Esponenziale, regole, esempi. Grado e sue proprietà

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Perché sono necessarie le lauree? Dove ti servono? Perché hai bisogno di passare del tempo a studiarli?

Per imparare tutto sulle lauree, a cosa servono, come utilizzare le tue conoscenze nella vita di tutti i giorni, leggi questo articolo.

E, naturalmente, conoscere i diplomi ti avvicinerà al superamento dell'OGE o all'esame di stato unificato e all'ingresso nell'università dei tuoi sogni.

Andiamo... (Andiamo!)

PRIMO LIVELLO

L'esponenziazione è la stessa operazione matematica di addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione.

Ora spiegherò tutto in linguaggio umano usando esempi molto semplici. Stai attento. Gli esempi sono elementari, ma spiegano cose importanti.

Cominciamo con l'addizione.

Non c'è niente da spiegare qui. Sai già tutto: siamo otto. Ognuno ha due bottiglie di cola. Quanta cola? Esatto: 16 bottiglie.

Ora moltiplicazione.

Lo stesso esempio con cola può essere scritto in modo diverso: . I matematici sono persone astute e pigre. Prima notano alcuni schemi e poi escogitano un modo per "contarli" più velocemente. Nel nostro caso, hanno notato che ciascuna delle otto persone aveva lo stesso numero di bottiglie di cola e hanno escogitato una tecnica chiamata moltiplicazione. D'accordo, è considerato più facile e veloce di.

Quindi, per contare più velocemente, più facilmente e senza errori, devi solo ricordare tabellina. Certo, puoi fare tutto più lentamente, più duramente e con errori! Ma…

Ecco la tabellina. Ripetere.

E un altro, più carino:

E quali altri trucchi di conteggio complicati hanno inventato i matematici pigri? Correttamente - elevare un numero a potenza.

Elevare un numero a potenza

Se devi moltiplicare un numero per se stesso cinque volte, i matematici dicono che devi aumentare questo numero alla quinta potenza. Per esempio, . I matematici ricordano che due alla quinta potenza è. E risolvono tali problemi nella loro mente: più velocemente, più facilmente e senza errori.

Per fare questo, hai solo bisogno ricorda cosa è evidenziato a colori nella tabella delle potenze dei numeri. Credimi, ti semplificherà la vita.

A proposito, perché si chiama il secondo grado quadrato numeri e il terzo cubo? Cosa significa? Un'ottima domanda. Ora avrai sia quadrati che cubi.

Esempio di vita reale n. 1

Iniziamo con un quadrato o la seconda potenza di un numero.

Immagina una piscina quadrata di metri per metri. La piscina è nel tuo giardino. Fa caldo e voglio davvero nuotare. Ma... una piscina senza fondo! È necessario coprire il fondo della piscina con piastrelle. Di quante piastrelle hai bisogno? Per determinarlo, è necessario conoscere l'area del fondo della piscina.

Puoi semplicemente contare toccando il dito che il fondo della piscina è composto da cubi metro per metro. Se le tue piastrelle sono metro per metro, avrai bisogno di pezzi. È facile... Ma dove hai visto una piastrella del genere? La piastrella sarà piuttosto cm per cm e poi sarai tormentato dal "contare con il dito". Allora devi moltiplicare. Quindi, su un lato del fondo della piscina, inseriremo le piastrelle (pezzi) e anche sull'altro le piastrelle. Moltiplicando per, ottieni le tessere ().

Hai notato che abbiamo moltiplicato lo stesso numero per se stesso per determinare l'area del fondo della piscina? Cosa significa? Poiché lo stesso numero viene moltiplicato, possiamo usare la tecnica dell'esponenziazione. (Naturalmente, quando hai solo due numeri, devi comunque moltiplicarli o elevarli a una potenza. Ma se ne hai molti, aumentare a una potenza è molto più semplice e ci sono anche meno errori nei calcoli. Per l'esame, questo è molto importante).
Quindi, trenta al secondo grado saranno (). Oppure puoi dire che trenta quadrati saranno. In altre parole, la seconda potenza di un numero può sempre essere rappresentata come un quadrato. E viceversa, se vedi un quadrato, è SEMPRE la seconda potenza di un numero. Un quadrato è un'immagine della seconda potenza di un numero.

Esempio di vita reale n. 2

Ecco un compito per te, conta quanti quadrati ci sono sulla scacchiera usando il quadrato del numero ... Da un lato delle celle e anche dall'altro. Per contare il loro numero, devi moltiplicare otto per otto, oppure ... se noti che una scacchiera è un quadrato con un lato, puoi fare il quadrato di otto. Ottieni cellule. () Così?

Esempio di vita reale n. 3

Ora il cubo o la terza potenza di un numero. La stessa piscina. Ma ora devi scoprire quanta acqua dovrà essere versata in questa piscina. Devi calcolare il volume. (Volumi e liquidi, tra l'altro, si misurano in metri cubi. Inaspettato, vero?) Disegna una piscina: un fondo delle dimensioni di un metro e profondo un metro e prova a calcolare quanti cubi che misurano un metro per metro entreranno nella tua piscina.

Basta puntare il dito e contare! Uno, due, tre, quattro... ventidue, ventitré... Quanto è venuto fuori? Non ti sei perso? È difficile contare con il dito? Affinché! Prendi un esempio dai matematici. Sono pigri, quindi hanno notato che per calcolare il volume della piscina, è necessario moltiplicarne la lunghezza, la larghezza e l'altezza l'una per l'altra. Nel nostro caso, il volume della piscina sarà pari a cubi... Più facile, vero?

Ora immagina quanto sono pigri e astuti i matematici se lo rendono troppo facile. Tutto ridotto a un'azione. Hanno notato che la lunghezza, la larghezza e l'altezza sono uguali e che lo stesso numero si moltiplica per se stesso... E cosa significa? Ciò significa che puoi usare il grado. Quindi, quello che una volta hai contato con un dito, lo fanno in un'unica azione: tre in un cubo è uguale. Si scrive così:

Rimane solo memorizzare la tabella dei gradi. A meno che, ovviamente, non siate pigri e astuti come i matematici. Se ti piace lavorare sodo e commettere errori, puoi continuare a contare con il dito.

Bene, per convincerti finalmente che le lauree sono state inventate da fannulloni e persone astute per risolvere i loro problemi di vita e non per crearti problemi, ecco un altro paio di esempi dalla vita.

Esempio di vita reale n. 4

Hai un milione di rubli. All'inizio di ogni anno, guadagni un altro milione per ogni milione. Cioè, ognuno dei tuoi milioni all'inizio di ogni anno raddoppia. Quanti soldi avrai tra anni? Se ora sei seduto e "conta con il dito", allora sei una persona molto laboriosa e .. stupida. Ma molto probabilmente darai una risposta in un paio di secondi, perché sei intelligente! Quindi, nel primo anno - due volte due... nel secondo anno - cosa è successo, per altri due, nel terzo anno... Basta! Hai notato che il numero viene moltiplicato per se stesso una volta. Quindi due alla quinta potenza è un milione! Ora immagina di avere una concorrenza e quello che calcola più velocemente otterrà questi milioni ... Vale la pena ricordare i gradi dei numeri, cosa ne pensi?

Esempio di vita reale n. 5

Hai un milione. All'inizio di ogni anno ne guadagni due in più per ogni milione. È fantastico vero? Ogni milione è triplicato. Quanti soldi avrai in un anno? Contiamo. Il primo anno - moltiplica per, poi il risultato per un altro ... È già noioso, perché hai già capito tutto: tre si moltiplica per se stesso volte. Quindi la quarta potenza è un milione. Devi solo ricordare che tre alla quarta potenza è o.

Ora sai che elevando un numero a una potenza, ti semplificherai la vita. Diamo un'occhiata più da vicino a cosa puoi fare con le lauree e cosa devi sapere su di esse.

Termini e concetti... per non confondersi

Quindi, per prima cosa, definiamo i concetti. Cosa ne pensi, cos'è l'esponente? È molto semplice: questo è il numero che è "in cima" alla potenza del numero. Non scientifico, ma chiaro e facile da ricordare...

Bene, allo stesso tempo, cosa una tale base di grado? Ancora più semplice è il numero che sta in basso, alla base.

Ecco una foto per te per essere sicuro.

Bene, in termini generali, per generalizzare e ricordare meglio ... Una laurea con una base "" e un indicatore "" si legge come "nella laurea" e si scrive come segue:

Potenza di un numero con esponente naturale

Probabilmente hai già indovinato: perché l'esponente è un numero naturale. Sì, ma cos'è numero naturale? Elementare! I numeri naturali sono quelli utilizzati nel conteggio quando si elencano gli elementi: uno, due, tre ... Quando contiamo gli elementi, non diciamo: "meno cinque", "meno sei", "meno sette". Non diciamo nemmeno "un terzo" o "zero virgola cinque decimi". Questi non sono numeri naturali. Quali pensi che siano questi numeri?

Numeri come "meno cinque", "meno sei", "meno sette" si riferiscono numeri interi. In generale, gli interi includono tutti i numeri naturali, i numeri opposti ai numeri naturali (cioè presi con un segno meno) e un numero. Zero è facile da capire: questo è quando non c'è nulla. E cosa significano i numeri negativi ("meno")? Ma sono stati inventati principalmente per denotare debiti: se hai un saldo sul tuo telefono in rubli, significa che devi rubli all'operatore.

Tutte le frazioni sono numeri razionali. Come sono nate, secondo te? Molto semplice. Diverse migliaia di anni fa, i nostri antenati scoprirono di non avere numeri naturali sufficienti per misurare la lunghezza, il peso, l'area, ecc. E si sono inventati numeri razionali... Interessante, vero?

Ci sono anche numeri irrazionali. Quali sono questi numeri? In breve, una frazione decimale infinita. Ad esempio, se dividi la circonferenza di un cerchio per il suo diametro, ottieni un numero irrazionale.

Riepilogo:

Definiamo il concetto di grado, il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).

1. Qualsiasi numero alla prima potenza è uguale a se stesso:
2. Quadrare un numero significa moltiplicarlo per se stesso:
3. Cubizzare un numero significa moltiplicarlo per se stesso tre volte:

Definizione. Elevare un numero a una potenza naturale significa moltiplicare il numero per se stesso per:
.

Proprietà di laurea

Da dove vengono queste proprietà? te lo mostro ora.

Vediamo cos'è e ?

Per definizione:

Quanti moltiplicatori ci sono in totale?

È molto semplice: abbiamo aggiunto dei fattori ai fattori e il risultato sono i fattori.

Ma per definizione, questo è il grado di un numero con esponente, cioè: , che doveva essere dimostrato.

Esempio: Semplifica l'espressione.

Soluzione:

Esempio: Semplifica l'espressione.

Soluzione:È importante notare che nella nostra regola necessariamente deve essere lo stesso motivo!
Pertanto, combiniamo i gradi con la base, ma rimaniamo un fattore separato:

solo per prodotti di poteri!

In nessun caso dovresti scriverlo.

2. cioè -esima potenza di un numero

Proprio come per la proprietà precedente, passiamo alla definizione del grado:

Si scopre che l'espressione viene moltiplicata per se stessa una volta, cioè, secondo la definizione, questa è la esima potenza del numero:

In effetti, questo può essere chiamato "tra parentesi l'indicatore". Ma non puoi mai farlo in totale:

Ricordiamo le formule per la moltiplicazione abbreviata: quante volte abbiamo voluto scrivere?

Ma non è vero, davvero.

Potenza con base negativa

Fino a questo punto, abbiamo solo discusso di quale dovrebbe essere l'esponente.

Ma quale dovrebbe essere la base?

In gradi da indicatore naturale la base potrebbe essere qualsiasi numero. In effetti, possiamo moltiplicare qualsiasi numero l'uno per l'altro, siano essi positivi, negativi o pari.

Pensiamo a quali segni ("" o "") avranno gradi di numeri positivi e negativi?

Ad esempio, il numero sarà positivo o negativo? MA? ? Con il primo è tutto chiaro: non importa quanti numeri positivi moltiplichiamo tra di loro, il risultato sarà positivo.

Ma quelli negativi sono un po' più interessanti. Dopotutto, ricordiamo una semplice regola della prima media: "un meno per meno dà un vantaggio". Cioè, o. Ma se moltiplichiamo per, si scopre.

Determina tu stesso quale segno avranno le seguenti espressioni:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sei riuscito?

Ecco le risposte: Nei primi quattro esempi, spero che sia tutto chiaro? Osserviamo semplicemente la base e l'esponente e applichiamo la regola appropriata.

Nell'esempio 5), anche tutto non è così spaventoso come sembra: non importa a cosa sia uguale la base - il grado è pari, il che significa che il risultato sarà sempre positivo.

Bene, tranne quando la base è zero. La base non è la stessa, vero? Ovviamente no, poiché (perché).

Esempio 6) non è più così semplice!

6 esempi pratici

Analisi della soluzione 6 esempi

totale chiamiamo i numeri naturali, i loro opposti (cioè presi con il segno "") e il numero.

intero positivo, e non è diverso da naturale, quindi tutto appare esattamente come nella sezione precedente.

Ora diamo un'occhiata ai nuovi casi. Iniziamo con un indicatore uguale a.

Qualsiasi numero a potenza zero è uguale a uno:

Come sempre, ci chiediamo: perché è così?

Considera un po' di potere con una base. Prendi, ad esempio, e moltiplica per:

Quindi, abbiamo moltiplicato il numero per e abbiamo ottenuto lo stesso che era -. Per quale numero deve essere moltiplicato in modo che non cambi nulla? Esatto, avanti. Significa.

Possiamo fare lo stesso con un numero arbitrario:

Ripetiamo la regola:

Qualsiasi numero a potenza zero è uguale a uno.

Ma ci sono eccezioni a molte regole. Ed eccolo anche lì: questo è un numero (come base).

Da un lato, deve essere uguale a qualsiasi grado - non importa quanto moltiplichi zero per se stesso, ottieni comunque zero, questo è chiaro. Ma d'altra parte, come ogni numero fino al grado zero, deve essere uguale. Allora qual è la verità di questo? I matematici decisero di non farsi coinvolgere e si rifiutarono di elevare lo zero a zero. Cioè, ora non solo possiamo dividere per zero, ma anche elevarlo a potenza zero.

Andiamo oltre. Oltre ai numeri naturali e ai numeri, gli interi includono i numeri negativi. Per capire cos'è un grado negativo, facciamo come l'ultima volta: moltiplichiamo un numero normale per lo stesso in un grado negativo:

Da qui è già facile esprimere il desiderato:

Ora estendiamo la regola risultante a un grado arbitrario:

Quindi, formuliamo la regola:

Un numero a una potenza negativa è l'inverso di uno stesso numero a una potenza positiva. Ma allo stesso tempo base non può essere nulla:(perché è impossibile dividere).

Riassumiamo:

Compiti per una soluzione indipendente:

Bene, come al solito, esempi per una soluzione indipendente:

Analisi delle attività per una soluzione indipendente:

Lo so, lo so, i numeri fanno paura, ma all'esame bisogna essere pronti a tutto! Risolvi questi esempi o analizza la loro soluzione se non sei riuscito a risolverlo e imparerai come affrontarli facilmente durante l'esame!

Continuiamo ad ampliare la gamma dei numeri "adatti" come esponente.

Ora considera numeri razionali. Quali numeri sono chiamati razionali?

Risposta: tutto ciò che può essere rappresentato come una frazione, dove e sono interi, inoltre.

Per capire cos'è "grado frazionario" Consideriamo una frazione:

Alziamo entrambi i membri dell'equazione a una potenza:

Ora ricorda la regola "laurea in laurea":

Quale numero deve essere elevato a potenza per ottenere?

Questa formulazione è la definizione della radice del th grado.

Vi ricordo che la radice della esima potenza di un numero () è un numero che, elevato a potenza, è uguale.

Cioè, la radice del esimo grado è l'operazione inversa dell'esponenziazione: .

Si scopre che. Ovviamente, questo caso speciale può essere esteso: .

Ora aggiungi il numeratore: che cos'è? La risposta è facile da ottenere con la regola power-to-power:

Ma la base può essere un numero qualsiasi? Dopotutto, la radice non può essere estratta da tutti i numeri.

Nessuno!

Ricorda la regola: qualsiasi numero elevato a una potenza pari è un numero positivo. Cioè, è impossibile estrarre radici di grado pari da numeri negativi!

E questo significa che tali numeri non possono essere elevati a una potenza frazionaria con denominatore pari, cioè l'espressione non ha senso.

E l'espressione?

Ma qui sorge un problema.

Il numero può essere rappresentato come altre frazioni ridotte, ad esempio, o.

E si scopre che esiste, ma non esiste, e questi sono solo due record diversi dello stesso numero.

O un altro esempio: una volta, poi puoi scriverlo. Ma non appena scriviamo l'indicatore in un modo diverso, abbiamo di nuovo problemi: (cioè abbiamo ottenuto un risultato completamente diverso!).

Per evitare tali paradossi, considera solo esponente di base positivo con esponente frazionario.

Quindi se:

• - numero naturale;
• è un numero intero;

Esempi:

Le potenze con esponente razionale sono molto utili per trasformare espressioni con radici, ad esempio:

5 esempi pratici

Analisi di 5 esempi per la formazione

Bene, ora - il più difficile. Ora analizzeremo grado con esponente irrazionale.

Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse dei gradi con esponente razionale, ad eccezione di

Infatti, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono interi (cioè i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne quelli razionali).

Quando studiamo lauree con un indicatore naturale, intero e razionale, ogni volta costruiamo una certa "immagine", "analogia" o descrizione in termini più familiari.

Ad esempio, un esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte;

...potenza zero- questo è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso una volta, cioè non ha ancora iniziato a moltiplicarsi, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi il risultato è solo un certo "numero vuoto" , ovvero il numero;

...esponente intero negativo- è come se fosse avvenuto un certo “processo inverso”, ovvero il numero non fosse moltiplicato per se stesso, ma diviso.

A proposito, la scienza usa spesso una laurea con un esponente complesso, cioè un esponente non è nemmeno un numero reale.

Ma a scuola non pensiamo a tali difficoltà, avrai l'opportunità di comprendere questi nuovi concetti all'istituto.

DOVE SIAMO CERTI CHE ANDRAI! (se impari a risolvere tali esempi :))

Per esempio:

Decidi tu stesso:

Analisi delle soluzioni:

1. Iniziamo con la già consueta regola per elevare un grado a grado:

LIVELLO AVANZATO

Definizione di grado

Il grado è un'espressione della forma: , dove:

• — base di laurea;
• - esponente.

Grado con esponente naturale (n = 1, 2, 3,...)

Elevare un numero alla potenza naturale n significa moltiplicare il numero per se stesso per:

Potenza con esponente intero (0, ±1, ±2,...)

Se l'esponente è intero positivo numero:

erezione a potenza zero:

L'espressione è indefinita, perché da un lato, in qualsiasi grado è questo, e dall'altra parte, qualsiasi numero al th grado è questo.

Se l'esponente è intero negativo numero:

(perché è impossibile dividere).

Ancora una volta sui null: l'espressione non è definita nel caso. Se poi.

Esempi:

Laurea con esponente razionale

• - numero naturale;
• è un numero intero;

Esempi:

Proprietà di laurea

Per facilitare la risoluzione dei problemi, proviamo a capire: da dove vengono queste proprietà? Dimostriamoli.

Vediamo: cos'è e?

Per definizione:

Quindi, sul lato destro di questa espressione, si ottiene il seguente prodotto:

Ma per definizione, questa è una potenza di un numero con un esponente, cioè:

QED

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : .

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : È importante notare che nella nostra regola necessariamente deve avere la stessa base. Pertanto, combiniamo i gradi con la base, ma rimaniamo un fattore separato:

Un'altra nota importante: questa regola - solo per prodotti di poteri!

In nessun caso dovrei scriverlo.

Proprio come per la proprietà precedente, passiamo alla definizione del grado:

Riorganizziamo così:

Si scopre che l'espressione viene moltiplicata per se stessa una volta, cioè, secondo la definizione, questa è la -esima potenza del numero:

In effetti, questo può essere chiamato "tra parentesi l'indicatore". Ma non puoi mai farlo in totale:!

Ricordiamo le formule per la moltiplicazione abbreviata: quante volte abbiamo voluto scrivere? Ma non è vero, davvero.

Potenza con base negativa.

Fino a questo punto, abbiamo discusso solo di ciò che dovrebbe essere indice livello. Ma quale dovrebbe essere la base? In gradi da naturale indicatore la base potrebbe essere qualsiasi numero .

In effetti, possiamo moltiplicare qualsiasi numero l'uno per l'altro, siano essi positivi, negativi o pari. Pensiamo a quali segni ("" o "") avranno gradi di numeri positivi e negativi?

Ad esempio, il numero sarà positivo o negativo? MA? ?

Con il primo è tutto chiaro: non importa quanti numeri positivi moltiplichiamo tra di loro, il risultato sarà positivo.

Ma quelli negativi sono un po' più interessanti. Dopotutto, ricordiamo una semplice regola della prima media: "un meno per meno dà un vantaggio". Cioè, o. Ma se moltiplichiamo per (), otteniamo -.

E così via all'infinito: ad ogni successiva moltiplicazione, il segno cambierà. Puoi formulare queste semplici regole:

1. anche grado, - numero positivo.
2. Numero negativo elevato a strano grado, - numero negativo.
3. Un numero positivo per qualsiasi potenza è un numero positivo.
4. Zero a qualsiasi potenza è uguale a zero.

Determina tu stesso quale segno avranno le seguenti espressioni:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sei riuscito? Ecco le risposte:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nei primi quattro esempi, spero che sia tutto chiaro? Osserviamo semplicemente la base e l'esponente e applichiamo la regola appropriata.

Nell'esempio 5), anche tutto non è così spaventoso come sembra: non importa a cosa sia uguale la base - il grado è pari, il che significa che il risultato sarà sempre positivo. Bene, tranne quando la base è zero. La base non è la stessa, vero? Ovviamente no, poiché (perché).

Esempio 6) non è più così semplice. Qui devi scoprire quale è meno: o? Se lo ricordi, diventa chiaro, il che significa che la base è inferiore a zero. Cioè, applichiamo la regola 2: il risultato sarà negativo.

E ancora usiamo la definizione di grado:

Tutto è come al solito: scriviamo la definizione dei gradi e li dividiamo l'uno nell'altro, li dividiamo in coppie e otteniamo:

Prima di analizzare l'ultima regola, risolviamo alcuni esempi.

Calcola i valori delle espressioni:

Soluzioni :

Torniamo all'esempio:

E ancora la formula:

Quindi ora l'ultima regola:

Come lo dimostreremo? Certo, come al solito: espandiamo il concetto di laurea e semplifichiamo:

Bene, ora apriamo le parentesi. Quante lettere ci saranno? volte per moltiplicatori - che aspetto ha? Questa non è altro che la definizione di un'operazione moltiplicazione: totale si sono rivelati moltiplicatori. Cioè, è, per definizione, una potenza di un numero con un esponente:

Esempio:

Laurea con esponente irrazionale

Oltre alle informazioni sui gradi per il livello medio, analizzeremo il grado con un indicatore irrazionale. Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse di un grado con esponente razionale, con l'eccezione - dopotutto, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono interi (cioè , i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne quelli razionali).

Quando studiamo lauree con un indicatore naturale, intero e razionale, ogni volta costruiamo una certa "immagine", "analogia" o descrizione in termini più familiari. Ad esempio, un esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte; un numero al grado zero è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso una volta, cioè non ha ancora iniziato a essere moltiplicato, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi, il risultato è solo un certa “preparazione di un numero”, cioè un numero; un grado con un numero intero negativo - è come se si fosse verificato un certo "processo inverso", ovvero il numero non fosse stato moltiplicato per se stesso, ma diviso.

È estremamente difficile immaginare un grado con un esponente irrazionale (così come è difficile immaginare uno spazio a 4 dimensioni). Piuttosto, è un oggetto puramente matematico che i matematici hanno creato per estendere il concetto di grado all'intero spazio dei numeri.

A proposito, la scienza usa spesso una laurea con un esponente complesso, cioè un esponente non è nemmeno un numero reale. Ma a scuola non pensiamo a tali difficoltà, avrai l'opportunità di comprendere questi nuovi concetti all'istituto.

Quindi cosa facciamo se vediamo un esponente irrazionale? Stiamo facendo del nostro meglio per liberarcene! :)

Per esempio:

Decidi tu stesso:

1)

2)

3)

Risposte:

RIASSUNTO DELLA SEZIONE E FORMULA BASE

Livelloè chiamata espressione della forma: , dove:

Grado con esponente intero

grado, il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).

Laurea con esponente razionale

grado, il cui indicatore è negativo e numeri frazionari.

Laurea con esponente irrazionale

esponente il cui esponente è una frazione decimale infinita o radice.

Proprietà di laurea

Caratteristiche dei gradi.

• Numero negativo elevato a anche grado, - numero positivo.
• Numero negativo elevato a strano grado, - numero negativo.
• Un numero positivo per qualsiasi potenza è un numero positivo.
• Zero è uguale a qualsiasi potenza.
• Qualsiasi numero alla potenza zero è uguale.

ORA HAI UNA PAROLA...

Ti piace l'articolo? Fatemi sapere nei commenti qui sotto se vi è piaciuto o meno.

Raccontaci la tua esperienza con le proprietà di alimentazione.

Forse hai delle domande. O suggerimenti.

Scrivi nei commenti.

E buona fortuna per gli esami!

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe, allora sei molto bravo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se hai letto fino alla fine, allora sei nel 5%!

Ora la cosa più importante.

Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, è... è semplicemente super! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.

Il problema è che questo potrebbe non bastare...

Per quello?

Per il superamento dell'esame, per l'ammissione all'istituto con il budget e, SOPRATTUTTO, a vita.

Non ti convincerò di niente, dirò solo una cosa...

Le persone che hanno ricevuto una buona educazione guadagnano molto di più di quelle che non l'hanno ricevuta. Questa è la statistica.

Ma questa non è la cosa principale.

La cosa principale è che sono PIÙ FELICI (ci sono studi del genere). Forse perché molte più opportunità si aprono davanti a loro e la vita diventa più luminosa? Non so...

Ma pensa a te stesso...

Cosa serve per essere sicuri di essere migliori degli altri durante l'esame e alla fine essere... più felici?

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quando il numero si moltiplica a me stesso, opera chiamato livello.

Quindi 2,2 = 4, quadrato o seconda potenza di 2
2.2.2 = 8, cubo o terza potenza.
2.2.2.2 = 16, quarto grado.

Inoltre, 10.10 = 100, la seconda potenza è 10.
10.10.10 = 1000, terzo grado.
10.10.10.10 = 10000 quarto grado.

E a.a = aa, la seconda potenza di a
a.a.a = aaa, la terza potenza di a
a.a.a.a = aaaa, quarta potenza di a

Viene chiamato il numero originale radice gradi di quel numero, perché questo è il numero da cui sono stati creati i gradi.

Tuttavia, non è molto conveniente, soprattutto nel caso di potenze elevate, annotare tutti i fattori che compongono le potenze. Pertanto, viene utilizzato un metodo di notazione abbreviata. La radice del grado si scrive una sola volta, ea destra e un po' più in alto accanto ad essa, ma in un carattere leggermente più piccolo si scrive quante volte la radice funge da fattore. Questo numero o lettera viene chiamato esponente o livello numeri. Quindi, a 2 è uguale a a.a o aa, perché la radice di a deve essere moltiplicata per se stessa due volte per ottenere la potenza di aa. Inoltre, un 3 significa aaa, cioè qui a viene ripetuto tre volte come moltiplicatore.

L'esponente della prima potenza è 1, ma di solito non viene scritto. Quindi, un 1 è scritto come a.

Non dovresti confondere i gradi con coefficienti. Il coefficiente mostra la frequenza con cui viene preso il valore parte totale. L'esponente indica la frequenza con cui viene preso il valore fattore nel lavoro.
Quindi, 4a = a + a + a + a. Ma a 4 = a.a.a.a

La notazione esponenziale ha il peculiare vantaggio di permetterci di esprimere sconosciuto livello. A questo scopo, invece di un numero, si scrive l'esponente lettera. Nel processo di risoluzione del problema, possiamo ottenere un valore che, come sappiamo, è alcuni grado di un'altra grandezza. Ma finora non sappiamo se sia un quadrato, un cubo o un altro, di grado superiore. Quindi, nell'espressione a x , l'esponente significa che questa espressione ha alcuni grado, anche se non definito che grado. Quindi, b me d n sono elevati alle potenze di m e n. Quando si trova l'esponente, numero sostituito con una lettera. Quindi, se m=3, allora b m = b 3 ; ma se m = 5 allora b m =b 5 .

Anche il metodo di scrittura dei valori con esponenti è un grande vantaggio durante l'utilizzo espressioni. Quindi, (a + b + d) 3 è (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), cioè il cubo del trinomio (a + b + d) . Ma se scriviamo questa espressione dopo averla tagliata a cubetti, sembrerà
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Se prendiamo una serie di potenze i cui esponenti aumentano o diminuiscono di 1, troviamo che il prodotto aumenta di fattore comune o ridotto di divisore comune, e questo fattore o divisore è il numero originario elevato a potenza.

Quindi, nella serie aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
oppure un 5 , un 4 , un 3 , un 2 , un 1 ;
gli indicatori, se contati da destra a sinistra, sono 1, 2, 3, 4, 5; e la differenza tra i loro valori è 1. Se iniziamo sulla destra moltiplicare su a, otterremo con successo più valori.

Quindi a.a = a 2 , il secondo termine. E un 3 .a = un 4
a 2 .a = a 3 , il terzo termine. a 4 .a = a 5 .

Se iniziamo sinistra dividere su un,
otteniamo a 5:a = a 4 e a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Ma un tale processo di divisione può continuare ulteriormente e otteniamo un nuovo insieme di valori.

Quindi, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

La riga completa sarà: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Oppure un 5 , un 4 , un 3 , un 2 , un, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Qui valori sulla destra dall'unità è inversione valori a sinistra di uno. Pertanto, questi gradi possono essere chiamati poteri inversi un. Si può anche dire che i poteri di sinistra sono l'inverso dei poteri di destra.

Quindi, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. E 1:(1/a 3) = a 3 .

È possibile applicare lo stesso piano di registrazione polinomi. Quindi, per a + b, otteniamo un insieme,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Per comodità, viene utilizzata un'altra forma di scrittura dei poteri inversi.

Secondo questa forma, 1/a o 1/a 1 = a -1 . E 1/aaa o 1/a 3 = a -3 .
1/aa o 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa o 1/a 4 = a -4 .

E per fare degli esponenti una serie completa con 1 come differenza totale, si considera a/a o 1 come tale che non ha grado e si scrive 0 .

Quindi, tenendo conto dei poteri diretti e inversi
invece di aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
puoi scrivere a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Oppure un +4, un +3, un +2, un +1, uno 0, un -1, un -2, un -3, un -4.

E una serie di diplomi presi solo separatamente avrà la forma:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

La radice del grado può essere espressa con più di una lettera.

Quindi, aa.aa o (aa) 2 è la seconda potenza di aa.
E aa.aa.aa o (aa) 3 è la terza potenza di aa.

Tutti i gradi del numero 1 sono gli stessi: 1.1 o 1.1.1. sarà uguale a 1.

L'esponenziazione è trovare il valore di qualsiasi numero moltiplicando quel numero per se stesso. Regola di esponenziale:

Moltiplicare il valore per se stesso tante volte quanto indicato nella potenza del numero.

Questa regola è comune a tutti gli esempi che possono sorgere nel processo di esponenziazione. Ma sarà corretto spiegare come si applica a casi particolari.

Se un solo termine viene elevato a potenza, viene moltiplicato per se stesso tante volte quante l'esponente indica.

La quarta potenza a è un 4 o aaaa. (Art. 195.)
La sesta potenza di y è y 6 o yyyyyy.
L'ennesima potenza di x è x n o xxx..... n volte ripetute.

Se è necessario elevare a potenza un'espressione di più termini, il principio che il grado del prodotto di più fattori è uguale al prodotto di questi fattori elevati a potenza.

Quindi (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Ma ay.ay = ayy = aayy = a 2 y 2 .
Quindi, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Pertanto, nel trovare il grado di un prodotto, possiamo o operare sull'intero prodotto in una volta, oppure possiamo operare su ciascun fattore separatamente, e quindi moltiplicare i loro valori per gradi.

Esempio 1. La quarta potenza di dhy è (dhy) 4 o d 4 h 4 y 4 .

Esempio 2. La terza potenza di 4b è (4b) 3 , o 4 3 b 3 , o 64b 3 .

Esempio 3. L'ennesima potenza di 6ad è (6ad) n o 6 n e n d n .

Esempio 4. La terza potenza di 3m.2y è (3m.2y) 3 , o 27m 3 .8y 3 .

Il grado di un binomio, costituito da termini collegati da + e -, si calcola moltiplicando i suoi termini. Sì,

(a + b) 1 = a + b, la prima potenza.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , seconda potenza (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, terzo grado.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, quarto grado.

Quadrato a - b, c'è a 2 - 2ab + b 2 .

Il quadrato a + b + h è a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Esercizio 1. Trova il cubo a + 2d + 3

Esercizio 2. Trova la quarta potenza b + 2.

Esercizio 3. Trova la quinta potenza di x + 1.

Esercizio 4. Trova il sesto grado 1 - b.

Somma i quadrati importi e differenza i binomi sono così comuni in algebra che è necessario conoscerli molto bene.

Se moltiplichiamo a + h per se stesso, o a - h per se stesso,
otteniamo: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 anche, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Questo mostra che in ogni caso, il primo e l'ultimo termine sono i quadrati di a e h, e il termine medio è il doppio del prodotto di a e h. Quindi, il quadrato della somma e della differenza dei binomi può essere trovato usando la seguente regola.

Il quadrato di un binomio i cui due termini sono positivi è uguale al quadrato del primo termine + il doppio del prodotto di entrambi i termini, + il quadrato dell'ultimo termine.

Piazza differenza binomio è uguale al quadrato del primo termine meno il doppio del prodotto di entrambi i termini più il quadrato del secondo termine.

Esempio 1. Al quadrato 2a + b, ci sono 4a 2 + 4ab + b 2 .

Esempio 2. Il quadrato ab + cd è a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Esempio 3. Il quadrato 3d - h è 9d 2 + 6dh + h 2 .

Esempio 4. Il quadrato a - 1 è un 2 - 2a + 1.

Per un metodo per trovare potenze superiori dei binomi, vedere le sezioni seguenti.

In molti casi è efficiente scrivere gradi nessuna moltiplicazione.

Quindi, il quadrato a + b è (a + b) 2 .
L'ennesima potenza bc + 8 + x è (bc + 8 + x) n

In questi casi, le parentesi coprono tutto membri in corso di laurea.

Ma se la radice del grado è composta da più moltiplicatori, le parentesi possono coprire l'intera espressione o possono essere applicate separatamente ai fattori, a seconda della convenienza.

Pertanto, il quadrato (a + b)(c + d) è o [(a + b).(c + d)] 2 o (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Per la prima di queste espressioni, il risultato è il quadrato del prodotto di due fattori e per la seconda il prodotto dei loro quadrati. Ma sono uguali tra loro.

Il cubo a.(b + d), è 3 , o a 3 .(b + d) 3 .

È inoltre necessario tenere conto del segno davanti ai membri coinvolti. È molto importante ricordare che quando la radice di un potere è positiva, anche tutti i suoi poteri positivi sono positivi. Ma quando la radice è negativa, valori da strano le potenze sono negative, mentre i valori anche i gradi sono positivi.

La seconda potenza (-a) è +a 2
Il terzo grado (-a) è -a 3
La quarta potenza (-a) è +a 4
La quinta potenza (-a) è -a 5

Quindi qualsiasi strano l'esponente ha lo stesso segno del numero. Ma anche il grado è positivo, indipendentemente dal fatto che il numero abbia segno negativo o positivo.
Quindi, +a.+a = +a 2
E -a.-a = +a 2

Un valore già elevato a potenza viene nuovamente elevato a potenza moltiplicando gli esponenti.

La terza potenza di un 2 è a 2,3 = a 6 .

Per un 2 = aa; il cubo aa è aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; che è la sesta potenza di a, ma la terza potenza di a 2 .

La quarta potenza a 3 b 2 è a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

La terza potenza di 4a 2 x è 64a 6 x 3 .

La quinta potenza di (a + b) 2 è (a + b) 10 .

L'ennesima potenza di un 3 è un 3n

L'ennesima potenza di (x - y) m è (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

La regola si applica ugualmente a negativo gradi.

Esempio 1. La terza potenza di a -2 è a -3.3 =a -6 .

Per a -2 = 1/aa, e la terza potenza di questo
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

La quarta potenza a 2 b -3 è un 8 b -12 o un 8 / b 12 .

Il quadrato b 3 x -1 è b 6 x -2 .

L'ennesima potenza ax -m è x -mn o 1/x .

Tuttavia, va ricordato qui che se un segno precedente grado è "-", quindi dovrebbe essere cambiato in "+" ogni volta che il grado è un numero pari.

Esempio 1. Il quadrato -a 3 è +a 6 . Il quadrato di -a 3 è -a 3 .-a 3 , che, secondo le regole dei segni di moltiplicazione, è +a 6 .

2. Ma il cubo -a 3 è -a 9 . Per -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. L'ennesima potenza di -a 3 è una 3n .

Qui il risultato può essere positivo o negativo a seconda che n sia pari o dispari.

Se una frazione elevati a potenza, numeratore e denominatore vengono elevati a potenza.

Il quadrato a/b è a 2 /b 2 . Secondo la regola della moltiplicazione delle frazioni,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

La seconda, terza ed ennesima potenza di 1/a sono 1/a 2 , 1/a 3 e 1/a n .

Esempi binomi dove uno dei termini è una frazione.

1. Trova il quadrato x + 1/2 e x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Il quadrato a + 2/3 è a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Quadrato x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Il quadrato x - b/m è x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

In precedenza, è stato dimostrato che coefficiente frazionario può essere spostato dal numeratore al denominatore o dal denominatore al numeratore. Usando lo schema di scrittura dei poteri inversi, lo si può vedere qualsiasi moltiplicatore può anche essere spostato se il segno della laurea è cambiato.

Quindi, nella frazione ax -2 /y, possiamo spostare x dal numeratore al denominatore.
Allora ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Nella frazione a/by 3 possiamo spostare y dal denominatore al numeratore.
Allora a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Allo stesso modo, possiamo spostare al numeratore un fattore con esponente positivo, o al denominatore un fattore con esponente negativo.

Quindi, ax 3 / b = a / bx -3 . Per x 3 l'inverso è x -3 , che è x 3 = 1/x -3 .

Pertanto, il denominatore di qualsiasi frazione può essere completamente rimosso, oppure il numeratore può essere ridotto a uno senza modificare il significato dell'espressione.

Quindi, a/b = 1/ba -1 o ab -1 .

L'esponenziazione è un'operazione strettamente correlata alla moltiplicazione, questa operazione è il risultato della moltiplicazione multipla di un numero da solo. Rappresentiamo la formula: a1 * a2 * ... * an = an.

Ad esempio, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

In generale, l'esponenziazione è spesso usata in varie formule in matematica e fisica. Questa funzione ha uno scopo più scientifico rispetto alle quattro di base: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione.

Elevare un numero a potenza

Elevare un numero a potenza non è un'operazione difficile. È legato alla moltiplicazione come la relazione tra moltiplicazione e addizione. Registra an - un breve record dell'n-esimo numero di numeri "a" moltiplicati l'uno per l'altro.

Considera l'esponenziale sugli esempi più semplici, passando a quelli complessi.

Ad esempio, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Quattro al quadrato (alla seconda potenza) fa sedici. Se non capisci la moltiplicazione 4 * 4, leggi il nostro articolo sulla moltiplicazione.

Diamo un'occhiata a un altro esempio: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Cinque al cubo (alla terza potenza) equivalgono a centoventicinque.

Un altro esempio: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nove cubetti equivalgono a settecentoventinove.

Formule di esponenziale

Per elevare correttamente a potenza, è necessario ricordare e conoscere le formule seguenti. Non c'è niente oltre il naturale in questo, la cosa principale è capire l'essenza e quindi non solo saranno ricordati, ma sembreranno anche facili.

Elevare un monomio a potere

Cos'è un monomio? Questo è il prodotto di numeri e variabili in qualsiasi quantità. Ad esempio, due è un monomio. E questo articolo riguarda l'elevazione di tali monomi a un potere.

Utilizzando formule di esponenziazione, non sarà difficile calcolare l'esponenziazione di un monomio a una potenza.

Per esempio, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Se elevi un monomio a potenza, ogni componente del monomio viene elevato a potenza.

Quando si eleva una variabile che ha già un grado a una potenza, i gradi vengono moltiplicati. Ad esempio, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Elevare a un potere negativo

Un esponente negativo è il reciproco di un numero. Che cos'è un reciproco? Per ogni numero X, il reciproco è 1/X. Questo è X-1=1/X. Questa è l'essenza del grado negativo.

Considera l'esempio (3Y)^-3:

(3A)^-3 = 1/(27A^3).

Perché? Poiché c'è un meno nel grado, trasferiamo semplicemente questa espressione al denominatore, quindi la eleviamo alla terza potenza. Giusto?

Elevazione a potenza frazionaria

Cominciamo con un esempio specifico. 43/2. Cosa significa potenza 3/2? 3 - numeratore, significa elevare un numero (in questo caso 4) a un cubo. Il numero 2 è il denominatore, questa è l'estrazione della seconda radice del numero (in questo caso 4).

Quindi otteniamo la radice quadrata di 43 = 2^3 = 8 . Risposta: 8.

Quindi, il denominatore di un grado frazionario può essere 3 o 4, e all'infinito qualsiasi numero, e questo numero determina il grado della radice quadrata estratta da un dato numero. Ovviamente il denominatore non può essere zero.

Innalzare una radice a un potere

Se la radice viene elevata a una potenza pari alla potenza della radice stessa, allora la risposta è l'espressione radicale. Ad esempio, (√x)2 = x. E quindi in ogni caso di uguaglianza del grado della radice e del grado di elevazione della radice.

Se (√x)^4. Quindi (√x)^4=x^2. Per verificare la soluzione, traduciamo l'espressione in un'espressione con grado frazionario. Poiché la radice è quadrata, il denominatore è 2. E se la radice è elevata alla quarta potenza, il numeratore è 4. Otteniamo 4/2=2. Risposta: x = 2.

In ogni caso, l'opzione migliore è semplicemente convertire l'espressione in un esponente frazionario. Se la frazione non viene ridotta, tale risposta sarà, a condizione che la radice del numero dato non sia allocata.

Esponenziale di un numero complesso

Cos'è un numero complesso? Un numero complesso è un'espressione che ha la formula a + b * i; a, b sono numeri reali. i è il numero che, al quadrato, dà il numero -1.

Considera un esempio. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

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Esponenziazione in linea

Con l'aiuto del nostro calcolatore, puoi calcolare l'esponenziale di un numero a una potenza:

Grado di esponenziale 7

L'elevazione a un potere inizia a superare gli scolari solo in seconda media.

L'esponenziazione è un'operazione strettamente correlata alla moltiplicazione, questa operazione è il risultato della moltiplicazione multipla di un numero da solo. Rappresentiamo la formula: a1 * a2 * … * an=an .

Per esempio, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Esempi di soluzioni:

Presentazione dell'esponenziale

Presentazione sull'esponenziazione, pensata per gli alunni di seconda media. La presentazione potrebbe chiarire alcuni punti incomprensibili, ma probabilmente non ci saranno tali punti grazie al nostro articolo.

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Nella continuazione della conversazione sul grado di un numero, è logico occuparsi di trovare il valore del grado. Questo processo è stato nominato esponenziazione. In questo articolo, studieremo solo come viene eseguita l'esponenziazione, toccando tutti i possibili esponenti: naturale, intero, razionale e irrazionale. E per tradizione, considereremo in dettaglio le soluzioni agli esempi di aumento dei numeri a vari livelli.

Navigazione della pagina.

Cosa significa "esponenziale"?

Iniziamo spiegando ciò che viene chiamato esponenziazione. Ecco la definizione pertinente.

Definizione.

Esponenzialeè trovare il valore della potenza di un numero.

Quindi, trovare il valore della potenza di a con l'esponente r e aumentare il numero a alla potenza di r è la stessa cosa. Ad esempio, se il compito è "calcolare il valore della potenza (0,5) 5", può essere riformulato come segue: "Alza il numero 0,5 alla potenza di 5".

Ora puoi passare direttamente alle regole con cui viene eseguita l'esponenziazione.

Elevare un numero a una potenza naturale

In pratica, l'uguaglianza basata su viene solitamente applicata nella forma . Cioè, quando si eleva il numero a a una potenza frazionaria m / n, viene prima estratta la radice dell'ennesimo grado dal numero a, dopodiché il risultato viene elevato a una potenza intera m.

Considera soluzioni per esempi di elevazione a una potenza frazionaria.

Esempio.

Calcola il valore della laurea.

Soluzione.

Mostriamo due soluzioni.

Primo modo. Per definizione di grado con esponente frazionario. Calcoliamo il valore del grado sotto il segno della radice, dopodiché estraiamo la radice cubica: .

Il secondo modo. Per definizione di grado con esponente frazionario e in base alle proprietà delle radici, le uguaglianze sono vere . Ora estrai la radice Infine, eleviamo a una potenza intera .

Ovviamente i risultati ottenuti dall'elevazione a potenza frazionaria coincidono.

Risposta:

Si noti che l'esponente frazionario può essere scritto come una frazione decimale o un numero misto, in questi casi dovrebbe essere sostituito dalla frazione ordinaria corrispondente, e quindi dovrebbe essere eseguita l'esponenziazione.

Esempio.

Calcola (44.89) 2.5 .

Soluzione.

Scriviamo l'esponente sotto forma di frazione ordinaria (se necessario, vedere l'articolo): . Ora eseguiamo l'innalzamento a una potenza frazionaria:

Risposta:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Va anche detto che elevare i numeri a potenze razionali è un processo piuttosto laborioso (soprattutto quando il numeratore e il denominatore dell'esponente frazionario sono numeri abbastanza grandi), che di solito viene eseguito utilizzando la tecnologia informatica.

In conclusione di questo paragrafo, ci soffermeremo sulla costruzione del numero zero ad una potenza frazionaria. Abbiamo dato il seguente significato al grado frazionario di zero della forma: perché abbiamo , mentre zero alla potenza m/n non è definito. Quindi, da zero a una potenza frazionaria positiva è zero, ad esempio, . E zero in una potenza negativa frazionaria non ha senso, ad esempio le espressioni e 0 -4,3 non hanno senso.

Elevarsi a un potere irrazionale

A volte diventa necessario scoprire il valore del grado di un numero con un esponente irrazionale. In questo caso, ai fini pratici, di solito è sufficiente ottenere il valore della laurea fino a un certo segno. Notiamo subito che in pratica questo valore viene calcolato utilizzando la tecnologia di calcolo elettronico, poiché l'elevazione manuale a una potenza irrazionale richiede un gran numero di calcoli ingombranti. Tuttavia, descriveremo in termini generali l'essenza delle azioni.

Per ottenere un valore approssimativo dell'esponente di a con un esponente irrazionale, viene presa un'approssimazione decimale dell'esponente e viene calcolato il valore dell'esponente. Questo valore è il valore approssimativo del grado del numero a con esponente irrazionale. Più accurata è inizialmente l'approssimazione decimale del numero, più accurato sarà il valore del grado alla fine.

A titolo di esempio, calcoliamo il valore approssimativo della potenza di 2 1.174367... . Prendiamo la seguente approssimazione decimale di un indicatore irrazionale: . Ora eleviamo 2 a una potenza razionale di 1,17 (abbiamo descritto l'essenza di questo processo nel paragrafo precedente), otteniamo 2 1,17 ≈ 2,250116. In questo modo, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Se prendiamo un'approssimazione decimale più accurata di un esponente irrazionale, ad esempio, , otteniamo un valore più accurato del grado originale: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

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