방정식의 근은 분수입니다. 가장 간단한 유리 방정식
분수로 방정식 풀기예를 살펴보겠습니다. 예제는 간단하고 예시적입니다. 그들의 도움으로 가장 이해하기 쉬운 방식으로 이해할 수 있습니다.
예를 들어, 간단한 방정식 x/b + c = d를 풀어야 합니다.
이 유형의 방정식을 선형이라고 합니다. 분모는 숫자만 포함합니다.
솔루션은 방정식의 양변에 b를 곱하여 수행되며 방정식은 x = b*(d – c) 형식을 취합니다. 즉, 왼쪽에 있는 분수의 분모가 줄어듭니다.
예를 들어 해결 방법 분수 방정식:
x/5+4=9
두 부분에 5를 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다.
x+20=45
x=45-20=25
미지수가 분모에 있는 또 다른 예:
이 유형의 방정식을 분수 유리수 또는 단순히 분수라고 합니다.
우리는 분수를 제거하여 분수 방정식을 풀고, 그 후이 방정식은 가장 자주 일반적인 방법으로 해결되는 선형 또는 이차 방정식으로 바뀝니다. 다음 사항만 고려해야 합니다.
- 분모를 0으로 만드는 변수의 값은 근이 될 수 없습니다.
- 식 =0으로 방정식을 나누거나 곱할 수 없습니다.
여기에 허용 가능한 값의 영역(ODZ)과 같은 개념이 적용됩니다. 이는 방정식이 의미가 있는 방정식의 근의 값입니다.
따라서 방정식을 풀려면 근을 찾은 다음 ODZ 준수 여부를 확인해야 합니다. DHS에 해당하지 않는 뿌리는 답변에서 제외됩니다.
예를 들어, 분수 방정식을 풀어야 합니다.
위의 규칙에 따라 x는 = 0이 될 수 없습니다. 이 경우의 ODZ: x - 0이 아닌 모든 값.
방정식의 모든 항에 x를 곱하여 분모를 제거합니다.
그리고 일반적인 방정식을 푸십시오.
5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3
답: x = 1/3
더 복잡한 방정식을 풀어 보겠습니다.
ODZ는 여기에도 존재합니다: x -2.
이 방정식을 풀면 모든 것을 한 방향으로 옮기지 않고 분수를 공통 분모로 가져옵니다. 한 번에 모든 분모를 줄이는 식으로 방정식의 양변에 즉시 곱합니다.
분모를 줄이려면 왼쪽에 x + 2를, 오른쪽에 2를 곱해야 합니다. 따라서 방정식의 양쪽에 2(x + 2)를 곱해야 합니다.
이것은 위에서 이미 논의한 분수의 가장 일반적인 곱셈입니다.
우리는 동일한 방정식을 작성하지만 약간 다른 방식으로 작성합니다.
왼쪽은 (x + 2)만큼 감소하고 오른쪽은 2만큼 감소합니다. 감소 후 일반적인 선형 방정식을 얻습니다.
x \u003d 4 - 2 \u003d 2, 이는 ODZ에 해당합니다.
답: x = 2.
분수로 방정식 풀기보이는 것만큼 어렵지 않습니다. 이 기사에서는 이를 예제로 보여주었습니다. 에 어려움이 있는 경우 분수로 방정식을 푸는 방법, 댓글에서 구독을 취소하세요.
주제에 대한 프리젠 테이션 및 수업 : "합리적 방정식. 합리적인 방정식을 풀기위한 알고리즘 및 예"
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Makarychev Yu.N 교과서 매뉴얼 교과서 Mordkovich A.G.
무리수 방정식 소개
여러분, 우리는 이차 방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 그러나 수학은 그들에게 국한되지 않습니다. 오늘은 이성 방정식을 푸는 방법에 대해 알아보겠습니다. 개념 유리 방정식개념과 매우 유사 유리수. 숫자 외에도 이제 몇 가지 변수 $x$를 도입했습니다. 따라서 우리는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 정수 거듭제곱의 연산이 있는 표현식을 얻습니다.$r(x)$를 합리적인 표현
. 이러한 표현식은 변수 $x$의 단순 다항식 또는 다항식의 비율일 수 있습니다(유리수에 대해 나누기 연산이 도입됨).
$r(x)=0$ 방정식이 호출됩니다. 유리 방정식.
$p(x)$ 및 $q(x)$가 유리식인 $p(x)=q(x)$ 형식의 방정식도 다음과 같습니다. 유리 방정식.
합리적인 방정식을 푸는 예를 고려하십시오.
실시예 1방정식을 풉니다: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
해결책.
$\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$의 모든 표현식을 왼쪽으로 이동합시다.
일반 숫자가 방정식의 왼쪽에 표시되면 두 분수를 공통 분모로 가져옵니다.
$\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
$\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$ 방정식을 얻었습니다.
분수는 분수의 분자인 경우에만 0과 같습니다. 영, 분모는 0과 다릅니다. 그런 다음 별도로 분자를 0으로 동일시하고 분자의 근을 찾으십시오.
$3(x^2+2x-3)=0$ 또는 $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
이제 분수의 분모를 확인합시다: $(x-3)*x≠0$.
이 숫자 중 하나 이상이 0과 같을 때 두 숫자의 곱은 0과 같습니다. 그런 다음: $x≠0$ 또는 $x-3≠0$.
$x≠0$ 또는 $x≠3$.
분자와 분모에서 구한 근이 일치하지 않습니다. 따라서 응답으로 분자의 두 근을 모두 적습니다.
답: $x=1$ 또는 $x=-3$.
갑자기 분자의 근 중 하나가 분모의 근과 일치하면 제외해야합니다. 그러한 뿌리를 외래라고합니다!
유리 방정식을 푸는 알고리즘:
1. 방정식에 포함된 모든 표현식은 다음으로 옮겨야 합니다. 왼쪽등호에서.2. 방정식의 이 부분을 다음으로 변환합니다. 대수 분수: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. 결과 분자를 0과 동일시합니다. 즉, 방정식 $p(x)=0$을 풉니다.
4. 분모를 0과 동일시하고 결과 방정식을 풉니다. 분모의 근이 분자의 근과 일치하면 답에서 제외해야 합니다.
실시예 2
방정식을 풉니다: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
해결책.
알고리즘의 포인트에 따라 해결해 드립니다.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. 분자를 0과 동일시: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. 분모를 0으로 동일시:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ 및 $x=-1$.
$x=1$의 근 중 하나가 분자의 근과 일치하면 이에 대한 응답으로 기록하지 않습니다.
답: $x=-1$.
변수 변경 방법을 사용하여 유리 방정식을 푸는 것이 편리합니다. 그것을 보여줍시다.
실시예 3
방정식을 풉니다: $x^4+12x^2-64=0$.
해결책.
$t=x^2$를 대체합니다.
그러면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
$t^2+12t-64=0$는 일반 이차 방정식입니다.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
$x^2=4$ 또는 $x^2=-16$와 같은 역 치환을 도입합시다.
첫 번째 방정식의 근은 한 쌍의 숫자 $x=±2$입니다. 두 번째는 뿌리가 없습니다.
답: $x=±2$.
실시예 4
방정식을 풉니다: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
해결책.
$t=x^2+x+1$라는 새로운 변수를 소개하겠습니다.
그러면 방정식은 $t=\frac(15)(t+2)$ 형식을 취합니다.
다음으로 우리는 알고리즘에 따라 행동할 것입니다.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - 뿌리가 일치하지 않습니다.
역치환을 소개합니다.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
각 방정식을 개별적으로 해결해 보겠습니다.
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - 아니요 뿌리.
그리고 두 번째 방정식: $x^2+x-2=0$.
루팅 주어진 방정식$x=-2$ 및 $x=1$ 숫자가 있습니다.
답: $x=-2$ 및 $x=1$.
실시예 5
방정식을 풉니다: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
해결책.
$t=x+\frac(1)(x)$를 대체합니다.
그 다음에:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ 또는 $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
우리는 방정식을 얻었습니다: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
이 방정식의 근은 다음 쌍입니다.
$t=-3$ 및 $t=2$.
역대입을 소개하겠습니다.
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
별도로 결정하겠습니다.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
두 번째 방정식을 풀자:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
이 방정식의 근은 숫자 $x=1$입니다.
답: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
독립 솔루션을 위한 작업
방정식 풀기:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
우리는 7절에서 위의 방정식을 소개했습니다. 먼저 합리적 표현이 무엇인지 기억합니다. 이 - 대수식, 숫자와 변수 x로 구성된 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 및 덧셈 연산을 자연 지수로 사용합니다.
r(x)가 유리식이면 방정식 r(x) = 0을 유리식이라고 합니다.
그러나 실제로는 약간 더 많이 사용하는 것이 더 편리합니다. 폭넓은 해석용어 "합리 방정식": 이것은 h(x) = q(x) 형식의 방정식으로, 여기서 h(x) 및 q(x)는 유리 표현식입니다.
지금까지 우리는 어떤 합리적인 방정식도 풀 수 없었고, 다양한 변형과 추론의 결과로 일차 방정식. 이제 우리의 가능성은 훨씬 더 큽니다. 우리는 선형 방정식뿐만 아니라
mu뿐만 아니라 이차 방정식에도 적용됩니다.
이전에 유리 방정식을 풀었던 방법을 상기하고 솔루션 알고리즘을 공식화하려고 시도합니다.
실시예 1방정식을 풀다
해결책. 우리는 방정식을 다음 형식으로 다시 씁니다.
이 경우 평소와 같이 평등 A \u003d B 및 A-B \u003d 0이 A와 B 사이의 동일한 관계를 표현한다는 사실을 사용합니다. 이를 통해 항을 방정식의 왼쪽으로 이동할 수 있습니다. 반대 기호.
방정식의 좌변을 변환해 봅시다. 우리는
평등 조건을 상기하라 분수 0: 두 관계가 동시에 충족되는 경우에만:
1) 분수의 분자는 0입니다(a = 0). 2) 분수의 분모가 0과 다름).
방정식 (1)의 왼쪽에 있는 분수의 분자를 0과 같게 하면 다음을 얻습니다.
위에서 언급한 두 번째 조건의 충족 여부를 확인하는 일만 남았습니다. 비율은 방정식 (1)에 대해 다음을 의미합니다. 값 x 1 = 2 및 x 2 = 0.6은 표시된 관계를 충족하므로 방정식 (1)의 근과 동시에 주어진 방정식의 근이 됩니다.
1) 방정식을 다음 형식으로 변환합시다.
2) 이 방정식의 좌변 변환을 수행해 보겠습니다.
(동시에 분자의 부호를 변경하고
분수).
이런 식으로, 주어진 방정식형태를 취한다
3) 방정식 x 2 - 6x + 8 = 0을 풉니다. 찾기
4) 찾은 값의 조건 확인 
. 숫자 4는 이 조건을 만족하지만 숫자 2는 그렇지 않습니다. 따라서 4는 주어진 방정식의 근이고 2는 외부 근입니다.
답: 4.
2. 새로운 변수를 도입하여 유리방정식 풀기
새로운 변수를 도입하는 방법은 여러분에게 친숙하며, 우리는 그것을 한 번 이상 사용했습니다. 유리 방정식을 푸는 데 어떻게 사용되는지 예를 들어 보여 드리겠습니다.
실시예 3방정식 x 4 + x 2 - 20 = 0을 풉니다.
해결책. 새로운 변수 y \u003d x 2를 소개합니다. x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2 이후로 주어진 방정식은 다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.
y 2 + y - 20 = 0.
이것은 2차 방정식이며, 그 근은 알려진 방식; 우리는 y 1 = 4, y 2 = - 5를 얻습니다.
그러나 y \u003d x 2, 이는 문제가 두 방정식을 푸는 것으로 축소되었음을 의미합니다.
x2=4; x 2 \u003d -5.
첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식에는 근이 없음을 알 수 있습니다.
답변: .
ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 형식의 방정식을 이차 방정식("bi"-2, 즉 "2제곱" 방정식)이라고 합니다. 방금 푼 방정식은 정확히 이차방정식이었습니다. 모든 이차 방정식은 예제 3의 방정식과 같은 방식으로 해결됩니다. 새 변수 y \u003d x 2가 도입되고 결과 이차 방정식이 변수 y에 대해 풀린 다음 변수 x로 반환됩니다.
실시예 4방정식을 풀다
해결책. 동일한 표현식 x 2 + 3x가 여기에서 두 번 발생합니다. 따라서 새로운 변수 y = x 2 + Zx를 도입하는 것이 합리적입니다. 이것은 우리가 방정식을 더 간단하고 더 즐거운 형태로 다시 쓸 수 있게 해 줄 것입니다(사실, 이것은 새로운 변하기 쉬운- 녹음이 더 쉽습니다.
, 방정식의 구조가 더 명확해짐):
이제 우리는 합리적인 방정식을 푸는 알고리즘을 사용할 것입니다.
1) 방정식의 모든 항을 한 부분으로 옮깁니다.
= 0
2) 방정식의 좌변을 변환해 봅시다.
그래서 우리는 주어진 방정식을 다음 형식으로 변환했습니다.
3) 방정식에서 - 7y 2 + 29y -4 = 0을 찾았습니다(이미 많은 이차 방정식을 풀었으므로 교과서에서 항상 자세한 계산을 제공하는 것은 가치가 없을 것입니다).
4) 조건 5(y - 3)(y + 1)를 이용하여 찾은 근을 확인해보자. 두 뿌리 모두 이 조건을 만족합니다.
따라서 새로운 변수 y에 대한 이차 방정식이 풀립니다. 
y \u003d x 2 + Zx 및 y는 우리가 설정한 대로 두 개의 값을 취하기 때문에 4와, - 여전히 두 방정식을 풀어야 합니다. x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. 첫 번째 방정식의 근은 숫자 1과 - 4이고 두 번째 방정식의 근은 숫자입니다.
고려한 예에서 새로운 변수를 도입하는 방법은 수학자들이 말하는 것처럼 상황에 적절했습니다. 즉, 상황에 잘 부합했습니다. 왜요? 네, 같은 표현이 방정식에서 여러 번 분명히 나타났고 이 표현을 새 문자로 지정하는 것이 합리적이기 때문입니다. 그러나 이것이 항상 그런 것은 아니며 때로는 변환 과정에서만 새로운 변수가 "나타납니다". 이것이 바로 다음 예에서 일어날 일입니다.
실시예 5방정식을 풀다
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
해결책. 우리는
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.
따라서 주어진 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
이제 새로운 변수가 "나타났습니다": y = x 2 - Zx.
도움을 받아 방정식을 y (y + 2) \u003d 24 형식으로 다시 작성한 다음 y 2 + 2y - 24 \u003d 0 형식으로 다시 작성할 수 있습니다. 이 방정식의 근은 숫자 4와 -6입니다.
원래 변수 x로 돌아가서 두 개의 방정식 x 2 - Zx \u003d 4 및 x 2 - Zx \u003d - 6을 얻습니다. 첫 번째 방정식에서 x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1을 찾습니다. 두 번째 방정식에는 근이 없습니다.
답: 4, - 1.
유리 및 분수 유리 방정식에 대해 알아보고, 그 정의를 제공하고, 예를 제공하고, 가장 일반적인 유형의 문제도 분석해 보겠습니다.
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합리적 방정식: 정의 및 예
합리적인 표현과의 친분은 8학년부터 시작됩니다. 이때, 대수 수업에서 학생들은 점점 더 메모에 합리적인 표현이 포함된 방정식으로 과제를 해결하기 시작합니다. 그것이 무엇인지에 대한 기억을 새롭게 해보자.
정의 1
유리 방정식는 양변에 유리식이 포함된 방정식입니다.
다양한 설명서에서 다른 문구를 찾을 수 있습니다.
정의 2
유리 방정식- 이것은 방정식으로, 왼쪽의 레코드는 유리식을 포함하고 오른쪽의 레코드는 0을 포함합니다.
우리가 합리적인 방정식에 대해 부여한 정의는 동일한 것을 의미하기 때문에 동일합니다. 우리 말의 정확성은 합리적인 표현에 대해 피그리고 큐방정식 P=Q그리고 피 - Q = 0등가 표현이 됩니다.
이제 예제를 살펴보겠습니다.
실시예 1
합리적 방정식:
x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , xx 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
유리 방정식은 다른 유형의 방정식과 마찬가지로 1에서 여러 변수까지 포함할 수 있습니다. 우선, 우리는 고려할 것입니다 간단한 예, 방정식에는 하나의 변수만 포함됩니다. 그런 다음 점차 작업을 복잡하게 만들기 시작합니다.
합리적 방정식은 정수와 분수의 두 가지 큰 그룹으로 나뉩니다. 각 그룹에 어떤 방정식이 적용되는지 봅시다.
정의 3
왼쪽과 오른쪽 부분의 레코드에 전체 유리 표현식이 포함되어 있으면 유리 방정식은 정수가 됩니다.
정의 4
유리 방정식은 부분 중 하나 또는 모두에 분수가 포함되어 있으면 분수가 됩니다.
분수 유리 방정식은 반드시 변수에 의한 나눗셈을 포함하거나 변수가 분모에 존재합니다. 정수 방정식을 작성할 때 그러한 나눗셈은 없습니다.
실시예 2
3 x + 2 = 0그리고 (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5전체 유리 방정식입니다. 여기서 방정식의 두 부분은 정수 표현식으로 표시됩니다.
1 x - 1 = x 3 및 x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5분수 유리 방정식입니다.
전체 유리 방정식에는 1차 방정식과 2차 방정식이 포함됩니다.
정수 방정식 풀기
그러한 방정식의 해는 일반적으로 등가 대수 방정식으로의 변환으로 축소됩니다. 이것은 다음 알고리즘에 따라 방정식의 등가 변환을 수행하여 달성할 수 있습니다.
- 먼저 방정식의 오른쪽에서 0을 얻습니다. 이를 위해 방정식의 오른쪽에 있는 표현식을 왼쪽으로 옮기고 부호를 변경해야 합니다.
- 그런 다음 방정식의 왼쪽에 있는 표현식을 다항식으로 변환합니다. 표준보기.
대수 방정식을 얻어야 합니다. 이 방정식은 원래 방정식과 동일합니다. 쉬운 경우를 사용하면 전체 방정식을 선형 또는 이차 방정식으로 줄여 문제를 해결할 수 있습니다. 일반적인 경우, 우리는 차수의 대수 방정식을 풉니다. N.
실시예 3
전체 방정식의 근을 찾아야 합니다. 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
해결책
이에 상응하는 대수 방정식을 얻기 위해 원래 표현식을 변환해 보겠습니다. 이를 위해 방정식의 우변에 포함된 식을 좌변으로 옮기고 부호를 반대로 바꾸어 보겠습니다. 결과적으로 다음을 얻습니다. 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
이제 왼쪽에 있는 식을 표준 형식의 다항식으로 변환하고 다음을 수행합니다. 필요한 조치이 다항식으로:
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6
우리는 원래 방정식의 해를 해로 줄이는 데 성공했습니다. 이차 방정식친절한 x 2 − 5 x − 6 = 0. 이 방정식의 판별식은 양수입니다. D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 .이것은 두 개의 실제 뿌리가 있음을 의미합니다. 이차 방정식의 근 공식을 사용하여 구해 봅시다.
x \u003d - - 5 ± 49 2 1,
x 1 \u003d 5 + 7 2 또는 x 2 \u003d 5 - 7 2,
x 1 = 6 또는 x 2 = - 1
풀이 과정에서 찾은 방정식의 근의 정확성을 확인합시다. 우리가받은이 숫자에 대해 원래 방정식으로 대체합니다. 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3그리고 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. 첫 번째 경우 63 = 63 , 두 번째 0 = 0 . 뿌리 x=6그리고 x = - 1실제로 예제 조건에서 주어진 방정식의 근입니다.
답변: 6 , − 1 .
"전체 방정식의 거듭제곱"이 무엇을 의미하는지 살펴보겠습니다. 전체 방정식을 대수 방정식의 형태로 나타내야 하는 경우에 이 용어를 자주 접하게 됩니다. 개념을 정의합시다.
정의 5
정수 방정식의 차수학위는 대수 방정식, 이는 원래의 전체 방정식과 같습니다.
위의 예에서 방정식을 보면 다음을 설정할 수 있습니다. 이 전체 방정식의 차수는 두 번째입니다.
우리 과정이 2차 방정식을 푸는 것으로 제한되었다면 여기서 주제에 대한 고려가 완료될 수 있습니다. 그러나 모든 것이 그렇게 간단하지 않습니다. 3차 방정식을 푸는 것은 어려운 일입니다. 그리고 4차 이상의 방정식의 경우에는 전혀 존재하지 않습니다. 일반 공식뿌리. 이와 관련하여 3차, 4차 및 기타 차수의 전체 방정식을 풀려면 많은 다른 기술과 방법을 사용해야 합니다.
전체 유리 방정식을 푸는 데 가장 일반적으로 사용되는 접근 방식은 인수분해 방법을 기반으로 합니다. 이 경우의 동작 알고리즘은 다음과 같습니다.
- 레코드의 오른쪽에 0이 남도록 표현식을 오른쪽에서 왼쪽으로 옮깁니다.
- 왼쪽에 있는 식을 요인의 곱으로 표현한 다음 몇 가지 더 간단한 방정식 세트로 넘어갑니다.
방정식 (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) 의 해를 구합니다.
해결책
반대 기호를 사용하여 레코드의 오른쪽에서 왼쪽으로 표현식을 전송합니다. (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. 좌변을 표준 형식의 다항식으로 변환하는 것은 4차 대수 방정식을 제공한다는 사실 때문에 비실용적입니다. x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. 변환의 용이성은 그러한 방정식을 푸는 데 따른 모든 어려움을 정당화하지 않습니다.
다른 방향으로 가는 것이 훨씬 쉽습니다. 우리는 공통 요소를 제거합니다. x 2 − 10 x + 13 .따라서 우리는 다음 형식의 방정식에 도달합니다. (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. 이제 결과 방정식을 두 개의 이차 방정식 세트로 바꿉니다. x 2 − 10 x + 13 = 0그리고 x 2 − 2 x − 1 = 0판별식을 통해 근을 찾습니다. 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
답변: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
유사하게, 우리는 새로운 변수를 도입하는 방법을 사용할 수 있습니다. 이 방법을 사용하면 원래 전체 방정식보다 거듭제곱이 낮은 등가 방정식으로 전달할 수 있습니다.
실시예 5
방정식에 근이 있습니까? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
해결책
이제 전체 합리적 방정식을 대수적 방정식으로 줄이려고 하면 합리적 근이 없는 차수 4의 방정식을 얻게 됩니다. 따라서 다른 방향으로 가는 것이 더 쉬울 것입니다. 방정식의 표현식을 대체할 새로운 변수 y를 도입하십시오. x 2 + 3 x.
이제 우리는 전체 방정식으로 작업할 것입니다 (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). 방정식의 오른쪽을 반대 부호로 왼쪽으로 옮기고 필요한 변환을 수행합니다. 우리는 다음을 얻습니다: y 2 + 4 y + 3 = 0. 이차 방정식의 근을 구해 봅시다. y = - 1그리고 y = - 3.
이제 역대입을 해보자. 우리는 두 개의 방정식을 얻습니다. x 2 + 3 x = - 1그리고 x 2 + 3 x = - 3 . x 2 + 3 x + 1 = 0으로 다시 작성해 보겠습니다. x 2 + 3 x + 3 = 0. 얻은 첫 번째 방정식의 근을 찾기 위해 이차 방정식의 근 공식을 사용합니다. - 3 ± 5 2 . 두 번째 방정식의 판별식은 음수입니다. 이것은 두 번째 방정식에 실근이 없음을 의미합니다.
답변:- 3 ± 5 2
높은 차수의 정수 방정식은 문제를 자주 접합니다. 그들을 두려워할 필요가 없습니다. 많은 인공 변형을 포함하여 비표준 해결 방법을 적용할 준비가 되어 있어야 합니다.
분수 유리 방정식의 솔루션
우리는 p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘으로 이 하위 주제에 대한 고려를 시작합니다. 여기서 피(x)그리고 q(x)정수 유리 표현식입니다. 다른 분수 합리적인 방정식의 해는 항상 표시된 형식의 방정식의 해로 축소될 수 있습니다.
방정식 p(x) q(x) = 0을 푸는 데 가장 일반적으로 사용되는 방법은 다음 진술을 기반으로 합니다. 유 v, 어디 V분수의 분자가 0인 경우에만 0과 같은 0과 다른 숫자입니다. 위 문장의 논리에 따라 방정식 p(x) q(x) = 0의 해가 두 가지 조건의 충족으로 축소될 수 있다고 주장할 수 있습니다. p(x)=0그리고 q(x) ≠ 0. 이에 대해 p(x) q(x) = 0 형식의 유리 분수 방정식을 풀기 위한 알고리즘이 구축됩니다.
- 우리는 전체 합리적인 방정식의 솔루션을 찾습니다 p(x)=0;
- 솔루션 중에 찾은 루트에 대해 조건이 충족되는지 확인합니다. q(x) ≠ 0.
이 조건이 충족되면 루트가 발견되고, 그렇지 않으면 루트가 문제의 솔루션이 아닙니다.
실시예 6
방정식 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 의 근을 찾습니다.
해결책
우리는 p (x) q (x) = 0 형식의 유리 분수 방정식을 다루고 있습니다. 여기서 p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 입니다. 선형 방정식 풀기 시작하자 3 x - 2 = 0. 이 방정식의 근은 x = 2 3.
찾은 루트가 조건을 만족하는지 확인해보자 5 x 2 - 2 ≠ 0. 이렇게 하려면 표현식에 숫자 값을 대체하십시오. 우리는 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0을 얻습니다.
조건이 충족됩니다. 그 의미 x = 2 3는 원래 방정식의 근입니다.
답변: 2 3 .
분수 유리 방정식 p (x) q (x) = 0 을 푸는 또 다른 옵션이 있습니다. 이 방정식은 전체 방정식과 동일하다는 것을 기억하십시오. p(x)=0원래 방정식의 변수 x의 허용 가능한 값 범위. 이를 통해 방정식 p(x) q(x) = 0을 풀 때 다음 알고리즘을 사용할 수 있습니다.
- 방정식을 풀다 p(x)=0;
- 변수 x에 대해 허용되는 값의 범위를 찾습니다.
- 우리는 원래 분수 유리 방정식의 원하는 근으로 변수 x의 허용 가능한 값 영역에 있는 근을 취합니다.
방정식 x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 을 풉니다.
해결책
먼저 이차방정식을 풀어보자. x 2 − 2 x − 11 = 0. 근을 계산하기 위해 짝수 번째 계수에 대한 근 공식을 사용합니다. 우리는 얻는다 D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, 그리고 x = 1 ± 2 3 .
이제 원래 방정식에 대한 x의 ODV를 찾을 수 있습니다. 이것들은 모두 다음과 같은 숫자입니다. x 2 + 3 x ≠ 0. 와 같다 x (x + 3) ≠ 0, x ≠ 0 , x ≠ − 3 .
이제 솔루션의 첫 번째 단계에서 얻은 근 x = 1 ± 2 3 이 변수 x 의 허용 가능한 값 범위 내에 있는지 확인하겠습니다. 우리는 무엇이 들어오는지 봅니다. 이것은 원래 분수 유리 방정식에 두 개의 근이 있음을 의미합니다 x = 1 ± 2 3 .
답변: x = 1 ± 2 3
설명된 두 번째 솔루션 방법 처음보다 쉽게변수 x의 허용 가능한 값의 면적과 방정식의 근을 찾기 쉬운 경우 p(x)=0비합리적인. 예를 들어, 7 ± 4 26 9 . 근은 합리적일 수 있지만 분자나 분모가 큽니다. 예를 들어, 127 1101 그리고 − 31 59 . 이렇게 하면 상태를 확인하는 시간을 절약할 수 있습니다. q(x) ≠ 0: ODZ에 따르면 맞지 않는 뿌리를 제외하는 것이 훨씬 쉽습니다.
방정식의 근이 p(x)=0가 정수인 경우 p(x) q(x) = 0 형식의 방정식을 풀기 위해 설명된 알고리즘 중 첫 번째를 사용하는 것이 더 편리합니다. 전체 방정식의 근을 더 빠르게 찾기 p(x)=0, 그런 다음 조건이 충족되는지 확인하십시오. q(x) ≠ 0, ODZ를 찾지 못한 다음 방정식을 풉니다. p(x)=0이 ODZ에. 이것은 그러한 경우 일반적으로 ODZ를 찾는 것보다 확인하는 것이 더 쉽기 때문입니다.
실시예 8
방정식의 근을 구합니다. (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .
해결책
우리는 전체 방정식을 고려하여 시작합니다 (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0그리고 그 뿌리를 찾는 것. 이를 위해 인수분해를 통해 방정식을 푸는 방법을 적용합니다. 원래 방정식은 4개의 방정식 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0의 집합과 동일하며 그 중 3개는 선형이고 하나는 정사각형입니다. 우리는 루트를 찾습니다: 첫 번째 방정식에서 x = 1 2, 두 번째부터 x=6, 세 번째부터 - x \u003d 7, x \u003d - 2, 네 번째부터 - x = - 1.
획득한 뿌리를 확인해보자. 이 경우 ODZ를 결정하는 것은 어렵습니다. 이를 위해서는 5차 대수 방정식을 풀어야 하기 때문입니다. 방정식의 왼쪽에 있는 분수의 분모가 사라지지 않아야 하는 조건을 확인하는 것이 더 쉬울 것입니다.
차례로 식에서 변수 x 대신 근을 대체합니다. x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112값을 계산합니다.
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 10 32 ≠
6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .
수행된 검증을 통해 원래 분수 유리 방정식의 근이 1 2 , 6 및 − 2 .
답변: 1 2 , 6 , - 2
실시예 9
분수 유리 방정식 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 의 근을 찾습니다.
해결책
방정식부터 시작합시다. (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. 그 뿌리를 찾아보자. 이 방정식을 2차 방정식과 1차 방정식의 조합으로 표현하는 것이 더 쉽습니다. 5 x 2 - 7 x - 1 = 0그리고 x − 2 = 0.
근을 찾기 위해 이차 방정식의 근 공식을 사용합니다. 첫 번째 방정식에서 두 개의 근 x = 7 ± 69 10을 얻고 두 번째 방정식에서 x=2.
조건을 확인하기 위해 원래 방정식에 근의 값을 대입하는 것은 우리에게 매우 어려울 것입니다. 변수 x 의 LPV를 결정하는 것이 더 쉬울 것입니다. 이 경우, 변수 x의 DPV는 조건이 만족되는 것을 제외하고 모든 숫자입니다. x 2 + 5 x − 14 = 0. x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ 를 얻습니다.
이제 우리가 찾은 루트가 x 변수에 대해 허용되는 값 범위에 속하는지 확인하겠습니다.
근 x = 7 ± 69 10 - 속하므로 원래 방정식의 근이고, x=2- 속하지 않으므로 외래어근입니다.
답변: x = 7 ± 69 10 .
p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식의 분자에 숫자가 포함 된 경우를 별도로 살펴보겠습니다. 이러한 경우 분자에 0이 아닌 숫자가 포함되어 있으면 방정식에 근이 없습니다. 이 숫자가 0과 같으면 방정식의 근은 ODZ의 숫자가 됩니다.
실시예 10
분수 유리 방정식 - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 을 풉니다.
해결책
방정식의 왼쪽에서 분수의 분자가 0이 아닌 숫자를 포함하기 때문에 이 방정식에는 근이 없습니다. 이것은 x의 모든 값에 대해 문제의 조건에서 주어진 분수의 값이 0과 같지 않음을 의미합니다.
답변:뿌리가 없습니다.
실시예 11
방정식 0 x 4 + 5 x 3 = 0을 풉니다.
해결책
분수의 분자가 0이기 때문에 방정식의 해는 ODZ 변수 x에서 x의 값이 될 것입니다.
이제 ODZ를 정의해 보겠습니다. 여기에는 모든 x 값이 포함됩니다. x 4 + 5 x 3 ≠ 0. 방정식 솔루션 x 4 + 5 x 3 = 0~이다 0 그리고 − 5 , 이 방정식은 방정식과 동일하기 때문에 x 3 (x + 5) = 0, 그리고 그것은 차례로 두 방정식 x 3 = 0의 집합과 동일합니다. x + 5 = 0이 뿌리가 보이는 곳. 허용 가능한 값의 원하는 범위는 x 를 제외하고는 x=0그리고 x = -5.
분수 유리 방정식 0 x 4 + 5 x 3 = 0에는 0과 - 5를 제외한 모든 수인 무한한 수의 솔루션이 있습니다.
답변: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
이제 임의 형식의 분수 유리 방정식과이를 푸는 방법에 대해 이야기합시다. 그들은 다음과 같이 쓸 수 있습니다 r(x) = s(x), 어디 r(x)그리고 에스(x)는 합리적인 표현이고 그 중 적어도 하나는 분수입니다. 이러한 방정식의 해는 p(x) q(x) = 0 형식의 방정식 해로 축소됩니다.
반대 부호를 사용하여 방정식의 우변에서 좌변으로 식을 옮기면 등가 방정식을 얻을 수 있다는 것을 이미 알고 있습니다. 이것은 방정식이 r(x) = s(x)는 방정식과 동일합니다. r(x) − s(x) = 0. 우리는 또한 유리수 표현식을 유리 분수로 변환하는 방법에 대해 이미 논의했습니다. 덕분에 방정식을 쉽게 변환할 수 있습니다. r(x) − s(x) = 0 p(x) q(x) 형식의 동일한 유리 분수로 변환합니다.
그래서 우리는 원래 분수 유리 방정식에서 이동합니다 r(x) = s(x) p(x) q(x) = 0 형식의 방정식으로 변환하는 방법을 이미 배웠습니다.
에서 전환할 때 주의해야 합니다. r(x) − s(x) = 0 p(x) q(x) = 0으로 다음으로 p(x)=0변수 x 의 유효한 값 범위 확장을 고려하지 않을 수 있습니다.
원래 방정식이 매우 현실적입니다. r(x) = s(x)및 방정식 p(x)=0변환의 결과로 더 이상 동등하지 않게 됩니다. 그런 다음 방정식의 해 p(x)=0우리에게 낯선 뿌리를 줄 수 있습니다. r(x) = s(x). 이와 관련하여 각각의 경우 위에서 설명한 방법 중 하나로 점검을 수행해야 합니다.
주제를 더 쉽게 공부할 수 있도록 모든 정보를 다음 형식의 유리 분수 방정식을 풀기 위한 알고리즘으로 일반화했습니다. r(x) = s(x):
- 반대 부호를 사용하여 오른쪽에서 표현식을 전송하고 오른쪽에서 0을 얻습니다.
- 분수와 다항식으로 작업을 순차적으로 수행하여 원래 표현식을 유리 분수 p(x) q(x)로 변환합니다.
- 방정식을 풀다 p(x)=0;
- 우리는 ODZ에 속하는 것을 확인하거나 원래 방정식에 대입하여 외부 근을 나타냅니다.
시각적으로 일련의 작업은 다음과 같습니다.
r(x) = s(x) → r(x) - s(x) = 0 → p(x) q(x) = 0 → p(x) = 0 → 탈락 r o n d er o o n s
실시예 12
분수 유리수 방정식 x x + 1 = 1 x + 1 을 풉니다.
해결책
방정식 x x + 1 - 1 x + 1 = 0 으로 넘어갑시다. 방정식의 왼쪽에 있는 분수 유리수 표현식을 p (x) q (x) 형식으로 변환해 보겠습니다.
이렇게 하려면 유리 분수를 공통 분모로 줄이고 식을 단순화해야 합니다.
xx + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - xx (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)
방정식 - 2 x - 1 x (x + 1) = 0의 근을 찾으려면 방정식을 풀어야 합니다. − 2 x − 1 = 0. 우리는 하나의 루트를 얻습니다. x = - 1 2.
어떤 방법이든 확인하는 것은 우리에게 남아 있습니다. 둘 다 고려해 봅시다.
결과 값을 원래 방정식에 대입합니다. 우리는 - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 을 얻습니다. 우리는 정확한 수치적 평등에 도달했습니다 − 1 = − 1 . 그 의미 x = − 1 2는 원래 방정식의 근입니다.
이제 ODZ를 통해 확인하겠습니다. 변수 x에 대해 허용되는 값의 영역을 결정합시다. 이것은 − 1과 0을 제외한 전체 숫자 세트가 됩니다(x = − 1 및 x = 0일 때 분수의 분모는 사라집니다). 우리가 얻은 뿌리 x = − 1 2 ODZ에 속합니다. 이것은 그것이 원래 방정식의 근임을 의미합니다.
답변: − 1 2 .
실시예 13
방정식 x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x 의 근을 찾습니다.
해결책
우리는 분수 유리 방정식을 다루고 있습니다. 따라서 우리는 알고리즘에 따라 행동할 것입니다.
반대 기호를 사용하여 식을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동해 보겠습니다. x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
필요한 변환을 수행합시다: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.
우리는 방정식에 온다 x=0. 이 방정식의 근은 0입니다.
이 근이 원래 방정식에 대한 외래 근인지 확인합시다. 원래 방정식의 값을 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 으로 대체합니다. 보시다시피 결과 방정식은 의미가 없습니다. 이것은 0이 외부 근이고 원래 분수 유리 방정식에는 근이 없음을 의미합니다.
답변:뿌리가 없습니다.
알고리즘에 다른 동등한 변환을 포함하지 않았다고 해서 사용할 수 없다는 의미는 아닙니다. 알고리즘은 보편적이지만 제한이 아니라 도움이 되도록 설계되었습니다.
실시예 14
방정식 풀기 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
해결책
가장 쉬운 방법은 알고리즘에 따라 주어진 분수 유리 방정식을 푸는 것입니다. 그러나 다른 방법이 있습니다. 생각해 봅시다.
오른쪽과 왼쪽 부분 7에서 빼면 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24가 됩니다.
이것으로부터 우리는 좌변의 분모에 있는 표현이 우변의 수의 역수와 같아야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 즉, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 입니다.
두 부분에서 빼기 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . 유추 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, 여기서 1 5 - x 2 \u003d 1 3, 더 나아가 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2
구한 근이 원래 방정식의 근인지 확인하기 위해 확인해 봅시다.
답변: x = ± 2
텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.
이 기사에서 나는 당신에게 보여줄 것입니다 7가지 유형의 유리 방정식을 푸는 알고리즘, 변수의 변경을 통해 제곱으로 축소됩니다. 대부분의 경우 교체로 이어지는 변환은 매우 중요하지 않으며 스스로 추측하기가 매우 어렵습니다.
각 방정식 유형에 대해 변수를 변경하는 방법을 설명한 다음 해당 비디오 자습서에서 자세한 솔루션을 보여 드리겠습니다.
계속해서 방정식을 스스로 풀 수 있는 기회가 있고 비디오 자습서를 통해 솔루션을 확인할 수 있습니다.
시작하겠습니다.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
4개의 괄호의 곱은 방정식의 왼쪽에 있고 숫자는 오른쪽에 있습니다.
1. 자유 항의 합이 같도록 대괄호를 두 개로 그룹화합시다.
2. 곱하십시오.
3. 변수의 변화를 소개합니다.
방정식에서 (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2 때문에 첫 번째 대괄호를 세 번째 대괄호로, 두 번째 대괄호를 네 번째 대괄호로 그룹화합니다.
이 시점에서 변수 변경이 명확해집니다.
우리는 방정식을 얻는다 
답변: 
2 .
이 유형의 방정식은 한 가지 차이점이 있는 이전 방정식과 유사합니다. 방정식의 오른쪽에 숫자의 곱이 있습니다. 그리고 완전히 다른 방식으로 해결됩니다.
1. 자유 항의 곱이 같도록 대괄호를 두 개로 그룹화합니다.
2. 각 대괄호 쌍을 곱합니다.
3. 각 요인에서 대괄호에서 x를 빼냅니다.
4. 방정식의 양변을 로 나눕니다.
5. 변수의 변화를 소개합니다.
이 방정식에서 첫 번째 대괄호를 네 번째 대괄호로 그룹화하고 두 번째 대괄호를 세 번째 대괄호로 그룹화합니다. 그 이유는 다음과 같습니다.
각 괄호에서 계수 및 자유 항은 동일합니다. 각 괄호에서 승수를 빼보겠습니다.
x=0은 원래 방정식의 근이 아니므로 방정식의 양변을 로 나눕니다. 우리는 다음을 얻습니다:
우리는 방정식을 얻습니다. 
답변: 
3
. 
두 분수의 분모는 다음을 포함합니다. 제곱 삼항식, 선행 계수와 자유 항이 동일합니다. 두 번째 유형의 방정식에서와 같이 대괄호에서 x를 꺼냅니다. 우리는 다음을 얻습니다:
각 분수의 분자와 분모를 x로 나눕니다.
이제 변수 변경을 도입할 수 있습니다.
변수 t에 대한 방정식을 얻습니다.
4 .
방정식의 계수는 중심 계수에 대해 대칭입니다. 그러한 방정식을 반환 가능한 .
그것을 해결하기 위해
1. 방정식의 양변을 다음으로 나눕니다. (x=0이 방정식의 근이 아니기 때문에 이것을 할 수 있습니다.) 다음을 얻습니다.
2. 다음과 같이 용어를 그룹화합니다.
3. 각 그룹에서 공통 요소를 제거합니다.
4. 대체품을 소개하겠습니다.
5. 식을 t로 표현해 봅시다.
여기에서 
우리는 t에 대한 방정식을 얻습니다.
답변:
5. 동차 방정식.
균질 방정식의 구조를 갖는 방정식은 지수, 로그 및 삼각 방정식, 그래서 인식해야 합니다.
동차 방정식의 구조는 다음과 같습니다.
이 평등에서 A, B, C는 숫자이고 동일한 표현은 정사각형과 원으로 표시됩니다. 즉, 동차방정식의 좌변에는 차수가 같은 단항식의 합이 있고(이 경우 단항식의 차수는 2임), 자유항은 존재하지 않는다.
균질 방정식을 풀기 위해 양변을 다음으로 나눕니다.
주목! 미지수를 포함하는 식으로 방정식의 좌변과 우변을 나누면 근을 잃을 수 있습니다. 따라서 방정식의 양 부분을 나누는 식의 근이 원래 방정식의 근인지 확인할 필요가 있습니다.
첫 번째 방법으로 가자. 우리는 방정식을 얻습니다.
이제 변수 대체를 소개합니다.
식을 단순화하고 t에 대한 이차 방정식을 얻습니다.
답변:또는
7
. 
이 방정식의 구조는 다음과 같습니다.
그것을 풀기 위해서는 방정식의 왼쪽에 있는 완전한 정사각형을 선택해야 합니다.
완전한 제곱을 선택하려면 이중 곱을 더하거나 빼야 합니다. 그런 다음 합계 또는 차이의 제곱을 얻습니다. 이것은 성공적인 변수 대체에 중요합니다.
이중 곱을 찾는 것부터 시작합시다. 변수를 대체하는 열쇠가 될 것입니다. 우리 방정식에서 이중 곱은
이제 우리에게 더 편리한 것이 무엇인지 알아 봅시다. 합계 또는 차이의 제곱입니다. 우선 표현식의 합을 고려하십시오.
괜찮은! 이 표현식은 곱의 두 배와 정확히 같습니다. 그런 다음 괄호 안의 합계의 제곱을 얻으려면 이중 곱을 더하고 빼야 합니다.
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