교차점과 합집합을 찾는 방법. 숫자 집합의 교집합과 합집합 찾기

횡단 둘 세트 모두의 집합이라고 한다 공통 요소이 세트.

예시 :
숫자 12와 18을 사용합시다. 이 제수의 전체 세트를 각각 문자 A와 B로 표시하여 제수를 찾으십시오.
A \u003d (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18).

숫자 12와 18이 공약수 1, 2, 3, 6을 가지고 있음을 알 수 있습니다. 문자 C로 표시합시다.
C = (1, 2, 3, 6).

집합 C는 집합 A와 B의 교집합입니다. 그들은 다음과 같이 씁니다.
∩나=씨.

두 집합에 공통 요소가 없는 경우 이 집합의 교집합은 다음과 같습니다. 비어 있는 한 무리의.
빈 집합은 기호 Ø로 표시되며 다음 표기법이 사용됩니다.

X ∩Y = Ø.

노동 조합 두 세트 이 집합의 모든 요소로 구성된 집합입니다.

예를 들어, 숫자 12와 18과 해당 요소 A와 B의 집합으로 돌아가 보겠습니다. 먼저 집합 A의 요소를 작성한 다음 집합에 없는 집합 B의 요소를 추가합니다. A. 우리는 A와 B가 공통적으로 가지고 있는 요소들의 집합을 얻습니다. 문자 D로 표시합시다.

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

집합 D는 집합 A와 B의 합집합입니다. 다음과 같이 작성됩니다.

D=ㅏ유 비.

세트에서 수행되는 주요 작업은 다음과 같습니다. 덧셈 (노동 조합), 곱셈 (교차로) 및 빼기 . 이 연산은 나중에 살펴보겠지만 숫자에 대해 수행되는 동일한 이름의 연산과 동일하지 않습니다.

정의 : 협회두 집합 A와 B의 (또는 합)은 이러한 집합 중 적어도 하나의 요소인 그러한 요소만 모두 포함하는 집합입니다. 집합 A와 B의 합집합은 A  B로 표시됩니다.

이 정의는 집합 A와 B의 추가가 모든 요소를 하나의 집합 A  B로 합치는 것임을 의미합니다. 동일한 요소가 두 집합에 모두 포함되어 있으면 이러한 요소는 한 번만 합집합에 들어갑니다.

세 개 이상의 집합의 합집합도 유사하게 정의됩니다.

정의 : 횡단두 집합 A와 B의 (또는 곱셈)은 동시에 집합 A와 집합 B에 속하는 원소들로 구성된 집합입니다. 집합 A와 B의 교집합은 A  B로 표시됩니다.

세 개 이상의 집합의 교집합도 유사하게 정의됩니다.

정의 : 집합 A와 B의 차이는 집합 A의 요소와 집합 B에 속하지 않는 요소로만 구성된 집합입니다. 집합 A와 B의 차이는 A \ B로 표시됩니다. 집합이 발견되는 것을 빼기라고 합니다.

B  A이면 차 A \ B는 집합 A에 대한 집합 B의 보수라고 합니다. 집합 B가 보편 집합 U의 부분 집합이면 U에 대한 B의 보수가 표시됩니다. = U\B.

수업 과정 :

세 세트를 고려하십시오 N={0,2,4,5,6,7}, 중=(1,3,5,7,9) 및 피=(1,3,9,11). 찾다

ㅏ= N  중
나=엔 중
C=N 피

아래에 설명된 집합을 얻기 위해 주어진 집합에 대한 연산 중 어떤 것을 사용해야 하는지 답하십시오.

주어진: 하지만- 무엇보다 많은 교직원, 에– 학자금 빚이 많은 학생. 정의하다 와 함께- 교수진의 많은 성공적인 학생들.
주어진: 하지만- 교수진의 모든 우수한 학생들의 집합, 에- 학자금 부채가 없는 학생 다수, 와 함께트리플이 하나 이상 있는 성공적인 학생의 집합입니다. 정의하다 디- 트리플 없이 시간을 보내는 교직원이 많다.
주어진: 유스터디 그룹의 모든 학생의 집합이며, 하지만- 체육 학점을 취득한 이 그룹의 많은 학생들, 에- 조국의 역사에서 시험에 성공적으로 통과 한 같은 그룹의 많은 학생들. 정의하다 와 함께두 분야 모두에서 뛰어난 동일한 연구 그룹의 학생들의 집합입니다. 디– 테스트 중 하나 이상을 "실패한" 동일한 그룹의 학생 집합입니다.

집합의 합집합 및 교집합 속성

집합의 합집합 및 교집합의 정의에서 이러한 연산의 속성이 따르며, 이는 모든 집합에 유효한 등식의 형태로 표시됩니다. ㅏ , 비 그리고 와 함께 .

ㅏ  비 = 비  ㅏ - 조합의 교환성;

ㅏ  비 = 비  ㅏ - 교차점의 교환성;

ㅏ  (비  와 함께 ) = (ㅏ  비 )  와 함께 - 협회 협회;

ㅏ  (비  와 함께 ) = (ㅏ  비 )  와 함께 - 교차로의 연관성;

ㅏ  (비  와 함께 ) = (ㅏ  비 )  (ㅏ  와 함께) - 결합에 대한 교차점의 분포;

ㅏ  (비  와 함께 ) = (ㅏ  비 )  (ㅏ  와 함께) - 교차점에 대한 조합의 분포;

흡수 법칙:

ㅏ  ㅏ = ㅏ

ㅏ  ㅏ = ㅏ

ㅏ  Ø = ㅏ

ㅏ  Ø = Ø

ㅏ  유 = 유

ㅏ  유 = ㅏ

그 차이에는 가환성과 결합성의 속성이 없다는 점에 유의해야 합니다. 즉, ㅏ \ 비 ≠ 비 \ ㅏ 그리고 ㅏ \ (비 \ 와 함께 ) ≠ (ㅏ \ 비 ) \ 와 함께 . 이것은 오일러-벤 다이어그램을 구성하여 쉽게 확인할 수 있습니다.

세트. 세트 작업.
디스플레이를 설정합니다. 전원 설정

나는 이미 수학에서 150개 이상의 기사를 만들고 내 자료가 완성된 과정에서 형태를 갖추기 시작한 후 사이트의 5주년 전날에 등장한 고등 대수학의 첫 번째 수업에 오신 것을 환영합니다 . 그러나 나는 늦지 않기를 바랍니다-결국 많은 학생들이 국가 시험을 위해서만 강의를 탐구하기 시작합니다 =)

vyshmat의 대학 과정은 전통적으로 세 가지 기둥을 기반으로 합니다.

– 수학적 분석 (제한, 파생 상품등.)

– 그리고 마침내 2015/16 시즌 학년수업과 함께 열립니다 인형을 위한 대수학, 수학적 논리의 요소, 섹션의 기본 사항을 분석하고 기본 수학적 개념과 일반적인 표기법에 대해 알아봅니다. 나는 다른 기사에서 "구불구불한 글씨"를 남용하지 않는다고 말해야 합니다. , 그러나 이것은 스타일일 뿐이며, 물론 어떤 상태에서도 인식되어야 합니다 =). 나는 나의 수업이 실습 위주임을 새로운 독자들에게 알리고 다음 자료는 이러한 맥락에서 제시될 것입니다. 보다 완전하고 학술적인 정보는 교과서를 참조하십시오. 가다:

한 무리의. 예를 설정

집합은 수학뿐만 아니라 전 세계의 기본 개념입니다. 지금 당장 손에 든 물건을 가져가세요. 여기에 하나의 요소로 구성된 집합이 있습니다.

에 넓은 의미, 집합은 전체로 이해되는 객체(요소)의 모음입니다.(특정 징후, 기준 또는 상황에 따라). 게다가 이것들은 물질적 대상일 뿐만 아니라 문자, 숫자, 정리, 생각, 감정 등도 포함합니다.

집합은 일반적으로 큰 기호로 표시됩니다. 라틴 문자로 (옵션으로, 아래 첨자 포함: 등), 및 해당 요소는 중괄호로 작성됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

- 러시아 알파벳 문자 세트;
- 한 무리의 자연수;

음, 서로를 조금 알아가는 시간입니다.
– 1열에 많은 학생

… 진지하고 집중하는 모습을 보니 반갑네요 =)

세트 및 결정적인(유한한 수의 요소로 구성됨) 및 집합은 예입니다. 끝없는세트. 또한 이론과 실제에서 소위 빈 세트:

요소를 포함하지 않는 집합입니다.

예는 잘 알려져 있습니다 - 시험의 세트는 종종 비어 있습니다 =)

집합에 있는 요소의 구성원은 기호로 표시됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

- 문자 "be"는 러시아 알파벳 문자 세트에 속합니다.
- 문자 "베타" ~ 아니다러시아 알파벳 문자 집합에 속합니다.
– 숫자 5는 자연수 집합에 속합니다.
- 그러나 숫자 5.5는 더 이상 존재하지 않습니다.
- Voldemar는 첫 번째 줄에 앉지 않습니다(그리고 더군다나 세트 또는 =에 속하지 않음).

대수학이 아닌 추상화에서 집합의 요소는 작은 라틴 문자로 표시됩니다. 따라서 소속 사실은 다음 스타일로 작성됩니다.

– 요소는 집합에 속합니다.

위의 세트가 작성되었습니다 직접 송금그러나 이것이 유일한 방법은 아닙니다. 많은 집합은 다음을 사용하여 편리하게 정의됩니다. 징후 (에스), 타고난 모든 요소에. 예를 들어:

100보다 작은 모든 자연수의 집합이다.

기억하다: 세로로 긴 막대기는 '어느 것', '그런 것'을 표현합니다. 꽤 자주 콜론이 대신 사용됩니다. - 항목을 좀 더 공식적으로 읽어보겠습니다. "자연수 집합에 속하는 원소들의 집합, 그런 » . 잘하셨어요!

이 집합은 직접 열거로 작성할 수도 있습니다.

더 많은 예:
- 첫 번째 행에 학생이 상당히 많으면 이러한 기록이 직접 나열하는 것보다 훨씬 편리합니다.

간격에 속하는 숫자의 집합입니다. 이것은 세트를 나타냅니다. 유효한숫자 (나중에 그들에 대해), 더 이상 쉼표로 구분하여 나열할 수 없습니다.

집합의 요소가 "동질적"이거나 논리적으로 관련될 필요는 없다는 점에 유의해야 합니다. 큰 가방을 가져 와서 무작위로 채우기 시작하십시오. 다양한 아이템. 여기에는 규칙성이 없지만 그럼에도 불구하고 우리는 다양한 주제에 대해 이야기하고 있습니다. 비 유적으로 말하면 세트는 특정 개체 세트가 "운명의 의지에 따라"인 것으로 판명 된 별도의 "패키지"입니다.

부분집합

이름 자체에서 거의 모든 것이 명확합니다. 집합은 부분집합집합의 모든 요소가 집합에 속하는 경우 집합입니다. 즉, 집합은 집합에 포함됩니다.

아이콘을 아이콘이라고 합니다. 포함.

러시아 알파벳의 문자 집합이 있는 예로 돌아가 보겠습니다. 로 표시 - 모음 세트. 그 다음에:

자음 문자의 하위 집합과 일반적으로 무작위로(또는 비무작위적으로) 취한 키릴 문자로 구성된 임의의 하위 집합을 선택하는 것도 가능합니다. 특히 모든 키릴 문자는 집합의 하위 집합입니다.

부분집합 간의 관계는 조건부를 사용하여 편리하게 묘사됩니다. 기하학적 구성표, 라고 하는 오일러 원.

첫 번째 행에 있는 학생의 집합, 그룹 학생의 집합, 대학생의 집합이라고 하자. 그러면 내포물의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

다른 대학의 학생 집합은 외부 원과 교차하지 않는 원으로 묘사되어야 합니다. 이 두 원을 모두 포함하는 원 안에 있는 수많은 학생 등.

대표적인 예수치 세트를 고려할 때 내포물을 관찰합니다. 고등 수학을 공부할 때 염두에 두어야 할 중요한 학교 자료를 반복해 보겠습니다.

숫자 집합

아시다시피, 역사적으로 자연수는 물질적 개체(사람, 닭, 양, 동전 등)를 세도록 고안된 첫 번째로 나타났습니다. 이 세트는 이미 기사에서 충족되었으며 유일한 것은 이제 지정을 약간 수정하고 있다는 것입니다. 사실 숫자 세트는 일반적으로 굵게, 양식화된 또는 두꺼운 문자로 표시됩니다. 나는 굵게 사용하는 것을 선호합니다:

때로는 0이 자연수 집합에 포함됩니다.

반대 부호와 0을 가진 동일한 숫자를 집합에 추가하면 다음을 얻습니다. 정수 집합:

합리화자와 게으른 사람들은 아이콘으로 요소를 기록합니다. "플러스 마이너스":))

자연수 집합이 정수 집합의 하위 집합이라는 것은 분명합니다.
- 집합의 각 요소가 집합에 속하기 때문입니다. 따라서 모든 자연수는 안전하게 정수라고 부를 수 있습니다.

집합의 이름도 "말하기"입니다. 정수 - 이것은 분수가 없음을 의미합니다.

그리고 정수가 되자마자 우리는 거의 매일 실제 계산에 필요한 2, 3, 4, 5 및 10으로 나눌 수 있는 중요한 기호를 즉시 기억합니다.

정수는 나머지 없이 2로 나누어 떨어집니다. 0, 2, 4, 6 또는 8로 끝나는 경우 (즉, 임의의 짝수). 예를 들어, 숫자:
400, -1502, -24, 66996, 818 - 나머지 없이 2로 나눕니다.

그리고 "관련" 기호를 즉시 분석해 보겠습니다. 정수는 4로 나눌 수 있습니다.숫자가 마지막 두 자리 숫자로 구성된 경우 (순서대로) 4로 나누어집니다.

400은 4로 나누어집니다. (00(영)은 4로 나눌 수 있기 때문에);
-1502 - 4로 나눌 수 없음 (02(2)는 4로 나누어 떨어지지 않기 때문에);
-24는 물론 4로 나눌 수 있습니다.
66996 - 4로 나눌 수 있음 (96은 4로 나누어 떨어지기 때문에);
818 - 4로 나눌 수 없음 (18은 4로 나누어 떨어지지 않기 때문에).

이 사실에 대한 간단한 근거를 만드십시오.

3으로 나누기가 조금 더 어렵습니다.: 정수는 다음과 같은 경우 나머지 없이 3으로 나눌 수 있습니다. 숫자의 합 3으로 나누어집니다.

숫자 27901이 3으로 나누어 떨어지는지 확인합시다. 이렇게 하기 위해 숫자를 합산합니다.
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - 3으로 나눌 수 없음
결론: 27901은 3으로 나누어 떨어지지 않습니다.

숫자 -825432의 자릿수를 합산해 보겠습니다.
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - 3으로 나눌 수 있음
결론: 숫자 -825432는 3으로 나눌 수 있습니다.

정수는 5로 나누어 떨어집니다., 5 또는 0으로 끝나는 경우:
775, -2390 - 5로 나누어짐

정수는 10의 배수 0으로 끝나는 경우:
798400 - 10으로 나누어짐 (그리고 분명히 100에서). 글쎄, 아마도 모든 사람들이 기억할 것입니다. 10으로 나누려면 0을 하나만 제거하면됩니다. 79840

6, 8, 9, 11 등으로 나눌 수 있다는 표시도 있지만 실제로는 실용적인 의미가 없습니다 =)

나열된 기준(매우 간단해 보이지만)은 다음에서 엄격하게 입증됩니다. 정수론. 대수학의 이 섹션은 일반적으로 꽤 흥미롭지만, 그 정리는 ... 단지 현대 중국식 실행 =) 그리고 마지막 책상에 있는 Voldemar는 충분했습니다 ... 하지만 괜찮아요, 곧 우리는 생명을 주는 문제를 다룰 것입니다 연습 =)

다음 숫자 집합은 한 무리의 유리수 :
- 즉, 모든 유리수는 정수가 있는 분수로 나타낼 수 있습니다. 분자그리고 자연스러운 분모.

분명히 정수 집합은 부분집합유리수 집합:

실제로 모든 정수는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 유리수, 예를 들어: 등. 따라서 정수는 상당히 합법적으로 유리수라고 부를 수 있습니다.

유리수의 특징적인 "식별" 기호는 분자를 분모로 나눌 때 다음 중 하나를 얻는다는 사실입니다.
정수이고,

또는
– 궁극적인소수,

또는
- 끝없는 정기 간행물소수 (재생이 즉시 시작되지 않을 수 있음).

사단을 존경하고 이 행동을 가능한 한 적게 수행하십시오! 조직 기사에서 인형을 위한 고급 수학그리고 다른 수업에서 나는 이 만트라를 반복해서 반복하고, 또 반복할 것입니다.

에 고등 수학우리는 일반 (정확하고 부적절한) 분수에서 모든 작업을 수행하기 위해 노력합니다

분수를 다루는 것이 다음보다 훨씬 더 편리하다는 데 동의하십시오. 십진수 0,375 (무한 분수는 말할 것도 없고).

더 가자. 합리적인 것 외에도 많은 무리수, 각각은 무한대로 나타낼 수 있습니다. 비정기적소수. 즉, 무리수의 "무한 꼬리"에는 규칙성이 없습니다.
("레오 톨스토이의 탄생년" 두 번)
등.

유명한 상수 "pi"와 "pi"에 대한 정보가 많이 있으므로 이에 대해서는 언급하지 않겠습니다.

유리수와 무리수 형태의 합집합 실수(실수)의 집합:

- 아이콘 협회세트.

세트의 기하학적 해석은 익숙합니다. 숫자 라인입니다.

각 실수는 숫자 라인의 특정 지점에 해당하고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 숫자 라인의 각 지점은 반드시 일부 실수에 해당합니다. 본질적으로, 나는 이제 공식화했습니다. 연속성 속성 실수, 그것은 명백해 보이지만 수학적 분석 과정에서 엄밀히 증명된다.

숫자선도 무한구간으로 표시되며, 표기법 또는 이에 상응하는 표기법은 실수의 집합에 속한다는 사실을 상징한다. (또는 단순히 "x" - 실수).

임베딩을 사용하면 모든 것이 투명합니다. 유리수 집합은 다음과 같습니다. 부분집합실수 집합:
, 따라서 모든 유리수는 실수로 안전하게 호출할 수 있습니다.

무리수 집합도 부분집합실수:

동시에 부분집합과 교차하지 마십시오- 즉, 무리수는 유리 분수로 나타낼 수 없습니다.

다른 번호 체계가 있습니까? 존재하다! 이것은 예를 들어, 복소수, 앞으로 며칠 또는 몇 시간 안에 문자 그대로 읽을 것을 권장합니다.

그 동안 우리는 이 섹션의 끝에서 이미 그 정신이 구체화된 집합 연산에 대한 연구로 전환합니다.

세트에 대한 작업. 벤 다이어그램

벤 다이어그램(오일러 원과 유사)은 집합이 있는 동작의 도식적 표현입니다. 다시 말하지만, 모든 작업을 다루지는 않을 것임을 경고합니다.

1) 교차로 그리고로 표시되어 있습니다

집합의 교집합을 집합이라고 하며, 각 요소는 다음에 속합니다. 그리고세트 , 그리고세트 . 대략적으로 말하면, 교집합은 집합의 일반적인 부분입니다.

예를 들어 세트의 경우:

세트에 동일한 요소가 없으면 교차가 비어 있습니다. 숫자 집합을 고려할 때 다음과 같은 예를 발견했습니다.

유리수와 무리수 집합은 두 개의 겹치지 않는 원으로 개략적으로 나타낼 수 있습니다.

교차로 작업은 다음에도 적용됩니다. 더세트, 특히 Wikipedia에는 세 알파벳 문자 집합의 교차점의 예.

2) 노동 조합집합은 논리적 연결이 특징입니다. 또는로 표시되어 있습니다

집합의 합집합은 집합이며, 각 요소는 집합에 속합니다. 또는세트 :

집합의 합집합을 작성해 보겠습니다.
- 대략적으로 말하면, 여기에 세트 및 의 모든 요소를 나열해야 하고 동일한 요소를 나열해야 합니다. (이 경우 집합의 교집합에서의 단위)한 번 지정해야 합니다.

그러나 집합은 물론 유리수와 무리수와 같이 교차하지 않을 수 있습니다.

이 경우 교차하지 않는 두 개의 음영 원을 그릴 수 있습니다.

합집합 연산은 더 많은 집합에 적용할 수 있습니다(예: if , then:

숫자가 오름차순일 필요는 없습니다. (순전히 미학적인 이유로 이렇게 했습니다). 더 이상 고민하지 않고 결과를 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

3) 차이점 그리고집합에 속하지 않음:

차이점은 다음과 같이 읽습니다: "be without be". 그리고 당신은 정확히 같은 방식으로 논쟁할 수 있습니다: 세트를 고려하십시오. 차이점을 기록하려면 집합에 있는 모든 요소를 집합에서 "제거"해야 합니다.

숫자 집합이 있는 예:
- 여기에서 모든 자연수는 정수 집합에서 제외되며 표기법 자체는 "자연 집합이 없는 정수 집합"과 같이 읽습니다.

거울: 차이점각 요소가 집합에 속하는 집합을 설정하고 호출합니다. 그리고집합에 속하지 않음:

동일한 세트의 경우
- 세트에서 "던진"것 세트에있는 것.

그러나 이 차이는 비어 있는 것으로 판명되었습니다. . 그리고 사실 - 정수가 자연수 집합에서 제외되면 사실 아무것도 남지 않습니다. :)

또한 때때로 고려 대칭두 "초승달"을 결합한 차이점:
- 즉, "집합의 교집합을 제외한 모든 것"입니다.

4) 데카르트(직접) 곱집합이며 집합이라고 합니다. 모두 질서 있는요소와 요소가 있는 쌍

우리는 집합의 데카르트 곱을 씁니다.
- 다음 알고리즘에 따라 쌍을 열거하는 것이 편리합니다. "먼저 집합의 각 요소를 집합의 첫 번째 요소에 순차적으로 연결한 다음 집합의 각 요소를 집합의 두 번째 요소에 연결한 다음 집합의 각 요소를 집합의 세 번째 요소에 연결»:

거울: 데카르트 곱집합이며 모든 것의 집합이라고 합니다. 질서 있는의 쌍. 우리의 예에서:
-여기서 녹음 방식은 비슷합니다. 먼저 세트의 모든 요소를 "마이너스 1"에 연결한 다음 "de"에 동일한 요소를 순차적으로 연결합니다.

그러나 이것은 순전히 편의를 위한 것입니다. 두 경우 모두 쌍을 임의의 순서로 나열할 수 있습니다. 여기에 기록하는 것이 중요합니다. 모두가능한 커플.

그리고 이제 프로그램의 하이라이트: 데카르트 곱은 우리 고유의 점들의 집합일 뿐입니다. 데카르트 좌표계 .

연습자체 고정 재료의 경우:

다음과 같은 경우 작업을 수행합니다.

한 무리의 요소를 나열하여 설명하는 것이 편리합니다.

그리고 실수 간격의 유행:

대괄호가 의미하는 것을 기억하십시오 포함간격에 숫자를 넣고 반올림합니다. 제외, 즉 "빼기 1"은 집합에 속하고 "3"은 ~ 아니다세트에 속합니다. 이 집합의 데카르트 곱이 무엇인지 알아내십시오. 어려운 점이 있다면 도면을 따라가세요 ;)

빠른 솔루션수업이 끝나면 과제.

디스플레이 설정

표시하다설정 설정은 규칙, 세트의 각 요소가 세트의 요소(또는 요소)와 연관됩니다. 일치하는 경우 유일한요소, 이 규칙은 명확하게 정의기능 또는 그냥 기능.

많은 사람들이 알고 있듯이 기능은 문자로 가장 자주 표시됩니다. 각자에게요소는 집합에 속하는 유일한 값입니다.

글쎄, 이제 나는 다시 첫 번째 줄의 많은 학생들을 방해하고 초록 (집합)에 대한 6 가지 주제를 제공합니다.

설치됨 (자발적으로 또는 비자발적으로 =))규칙은 집합의 각 학생을 집합 초록의 단일 주제와 연결합니다.

...그리고 아마도 당신이 함수 인수의 역할을 할 것이라고 상상조차 하지 못했을 것입니다 =) =)

집합 형식의 요소 도메인함수( 로 표시됨) 및 집합의 요소 - 범위기능( 로 표시됨).

구성된 집합 매핑에는 매우 중요한 특성이 있습니다. 1-1또는 전단사(전사). 에 이 예그것은 의미 각자에게학생은 정렬 하나의 독특한에세이의 주제, 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 각각단 한 명의 학생은 초록의 주제에 의해 고정됩니다.

그러나 모든 매핑이 전단사적이라고 생각해서는 안 됩니다. 7번째 학생이 첫 번째 행(세트에)에 추가되면 일대일 대응이 사라지거나 학생 중 한 명이 주제 없이 남게 됩니다. (전혀 표시되지 않음), 또는 일부 주제는 한 번에 두 명의 학생에게 전달됩니다. 반대 상황: 일곱 번째 주제가 세트에 추가되면 일대일 매핑도 손실됩니다. 주제 중 하나는 소유권이 주장되지 않은 상태로 유지됩니다.

친애하는 학생들, 첫 번째 줄에 화를 내지 마십시오. 방과 후 나머지 20 명이 단풍에서 대학의 영토를 청소하러 갈 것입니다. 공급 관리자는 20 개의 골릭을 제공 한 후 그룹의 주요 부분과 빗자루 사이에 일대일 통신이 설정되고 Voldemar도 상점으로 갈 시간이 있습니다 =)). 고유한"y" 및 그 반대 - "y" 값에 대해 "x"를 명확하게 복원할 수 있습니다. 따라서 이것은 전단사 함수입니다.

! 만일을 대비하여 가능한 오해를 없애겠습니다. 범위에 대한 저의 끊임없는 예약은 우연이 아닙니다! 함수는 모든 "x"에 대해 정의되지 않을 수 있으며, 또한 이 경우에도 일대일일 수 있습니다. 전형적인 예:

하지만 에 이차 함수이와 같은 것은 관찰되지 않습니다. 첫째,
- 즉, 다양한 의미"x"가 나타났습니다 같은"y"를 의미합니다. 그리고 두 번째로: 누군가가 함수의 값을 계산하고 우리에게 라고 말하면 명확하지 않습니다. 이 "y"는 에서 또는 에서 얻었습니다. 말할 필요도 없이 여기에는 상호 모호성의 냄새조차 없습니다.

작업 2: 보다 기본 기본 기능의 그래프그리고 종이에 전단사 기능을 써 보세요. 이 강의 끝에 있는 체크리스트입니다.

전원 설정

직관은 용어가 집합의 크기, 즉 요소의 수를 특징짓는다고 제안합니다. 그리고 직관은 우리를 속이지 않습니다!

빈 집합의 카디널리티는 0입니다.

집합의 카디널리티는 6입니다.

러시아 알파벳 문자 집합의 힘은 33입니다.

일반적으로 어떤 힘 결정적인집합은 이 집합의 요소 수와 같습니다.

... 아마도 모든 사람이 그것이 무엇인지 완전히 이해하는 것은 아닙니다. 결정적인세트 - 이 세트의 요소 수를 세기 시작하면 조만간 카운트가 종료됩니다. 소위 말하는 중국인은 언젠가 고갈될 것입니다.

물론 세트는 카디널리티로 비교할 수 있으며 이러한 의미에서 평등은 동등한 힘. 등가는 다음과 같이 정의됩니다.

두 집합 사이에 일대일 대응이 설정될 수 있는 경우 두 집합은 동일합니다..

학생 세트는 추상 주제 세트와 동일하고 러시아 알파벳 문자 세트는 33개 요소 세트와 동일합니다. 정확히 무엇인지 주목 누구나 33개의 요소 집합 - 이 경우에는 숫자만 중요합니다. 러시아 알파벳의 문자는 많은 숫자뿐만 아니라 비교할 수 있습니다
1, 2, 3, ..., 32, 33 뿐만 아니라 일반적으로 33마리의 소 무리가 있습니다.

무한 세트를 사용하면 상황이 훨씬 더 흥미로워집니다. 인피니티도 달라! ...녹색 및 빨강 "가장 작은" 무한 집합은 다음과 같습니다. 계산세트. 매우 간단하다면 그러한 집합의 요소에 번호를 매길 수 있습니다. 참조 예는 자연수 집합입니다. . 예 - 무한하지만 PRINCIPLE의 각 요소에는 숫자가 있습니다.

많은 예가 있습니다. 특히 모든 자연수의 집합은 셀 수 있습니다. 그것을 증명하는 방법? 자연수 집합과 일대일 대응 관계를 설정하거나 단순히 요소에 번호를 매길 필요가 있습니다.

일대일 대응이 설정되므로 집합이 동일하고 집합을 셀 수 있습니다. 역설적이지만 힘의 관점에서 보면 자연수만큼 짝수인 자연수가 있습니다!

정수 집합도 셀 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같이 요소에 번호를 지정할 수 있습니다.

또한 유리수 집합도 셀 수 있습니다. . 분자가 정수이기 때문에 (그리고 방금 표시된 것처럼 번호가 매겨질 수 있음), 분모가 자연수이면 조만간 우리는 합리적인 분수에 "가져와" 숫자를 할당할 것입니다.

그러나 실수 집합은 이미 셀 수 없는, 즉. 그 요소는 번호를 매길 수 없습니다. 이 사실명백하지만 집합론에서 엄밀히 증명된다. 실수 집합의 카디널리티라고도 합니다. 연속체, 셀 수 있는 집합과 비교하여 "더 무한한" 집합입니다.

집합과 숫자선 사이에는 일대일 대응이 있기 때문에 (위 참조), 그러면 실제 선의 점 집합도 셀 수 없는. 게다가 킬로미터와 밀리미터 세그먼트에는 같은 수의 점이 있습니다! 고전적인 예:

빔과 일치할 때까지 빔을 시계 반대 방향으로 돌리면 파란색 세그먼트의 점 사이에 일대일 대응이 설정됩니다. 따라서 세그먼트 및 !에 있는 수만큼 세그먼트에 점이 있습니다.

이 역설은 분명히 무한의 신비와 관련이 있습니다 ... 그러나 이제 우리는 우주의 문제에 신경 쓰지 않을 것입니다. 왜냐하면 다음 단계는

작업 2 레슨 일러스트레이션의 일대일 함수

수업 목표:

교육적: 집합, 하위 집합을 식별하는 기술 형성; 이미지에서 세트의 교차 및 결합 영역을 찾고이 영역의 요소 이름을 지정하고 문제를 해결하는 기술 형성;
개발 중: 개발 인지적 관심재학생; 개인의 지적 영역의 발달, 비교하고 일반화하는 기술의 발달.
교육적: 결정을 내릴 때 정확성과 주의력을 배양합니다.

수업 중.

1. 조직적 순간.

2. 교사는 학생들과 함께 수업의 주제를 보고하고 목표와 목표를 공식화합니다.

3. 교사는 학생과 함께 7 학년에서 "세트"주제에서 공부한 자료를 회상하고 새로운 개념과 정의, 문제 해결 공식을 소개합니다.

“많은 것은 많다, 우리는 하나로 생각한다” (집합 이론의 창시자 - 게오르크 칸토어). KANTOR (Cantor) Georg (1845-1918) - 독일의 수학자, 논리학자, 신학자, 초한(무한) 집합 이론의 창시자로서 19세기와 20세기 전환기에 수학 과학의 발전에 결정적인 영향을 미쳤습니다.

집합은 거의 모든 섹션에서 사용되는 현대 수학의 기본 개념 중 하나입니다.

불행히도 이론의 기본 개념인 집합의 개념은 엄격한 정의를 내릴 수 없습니다. 물론 세트는 "컬렉션", "컬렉션", "앙상블", "컬렉션", "패밀리", "시스템", "클래스" 등이라고 말할 수 있지만 이 모든 것이 수학적 정의, 오히려 러시아어 어휘의 남용.

어떤 개념을 정의하기 위해서는 무엇보다도 먼저 다음과 같은 특정한 경우를 나타내는 것이 필요합니다. 일반 개념, 그것은 수학에서 집합보다 더 일반적인 개념이 없기 때문에 집합의 개념에 대해 이것을 할 수 없습니다.

종종 당신은 어떤 표시로 통일 된 여러 가지에 대해 이야기해야합니다. 그래서 우리는 방에 있는 모든 의자 세트에 대해 이야기할 수 있습니다. 모든 세포 세트에 대해 인간의 몸, 주어진 가방에 있는 모든 감자의 집합, 바다에 있는 모든 물고기의 집합, 평면의 모든 사각형 집합, 주어진 원의 모든 점 집합 등

주어진 집합을 구성하는 개체를 요소라고 합니다.

예를 들어, 요일 세트는 월요일, 화요일, 수요일, 목요일, 금요일, 토요일, 일요일 요소로 구성됩니다.

여러 달 - 요소에서: 1월, 2월, 3월, 4월, 5월, 6월, 7월, 8월, 9월, 10월, 11월, 12월.

한 무리의 산술 연산- 요소에서 : 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기.

예를 들어 A가 모든 자연수의 집합을 의미하면 6은 A에 속하지만 3은 A에 속하지 않습니다.

A가 1년의 모든 월의 집합이면 5월은 A에 속하지만 수요일은 A에 속하지 않습니다.

집합에 유한한 수의 원소가 있으면 유한이라고 하고, 원소의 수가 무한하면 무한이라고 합니다. 따라서 숲에 있는 나무의 집합은 유한하지만 원의 점 집합은 무한합니다.

논리의 역설- 이것은 논리적으로 옳은 결론의 지위를 가지면서 동시에 상호 배타적인 결론에 이르게 하는 추론인 모순이다.

이미 언급했듯이 집합의 개념은 수학의 핵심입니다. 가장 단순한 집합과 다양한 수학적 구성을 사용하여 거의 모든 수학적 대상을 구성할 수 있습니다. 집합론을 기반으로 모든 수학을 구축한다는 아이디어는 G. Kantor에 의해 적극적으로 추진되었습니다. 그러나 모든 단순성에도 불구하고 집합의 개념에는 모순 또는 역설의 위험이 있습니다. 역설의 출현은 모든 구성과 모든 집합을 고려할 수 없다는 사실에 기인합니다.

가장 간단한 역설은 " 이발사의 역설".

한 병사는 면도를 하지 않은 소대의 병사들만 면도하라는 명령을 받았습니다. 아시다시피 군대의 명령에 불복종하는 것은 가장 중대한 범죄입니다. 그러나 이 병사가 면도를 해야 하는지 의문이 생겼다. 그가 면도를 한다면 그는 스스로 면도하는 많은 군인들에게 귀속되어야 하며 그는 면도할 권리가 없습니다. 그가 스스로 면도를 하지 않는다면, 그는 스스로 면도하지 않는 수많은 병사들에게 속하게 될 것이고, 명령에 따라 그는 그러한 병사들을 면도해야 할 의무가 있습니다. 역설.

집합과 다른 많은 수학적 객체에 대해 집합 이론 연산 또는 집합 연산이라고 하는 다양한 연산을 수행할 수 있습니다. 작업의 결과로 원래 세트에서 새 세트를 얻습니다. 집합은 대문자 라틴 문자로 표시되고 해당 요소는 소문자로 표시됩니다. 녹음 ㅏ 아르 자형요소를 의미합니다 ㅏ세트에 속한다 아르 자형, 즉 ㅏ 아르 자형. 그렇지 않으면 언제 ㅏ세트에 속하지 않습니다 아르 자형, 쓰다 ㅏ 아르 자형 .

두 세트 하지만그리고 에~라고 불리는 동일한 (하지만 =에) 동일한 요소, 즉 집합의 각 요소로 구성된 경우 하지만집합의 요소입니다 에그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 집합의 각 요소 에집합의 요소입니다 하지만 .

비교를 설정합니다.

A의 모든 요소가 B의 요소인 경우 집합 A는 집합 B에 포함됩니다(집합 B에는 집합 A가 포함됨).

그들은 많은 하지만많이 들어있다 에또는 설정 하지만이다 부분집합 세트 에(이 경우 쓰기 하지만 에) 집합의 각 요소가 하지만집합의 요소이기도 하다. 에. 집합 간의 이러한 관계를 포함 . 모든 세트에 대해 하지만내포물이 있습니다: Ø 하지만그리고 하지만 하지만

이 경우 ㅏ~라고 불리는 부분집합 비, 비 - 슈퍼세트 A. 그렇다면 ㅏ~라고 불리는 자신의 하위 집합 에. 그것을주의해라 ,

우선순위 ,

두 세트를 호출 동일한그것들이 서로의 부분집합이라면

세트 작업

교차로.

노동 조합.

속성.

1. 집합의 합집합 연산은 가환적이다.

2. 집합의 합집합 연산은 전이적이다.

3. 빈 집합 X는 집합의 합집합 연산의 중립 요소입니다.

1. A = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6,7)이라고 합시다. 그 다음에

2. A \u003d (2,4,6,8,10), B \u003d (3,6,9,12). 이 집합의 합집합과 교집합을 구해 봅시다.

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. 어린이 세트는 전체 인구의 하위 집합입니다.

4. 정수 집합과 양수 집합의 교집합은 자연수 집합입니다.

5. 유리수 집합과 무리수 집합의 합집합은 양수 집합입니다.

6. 0은 음이 아닌 정수 집합에 대한 자연수 집합의 보수입니다.

벤 다이어그램(벤 다이어그램) - 일반 이름다양한 과학 및 수학 분야에서 널리 사용되는 다양한 시각화 방법 및 그래픽 일러스트레이션 방법: 집합 이론, 실제로 "벤 다이어그램"모두 보여줍니다 가능한 관계일부 가족의 세트 또는 이벤트 사이; 품종 벤 다이어그램오일러 다이어그램,

4개 집합의 벤다이어그램.

실제로 "벤 다이어그램"일부 가족의 세트 또는 이벤트 간의 가능한 모든 관계를 보여줍니다. 일반적인 벤 다이어그램에는 세 가지 집합이 있습니다. 벤 자신이 찾으려고 대칭 모양의 우아한 방법다이어그램에 표현 더그러나 그는 타원을 사용하여 4세트(오른쪽 그림 참조)에 대해서만 이 작업을 수행할 수 있었습니다.

오일러 다이어그램

오일러 다이어그램은 벤 다이어그램과 유사합니다. 오일러 다이어그램은 집합이론적 항등성의 가능성을 평가하는 데 사용할 수 있습니다.

작업 1.수업에는 30명이 있으며, 각자 노래하거나 춤을 춥니다. 17명이 노래하고 19명이 춤을 출 줄 아는 것으로 알려져 있다. 얼마나 많은 사람들이 동시에 노래하고 춤을 추고 있습니까?

결정:먼저, 30명 중 30-17 = 13명이 노래를 못한다는 점에 주목합니다.

그들은 모두 춤을 추는 법을 알고 있기 때문에 조건에 따라 학급의 각 학생은 노래를 부르거나 춤을 춥니다. 총 19명이 춤을 출 수 있고 그 중 13명이 노래를 못 하므로 19-13 = 6명이 동시에 춤과 노래를 할 수 있습니다.

집합의 교집합과 합집합에 관한 문제.

세트 A = (3.5, 0, 11, 12, 19), B = (2.4, 8, 12, 18.0)이 제공됩니다.
세트 AU B 찾기,
문자가 집합의 하위 집합을 구성하는 최소 7개의 단어를 구성합니다.
A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
A를 2로 나누어 떨어지는 자연수의 집합이라고 하고 B를 4로 나누어 떨어지는 자연수의 집합이라고 하자. 이 집합에 대해 어떤 결론을 내릴 수 있습니까?
이 회사는 67명의 직원을 고용하고 있습니다. 이 중 47개는 알고 있습니다. 영어, 35는 독일어이고 23은 두 언어입니다. 회사에서 얼마나 많은 사람들이 영어를 못하거나 독일 사람?
우리 반의 40명의 학생 중 32명은 우유를 좋아하고 21명은 레모네이드를 좋아하고 15명은 우유와 레모네이드를 좋아합니다. 우리 반에 우유나 레모네이드를 좋아하지 않는 아이들이 몇이나 될까요?
제 반 친구들 중 12명은 추리소설 읽는 것을 좋아하고, 18명은 공상과학 소설을 읽는 것을 좋아하고, 그들 중 3명은 둘 다 즐겁게 읽고, 한 명은 아무 것도 읽지 않습니다. 우리 반의 학생은 몇 명입니까?
스릴러 보는 것을 좋아하는 내 반 친구 18명 중 12명만이 만화를 보는 것을 싫어하지 않습니다. 우리 반에 스릴러나 만화, 또는 둘 다를 보는 것을 좋아하는 학생이 25명이라면 내 반 친구들 중 몇 명이나 "만화"만 봅니까?
우리 마당에 있는 29명의 소년들 중 단 2명만이 운동을 하지 않고 나머지는 축구나 테니스, 심지어 둘 다에 참석합니다. 축구를 하는 소년 17명과 테니스를 치는 소년 19명이 있습니다. 테니스를 치는 축구 선수는 몇 명입니까? 얼마나 많은 테니스 선수가 축구를 합니까?
할머니의 토끼 중 65%는 당근을 좋아하고 10%는 당근과 양배추를 모두 좋아합니다. 토끼 중 몇 퍼센트가 양배추를 싫어합니까?
한 반에 25명의 학생이 있습니다. 이 중 사랑배 7개, 사랑체리 11개. 배와 체리 같은 두 개; 6 - 배와 사과; 5 - 사과와 체리. 그러나 반에는 모든 것을 좋아하는 두 명의 학생과 과일을 전혀 좋아하지 않는 네 명의 학생이 있습니다. 이 반에 사과를 좋아하는 학생은 몇 명입니까?
22명의 소녀들이 미인 대회에 참가했습니다. 그 중 미인이 10명, 똑똑한 사람이 12명, 착한 사람이 9명이었다. 두 명의 소녀만이 아름답고 똑똑했습니다. 똑똑하고 상냥한 6명의 소녀. 참가자들 중 똑똑하고 친절하며 동시에 단 한 명도 없었다고 말하면 얼마나 많은 아름답고 동시에 친절한 소녀들이 있었는지 결정하십시오. 아름다운 소녀?
우리 반에는 35명의 학생이 있습니다. 러시아어로 된 5개 중 1/4분기에는 14명의 학생이 있었습니다. 수학에서 - 12; 역사에서 - 23, 러시아어와 수학에서 - 4, 수학 및 역사 - 9; 러시아어 및 역사 - 5. 세 과목 모두에서 5점을 받은 학생이 몇 명입니까? 이 과목 중 적어도 한 과목에서 5점이 아닌 학생이 한 학급에 한 명도 없다면?
100명 중 85명은 영어, 80명은 스페인어, 75명은 독일어를 사용합니다. 모두 적어도 하나의 외국어를 구사합니다. 그들 중에는 두 가지 외국어를 할 줄 아는 사람이 없고 세 가지 언어를 할 줄 아는 사람이 있습니다. 100명 중 3개 국어를 아는 사람은 몇 명입니까?
회사 직원 중 16명이 프랑스, 10-이탈리아, 6-영국을 방문했습니다. 영국과 이탈리아 - 5; 영국과 프랑스 - 6; 세 국가 모두에서 - 5명의 직원. 회사에 19명이 있고 각각이 이 국가 중 하나 이상을 방문했다면 이탈리아와 프랑스를 모두 방문한 사람은 몇 명입니까?