한 변수의 기능 이론. 수학적 분석

변수를 보자 엑스 N값의 무한 시퀀스를 취합니다.

엑스 1 , x 2 , ..., x N , ..., (1)

그리고 변수의 변화 법칙은 알려져 있다 엑스 N, 즉. 모든 자연수에 대해 N해당 값을 지정할 수 있습니다 엑스 N. 따라서 변수는 다음과 같이 가정합니다. 엑스 N의 기능이다 N:

엑스 N = f(n)

수학적 분석의 가장 중요한 개념 중 하나인 수열의 극한 또는 변수의 극한을 정의해 보겠습니다. 엑스 N실행 순서 엑스 1 , x 2 , ..., x N , ... . .

정의.상수 ㅏ~라고 불리는 시퀀스 제한 엑스 1 , x 2 , ..., x N , ... . 또는 변수의 한계 엑스 N, 임의의 작은 양수 e에 대해 이러한 자연수가 존재하는 경우 N(즉, 번호 N) 그 변수의 모든 값 엑스 N, 으로 시작하는 엑스 N, ~와 다르다 ㅏ e보다 절대값이 작습니다. 이 정의는 다음과 같이 간략하게 작성됩니다.

| 엑스 N - ㅏ |< (2)

모든 N  N, 또는 동일하며,

코시 한계의 정의. 이 함수가 점 a 자체를 제외하고 점 a의 일부 이웃에 정의되어 있고 각 ε > 0에 대해 δ > 0이 존재하는 경우를 제외하고 숫자 A를 점 a에서 함수 f(x)의 극한이라고 합니다. 모든 x에 대해 조건 |x –|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

하이네 한계의 정의. 이 함수가 점 자체와 숫자 a로 수렴하면 해당 함수의 값 시퀀스가 ​​숫자 A로 수렴됩니다.

함수 f(x)가 점에서 극한을 가진다면 이 극한은 고유합니다.

숫자 A 1 은 각 ε > 0에 대해 δ >

숫자 A 2 는 각 ε > 0에 대해 δ > 0이 존재하는 경우 점 a에서 함수 f(x)의 오른쪽 극한이라고 합니다.

왼쪽의 극한은 오른쪽의 극한으로 표시됩니다. 이 한계는 점 a의 왼쪽과 오른쪽에 대한 함수의 동작을 특성화합니다. 그들은 종종 단방향 제한이라고합니다. x → 0과 같은 단측 극한 표기법에서 첫 번째 0은 일반적으로 생략됩니다. 따라서 기능에 대한

각 ε > 0에 대해 조건 |x – a|를 충족하는 모든 x에 대해 점의 δ-이웃이 존재하는 경우< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, 그러면 우리는 함수 f(x)가 점 a에서 무한한 한계를 가진다고 말합니다:

따라서 함수는 점 x = 0에서 무한한 한계를 갖습니다. +∞ 및 -∞와 같은 한계는 종종 구별됩니다. 그래서,

각 ε > 0에 대해 δ > 0이 존재하면 x > δ에 대해 부등식 |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

최소 상한선에 대한 존재 정리

정의: AR mR, m - аА аm(аm)인 경우 A의 위쪽(아래쪽) 면.

정의:집합 A는 위에서(아래에서) 경계가 지정되며 аА와 같은 m이 존재하면 аm(аm)이 충족됩니다.

정의: SupA=m, 1) m - A의 상한

2) m': m' m'은 A의 윗면이 아닙니다.

InfA = n if 1) n은 A의 최솟값입니다.

2) n': n'>n => n'은 A의 최소값이 아닙니다.

정의: SupA=m은 다음과 같은 숫자입니다. 1)  aA am

2) >0 a  A, a  a-

InfA = n은 다음과 같은 숫자라고 합니다.

2) >0 a  A, E a+

정리:위로부터 경계가 있는 비어 있지 않은 집합 АR은 최상의 상한을 가지며 그 상한에서 고유합니다.

증거:

우리는 실수 라인에 숫자 m을 구성하고 이것이 A의 최소 상한임을 증명합니다.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - A의 윗면

세그먼트 [[m],[m]+1] - 10개 부분으로 분할

m 1 =최대:aA)]

m 2 =최대,m 1:aA)]

m ~ =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10K - 윗면 A

m=[m],m 1 ...m K가 최소 상한이고 고유함을 증명합시다.

에: .

쌀. 11. 함수 y arcsin x의 그래프.

이제 복소수 함수( 디스플레이 구성). 세 집합 D, E, M이 주어지고 f: D→E, g: E→M이 주어집니다. 분명히 새로운 매핑 h: D→M을 구성하는 것이 가능하며 매핑 f와 g의 구성 또는 복소 함수라고 합니다(그림 12).

복소수 함수는 z =h(x)=g(f(x)) 또는 h = f o g로 표시됩니다.

쌀. 12. 복잡한 함수의 개념에 대한 그림.

함수 f(x)가 호출됩니다. 내부 기능, 그리고 함수 g(y) - 외부 기능.

1. 내부 함수 f(x) = x², 외부 g(y) sin y. 복소수 함수 z= g(f(x))=sin(x²)

2. 이제 그 반대도 마찬가지입니다. 내부 함수 f(x)= sinx, 외부 g(y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)