Quali numeri sono irrazionali. Numeri razionali e irrazionali

Definizione di numero irrazionale

I numeri irrazionali sono quei numeri che, in notazione decimale, sono infinite frazioni decimali non periodiche.

Ad esempio, i numeri ottenuti prendendo la radice quadrata di numeri naturali, sono irrazionali e non sono quadrati di numeri naturali. Ma non tutti i numeri irrazionali si ottengono estraendo radici quadrate, perché anche il numero "pi" ottenuto dalla divisione è irrazionale ed è improbabile che lo si ottenga quando si tenta di estrarre la radice quadrata di un numero naturale.

Proprietà dei numeri irrazionali

A differenza dei numeri scritti in infinite frazioni decimali, solo i numeri irrazionali vengono scritti in infinite frazioni decimali non periodiche.
La somma di due numeri irrazionali non negativi può eventualmente essere un numero razionale.
Numeri irrazionali definire le sezioni di Dedekind nell'insieme dei numeri razionali, nella classe inferiore che non hanno il un largo numero, e non ce n'è uno più piccolo in quello superiore.
Qualsiasi numero trascendentale reale è irrazionale.
Tutti i numeri irrazionali sono algebrici o trascendentali.
L'insieme dei numeri irrazionali sulla linea è densamente imballato, e tra due qualsiasi dei suoi numeri c'è necessariamente un ir numero razionale.
L'insieme dei numeri irrazionali è infinito, non numerabile ed è un insieme della 2a categoria.
Quando si esegue qualsiasi operazione aritmetica sui numeri razionali, eccetto la divisione per 0, il suo risultato sarà un numero razionale.
Quando si aggiunge un numero razionale a un numero irrazionale, il risultato è sempre un numero irrazionale.
Quando aggiungiamo numeri irrazionali, possiamo ottenere un numero razionale come risultato.
L'insieme dei numeri irrazionali non è pari.

I numeri non sono irrazionali

A volte è abbastanza difficile rispondere alla domanda se un numero sia irrazionale, specialmente nei casi in cui il numero è sotto forma di frazione decimale o sotto forma di espressione numerica, radice o logaritmo.

Pertanto, non sarà superfluo sapere quali numeri non sono irrazionali. Se seguiamo la definizione di numeri irrazionali, sappiamo già che i numeri razionali non possono essere irrazionali.

I numeri irrazionali non sono:

Primo, tutti i numeri naturali;
In secondo luogo, numeri interi;
In terzo luogo, le frazioni ordinarie;
In quarto luogo, diversi numeri misti;
Quinto, queste sono infinite frazioni decimali periodiche.

Oltre a tutto quanto sopra, qualsiasi combinazione di numeri razionali eseguita dai segni di operazioni aritmetiche, come +, -, , :, non può essere un numero irrazionale, poiché in questo caso il risultato di due numeri razionali sarà anche essere un numero razionale.

Ora vediamo quali dei numeri sono irrazionali:

Conoscete l'esistenza di un fan club in cui i fan di questo misterioso fenomeno matematico cercano nuove informazioni su Pi, cercando di svelarne il mistero. Qualsiasi persona che conosca a memoria un certo numero di numeri Pi dopo la virgola può diventare un membro di questo club;

Lo sapevi che in Germania, sotto la protezione dell'UNESCO, c'è il palazzo Castadel Monte, grazie alle proporzioni di cui puoi calcolare Pi. Un intero palazzo fu dedicato a questo numero dal re Federico II.

Si scopre che hanno cercato di utilizzare il numero Pi nella costruzione della Torre di Babele. Ma con nostro grande rammarico, ciò portò al crollo del progetto, poiché a quel tempo il calcolo esatto del valore di Pi non era sufficientemente studiato.

La cantante Kate Bush nel suo nuovo disco ha registrato una canzone chiamata "Pi", in cui suonavano centoventiquattro numeri della famosa serie 3, 141 ... ..

L'insieme di tutti i numeri naturali è indicato dalla lettera N. I numeri naturali sono i numeri che usiamo per contare gli oggetti: 1,2,3,4, ... In alcune fonti, il numero 0 è anche riferito ai numeri naturali.

L'insieme di tutti gli interi è indicato dalla lettera Z. Gli interi sono tutti numeri naturali, zero e numeri negativi:

1,-2,-3, -4, …

Ora aggiungiamo all'insieme di tutti gli interi l'insieme di tutti frazioni ordinarie: 2/3, 18/17, -4/5 e così via. Quindi otteniamo l'insieme di tutti i numeri razionali.

Insieme di numeri razionali

L'insieme di tutti i numeri razionali è indicato dalla lettera Q. L'insieme di tutti i numeri razionali (Q) è l'insieme costituito da numeri della forma m/n, -m/n e il numero 0. In come n, m può essere qualsiasi numero naturale. Va notato che tutti i numeri razionali possono essere rappresentati come una frazione decimale PERIODICA finita o infinita. È anche vero il contrario, che qualsiasi frazione decimale periodica finita o infinita può essere scritta come un numero razionale.

Ma che dire, ad esempio, del numero 2.0100100010…? È un decimale infinitamente NON PERIODICO. E non si applica ai numeri razionali.

Nel corso scolastico di algebra si studiano solo i numeri reali (o reali). Molti di tutti numeri reali denotato dalla lettera R. L'insieme R è costituito da tutti i numeri razionali e tutti irrazionali.

Il concetto di numeri irrazionali

I numeri irrazionali sono tutte infinite frazioni decimali non periodiche. I numeri irrazionali non hanno notazioni speciali.

Ad esempio, tutti i numeri ottenuti estraendo la radice quadrata di numeri naturali che non sono quadrati di numeri naturali saranno irrazionali. (√2, √3, √5, √6, ecc.).

Ma non pensare che i numeri irrazionali si ottengano solo estraendo radici quadrate. Ad esempio, anche il numero "pi" è irrazionale e si ottiene per divisione. E non importa quanto ci provi, non puoi ottenerlo prendendo la radice quadrata di qualsiasi numero naturale.

Con un segmento di lunghezza unitaria, i matematici antichi lo sapevano già: conoscevano, ad esempio, l'incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, che equivale all'irrazionalità del numero.

Irrazionali sono:

Esempi di prova di irrazionalità

Radice di 2

Supponiamo il contrario: è razionale, cioè è rappresentato come una frazione irriducibile, dove e sono interi. Mettiamo al quadrato la presunta uguaglianza:

Da ciò ne consegue che anche, quindi, pari e . Lascia dove il tutto. Quindi

Pertanto, anche, quindi, pari e . L'abbiamo ottenuto e siamo pari, il che contraddice l'irriducibilità della frazione. Quindi, l'ipotesi originale era sbagliata ed è un numero irrazionale.

Logaritmo binario del numero 3

Supponiamo il contrario: è razionale, cioè è rappresentato come una frazione, dove e sono interi. Poiché , e può essere considerato positivo. Quindi

Ma è chiaro, è strano. Otteniamo una contraddizione.

e

Storia

Il concetto di numeri irrazionali fu adottato implicitamente dai matematici indiani nel VII secolo a.C., quando Manawa (c. 750 a.C. - c. 690 a.C.) scoprì che le radici quadrate di alcuni numeri naturali, come 2 e 61, non possono essere espresse esplicitamente.

La prima prova dell'esistenza di numeri irrazionali è solitamente attribuita a Ippaso di Metaponto (500 aC circa), un pitagorico che trovò questa prova studiando le lunghezze dei lati di un pentagramma. Al tempo dei Pitagorici si credeva che esistesse un'unica unità di lunghezza, sufficientemente piccola e indivisibile, che è un numero intero di volte compreso in ogni segmento. Tuttavia, Ippaso ha sostenuto che non esiste una singola unità di lunghezza, poiché l'ipotesi della sua esistenza porta a una contraddizione. Ha mostrato che se l'ipotenusa di un isoscele triangolo rettangolo contiene un numero intero di segmenti unitari, quindi questo numero deve essere sia pari che dispari allo stesso tempo. La dimostrazione si presentava così:

Il rapporto tra la lunghezza dell'ipotenusa e la lunghezza della gamba di un triangolo rettangolo isoscele può essere espresso come un:b, dove un e b selezionato come il più piccolo possibile.
Secondo il teorema di Pitagora: un² = 2 b².
Come un² anche, un deve essere pari (poiché il quadrato di un numero dispari sarebbe dispari).
Nella misura in cui un:b irriducibile b deve essere strano.
Come un anche, denotare un = 2y.
Quindi un² = 4 y² = 2 b².
b² = 2 y², quindi bè pari, quindi b Anche.
Tuttavia, è stato dimostrato che b strano. Contraddizione.

I matematici greci chiamavano questo rapporto di quantità incommensurabili alogos(inesprimibile), ma secondo le leggende, Ippaso non riceveva il dovuto rispetto. C'è una leggenda secondo cui Ippaso fece la scoperta durante un viaggio per mare e fu gettato in mare da altri pitagorici "per aver creato un elemento dell'universo, che nega la dottrina secondo cui tutte le entità nell'universo possono essere ridotte a numeri interi e ai loro rapporti. " La scoperta di Ippa precede la matematica pitagorica problema serio, distruggendo l'assunto che sta alla base dell'intera teoria che i numeri e gli oggetti geometrici siano uno e inseparabile.

Guarda anche

Appunti

Sistemi numerici
Conteggio imposta	Numeri naturali () Interi ()

Un numero razionale è un numero che può essere rappresentato come una frazione, dove . Q è l'insieme di tutti i numeri razionali.

I numeri razionali si dividono in: positivo, negativo e zero.

Ogni numero razionale può essere associato a un singolo punto sulla linea delle coordinate. La relazione "a sinistra" per i punti corrisponde alla relazione "minore di" per le coordinate di questi punti. Si può vedere che ogni numero negativo è minore di zero e ogni numero positivo; di due numeri negativi, quello il cui modulo è maggiore è minore. Quindi, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione periodica decimale. Per esempio, .

Gli algoritmi per le operazioni sui numeri razionali seguono dalle regole dei segni per le corrispondenti operazioni su zero e frazioni positive. Q esegue una divisione diversa dalla divisione per zero.

Qualsiasi equazione lineare, cioè. equazione della forma ax+b=0, dove , è risolvibile sull'insieme Q, ma non qualsiasi equazione quadrata tipo , è risolvibile in numeri razionali. Non tutti i punti di una linea coordinata hanno un punto razionale. Anche alla fine del VI sec. n. Nella scuola di Pitagora si è dimostrato che la diagonale di un quadrato non è commisurata alla sua altezza, il che equivale all'affermazione: "L'equazione non ha radici razionali". Tutto quanto sopra ha portato alla necessità di ampliare l'insieme Q, è stato introdotto il concetto di numero irrazionale. Indica l'insieme di numeri irrazionali con la lettera J .

Su una linea di coordinate, tutti i punti che non hanno coordinate razionali hanno coordinate irrazionali. , dove r sono insiemi di numeri reali. in modo universale le assegnazioni di numeri reali sono decimali. I decimali periodici definiscono i numeri razionali e i decimali non periodici definiscono i numeri irrazionali. Quindi, 2.03 (52) è un numero razionale, 2.03003000300003 ... (il periodo di ogni cifra "3" successiva è scritto uno zero in più) è un numero irrazionale.

Gli insiemi Q e R hanno le proprietà di positività: tra due numeri razionali qualsiasi c'è un numero razionale, ad esempio ecoi a

Per ogni numero irrazionale α si può specificare un'approssimazione razionale sia con una carenza che con un eccesso con una certa precisione: a< α

L'operazione di estrazione di una radice da alcuni numeri razionali porta a numeri irrazionali. L'estrazione della radice di un grado naturale è un'operazione algebrica, cioè la sua introduzione è connessa con la soluzione di un'equazione algebrica della forma . Se n è dispari, cioè n=2k+1, dove , allora l'equazione ha una sola radice. Se n è pari, n=2k, dove , allora per a=0 l'equazione ha un'unica radice x=0, per a<0 корней нет, при a>0 ha due radici opposte l'una all'altra. L'estrazione di una radice è l'operazione inversa dell'elevazione a una potenza naturale.

La radice aritmetica (per brevità, la radice) dell'ennesimo grado di un numero non negativo a è un numero b non negativo, che è la radice dell'equazione. La radice dell'ennesimo grado dal numero a è indicata dal simbolo. Per n=2, il grado della radice 2 non è indicato: .

Ad esempio, perché 2 2 =4 e 2>0; , perché 3 3 =27 e 3>0; non esiste perché -4<0.

Per n=2k e a>0, le radici dell'equazione (1) sono scritte come e . Ad esempio, le radici dell'equazione x 2 \u003d 4 sono 2 e -2.

Per n dispari, l'equazione (1) ha un'unica radice per qualsiasi . Se a≥0, allora - la radice di questa equazione. Se un<0, то –а>0 e - la radice dell'equazione. Quindi, l'equazione x 3 \u003d 27 ha una radice.

Cosa sono i numeri irrazionali? Perché si chiamano così? Dove si usano e cosa sono? Pochi possono rispondere a queste domande senza esitazione. Ma in realtà le risposte sono abbastanza semplici, anche se non tutti ne hanno bisogno e in situazioni molto rare.

Essenza e designazione

I numeri irrazionali sono infiniti non periodici La necessità di introdurre questo concetto è dovuta al fatto che per risolvere nuovi problemi emergenti non erano più sufficienti i concetti precedentemente esistenti di numeri reali o reali, interi, naturali e razionali. Ad esempio, per calcolare qual è il quadrato di 2, è necessario utilizzare decimali infiniti non ricorrenti. Inoltre, molte delle equazioni più semplici non hanno soluzione senza introdurre il concetto di numero irrazionale.

Questo insieme è indicato come I. E, come è già chiaro, questi valori non possono essere rappresentati come una semplice frazione, nel numeratore di cui ci sarà un intero, e nel denominatore -

Per la prima volta, in un modo o nell'altro, i matematici indiani incontrarono questo fenomeno nel VII secolo, quando si scoprì che le radici quadrate di alcune quantità non possono essere indicate esplicitamente. E la prima prova dell'esistenza di tali numeri è attribuita al pitagorico Ippaso, che lo fece mentre studiava un triangolo rettangolo isoscele. Un serio contributo allo studio di questo set è stato dato da altri scienziati vissuti prima della nostra era. L'introduzione del concetto di numeri irrazionali ha comportato una revisione del sistema matematico esistente, motivo per cui sono così importanti.

origine del nome

Se ratio in latino è "frazione", "ratio", allora il prefisso "ir"
dà alla parola il significato opposto. Pertanto, il nome dell'insieme di questi numeri indica che non possono essere correlati con un numero intero o frazionario, hanno un posto separato. Ciò deriva dalla loro natura.

Posto nella classifica generale

I numeri irrazionali, insieme a quelli razionali, appartengono al gruppo dei numeri reali o reali, che a loro volta sono complessi. Non ci sono sottoinsiemi, tuttavia, ci sono varietà algebriche e trascendentali, che verranno discusse di seguito.

Proprietà

Poiché i numeri irrazionali fanno parte dell'insieme dei numeri reali, ad essi si applicano tutte le loro proprietà studiate in aritmetica (sono anche chiamate leggi algebriche di base).

a + b = b + a (commutatività);

(a + b) + c = a + (b + c) (associatività);

a + (-a) = 0 (l'esistenza del numero opposto);

ab = ba (legge di spostamento);

(ab)c = a(bc) (distributività);

a(b+c) = ab + ac (legge distributiva);

a x 1/a = 1 (l'esistenza di un numero inverso);

Il confronto viene effettuato anche nel rispetto delle leggi e dei principi generali:

Se a > b e b > c, allora a > c (transitività della relazione) e. eccetera.

Naturalmente, tutti i numeri irrazionali possono essere trasformati usando la base operazioni aritmetiche. Non ci sono regole speciali per questo.

Inoltre, l'azione dell'assioma di Archimede si estende ai numeri irrazionali. Dice che per due quantità qualsiasi aeb, è vera l'affermazione che prendendo a come termine un numero sufficiente di volte, è possibile superare b.

Utilizzo

Nonostante il fatto che in vita ordinaria non così spesso devi affrontarli, i numeri irrazionali non sono numerabili. Ce ne sono molti, ma sono quasi invisibili. Siamo circondati da numeri irrazionali ovunque. Esempi familiari a tutti sono pi, che è 3.1415926... o e, che è essenzialmente la base logaritmo naturale, 2.718281828... In algebra, trigonometria e geometria, devi usarle sempre. A proposito, il famoso significato della "sezione aurea", ovvero il rapporto tra la parte maggiore e la minore, e viceversa, anche

appartiene a questo insieme. Anche "argento" meno conosciuto.

Sulla retta dei numeri si trovano in una posizione molto densa, così che tra due quantità qualsiasi relative all'insieme di quelle razionali, è sicuro che se ne verifichi una irrazionale.

Ci sono ancora molti problemi irrisolti associati a questo set. Esistono criteri come la misura dell'irrazionalità e la normalità di un numero. I matematici continuano a esaminare gli esempi più significativi della loro appartenenza a un gruppo oa un altro. Ad esempio, si considera che e sia un numero normale, cioè la probabilità che diverse cifre appaiano nella sua voce sia la stessa. Per quanto riguarda pi, la ricerca è ancora in corso al riguardo. Una misura di irrazionalità è un valore che mostra quanto bene un determinato numero può essere approssimato da numeri razionali.

Algebrico e trascendentale

Come già accennato, i numeri irrazionali sono condizionalmente divisi in algebrici e trascendentali. Condizionalmente, poiché, in senso stretto, questa classificazione è usata per dividere l'insieme C.

Sotto questa designazione, i numeri complessi sono nascosti, che includono numeri reali o reali.

Quindi, un valore algebrico è un valore che è la radice di un polinomio che non è identico a zero. Ad esempio, la radice quadrata di 2 sarebbe in questa categoria perché è la soluzione dell'equazione x 2 - 2 = 0.

Tutti gli altri numeri reali che non soddisfano questa condizione sono detti trascendentali. Questa varietà include gli esempi più famosi e già citati: il numero pi e la base del logaritmo naturale e.

È interessante notare che né l'uno né il secondo sono stati originariamente dedotti dai matematici in questa capacità, la loro irrazionalità e trascendenza sono state dimostrate molti anni dopo la loro scoperta. Per pi, la dimostrazione fu data nel 1882 e semplificata nel 1894, il che pose fine a 2.500 anni di controversia sul problema della quadratura del cerchio. Non è ancora completamente compreso, quindi i matematici moderni hanno qualcosa su cui lavorare. A proposito, il primo calcolo sufficientemente accurato di questo valore è stato effettuato da Archimede. Prima di lui, tutti i calcoli erano troppo approssimativi.

Per e (il numero di Eulero o di Napier), una prova della sua trascendenza è stata trovata nel 1873. È usato nella risoluzione di equazioni logaritmiche.

Altri esempi includono valori seno, coseno e tangente per qualsiasi valore algebrico diverso da zero.