Funzioni di una variabile complessa.
Differenziazione di funzioni di una variabile complessa.

Questo articolo apre una serie di lezioni che analizzerò compiti tipici associato alla teoria delle funzioni di una variabile complessa. Per padroneggiare con successo gli esempi, devi avere conoscenza di base sui numeri complessi Per consolidare e ripetere il materiale è sufficiente visitare la pagina. Avrai anche bisogno di abilità da trovare derivate parziali del secondo ordine. Eccole, queste derivate parziali... anche adesso sono rimasto un po' sorpreso dalla frequenza con cui si verificano...

Il tema che stiamo iniziando ad analizzare non è particolarmente difficile, e nelle funzioni di variabile complessa, in linea di principio, tutto è chiaro e accessibile. La cosa principale è aderire alla regola di base, che deriva da me empiricamente. Continuare a leggere!

Il concetto di funzione di variabile complessa

Innanzitutto, aggiorniamo le nostre conoscenze sulla funzione scuola di una variabile:

Funzione di una variabileè una regola secondo la quale ad ogni valore della variabile indipendente (dal dominio di definizione) corrisponde uno ed un solo valore della funzione. Naturalmente, "x" e "y" sono numeri reali.

Nel caso complesso, la dipendenza funzionale è data in modo simile:

Funzione a valore singolo di una variabile complessaè la regola che tutti completo il valore della variabile indipendente (dal dominio) corrisponde ad uno ed uno solo completo valore della funzione. In teoria, vengono considerate anche funzioni multivalore e altri tipi di funzioni, ma per semplicità mi concentrerò su una definizione.

Qual è la funzione di una variabile complessa?

La differenza principale è che i numeri sono complessi. Non sono ironico. Da tali domande spesso cadono in uno stupore, alla fine dell'articolo racconterò una bella storia. Sulla lezione Numeri complessi per manichini abbiamo considerato un numero complesso nella forma . Da ora la lettera "Z" è diventata variabile, quindi lo indicheremo come segue: , mentre "x" e "y" possono assumere diversi valido valori. In parole povere, la funzione di una variabile complessa dipende dalle variabili e , che assumono valori "normali". A partire dal questo fatto segue logicamente il punto seguente:

La funzione di una variabile complessa può essere scritta come:
, dove e sono due funzioni di due valido variabili.

La funzione viene chiamata parte reale funzioni.
La funzione viene chiamata parte immaginaria funzioni.

Cioè, la funzione di una variabile complessa dipende da due funzioni reali e . Per chiarire finalmente tutto, diamo un'occhiata ad esempi pratici:

Esempio 1

Decisione: La variabile indipendente "z", come ricorderete, si scrive come , quindi:

(1) Sostituito nella funzione originale.

(2) Per il primo termine è stata utilizzata la formula della moltiplicazione ridotta. Nel termine, le parentesi sono state aperte.

(3) Al quadrato con cura, senza dimenticarlo

(4) Riorganizzazione dei termini: prima riscrittura dei termini , in cui non esiste un'unità immaginaria(primo gruppo), quindi termini, dove c'è (secondo gruppo). Va notato che non è necessario mescolare i termini e questa fase può essere saltato (in realtà facendolo verbalmente).

(5) Il secondo gruppo è tolto da parentesi.

Di conseguenza, la nostra funzione si è rivelata rappresentata nella forma

Risposta:
è la parte reale della funzione.
è la parte immaginaria della funzione.

Quali sono queste funzioni? Le funzioni più ordinarie di due variabili, dalle quali si possono trovare così popolari derivate parziali. Senza pietà - troveremo. Ma un po' più tardi.

In breve, l'algoritmo del problema risolto può essere scritto come segue: sostituiamo nella funzione originale, eseguiamo semplificazioni e dividiamo tutti i termini in due gruppi - senza un'unità immaginaria (parte reale) e con un'unità immaginaria (parte immaginaria).

Esempio 2

Trova la parte reale e immaginaria di una funzione

Questo è un esempio fai da te. Prima di lanciarti in battaglia sul piano complesso con le bozze, lascia che ti dica il massimo consiglio importante su questo argomento:

STAI ATTENTO! Devi stare attento, ovviamente, ovunque, ma in numeri complessi dovresti stare più attento che mai! Ricorda che, allarga con attenzione le parentesi, non perdere nulla. Secondo le mie osservazioni, l'errore più comune è la perdita del segno. Non affrettarti!

Soluzione completa e la risposta alla fine della lezione.

Ora cubo. Usando la formula abbreviata di moltiplicazione, otteniamo:
.

Le formule sono molto comode da usare nella pratica, poiché accelerano notevolmente il processo di soluzione.

Differenziazione di funzioni di una variabile complessa.

Ho due notizie: buone e cattive. Inizierò con uno buono. Per una funzione di variabile complessa valgono le regole di differenziazione e la tabella delle derivate di funzioni elementari. Pertanto, la derivata viene presa esattamente allo stesso modo del caso di una funzione di una variabile reale.

La cattiva notizia è che per molte funzioni di una variabile complessa non esiste alcuna derivata e devi capirlo è differenziabile una funzione o un'altra. E "capire" come si sente il tuo cuore è associato a ulteriori problemi.

Consideriamo una funzione di una variabile complessa. Perché tale funzione sia differenziabile è necessario e sufficiente che:

1) Perché ci siano derivate parziali del primo ordine. Dimentica subito queste notazioni, poiché nella teoria della funzione di una variabile complessa viene tradizionalmente utilizzata un'altra versione della notazione: .

2) Per effettuare il cd Condizioni di Cauchy-Riemann:

Solo in questo caso esisterà la derivata!

Esempio 3

Decisione scomposto in tre fasi successive:

1) Trova la parte reale e quella immaginaria della funzione. Questo compito è stato analizzato negli esempi precedenti, quindi lo scriverò senza commenti:

Da allora:

Così:

è la parte immaginaria della funzione.

Mi fermo a un altro momento tecnico: in che ordine scrivere termini in parti reali e immaginarie? Sì, in fondo non importa. Ad esempio, la parte reale può essere scritta in questo modo: , e immaginario - come questo: .

2) Verifichiamo il soddisfacimento delle condizioni di Cauchy-Riemann. Ce ne sono due.

Iniziamo controllando la condizione. Noi troviamo derivate parziali:

Pertanto, la condizione è soddisfatta.

Indubbiamente, la buona notizia è che le derivate parziali sono quasi sempre molto semplici.

Verifichiamo il soddisfacimento della seconda condizione:

Si è rivelata la stessa cosa, ma con segni opposti, cioè anche la condizione è soddisfatta.

Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, quindi la funzione è derivabile.

3) Trova la derivata della funzione. Anche la derivata è molto semplice e si trova secondo le regole abituali:

L'unità immaginaria nella differenziazione è considerata una costante.

Risposta: - parte reale è la parte immaginaria.
Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, .

Ci sono altri due modi per trovare la derivata, ovviamente sono usati meno spesso, ma le informazioni saranno utili per capire la seconda lezione - Come trovare la funzione di una variabile complessa?

La derivata può essere trovata usando la formula:

In questo caso:

così

È necessario risolvere il problema inverso: nell'espressione risultante, è necessario isolare . Per fare ciò, è necessario in termini e togliere dalle parentesi:

L'azione inversa, come molti hanno notato, è un po' più difficile da eseguire; per verifica, è sempre meglio riprendere l'espressione e sulla bozza, oppure riaprire verbalmente le parentesi, assicurandosi che risulti esattamente

Formula speculare per trovare la derivata:

In questo caso: , Ecco perché:

Esempio 4

Determina la parte reale e quella immaginaria di una funzione . Verificare il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann. Se le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, trova la derivata della funzione.

Soluzione rapida e campione esemplare ultimi ritocchi alla fine della lezione.

Le condizioni di Cauchy-Riemann sono sempre soddisfatte? In teoria, più spesso non sono soddisfatte di quanto non siano. Ma in esempi pratici Non ricordo un caso in cui non fossero soddisfatte =) Quindi, se le tue derivate parziali "non convergevano", allora con una probabilità molto alta possiamo dire che hai commesso un errore da qualche parte.

Complichiamo le nostre funzioni:

Esempio 5

Determina la parte reale e quella immaginaria di una funzione . Verificare il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann. Calcolare

Decisione: L'algoritmo di soluzione è completamente preservato, ma alla fine si aggiunge una nuova moda passeggera: trovare la derivata in un punto. Per il cubo è già stata ricavata la formula richiesta:

Definiamo la parte reale e quella immaginaria di questa funzione:

Attenzione e ancora attenzione!

Da allora:


Così:
è la parte reale della funzione;
è la parte immaginaria della funzione.

Verifica della seconda condizione:

Si è rivelata la stessa cosa, ma con segni opposti, cioè anche la condizione è soddisfatta.

Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, quindi la funzione è derivabile:

Calcola il valore della derivata nel punto richiesto:

Risposta:, , le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte,

Le funzioni con i cubi sono comuni, quindi un esempio per consolidare:

Esempio 6

Determina la parte reale e quella immaginaria di una funzione . Verificare il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann. Calcola.

Decisione e finitura del campione alla fine della lezione.

Nella teoria dell'analisi complessa si definiscono anche altre funzioni di un argomento complesso: esponenziale, seno, coseno, ecc. Queste funzioni hanno proprietà insolite e persino bizzarre - ed è davvero interessante! Voglio davvero dirtelo, ma qui è successo così, non un libro di riferimento o un libro di testo, ma una soluzione, quindi considererò lo stesso compito con alcune funzioni comuni.

In primo luogo sul cosiddetto formule di Eulero:

Per chiunque valido numeri, valgono le seguenti formule:

Puoi anche copiarlo nel tuo taccuino come riferimento.

A rigor di termini, c'è una sola formula, ma di solito, per comodità, scrivono anche caso speciale con un indicatore meno. Il parametro non deve essere una singola lettera, può essere un'espressione complessa, una funzione, è solo importante che prendano valido solo valori. In realtà, lo vedremo subito:

Esempio 7

Trova derivata.

Decisione: La linea generale del partito rimane incrollabile: è necessario individuare la parte reale e quella immaginaria della funzione. Darò una soluzione dettagliata e commenterò ogni passaggio di seguito:

Da allora:

(1) Sostituisci "z".

(2) Dopo la sostituzione, è necessario separare la parte reale e quella immaginaria primo per esponente espositori. Per fare ciò, apri le parentesi.

(3) Raggruppiamo la parte immaginaria dell'indicatore, mettendo fuori parentesi l'unità immaginaria.

(4) Uso azione scolastica con gradi.

(5) Per il moltiplicatore utilizziamo la formula di Eulero , mentre .

(6) Apriamo le parentesi, come risultato:

è la parte reale della funzione;
è la parte immaginaria della funzione.

Ulteriori azioni sono standard, controlliamo il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann:

Esempio 9

Determina la parte reale e quella immaginaria di una funzione . Verificare il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann. Così sia, non troveremo la derivata.

Decisione: L'algoritmo di soluzione è molto simile ai due esempi precedenti, ma ce ne sono molti punti importanti, Ecco perché Primo stadio Commenterò ancora passo dopo passo:

Da allora:

1) Sostituiamo al posto di "z".

(2) Per prima cosa, seleziona la parte reale e quella immaginaria all'interno del seno. A tale scopo, aprire le parentesi.

(3) Usiamo la formula , while .

(4) Uso parità del coseno iperbolico: e stranezza seno iperbolico: . Gli iperbolici, sebbene non siano di questo mondo, ma per molti versi assomigliano a funzioni trigonometriche simili.

Infine:
è la parte reale della funzione;
è la parte immaginaria della funzione.

Attenzione! Il segno meno si riferisce alla parte immaginaria e in nessun caso dovremmo perderla! Per un'illustrazione visiva, il risultato ottenuto sopra può essere riscritto come segue:

Verifichiamo il soddisfacimento delle condizioni di Cauchy-Riemann:

Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte.

Risposta:, , le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte.

Con coseno, onorevoli colleghi, capiamo da soli:

Esempio 10

Determina la parte reale e quella immaginaria della funzione. Verificare il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann.

Ho preso deliberatamente esempi più complicati, perché tutti possono gestire qualcosa come le arachidi sbucciate. Allo stesso tempo, allena la tua attenzione! Schiaccianoci alla fine della lezione.

Bene, in conclusione, ne prenderò in considerazione un altro esempio interessante quando l'argomento complesso è al denominatore. Ci siamo incontrati un paio di volte in pratica, analizziamo qualcosa di semplice. Oh, sto invecchiando...

Esempio 11

Determina la parte reale e quella immaginaria della funzione. Verificare il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann.

Decisione: Ancora una volta, è necessario separare la parte reale e quella immaginaria della funzione.
Se poi

Sorge la domanda, cosa fare quando "Z" è al denominatore?

Tutto è semplice: lo standard aiuterà metodo per moltiplicare numeratore e denominatore per l'espressione coniugata, è già stato utilizzato negli esempi della lezione Numeri complessi per manichini. Ricordiamo la formula scuola. Nel denominatore abbiamo già, quindi l'espressione coniugata sarà. Pertanto, devi moltiplicare numeratore e denominatore per: