Questo articolo parla dell'argomento « distanza da punto a linea », le definizioni della distanza da un punto a una linea sono considerate con esempi illustrati mediante il metodo delle coordinate. Ogni blocco di teoria alla fine ha mostrato esempi di risoluzione di problemi simili.

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La distanza da un punto a una linea si trova determinando la distanza da un punto a un punto. Consideriamo più in dettaglio.

Sia una retta a e un punto M 1 non appartenenti alla retta data. Traccia una linea che lo attraversi, perpendicolare alla linea a. Prendi il punto di intersezione delle rette come H 1. Otteniamo che M 1 H 1 è una perpendicolare, che è stata abbassata dal punto M 1 alla retta a.

Definizione 1

Distanza dal punto M 1 alla retta a detta distanza tra i punti M 1 e H 1 .

Ci sono registrazioni della definizione con la figura della lunghezza della perpendicolare.

Definizione 2

Distanza da punto a lineaè la lunghezza della perpendicolare tracciata da un punto dato a una retta data.

Le definizioni sono equivalenti. Considera la figura seguente.

È noto che la distanza da un punto a una retta è la più piccola possibile. Diamo un'occhiata a questo con un esempio.

Se prendiamo il punto Q giacente sulla retta a, non coincidente con il punto M 1, otteniamo che il segmento M 1 Q è detto obliquo, abbassato da M 1 alla retta a. È necessario indicare che la perpendicolare dal punto M 1 è minore di qualsiasi altro obliquo tracciato dal punto alla retta.

Per dimostrarlo, si consideri il triangolo M 1 Q 1 H 1 , dove M 1 Q 1 è l'ipotenusa. È noto che la sua lunghezza è sempre maggiore della lunghezza di una qualsiasi delle gambe. Quindi, abbiamo che M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

I dati iniziali per trovare da un punto a una retta consentono di utilizzare diversi metodi di soluzione: attraverso il teorema di Pitagora, definizioni di seno, coseno, tangente di un angolo e altri. La maggior parte dei compiti di questo tipo vengono risolti a scuola nelle lezioni di geometria.

Quando, quando si trova la distanza da un punto a una linea, è possibile inserire un sistema di coordinate rettangolare, viene utilizzato il metodo delle coordinate. In questo paragrafo consideriamo i due metodi principali per trovare la distanza desiderata da un dato punto.

Il primo metodo consiste nel trovare la distanza come perpendicolare tracciata da M 1 alla retta a. Il secondo metodo utilizza l'equazione normale della retta a per trovare la distanza richiesta.

Se c'è un punto sul piano con coordinate M 1 (x 1, y 1) situato in un sistema di coordinate rettangolare, una linea retta a, e devi trovare la distanza M 1 H 1, puoi calcolare in due modi. Consideriamoli.

Primo modo

Se ci sono coordinate del punto H 1 uguali a x 2, y 2, la distanza dal punto alla linea viene calcolata dalle coordinate della formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Passiamo ora alla ricerca delle coordinate del punto H 1.

È noto che una retta in O x y corrisponde all'equazione di una retta in un piano. Prendiamo un modo per definire una retta a attraverso la scrittura di un'equazione generale di una retta o un'equazione con una pendenza. Componiamo l'equazione di una retta passante per il punto M 1 perpendicolare ad una data retta a. Indichiamo la linea di faggio b . H 1 è il punto di intersezione delle rette aeb, quindi per determinare le coordinate è necessario utilizzare l'articolo in cui in questione sulle coordinate dei punti di intersezione di due rette.

Si può notare che l'algoritmo per trovare la distanza da un dato punto M 1 (x 1, y 1) alla retta a viene eseguito secondo i punti:

Definizione 3

• trovare l'equazione generale della retta a , avente la forma A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, o un'equazione con un coefficiente di pendenza, avente la forma y \u003d k 1 x + b 1;
• ottenendo l'equazione generale della linea b, che ha la forma A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 o un'equazione con una pendenza y \u003d k 2 x + b 2 se la linea b interseca il punto M 1 ed è perpendicolare alla retta data a;
• determinazione delle coordinate x 2, y 2 del punto H 1, che è il punto di intersezione di aeb, per questo il sistema è risolto equazioni lineari UN 1 x + B 1 y + C 1 = 0 UN 2 x + B 2 y + C 2 = 0 o y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• calcolo della distanza richiesta da un punto ad una retta, utilizzando la formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Secondo modo

Il teorema può aiutare a rispondere alla domanda di trovare la distanza da un dato punto a una data linea su un piano.

Teorema

Un sistema di coordinate rettangolare ha O x y ha un punto M 1 (x 1, y 1), da cui si traccia una retta a al piano, dato dall'equazione normale del piano, avente la forma cos α x + cos β y - p \u003d 0, uguale a modulo il valore ottenuto sul lato sinistro dell'equazione della retta normale, calcolato in x = x 1, y = y 1, significa che M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Prova

La retta a corrisponde all'equazione normale del piano, che ha la forma cos α x + cos β y - p = 0, allora n → = (cos α , cos β) è considerato un vettore normale della retta a in a distanza dall'origine alla retta a con p unità. È necessario rappresentare tutti i dati nella figura, aggiungere un punto con coordinate M 1 (x 1, y 1) , dove il vettore raggio del punto M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . È necessario tracciare una retta da un punto ad una retta, che indicheremo con M 1 H 1 . È necessario mostrare le proiezioni M 2 e H 2 dei punti M 1 e H 2 su una retta passante per il punto O con un vettore direzionale della forma n → = (cos α , cos β) , e la proiezione numerica del vettore sarà indicato come O M 1 → = (x 1 , y 1) nella direzione n → = (cos α , cos β) come n p n → O M 1 → .

Le variazioni dipendono dalla posizione del punto M 1 stesso. Considera la figura seguente.

Fissiamo i risultati usando la formula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Quindi portiamo l'uguaglianza a questa forma M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p per ottenere n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Il prodotto scalare dei vettori risulta in una formula trasformata della forma n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , che è un prodotto in forma coordinata del forma n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Quindi, otteniamo che n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Ne consegue che M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Il teorema è stato dimostrato.

Otteniamo che per trovare la distanza dal punto M 1 (x 1, y 1) alla retta a sul piano, è necessario eseguire diverse azioni:

Definizione 4

• ottenere l'equazione normale della retta a cos α · x + cos β · y - p = 0, purché non sia nel compito;
• calcolo dell'espressione cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , dove il valore risultante assume M 1 H 1 .

Applichiamo questi metodi per risolvere i problemi relativi alla ricerca della distanza da un punto a un piano.

Esempio 1

Trova la distanza dal punto con coordinate M 1 (- 1 , 2) alla retta 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Soluzione

Usiamo il primo metodo per risolvere.

Per fare ciò, devi trovare l'equazione generale della retta b, che passa per un dato punto M 1 (- 1 , 2) perpendicolare alla retta 4 x - 3 y + 35 = 0 . Si può vedere dalla condizione che la retta b è perpendicolare alla retta a, quindi il suo vettore di direzione ha coordinate uguali a (4, - 3) . Quindi, abbiamo l'opportunità di scrivere l'equazione canonica della retta b sul piano, poiché ci sono coordinate del punto M 1, appartiene alla retta b. Determiniamo le coordinate del vettore direzionale della retta b . Otteniamo che x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . L'equazione canonica risultante deve essere convertita in una generale. Allora lo capiamo

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Troviamo le coordinate dei punti di intersezione delle linee, che prenderemo come designazione H 1. Le trasformazioni si presentano così:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Da quanto sopra, abbiamo che le coordinate del punto H 1 sono (- 5; 5) .

Occorre calcolare la distanza dal punto M 1 alla retta a. Abbiamo che le coordinate dei punti M 1 (- 1, 2) e H 1 (- 5, 5), quindi sostituiamo nella formula per trovare la distanza e otteniamo che

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

La seconda soluzione.

Per risolvere in altro modo, è necessario ottenere l'equazione normale di una retta. Calcoliamo il valore del fattore di normalizzazione e moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione 4 x - 3 y + 35 = 0 . Da qui otteniamo che il fattore di normalizzazione è - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , e l'equazione normale sarà della forma - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 a - 7 = 0 .

Secondo l'algoritmo di calcolo, è necessario ottenere l'equazione normale di una retta e calcolarla con i valori x = - 1 , y = 2 . Allora lo capiamo

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Da qui otteniamo che la distanza dal punto M 1 (- 1 , 2) alla retta data 4 x - 3 y + 35 = 0 ha il valore - 5 = 5 .

Risposta: 5 .

Si può vedere che in questo metodo è importante utilizzare l'equazione normale di una retta, poiché questo metodo è il più breve. Ma il primo metodo è conveniente in quanto è coerente e logico, sebbene abbia più punti di calcolo.

Esempio 2

Sul piano c'è un sistema di coordinate rettangolare O x y con un punto M 1 (8, 0) e una retta y = 1 2 x + 1. Trova la distanza da un punto dato a una retta.

Soluzione

La soluzione nel primo modo implica la riduzione data equazione con una pendenza all'equazione vista generale. Per semplificare, puoi farlo diversamente.

Se il prodotto delle pendenze delle rette perpendicolari ha un valore di -1, allora pendenza la retta perpendicolare al dato y = 1 2 x + 1 ha valore 2 . Ora otteniamo l'equazione di una retta passante per un punto di coordinate M 1 (8, 0) . Abbiamo che y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Procediamo a trovare le coordinate del punto H 1, ovvero i punti di intersezione y \u003d - 2 x + 16 e y \u003d 1 2 x + 1. Componiamo un sistema di equazioni e otteniamo:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Ne consegue che la distanza dal punto con coordinate M 1 (8 , 0) alla retta y = 1 2 x + 1 è uguale alla distanza dal punto iniziale e punto finale con coordinate M 1 (8 , 0) e H 1 (6, 4) . Calcoliamo e otteniamo che M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

La soluzione nel secondo modo è passare dall'equazione con un coefficiente alla sua forma normale. Cioè, otteniamo y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, quindi il valore del fattore di normalizzazione sarà - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Ne consegue che l'equazione normale di una retta assume la forma - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Calcoliamo dal punto M 1 8 , 0 a una retta della forma - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Noi abbiamo:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Risposta: 2 5 .

Esempio 3

È necessario calcolare la distanza dal punto di coordinate M 1 (- 2 , 4) alle rette 2 x - 3 = 0 e y + 1 = 0 .

Soluzione

Otteniamo l'equazione della forma normale della retta 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Quindi procediamo a calcolare la distanza dal punto M 1 - 2, 4 alla retta x - 3 2 = 0. Noi abbiamo:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

L'equazione della retta y + 1 = 0 ha un fattore di normalizzazione con un valore di -1. Ciò significa che l'equazione assumerà la forma -y-1 = 0. Procediamo a calcolare la distanza dal punto M 1 (- 2 , 4) alla retta -y - 1 = 0 . Otteniamo che è uguale a - 4 - 1 = 5.

Risposta: 3 1 2 e 5 .

Consideriamo in dettaglio la determinazione della distanza da un dato punto del piano agli assi coordinati O x e O y.

In un sistema di coordinate rettangolare, l'asse O y ha un'equazione di una retta, che è incompleta e ha la forma x \u003d 0 e O x - y \u003d 0. Le equazioni sono normali per gli assi delle coordinate, quindi è necessario trovare la distanza dal punto con le coordinate M 1 x 1 , y 1 alle rette. Questo viene fatto in base alle formule M 1 H 1 = x 1 e M 1 H 1 = y 1 . Considera la figura seguente.

Esempio 4

Trova la distanza dal punto M 1 (6, - 7) alle linee di coordinate situate nel piano O x y.

Soluzione

Poiché l'equazione y \u003d 0 si riferisce alla linea O x, puoi trovare la distanza da M 1 con le coordinate date a questa linea usando la formula. Otteniamo che 6 = 6 .

Poiché l'equazione x \u003d 0 si riferisce alla linea O y, puoi trovare la distanza da M 1 a questa linea usando la formula. Quindi otteniamo che - 7 = 7 .

Risposta: la distanza da M 1 a O x ha un valore di 6, e da M 1 a O y ha un valore di 7.

Quando nello spazio tridimensionale abbiamo un punto di coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1), è necessario trovare la distanza dal punto A alla retta a.

Considera due modi che ti consentono di calcolare la distanza da un punto a una retta situata nello spazio. Il primo caso considera la distanza dal punto M 1 alla retta, dove il punto della retta si chiama H 1 ed è la base della perpendicolare tracciata dal punto M 1 alla retta a. Il secondo caso suggerisce che i punti di questo piano debbano essere ricercati come l'altezza del parallelogramma.

Primo modo

Dalla definizione si ha che la distanza dal punto M 1 posto sulla retta a è la lunghezza della perpendicolare M 1 H 1, quindi la si ricava con le coordinate trovate del punto H 1, quindi si trova la distanza tra M 1 (x 1, y 1, z 1 ) e H 1 (x 1, y 1, z 1) in base alla formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Otteniamo che l'intera soluzione va a trovare le coordinate della base della perpendicolare tracciata da M 1 alla retta a. Questo si fa come segue: H 1 è il punto in cui la retta a interseca il piano che passa per il punto dato.

Ciò significa che l'algoritmo per determinare la distanza dal punto M 1 (x 1, y 1, z 1) alla retta a dello spazio implica diversi punti:

Definizione 5

• elaborare l'equazione del piano χ come equazione del piano passante per un dato punto perpendicolare alla retta;
• determinazione delle coordinate (x 2 , y 2 , z 2) appartenenti al punto H 1 che è il punto di intersezione della retta a e del piano χ ;
• calcolo della distanza da un punto ad una retta utilizzando la formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Secondo modo

Dalla condizione abbiamo una retta a, quindi possiamo determinare il vettore di direzione a → = a x, a y, a z con coordinate x 3, y 3, z 3 e un certo punto M 3 appartenente alla retta a. Date le coordinate dei punti M 1 (x 1 , y 1) e M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → si può calcolare:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

È necessario posticipare i vettori a → \u003d a x, a y, a z e M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 dal punto M 3, connetti e ottieni una figura a parallelogramma. M 1 H 1 è l'altezza del parallelogramma.

Considera la figura seguente.

Abbiamo che l'altezza M 1 H 1 è la distanza desiderata, quindi devi trovarla usando la formula. Cioè, stiamo cercando M 1 H 1 .

Indichiamo l'area del parallelogramma con la lettera S, si trova con la formula usando il vettore a → = (a x , a y , a z) e M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . La formula dell'area ha la forma S = a → × M 3 M 1 → . Inoltre, l'area della figura è uguale al prodotto delle lunghezze dei suoi lati e dell'altezza, otteniamo che S \u003d a → M 1 H 1 con a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, che è la lunghezza del vettore a → \u003d (a x, a y, a z) , essendo lato uguale parallelogramma. Quindi, M 1 H 1 è la distanza dal punto alla retta. Si trova con la formula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Per trovare la distanza da un punto con coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) a una retta a nello spazio, è necessario eseguire diversi punti dell'algoritmo:

Definizione 6

• determinazione del vettore di direzione della retta a - a → = (a x , a y , a z) ;
• calcolo della lunghezza del vettore di direzione a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• ricavare le coordinate x 3 , y 3 , z 3 appartenenti al punto M 3 posto sulla retta a;
• calcolo delle coordinate del vettore M 3 M 1 → ;
• trovare il prodotto incrociato dei vettori a → (a x, a y, a z) e M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 come a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 per ottenere la lunghezza secondo la formula a → × M 3 M 1 → ;
• calcolo della distanza da un punto ad una retta M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Risolvere problemi sulla ricerca della distanza da un dato punto a una data retta nello spazio

Esempio 5

Trova la distanza dal punto con coordinate M 1 2 , - 4 , - 1 alla retta x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Soluzione

Il primo metodo inizia scrivendo l'equazione del piano χ passante per M 1 e perpendicolare ad un dato punto. Otteniamo un'espressione come:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

È necessario trovare le coordinate del punto H 1, che è il punto di intersezione con il piano χ alla retta data dalla condizione. Occorre passare dalla forma canonica a quella intersecante. Quindi otteniamo un sistema di equazioni della forma:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

È necessario calcolare il sistema x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 con il metodo di Cramer, quindi otteniamo che:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Quindi abbiamo che H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Il secondo metodo deve essere avviato cercando le coordinate nell'equazione canonica. Per fare ciò, presta attenzione ai denominatori della frazione. Allora a → = 2 , - 1 , 5 è il vettore di direzione della retta x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . È necessario calcolare la lunghezza utilizzando la formula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

È chiaro che la retta x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 interseca il punto M 3 (- 1 , 0 , - 5), quindi abbiamo che il vettore di origine M 3 (- 1 , 0 , - 5) e la sua estremità nel punto M 1 2 , - 4 , - 1 è M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Trova il prodotto vettoriale a → = (2, - 1, 5) e M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Otteniamo un'espressione della forma a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 io → + 7 j → - 5 k →

otteniamo che la lunghezza del prodotto incrociato è a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Abbiamo tutti i dati per utilizzare la formula per calcolare la distanza da un punto per una retta, quindi lo applichiamo e otteniamo:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Risposta: 11 .

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La distanza da un punto a una retta è la lunghezza della perpendicolare dal punto alla retta. Nella geometria descrittiva, è determinato graficamente secondo l'algoritmo seguente.

Algoritmo

1. La retta viene trasferita in una posizione in cui sarà parallela a qualsiasi piano di proiezione. Per fare ciò, applica i metodi di trasformazione delle proiezioni ortogonali.
2. Disegna una perpendicolare da un punto a una linea. Questa costruzione si basa sul teorema della proiezione ad angolo retto.
3. La lunghezza di una perpendicolare è determinata convertendo le sue proiezioni o utilizzando il metodo del triangolo rettangolo.

La figura seguente mostra disegno complesso punto M e retta b dati dal segmento CD. Devi trovare la distanza tra loro.

Secondo il nostro algoritmo, la prima cosa da fare è spostare la linea in una posizione parallela al piano di proiezione. È importante capire che dopo le trasformazioni, la distanza effettiva tra il punto e la linea non dovrebbe cambiare. Ecco perché qui è conveniente utilizzare il metodo di sostituzione del piano, che non prevede lo spostamento di figure nello spazio.

Di seguito sono riportati i risultati della prima fase di costruzione. La figura mostra come viene introdotto un ulteriore piano frontale P 4 parallelo a b. A nuovo sistema(P 1 , P 4) i punti C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 sono alla stessa distanza dall'asse X 1 di C"", D"", M"" dall'asse X.

Eseguendo la seconda parte dell'algoritmo, da M"" 1 abbassiamo la perpendicolare M"" 1 N"" 1 alla retta b"" 1, poiché l'angolo retto MND tra b e MN è proiettato sul piano P 4 a grandezza naturale. Determiniamo la posizione del punto N" lungo la linea di comunicazione e disegniamo la proiezione M"N" del segmento MN.

Sul fase finaleè necessario determinare il valore del segmento MN mediante le sue proiezioni M"N" e M"" 1 N"" 1 . Per questo costruiamo triangolo rettangolo M"" 1 N"" 1 N 0 , il cui tratto N"" 1 N 0 è uguale alla differenza (Y M 1 – Y N 1) della rimozione dei punti M" e N" dall'asse X 1. La lunghezza dell'ipotenusa M"" 1 N 0 del triangolo M"" 1 N"" 1 N 0 corrisponde alla distanza desiderata da M a b.

Il secondo modo per risolvere

• Parallelamente a CD introduciamo un nuovo piano frontale П 4 . Interseca P 1 lungo l'asse X 1 e X 1 ∥C"D". Secondo il metodo di sostituzione dei piani, determiniamo le proiezioni dei punti C "" 1, D"" 1 e M"" 1, come mostrato nella figura.
• Perpendicolare a C "" 1 D "" 1 costruiamo un piano orizzontale aggiuntivo P 5 su cui la retta b è proiettata al punto C" 2 \u003d b" 2.
• La distanza tra il punto M e la retta b è determinata dalla lunghezza del segmento M "2 C" 2 segnato in rosso.

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1. Piano delle coordinate
2. Punti e vettori sul piano
3. Costruire un vettore da due punti
4. Lunghezza del vettore (distanza tra due punti)​
5. Coordinate del punto medio
6. Prodotto scalare di vettori
7. Angolo tra due vettori

Penso che tu abbia già indovinato perché il metodo delle coordinate si chiama così? È vero che ha preso tale nome, poiché non opera con oggetti geometrici, ma con le loro caratteristiche numeriche (coordinate). E la trasformazione stessa, che permette di passare dalla geometria all'algebra, consiste nell'introdurre un sistema di coordinate. Se la figura originale era piatta, le coordinate sono bidimensionali e se la figura è tridimensionale, le coordinate sono tridimensionali. In questo articolo considereremo solo il caso bidimensionale. E lo scopo principale dell'articolo è insegnarti come utilizzare alcune tecniche di base del metodo delle coordinate (a volte si rivelano utili quando si risolvono problemi di planimetria nella parte B dell'Esame di stato unificato). Le due sezioni seguenti su questo argomento sono dedicate alla discussione dei metodi per risolvere i problemi C2 (il problema della stereometria).

Dove sarebbe logico iniziare a discutere del metodo delle coordinate? Probabilmente con il concetto di un sistema di coordinate. Ricorda quando l'hai incontrata per la prima volta. Mi sembra che in 7a elementare, quando hai appreso dell'esistenza di una funzione lineare, per esempio. Lascia che ti ricordi che l'hai costruito punto per punto. Ti ricordi? Hai scelto un numero arbitrario, lo hai sostituito nella formula e calcolato in questo modo. Ad esempio, se, allora, se, allora, ecc. Cosa hai ottenuto di conseguenza? E hai ricevuto punti con coordinate: e. Quindi hai disegnato una "croce" (sistema di coordinate), hai scelto una scala su di essa (quante celle avrai come un singolo segmento) e hai segnato i punti che hai ricevuto su di essa, che hai poi collegato con una linea retta, la linea risultante è il grafico della funzione.

Ci sono alcune cose che devono essere spiegate un po' più in dettaglio:

1. Scegli un singolo segmento per motivi di praticità, in modo che tutto si adatti perfettamente e in modo compatto all'immagine

2. Si presume che l'asse vada da sinistra a destra e che l'asse vada dal basso verso l'alto

3. Si intersecano ad angolo retto e il punto della loro intersezione è chiamato origine. È contrassegnato da una lettera.

4. Nella registrazione delle coordinate di un punto, ad esempio, a sinistra tra parentesi c'è la coordinata del punto lungo l'asse ea destra lungo l'asse. In particolare, significa semplicemente che il punto

5. Per impostare qualsiasi punto sull'asse delle coordinate, è necessario specificarne le coordinate (2 numeri)

6. Per qualsiasi punto giacente sull'asse,

7. Per qualsiasi punto giacente sull'asse,

8. L'asse è chiamato asse x

9. L'asse è chiamato asse y

Ora facciamo il passo successivo con te: segna due punti. Collega questi due punti con una linea. E mettiamo la freccia come se stessimo disegnando un segmento da un punto all'altro: cioè, orienteremo il nostro segmento!

Ricordi qual è un altro nome per un segmento diretto? Esatto, si chiama vettore!

Quindi, se colleghiamo un punto a un punto, e l'inizio sarà il punto A, e la fine sarà il punto B, quindi otteniamo un vettore. Anche tu hai fatto questa costruzione in terza media, ricordi?

Si scopre che i vettori, come i punti, possono essere indicati con due numeri: questi numeri sono chiamati coordinate del vettore. Domanda: pensi che ci basti conoscere le coordinate dell'inizio e della fine del vettore per trovarne le coordinate? Si scopre che sì! Ed è molto facile da fare:

Quindi, poiché nel vettore il punto è l'inizio e la fine, il vettore ha le seguenti coordinate:

Ad esempio, se, allora le coordinate del vettore

Ora facciamo il contrario, troviamo le coordinate del vettore. Cosa dobbiamo cambiare per questo? Sì, devi scambiare l'inizio e la fine: ora l'inizio del vettore sarà in un punto e la fine in un punto. Quindi:

Guarda da vicino, qual è la differenza tra vettori e? La loro unica differenza sono i segni nelle coordinate. Sono opposti. Questo fatto è scritto così:

A volte, se non viene specificato in modo specifico quale punto è l'inizio del vettore e quale è la fine, i vettori non sono indicati con due lettere maiuscole, ma con una minuscola, ad esempio:, ecc.

Ora un po' la pratica e trova le coordinate dei seguenti vettori:

Visita medica:

Ora risolvi il problema un po' più difficile:

Un toro vettoriale con on-cha-scrap in un punto ha co-or-di-on-you. Trova-di-te punti abs-cis-su.

Lo stesso è abbastanza prosaico: siano le coordinate del punto. Quindi

Ho compilato il sistema determinando quali sono le coordinate di un vettore. Quindi il punto ha le coordinate. A noi interessa l'ascissa. Quindi

Risposta:

Cos'altro puoi fare con i vettori? Sì, quasi tutto è uguale ai numeri ordinari (tranne che non puoi dividere, ma puoi moltiplicare in due modi, uno dei quali parleremo qui un po' più avanti)

1. I vettori possono essere impilati l'uno con l'altro
2. I vettori possono essere sottratti l'uno dall'altro
3. I vettori possono essere moltiplicati (o divisi) per un numero arbitrario diverso da zero
4. I vettori possono essere moltiplicati tra loro

Tutte queste operazioni hanno una rappresentazione geometrica abbastanza visiva. Ad esempio, la regola del triangolo (o parallelogramma) per l'addizione e la sottrazione:

Un vettore si allunga o si restringe o cambia direzione quando viene moltiplicato o diviso per un numero:

Tuttavia, qui saremo interessati alla domanda su cosa succede alle coordinate.

1. Quando aggiungiamo (sottriamo) due vettori, aggiungiamo (sottrai) le loro coordinate elemento per elemento. Questo è:

2. Quando si moltiplica (dividendo) un vettore per un numero, tutte le sue coordinate vengono moltiplicate (divise) per questo numero:

Per esempio:

· Trova-di-la somma di ko-o-di-nat da secolo a ra.

Per prima cosa troviamo le coordinate di ciascuno dei vettori. Entrambi hanno la stessa origine: il punto di origine. I loro fini sono diversi. Quindi, . Ora calcoliamo le coordinate del vettore Quindi la somma delle coordinate del vettore risultante è uguale a.

Risposta:

Ora risolvi tu stesso il seguente problema:

· Trova la somma delle coordinate del vettore

Controlliamo:

Consideriamo ora il seguente problema: abbiamo due punti sul piano delle coordinate. Come trovare la distanza tra loro? Sia il primo punto, e il secondo. Indichiamo la distanza tra loro come . Facciamo il seguente disegno per chiarezza:

Quello che ho fatto? Mi sono connesso per la prima volta punti e, a tracciava anche una linea parallela all'asse dal punto e tracciava una linea parallela all'asse dal punto. Si sono intersecati in un punto, formando una figura meravigliosa? Perché è meravigliosa? Sì, io e te sappiamo quasi tutto di un triangolo rettangolo. Bene, il teorema di Pitagora, di sicuro. Il segmento desiderato è l'ipotenusa di questo triangolo e i segmenti sono le gambe. Quali sono le coordinate del punto? Sì, sono facili da trovare dall'immagine: poiché i segmenti sono paralleli agli assi e, rispettivamente, le loro lunghezze sono facili da trovare: se indichiamo le lunghezze dei segmenti, rispettivamente, passante, allora

Usiamo ora il teorema di Pitagora. Conosciamo le lunghezze delle gambe, troveremo l'ipotenusa:

Pertanto, la distanza tra due punti è la somma radice delle differenze al quadrato dalle coordinate. Oppure - la distanza tra due punti è la lunghezza del segmento che li collega. È facile vedere che la distanza tra i punti non dipende dalla direzione. Quindi:

Da ciò traiamo tre conclusioni:

Facciamo un po' di pratica sul calcolo della distanza tra due punti:

Ad esempio, se, allora la distanza tra e è

Oppure andiamo diversamente: trova le coordinate del vettore

E trova la lunghezza del vettore:

Come puoi vedere, è lo stesso!

Ora esercitati un po' da solo:

Compito: trova la distanza tra i punti indicati:

Controlliamo:

Ecco un altro paio di problemi per la stessa formula, anche se suonano leggermente diversi:

1. Trova-di-te il quadrato della lunghezza della palpebra-a-ra.

2. Nai-di-te quadrato di lunghezza palpebrale-a-ra

Immagino che tu possa gestirli facilmente? Controlliamo:

1. E questo è per l'attenzione) Abbiamo già trovato le coordinate dei vettori prima: . Allora il vettore ha le coordinate. Il quadrato della sua lunghezza sarà:

2. Trova le coordinate del vettore

Allora è il quadrato della sua lunghezza

Niente di complicato, vero? Semplice aritmetica, niente di più.

I seguenti compiti non possono essere classificati in modo univoco, lo sono piuttosto erudizione generale e la capacità di disegnare immagini semplici.

1. Trova-di-quei seno dell'angolo su-clo-on-da-taglio, collega-un-esimo-esimo punto, con l'asse delle ascisse.

e

Come lo faremo qui? Devi trovare il seno dell'angolo tra e l'asse. E dove possiamo cercare il seno? Esatto, in un triangolo rettangolo. Quindi cosa dobbiamo fare? Costruisci questo triangolo!

Poiché le coordinate del punto e, quindi il segmento è uguale e il segmento. Dobbiamo trovare il seno dell'angolo. Lascia che ti ricordi che il seno è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa, quindi

Cosa ci resta da fare? Trova l'ipotenusa. Puoi farlo in due modi: con il teorema di Pitagora (le gambe sono note!) o con la formula della distanza tra due punti (in realtà la stessa del primo metodo!). andrò nella seconda via:

Risposta:

Il prossimo compito ti sembrerà ancora più facile. Lei - sulle coordinate del punto.

Compito 2. Dal punto, il per-pen-di-ku-lar viene abbassato sull'asse abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Facciamo un disegno:

La base della perpendicolare è il punto in cui interseca l'asse x (asse) per me questo è un punto. La figura mostra che ha coordinate: . Ci interessa l'ascissa, ovvero la componente "X". Lei è uguale.

Risposta: .

Compito 3. Nelle condizioni del problema precedente, trova la somma delle distanze dal punto agli assi delle coordinate.

Il compito è generalmente elementare se si conosce la distanza da un punto agli assi. Sai? Spero, ma ti ricordo ancora:

Quindi, nel mio disegno, situato un po' più in alto, ne ho già raffigurata una perpendicolare? Che asse è? all'asse. E allora qual è la sua lunghezza? Lei è uguale. Ora disegna tu stesso una perpendicolare all'asse e trova la sua lunghezza. Sarà uguale, giusto? Quindi la loro somma è uguale.

Risposta: .

Compito 4. Nelle condizioni del problema 2, trova l'ordinata del punto simmetrica al punto attorno all'asse x.

Penso che tu abbia intuitivamente capito cos'è la simmetria? Ce l'hanno tanti oggetti: tanti palazzi, tavoli, aerei, tanti figure geometriche: palla, cilindro, quadrato, rombo, ecc. In parole povere, la simmetria può essere intesa come segue: una figura è composta da due (o più) metà identiche. Questa simmetria è chiamata assiale. Che cos'è allora un asse? Questa è esattamente la linea lungo la quale la figura può, relativamente parlando, essere "tagliata" in metà identiche (in questa immagine, l'asse di simmetria è dritto):

Ora torniamo al nostro compito. Sappiamo che stiamo cercando un punto simmetrico rispetto all'asse. Allora questo asse è l'asse di simmetria. Quindi, dobbiamo contrassegnare un punto in modo che l'asse tagli il segmento in due parti uguali. Prova a segnare tu stesso un punto del genere. Ora confronta con la mia soluzione:

Hai fatto lo stesso? Bene! Al punto trovato, ci interessa l'ordinata. Lei è uguale

Risposta:

Ora dimmi, dopo aver riflettuto per un secondo, quale sarà l'ascissa del punto simmetrico al punto A rispetto all'asse y? Qual è la tua risposta? Risposta corretta: .

In generale, la regola può essere scritta in questo modo:

Un punto simmetrico rispetto a un punto attorno all'asse x ha le coordinate:

Un punto simmetrico rispetto a un punto attorno all'asse y ha coordinate:

Bene, ora è davvero spaventoso. un compito: Trova le coordinate di un punto simmetrico rispetto a un punto, rispetto all'origine. Prima pensa da solo e poi guarda il mio disegno!

Risposta:

Adesso problema del parallelogramma:

Compito 5: I punti sono ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Punti Find-dee-te o-dee-on-tu.

Puoi risolvere questo problema in due modi: la logica e il metodo delle coordinate. Prima applicherò il metodo delle coordinate e poi ti dirò come puoi decidere diversamente.

È abbastanza chiaro che l'ascissa del punto è uguale. (si trova sulla perpendicolare tracciata dal punto all'asse x). Dobbiamo trovare l'ordinata. Approfittiamo del fatto che la nostra figura è un parallelogramma, il che significa questo. Trova la lunghezza del segmento usando la formula per la distanza tra due punti:

Abbassiamo la perpendicolare che collega il punto con l'asse. Il punto di intersezione è indicato da una lettera.

La lunghezza del segmento è uguale. (trova tu stesso il problema, dove abbiamo discusso questo momento), quindi troveremo la lunghezza del segmento usando il teorema di Pitagora:

La lunghezza del segmento è esattamente la stessa della sua ordinata.

Risposta: .

Un'altra soluzione (fornirò solo una foto che lo illustri)

Avanzamento della soluzione:

1. Spendere

2. Trova le coordinate del punto e la lunghezza

3. Dimostralo.

Un altro problema della lunghezza del taglio:

I punti sono-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Trova la lunghezza della sua linea mediana, par-ral-lel-noy.

Ti ricordi qual è la linea mediana di un triangolo? Allora per te questo compito è elementare. Se non ricordi, te lo ricorderò: la linea mediana di un triangolo è una linea che collega i punti medi dei lati opposti. È parallelo alla base e uguale alla metà di essa.

La base è un segmento. Abbiamo dovuto cercare la sua lunghezza prima, è uguale. Quindi la lunghezza della linea mediana è lunga la metà e uguale.

Risposta: .

Commento: questo problema può essere risolto in un altro modo, di cui parleremo un po' più avanti.

Nel frattempo, ecco alcuni compiti per te, esercitati su di essi, sono abbastanza semplici, ma aiutano a "riempire la tua mano" usando il metodo delle coordinate!

1. I punti appaiono-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Trova la lunghezza della sua linea mediana.

2. Punti e yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Punti Find-dee-te o-dee-on-tu.

3. Trova la lunghezza dal taglio, collega il secondo punto e

4. Trova-di-te l'area per-the-red-shen-noy fi-gu-ry sull'aereo ko-or-di-nat-noy.

5. Un cerchio centrato su na-cha-le ko-or-di-nat passa per un punto. Trova i suoi ra-di-baffi.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, descrivere-san-noy vicino all'angolo retto-no-ka, le cime-shi-ny di qualcosa-ro-go hanno co-o - di-na-tu co-da-rispondi-ma

Soluzioni:

1. È noto che la linea mediana di un trapezio è uguale alla metà della somma delle sue basi. La base è uguale, ma la base. Quindi

Risposta:

2. Il modo più semplice per risolvere questo problema è notarlo (regola del parallelogramma). Calcola le coordinate dei vettori e non è difficile: . Quando si aggiungono vettori, vengono aggiunte le coordinate. Quindi ha le coordinate. Il punto ha le stesse coordinate, poiché l'inizio del vettore è un punto con coordinate. Ci interessa l'ordinata. Lei è uguale.

Risposta:

3. Agiamo immediatamente secondo la formula per la distanza tra due punti:

Risposta:

4. Guarda l'immagine e dì, tra quali due figure l'area ombreggiata è "schiacciata"? È racchiuso tra due quadrati. Quindi l'area della figura desiderata è uguale all'area del quadrato grande meno l'area di quello piccolo. Il lato del quadratino è un segmento che collega i punti e la sua lunghezza è

Quindi l'area della piazzetta è

Facciamo lo stesso con un grande quadrato: il suo lato è un segmento che collega i punti e la sua lunghezza è uguale a

Quindi l'area della piazza grande è

L'area della figura desiderata è trovata dalla formula:

Risposta:

5. Se il cerchio ha l'origine come centro e passa per un punto, il suo raggio sarà esattamente uguale alla lunghezza del segmento (fai un disegno e capirai perché è ovvio). Trova la lunghezza di questo segmento:

Risposta:

6. È noto che il raggio di una circonferenza circoscritta ad un rettangolo è uguale alla metà della sua diagonale. Troviamo la lunghezza di una qualsiasi delle due diagonali (in fondo in un rettangolo sono uguali!)

Risposta:

Bene, hai gestito tutto? Non è stato così difficile capirlo, vero? C'è solo una regola qui: essere in grado di creare un'immagine visiva e semplicemente "leggere" tutti i dati da essa.

Ci è rimasto molto poco. Ci sono letteralmente altri due punti che vorrei discutere.

Proviamo a risolvere questo semplice problema. Siano due punti e si dia. Trova le coordinate del centro del segmento. La soluzione a questo problema è la seguente: lascia che il punto sia il centro desiderato, quindi ha le coordinate:

Questo è: coordinate del centro del segmento = media aritmetica delle corrispondenti coordinate degli estremi del segmento.

Questa regola è molto semplice e di solito non crea difficoltà agli studenti. Vediamo in quali problemi e come viene utilizzato:

1. Trova-di-te o-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point e

2. I punti sono yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Trova-di-te o-di-na-tu punti di re-re-se-che-niya del suo dia-go-on-lei.

3. Trova-di-te abs-cis-su del centro del cerchio, descrivi-san-noy vicino al rettangolo-no-ka, le cime-shi-abbiamo qualcosa-ro-go co-o-di- na-tu co-da-vet-stvenno-ma.

Soluzioni:

1. Il primo compito è solo un classico. Agiamo immediatamente determinando il punto medio del segmento. Lei ha le coordinate. L'ordinata è uguale.

Risposta:

2. È facile vedere che il quadrilatero dato è un parallelogramma (anche un rombo!). Puoi dimostrarlo tu stesso calcolando le lunghezze dei lati e confrontandole tra loro. Che ne so di un parallelogramma? Le sue diagonali sono tagliate in due dal punto di intersezione! Ah! Quindi il punto di intersezione delle diagonali qual è? Questo è il centro di qualsiasi diagonale! Sceglierò, in particolare, la diagonale. Allora il punto ha coordinate L'ordinata del punto è uguale a.

Risposta:

3. Qual è il centro del cerchio circoscritto al rettangolo? Coincide con il punto di intersezione delle sue diagonali. Cosa sai delle diagonali di un rettangolo? Sono uguali e il punto di intersezione è diviso a metà. Il compito è stato ridotto a quello precedente. Prendi, ad esempio, la diagonale. Allora se è il centro del cerchio circoscritto, allora è il centro. Cerco coordinate: L'ascissa è uguale.

Risposta:

Ora esercitati un po' da solo, ti darò solo le risposte ad ogni problema in modo che tu possa controllarti.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, descrivere-san-noy vicino al triangolo-no-ka, le cime di qualcuno-ro-go hanno ko-or-di-no mister

2. Trova-di-te o-di-na-tu il centro del cerchio, descrivi il san-noy vicino al triangolo-no-ka, le cime-shi-abbiamo le coordinate di qualcosa-ro-go

3. Che tipo di ra-di-y-sa dovrebbe esserci un cerchio con un centro in un punto tale da toccare l'asse abs-ciss?

4. Trova-di-te o-di-su-quel punto di ri-ri-se-che-ing dell'asse e dal-taglio, collega-nya-yu-esimo-esimo punto e

Risposte:

Tutto ha funzionato? Ci spero davvero! Ora - l'ultima spinta. Ora stai particolarmente attento. Il materiale che ora spiegherò è direttamente correlato non solo a compiti semplici al metodo delle coordinate dalla parte B, ma si verifica anche ovunque nel problema C2.

Quale delle mie promesse non ho ancora mantenuto? Ricordi quali operazioni sui vettori ho promesso di introdurre e quali alla fine ho introdotto? Sono sicuro di non aver dimenticato nulla? Dimenticato! Ho dimenticato di spiegare cosa significa moltiplicazione dei vettori.

Esistono due modi per moltiplicare un vettore per un vettore. A seconda del metodo scelto, otterremo oggetti di natura diversa:

Il prodotto vettoriale è piuttosto complicato. Come farlo e perché è necessario, ne discuteremo con te nel prossimo articolo. E in questo ci concentreremo sul prodotto scalare.

Ci sono già due modi che ci permettono di calcolarlo:

Come hai intuito, il risultato dovrebbe essere lo stesso! Quindi diamo un'occhiata prima al primo modo:

Dot prodotto tramite coordinate

Trova: - denominazione comune prodotto a punti

La formula per il calcolo è la seguente:

Cioè, il prodotto scalare = la somma dei prodotti delle coordinate dei vettori!

Esempio:

Trova-dee-te

Soluzione:

Trova le coordinate di ciascuno dei vettori:

Calcoliamo il prodotto scalare con la formula:

Risposta:

Vedi, assolutamente niente di complicato!

Bene, ora prova tu stesso:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie century-to-ditch e

Sei riuscito? Forse ha notato un piccolo trucco? Controlliamo:

Coordinate vettoriali, come nell'attività precedente! Risposta: .

Oltre alla coordinata, esiste un altro modo per calcolare il prodotto scalare, ovvero attraverso le lunghezze dei vettori e il coseno dell'angolo tra di loro:

Denota l'angolo tra i vettori e.

Cioè, il prodotto scalare è uguale al prodotto delle lunghezze dei vettori e del coseno dell'angolo tra di loro.

Perché abbiamo bisogno di questa seconda formula, se abbiamo la prima, che è molto più semplice, almeno non ci sono coseni in essa. E ne abbiamo bisogno in modo che dalla prima e dalla seconda formula possiamo dedurre come trovare l'angolo tra i vettori!

Ricordiamo allora la formula per la lunghezza di un vettore!

Quindi, se inserisco questi dati nella formula del prodotto a punti, ottengo:

Ma dall'altra parte:

Allora cosa abbiamo? Ora abbiamo una formula per calcolare l'angolo tra due vettori! A volte, per brevità, si scrive anche così:

Cioè, l'algoritmo per calcolare l'angolo tra i vettori è il seguente:

1. Calcoliamo il prodotto scalare attraverso le coordinate
2. Trova le lunghezze dei vettori e moltiplicale
3. Dividi il risultato del punto 1 per il risultato del punto 2

Facciamo pratica con esempi:

1. Trova l'angolo tra le palpebre-a-ra-mi e. Dai la tua risposta in gradi.

2. Nelle condizioni del problema precedente, trova il coseno tra i vettori

Facciamo così: ti aiuterò a risolvere il primo problema e proverò a fare il secondo da solo! Sono d'accordo? Allora iniziamo!

1. Questi vettori sono i nostri vecchi amici. Abbiamo già considerato il loro prodotto scalare ed era uguale. Le loro coordinate sono: , . Quindi troviamo le loro lunghezze:

Quindi cerchiamo il coseno tra i vettori:

Qual è il coseno dell'angolo? Questo è l'angolo.

Risposta:

Bene, ora risolvi tu stesso il secondo problema e poi confronta! Darò solo una soluzione molto breve:

2. ha coordinate, ha coordinate.

Sia l'angolo tra i vettori e, quindi

Risposta:

Va notato che i compiti direttamente sui vettori e il metodo delle coordinate nella parte B lavoro di esame abbastanza raro. Tuttavia, la stragrande maggioranza dei problemi C2 può essere facilmente risolta introducendo un sistema di coordinate. Quindi puoi considerare questo articolo come una base, sulla base del quale faremo costruzioni piuttosto complicate che dobbiamo risolvere compiti impegnativi.

COORDINATE E VETTORI. LIVELLO INTERMEDIO

Tu ed io continuiamo a studiare il metodo delle coordinate. Nell'ultima parte, abbiamo derivato una serie di formule importanti che consentono:

1. Trova le coordinate vettoriali
2. Trova la lunghezza di un vettore (in alternativa: la distanza tra due punti)
3. Somma, sottrai vettori. Moltiplicali per un numero reale
4. Trova il punto medio di un segmento
5. Calcola il prodotto scalare dei vettori
6. Trova l'angolo tra i vettori

Naturalmente, l'intero metodo delle coordinate non rientra in questi 6 punti. È alla base di una scienza come la geometria analitica, che conoscerai all'università. Voglio solo costruire una base che ti permetta di risolvere i problemi in un unico stato. esame. Abbiamo capito i compiti della parte B in Ora è il momento di passare alla qualità nuovo livello! Questo articolo sarà dedicato a un metodo per risolvere quei problemi C2 in cui sarebbe ragionevole passare al metodo delle coordinate. Questa ragionevolezza è determinata da ciò che deve essere trovato nel problema e da quale cifra è data. Quindi, userei il metodo delle coordinate se le domande sono:

1. Trova l'angolo tra due piani
2. Trova l'angolo tra una linea e un piano
3. Trova l'angolo tra due rette
4. Trova la distanza da un punto a un piano
5. Trova la distanza da un punto a una linea
6. Trova la distanza tra una retta e un aereo
7. Trova la distanza tra due linee

Se la cifra data nella condizione del problema è un corpo di rivoluzione (sfera, cilindro, cono...)

Le figure adatte per il metodo delle coordinate sono:

1. cuboide
2. Piramide (triangolare, quadrangolare, esagonale)

Anche nella mia esperienza non è appropriato utilizzare il metodo delle coordinate per:

1. Trovare le aree delle sezioni
2. Calcoli di volumi di corpi

Tuttavia, va immediatamente notato che tre situazioni "sfavorevoli" per il metodo delle coordinate sono piuttosto rare nella pratica. Nella maggior parte dei compiti, può diventare il tuo salvatore, soprattutto se non sei molto forte nelle costruzioni tridimensionali (che a volte sono piuttosto intricate).

Quali sono tutte le cifre che ho elencato sopra? Non sono più piatti, come un quadrato, un triangolo, un cerchio, ma voluminosi! Di conseguenza, dobbiamo considerare non un sistema di coordinate bidimensionale, ma tridimensionale. Si costruisce abbastanza facilmente: solo in aggiunta alle ascisse e alle ordinate, introdurremo un altro asse, l'asse applicato. La figura mostra schematicamente la loro posizione relativa:

Tutti sono reciprocamente perpendicolari, si intersecano in un punto, che chiameremo origine. L'asse delle ascisse, come prima, sarà indicato, l'asse delle ordinate - , e l'asse applicato introdotto - .

Se prima ogni punto del piano era caratterizzato da due numeri - l'ascissa e l'ordinata, allora ogni punto nello spazio è già descritto da tre numeri - l'ascissa, l'ordinata, l'applicata. Per esempio:

Di conseguenza, l'ascissa del punto è uguale, l'ordinata è , e l'applicata è .

A volte l'ascissa di un punto è anche chiamata proiezione del punto sull'asse delle ascisse, l'ordinata è la proiezione del punto sull'asse delle ordinate e l'applicata è la proiezione del punto sull'asse dell'applicata. Di conseguenza, se viene dato un punto, allora un punto con coordinate:

detta proiezione di un punto su un piano

detta proiezione di un punto su un piano

Sorge spontanea una domanda: tutte le formule derivate per il caso bidimensionale sono valide nello spazio? La risposta è sì, sono giusti e hanno lo stesso aspetto. Per un piccolo dettaglio. Penso che tu abbia già indovinato quale. In tutte le formule, dovremo aggiungere un altro termine responsabile dell'asse dell'applicata. Vale a dire.

1. Se vengono assegnati due punti: , allora:

• Coordinate vettoriali:
• Distanza tra due punti (o lunghezza del vettore)
• Il centro del segmento ha le coordinate

2. Se sono dati due vettori: e, allora:

• Il loro prodotto di punta è:
• Il coseno dell'angolo tra i vettori è:

Tuttavia, lo spazio non è così semplice. Come capisci, l'aggiunta di un'altra coordinata introduce una significativa varietà nello spettro delle figure che "vivono" in questo spazio. E per ulteriore narrazione, ho bisogno di introdurre alcune, grosso modo, "generalizzazioni" della linea retta. Questa "generalizzazione" sarà un aereo. Cosa sai dell'aereo? Prova a rispondere alla domanda, cos'è un aereo? È molto difficile da dire. Tuttavia, tutti noi immaginiamo intuitivamente come appare:

In parole povere, questa è una specie di "foglia" senza fine spinta nello spazio. "Infinito" dovrebbe essere inteso che il piano si estende in tutte le direzioni, cioè la sua area è uguale all'infinito. Tuttavia, questa spiegazione "sulle dita" non dà la minima idea della struttura dell'aereo. E ci interesserà.

Ricordiamo uno degli assiomi di base della geometria:

• in due vari punti una retta passa sul piano, inoltre, una sola:

O il suo analogo nello spazio:

Certo, ti ricordi come ricavare l'equazione di una retta da due punti dati, questo non è affatto difficile: se il primo punto ha coordinate: e il secondo, allora l'equazione della retta sarà la seguente:

Ci sei passato in prima media. Nello spazio, l'equazione di una retta si presenta così: poniamo due punti con coordinate: , quindi l'equazione di una retta passante per essi ha la forma:

Ad esempio, una linea passa per punti:

Come dovrebbe essere inteso? Questo dovrebbe essere inteso come segue: un punto giace su una retta se le sue coordinate soddisfano il seguente sistema:

Non saremo molto interessati all'equazione di una retta, ma dobbiamo prestare attenzione al concetto molto importante del vettore diretto di una retta. - qualunque vettore diverso da zero giacente su una determinata linea o parallela ad essa.

Ad esempio, entrambi i vettori sono vettori di direzione di una retta. Sia un punto che giace su una retta e sia il suo vettore diretto. Quindi l'equazione di una retta può essere scritta nella forma seguente:

Ancora una volta, non sarò molto interessato all'equazione di una retta, ma ho davvero bisogno che tu ricordi cos'è un vettore di direzione! Ancora: è QUALSIASI vettore diverso da zero che giace su una linea o parallelo ad essa.

Ritirare equazione a tre punti di un piano non è più così banale, e di solito questo problema non viene considerato nel corso Scuola superiore. Ma invano! Questa tecnica è fondamentale quando si ricorre al metodo delle coordinate per risolvere problemi complessi. Tuttavia, presumo che tu sia pieno di voglia di imparare qualcosa di nuovo? Inoltre, sarai in grado di stupire il tuo insegnante all'università quando scoprirà che sai già usare la tecnica che di solito viene studiata nel corso di geometria analitica. Quindi iniziamo.

L'equazione di un piano non è troppo diversa dall'equazione di una retta su un piano, ovvero ha la forma:

alcuni numeri (non tutti zero), e variabili, ad esempio: ecc. Come puoi vedere, l'equazione di un piano non è molto diversa dall'equazione di una retta (funzione lineare). Tuttavia, ricordi cosa abbiamo discusso con te? Abbiamo detto che se abbiamo tre punti che non giacciono su una retta, l'equazione del piano viene ripristinata in modo univoco da loro. Ma come? Provo a spiegarti.

Poiché l'equazione del piano è:

E i punti appartengono a questo piano, quindi sostituendo le coordinate di ciascun punto nell'equazione del piano, dovremmo ottenere l'identità corretta:

Quindi, è necessario risolvere tre equazioni già con incognite! Dilemma! Tuttavia, possiamo sempre presumere che (per questo dobbiamo dividere per). Quindi, otteniamo tre equazioni con tre incognite:

Tuttavia, non risolveremo un tale sistema, ma scriveremo l'espressione criptica che ne consegue:

Equazione di un piano passante per tre punti dati

\[\sinistra| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Fermare! Cos'altro è questo? Qualche modulo molto insolito! Tuttavia, l'oggetto che vedi di fronte a te non ha nulla a che fare con il modulo. Questo oggetto è chiamato determinante del terzo ordine. D'ora in poi, quando ti occuperai del metodo delle coordinate su un piano, ti imbatterai spesso in questi fattori determinanti. Che cos'è un determinante di terzo ordine? Stranamente, è solo un numero. Resta da capire quale numero specifico confronteremo con il determinante.

Scriviamo prima il determinante del terzo ordine in una forma più generale:

Dove sono alcuni numeri. Inoltre, per primo indice intendiamo il numero di riga e per indice il numero di colonna. Ad esempio, significa che il numero indicato si trova all'intersezione della seconda riga e della terza colonna. Poniamoci la seguente domanda: come calcoleremo esattamente un tale determinante? Cioè, con quale numero specifico lo confronteremo? Per il determinante esattamente del terzo ordine, esiste una regola del triangolo euristica (visiva), simile a questa:

1. Il prodotto degli elementi della diagonale principale (da sinistra in alto a destra in basso) il prodotto degli elementi che formano il primo triangolo "perpendicolare" alla diagonale principale il prodotto degli elementi che formano il secondo triangolo "perpendicolare" alla diagonale principale diagonale
2. Il prodotto degli elementi della diagonale secondaria (da in alto a destra in basso a sinistra) il prodotto degli elementi che formano il primo triangolo "perpendicolare" alla diagonale secondaria il prodotto degli elementi che formano il secondo triangolo "perpendicolare" a la diagonale secondaria
3. Quindi il determinante è uguale alla differenza tra i valori ottenuti al passaggio e

Se scriviamo tutto questo in numeri, otteniamo la seguente espressione:

Tuttavia, non è necessario memorizzare il metodo di calcolo in questo modulo, è sufficiente tenere i triangoli nella testa e l'idea stessa di cosa viene aggiunto a cosa e cosa viene poi sottratto da cosa).

Illustriamo il metodo del triangolo con un esempio:

1. Calcola il determinante:

Scopriamo cosa aggiungiamo e cosa sottrarre:

Termini che hanno un "più":

Questa è la diagonale principale: il prodotto degli elementi è

Il primo triangolo, "perpendicolare alla diagonale principale: il prodotto degli elementi è

Il secondo triangolo, "perpendicolare alla diagonale principale: il prodotto degli elementi è

Aggiungiamo tre numeri:

Termini che vengono con un "meno"

Questa è una diagonale laterale: il prodotto degli elementi è

Il primo triangolo, "perpendicolare alla diagonale secondaria: il prodotto degli elementi è

Il secondo triangolo, "perpendicolare alla diagonale secondaria: il prodotto degli elementi è

Aggiungiamo tre numeri:

Non resta che sottrarre dalla somma dei termini più la somma dei termini meno:

In questo modo,

Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato e di soprannaturale nel calcolo delle determinanti del terzo ordine. È semplicemente importante ricordare i triangoli e non fare errori aritmetici. Ora prova a calcolare te stesso:

Controlliamo:

1. Il primo triangolo perpendicolare alla diagonale principale:
2. Il secondo triangolo perpendicolare alla diagonale principale:
3. La somma dei termini più:
4. Primo triangolo perpendicolare alla diagonale laterale:
5. Il secondo triangolo, perpendicolare alla diagonale laterale:
6. La somma dei termini con un meno:
7. Somma dei termini più meno somma dei termini meno:

Ecco un altro paio di determinanti per te, calcola tu stesso i loro valori e confrontali con le risposte:

Risposte:

Bene, tutto corrispondeva? Ottimo, allora puoi andare avanti! Se ci sono difficoltà, allora il mio consiglio è questo: su Internet ci sono un sacco di programmi per calcolare il determinante online. Tutto ciò di cui hai bisogno è trovare il tuo determinante, calcolarlo tu stesso e quindi confrontarlo con ciò che calcola il programma. E così via finché i risultati non iniziano a coincidere. Sono sicuro che questo momento non tarderà ad arrivare!

Ora torniamo al determinante che ho scritto quando ho parlato dell'equazione di un piano passante per tre punti dati:

Tutto quello che devi fare è calcolarne direttamente il valore (usando il metodo del triangolo) e impostare il risultato uguale a zero. Naturalmente, poiché sono variabili, otterrai un'espressione che dipende da esse. È questa espressione che sarà l'equazione di un piano passante per tre punti dati che non giacciono su una retta!

Illustriamolo con un semplice esempio:

1. Costruisci l'equazione del piano passante per i punti

Componiamo un determinante per questi tre punti:

Semplificando:

Ora lo calcoliamo direttamente secondo la regola dei triangoli:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ destra| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cpunto 5 \cpunto 6 - )\]

Pertanto, l'equazione del piano passante per i punti è:

Ora prova a risolvere tu stesso un problema e poi ne discuteremo:

2. Trova l'equazione del piano passante per i punti

Bene, discutiamo ora la soluzione:

Facciamo un determinante:

E calcola il suo valore:

Allora l'equazione del piano ha la forma:

Oppure, riducendo di, otteniamo:

Ora due compiti per l'autocontrollo:

1. Costruisci l'equazione di un piano passante per tre punti:

Risposte:

Tutto corrispondeva? Ancora una volta, se ci sono alcune difficoltà, allora il mio consiglio è questo: prendi tre punti dalla tua testa (con un alto grado di probabilità non giacciono su una linea retta), costruisci un piano su di essi. E poi controlla te stesso online. Ad esempio, sul sito:

Tuttavia, con l'aiuto di determinanti, costruiremo non solo l'equazione del piano. Ricorda, ti ho detto che per i vettori non è definito solo il prodotto scalare. C'è anche un vettore, così come un prodotto misto. E se il prodotto scalare di due vettori sarà un numero, allora il prodotto vettoriale di due vettori sarà un vettore, e questo vettore sarà perpendicolare a quelli dati:

E il suo modulo sarà uguale ad area parallelogramma costruito su vettori e. Avremo bisogno di questo vettore per calcolare la distanza da un punto a una linea. Come possiamo calcolare il prodotto incrociato dei vettori e se vengono fornite le loro coordinate? Il determinante del terzo ordine torna in nostro aiuto. Tuttavia, prima di passare all'algoritmo per il calcolo del prodotto incrociato, devo fare una piccola digressione lirica.

Questa digressione riguarda i vettori di base.

Schematicamente sono mostrati in figura:

Perché pensi che si chiamino basic? Il fatto è che :

Oppure nella foto:

La validità di questa formula è ovvia, perché:

prodotto vettoriale

Ora posso iniziare a introdurre il prodotto incrociato:

Il prodotto vettoriale di due vettori è un vettore che viene calcolato secondo la seguente regola:

Ora diamo alcuni esempi di calcolo del prodotto incrociato:

Esempio 1: Trova il prodotto incrociato dei vettori:

Soluzione: faccio un determinante:

E lo calcolo:

Ora, dalla scrittura attraverso i vettori di base, tornerò alla solita notazione vettoriale:

In questo modo:

Ora prova.

Pronto? Controlliamo:

E tradizionalmente due compiti da controllare:

1. Trova il prodotto incrociato dei seguenti vettori:
2. Trova il prodotto incrociato dei seguenti vettori:

Risposte:

Prodotto misto di tre vettori

L'ultima costruzione di cui ho bisogno è il prodotto misto di tre vettori. Come uno scalare, è un numero. Ci sono due modi per calcolarlo. - attraverso il determinante, - attraverso il prodotto misto.

Vale a dire, diciamo di avere tre vettori:

Quindi il prodotto misto di tre vettori, indicato con può essere calcolato come:

1. - ovvero il prodotto misto è il prodotto scalare di un vettore e il prodotto vettoriale di altri due vettori

Ad esempio, il prodotto misto di tre vettori è:

Prova a calcolarlo tu stesso usando il prodotto vettoriale e assicurati che i risultati corrispondano!

E ancora - due esempi per una decisione indipendente:

Risposte:

Scelta del sistema di coordinate

Bene, ora abbiamo tutte le basi di conoscenza necessarie per risolvere complessi problemi stereometrici in geometria. Tuttavia, prima di procedere direttamente agli esempi e agli algoritmi per risolverli, credo che sarà utile soffermarsi sulla seguente domanda: come esattamente scegli un sistema di coordinate per una figura particolare. Dopotutto, è la scelta posizione relativa i sistemi di coordinate e le figure nello spazio determineranno alla fine quanto ingombranti saranno i calcoli.

Vi ricordo che in questa sezione stiamo considerando le seguenti figure:

1. cuboide
2. Prisma diritto (triangolare, esagonale...)
3. Piramide (triangolare, quadrangolare)
4. Tetraedro (lo stesso della piramide triangolare)

Per un cuboide o un cubo, consiglio la seguente costruzione:

Cioè, metterò la figura "nell'angolo". Il cubo e la scatola sono figure molto buone. Per loro, puoi sempre trovare facilmente le coordinate dei suoi vertici. Ad esempio, se (come mostrato nell'immagine)

allora le coordinate del vertice sono:

Naturalmente, non è necessario ricordarlo, ma è opportuno ricordare come posizionare al meglio un cubo o una scatola rettangolare.

prisma dritto

Il prisma è una figura più dannosa. Puoi sistemarlo nello spazio in diversi modi. Tuttavia, penso che la seguente sia l'opzione migliore:

Prisma triangolare:

Cioè, mettiamo uno dei lati del triangolo interamente sull'asse e uno dei vertici coincide con l'origine.

Prisma esagonale:

Cioè, uno dei vertici coincide con l'origine e uno dei lati giace sull'asse.

Piramide quadrangolare ed esagonale:

Una situazione simile a un cubo: combiniamo due lati della base con gli assi coordinati, combiniamo uno dei vertici con l'origine. L'unica piccola difficoltà sarà calcolare le coordinate del punto.

Per una piramide esagonale - lo stesso di un prisma esagonale. Il compito principale sarà di nuovo trovare le coordinate del vertice.

Tetraedro (piramide triangolare)

La situazione è molto simile a quella che ho indicato per il prisma triangolare: un vertice coincide con l'origine, un lato giace sull'asse delle coordinate.

Bene, ora tu ed io siamo finalmente vicini a iniziare a risolvere i problemi. Da quanto ho detto all'inizio dell'articolo, potresti trarre la seguente conclusione: la maggior parte dei problemi C2 rientrano in 2 categorie: problemi per l'angolo e problemi per la distanza. In primo luogo, considereremo i problemi per trovare un angolo. Essi, a loro volta, sono suddivisi nelle seguenti categorie (con l'aumentare della complessità):

Problemi per trovare angoli

1. Trovare l'angolo tra due rette
2. Trovare l'angolo tra due piani

Consideriamo questi problemi in sequenza: iniziamo trovando l'angolo tra due rette. Dai, ricorda, tu ed io abbiamo risolto esempi simili prima? Ricordi, perché avevamo già qualcosa di simile ... Stavamo cercando un angolo tra due vettori. Ti ricordo, se sono dati due vettori: e, allora l'angolo tra loro si trova dalla relazione:

Ora abbiamo un obiettivo: trovare l'angolo tra due rette. Passiamo al "quadro piatto":

Quanti angoli otteniamo quando due rette si intersecano? Già cose. È vero, solo due di loro non sono uguali, mentre altri sono verticali rispetto a loro (e quindi coincidono con loro). Quindi quale angolo dovremmo considerare l'angolo tra due rette: o? Ecco la regola: l'angolo tra due rette non è sempre maggiore di gradi. Cioè, da due angoli, sceglieremo sempre l'angolo con la misura del grado più piccolo. Cioè, in questa immagine, l'angolo tra le due linee è uguale. Per non preoccuparsi di trovare ogni volta il più piccolo dei due angoli, astuti matematici hanno suggerito di utilizzare il modulo. Pertanto, l'angolo tra due rette è determinato dalla formula:

Tu, da lettore attento, avresti dovuto fare una domanda: dove, infatti, prendiamo proprio questi numeri che ci servono per calcolare il coseno di un angolo? Risposta: li prenderemo dai vettori di direzione delle linee! Pertanto, l'algoritmo per trovare l'angolo tra due rette è il seguente:

1. Applichiamo la formula 1.

O più in dettaglio:

1. Cerchiamo le coordinate del vettore di direzione della prima retta
2. Cerchiamo le coordinate del vettore di direzione della seconda linea
3. Calcola il modulo del loro prodotto scalare
4. Cerchiamo la lunghezza del primo vettore
5. Cerchiamo la lunghezza del secondo vettore
6. Moltiplicare i risultati del punto 4 per i risultati del punto 5
7. Dividiamo il risultato del punto 3 per il risultato del punto 6. Otteniamo il coseno dell'angolo tra le rette
8. Se una dato risultato ti permette di calcolare con precisione l'angolo, lo stiamo cercando
9. Altrimenti, scriviamo attraverso l'arcoseno

Bene, ora è il momento di passare ai compiti: dimostrerò nel dettaglio la soluzione dei primi due, presenterò la soluzione di un altro in riepilogo, e per gli ultimi due problemi darò solo risposte, devi eseguire tu stesso tutti i calcoli per loro.

Compiti:

1. Nel tet-ra-ed-re destro, trova-di-te l'angolo tra te-so-that tet-ra-ed-ra e il lato me-di-a-noy bo-ko-how.

2. Nel sei-coal-pi-ra-mi-de destro in avanti, i cento-ro-na-os-no-va-niya sono in qualche modo uguali e le nervature laterali sono uguali, trova l'angolo tra il rettilineo linee e.

3. Le lunghezze di tutti i bordi del pi-ra-mi-dy destrorso four-you-rech-coal-noy sono uguali tra loro. Trova l'angolo tra le rette e se from-re-zok - you-so-that dato pi-ra-mi-dy, il punto è se-re-di-on her bo-ko-th rib

4. Sul bordo del cubo da-me-che-a un punto in modo che Trova-di-te l'angolo tra le rette e

5. Punto - se-re-di-on i bordi del cubo Nai-di-te l'angolo tra le rette e.

Non è un caso che io abbia messo i compiti in questo ordine. Anche se non hai ancora avuto il tempo di iniziare a navigare nel metodo delle coordinate, analizzerò io stesso le figure più "problematiche" e ti lascerò ad occuparti del cubo più semplice! A poco a poco devi imparare a lavorare con tutte le figure, aumenterò la complessità dei compiti da un argomento all'altro.

Iniziamo a risolvere i problemi:

1. Disegna un tetraedro, posizionalo nel sistema di coordinate come ho suggerito in precedenza. Poiché il tetraedro è regolare, tutte le sue facce (compresa la base) sono triangoli regolari. Dal momento che non ci viene data la lunghezza del lato, posso considerarla uguale. Penso che tu capisca che l'angolo non dipenderà proprio da quanto sarà "allungato" il nostro tetraedro ?. Disegnerò anche l'altezza e la mediana nel tetraedro. Lungo la strada disegnerò la sua base (ci tornerà utile anche).

Devo trovare l'angolo tra e. Cosa sappiamo? Conosciamo solo le coordinate del punto. Quindi, dobbiamo trovare più coordinate dei punti. Ora pensiamo: un punto è un punto di intersezione di altezze (o bisettrici o mediane) di un triangolo. Un punto è un punto elevato. Il punto è il punto medio del segmento. Poi finalmente dobbiamo trovare: le coordinate dei punti: .

Cominciamo con il più semplice: le coordinate del punto. Osserva la figura: È chiaro che l'applicata di un punto è uguale a zero (il punto giace su un piano). La sua ordinata è uguale (perché è la mediana). È più difficile trovare la sua ascissa. Tuttavia, questo è facilmente realizzabile sulla base del teorema di Pitagora: si consideri un triangolo. La sua ipotenusa è uguale e una delle gambe è uguale Quindi:

Infine abbiamo:

Ora troviamo le coordinate del punto. È chiaro che la sua applicata è di nuovo uguale a zero, e la sua ordinata è la stessa di un punto, cioè. Troviamo la sua ascissa. Questo è fatto piuttosto banalmente se lo si ricorda le altezze di un triangolo equilatero sono divise per il punto di intersezione nella proporzione contando dall'alto. Poiché:, allora l'ascissa desiderata del punto, uguale alla lunghezza del segmento, è uguale a:. Pertanto, le coordinate del punto sono:

Troviamo le coordinate del punto. È chiaro che la sua ascissa e l'ordinata coincidono con l'ascissa e l'ordinata del punto. E l'applique è uguale alla lunghezza del segmento. - questa è una delle gambe del triangolo. L'ipotenusa di un triangolo è un segmento: una gamba. Si ricerca per i motivi che ho evidenziato in grassetto:

Il punto è il punto medio del segmento. Quindi dobbiamo ricordare la formula per le coordinate del centro del segmento:

Ecco fatto, ora possiamo cercare le coordinate dei vettori di direzione:

Bene, tutto è pronto: sostituiamo tutti i dati nella formula:

In questo modo,

Risposta:

Non dovresti aver paura di risposte così "terribili": per i problemi C2 questa è una pratica comune. Preferirei essere sorpreso dalla risposta "bella" in questa parte. Inoltre, come hai notato, praticamente non ho fatto ricorso a nient'altro che al teorema di Pitagora e alla proprietà delle altezze di un triangolo equilatero. Cioè, per risolvere il problema della stereometria, ho usato il minimo della stereometria. Il guadagno in questo è parzialmente "estinto" da calcoli piuttosto ingombranti. Ma sono abbastanza algoritmici!

2. Disegna una piramide esagonale regolare insieme al sistema di coordinate e alla sua base:

Dobbiamo trovare l'angolo tra le linee e. Così, il nostro compito si riduce a trovare le coordinate dei punti: . Troveremo le coordinate degli ultimi tre dal piccolo disegno e troveremo la coordinata del vertice attraverso la coordinata del punto. Tanto lavoro, ma devo iniziare!

a) Coordinata: è chiaro che la sua applicata e ordinata sono zero. Troviamo l'ascissa. Per fare ciò, considera un triangolo rettangolo. Purtroppo, in esso conosciamo solo l'ipotenusa, che è uguale a. Cercheremo di trovare la gamba (perché è chiaro che il doppio della lunghezza della gamba ci darà l'ascissa del punto). Come possiamo cercarla? Ricordiamo che tipo di figura abbiamo alla base della piramide? Questo è un esagono regolare. Cosa significa? Ciò significa che tutti i lati e tutti gli angoli sono uguali. Dobbiamo trovare uno di questi angoli. Qualche idea? Ci sono molte idee, ma c'è una formula:

La somma degli angoli di un n-gon regolare è .

Pertanto, la somma degli angoli di un esagono regolare è gradi. Quindi ciascuno degli angoli è uguale a:

Guardiamo di nuovo l'immagine. È chiaro che il segmento è la bisettrice dell'angolo. Quindi l'angolo è gradi. Quindi:

Poi dove.

Quindi ha le coordinate

b) Ora possiamo trovare facilmente la coordinata del punto: .

c) Trova le coordinate del punto. Poiché la sua ascissa coincide con la lunghezza del segmento, è uguale. Anche trovare l'ordinata non è molto difficile: se colleghiamo i punti e indichiamo il punto di intersezione della retta, diciamo per. (fai da te costruzione semplice). Allora quindi l'ordinata del punto B è uguale alla somma delle lunghezze dei segmenti. Esaminiamo di nuovo il triangolo. Quindi

Allora da allora il punto ha coordinate

d) Ora trova le coordinate del punto. Si consideri un rettangolo e si dimostri che quindi le coordinate del punto sono:

e) Resta da trovare le coordinate del vertice. È chiaro che la sua ascissa e l'ordinata coincidono con l'ascissa e l'ordinata del punto. Troviamo un'app. Da allora. Considera un triangolo rettangolo. Dalla condizione del problema, il bordo laterale. Questa è l'ipotenusa del mio triangolo. Quindi l'altezza della piramide è la gamba.

Allora il punto ha le coordinate:

Ecco fatto, ho le coordinate di tutti i punti di interesse per me. Sto cercando le coordinate dei vettori direttivi delle rette:

Cerchiamo l'angolo tra questi vettori:

Risposta:

Anche in questo caso, per risolvere questo problema, non ho utilizzato trucchi sofisticati, ad eccezione della formula per la somma degli angoli di un n-gon regolare, nonché della definizione del coseno e del seno di un triangolo rettangolo.

3. Dal momento che di nuovo non ci viene data la lunghezza degli spigoli nella piramide, le conterò uguale a uno. Quindi, poiché TUTTI gli spigoli, e non solo quelli laterali, sono uguali tra loro, allora alla base della piramide e me si trova un quadrato e le facce laterali sono triangoli regolari. Descriviamo una tale piramide, così come la sua base su un piano, contrassegnando tutti i dati forniti nel testo del problema:

Stiamo cercando l'angolo tra e. Farò calcoli molto brevi quando cercherò le coordinate dei punti. Dovrai "decrittografarli":

b) - la metà del segmento. Le sue coordinate:

c) Troverò la lunghezza del segmento usando il teorema di Pitagora in un triangolo. Troverò per il teorema di Pitagora in un triangolo.

Coordinate:

d) - la metà del segmento. Le sue coordinate sono

e) Coordinate vettoriali

f) Coordinate vettoriali

g) Alla ricerca di un angolo:

Il cubo è la figura più semplice. Sono sicuro che puoi capirlo da solo. Le risposte ai problemi 4 e 5 sono le seguenti:

Trovare l'angolo tra una retta e un piano

Bene, il tempo dei semplici puzzle è finito! Ora gli esempi saranno ancora più difficili. Per trovare l'angolo tra una retta e un piano, procederemo come segue:

1. Usando tre punti, costruiamo l'equazione del piano
   ,
   utilizzando un determinante di terzo ordine.
2. Per due punti cerchiamo le coordinate del vettore direzionale della retta:
3. Applichiamo la formula per calcolare l'angolo tra una retta e un piano:

Come puoi vedere, questa formula è molto simile a quella che abbiamo usato per trovare gli angoli tra due linee. La struttura del lato destro è proprio la stessa, e a sinistra ora stiamo cercando un seno e non un coseno, come prima. Bene, è stata aggiunta una brutta azione: la ricerca dell'equazione dell'aereo.

Non accantoniamo esempi risolutivi:

1. Os-no-va-ni-em straight-my prize-we are-la-et-xia equal-but-poor-ren-ny triangle-nick you-with-that-price-siamo uguali. Trova l'angolo tra la retta e il piano

2. In un rettangolo pa-ral-le-le-pi-pe-de da West Nai-di-te l'angolo tra la retta e il piano

3. Nel prisma a sei carboni destrorso, tutti i bordi sono uguali. Trova l'angolo tra la retta e il piano.

4. Nel triangolare destro pi-ra-mi-de con l'os-but-va-ni-em da ovest della nervatura Nai-di-te angolo, ob-ra-zo-van -ny piano dell'os -no-va-niya e straight-my, passando per il se-re-di-na delle costole e

5. Le lunghezze di tutti i bordi del pi-ra-mi-dy quadrangolare destro con la parte superiore sono uguali tra loro. Trova l'angolo tra la retta e il piano, se il punto è se-re-di-sul bo-ko-in-esimo bordo del pi-ra-mi-dy.

Ancora una volta, risolverò i primi due problemi in dettaglio, il terzo brevemente, e lascerò che gli ultimi due li risolvano da soli. Inoltre, hai già avuto a che fare con triangolari e piramidi quadrangolari, ma con prismi - non ancora.

Soluzioni:

1. Disegna un prisma, così come la sua base. Combiniamolo con il sistema di coordinate e contrassegniamo tutti i dati forniti nella dichiarazione del problema:

Mi scuso per qualche non osservanza delle proporzioni, ma per risolvere il problema questo, in effetti, non è così importante. L'aereo è solo " parete di fondo» del mio prisma. Basta semplicemente indovinare che l'equazione di un tale piano ha la forma:

Tuttavia, questo può anche essere mostrato direttamente:

Scegliamo arbitrariamente tre punti su questo piano: per esempio, .

Facciamo l'equazione del piano:

Esercizio per te: calcola tu stesso questo determinante. Ci sei riuscito? Allora l'equazione del piano ha la forma:

O semplicemente

In questo modo,

Per risolvere l'esempio, devo trovare le coordinate del vettore diretto della retta. Poiché il punto ha coinciso con l'origine, le coordinate del vettore coincideranno semplicemente con le coordinate del punto.Per fare ciò, troviamo prima le coordinate del punto.

Per fare ciò, considera un triangolo. Disegniamo un'altezza (è anche una mediana e una bisettrice) dall'alto. Poiché, allora l'ordinata del punto è uguale. Per trovare l'ascissa di questo punto, dobbiamo calcolare la lunghezza del segmento. Per il teorema di Pitagora si ha:

Allora il punto ha le coordinate:

Un punto è un "sollevato" su un punto:

Quindi le coordinate del vettore:

Risposta:

Come puoi vedere, non c'è nulla di fondamentalmente difficile nel risolvere tali problemi. In effetti, la "drittezza" di una figura come un prisma semplifica un po' di più il processo. Passiamo ora al prossimo esempio:

2. Disegniamo un parallelepipedo, disegniamo un piano e una linea retta e disegniamo anche separatamente la sua base inferiore:

Innanzitutto, troviamo l'equazione del piano: Le coordinate dei tre punti che giacciono in esso:

(si ottengono le prime due coordinate il modo ovvio e puoi facilmente trovare l'ultima coordinata dall'immagine dal punto). Quindi componiamo l'equazione del piano:

Calcoliamo:

Cerchiamo le coordinate del vettore di direzione: è chiaro che le sue coordinate coincidono con le coordinate del punto, vero? Come trovare le coordinate? Queste sono le coordinate del punto, sollevate di uno lungo l'asse dell'applicata! . Quindi cerchiamo l'angolo desiderato:

Risposta:

3. Disegna una piramide esagonale regolare, quindi disegna un piano e una linea retta al suo interno.

Qui è persino problematico disegnare un piano, per non parlare della soluzione di questo problema, ma al metodo delle coordinate non interessa! È nella sua versatilità che sta il suo principale vantaggio!

L'aereo passa per tre punti: . Cerchiamo le loro coordinate:

uno) . Visualizza tu stesso le coordinate degli ultimi due punti. Dovrai risolvere il problema con una piramide esagonale per questo!

2) Costruiamo l'equazione del piano:

Cerchiamo le coordinate del vettore: . (Vedi di nuovo il problema della piramide triangolare!)

3) Cerchiamo un angolo:

Risposta:

Come puoi vedere, non c'è nulla di soprannaturalmente difficile in questi compiti. Devi solo stare molto attento con le radici. Agli ultimi due problemi darò solo risposte:

Come puoi vedere, la tecnica per risolvere i problemi è la stessa ovunque: il compito principale è trovare le coordinate dei vertici e sostituirle in alcune formule. Resta da considerare un'altra classe di problemi per il calcolo degli angoli, vale a dire:

Calcolo degli angoli tra due piani

L'algoritmo risolutivo sarà il seguente:

1. Per tre punti cerchiamo l'equazione del primo piano:
2. Per gli altri tre punti, cerchiamo l'equazione del secondo piano:
3. Applichiamo la formula:

Come puoi vedere, la formula è molto simile alle due precedenti, con l'aiuto delle quali cercavamo gli angoli tra le rette e tra una retta e un piano. Quindi non sarai in grado di ricordarlo lavoro speciale. Entriamo subito nel problema:

1. Centoro sulla base del prisma triangolare retto è uguale, e il dia-go-nal della faccia laterale è uguale. Trova l'angolo tra il piano e il piano della base del premio.

2. Nell'attaccante destro four-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de, tutti i bordi di qualcuno sono uguali, trova il seno dell'angolo tra il piano e il piano Ko-Stu, passando per il punto di per-pen-di-ku-lyar-ma straight-my.

3. In un prisma regolare a quattro carboni, i lati dell'os-no-va-nia sono uguali e i bordi laterali sono uguali. Al limite da-me-che-al punto in modo che. Trova l'angolo tra i piani e

4. Nel prisma quadrangolare destro, i lati delle basi sono uguali e gli spigoli laterali sono uguali. Sul bordo da-me-che-a un punto in modo che Trova l'angolo tra i piani e.

5. Nel cubo, trova il co-seno dell'angolo tra i piani e

Soluzioni ai problemi:

1. Disegno quello corretto (alla base c'è un triangolo equilatero) Prisma triangolare e segnare su di esso i piani che appaiono nella condizione del problema:

Dobbiamo trovare le equazioni di due piani: L'equazione di base si ottiene banalmente: puoi fare il determinante corrispondente per tre punti, ma farò subito l'equazione:

Ora troviamo l'equazione Il punto ha coordinate Il punto - Poiché - la mediana e l'altezza del triangolo, è facile da trovare con il teorema di Pitagora in un triangolo. Quindi il punto ha le coordinate: Trova l'applicata del punto Per fare ciò, considera un triangolo rettangolo

Quindi otteniamo le seguenti coordinate: Componiamo l'equazione del piano.

Calcoliamo l'angolo tra i piani:

Risposta:

2. Fare un disegno:

La cosa più difficile è capire che tipo di piano misterioso sia, passando per un punto perpendicolarmente. Bene, la cosa principale è che cos'è? La cosa principale è l'attenzione! La retta è infatti perpendicolare. La linea è anche perpendicolare. Quindi il piano che passa per queste due linee sarà perpendicolare alla linea e, a proposito, passerà per il punto. Questo piano passa anche attraverso la sommità della piramide. Quindi l'aereo desiderato - E l'aereo ci è già stato dato. Cerchiamo le coordinate dei punti.

Troviamo la coordinata del punto attraverso il punto. È facile dedurre da un piccolo disegno che le coordinate del punto saranno le seguenti: Che cosa resta ora da trovare per trovare le coordinate della sommità della piramide? Devo ancora calcolarne l'altezza. Questo viene fatto usando lo stesso teorema di Pitagora: prima, dimostralo (banalmente da piccoli triangoli che formano un quadrato alla base). Poiché per condizione abbiamo:

Ora è tutto pronto: coordinate del vertice:

Componiamo l'equazione del piano:

Sei già un esperto nel calcolo dei determinanti. Riceverai facilmente:

O altrimenti (se moltiplichiamo entrambe le parti per la radice di due)

Ora troviamo l'equazione del piano:

(Non hai dimenticato come otteniamo l'equazione dell'aereo, vero? Se non capisci da dove viene questo meno uno, torna alla definizione dell'equazione dell'aereo! Si è sempre scoperto prima di quello che il mio aereo apparteneva all'origine!)

Calcoliamo il determinante:

(Potresti notare che l'equazione del piano coincideva con l'equazione della retta passante per i punti e! Pensa perché!)

Ora calcoliamo l'angolo:

Dobbiamo trovare il seno:

Risposta:

3. Una domanda difficile: cos'è Prisma rettangolare, come pensi? È solo un noto parallelepipedo per te! Disegna subito! Puoi anche non rappresentare separatamente la base, qui serve a poco:

Il piano, come abbiamo notato in precedenza, è scritto come un'equazione:

Ora facciamo un aereo

Componiamo subito l'equazione del piano:

Alla ricerca di un angolo

Ora le risposte agli ultimi due problemi:

Bene, ora è il momento di prenderci una pausa, perché io e te siamo fantastici e abbiamo fatto un ottimo lavoro!

Coordinate e vettori. Livello avanzato

In questo articolo, discuteremo con te un'altra classe di problemi che possono essere risolti usando il metodo delle coordinate: i problemi di distanza. Vale a dire, considereremo i seguenti casi:

1. Calcolo della distanza tra le linee di skew.

Ho ordinato i compiti assegnati man mano che la loro complessità aumenta. Il più facile è trovarlo distanza da punto a piano e la parte più difficile è trovare distanza tra linee che si intersecano. Anche se, ovviamente, nulla è impossibile! Non procrastiniamo e procediamo immediatamente alla considerazione della prima classe di problemi:

Calcolo della distanza da un punto ad un piano

Di cosa abbiamo bisogno per risolvere questo problema?

1. Coordinate del punto

Quindi, non appena otteniamo tutti i dati necessari, applichiamo la formula:

Dovresti già sapere come costruiamo l'equazione del piano dai problemi precedenti che ho analizzato nell'ultima parte. Mettiamoci subito al lavoro. Lo schema è il seguente: 1, 2 - ti aiuto a decidere e, in alcuni dettagli, 3, 4 - solo la risposta, prendi tu stesso la decisione e confronta. Cominciato!

Compiti:

1. Dato un cubo. La lunghezza del bordo del cubo è Trova-di-te distanza da se-re-di-ny da tagliato a piatto

2. Dato il diritto-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe edge centinaio-ro-on, l'os-no-va-nia è uguale. Trova-di-quelle distanze da un punto a un piano dove - se-ri-di-sui bordi.

3. Nel triangolare destro pi-ra-mi-de con os-but-va-ni-em, l'altro bordo è uguale, e cento-ro-on os-no-vaniya è uguale. Trova-di-quelle distanze dalla cima all'aereo.

4. Nel prisma a sei carboni destrorso, tutti i bordi sono uguali. Trova-di-quelle distanze da un punto a un piano.

Soluzioni:

1. Disegna un cubo con bordi singoli, costruisci un segmento e un piano, indica il centro del segmento con la lettera

.

Innanzitutto, iniziamo con uno facile: trova le coordinate di un punto. Da allora (ricorda le coordinate del centro del segmento!)

Ora componiamo l'equazione del piano su tre punti

\[\sinistra| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Ora posso iniziare a trovare la distanza:

2. Ripartiamo con un disegno, su cui segniamo tutti i dati!

Per una piramide, sarebbe utile disegnare la sua base separatamente.

Anche il fatto di disegnare come una zampa di gallina non ci impedirà di risolvere facilmente questo problema!

Ora è facile trovare le coordinate di un punto

Poiché le coordinate del punto

2. Poiché le coordinate del punto a sono la metà del segmento, allora

Possiamo facilmente trovare le coordinate di altri due punti sul piano, componiamo l'equazione del piano e la semplifichiamo:

\[\sinistra| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Poiché il punto ha coordinate: , calcoliamo la distanza:

Risposta (molto rara!):

Bene, hai capito? Mi sembra che tutto qui sia altrettanto tecnico come negli esempi che abbiamo considerato con te nella parte precedente. Quindi sono sicuro che se hai imparato quel materiale, non sarà difficile per te risolvere i restanti due problemi. Ti do solo le risposte:

Calcolo della distanza da una linea a un piano

In realtà, non c'è niente di nuovo qui. Come possono una linea e un piano essere posizionati l'uno rispetto all'altro? Hanno tutte le possibilità: per intersecare, oppure una retta è parallela al piano. Quale pensi sia la distanza dalla retta al piano con cui si interseca la retta data? Mi sembra chiaro che tale distanza sia uguale a zero. Caso poco interessante.

Il secondo caso è più complicato: qui la distanza è già diversa da zero. Tuttavia, poiché la retta è parallela al piano, ogni punto della retta è equidistante da questo piano:

In questo modo:

E questo significa che il mio compito è stato ridotto al precedente: cerchiamo le coordinate di un punto qualsiasi della retta, cerchiamo l'equazione del piano, calcoliamo la distanza dal punto al piano. In effetti, tali compiti nell'esame sono estremamente rari. Sono riuscito a trovare un solo problema e i dati in esso contenuti erano tali che il metodo delle coordinate non era molto applicabile ad esso!

Passiamo ora a un'altra classe di problemi molto più importante:

Calcolo della distanza di un punto da una linea

Di cosa avremo bisogno?

1. Le coordinate del punto da cui cerchiamo la distanza:

2. Coordinate di qualsiasi punto giacente su una retta

3. Coordinate vettoriali di direzione della retta

Quale formula utilizziamo?

Cosa significa per te il denominatore di questa frazione e quindi dovrebbe essere chiaro: questa è la lunghezza del vettore diretto della retta. Ecco un numeratore molto complicato! L'espressione indica il modulo (lunghezza) del prodotto vettoriale dei vettori e Come calcolare il prodotto vettoriale, che abbiamo studiato nella parte precedente del lavoro. Aggiorna le tue conoscenze, ci sarà molto utile ora!

Pertanto, l'algoritmo per la risoluzione dei problemi sarà il seguente:

1. Cerchiamo le coordinate del punto da cui cerchiamo la distanza:

2. Cerchiamo le coordinate di qualsiasi punto della retta a cui stiamo cercando la distanza:

3. Costruire un vettore

4. Costruiamo il vettore di direzione della retta

5. Calcola il prodotto incrociato

6. Cerchiamo la lunghezza del vettore risultante:

7. Calcola la distanza:

Abbiamo molto lavoro e gli esempi saranno piuttosto complessi! Quindi ora concentra tutta la tua attenzione!

1. Dana è un pi-ra-mi-da triangolare destrorso con un vertice. Cento-ro-sul os-no-va-niya pi-ra-mi-dy è uguale, tu-so-ta è uguale. Trova-di-quelle distanze dal se-re-di-ny del bo-ko-esimo bordo alla linea retta, dove i punti e sono il se-re-di-ny delle nervature e co-from-vet -stven-ma.

2. Le lunghezze delle nervature e dell'angolo retto-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sono rispettivamente uguali e la distanza Find-di-te da top-shi-ny a straight-my

3. Nel prisma a sei carboni di destra, tutti i bordi di uno sciame sono uguali trova-di-quella distanza da un punto a una linea retta

Soluzioni:

1. Facciamo un disegno pulito, sul quale contrassegniamo tutti i dati:

Abbiamo tanto lavoro per te! Vorrei prima descrivere a parole cosa cercheremo e in quale ordine:

1. Coordinate dei punti e

2. Coordinate del punto

3. Coordinate dei punti e

4. Coordinate dei vettori e

5. Il loro prodotto incrociato

6. Lunghezza del vettore

7. La lunghezza del prodotto vettoriale

8. Distanza da a

Bene, abbiamo molto lavoro da fare! Rimbocchiamoci le maniche!

1. Per trovare le coordinate dell'altezza della piramide, dobbiamo conoscere le coordinate del punto, la sua applicata è zero e l'ordinata è uguale alla sua ascissa. Finalmente abbiamo le coordinate:

Coordinate del punto

2. - metà del segmento

3. - la metà del segmento

punto medio

4. Coordinate

Coordinate vettoriali

5. Calcola il prodotto vettoriale:

6. La lunghezza del vettore: il modo più semplice è sostituire che il segmento sia la linea mediana del triangolo, il che significa che è uguale a metà della base. Affinché.

7. Consideriamo la lunghezza del prodotto vettoriale:

8. Infine, trova la distanza:

Uff, tutto qui! Sinceramente, ti dirò: risolvere questo problema con i metodi tradizionali (attraverso le costruzioni) sarebbe molto più veloce. Ma qui ho ridotto tutto ad un algoritmo già pronto! Penso che l'algoritmo della soluzione ti sia chiaro? Pertanto, ti chiederò di risolvere da solo i restanti due problemi. Confronta le risposte?

Ancora, lo ripeto: è più facile (più veloce) risolvere questi problemi attraverso le costruzioni, piuttosto che ricorrere al metodo delle coordinate. Ho dimostrato questo modo di risolvere solo per mostrarti un metodo universale che ti permette di “non finire niente”.

Infine, considera l'ultima classe di problemi:

Calcolo della distanza tra le linee di skew

Qui l'algoritmo per la risoluzione dei problemi sarà simile al precedente. Cosa abbiamo:

3. Qualsiasi vettore che collega i punti della prima e della seconda linea:

Come troviamo la distanza tra le linee?

La formula è:

Il numeratore è il modulo del prodotto misto (lo abbiamo introdotto nella parte precedente) e il denominatore - come nella formula precedente (il modulo del prodotto vettoriale dei vettori direttivi delle linee, la distanza tra cui stiamo cercando per).

Te lo ricorderò

poi la formula della distanza può essere riscritta come:

Dividi questo determinante per il determinante! Anche se, ad essere onesto, non sono dell'umore giusto per le battute qui! Questa formula, infatti, è molto ingombrante e porta a calcoli piuttosto complicati. Fossi in te, lo userei solo come ultima risorsa!

Proviamo a risolvere alcuni problemi usando il metodo sopra:

1. Nel prisma triangolare destro, tutti i bordi sono in qualche modo uguali, trova la distanza tra le linee rette e.

2. Dato un prisma triangolare a forma di prua destra, tutti i bordi dell'os-no-va-niya di qualcuno sono uguali a Se-che-tion, passante per l'altra costola e le costole se-re-di-nu sono yav-la-et-sya piazza-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie tra straight-we-mi e

Io decido il primo e, in base ad esso, decidi tu il secondo!

1. Disegno un prisma e segno le linee e

Coordinate del punto C: allora

Coordinate del punto

Coordinate vettoriali

Coordinate del punto

Coordinate vettoriali

Coordinate vettoriali

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Consideriamo il prodotto incrociato tra i vettori e

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Consideriamo ora la sua lunghezza:

Risposta:

Ora prova a completare con attenzione il secondo compito. La risposta sarà:.

Coordinate e vettori. Breve descrizione e formule di base

Un vettore è un segmento diretto. - l'inizio del vettore, - la fine del vettore.
Il vettore è indicato da o.

Valore assoluto vettore - la lunghezza del segmento che rappresenta il vettore. Designato come.

Coordinate vettoriali:

,
dove sono le estremità del vettore \displaystyle a .

Somma dei vettori: .

Il prodotto dei vettori:

Prodotto scalare dei vettori: