끔찍한 공식의 무더기, 당신이 열고 즉시 닫는 고등 수학에 대한 매뉴얼, 겉보기에 매우 단순한 문제에 대한 해결책에 대한 고통스러운 검색 .... 이러한 상황은 드문 일이 아닙니다. 특히 수학 교과서가 먼 11학년 때 마지막으로 펼쳤을 때 그렇습니다. 한편, 대학에서는 많은 전문 분야의 커리큘럼이 모든 사람이 좋아하는 고등 수학 연구를 제공합니다. 그리고 이 상황에서, 당신은 종종 끔찍한 수학 abracadabra의 더미 앞에서 완전한 찻주전자처럼 느껴집니다. 더욱이, 특히 자연 과학의 순환에서 어떤 주제의 연구에서도 유사한 상황이 발생할 수 있습니다.

무엇을 할까요? 풀 타임 학생의 경우 물론 주제가 매우 무시되지 않는 한 모든 것이 훨씬 간단합니다. 선생님, 급우들과 상담하고 책상 위에 이웃의 글을 쓸 수 있습니다. 고등 수학의 완전한 찻주전자라도 그러한 시나리오에서는 세션에서 살아남을 것입니다.

그리고 대학 통신학과, 고등수학을 전공하는 사람이라면, 간단히 말해서 미래에 필요하지 않을까요? 또한 수업 시간이 없습니다. 대부분의 경우 그렇습니다. 그러나 아무도 시험 수행을 취소하고 시험을 통과하지 못했습니다(대부분의 경우 필기). 고등 수학 시험을 통해 찻주전자이든 아니든 모든 것이 더 쉬워집니다. 수학 시험을 주문할 수 있습니다. 예를 들어, 나는 있습니다. 다른 품목도 주문할 수 있습니다. 더 이상 여기에 없습니다. 그러나 검토를 위한 시험지의 구현 및 제출은 아직 성적부에 탐나는 항목으로 연결되지 않습니다. 주문 제작한 예술 작품을 방어해야 하는 경우가 종종 있는데 이 공식이 이 편지들에서 나오는 이유를 설명해야 합니다. 또한 시험이 다가오고 있으며 거기에서 이미 행렬식, 극한 및 미분을 독립적으로 풀어야 합니다. 물론, 교사가 값진 선물을 받지 않거나 교실 밖에 고용된 후원자가 없는 경우를 제외하고는.

아주 중요한 조언을 드리겠습니다. 시험, 정확 및 자연 과학 시험에서는 무언가를 이해하는 것이 매우 중요합니다. 적어도 무언가를 기억하십시오. 사고 과정의 완전한 부재는 단순히 교사를 화나게합니다. 나는 파트 타임 학생들이 5-6 번 포장 된 경우를 알고 있습니다. 한 청년이 시험에 4번 합격했고, 재응시할 때마다 무료 보증 상담을 받기 위해 저를 찾아온 것으로 기억합니다. 결국 답안에서 파이가 아닌 뻬(pe)라는 글자를 썼는데, 그 뒤에 리뷰어의 가혹한 제재가 따랐다. 그 학생은 그 과제를 보고 싶어하지도 않았고, 그는 부담 없이 다시 썼습니다.

고등 수학에서는 완전한 더미가 될 수 있지만 상수의 도함수가 0과 같다는 것을 아는 것이 매우 바람직합니다. 기초적인 질문에 약간의 엉뚱한 대답을 하면 대학에서의 공부가 끝날 확률이 높기 때문입니다. 교사는 주제를 이해하려고 최소한 노력하는 학생, 비록 실수이긴 하지만 무언가를 해결, 설명 또는 증명하려고 하는 학생에게 훨씬 더 호의적입니다. 그리고 이 진술은 모든 학문 분야에 적용됩니다. 그러므로 “나는 아무것도 모른다, 나는 아무것도 이해하지 못한다”라는 입장은 단호히 거부되어야 한다.

두 번째로 중요한 조언은 강의가 많지 않더라도 참석하는 것입니다. 나는 이미 사이트의 메인 페이지에서 이것을 언급했습니다. 통신 학생을 위한 수학. 그것이 매우 중요한 이유를 반복하는 것은 의미가 없습니다. 거기에서 읽으십시오.

따라서 코에 대한 테스트, 고등 수학 시험이 있고 상황이 한탄할 경우 어떻게해야합니까? 전체 또는 오히려 빈 찻 주전자의 상태는 무엇입니까?

한 가지 옵션은 교사를 고용하는 것입니다. 가장 큰 튜터 데이터베이스는 (주로 모스크바) 또는 (주로 상트페테르부르크)에서 찾을 수 있습니다. 검색 엔진을 사용하면 도시에서 튜터를 찾거나 지역 광고 신문을 볼 가능성이 큽니다. 교사의 서비스 가격은 교사의 자격에 따라 시간당 400 루블 이상에서 다양합니다. 특히 수학적 배경이 좋은 경우 저렴하다고 해서 나쁜 것은 아니라는 점에 유의해야 합니다. 동시에 2-3K 루블의 경우 많은 것을 얻을 수 있습니다. 아무도 그런 돈을 헛되이 가져 가지 않고 헛되이 돈을 지불하지 않습니다 ;-). 유일한 중요한 점 - 전문 교육을받은 교사를 선택하십시오. 그리고 사실, 우리는 법적인 도움을 받기 위해 치과에 가지 않습니다.

최근에는 온라인 과외 서비스가 인기를 얻고 있습니다. 급하게 1~2개의 문제를 풀거나, 주제를 이해하거나, 시험을 준비해야 할 때 매우 편리합니다. 의심의 여지가 없는 장점은 오프라인 튜터보다 몇 배나 저렴한 가격 + 대도시 거주자에게 특히 중요한 여행 시간 절약입니다.

고등 수학 과정에서 튜터 없이 일부 사항을 마스터하는 것은 매우 어렵습니다. "실시간" 설명만 있으면 됩니다.

그럼에도 불구하고 많은 유형의 문제를 스스로 이해하는 것은 충분히 가능하며 사이트의 이 섹션의 목적은 시험에서 거의 항상 발견되는 전형적인 예와 문제를 해결하는 방법을 가르치는 것입니다. 더욱이, 많은 작업에 대해 올바른 솔루션에서 벗어날 수 없는 "하드" 알고리즘이 있습니다. 그리고 제가 아는 한, 특히 제 전문 분야에서 교육학 교육과 업무 경험이 있기 때문에 여러분을 도우려고 노력할 것입니다.

수학적 횡설수설을 시작합시다. 괜찮아요. 당신이 찻주전자일지라도 고등 수학은 정말 간단하고 접근하기 쉽습니다.

그리고 수학의 학교 과정을 반복하는 것으로 시작해야 합니다. 반복은 고통의 어머니입니다.

내 방법론적 자료를 공부하기 전에, 그리고 일반적으로 고등 수학의 자료를 공부하기 전에 다음을 읽을 것을 적극 권장합니다.

고등 수학의 문제를 성공적으로 해결하려면 다음을 수행해야 합니다.

마이크로 계산기를 구입하세요.

프로그램 중 - Excel(훌륭한 선택입니다!). "인형"에 대한 설명서를 라이브러리에 업로드했습니다.

있다? 이미 좋아.

– 용어 재정렬에서 - 합계가 변경되지 않음: .
그러나 이것들은 완전히 다릅니다:

"x"와 "four"를 재배열하는 것은 불가능합니다. 동시에 수학에서 알 수 없거나 가변적인 값을 의미하는 상징적인 문자 "x"를 기억합니다.

– 요소를 재배열하여 제품이 변경되지 않음: .
나누기를 사용하면 이러한 트릭이 작동하지 않으며 이들은 완전히 다른 두 분수이며 분자를 분모로 재정렬해도 결과가 없습니다.
우리는 또한 곱하기 기호("점")가 가장 자주 쓰여지지 않는다는 것을 기억합니다.

– 대괄호 확장 규칙을 기억하십시오.:
- 여기에서 용어의 기호는 변경되지 않습니다.
- 그리고 여기에서 그들은 반대입니다.
그리고 곱셈의 경우:

일반적으로 다음을 기억하는 것으로 충분합니다. 2 빼면 플러스, 하지만 3 빼기 - 빼기. 그리고, 고등 수학에서 문제를 풀 때 혼동하지 마십시오(매우 빈번하고 성가신 실수).

– 유사 용어의 감소를 상기하십시오., 다음 작업을 잘 이해하고 있어야 합니다.

– 학위가 무엇인지 기억하십시오:

, , , .

학위는 평범한 곱셈입니다.

–분수를 줄일 수 있음을 기억하십시오: (2로 감소), (5로 감소), ()로 감소.

– 분수로 동작 기억하기:

또한 분수를 공통 분모로 줄이는 매우 중요한 규칙:

이러한 예가 명확하지 않은 경우 학교 교과서를 참조하십시오.
이것이 없으면 TOUGH가 될 것입니다.

조언: 고등 수학에서의 모든 중간 계산은 . 이 분수는 로 나타내지 않아야 하며 또한 계산기에서 분자를 분모로 나누면 4.334552102가 됩니다....

규칙에 대한 예외는 작업의 최종 답변이므로 or를 쓰는 것이 좋습니다.

– 방정식. 그것은 왼쪽과 오른쪽이 있습니다. 예를 들어:

기호를 변경하여 용어를 다른 부분으로 전송할 수 있습니다.:
예를 들어 모든 항을 왼쪽으로 이동해 보겠습니다.

또는 오른쪽:

새 페이지 1

인형에 대한 수학적 분석. 수업 1. 세트.

세트의 개념

많은일부 개체의 모음입니다. 무엇을 설정할 수 있습니까? 첫째, 유한하거나 무한합니다. 예를 들어, 상자 안의 성냥 세트는 유한 세트이며 가져 와서 계산할 수 있습니다. 해변의 모래 알갱이의 수는 계산하기가 훨씬 어렵지만 원칙적으로는 가능합니다. 그리고 이 양은 어떤 유한한 숫자로 표현됩니다. 물론 해변에는 많은 모래 알갱이가 있습니다. 그러나 직선 위의 점들의 집합은 무한집합이다. 첫째, 선 자체가 무한하고 원하는 만큼 점을 놓을 수 있기 때문입니다. 선분의 점 집합도 무한합니다. 이론적으로 점은 임의로 작을 수 있기 때문입니다. 물론, 예를 들어 원자 크기보다 작은 점을 물리적으로 그릴 수는 없지만 수학의 관점에서 점은 크기가 없습니다. 크기는 0입니다. 숫자를 0으로 나누면 어떻게 될까요? 맞습니다, 무한입니다. 그리고 직선과 선분 위의 점들의 집합은 무한대인 경향이 있지만, 이것은 같은 것이 아닙니다. 집합은 거기에 있는 어떤 것의 양이 아니라 모든 개체의 모음입니다. 그리고 정확히 동일한 객체를 포함하는 세트만 동일한 것으로 간주됩니다. 한 세트에 다른 세트와 동일한 객체가 포함되어 있지만 "왼쪽" 객체가 하나 더 있으면 이들은 더 이상 동일한 세트가 아닙니다.

예를 들어 보십시오. 두 세트가 있다고 가정 해 봅시다. 첫 번째는 선에 있는 모든 점의 모음입니다. 두 번째는 직선 세그먼트에 있는 모든 점의 집합입니다. 왜 그들은 평등하지 않습니까? 첫째, 선분과 직선은 교차하지 않을 수 있습니다. 그런 다음 완전히 다른 점을 포함하기 때문에 확실히 같지 않습니다. 그것들이 교차한다면 공통점은 하나뿐입니다. 나머지는 모두 다릅니다. 세그먼트가 직선에 있으면 어떻게 됩니까? 그런 다음 세그먼트의 모든 점은 선의 점이기도 합니다. 그러나 선의 모든 점이 선분의 점인 것은 아닙니다. 따라서 이 경우 집합은 동일한(동일한) 것으로 간주될 수 없습니다.

각 집합은 요소가 이 집합에 속하는지 여부를 고유하게 결정하는 규칙에 의해 정의됩니다. 이러한 규칙은 무엇입니까? 예를 들어 집합이 유한한 경우 모든 개체를 어리석게도 열거할 수 있습니다. 범위를 설정할 수 있습니다. 예를 들어, 1에서 10까지의 모든 정수입니다. 이것도 유한 집합이지만 여기서는 요소를 나열하지 않고 규칙을 공식화합니다. 또는 부등식, 예를 들어 모든 숫자는 10보다 큽니다. 이것은 가장 큰 숫자의 이름을 지정할 수 없기 때문에 이미 무한 집합입니다. 우리가 어떤 숫자를 부르든 항상 이 숫자에 1을 더한 값이 있습니다.

일반적으로 세트는 라틴 알파벳 A, B, C 등의 대문자로 표시됩니다. 세트가 특정 요소로 구성되어 있고 이를 이러한 요소의 목록으로 정의하려는 경우 이 목록을 중괄호로 묶을 수 있습니다(예: A=(a, b, c, d)). 가 집합 A의 요소이면 다음과 같이 작성됩니다. ㅏ Î ㅏ. 집합 A의 요소가 아닌 경우 a를 작성하십시오. Ï A. 중요한 집합 중 하나는 모든 자연수 N=(1,2,3,...,)의 집합 N입니다. 단일 요소를 포함하지 않는 특수, 소위 빈 집합도 있습니다. 빈 집합은 기호로 표시됩니다. Æ .

정의 1(집합의 평등 정의). 세트 하지만및 B는 동일한 요소로 구성된 경우 동일합니다. 즉, x에서н A는 x н B를 따르고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. x н B는 x н A를 따릅니다.

공식적으로 두 집합의 평등은 다음과 같이 작성됩니다.

(A=B) := " 엑스 (( 엑스 Î ㅏ ) Û (엑스 Î 비 )),

이것은 어떤 객체 x에 대해 관계 x를 의미합니다.Î 에이와 엑스О B는 동일합니다.

여기 " 는 범용 수량자(" 엑스각각에 대해 " 엑스").

정의 2(부분집합 정의). 많은 하지만집합의 부분집합이다 입력만약에 어떠한 엑스세트에 속하는 하지만, 집합에 속함 입력.공식적으로는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

(ㅏ Ì 비) := " 엑스((엑스 Î ㅏ) Þ (엑스 Î 비))

만약 Ì B하지만 A ¹ B, 그러면 A는 집합의 적절한 부분 집합입니다. 입력.다시 한 번, 직선과 선분을 예로 들 수 있습니다. 세그먼트가 선 위에 있는 경우 해당 점 집합은 이 선 점의 하위 집합입니다. 또는 다른 예입니다. 3으로 균등하게 나누어 떨어지는 정수 집합은 정수 집합의 하위 집합입니다.

논평.빈 집합은 모든 집합의 하위 집합입니다.

세트 작업

세트에서 다음 작업이 가능합니다.

노동 조합.이 작업의 핵심은 두 세트를 결합된 각 세트의 요소를 포함하는 하나로 결합하는 것입니다. 공식적으로는 다음과 같습니다.

C=AÈ B:= {더블 엑스 Î 에이 또는 엑스Î 비}

예시. 불평등을 해결하자 | 2 엑스+ 3 | > 7.

2x+3에 대한 부등식 2x+3 >7을 의미합니다.≥0, x>2

또는 불평등 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

이 부등식에 대한 해의 집합은 집합의 합집합(-∞,-5)입니다. È(2, ∞).

점검 해보자. 식의 값을 계산해 봅시다. | 2 엑스+ 3 | 여러 점에 대해 주어진 범위에 속하거나 속이지 않음:

엑스	| 2 엑스+ 3 |
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

보시다시피 모든 것이 올바르게 결정되었습니다(테두리 범위는 빨간색으로 표시됨).

교차로.교차는 이 두 집합에 모두 포함된 두 개의 포함 요소로 구성된 새 집합을 만드는 작업입니다. 이것을 시각화하기 위해 평면에 두 개의 점 세트, 즉 그림 A와 그림 B가 있다고 상상해 봅시다. 이들의 교집합은 그림 C를 나타냅니다. 이것은 집합 교집합 연산의 결과입니다.

공식적으로 집합의 교집합 연산은 다음과 같이 작성됩니다.

C=A Ç B:= (x:x Î A 및 x О B )

예시.그럼 세트로 하자 C=A Ç B = {5,6,7}

빼기.집합 빼기는 빼기와 빼기에 포함된 요소의 빼기 집합에서 제외됩니다.

공식적으로 집합의 빼기는 다음과 같이 작성됩니다.

A\B:={더블 엑스 Î 에이와 엑스Ï 비}

예시.우리가 많이 가질 수 있기를 A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10).그 다음에 C=A\ 비 = { 1,2,3,4}

덧셈.보수는 단항 연산입니다(2에 대한 연산이 아니라 하나의 집합에 대한 연산). 이 연산은 완전한 범용 집합(다른 모든 집합을 포함하는 집합)에서 주어진 집합을 뺀 결과입니다.

A := (x:x О U 및 x П A) = U \ A

이것은 그래픽으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

대칭적 차이.세트의 대칭적인 차이와 달리 일반적인 차이와 달리 하나 또는 다른 세트에 존재하는 요소만 남습니다. 또는 간단히 말해서 두 집합에서 생성되지만 두 집합에 있는 요소는 제외됩니다.

수학적으로는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

ㅏ디 B:= (A\B) È ( B\A) = (ㅏ È 비) \ (ㅏ Ç 비)

집합에 대한 작업의 속성입니다.

집합의 합집합과 교집합의 정의에서 교집합과 합집합의 연산은 다음과 같은 속성을 갖는다는 것을 알 수 있습니다.

1. 교환성.

ㅏ È 나=나È ㅏ
ㅏÇ 나=나Ç ㅏ

1. 연관성.

(ㅏ È 비) È C=AÈ ( 비 È 씨)
(ㅏ Ç 비) Ç C= 에이Ç ( 비 Ç 씨)

끔찍한 공식의 무더기, 당신이 열고 즉시 닫는 고등 수학에 대한 매뉴얼, 겉보기에 매우 단순한 문제에 대한 해결책에 대한 고통스러운 검색 .... 이러한 상황은 드문 일이 아닙니다. 특히 수학 교과서가 먼 11학년 때 마지막으로 펼쳤을 때 그렇습니다. 한편, 대학에서는 많은 전문 분야의 커리큘럼이 모든 사람이 좋아하는 고등 수학 연구를 제공합니다. 그리고 이 상황에서, 당신은 종종 끔찍한 수학 abracadabra의 더미 앞에서 완전한 찻주전자처럼 느껴집니다. 더욱이, 특히 자연 과학의 순환에서 어떤 주제의 연구에서도 유사한 상황이 발생할 수 있습니다.

무엇을 할까요? 풀 타임 학생의 경우 물론 주제가 매우 무시되지 않는 한 모든 것이 훨씬 간단합니다. 선생님, 급우들과 상담하고 책상 위에 이웃의 글을 쓸 수 있습니다. 고등 수학의 완전한 찻주전자라도 그러한 시나리오에서는 세션에서 살아남을 것입니다.

그리고 대학 통신학과, 고등수학을 전공하는 사람이라면, 간단히 말해서 미래에 필요하지 않을까요? 또한 수업 시간이 없습니다. 대부분의 경우 그렇습니다. 그러나 아무도 시험 수행을 취소하고 시험을 통과하지 못했습니다(대부분의 경우 필기). 고등 수학 시험을 통해 찻주전자이든 아니든 모든 것이 더 쉬워집니다. 수학 시험을 주문할 수 있습니다. 예를 들어, 나는 있습니다. 다른 품목도 주문할 수 있습니다. 더 이상 여기에 없습니다. 그러나 검토를 위한 시험지의 구현 및 제출은 아직 성적부에 탐나는 항목으로 연결되지 않습니다. 주문 제작한 예술 작품을 방어해야 하는 경우가 종종 있는데 이 공식이 이 편지들에서 나오는 이유를 설명해야 합니다. 또한 시험이 다가오고 있으며 거기에서 이미 행렬식, 극한 및 미분을 독립적으로 풀어야 합니다. 물론, 교사가 값진 선물을 받지 않거나 교실 밖에 고용된 후원자가 없는 경우를 제외하고는.

아주 중요한 조언을 드리겠습니다. 시험, 정확 및 자연 과학 시험에서는 무언가를 이해하는 것이 매우 중요합니다. 적어도 무언가를 기억하십시오. 사고 과정의 완전한 부재는 단순히 교사를 화나게합니다. 나는 파트 타임 학생들이 5-6 번 포장 된 경우를 알고 있습니다. 한 청년이 시험에 4번 합격했고, 재응시할 때마다 무료 보증 상담을 받기 위해 저를 찾아온 것으로 기억합니다. 결국 답안에서 파이가 아닌 뻬(pe)라는 글자를 썼는데, 그 뒤에 리뷰어의 가혹한 제재가 따랐다. 그 학생은 그 과제를 보고 싶어하지도 않았고, 그는 부담 없이 다시 썼습니다.

고등 수학에서는 완전한 더미가 될 수 있지만 상수의 도함수가 0과 같다는 것을 아는 것이 매우 바람직합니다. 기초적인 질문에 약간의 엉뚱한 대답을 하면 대학에서의 공부가 끝날 확률이 높기 때문입니다. 교사는 주제를 이해하려고 최소한 노력하는 학생, 비록 실수이긴 하지만 무언가를 해결, 설명 또는 증명하려고 하는 학생에게 훨씬 더 호의적입니다. 그리고 이 진술은 모든 학문 분야에 적용됩니다. 그러므로 “나는 아무것도 모른다, 나는 아무것도 이해하지 못한다”라는 입장은 단호히 거부되어야 한다.

두 번째로 중요한 조언은 강의가 많지 않더라도 참석하는 것입니다. 나는 이미 사이트의 메인 페이지에서 이것을 언급했습니다. 통신 학생을 위한 수학. 그것이 매우 중요한 이유를 반복하는 것은 의미가 없습니다. 거기에서 읽으십시오.

따라서 코에 대한 테스트, 고등 수학 시험이 있고 상황이 한탄할 경우 어떻게해야합니까? 전체 또는 오히려 빈 찻 주전자의 상태는 무엇입니까?

한 가지 옵션은 교사를 고용하는 것입니다. 가장 큰 튜터 데이터베이스는 (주로 모스크바) 또는 (주로 상트페테르부르크)에서 찾을 수 있습니다. 검색 엔진을 사용하면 도시에서 튜터를 찾거나 지역 광고 신문을 볼 가능성이 큽니다. 교사의 서비스 가격은 교사의 자격에 따라 시간당 400 루블 이상에서 다양합니다. 특히 수학적 배경이 좋은 경우 저렴하다고 해서 나쁜 것은 아니라는 점에 유의해야 합니다. 동시에 2-3K 루블의 경우 많은 것을 얻을 수 있습니다. 아무도 그런 돈을 헛되이 가져 가지 않고 헛되이 돈을 지불하지 않습니다 ;-). 유일한 중요한 점 - 전문 교육을받은 교사를 선택하십시오. 그리고 사실, 우리는 법적인 도움을 받기 위해 치과에 가지 않습니다.

최근에는 온라인 과외 서비스가 인기를 얻고 있습니다. 급하게 1~2개의 문제를 풀거나, 주제를 이해하거나, 시험을 준비해야 할 때 매우 편리합니다. 의심의 여지가 없는 장점은 오프라인 튜터보다 몇 배나 저렴한 가격 + 대도시 거주자에게 특히 중요한 여행 시간 절약입니다.

고등 수학 과정에서 튜터 없이 일부 사항을 마스터하는 것은 매우 어렵습니다. "실시간" 설명만 있으면 됩니다.

그럼에도 불구하고 많은 유형의 문제를 스스로 이해하는 것은 충분히 가능하며 사이트의 이 섹션의 목적은 시험에서 거의 항상 발견되는 전형적인 예와 문제를 해결하는 방법을 가르치는 것입니다. 더욱이, 많은 작업에 대해 올바른 솔루션에서 벗어날 수 없는 "하드" 알고리즘이 있습니다. 그리고 제가 아는 한, 특히 제 전문 분야에서 교육학 교육과 업무 경험이 있기 때문에 여러분을 도우려고 노력할 것입니다.

수학적 횡설수설을 시작합시다. 괜찮아요. 당신이 찻주전자일지라도 고등 수학은 정말 간단하고 접근하기 쉽습니다.

그리고 수학의 학교 과정을 반복하는 것으로 시작해야 합니다. 반복은 고통의 어머니입니다.

내 방법론적 자료를 공부하기 전에, 그리고 일반적으로 고등 수학의 자료를 공부하기 전에 다음을 읽을 것을 적극 권장합니다.

고등 수학의 문제를 성공적으로 해결하려면 다음을 수행해야 합니다.

마이크로 계산기를 구입하세요.

프로그램 중 - Excel(훌륭한 선택입니다!). "인형"에 대한 설명서를 라이브러리에 업로드했습니다.

있다? 이미 좋아.

– 용어 재정렬에서 - 합계가 변경되지 않음: .
그러나 이것들은 완전히 다릅니다:

"x"와 "four"를 재배열하는 것은 불가능합니다. 동시에 수학에서 알 수 없거나 가변적인 값을 의미하는 상징적인 문자 "x"를 기억합니다.

– 요소를 재배열하여 제품이 변경되지 않음: .
나누기를 사용하면 이러한 트릭이 작동하지 않으며 이들은 완전히 다른 두 분수이며 분자를 분모로 재정렬해도 결과가 없습니다.
우리는 또한 곱하기 기호("점")가 가장 자주 쓰여지지 않는다는 것을 기억합니다.

– 대괄호 확장 규칙을 기억하십시오.:
- 여기에서 용어의 기호는 변경되지 않습니다.
- 그리고 여기에서 그들은 반대입니다.
그리고 곱셈의 경우:

일반적으로 다음을 기억하는 것으로 충분합니다. 2 빼면 플러스, 하지만 3 빼기 - 빼기. 그리고, 고등 수학에서 문제를 풀 때 혼동하지 마십시오(매우 빈번하고 성가신 실수).

– 유사 용어의 감소를 상기하십시오., 다음 작업을 잘 이해하고 있어야 합니다.

– 학위가 무엇인지 기억하십시오:

, , , .

학위는 평범한 곱셈입니다.

–분수를 줄일 수 있음을 기억하십시오: (2로 감소), (5로 감소), ()로 감소.

– 분수로 동작 기억하기:

또한 분수를 공통 분모로 줄이는 매우 중요한 규칙:

이러한 예가 명확하지 않은 경우 학교 교과서를 참조하십시오.
이것이 없으면 TOUGH가 될 것입니다.

조언: 고등 수학에서의 모든 중간 계산은 . 이 분수는 로 나타내지 않아야 하며 또한 계산기에서 분자를 분모로 나누면 4.334552102가 됩니다....

규칙에 대한 예외는 작업의 최종 답변이므로 or를 쓰는 것이 좋습니다.

– 방정식. 그것은 왼쪽과 오른쪽이 있습니다. 예를 들어:

기호를 변경하여 용어를 다른 부분으로 전송할 수 있습니다.:
예를 들어 모든 항을 왼쪽으로 이동해 보겠습니다.

또는 오른쪽:

한계는 모든 수학 학생들에게 많은 어려움을 줍니다. 한계를 해결하기 위해 때로는 많은 트릭을 사용하고 다양한 솔루션 중에서 특정 예에 적합한 솔루션을 선택해야 합니다.

이 기사에서 우리는 당신이 당신의 능력의 한계를 이해하거나 통제의 한계를 이해하는 것을 돕지 않을 것이지만, 우리는 질문에 답하려고 노력할 것입니다: 더 높은 수학에서 한계를 이해하는 방법? 이해는 경험과 함께 제공되므로 동시에 설명과 함께 한계를 해결하는 몇 가지 자세한 예를 제공합니다.

수학의 극한 개념

첫 번째 질문은 다음과 같습니다. 한계와 한계는 무엇입니까? 숫자 시퀀스와 함수의 한계에 대해 이야기할 수 있습니다. 우리는 함수의 극한이라는 개념에 관심이 있습니다. 왜냐하면 학생들이 가장 자주 접하는 부분이 함수이기 때문입니다. 그러나 먼저 한계의 가장 일반적인 정의는 다음과 같습니다.

변수가 있다고 합시다. 변화하는 과정에서 이 값이 무한정 특정 숫자에 접근한다면 ㅏ , 그 다음에 ㅏ 이 값의 한계입니다.

어떤 간격으로 정의된 함수에 대해 f(x)=y 한계는 숫자 ㅏ , 함수는 다음과 같은 경향이 있습니다. 엑스 특정 지점에 경향 하지만 . 점 하지만 함수가 정의된 간격에 속합니다.

복잡하게 들리지만 매우 간단하게 작성되었습니다.

임- 영어로부터 한계- 한계.

극한의 정의에 대한 기하학적 설명도 있지만 여기서는 이론적인 측면보다 문제의 이론적인 측면에 더 관심이 있기 때문에 이론은 다루지 않습니다. 우리가 말할 때 엑스 어떤 값으로 가는 경향이 있습니다. 이것은 변수가 숫자의 값을 취하지 않고 무한히 가깝게 접근한다는 것을 의미합니다.

구체적인 예를 들어보겠습니다. 문제는 한계를 찾는 것입니다.

이 예를 해결하기 위해 다음 값을 대체합니다. x=3 기능으로. 우리는 다음을 얻습니다:

그건 그렇고, 행렬에 대한 기본 연산에 관심이 있다면 이 주제에 대한 별도의 기사를 읽으십시오.

예에서 엑스 어떤 값이든 경향이 있을 수 있습니다. 숫자 또는 무한대일 수 있습니다. 다음은 다음과 같은 경우의 예입니다. 엑스 무한대 경향:

분모의 숫자가 클수록 함수가 취하는 값이 작아진다는 것은 직관적으로 분명합니다. 따라서 무한한 성장으로 엑스 의미 1/x 감소하고 0에 접근합니다.

보시다시피 극한을 풀기 위해 노력할 값을 함수에 대입하면 됩니다. 엑스 . 그러나 이것은 가장 간단한 경우입니다. 종종 한계를 찾는 것이 그렇게 분명하지 않습니다. 한계 내에서 유형의 불확실성이 있습니다. 0/0 또는 무한대/무한대 . 이러한 경우 어떻게 해야 합니까? 트릭을 사용하십시오!

내 불확실성

무한대/무한대 형태의 불확실성

한계가 있게 하십시오:

함수에 무한대를 대입하려고 하면 분자와 분모 모두에서 무한대가 됩니다. 일반적으로 그러한 불확실성을 해결하는 데 예술의 특정 요소가 있다고 말할 가치가 있습니다. 불확실성이 사라지는 방식으로 함수를 변환하는 방법에 주목해야 합니다. 우리의 경우 분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다. 엑스 수석 학위에서. 무슨 일이 일어날 것?

위에서 이미 고려한 예에서 분모에 x를 포함하는 항은 0이 되는 경향이 있음을 알고 있습니다. 그런 다음 한계에 대한 솔루션은 다음과 같습니다.

유형 모호성을 발견하려면 무한대/무한대분자와 분모를 나눕니다. 엑스최고 수준으로.

그런데! 독자들을 위해 지금 10% 할인이 있습니다. 어떤 종류의 작업

다른 유형의 불확실성: 0/0

항상 그렇듯이 가치 함수로의 대체 x=-1 준다 0 분자와 분모에서. 조금 더 자세히 살펴보면 분자에 이차 방정식이 있음을 알 수 있습니다. 뿌리를 찾아 다음과 같이 작성해 봅시다.

줄이고 다음을 얻습니다.

따라서 유형 모호성이 발생하면 0/0 - 분자와 분모를 분해합니다.

예제를 더 쉽게 풀 수 있도록 일부 기능의 제한이 있는 표가 있습니다.

내부의 로피탈의 법칙

두 가지 유형의 불확실성을 모두 제거하는 또 다른 강력한 방법입니다. 방법의 본질은 무엇입니까?

극한에 불확실성이 있는 경우 불확실성이 사라질 때까지 분자와 분모의 미분을 취합니다.

시각적으로 L'Hopital의 규칙은 다음과 같습니다.

중요 포인트 : 분자와 분모 대신 분자와 분모의 도함수가 존재하는 극한이 존재해야 한다.

이제 실제 예:

전형적인 불확실성이 있다 0/0 . 분자와 분모의 미분을 취하십시오.

짜잔, 불확실성은 빠르고 우아하게 제거됩니다.

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