"Prodotto scalare vettoriale" - Il prodotto scalare dei vettori. In un triangolo equilatero ABC di lato 1 si traccia l'altezza BD. Per definizione, caratterizzare un angolo? tra vettori e se: a) b) c) d). A quale valore di t è il vettore perpendicolare al vettore se (2, -1), (4, 3). Viene indicato il prodotto scalare dei vettori e.

"Geometry 9 class "Vectors"" - La distanza tra due punti. I problemi più semplici in coordinate. Controllati! Coordinate vettoriali. Nel 1903, O. Henrichi suggerì che il prodotto scalare fosse denotato dal simbolo (a, c). Un vettore è un segmento diretto. Scomposizione di un vettore in vettori di coordinate. Il concetto di vettore. Decomposizione di un vettore su un piano in due vettori non collineari.

"Vettore di risoluzione dei problemi" - Vettori espressi AM, DA, CA, MB, CD in termini di vettore a e vettore b. № 2 Esprimi i vettori DP, DM, AC attraverso i vettori aeb. RS: PS=2:3; AK: KD = 1: 2. Esprimi i vettori CK, RK attraverso i vettori aeb. BE:EC = 3:1 K è la metà di DC. VK: KС = 3: 4. Esprimi i vettori AK, DK attraverso i vettori aeb. Applicazione dei vettori al problem solving (parte 1).

"Problemi sui vettori" - Teorema. Trova le coordinate. Vengono assegnati tre punti. vertici del triangolo. Trova le coordinate dei vettori. Trova le coordinate del punto. Trova le coordinate e la lunghezza del vettore. Esprimi la lunghezza del vettore. Coordinate vettoriali. Coordinate vettoriali. Trova le coordinate del vettore. I vettori sono dati. Assegna un nome alle coordinate dei vettori. Il vettore ha coordinate.

"Metodo delle coordinate su un piano" - Viene disegnato un cerchio. Perpendicolari. Asse delle coordinate. Valore seno. Sistema di coordinate rettangolari sul piano. Trova le coordinate del vertice. Considera un esempio. La soluzione a questo problema. I punti vengono assegnati sull'aereo. Vertici di un parallelogramma. Espandi i vettori. Calcolare. Molti punti. Risolvi graficamente il sistema di equazioni.

"Addizione e sottrazione di vettori" - 1. Obiettivi della lezione. 2. La parte principale. Sei molto, molto migliore amico Sonnambulo! Impara a sottrarre i vettori. 2. Specificare il vettore della somma dei vettori aeb. Mio amico!! Vediamo cosa abbiamo qui. I nostri obiettivi: Conclusione. 3. Revisione della testa. 4. Elenco dei riferimenti. In viaggio con Lunatic. Dal punto A, rimandiamo entrambi i vettori.

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Quando si studia la geometria, sorgono molte domande sul tema dei vettori. Lo studente incontra particolari difficoltà quando è necessario trovare gli angoli tra i vettori.

Termini di base

Prima di considerare gli angoli tra vettori, è necessario familiarizzare con la definizione di vettore e il concetto di angolo tra vettori.

Un vettore è un segmento che ha una direzione, cioè un segmento per il quale sono definiti il ​​suo inizio e la sua fine.

L'angolo tra due vettori su un piano che hanno un'origine comune è il più piccolo degli angoli, per cui è necessario spostare uno dei vettori attorno a un punto comune, in una posizione in cui le loro direzioni coincidono.

Formula di soluzione

Una volta capito cos'è un vettore e come viene determinato il suo angolo, puoi calcolare l'angolo tra i vettori. La formula di soluzione per questo è abbastanza semplice e il risultato della sua applicazione sarà il valore del coseno dell'angolo. Per definizione, è uguale al quoziente prodotto a punti vettori e il prodotto delle loro lunghezze.

Il prodotto scalare dei vettori è considerato come la somma delle corrispondenti coordinate dei vettori moltiplicatori moltiplicate tra loro. La lunghezza di un vettore, o il suo modulo, è calcolata come radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate.

Dopo aver ricevuto il valore del coseno dell'angolo, è possibile calcolare il valore dell'angolo stesso utilizzando una calcolatrice o utilizzando una tabella trigonometrica.

Esempio

Dopo aver capito come calcolare l'angolo tra i vettori, la soluzione al problema corrispondente diventa semplice e diretta. Ad esempio, consideriamo il semplice problema di trovare l'ampiezza di un angolo.

Innanzitutto sarà più conveniente calcolare i valori ​​delle lunghezze dei vettori e il loro prodotto scalare necessario per la risoluzione. Usando la descrizione sopra, otteniamo:

Sostituendo i valori ottenuti nella formula, calcoliamo il valore del coseno dell'angolo desiderato:

Questo numero non è uno dei cinque valori del coseno comuni, quindi per ottenere il valore dell'angolo, dovrai utilizzare una calcolatrice o la tabella trigonometrica di Bradis. Ma prima di ottenere l'angolo tra i vettori, la formula può essere semplificata per eliminare il segno extra negativo:

La risposta finale può essere lasciata in questo modulo per mantenere la precisione, oppure puoi calcolare il valore dell'angolo in gradi. Secondo la tabella Bradis, il suo valore sarà di circa 116 gradi e 70 minuti e la calcolatrice mostrerà un valore di 116,57 gradi.

Calcolo dell'angolo nello spazio n-dimensionale

Quando si considerano due vettori nello spazio tridimensionale, è molto più difficile capire di quale angolo stiamo parlando se non giacciono sullo stesso piano. Per semplificare la percezione, puoi disegnare due segmenti intersecanti che formano l'angolo più piccolo tra loro e sarà quello desiderato. Nonostante la presenza di una terza coordinata nel vettore, il processo di calcolo degli angoli tra i vettori non cambierà. Calcola il prodotto scalare e i moduli dei vettori, l'arcoseno del loro quoziente e sarà la risposta a questo problema.

In geometria, spesso si verificano problemi con spazi che hanno più di tre dimensioni. Ma per loro, l'algoritmo per trovare la risposta è simile.

Differenza tra 0 e 180 gradi

Uno degli errori comuni quando si scrive una risposta a un problema progettato per calcolare l'angolo tra i vettori è la decisione di scrivere che i vettori sono paralleli, ovvero l'angolo desiderato è risultato essere 0 o 180 gradi. Questa risposta non è corretta.

Avendo ricevuto un valore di angolo di 0 gradi come risultato della soluzione, la risposta corretta sarebbe designare i vettori come co-direzionali, cioè i vettori avranno la stessa direzione. Nel caso di ottenere 180 gradi, i vettori saranno nella natura di direzioni opposte.

Vettori specifici

Trovando gli angoli tra i vettori, si può trovare uno dei tipi speciali, oltre a quelli co-diretti e opposti descritti sopra.

• Più vettori paralleli ad un piano sono detti complanari.
• I vettori uguali in lunghezza e direzione sono detti uguali.
• I vettori che giacciono sulla stessa retta, indipendentemente dalla direzione, sono detti collineari.
• Se la lunghezza del vettore è uguale a zero, cioè il suo inizio e la sua fine coincidono, viene chiamato zero e se è uno, viene chiamato uno.

Istruzione

Siano dati due vettori diversi da zero sul piano, tracciati da un punto: vettore A con coordinate (x1, y1) B con coordinate (x2, y2). Angolo tra di loro è indicato come θ. Per trovare la misura in gradi dell'angolo θ, è necessario utilizzare la definizione del prodotto scalare.

Il prodotto scalare di due vettori diversi da zero è un numero uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori per il coseno dell'angolo tra di loro, cioè (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Ora devi esprimere il coseno dell'angolo da questo: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Il prodotto scalare si trova anche utilizzando la formula (A,B)=x1*x2+y1*y2, poiché il prodotto di due vettori diversi da zero è uguale alla somma dei prodotti dei vettori corrispondenti. Se il prodotto scalare di vettori diversi da zero è uguale a zero, i vettori sono perpendicolari (l'angolo tra loro è di 90 gradi) e ulteriori calcoli possono essere omessi. Se il prodotto scalare di due vettori è positivo, allora l'angolo tra questi vettori acuto e, se negativo, l'angolo è ottuso.

Ora calcola le lunghezze dei vettori A e B usando le formule: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). La lunghezza del vettore è calcolata come Radice quadrata dalla somma dei quadrati delle sue coordinate.

Sostituisci i valori trovati del prodotto scalare e le lunghezze dei vettori nella formula per l'angolo ottenuto nel passaggio 2, ovvero cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+ y1²)+√(x2²+y2²)). Ora, conoscendo il valore di , per trovare la misura in gradi dell'angolo tra vettori devi usare la tabella Bradis o prendere da questa: θ=arccos(cos(θ)).

Se i vettori A e B sono dati nello spazio tridimensionale e hanno coordinate (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2), rispettivamente, viene aggiunta un'altra coordinata quando si trova il coseno dell'angolo. In questo caso coseno: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Consigli utili

Se due vettori non vengono tracciati da un punto, per trovare l'angolo tra di loro mediante traslazione parallela, è necessario combinare l'inizio di questi vettori.
L'angolo tra due vettori non può essere maggiore di 180 gradi.

Fonti:

• come calcolare l'angolo tra i vettori
• Angolo tra linea e piano

Per risolvere molti problemi, sia applicativi che teorici, in fisica e algebra lineare, è necessario calcolare l'angolo tra i vettori. Questo compito apparentemente semplice può causare molte difficoltà se non si comprende chiaramente l'essenza del prodotto scalare e quale valore appare come risultato di questo prodotto.

Istruzione

L'angolo tra i vettori in uno spazio vettoriale lineare è l'angolo minimo in corrispondenza del quale si ottiene la codirezione dei vettori. Uno dei vettori viene portato attorno al suo punto di partenza. Dalla definizione risulta evidente che il valore dell'angolo non può superare i 180 gradi (vedi passo).

In questo caso, si presume giustamente che in uno spazio lineare, quando i vettori vengono trasferiti in parallelo, l'angolo tra loro non cambia. Pertanto, per il calcolo analitico dell'angolo, l'orientamento spaziale dei vettori non ha importanza.

Il risultato del prodotto scalare è un numero, altrimenti uno scalare. Ricorda (questo è importante da sapere) per evitare errori in ulteriori calcoli. La formula per il prodotto scalare, situato su un piano o nello spazio dei vettori, ha la forma (vedi figura per il passaggio).

Se i vettori si trovano nello spazio, eseguire il calcolo in modo simile. L'unica cosa sarà l'aspetto del termine nel dividendo: questo è il termine per l'applicata, ad es. la terza componente del vettore. Di conseguenza, quando si calcola il modulo dei vettori, deve essere presa in considerazione anche la componente z, quindi per i vettori situati nello spazio, l'ultima espressione viene trasformata come segue (vedi Figura 6 al passaggio).

Un vettore è un segmento di linea con una data direzione. L'angolo tra i vettori ha significato fisico, ad esempio, quando si trova la lunghezza della proiezione di un vettore su un asse.

Istruzione

Angolo tra due vettori diversi da zero utilizzando il calcolo del prodotto scalare. Per definizione, il prodotto è uguale al prodotto delle lunghezze e dell'angolo tra di esse. Si calcola invece il prodotto interno per due vettori a con coordinate (x1; y1) eb con coordinate (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Di questi due modi, il prodotto scalare è facile da inclinare tra i vettori.

Trova le lunghezze o i moduli dei vettori. Per i nostri vettori aeb: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Trova il prodotto interno dei vettori moltiplicando le loro coordinate a coppie: ab = x1x2 + y1y2. Dalla definizione del prodotto scalare ab = |a|*|b|*cos α, dove α è l'angolo tra i vettori. Quindi otteniamo che x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Allora cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Trova l'angolo α usando le tabelle di Bradys.

Video collegati

Nota

Il prodotto scalare è una caratteristica scalare delle lunghezze dei vettori e dell'angolo tra di loro.

Il piano è uno dei concetti base della geometria. Un piano è una superficie per la quale l'affermazione è vera: qualsiasi linea retta che collega due dei suoi punti appartiene interamente a questa superficie. Gli aerei sono designati Lettere grecheα, β, γ, ecc. Due piani si intersecano sempre in una retta che appartiene a entrambi i piani.

Istruzione

Si considerino i semipiani α e β formati all'intersezione di . Angolo formato da una retta a e da due semipiani α e β da un angolo diedro. In questo caso, i semipiani che formano un angolo diedro per facce, la linea a lungo la quale i piani si intersecano è chiamata spigolo angolo diedro.

Angolo diedro, come un angolo piatto, in gradi. Per fare un angolo diedro, è necessario scegliere un punto arbitrario sulla sua faccia O. In entrambi, due raggi a sono disegnati per il punto O. L'angolo risultante AOB è chiamato angolo lineare dell'angolo diedro a.

Quindi, siano dati il ​​vettore V = (a, b, c) e il piano A x + B y + C z = 0, dove A, B e C sono le coordinate della normale N. Quindi il coseno dell'angolo α tra i vettori V e N è: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Per calcolare il valore dell'angolo in gradi o radianti, è necessario calcolare la funzione inversa al coseno dall'espressione risultante, ad es. arcoseno: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Esempio: trova angolo fra vettore(5, -3, 8) e aereo, data dall'equazione generale 2 x - 5 y + 3 z = 0. Soluzione: annotare le coordinate del vettore normale del piano N = (2, -5, 3). Sostituisci tutto valori noti nella formula precedente: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video collegati

Scrivi un'equazione e isola da essa il coseno. Secondo una formula, il prodotto scalare dei vettori è uguale alle loro lunghezze moltiplicate tra loro e per il coseno angolo e dall'altro - la somma dei prodotti delle coordinate lungo ciascuno degli assi. Uguagliando entrambe le formule, possiamo concludere che il coseno angolo deve essere uguale al rapporto tra la somma dei prodotti delle coordinate e il prodotto delle lunghezze dei vettori.

Annota l'equazione risultante. Per fare ciò, dobbiamo designare entrambi i vettori. Diciamo che sono dati in un sistema cartesiano 3D e i loro punti di partenza sono in una griglia. La direzione e la grandezza del primo vettore saranno date dal punto (X₁,Y₁,Z₁), il secondo - (X₂,Y₂,Z₂), e l'angolo sarà indicato dalla lettera γ. Quindi le lunghezze di ciascuno dei vettori possono essere, ad esempio, secondo il teorema di Pitagora per formato dalle loro proiezioni su ciascuno degli assi coordinati: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) e √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Sostituisci queste espressioni nella formula formulata nel passaggio precedente e ottieni l'uguaglianza: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Usa il fatto che la somma del quadrato seno e co seno da angolo un valore ne dà sempre uno. Quindi, elevando quanto ottenuto al passaggio precedente per co seno al quadrato e sottratto dall'unità, e poi

Prodotto scalare di vettori

Continuiamo a trattare con i vettori. Alla prima lezione Vettori per manichini abbiamo considerato il concetto di vettore, le azioni con i vettori, le coordinate vettoriali ei problemi più semplici con i vettori. Se sei arrivato a questa pagina per la prima volta da un motore di ricerca, ti consiglio vivamente di leggere quanto sopra articolo introduttivo, perché per assimilare il materiale è necessario navigare nei termini e nella notazione che utilizzo, avere conoscenza di base sui vettori ed essere in grado di risolvere problemi elementari. Questa lezione è una logica continuazione dell'argomento e in essa analizzerò in dettaglio le attività tipiche che utilizzano il prodotto scalare dei vettori. Questo è molto Attività IMPORTANTE . Cerca di non saltare gli esempi, sono accompagnati da un utile bonus: la pratica ti aiuterà a consolidare il materiale coperto e a "mettere mano" sulla risoluzione di problemi comuni di geometria analitica.

Sommare vettori, moltiplicare un vettore per un numero…. Sarebbe ingenuo pensare che i matematici non abbiano inventato qualcos'altro. Oltre alle azioni già considerate, ci sono una serie di altre operazioni con i vettori, ovvero: prodotto scalare dei vettori, prodotto incrociato di vettori e prodotto misto di vettori. Il prodotto scalare dei vettori ci è familiare a scuola, gli altri due prodotti sono tradizionalmente legati al corso matematica superiore. Gli argomenti sono semplici, l'algoritmo per risolvere molti problemi è stereotipato e comprensibile. L'unica cosa. C'è una discreta quantità di informazioni, quindi è indesiderabile provare a padroneggiare e risolvere TUTTO E IN UNA VOLTA. Questo è particolarmente vero per i manichini, credetemi, l'autore non vuole assolutamente sentirsi come Chikatilo dalla matematica. Ebbene, non dalla matematica, ovviamente, =) Gli studenti più preparati possono utilizzare i materiali in modo selettivo, in un certo senso, per "acquisire" le conoscenze mancanti, per te sarò un innocuo Conte Dracula =)

Infine, apriamo un po' la porta e diamo un'occhiata a cosa succede quando due vettori si incontrano….

Definizione del prodotto scalare dei vettori.
Proprietà del prodotto scalare. Compiti tipici

Il concetto di prodotto punto

Primo circa angolo tra i vettori. Penso che tutti comprendano intuitivamente qual è l'angolo tra i vettori, ma per ogni evenienza, un po' di più. Considera vettori diversi da zero e . Se rimandiamo questi vettori da un punto arbitrario, otteniamo un'immagine che molti hanno già presentato mentalmente:

Lo confesso, qui ho descritto la situazione solo a livello di comprensione. Se hai bisogno di una definizione rigorosa dell'angolo tra i vettori, fai riferimento al libro di testo, ma per le attività pratiche, in linea di principio, non ne abbiamo bisogno. Anche QUI E OLTRE, a volte ignorerò i vettori zero a causa del loro basso significato pratico. Ho fatto una prenotazione specifica per i visitatori avanzati del sito, che possono rimproverarmi l'incompletezza teorica di alcune delle seguenti affermazioni.

può assumere valori da 0 a 180 gradi (da 0 a radianti) inclusi. Analiticamente dato di fatto si scrive come una doppia disuguaglianza: o (in radianti).

In letteratura, l'icona dell'angolo è spesso omessa e scritta semplicemente.

Definizione: Il prodotto scalare di due vettori è un NUMERO uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori e il coseno dell'angolo tra di loro:

Questa è una definizione piuttosto rigida.

Ci concentriamo sulle informazioni essenziali:

Designazione: il prodotto scalare è indicato da o semplicemente .

Il risultato dell'operazione è un NUMERO: Moltiplica un vettore per un vettore per ottenere un numero. Infatti, se le lunghezze dei vettori sono numeri, il coseno dell'angolo è un numero, quindi il loro prodotto sarà anche un numero

Solo un paio di esempi di riscaldamento:

Esempio 1

Soluzione: Usiamo la formula . In questo caso:

Risposta:

I valori del coseno possono essere trovati in tavola trigonometrica. Consiglio di stamparlo: sarà richiesto in quasi tutte le sezioni della torre e sarà richiesto molte volte.

Da un punto di vista puramente matematico, il prodotto scalare è adimensionale, cioè il risultato, in questo caso, è solo un numero e basta. Dal punto di vista dei problemi della fisica, il prodotto scalare ha sempre un certo significato fisico, ovvero, dopo il risultato, deve essere indicata l'una o l'altra unità fisica. L'esempio canonico di calcolo del lavoro di una forza può essere trovato in qualsiasi libro di testo (la formula è esattamente un prodotto scalare). Il lavoro di una forza è misurato in Joule, quindi la risposta sarà scritta in modo abbastanza specifico, ad esempio.

Esempio 2

Trova se , e l'angolo tra i vettori è .

Questo è un esempio di autodecisione, la risposta è alla fine della lezione.

Angolo tra vettori e valore del prodotto scalare

Nell'Esempio 1, il prodotto scalare è risultato positivo e nell'Esempio 2 è risultato negativo. Scopriamo da cosa dipende il segno del prodotto scalare. Diamo un'occhiata alla nostra formula: . Le lunghezze dei vettori diversi da zero sono sempre positive: , quindi il segno può dipendere solo dal valore del coseno.

Nota: Per una migliore comprensione delle informazioni seguenti, è meglio studiare il grafico del coseno nel manuale Grafici e proprietà delle funzioni. Guarda come si comporta il coseno sul segmento.

Come già notato, l'angolo tra i vettori può variare all'interno , e sono possibili i seguenti casi:

1) Se angolo tra vettori speziato: (da 0 a 90 gradi), quindi , e prodotto punto sarà positivo co-diretto, quindi l'angolo tra di loro è considerato zero e anche il prodotto scalare sarà positivo. Poiché , la formula è semplificata: .

2) Se angolo tra vettori stupido: (da 90 a 180 gradi), quindi e, di conseguenza, il prodotto a punti è negativo: . Caso speciale: se i vettori diretto in senso opposto, quindi viene considerato l'angolo tra di loro schierato: (180 gradi). Anche il prodotto scalare è negativo, poiché

Sono vere anche le affermazioni contrarie:

1) Se , allora l'angolo tra questi vettori è acuto. In alternativa, i vettori sono codirezionali.

2) Se , allora l'angolo tra questi vettori è ottuso. In alternativa, i vettori sono diretti in modo opposto.

Ma il terzo caso è di particolare interesse:

3) Se angolo tra vettori dritto: (90 gradi) quindi e il prodotto in punti è zero: . Vale anche il contrario: se , allora . L'affermazione compatta è formulata come segue: Il prodotto scalare di due vettori è zero se e solo se i vettori dati sono ortogonali. breve notazione matematica:

! Nota : ripetere fondamenti della logica matematica: l'icona della conseguenza logica a doppia faccia viene solitamente letta "se e solo allora", "se e solo se". Come puoi vedere, le frecce sono dirette in entrambe le direzioni - "da questo segue questo e viceversa - da questo segue questo". Qual è, a proposito, la differenza rispetto all'icona segui unidirezionale? Affermazioni di icone solo quello che "da questo segue questo", e non è un dato di fatto che sia vero il contrario. Ad esempio: , ma non tutti gli animali sono una pantera, quindi l'icona non può essere utilizzata in questo caso. Allo stesso tempo, al posto dell'icona Potere usa l'icona unilaterale. Ad esempio, risolvendo il problema, abbiamo scoperto di aver concluso che i vettori sono ortogonali: - tale record sarà corretto e anche più appropriato di .

Il terzo caso è di grande importanza pratica., poiché consente di verificare se i vettori sono ortogonali o meno. Risolveremo questo problema nella seconda sezione della lezione.

Proprietà del prodotto a punti

Torniamo alla situazione in cui due vettori co-diretto. In questo caso, l'angolo tra di loro zero, , e la formula del prodotto scalare assume la forma: .

Cosa succede se un vettore viene moltiplicato per se stesso? È chiaro che il vettore è co-diretto con se stesso, quindi utilizziamo la formula semplificata sopra:

Il numero è chiamato quadrato scalare vettore e sono indicati come .

In questo modo, il quadrato scalare di un vettore è uguale al quadrato della lunghezza del vettore dato:

Da questa uguaglianza, puoi ottenere una formula per calcolare la lunghezza di un vettore:

Anche se sembra oscuro, ma i compiti della lezione metteranno tutto al suo posto. Per risolvere i problemi, abbiamo anche bisogno proprietà del prodotto a punti.

Per vettori arbitrari e qualsiasi numero, sono vere le seguenti proprietà:

1) - spostabile o commutativo legge del prodotto scalare.

2) - distribuzione o distributivo legge del prodotto scalare. In poche parole, puoi aprire le parentesi.

3) - combinazione o associativo legge del prodotto scalare. La costante può essere estratta dal prodotto scalare.

Spesso, tutti i tipi di proprietà (che devono anche essere dimostrate!) Sono percepiti dagli studenti come Rifiuto, che deve solo essere memorizzato e dimenticato in modo sicuro subito dopo l'esame. Sembrerebbe che ciò che è importante qui, tutti sanno già dalla prima elementare che il prodotto non cambia da una permutazione dei fattori:. Devo avvertirti, nella matematica superiore con un approccio del genere è facile incasinare le cose. Quindi, ad esempio, la proprietà commutativa non è valida per matrici algebriche. Non è vero per prodotto incrociato di vettori. Pertanto, è almeno meglio approfondire tutte le proprietà che incontrerai nel corso della matematica superiore per capire cosa si può e non si può fare.

Esempio 3

.

Soluzione: Innanzitutto, chiariamo la situazione con il vettore. Cos'è tutto questo? La somma dei vettori e è un vettore ben definito, che è indicato con . L'interpretazione geometrica delle azioni con i vettori può essere trovata nell'articolo Vettori per manichini. Lo stesso prezzemolo con un vettore è la somma dei vettori e .

Quindi, in base alla condizione, è necessario trovare il prodotto scalare. In teoria, è necessario applicare la formula di lavoro , ma il problema è che non conosciamo le lunghezze dei vettori e l'angolo tra di loro. Ma nella condizione vengono forniti parametri simili per i vettori, quindi andremo dall'altra parte:

(1) Sostituiamo espressioni di vettori.

(2) Apriamo le parentesi secondo la regola della moltiplicazione dei polinomi, uno scioglilingua volgare si trova nell'articolo Numeri complessi o Integrazione di una funzione frazionario-razionale. Non mi ripeto =) A proposito, la proprietà distributiva del prodotto scalare ci permette di aprire le parentesi. Abbiamo il diritto.

(3) Nel primo e nell'ultimo termine, scriviamo in modo compatto i quadrati scalari dei vettori: . Nel secondo termine utilizziamo la commutabilità del prodotto scalare: .

(4) Ecco termini simili: .

(5) Nel primo termine, utilizziamo la formula del quadrato scalare, menzionata non molto tempo fa. Nell'ultimo termine, rispettivamente, la stessa cosa funziona: . Il secondo termine è ampliato secondo la formula standard .

(6) Sostituire queste condizioni , ed eseguire ATTENTAMENTE i calcoli finali.

Risposta:

Significato negativo prodotto scalare afferma il fatto che l'angolo tra i vettori è ottuso.

L'attività è tipica, ecco un esempio per una soluzione indipendente:

Esempio 4

Trova il prodotto scalare dei vettori e , se è noto .

Ora un altro compito comune, solo per la nuova formula della lunghezza del vettore. Le designazioni qui si sovrapporranno leggermente, quindi per chiarezza, lo riscriverò con una lettera diversa:

Esempio 5

Trova la lunghezza del vettore se .

Soluzione sarà il seguente:

(1) Fornire l'espressione vettoriale.

(2) Usiamo la formula della lunghezza: , mentre abbiamo un'espressione intera come vettore "ve".

(3) Usiamo la formula della scuola per il quadrato della somma. Presta attenzione a come funziona curiosamente qui: - in effetti, questo è il quadrato della differenza, e, in effetti, è così. Chi lo desidera può riordinare i vettori in luoghi: - è risultata la stessa cosa fino ad un riarrangiamento dei termini.

(4) Quanto segue è già familiare dai due problemi precedenti.

Risposta:

Dal momento che stiamo parlando di lunghezza, non dimenticare di indicare la dimensione - "unità".

Esempio 6

Trova la lunghezza del vettore se .

Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e la risposta alla fine della lezione.

Continuiamo a spremere cose utili dal prodotto scalare. Rivediamo la nostra formula . Con la regola della proporzione, ripristiniamo le lunghezze dei vettori al denominatore del lato sinistro:

Scambiamo le parti:

Qual è il significato di questa formula? Se si conoscono le lunghezze di due vettori e il loro prodotto scalare, è possibile calcolare il coseno dell'angolo tra questi vettori e, di conseguenza, l'angolo stesso.

Il prodotto scalare è un numero? Numero. Le lunghezze dei vettori sono numeri? Numeri. Quindi anche una frazione è un numero. E se si conosce il coseno dell'angolo: , quindi utilizzando funzione inversaè facile trovare l'angolo stesso: .

Esempio 7

Trova l'angolo tra i vettori e , se è noto .

Soluzione: Usiamo la formula:

Sul fase finale i calcoli utilizzavano una tecnica: l'eliminazione dell'irrazionalità nel denominatore. Per eliminare l'irrazionalità, ho moltiplicato numeratore e denominatore per .

Quindi se , poi:

Valori inversi funzioni trigonometriche può essere trovato da tavola trigonometrica. Anche se questo accade raramente. Nei problemi di geometria analitica, appare molto più spesso qualche goffo orso, e il valore dell'angolo va trovato approssimativamente usando una calcolatrice. In effetti, vedremo questa immagine ancora e ancora.

Risposta:

Ancora una volta, non dimenticare di specificare la dimensione: radianti e gradi. Personalmente, per “rimuovere deliberatamente tutte le domande”, preferisco indicarle entrambe (a meno che, ovviamente, per condizione, non sia richiesto di presentare la risposta solo in radianti o solo in gradi).

Ora puoi occuparti di più compito difficile:

Esempio 7*

Date sono le lunghezze dei vettori e l'angolo tra di loro. Trova l'angolo tra i vettori , .

Il compito non è tanto difficile quanto a più vie.
Analizziamo l'algoritmo risolutivo:

1) In base alla condizione, è necessario trovare l'angolo tra i vettori e , quindi è necessario utilizzare la formula .

2) Troviamo il prodotto scalare (vedi Esempi n. 3, 4).

3) Trova la lunghezza del vettore e la lunghezza del vettore (vedi Esempi n. 5, 6).

4) La fine della soluzione coincide con l'esempio n. 7 - conosciamo il numero , il che significa che è facile trovare l'angolo stesso:

Soluzione rapida e la risposta alla fine della lezione.

La seconda sezione della lezione è dedicata allo stesso prodotto scalare. Coordinate. Sarà ancora più facile che nella prima parte.

Prodotto scalare di vettori,
data da coordinate in base ortonormale

Risposta:

Inutile dire che trattare con le coordinate è molto più piacevole.

Esempio 14

Trova il prodotto scalare dei vettori e se

Questo è un esempio fai da te. Qui puoi usare l'associatività dell'operazione, cioè non contare, ma estrarre immediatamente il triplo dal prodotto scalare e moltiplicarlo per ultimo. Soluzione e risposta alla fine della lezione.

Alla fine del paragrafo, un esempio provocatorio di calcolo della lunghezza di un vettore:

Esempio 15

Trova le lunghezze dei vettori , Se

Soluzione: di nuovo chiedendo un modo sezione precedente: , ma c'è un altro modo:

Troviamo il vettore:

E la sua lunghezza dalla formula banale :

Il prodotto scalare non è affatto rilevante qui!

Quanto è fuori mercato quando si calcola la lunghezza di un vettore:
Fermare. Perché non sfruttare l'ovvia proprietà della lunghezza di un vettore? Cosa si può dire della lunghezza di un vettore? Questo vettore è 5 volte più lungo del vettore. La direzione è opposta, ma non importa, perché stiamo parlando di lunghezza. Ovviamente, la lunghezza del vettore è uguale al prodotto modulo numeri per lunghezza del vettore:
- il segno del modulo "mangia" il possibile meno del numero.

In questo modo:

Risposta:

La formula per il coseno dell'angolo tra i vettori che sono dati dalle coordinate

Ora abbiamo informazioni complete in modo che la formula precedentemente derivata per il coseno dell'angolo tra i vettori esprimere in termini di coordinate vettoriali:

Coseno dell'angolo tra vettori piani e, dato in base ortonormale, è espresso dalla formula:
.

Coseno dell'angolo tra vettori spaziali, dato in base ortonormale , è espresso dalla formula:

Esempio 16

Sono dati tre vertici di un triangolo. Trova (angolo al vertice).

Soluzione: Per condizione, il disegno non è richiesto, ma comunque:

L'angolo richiesto è contrassegnato da un arco verde. Ricorda immediatamente la designazione della scuola dell'angolo: - Attenzione speciale sul mezzo lettera - questo è il vertice dell'angolo di cui abbiamo bisogno. Per brevità, potrebbe anche essere scritto semplicemente.

Dal disegno è abbastanza evidente che l'angolo del triangolo coincide con l'angolo tra i vettori e, in altre parole: .

È auspicabile imparare come eseguire l'analisi eseguita mentalmente.

Troviamo i vettori:

Calcoliamo il prodotto scalare:

E le lunghezze dei vettori:

Coseno di un angolo:

È questo ordine del compito che raccomando ai manichini. I lettori più avanzati possono scrivere i calcoli "in una riga":

Ecco un esempio di un valore del coseno "cattivo". Il valore risultante non è definitivo, quindi no significato speciale sbarazzarsi dell'irrazionalità nel denominatore.

Troviamo l'angolo:

Se guardi il disegno, il risultato è abbastanza plausibile. Per controllare l'angolo può essere misurato anche con un goniometro. Non danneggiare il rivestimento del monitor =)

Risposta:

Nella risposta, non dimenticarlo chiesto dell'angolo del triangolo(e non sull'angolo tra i vettori), non dimenticare di indicare la risposta esatta: e il valore approssimativo dell'angolo: trovato con una calcolatrice.

Coloro che hanno apprezzato il processo possono calcolare gli angoli e assicurarsi che l'uguaglianza canonica sia vera

Esempio 17

Un triangolo è dato nello spazio dalle coordinate dei suoi vertici. Trova l'angolo tra i lati e

Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione

Una piccola sezione finale sarà dedicata alle proiezioni, in cui è “coinvolto” anche il prodotto scalare:

Proiezione di un vettore su un vettore. Proiezione vettoriale sugli assi delle coordinate.
Coseni di direzione vettoriale

Considera i vettori e:

Proiettiamo il vettore sul vettore, per questo omettiamo dall'inizio e dalla fine del vettore perpendicolari per vettore (linee tratteggiate verdi). Immagina che i raggi di luce cadano perpendicolarmente su un vettore. Quindi il segmento (linea rossa) sarà l'"ombra" del vettore. In questo caso, la proiezione di un vettore su un vettore è la LUNGHEZZA del segmento. Cioè, LA PROIEZIONE È UN NUMERO.

Questo NUMERO è indicato come segue: , "vettore grande" indica un vettore QUALE IL progetto, "vettore pedice piccolo" indica il vettore SUL che è proiettato.

La voce stessa recita così: “la proiezione del vettore “a” sul vettore “essere””.

Cosa succede se il vettore "be" è "troppo corto"? Tracciamo una linea retta contenente il vettore "be". E il vettore "a" sarà già proiettato nella direzione del vettore "be", semplicemente - su una linea retta contenente il vettore "be". La stessa cosa accadrà se il vettore "a" viene messo da parte nel trentesimo regno: sarà comunque facilmente proiettato sulla linea contenente il vettore "essere".

Se l'angolo tra vettori speziato(come nella foto), quindi

Se i vettori ortogonale, quindi (la proiezione è un punto le cui dimensioni si presume siano zero).

Se l'angolo tra vettori stupido(nella figura, riordina mentalmente la freccia del vettore), quindi (della stessa lunghezza, ma presa con un segno meno).

Metti da parte questi vettori da un punto:

Ovviamente, spostando un vettore, la sua proiezione non cambia

Angolo tra due vettori,:

Se l'angolo tra due vettori è acuto, il loro prodotto scalare è positivo; se l'angolo tra i vettori è ottuso, il prodotto scalare di questi vettori è negativo. Il prodotto scalare di due vettori diversi da zero è zero se e solo se questi vettori sono ortogonali.

Esercizio. Trova l'angolo tra i vettori e

Soluzione. Coseno dell'angolo desiderato

16. Calcolo dell'angolo tra rette, una retta e un piano

Angolo tra linea e piano intersecante questa linea e non perpendicolare ad essa è l'angolo tra la linea e la sua proiezione su questo piano.

Determinare l'angolo tra una retta e un piano permette di concludere che l'angolo tra una retta e un piano è l'angolo tra due rette che si intersecano: la retta stessa e la sua proiezione sul piano. Pertanto, l'angolo tra una linea e un piano è un angolo acuto.

L'angolo tra una retta perpendicolare e un piano è considerato uguale a e l'angolo tra una retta parallela e un piano non è affatto determinato o è considerato uguale a .

§ 69. Calcolo dell'angolo tra rette.

Il problema del calcolo dell'angolo tra due rette nello spazio è risolto allo stesso modo del piano (§ 32). Indichiamo con φ l'angolo tra le linee l 1 e l 2 , e attraverso ψ - l'angolo tra i vettori di direzione un e b queste linee rette.

Allora se

ψ 90° (Fig. 206.6), quindi φ = 180° - ψ. È ovvio che in entrambi i casi l'uguaglianza cos φ = |cos ψ| è vera. Per la formula (1) § 20 abbiamo

Di conseguenza,

Sia le rette date dalle loro equazioni canoniche

Quindi l'angolo φ tra le linee viene determinato utilizzando la formula

Se una delle linee (o entrambe) è data da equazioni non canoniche, per calcolare l'angolo è necessario trovare le coordinate dei vettori di direzione di queste linee e quindi utilizzare la formula (1).

17. Rette parallele, Teoremi su rette parallele

Definizione. Si chiamano due rette in un piano parallelo se non hanno punti in comune.

Si chiamano due linee in tre dimensioni parallelo se giacciono sullo stesso piano e non hanno punti in comune.

Angolo tra due vettori.

Dalla definizione del prodotto scalare:

.

Condizione di ortogonalità di due vettori:

Condizione di collinearità per due vettori:

.

Segue dalla definizione 5 - . Infatti, dalla definizione del prodotto di un vettore per un numero, segue. Pertanto, in base alla regola di uguaglianza dei vettori, scriviamo , , , che implica . Ma il vettore risultante dalla moltiplicazione di un vettore per un numero è collineare al vettore.

Proiezione da vettore a vettore:

.

Esempio 4. Dati punti , , , .

Trova il prodotto scalare.

Soluzione. troviamo dalla formula del prodotto scalare dei vettori dato dalle loro coordinate. Perché il

, ,

Esempio 5 Dati punti , , , .

Trova la proiezione.

Soluzione. Perché il

, ,

Sulla base della formula di proiezione, abbiamo

.

Esempio 6 Dati punti , , , .

Trova l'angolo tra i vettori e .

Soluzione. Nota che i vettori

, ,

non sono collineari, poiché le loro coordinate non sono proporzionali:

.

Anche questi vettori non sono perpendicolari, poiché il loro prodotto scalare è .

Cerchiamo,

Angolo trova dalla formula:

.

Esempio 7 Determina per quali vettori e collineare.

Soluzione. Nel caso di collinearità, le corrispondenti coordinate dei vettori e deve essere proporzionale, ovvero:

.

Da qui e .

Esempio 8. Determina a quale valore del vettore e sono perpendicolari.

Soluzione. Vettore e sono perpendicolari se il loro prodotto scalare è zero. Da questa condizione si ottiene: . Questo è, .

Esempio 9. Trova , Se , , .

Soluzione. A causa delle proprietà del prodotto scalare, abbiamo:

Esempio 10. Trova l'angolo tra i vettori e , dove e - vettori unitari e l'angolo tra i vettori ed è uguale a 120o.

Soluzione. Abbiamo: , ,

Infine abbiamo: .

5B. prodotto vettoriale.

Definizione 21.arte vettoriale da vettore a vettore è chiamato vettore , o , definito dalle seguenti tre condizioni:

1) Il modulo del vettore è , dove è l'angolo tra i vettori e , cioè .

Ne consegue che il modulo del prodotto vettoriale è numericamente uguale ad area parallelogramma costruito sui vettori e come sui lati.

2) Il vettore è perpendicolare a ciascuno dei vettori e ( ; ), cioè perpendicolare al piano del parallelogramma costruito sui vettori e .

3) Il vettore è diretto in modo tale che, se visto dalla sua estremità, il giro più breve da vettore a vettore sarebbe in senso antiorario (vettori , , formano una tripla destra).

Come calcolare gli angoli tra i vettori?

Quando si studia la geometria, sorgono molte domande sul tema dei vettori. Lo studente incontra particolari difficoltà quando è necessario trovare gli angoli tra i vettori.

Termini di base

Prima di considerare gli angoli tra vettori, è necessario familiarizzare con la definizione di vettore e il concetto di angolo tra vettori.

Un vettore è un segmento che ha una direzione, cioè un segmento per il quale sono definiti il ​​suo inizio e la sua fine.

L'angolo tra due vettori su un piano che hanno un'origine comune è il più piccolo degli angoli, per cui è necessario spostare uno dei vettori attorno a un punto comune, in una posizione in cui le loro direzioni coincidono.

Formula di soluzione

Una volta capito cos'è un vettore e come viene determinato il suo angolo, puoi calcolare l'angolo tra i vettori. La formula di soluzione per questo è abbastanza semplice e il risultato della sua applicazione sarà il valore del coseno dell'angolo. Per definizione, è uguale al quoziente del prodotto scalare dei vettori e del prodotto delle loro lunghezze.

Il prodotto scalare dei vettori è considerato come la somma delle corrispondenti coordinate dei vettori moltiplicatori moltiplicate tra loro. La lunghezza di un vettore, o il suo modulo, è calcolata come radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate.

Dopo aver ricevuto il valore del coseno dell'angolo, è possibile calcolare il valore dell'angolo stesso utilizzando una calcolatrice o utilizzando una tabella trigonometrica.

Esempio

Dopo aver capito come calcolare l'angolo tra i vettori, la soluzione al problema corrispondente diventa semplice e diretta. Ad esempio, consideriamo il semplice problema di trovare l'ampiezza di un angolo.

Innanzitutto sarà più conveniente calcolare i valori ​​delle lunghezze dei vettori e il loro prodotto scalare necessario per la risoluzione. Usando la descrizione sopra, otteniamo:

Sostituendo i valori ottenuti nella formula, calcoliamo il valore del coseno dell'angolo desiderato:

Questo numero non è uno dei cinque valori del coseno comuni, quindi per ottenere il valore dell'angolo, dovrai utilizzare una calcolatrice o la tabella trigonometrica di Bradis. Ma prima di ottenere l'angolo tra i vettori, la formula può essere semplificata per eliminare il segno extra negativo:

La risposta finale può essere lasciata in questo modulo per mantenere la precisione, oppure puoi calcolare il valore dell'angolo in gradi. Secondo la tabella Bradis, il suo valore sarà di circa 116 gradi e 70 minuti e la calcolatrice mostrerà un valore di 116,57 gradi.

Calcolo dell'angolo nello spazio n-dimensionale

Quando si considerano due vettori nello spazio tridimensionale, è molto più difficile capire di quale angolo stiamo parlando se non giacciono sullo stesso piano. Per semplificare la percezione, puoi disegnare due segmenti intersecanti che formano l'angolo più piccolo tra loro e sarà quello desiderato. Nonostante la presenza di una terza coordinata nel vettore, il processo di calcolo degli angoli tra i vettori non cambierà. Calcola il prodotto scalare e i moduli dei vettori, l'arcoseno del loro quoziente e sarà la risposta a questo problema.

In geometria, spesso si verificano problemi con spazi che hanno più di tre dimensioni. Ma per loro, l'algoritmo per trovare la risposta è simile.

Differenza tra 0 e 180 gradi

Uno degli errori comuni quando si scrive una risposta a un problema progettato per calcolare l'angolo tra i vettori è la decisione di scrivere che i vettori sono paralleli, ovvero l'angolo desiderato è risultato essere 0 o 180 gradi. Questa risposta non è corretta.

Avendo ricevuto un valore di angolo di 0 gradi come risultato della soluzione, la risposta corretta sarebbe designare i vettori come co-direzionali, cioè i vettori avranno la stessa direzione. Nel caso di ottenere 180 gradi, i vettori saranno nella natura di direzioni opposte.

Vettori specifici

Trovando gli angoli tra i vettori, si può trovare uno dei tipi speciali, oltre a quelli co-diretti e opposti descritti sopra.

• Più vettori paralleli ad un piano sono detti complanari.
• I vettori uguali in lunghezza e direzione sono detti uguali.
• I vettori che giacciono sulla stessa retta, indipendentemente dalla direzione, sono detti collineari.
• Se la lunghezza del vettore è uguale a zero, cioè il suo inizio e la sua fine coincidono, viene chiamato zero e se è uno, viene chiamato uno.

Come trovare l'angolo tra i vettori?

aiutami per favore! Conosco la formula ma non riesco a capirla
vettore a (8; 10; 4) vettore b (5; -20; -10)

Alessandro Titov

L'angolo tra i vettori dato dalle loro coordinate si trova secondo l'algoritmo standard. Per prima cosa devi trovare il prodotto scalare dei vettori aeb: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Sostituiamo qui le coordinate di questi vettori e consideriamo:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Successivamente, determiniamo le lunghezze di ciascuno dei vettori. La lunghezza o modulo di un vettore è la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate:
|a| = radice di (x1^2 + y1^2 + z1^2) = radice di (8^2 + 10^2 + 4^2) = radice di (64 + 100 + 16) = radice di 180 = 6 radici di 5
|b| = radice quadrata di (x2^2 + y2^2 + z2^2) = radice quadrata di (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = radice quadrata di (25 + 400 + 100 ) = radice quadrata su 525 = 5 radici su 21.
Moltiplichiamo queste lunghezze. Otteniamo 30 radici su 105.
Infine, dividiamo il prodotto scalare dei vettori per il prodotto delle lunghezze di questi vettori. Otteniamo -200 / (30 radici su 105) o
- (4 radici di 105) / 63. Questo è il coseno dell'angolo tra i vettori. E l'angolo stesso è uguale all'arcocoseno di questo numero
f \u003d arccos (-4 radici di 105) / 63.
Se ho contato correttamente.

Come calcolare il seno di un angolo tra vettori dalle coordinate dei vettori

Mikhail Tkachev

Moltiplichiamo questi vettori. Il loro prodotto scalare è uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori e del coseno dell'angolo tra di loro.
L'angolo ci è sconosciuto, ma le coordinate sono note.
Scriviamolo matematicamente in questo modo.
Sia, dati i vettori a(x1;y1) e b(x2;y2)
Quindi

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Discutiamo.
a*b-prodotto scalare dei vettori è uguale alla somma dei prodotti delle corrispondenti coordinate delle coordinate di questi vettori, cioè uguale a x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-prodotto delle lunghezze dei vettori è uguale a √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Quindi il coseno dell'angolo tra i vettori è:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Conoscendo il coseno di un angolo, possiamo calcolarne il seno. Discutiamo come farlo:

Se il coseno di un angolo è positivo, allora questo angolo giace in 1 o 4 quarti, quindi il suo seno è positivo o negativo. Ma poiché l'angolo tra i vettori è inferiore o uguale a 180 gradi, il suo seno è positivo. Parliamo allo stesso modo se il coseno è negativo.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Questo è tutto)))) buona fortuna a capirlo)))

Dmitrij Levišchev

Il fatto che sia impossibile seno diretto non è vero.
Oltre alla formula:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
C'è anche questo:
||=|a|*|b|*peccato A
Cioè, invece del prodotto scalare, puoi prendere il modulo del prodotto vettoriale.