Compiti di ricerca di punti incroci qualsiasi figura è ideologicamente primitiva. Le difficoltà in essi sono solo dovute all'aritmetica, perché è in esso che vengono commessi vari errori di battitura ed errori.

Istruzione

1. Questo problema è risolto analiticamente, quindi è consentito non disegnare affatto grafici dritto e parabole. Spesso questo dà un enorme vantaggio nella risoluzione di un esempio, perché tali funzioni possono essere fornite nel problema che è più facile e veloce non disegnarle.

2. Secondo i libri di algebra, una parabola è data da una funzione della forma f(x)=ax^2+bx+c, dove a,b,c sono numeri reali e l'esponente a è buono a zero. La funzione g(x)=kx+h, dove k,h sono numeri reali, definisce una retta nel piano.

3. Punto incroci dritto e le parabole sono il punto universale di entrambe le curve, quindi le funzioni in essa assumeranno valori identici, cioè f(x)=g(x). Questa affermazione ti permette di scrivere l'equazione: ax^2+bx+c=kx+h, che darà la probabilità di trovare molti punti incroci .

4. Nell'equazione ax^2+bx+c=kx+h, devi spostare tutti i termini sul lato sinistro e portarne di simili: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Ora resta da risolvere l'equazione quadratica risultante.

5. Tutte le "x" rilevate non sono ancora il risultato dell'attività, perché un punto sul piano è caratterizzato da due numeri reali (x, y). Per la conclusione completa della soluzione, è necessario calcolare i "giochi" corrispondenti. Per fare ciò, è necessario sostituire le “xes” o nella funzione f (x) o nella funzione g (x), tea per il punto incroci corretto: y=f(x)=g(x). Più avanti troverai tutti i punti universali della parabola e dritto .

6. Per consolidare il materiale, è molto importante vedere la soluzione con un esempio. Sia data la parabola dalla funzione f(x)=x^2-3x+3, e dalla retta - g(x)=2x-3. Scrivi l'equazione f(x)=g(x), cioè x^2-3x+3=2x-3. Trasferendo tutti i termini sul lato sinistro e portando quelli simili, ottieni: x^2-5x+6=0. Le radici di questa equazione quadratica: x1=2, x2=3. Ora trova i "giocatori" corrispondenti: y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Quindi, tutti i punti sono trovati incroci: (2,1) e (3,3).

Punto incroci le linee rette possono essere determinate approssimativamente dal grafico. Tuttavia, spesso sono necessarie le coordinate esatte di questo punto, oppure non è necessario costruire un grafico, quindi è possibile trovare il punto incroci conoscendo solo le equazioni delle rette.

Istruzione

1. Siano due rette date dalle equazioni generali della retta: A1*x + B1*y + C1 = 0 e A2*x + B2*y + C2 = 0. Punto incroci appartiene a una retta e all'altra. Esprimiamo dalla prima equazione della retta x, otteniamo: x = -(B1*y + C1)/A1. Sostituisci il valore risultante nella seconda equazione: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0 A1C2)/(A1B2 – A2B1). Sostituire il valore rilevato nell'equazione della prima retta: A1*x + B1(A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1) + C1 = 0.A1(A1B2 – A2B1)*x + A2B1C1 – A1B1C2 + A1B2C1 – A2B1C1 = 0(A1B2 – A2B1)*x - B1C2 + B2C1 = 0 Quindi x = (B1C2 - B2C1)/(A1B2 - A2B1).

2. In un corso di matematica scolastica, le rette sono spesso date da un'equazione con esponente angolare, consideriamo questo caso. Sia data due rette in questo modo: y1 = k1*x + b1 e y2 = k2*x + b2. A quanto pare, al punto incroci y1 = y2, quindi k1*x + b1 = k2*x + b2. Otteniamo che l'ordinata del punto incroci x = (b2 – b1)/(k1 – k2). Sostituisci x in qualsiasi equazione di una retta e ottieni y = k1(b2 – b1)/(k1 – k2) + b1 = (k1b2 – b1k2)/(k1 – k2).

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L'equazione paraboleè una funzione quadratica. Ci sono diverse opzioni per compilare questa equazione. Tutto dipende da quali parametri sono presentati nella condizione del problema.

Istruzione

1. Una parabola è una curva che ha la forma di un arco ed è un grafico di una funzione di potenza. Indipendentemente dalle regole di confronto che ha la parabola, questa funzione è pari. Una funzione pari è una funzione tale che, per tutti i valori dell'argomento dal dominio di definizione, quando cambia il segno dell'argomento, il valore non cambia: f (-x) \u003d f (x) Inizia con la funzione più primitiva: y \u003d x ^ 2. Dal suo aspetto si può concludere che cresce sia per i valori corretti che per quelli negativi dell'argomento x. Il punto in cui x=0 e, allo stesso tempo, y = 0 è considerato il punto minimo della funzione.

2. Di seguito sono elencate tutte le opzioni principali per costruire questa funzione e la sua equazione. Come primo esempio, di seguito è riportata una funzione della forma: f(x)=x^2+a, dove a è un intero Per tracciare questa funzione, è necessario spostare il grafico della funzione f(x) di una unità. Un esempio è la funzione y=x^2+3, in cui l'asse y sposta la funzione in alto di due unità. Data una funzione con segno opposto, diciamo y=x^2-3, il suo grafico viene spostato lungo l'asse y.

3. Un altro tipo di funzione che può essere data una parabola è f(x)=(x + a)^2. In questi casi, il grafico, al contrario, viene spostato lungo l'ascissa (asse x) di un'unità. Ad esempio, è consentito vedere le funzioni: y=(x +4)^2 e y=(x-4)^2. Nel primo caso, dove è presente una funzione con un segno più, il grafico viene spostato lungo l'asse x a sinistra e nel secondo caso a destra. Tutti questi casi sono mostrati nella figura.

4. Esistono anche dipendenze paraboliche della forma y=x^4. In questi casi, x=const e y aumenta vertiginosamente. Tuttavia, questo vale solo per le funzioni pari parabole sono spesso presenti in problemi fisici, ad esempio il volo di un corpo descrive una linea simile a una parabola. Visualizza anche parabole ha una sezione longitudinale del riflettore del faro, lampada. A differenza di un'onda sinusoidale, questo grafico non è periodico e progressivo.

Suggerimento 4: come determinare il punto di intersezione di una linea con un piano

Questo compito è costruire un punto incroci dritto con un piano è un classico nel corso di ingegneria grafica e viene eseguito utilizzando i metodi della geometria descrittiva e la loro soluzione grafica nel disegno.

Istruzione

1. Considera la definizione di un punto incroci dritto con un piano di localizzazione privato (Figura 1) La retta l interseca il piano di proiezione frontale?. Puntali incroci K appartiene a e dritto e il piano, quindi la proiezione comune di K2 giace su?2 e l2. Cioè, K2= l2??2, e la sua proiezione orizzontale K1 è determinata su l1 usando la linea di connessione della proiezione.Quindi, il punto desiderato incroci K(K2K1) è costruito liberamente senza l'uso di piani ausiliari, i punti sono definiti in modo simile incroci dritto con tutti i tipi di aerei privati.

2. Considera la definizione di un punto incroci dritto con il piano generale. Nella figura 2, un piano posizionato arbitrariamente è dato nello spazio? e retta l. Per definire un punto incroci dritto con un piano di posizionamento generale, il metodo dei piani di taglio ausiliari viene utilizzato nel seguente ordine:

3. Un piano di taglio ausiliario viene tracciato attraverso la linea retta l?. Per facilitare la costruzione, questo sarà il piano sporgente.

5. Il punto K è segnato incroci dritto l e la linea costruita incroci MN. Lei è il punto desiderato incroci dritto e aerei.

6. Applichiamo questa regola per risolvere un problema specifico in un disegno complesso. Definisci punto incroci dritto l con il piano di localizzazione generale, dato dal triangolo ABC (figura 3).

7. Un piano secante ausiliario? è tracciato attraverso la retta l, perpendicolare al piano di proiezione?2. La sua proiezione?2 coincide con la proiezione dritto l2.

8. La linea MN è in costruzione. Aereo? interseca AB nel punto M. La sua proiezione comune M2= ?2?A2B2 e l'orizzontale M1 su A1B1 sono segnate lungo la linea di connessione della proiezione. incrocia il lato AC nel punto N. La sua proiezione comune è N2=?2?A2C2, la proiezione orizzontale di N1 su A1C1. La retta MN appartiene a entrambi i piani contemporaneamente e, quindi, è la loro retta incroci .

9. Il punto K1 è determinato incroci l1 e M1N1, dopodiché si costruisce K2 con il supporto della linea di comunicazione. Si scopre che K1 e K2 sono proiezioni del punto desiderato incroci K dritto l e gli aerei? ABC:K(K1K2)=l(l1l2)? ? ABC(A1B1C1, A2B2C2) Utilizzando i punti concorrenti M,1 e 2,3 si determina la visibilità dritto l su un dato aereo? ABC.

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Nota!
Usa un aereo ausiliario quando risolvi un problema.

Consigli utili
Eseguire calcoli utilizzando disegni dettagliati che soddisfano i requisiti del problema. Questo ti aiuterà a navigare rapidamente nella soluzione.

Due rette, se non sono parallele e non coincidono, si intersecano rigorosamente in un punto. Trovare le coordinate di questo luogo significa calcolare punti incroci diretto. Due rette che si intersecano giacciono invariabilmente sullo stesso piano, quindi è sufficiente vederle nel piano cartesiano. Diamo un'occhiata a un esempio di come trovare il punto universale delle linee.

Istruzione

1. Prendi le equazioni di 2 linee, ricordando che l'equazione di una linea nel sistema di coordinate cartesiane, l'equazione di una linea assomiglia a ax + y + c \u003d 0 e a, b, c sono numeri ordinari e x e y sono le coordinate dei punti. Ad esempio, trova punti incroci rette 4x+3y-6=0 e 2x+y-4=0. Per fare ciò, trova la soluzione al sistema di queste 2 equazioni.

2. Per risolvere un sistema di equazioni, cambia una qualsiasi delle equazioni in modo che y sia preceduta da un esponente identico. Poiché in un'equazione, l'esponente davanti a y è 1, quindi moltiplica in modo primitivo questa equazione per il numero 3 (l'esponente davanti a y in un'altra equazione). Per fare ciò, moltiplica ogni elemento dell'equazione per 3: (2x * 3) + (y * 3) - (4 * 3) \u003d (0 * 3) e ottieni un'equazione ordinaria 6x + 3y-12 \u003d 0 . Se gli esponenti davanti a y fossero meravigliosi dall'unità in entrambe le equazioni, entrambe le uguaglianze dovrebbero essere moltiplicate.

3. Sottrarre l'altro da un'equazione. Per fare ciò, sottrai dal lato sinistro di uno il lato sinistro dell'altro e fai lo stesso con il destro. Ottieni questa espressione: (4x + 3y-6) - (6x + 3y-12) \u003d 0-0. Poiché c'è un segno "-" davanti alla parentesi, cambia tutti i segni tra parentesi con quelli opposti. Ottieni questa espressione: 4x + 3y-6 - 6x-3y + 12 = 0. Semplifica l'espressione e vedrai che la variabile y è scomparsa. La nuova equazione si presenta così: -2x+6=0. Trasferisci il numero 6 in un'altra parte dell'equazione e dall'uguaglianza risultante -2x \u003d -6, esprimi x: x \u003d (-6) / (-2). Quindi hai x=3.

4. Sostituisci il valore di x=3 in qualsiasi equazione, diciamo, nella seconda e ottieni la seguente espressione: (2 * 3) + y-4 = 0. Semplifica ed esprimi y: y=4-6=-2.

5. Scrivi i valori xey risultanti come coordinate punti(3;-2). Queste saranno la soluzione al problema. Verificare il valore ottenuto sostituendo in entrambe le equazioni.

6. Se le rette non sono date come equazioni, ma sono date primitivamente sul piano, trova le coordinate punti incroci graficamente. Per fare ciò, estendi le linee in modo che si intersechino, quindi abbassa le perpendicolari sugli assi xey. L'intersezione delle perpendicolari con gli assi xey saranno le coordinate di questo punti, guarda la figura e vedrai che le coordinate punti incroci x \u003d 3 e y \u003d -2, ovvero il punto (3; -2) è la soluzione al problema.

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Una parabola è una curva piana del secondo ordine la cui equazione canonica nel sistema di coordinate cartesiane è y?=2px. Dove p è il parametro focale della parabola, uguale alla distanza da un punto fisso F, detto fuoco, ad una retta fissa D nello stesso piano, detta direttrice. Il vertice di tale parabola passa attraverso la prefazione delle coordinate e la curva stessa è simmetrica rispetto all'asse delle ascisse Ox. Nel corso scolastico di algebra è consuetudine considerare una parabola il cui asse di simmetria coincide con l'asse delle ordinate Oy: x?=2py. E l'equazione è scritta in modo un po' opposto: y=ax?+bx+c, a=1/(2p). È possibile disegnare una parabola con diversi metodi, condizionalmente che possono essere chiamati algebrici e geometrici.

Istruzione

1. Costruzione algebrica di una parabola Trova le coordinate del vertice della parabola. Calcola la coordinata lungo l'asse Ox usando la formula: x0=-b/(2a), e lungo l'asse Oy: y0=-(b?-4ac)/4a o sostituisci il valore x0 risultante nell'equazione della parabola y0 =ax0?+bx0+c e calcola il valore.

2. Sul piano delle coordinate, costruire l'asse di simmetria della parabola. La sua formula coincide con la formula per la coordinata x0 del vertice della parabola: x=-b/(2a). Determina dove puntano i rami della parabola. Se a>0, gli assi sono diretti verso l'alto, se a

3. Prendi arbitrariamente 2-3 valori per il parametro x in modo che: x0

4. Posiziona i punti 1', 2' e 3' in modo che siano simmetrici ai punti 1, 2, 3 attorno all'asse di simmetria.

5. Unisci i punti 1', 2', 3', 0, 1, 2, 3 con una linea obliqua liscia. Continua la linea su o giù, a seconda della direzione della parabola. La parabola è costruita.

6. Costruzione geometrica di una parabola. Questo metodo si basa sulla definizione di una parabola come una comunità di punti equidistanti sia dal fuoco F che dalla direttrice D. Pertanto, trova prima il parametro focale della parabola data p=1/(2a).

7. Costruire l'asse di simmetria della parabola come descritto al punto 2. Su di esso, inserisci un punto F con una coordinata lungo l'asse Oy uguale a y \u003d p / 2 e un punto D con una coordinata y \u003d -p / 2.

8. Utilizzando un quadrato, costruire una retta passante per il punto D, perpendicolare all'asse di simmetria della parabola. Questa retta è la direttrice della parabola.

9. Prendi il filo lungo la lunghezza uguale a una delle gambe del quadrato. Fissare un'estremità del filo con un bottone in cima al quadrato a cui confina questa gamba, e la 2a estremità al fuoco della parabola nel punto F. Mettere il righello in modo che il suo bordo superiore coincida con la direttrice D. Posizionare la quadrato sul righello, libero dal bottone con la gamba.

10. Posiziona la matita in modo che con la punta prema il filo sulla gamba del quadrato. Sposta il quadrato lungo il righello. La matita disegnerà la parabola di cui hai bisogno.

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Nota!
Non disegnare la parte superiore della parabola come un angolo. I suoi rami convergono tra loro, arrotondandosi dolcemente.

Consigli utili
Quando si costruisce una parabola con il metodo geometrico, assicurarsi che il filo sia sempre teso.

Prima di procedere alla ricerca del comportamento di una funzione, è necessario determinare l'area di metamorfosi delle grandezze in esame. Assumiamo che le variabili si riferiscano all'insieme dei numeri reali.

Istruzione

1. Una funzione è una variabile che dipende dal valore dell'argomento. L'argomento è una variabile indipendente. I limiti del cambiamento in un argomento sono chiamati dominio dei valori possibili (ROV). Il comportamento della funzione è considerato nell'ambito della ODZ, perché entro questi limiti la connessione tra due variabili non è caotica, ma obbedisce a determinate regole e può essere scritta come un'espressione matematica.

2. Consideriamo la connettività funzionale arbitraria F=?(x), dove? è un'espressione matematica. La funzione può avere punti di intersezione con gli assi delle coordinate o con altre funzioni.

3. Nei punti di intersezione della funzione con l'asse x, la funzione diventa uguale a zero: F(x) = 0. Risolvi questa equazione. Otterrai le coordinate dei punti di intersezione della funzione data con l'asse OX. Ci saranno tanti punti di questo tipo quante sono le radici dell'equazione in una data sezione della metamorfosi dell'argomento.

4. Nei punti di intersezione della funzione con l'asse y, il valore dell'argomento è zero. Di conseguenza, il problema si trasforma nel trovare il valore della funzione in x=0. Ci saranno tanti punti di intersezione della funzione con l'asse OY quanti sono i valori della funzione data con un argomento zero.

5. Per trovare i punti di intersezione di una data funzione con un'altra funzione, è necessario risolvere il sistema di equazioni: F=?(x)W=?(x). , i punti di intersezione con cui la funzione data deve essere rilevata. Apparentemente, nei punti di intersezione, entrambe le funzioni assumono valori uguali per valori uguali degli argomenti. Ci saranno tanti punti universali per 2 funzioni quante sono le soluzioni per il sistema di equazioni in una determinata area di modifiche dell'argomento.

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Nei punti di intersezione, le funzioni hanno valori uguali per lo stesso valore dell'argomento. Trovare i punti di intersezione delle funzioni significa determinare le coordinate dei punti che sono universali per le funzioni di intersezione.

Istruzione

1. In generale, il problema di trovare i punti di intersezione delle funzioni di un argomento Y=F(x) e Y?=F?(x) sul piano XOY si riduce a risolvere l'equazione Y= Y?, dal fatto che in a punto universale le funzioni hanno valori uguali. I valori x che soddisfano l'uguaglianza F(x)=F?(x), (se esistono) sono le ascisse dei punti di intersezione delle funzioni date.

2. Se le funzioni sono date da una semplice espressione matematica e dipendono da un argomento x, allora il problema di trovare punti di intersezione può essere risolto graficamente. Grafici delle funzioni di tracciamento. Determina i punti di intersezione con gli assi delle coordinate (x=0, y=0). Imposta alcuni altri valori di argomento, trova i valori di funzione corrispondenti, aggiungi i punti ottenuti ai grafici. Più punti verranno utilizzati per tracciare, più accurato sarà il grafico.

3. Se i grafici delle funzioni si intersecano, determinare le coordinate dei punti di intersezione dal disegno. Per verificare, sostituisci queste coordinate nelle formule che definiscono le funzioni. Se le espressioni matematiche risultano oggettive, i punti di intersezione si trovano positivamente. Se i grafici delle funzioni non si intersecano, provare a ridimensionare. Fare un passo più ampio tra i punti di costruzione per determinare in quale parte del piano numerico convergono le linee dei grafici. Dopodiché, sulla sezione individuata dell'intersezione, costruisci un grafico più dettagliato con un passaggio fine per determinare con precisione le coordinate dei punti di intersezione.

4. Se è necessario trovare i punti di intersezione delle funzioni non sul piano, ma nello spazio tridimensionale, è possibile vedere le funzioni di 2 variabili: Z=F(x,y) e Z?=F?(x ,y). Per determinare le coordinate dei punti di intersezione delle funzioni, è necessario risolvere un sistema di equazioni con due incognite xey a Z= Z?.

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Quindi, i parametri principali del grafico di una funzione quadratica sono mostrati nella figura:

Ritenere diversi modi per costruire una parabola quadratica. A seconda di come viene data la funzione quadratica, puoi scegliere quella più conveniente.

1 . La funzione è data dalla formula .

Ritenere algoritmo generale per tracciare un grafico a parabola quadratica sull'esempio di tracciare un grafico di funzione

1 . La direzione dei rami della parabola.

Poiché i rami della parabola sono diretti verso l'alto.

2 . Trova il discriminante di un trinomio quadrato

Il discriminante di un trinomio quadrato è maggiore di zero, quindi la parabola ha due punti di intersezione con l'asse OX.

Per trovare le loro coordinate, risolviamo l'equazione:

,

3 . Coordinate del vertice della parabola:

4 . Il punto di intersezione della parabola con l'asse OY: (0;-5), ed è simmetrico rispetto all'asse di simmetria della parabola.

Mettiamo questi punti sul piano delle coordinate e colleghiamoli con una curva liscia:

Questo metodo può essere alquanto semplificato.

1. Trova le coordinate del vertice della parabola.

2. Trova le coordinate dei punti a destra ea sinistra del vertice.

Usiamo i risultati del tracciamento del grafico della funzione

Vertici della parabola

I punti più vicini alla cima, posti a sinistra della cima, hanno le ascisse, rispettivamente -1; -2; -3

I punti più vicini alla sommità, posti a destra, hanno le ascisse, rispettivamente, 0; 1; 2

Sostituisci i valori di x nell'equazione della funzione, trova le ordinate di questi punti e mettile nella tabella:

Mettiamo questi punti sul piano delle coordinate e colleghiamoli con una linea liscia:

2 . L'equazione della funzione quadratica ha la forma - in questa equazione - le coordinate del vertice della parabola

o nell'equazione della funzione quadratica , e il secondo coefficiente è un numero pari.

Ad esempio, costruiamo un grafico della funzione .

Richiama le trasformazioni lineari di grafici di funzioni. Per tracciare una funzione , necessario

§ prima tracciare la funzione,

§ quindi moltiplica tutti i punti del grafico per 2,

§ quindi spostarlo lungo l'asse OX di 1 unità verso destra,

§ e poi lungo l'asse OY 4 unità in alto:

Ora diamo un'occhiata al tracciamento della funzione . Nell'equazione di questa funzione, e il secondo coefficiente è un numero pari.