호출됩니다 여러 자리 숫자 .

여러 자리 숫자를 읽으려면 오른쪽에서 시작하여 각각 세 자리 그룹으로 나뉩니다(가장 왼쪽 그룹은 한 자리 또는 두 자리로 구성될 수 있음). 이러한 그룹을 클래스.

백만 100만(1000,000)은 100만 또는 1,000,000이라고 적습니다.

10억 1000만입니다. 10억 또는 1,000,000,000으로 기록됩니다.

오른쪽의 처음 세 자리 숫자는 단위 클래스를 구성하고 다음 세 자리는 수천 클래스, 그 다음에는 수백만, 수십억 등의 클래스가 있습니다. (그림 1).

쌀. 1. 백만 부류, 수천 부류 및 단위 부류(왼쪽에서 오른쪽으로)

숫자 15389000286은 비트 그리드에 기록됩니다(그림 2).

쌀. 2. 디지트 그리드: 150억 3억 8900만 286

이 숫자는 한 클래스에 286개, 천 클래스에 0, 백만 클래스에 389개, 십억 클래스에 15개 있습니다.

기원전 5세기에 고대 그리스 철학자 Elea의 Zeno는 그의 유명한 아포리아를 공식화했는데 가장 유명한 아포리아는 "아킬레스와 거북이"입니다. 소리는 다음과 같습니다.

아킬레우스가 거북이보다 10배 빠르고 거북이보다 1000보나 뒤진다고 가정해 봅시다. 아킬레스가 이 거리를 달리는 동안 거북이는 같은 방향으로 100보를 기어갑니다. 아킬레우스가 100보를 달리면 거북이는 또 10보를 기어가고 이런 식으로 계속됩니다. 이 과정은 무기한 계속될 것이며 아킬레스는 거북이를 따라가지 못할 것입니다.

이 추론은 모든 후속 세대에게 논리적 충격이 되었습니다. 아리스토텔레스, 디오게네스, 칸트, 헤겔, 길베르트... 그들 모두는 어떤 식으로든 제노의 아포리아를 고려했습니다. 충격이 너무 강해서 " ... 토론은 현재 계속되고 있으며 과학계는 아직 역설의 본질에 대한 공통된 의견에 도달하지 못했습니다 ... 수학적 분석, 집합 이론, 새로운 물리적, 철학적 접근; 그들 중 누구도 문제에 대한 보편적인 해결책이 되지 못했습니다 ..."[위키피디아," Zeno's Aporias "]. 자신이 속고 있다는 것은 누구나 알지만 속임수가 무엇인지는 아무도 이해하지 못한다.

수학의 관점에서 Zeno는 그의 아포리아에서 가치에서 가치로의 전환을 명확하게 보여주었습니다. 이 전환은 상수 대신 적용을 의미합니다. 내가 이해하는 한, 응용의 수학적 장치는 가변 단위측정이 아직 개발되지 않았거나 Zeno의 아포리아에 적용되지 않았습니다. 우리의 일반적인 논리를 적용하면 함정에 빠지게 됩니다. 우리는 사고의 관성에 의해 일정한 시간 단위를 역수에 적용합니다. 물리적인 관점에서 보면 아킬레스가 거북이를 따라잡는 순간 시간이 완전히 멈추는 것처럼 보입니다. 시간이 멈추면 아킬레스는 더 이상 거북이를 따라갈 수 없습니다.

우리가 익숙한 논리를 바꾸면 모든 것이 제자리에 들어갑니다. 아킬레스는 일정한 속도로 달립니다. 경로의 각 후속 세그먼트는 이전 세그먼트보다 10배 더 짧습니다. 따라서 그것을 극복하는 데 소요되는 시간은 이전보다 10 배 적습니다. 이 상황에서 '무한대'라는 개념을 적용한다면 '아킬레스건은 거북이를 무한히 빠르게 추월할 것이다'라고 말하는 것이 맞을 것이다.

이 논리적 함정을 피하는 방법은 무엇입니까? 머물다 상수 단위시간 측정 및 상호 값으로 전환하지 않습니다. Zeno의 언어로 다음과 같이 보입니다.

아킬레우스가 1000보를 걷는 데 걸리는 시간에 거북이는 같은 방향으로 100보를 기어갑니다. 첫 번째 시간과 같은 다음 시간 간격 동안 아킬레스는 천 걸음을 더 달리고 거북이는 백 걸음을 기어갑니다. 이제 아킬레스는 거북이보다 800보 앞서 있습니다.

이 접근 방식은 논리적 역설 없이 현실을 적절하게 설명합니다. 하지만 그렇지 않다 완전한 솔루션문제. 빛의 속도의 극복 불가능성에 대한 아인슈타인의 진술은 Zeno의 아포리아 "아킬레스와 거북이"와 매우 유사합니다. 우리는 아직 이 문제를 연구하고 재고하고 해결하지 못했습니다. 그리고 솔루션은 무한히 많은 숫자가 아니라 측정 단위로 찾아야 합니다.

Zeno의 또 다른 흥미로운 아포리아는 날아다니는 화살에 대해 다음과 같이 알려줍니다.

날아가는 화살은 움직이지 않는데, 그 이유는 매 순간 정지해 있기 때문에, 매 순간 정지해 있기 때문에 항상 정지해 있기 때문입니다.

이 아포리아에서 논리적 역설은 매우 간단하게 극복됩니다. 비행 화살은 시간의 매 순간에 공간의 다른 지점에 놓여 있다는 사실을 명확히 하는 것으로 충분합니다. 이는 실제로 움직임입니다. 여기서 주목해야 할 또 다른 점이 있다. 도로 위의 한 장의 자동차 사진에서 그 움직임의 사실이나 거리를 결정하는 것은 불가능합니다. 자동차의 이동 사실을 확인하려면 같은 지점에서 다른 시점에 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 거리를 판단하는 데 사용할 수는 없습니다. 자동차까지의 거리를 결정하려면 동시에 공간의 다른 지점에서 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 그로부터의 움직임 사실을 결정할 수는 없습니다(물론 계산을 위해 여전히 추가 데이터가 필요하며 삼각법이 도움이 될 것입니다). 나는 무엇에 집중하고 싶은가 특별한 주의, 시간상의 두 점과 공간상의 두 점은 서로 다른 탐색 기회를 제공하기 때문에 혼동해서는 안 되는 사항입니다.

2018년 7월 4일 수요일

set과 multiset의 차이점은 Wikipedia에 잘 설명되어 있습니다. 우리는 본다.

보시다시피 "집합은 두 개의 동일한 요소를 가질 수 없습니다." 그러나 집합에 동일한 요소가 있는 경우 이러한 집합을 "다중집합"이라고 합니다. 합리적인 존재는 그러한 부조리의 논리를 결코 이해하지 못할 것입니다. 이것은 "완전히"라는 단어에서 마음이 빠져있는 말하는 앵무새와 훈련 된 원숭이의 수준입니다. 수학자들은 평범한 조련사처럼 행동하며 그들의 터무니없는 아이디어를 우리에게 전합니다.

옛날 옛적에 다리를 건설한 엔지니어들은 다리 테스트 중에 다리 아래 보트에 있었습니다. 다리가 무너지면 평범한 기술자가 자신이 만든 잔해 아래에서 사망했습니다. 다리가 하중을 견딜 수 있다면 재능 있는 엔지니어가 다른 다리를 지었습니다.

수학자들이 "나를 기억해, 나는 집에 있어"라는 말 뒤에, 또는 오히려 "수학은 추상적인 개념을 연구한다"라는 말 뒤에 어떻게 숨어 있든, 그것들을 현실과 떼려야 뗄 수 없이 연결하는 하나의 탯줄이 있다. 이 탯줄은 돈입니다. 수학자 자신에게 수학적 집합론을 적용해 보자.

우리는 수학을 아주 잘 공부했고 지금은 급여를 지불하면서 계산대에 앉아 있습니다. 여기 수학자가 그의 돈을 위해 우리에게옵니다. 우리는 전체 금액을 그에게 계산하고 우리 테이블에 다른 더미에 놓고 같은 교단의 지폐를 넣습니다. 그런 다음 우리는 각 더미에서 하나의 지폐를 가져와 수학자에게 "수학적 급여 세트"를 제공합니다. 우리는 그가 동일한 요소가 없는 집합이 동일한 요소를 가진 집합과 같지 않다는 것을 증명할 때만 그가 나머지 지폐를 받을 것이라고 수학을 설명합니다. 여기서부터 재미가 시작됩니다.

우선, 대리인의 논리가 작동합니다. "다른 사람에게는 적용할 수 있지만 나에게는 적용할 수 없습니다!" 또한 동일한 금액의 지폐에 다른 지폐 번호가 있다는 보증이 시작됩니다. 즉, 동일한 요소로 간주될 수 없습니다. 글쎄, 우리는 급여를 동전으로 계산합니다. 동전에는 숫자가 없습니다. 여기서 수학자는 물리학을 미친 듯이 회상할 것입니다. 동전마다 흙의 양이 다르고, 결정 구조와 각 동전의 원자 배열이 독특합니다...

그리고 지금 나는 가장 관심 질문: 다중 집합의 요소가 집합의 요소로 바뀌거나 그 반대로 바뀌는 경계는 어디입니까? 그러한 선은 존재하지 않습니다. 모든 것이 무당에 의해 결정되며 과학은 가깝지 않습니다.

이봐. 동일한 필드 면적의 축구 경기장을 선택합니다. 필드의 면적은 동일하므로 다중 집합이 있습니다. 하지만 같은 경기장의 이름을 생각해보면 이름이 다르기 때문에 많은 것을 얻을 수 있다. 보시다시피 동일한 요소 집합은 동시에 집합과 다중 집합입니다. 어때요? 그리고 여기에서 수학자 샤먼 슐러는 소매에서 트럼프 에이스를 꺼내 세트 또는 다중 세트에 대해 이야기하기 시작합니다. 어쨌든 그는 자신이 옳다는 것을 우리에게 확신시킬 것입니다.

현대 샤먼이 집합 이론으로 작동하는 방식을 이해하고 현실과 연결하려면 한 가지 질문에 답하는 것으로 충분합니다. 한 집합의 요소가 다른 집합의 요소와 어떻게 다른가요? "하나의 전체로 생각할 수 없다" 또는 "하나의 전체로 생각할 수 없다"는 표현 없이 보여드리겠습니다.

2018년 3월 18일 일요일

숫자의 자릿수의 합은 탬버린을 든 무당의 춤이며 수학과는 관련이 없습니다. 예, 수학 수업에서 우리는 숫자의 자릿수의 합을 찾아 사용하도록 배웠습니다. 그러나 그들은 후손에게 기술과 지혜를 가르치기 위해 무당입니다. 그렇지 않으면 무당은 단순히 죽을 것입니다.

증거가 필요합니까? Wikipedia를 열고 "숫자의 합" 페이지를 찾으십시오. 그녀는 존재하지 않습니다. 수학에는 어떤 숫자의 자릿수의 합을 구하는 공식이 없습니다. 결국, 숫자는 우리가 숫자를 쓰는 데 사용하는 그래픽 기호이며 수학 언어로 작업은 다음과 같이 들립니다. "모든 숫자를 나타내는 그래픽 기호의 합 찾기." 수학자들은 이 문제를 해결할 수 없지만 샤먼은 기본적으로 해결할 수 있습니다.

자릿수 합을 찾기 위해 무엇을, 어떻게 수행하는지 알아 봅시다. 주어진 번호. 12345라는 숫자가 있다고 가정해 보겠습니다. 이 숫자의 자릿수의 합을 찾기 위해 수행해야 하는 작업은 무엇입니까? 모든 단계를 순서대로 고려합시다.

1. 종이에 숫자를 적는다. 우리는 무엇을 했습니까? 숫자를 숫자 그래픽 기호로 변환했습니다. 이것은 수학적인 연산이 아닙니다.

2. 받은 사진 하나를 별도의 번호가 포함된 여러 장의 사진으로 자릅니다. 그림을 자르는 것은 수학적인 작업이 아닙니다.

3. 개별 그래픽 문자를 숫자로 변환합니다. 이것은 수학적인 연산이 아닙니다.

4. 결과 숫자를 더하십시오. 이제 수학입니다.

숫자 12345의 자릿수 합은 15입니다. 이것은 수학자들이 사용하는 무당의 "재단 및 재봉 과정"입니다. 하지만 그게 다가 아닙니다.

수학의 관점에서 우리가 숫자를 쓰는 숫자 체계는 중요하지 않습니다. 그래서, 에서 다른 시스템계산하면 같은 숫자의 자릿수의 합이 다릅니다. 수학에서 숫자 체계는 숫자 오른쪽에 첨자로 표시됩니다. 와 함께 큰 수 12345 나는 내 머리를 속이고 싶지 않습니다. 기사에서 숫자 26을 고려하십시오. 이 숫자를 2진수, 8진수, 10진수 및 16진수 시스템으로 작성해 보겠습니다. 우리는 현미경으로 각 단계를 고려하지 않을 것입니다. 우리는 이미 그렇게 했습니다. 결과를 살펴보겠습니다.

보시다시피 다른 숫자 체계에서는 같은 숫자의 자릿수의 합이 다릅니다. 이 결과는 수학과 관련이 없습니다. 미터와 센티미터로 직사각형의 면적을 결정할 때 완전히 다른 결과를 얻는 것과 같습니다.

모든 숫자 체계에서 0은 동일하게 보이며 자릿수 합이 없습니다. 이것은 사실에 찬성하는 또 다른 주장입니다. 수학자들을 위한 질문: 숫자가 아닌 것을 수학에서 어떻게 표시합니까? 수학자에게 숫자 외에는 존재하지 않는 것은 무엇입니까? 샤먼의 경우 허용할 수 있지만 과학자의 경우에는 허용되지 않습니다. 현실은 숫자에 국한되지 않습니다.

얻은 결과는 숫자 체계가 숫자 측정 단위라는 증거로 간주되어야 합니다. 결국, 우리는 측정 단위가 다른 숫자를 비교할 수 없습니다. 동일한 수량의 다른 측정 단위로 동일한 조치가 발생하면 다른 결과그것들을 비교하고 나면 수학과는 아무런 관련이 없습니다.

진정한 수학이란 무엇인가? 이것은 수학적 작업의 결과가 숫자의 값, 사용된 측정 단위 및 이 작업을 수행하는 사람에 따라 달라지지 않는 경우입니다.

문에 서명 문을 열고 이렇게 말합니다.

아야! 여기가 여자화장실 ​​아니야?
- 젊은 여성! 이것은 승천한 영혼의 무기한 거룩함을 연구하는 연구실입니다! 후광이 위쪽에 있고 화살표가 위쪽입니다. 다른 화장실은?

암컷... 위쪽은 후광이고 아래쪽 화살표는 수컷입니다.

이런 디자인 아트 작품이 하루에도 몇 번씩 눈앞에 번쩍이면,

그런 다음 갑자기 차에서 이상한 아이콘을 발견하는 것은 놀라운 일이 아닙니다.

개인적으로 똥싸는 사람의 영하 4도(사진 한 장)(여러 장의 사진 구성: 빼기 기호, 숫자 4, 도 지정)를 보기 위해 스스로 노력합니다. 그리고 나는 이 소녀를 물리학을 모르는 바보로 생각하지 않습니다. 그녀는 그래픽 이미지에 대한 인식에 대한 아크 고정 관념을 가지고 있습니다. 그리고 수학자들은 우리에게 항상 이것을 가르칩니다. 다음은 예입니다.

1A는 "마이너스 4도" 또는 "1 a"가 아닙니다. 이것은 16진수 시스템에서 "똥배" 또는 숫자 "스물여섯"입니다. 이 숫자 체계에서 끊임없이 일하는 사람들은 자동으로 숫자와 문자를 하나의 그래픽 기호로 인식합니다.