Il teorema di fattorizzazione per un trinomio quadrato. Fattorizzazione dei trinomi quadrati: esempi e formule

L'espansione dei polinomi per ottenere un prodotto a volte sembra confusa. Ma non è così difficile se capisci il processo passo dopo passo. L'articolo spiega come fattorizzare un trinomio quadrato.

Molti non capiscono come fattorizzare un trinomio quadrato e perché questo viene fatto. A prima vista può sembrare che questo sia un esercizio inutile. Ma in matematica, niente è fatto proprio così. La trasformazione è necessaria per semplificare l'espressione e la comodità del calcolo.

Un polinomio avente la forma - ax² + bx + c, è detto trinomio quadrato. Il termine "a" deve essere negativo o positivo. In pratica, questa espressione è chiamata equazione quadratica. Pertanto, a volte si dice diversamente: come decomporre equazione quadrata.

Interessante! Un polinomio quadrato è chiamato a causa del suo grado più grande: un quadrato. E un trinomio - a causa dei 3 termini componenti.

Alcuni altri tipi di polinomi:

• binomio lineare (6x+8);
• quadrilatero cubico (x³+4x²-2x+9).

Fattorizzazione di un trinomio quadrato

Innanzitutto, l'espressione è uguale a zero, quindi devi trovare i valori delle radici x1 e x2. Potrebbero non esserci radici, potrebbero esserci una o due radici. La presenza delle radici è determinata dal discriminante. La sua formula deve essere conosciuta a memoria: D=b²-4ac.

Se il risultato di D è negativo, non ci sono radici. Se positivo, ci sono due radici. Se il risultato è zero, la radice è uno. Anche le radici sono calcolate dalla formula.

Se il calcolo del discriminante risulta pari a zero, è possibile applicare una qualsiasi delle formule. In pratica, la formula è semplicemente abbreviata: -b / 2a.

Formule per valori diversi discriminanti sono diversi.

Se D è positivo:

Se D è zero:

Calcolatrici online

Internet ha calcolatrice online. Può essere usato per fattorizzare. Alcune risorse offrono l'opportunità di vedere la soluzione passo dopo passo. Tali servizi aiutano a comprendere meglio l'argomento, ma è necessario cercare di capire bene.

Video utile: Fattorizzazione di un trinomio quadrato

Esempi

Vi invitiamo a visionare semplici esempi come fattorizzare un'equazione di secondo grado.

Esempio 1

Qui si mostra chiaramente che il risultato sarà due x, perché D è positivo. Devono essere sostituiti nella formula. Se le radici sono negative, il segno nella formula è invertito.

Conosciamo la formula di scomposizione trinomio quadrato moltiplicatori: a(x-x1)(x-x2). Mettiamo i valori tra parentesi: (x+3)(x+2/3). Non c'è numero prima del termine nell'esponente. Ciò significa che c'è un'unità, è abbassata.

Esempio 2

Questo esempio mostra chiaramente come risolvere un'equazione che ha una radice.

Sostituisci il valore risultante:

Esempio 3

Dato: 5x²+3x+7

Per prima cosa calcoliamo il discriminante, come nei casi precedenti.

Re=9-4*5*7=9-140= -131.

Il discriminante è negativo, il che significa che non ci sono radici.

Dopo aver ricevuto il risultato, vale la pena aprire le parentesi e controllare il risultato. Dovrebbe apparire il trinomio originale.

Soluzione alternativa

Alcune persone non sono mai state in grado di fare amicizia con il discriminante. C'è un altro modo per fattorizzare un trinomio quadrato. Per comodità, il metodo è mostrato in un esempio.

Dato: x²+3x-10

Sappiamo che dovremmo finire con 2 parentesi: (_)(_). Quando l'espressione è simile a questa: x² + bx + c, mettiamo x all'inizio di ogni parentesi: (x_) (x_). I restanti due numeri sono il prodotto che dà "c", cioè -10 in questo caso. Per scoprire quali sono questi numeri, puoi solo utilizzare il metodo di selezione. I numeri sostituiti devono corrispondere al termine rimanente.

Ad esempio, moltiplicando i seguenti numeri si ottiene -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. No.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. No.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. No.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Si adatta.

Quindi, la trasformazione dell'espressione x2+3x-10 è simile a questa: (x-2)(x+5).

Importante! Dovresti stare attento a non confondere i segni.

Decomposizione di un trinomio complesso

Se "a" è maggiore di uno, iniziano le difficoltà. Ma non tutto è così difficile come sembra.

Per fattorizzare, bisogna prima vedere se è possibile scomporre qualcosa.

Ad esempio, data l'espressione: 3x²+9x-30. Qui il numero 3 è tolto da parentesi:

3(x²+3x-10). Il risultato è il trinomio già noto. La risposta è questa: 3(x-2)(x+5)

Come scomporre se il termine al quadrato è negativo? In questo caso, il numero -1 viene tolto dalla parentesi. Ad esempio: -x²-10x-8. L'espressione sarà quindi simile a questa:

Lo schema differisce poco dal precedente. Ci sono solo alcune cose nuove. Diciamo che l'espressione è data: 2x²+7x+3. La risposta è anche scritta tra 2 parentesi, che devono essere compilate con (_) (_). X è scritto nella 2° parentesi, e ciò che è rimasto nella 1°. Si presenta così: (2x_)(x_). In caso contrario, lo schema precedente viene ripetuto.

Il numero 3 dà i numeri:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Risolviamo le equazioni sostituendo i numeri dati. L'ultima opzione si adatta. Quindi la trasformazione dell'espressione 2x²+7x+3 appare così: (2x+1)(x+3).

Altri casi

Non è sempre possibile trasformare un'espressione. Nel secondo metodo non è richiesta la soluzione dell'equazione. Ma la possibilità di convertire i termini in un prodotto è verificata solo attraverso il discriminante.

Vale la pena esercitarsi a risolvere equazioni quadratiche in modo che non ci siano difficoltà nell'uso delle formule.

Video utile: fattorizzazione di un trinomio

Conclusione

Puoi usarlo in qualsiasi modo. Ma è meglio lavorare sia all'automatismo. Inoltre, coloro che hanno intenzione di collegare le loro vite con la matematica devono imparare a risolvere bene le equazioni di secondo grado e a scomporre i polinomi in fattori. Tutti i seguenti argomenti matematici sono costruiti su questo.

Si fa riferimento alla fattorizzazione dei trinomi quadrati compiti scolastici che tutti prima o poi dovranno affrontare. Come farlo? Qual è la formula per fattorizzare un trinomio quadrato? Esaminiamolo passo dopo passo con esempi.

Formula generale

La fattorizzazione dei trinomi quadrati viene effettuata risolvendo un'equazione quadratica. Questo è un problema semplice che può essere risolto con diversi metodi: trovando il discriminante, usando il teorema di Vieta, esiste e modo grafico soluzioni. I primi due metodi sono studiati al liceo.

La formula generale si presenta così:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritmo di esecuzione delle attività

Per fattorizzare i trinomi quadrati è necessario conoscere il teorema di Wit, avere a portata di mano un programma per la risoluzione, essere in grado di trovare una soluzione graficamente o cercare le radici di un'equazione di secondo grado attraverso la formula discriminante. Se si dà un trinomio quadrato e lo si deve scomporre in fattori, l'algoritmo delle azioni è il seguente:

1) Uguaglia l'espressione originale a zero per ottenere l'equazione.

2) Fornire termini simili (se necessario).

3) Trova le radici di qualsiasi modo noto. Il metodo grafico è meglio utilizzato se è noto in anticipo che le radici sono numeri interi e piccoli. Va ricordato che il numero di radici è uguale al grado massimo dell'equazione, ovvero l'equazione quadratica ha due radici.

4) Valore sostitutivo X nell'espressione (1).

5) Annotare la fattorizzazione dei trinomi quadrati.

Esempi

La pratica ti consente di capire finalmente come viene eseguita questa attività. Esempi illustrano la fattorizzazione di un trinomio quadrato:

devi espandere l'espressione:

Usiamo il nostro algoritmo:

1) x 2 -17x+32=0

2) termini simili sono ridotti

3) secondo la formula di Vieta, è difficile trovare le radici per questo esempio, quindi è meglio usare l'espressione per il discriminante:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Sostituisci le radici che abbiamo trovato nella formula principale per la scomposizione:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Allora la risposta sarà:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

Verifichiamo se le soluzioni trovate dal discriminante corrispondono alle formule di Vieta:

14,845 . 2,155=32

Per queste radici si applica il teorema di Vieta, sono state trovate correttamente, il che significa che anche la fattorizzazione che abbiamo ottenuto è corretta.

Allo stesso modo, espandiamo 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Nel caso precedente, le soluzioni non erano intere, ma numeri reali, che sono facili da trovare con una calcolatrice davanti a te. Ora considera di più esempio complesso, in cui le radici saranno complesse: fattorizza x 2 + 4x + 9. Secondo la formula Vieta, le radici non si trovano e il discriminante è negativo. Le radici saranno sul piano complesso.

D=-20

Sulla base di questo, otteniamo le radici a cui siamo interessati -4 + 2i * 5 1/2 e -4-2i * 5 1/2 perché (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Otteniamo l'espansione desiderata sostituendo le radici nella formula generale.

Un altro esempio: devi fattorizzare l'espressione 23x 2 -14x + 7.

Abbiamo l'equazione 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Quindi le radici sono 14+21.166i e 14-21.166i. La risposta sarà:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21.166i )*(X- 14+21.166i ).

Facciamo un esempio che può essere risolto senza l'aiuto del discriminante.

Sia necessario scomporre l'equazione quadratica x 2 -32x + 255. Ovviamente può essere risolto anche dal discriminante, ma in questo caso è più veloce trovare le radici.

x 1 = 15

x2=17

Si intende x 2 -32 x + 255 =(x-15)(x-17).

Il mondo è immerso in un numero enorme di numeri. Qualsiasi calcolo avviene con il loro aiuto.

Le persone imparano i numeri per non cadere nell'inganno in età avanzata. È necessario dedicare un'enorme quantità di tempo per essere istruiti e calcolare il proprio budget.

La matematica è una scienza esatta che gioca un ruolo importante nella vita. A scuola, i bambini imparano i numeri e poi le azioni su di essi.

Le azioni sui numeri sono completamente diverse: moltiplicazione, espansione, addizione e altre. Oltre alle formule semplici, nello studio della matematica vengono utilizzate anche azioni più complesse. Esiste un numero enorme di formule con cui sono noti tutti i valori.

A scuola, non appena compare l'algebra, si aggiungono formule di semplificazione alla vita di uno studente. Ci sono equazioni quando ci sono due numeri sconosciuti, ma trova in modo semplice non funzionerà. Un trinomio è un composto di tre monomi, con l'aiuto di metodo semplice sottrazioni e addizioni. Il trinomio si risolve usando il teorema di Vieta e il discriminante.

La formula per scomporre in fattori un trinomio quadrato

Ci sono due corretti e soluzioni semplici esempio:

• discriminante;
• Il teorema di Vieta.

Un trinomio quadrato ha un quadrato sconosciuto e un numero senza quadrato. La prima opzione per risolvere il problema utilizza la formula Vieta. È una formula semplice se le cifre che precedono sconosciute saranno il valore minimo.

Per altre equazioni, dove il numero è davanti all'incognita, l'equazione deve essere risolta attraverso il discriminante. È finita decisione difficile, ma il discriminante è usato molto più spesso del teorema di Vieta.

Inizialmente, per trovare tutte le variabili dell'equazione, è necessario aumentare l'esempio a 0. La soluzione dell'esempio può essere verificata e scoprire se i numeri sono regolati correttamente.

Discriminante

1. È necessario uguagliare l'equazione a 0.

2. Ogni numero prima di x sarà chiamato numeri a, b, c. Poiché non c'è numero prima del primo quadrato x, equivale a 1.

3. Ora inizia la soluzione dell'equazione attraverso il discriminante:

4. Ora abbiamo trovato il discriminante e troviamo due x. La differenza è che in un caso b sarà preceduto da un più e nell'altro da un meno:

5. Risolvendo due numeri, risultava -2 e -1. Sostituisci sotto l'equazione originale:

6. In questo esempio, ne sono risultati due opzioni corrette. Se entrambe le soluzioni sono corrette, allora ognuna di esse è vera.

Anche le equazioni più complesse vengono risolte attraverso il discriminante. Ma se il valore del discriminante stesso è inferiore a 0, l'esempio è sbagliato. Il discriminante nella ricerca è sempre sotto la radice e un valore negativo non può essere nella radice.

Il teorema di Vieta

Si usa per risolvere problemi facili, dove la prima x non è preceduta da un numero, cioè a=1. Se l'opzione corrisponde, il calcolo viene eseguito tramite il teorema di Vieta.

Per risolvere qualsiasi trinomioè necessario elevare l'equazione a 0. I primi passi per il discriminante e il teorema di Vieta sono gli stessi.

2. Ora ci sono differenze tra i due metodi. Il teorema di Vieta utilizza non solo il calcolo "a secco", ma anche la logica e l'intuizione. Ogni numero ha la sua lettera a, b, c. Il teorema utilizza la somma e il prodotto di due numeri.

Ricordare! Il numero b viene sempre aggiunto con il segno opposto e il numero c rimane invariato!

Sostituzione dei valori dei dati nell'esempio , noi abbiamo:

3. Usando il metodo logico, sostituiamo i numeri più adatti. Considera tutte le possibili soluzioni:

1. I numeri sono 1 e 2. Quando sommati, otteniamo 3, ma se moltiplichiamo, non otteniamo 4. Non adatto.
2. Valore 2 e -2. Quando viene moltiplicato, sarà -4, ma quando viene aggiunto risulta 0. Non adatto.
3. Numeri 4 e -1. Poiché la moltiplicazione contiene un valore negativo, significa che uno dei numeri sarà con un meno. Adatto per addizioni e moltiplicazioni. Opzione corretta.

4. Resta solo da controllare, stendere i numeri e vedere se l'opzione scelta è corretta.

5. Grazie a un controllo online, abbiamo scoperto che -1 non corrisponde alla condizione dell'esempio, il che significa che è la soluzione sbagliata.

Quando si aggiunge valore negativo nell'esempio, devi mettere il numero tra parentesi.

In matematica ci sarà sempre compiti semplici e complesso. La scienza stessa include una varietà di problemi, teoremi e formule. Se comprendi e applichi correttamente le conoscenze, qualsiasi difficoltà con i calcoli sarà insignificante.

La matematica non ha bisogno di una memorizzazione costante. Devi imparare a capire la soluzione e imparare alcune formule. A poco a poco, secondo conclusioni logiche, è possibile risolvere problemi simili, equazioni. Una tale scienza può sembrare molto difficile a prima vista, ma se ci si immerge nel mondo dei numeri e dei compiti, la visione cambierà radicalmente in lato migliore.

Specialità tecniche rimangono sempre i più ricercati al mondo. Ora, nel mondo moderne tecnologie La matematica è diventata un attributo indispensabile di qualsiasi campo. Devi sempre ricordare proprietà utili matematica.

Scomposizione di un trinomio tra parentesi

Oltre a risolvere nei soliti modi, ce n'è un altro: la scomposizione tra parentesi. Usato con la formula di Vieta.

1. Uguaglia l'equazione a 0.

ascia 2 + bx+ c= 0

2. Le radici dell'equazione rimangono le stesse, ma invece di zero, ora usano formule di espansione delle parentesi.

ascia 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 X 2 – 4 X – 6 = 2 (X + 1) (X – 3)

4. Soluzione x=-1, x=3

Fattorizzazione di un trinomio quadrato può essere utile quando si risolvono le disuguaglianze dal problema C3 o il problema con il parametro C5. Inoltre, molti problemi con le parole B13 verranno risolti molto più velocemente se si conosce il teorema di Vieta.

Questo teorema, ovviamente, può essere considerato dal punto di vista dell'ottavo grado, in cui è passato per la prima volta. Ma il nostro compito è prepararci bene per l'esame e imparare a risolvere i compiti dell'esame nel modo più efficiente possibile. Pertanto, in questa lezione, l'approccio è leggermente diverso da quello della scuola.

La formula per le radici dell'equazione secondo il teorema di Vieta ne conosco (o almeno ne ho visti) molti:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

dove `a, b` e `c` sono i coefficienti del trinomio quadrato `ax^2+bx+c`.

Per imparare ad usare facilmente il teorema, capiamo da dove viene (sarà davvero più facile ricordarlo in questo modo).

Prendiamo l'equazione `ax^2+ bx+ c = 0`. Per ulteriore comodità, lo dividiamo per `a` e otteniamo `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Una tale equazione è chiamata equazione quadratica ridotta.

Punti importanti della lezione: qualsiasi polinomio quadrato che abbia radici può essere scomposto tra parentesi. Supponiamo che il nostro possa essere rappresentato come `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, dove `k` e ` l` - alcune costanti.

Vediamo come si aprono le parentesi:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Quindi, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Questo è leggermente diverso dall'interpretazione classica I teoremi di Vieta- in esso cerchiamo le radici dell'equazione. Propongo di cercare i termini per espansioni di parentesi- quindi non è necessario ricordare il meno dalla formula (che significa `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). È sufficiente scegliere due di questi numeri, la cui somma è uguale al coefficiente medio e il prodotto è uguale al termine libero.

Se abbiamo bisogno di una soluzione all'equazione, allora è ovvio: le radici `x=-k` o `x=-l` (poiché in questi casi una delle parentesi sarà posta a zero, il che significa che l'intera espressione sarà uguale a zero).

Ad esempio, mostrerò l'algoritmo, come scomporre un polinomio quadrato tra parentesi.

Esempio uno. Algoritmo per fattorizzare un trinomio quadrato

Il percorso che abbiamo è il trinomio quadrato `x^2+5x+4`.

È ridotto (coefficiente di `x^2` uguale a uno). Ha radici. (Per essere sicuri, puoi stimare il discriminante e assicurarti che sia maggiore di zero.)

Passi successivi (devono essere appresi facendo tutto compiti di formazione):

1. Scrivi la seguente notazione: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Lascia lo spazio libero invece dei punti, lì aggiungeremo numeri e segni appropriati.
2. Mostra tutto opzioni possibili, come puoi scomporre il numero `4` nel prodotto di due numeri. Otteniamo coppie di "candidati" per le radici dell'equazione: `2, 2` e `1, 4`.
3. Stima da quale coppia puoi ottenere il coefficiente medio. Ovviamente è `1, 4`.
4. Scrivi $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. Il passaggio successivo consiste nel posizionare i segni davanti ai numeri inseriti.

   Come capire e ricordare per sempre quali segni dovrebbero essere davanti ai numeri tra parentesi? Prova ad espanderli (parentesi). Il coefficiente prima di `x` alla prima potenza sarà `(± 4 ± 1)` (non conosciamo ancora i segni - dobbiamo scegliere), e dovrebbe essere uguale a `5`. Ovviamente, ci saranno due vantaggi qui $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Esegui questa operazione più volte (ciao, compiti di formazione!) e non ci saranno mai più problemi con questo.

Se hai bisogno di risolvere l'equazione `x^2+5x+4`, allora la sua soluzione non è difficile. Le sue radici sono `-4, -1`.

Secondo esempio. Fattorizzazione di un trinomio quadrato con coefficienti di segno diverso

Dobbiamo risolvere l'equazione `x^2-x-2=0`. A prima vista, il discriminante è positivo.

Seguiamo l'algoritmo.

1. $$x^2-x-2=(x \lpunti) (x \lpunti).$$
2. C'è solo una fattorizzazione intera di 2: `2 · 1`.
3. Saltiamo il punto: non c'è nulla tra cui scegliere.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Il prodotto dei nostri numeri è negativo (`-2` è un termine libero), il che significa che uno di essi sarà negativo e l'altro positivo.
   Poiché la loro somma è uguale a `-1` (coefficiente di `x`), allora `2` sarà negativo (spiegazione intuitiva - due è il più grande dei due numeri, "tirerà" maggiormente nella direzione negativa). Otteniamo $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Terzo esempio. Fattorizzazione di un trinomio quadrato

Equazione `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \lpunti) (x \lpunti).$$
2. Scomposizione di 84 in fattori interi: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Poiché abbiamo bisogno che la differenza (o somma) dei numeri sia 5, la coppia `7, 12` andrà bene.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Speranza, scomposizione di questo trinomio quadrato tra parentesi comprensibilmente.

Se hai bisogno di una soluzione all'equazione, eccola qui: `12, -7`.

Compiti per la formazione

Ecco alcuni esempi facili da realizzare vengono risolti usando il teorema di Vieta.(Esempi tratti da Matematica, 2002.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Un paio d'anni dopo la stesura dell'articolo, è apparsa una raccolta di 150 attività per espandere un polinomio quadratico utilizzando il teorema di Vieta.

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