Mengkuadratkan pecahan secara online. Eksponen, aturan, contoh

Eksponen adalah operasi yang berkaitan erat dengan perkalian, operasi ini merupakan hasil perkalian dari perkalian bilangan dengan dirinya sendiri. Mari kita nyatakan rumusnya: a1 * a2 * ... * an = an.

Misalnya, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Secara umum, eksponensial sering digunakan dalam berbagai rumus dalam matematika dan fisika. Fungsi ini memiliki tujuan yang lebih ilmiah daripada empat fungsi dasar: Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, Pembagian.

Menaikkan angka menjadi kekuatan

Menaikkan angka ke pangkat bukanlah operasi yang sulit. Hal ini terkait dengan perkalian seperti hubungan antara perkalian dan penambahan. Rekam an - catatan singkat dari jumlah ke-n angka "a" dikalikan satu sama lain.

Pertimbangkan eksponensial paling banyak contoh sederhana beralih ke yang kompleks.

Misalnya, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Empat kuadrat (untuk pangkat kedua) sama dengan enam belas. Jika Anda tidak memahami perkalian 4 * 4, maka baca artikel kami tentang perkalian.

Mari kita lihat contoh lain: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Lima potong dadu (untuk pangkat ketiga) sama dengan seratus dua puluh lima.

Contoh lain: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Sembilan potong dadu sama dengan tujuh ratus dua puluh sembilan.

Rumus Eksponen:

Untuk menaikkan pangkat dengan benar, Anda perlu mengingat dan mengetahui rumus di bawah ini. Tidak ada yang lebih alami dalam hal ini, yang utama adalah memahami esensi dan kemudian mereka tidak hanya akan diingat, tetapi juga tampak mudah.

Meningkatkan monomial menjadi kekuatan

Apa itu monomial? Ini adalah produk dari angka dan variabel dalam jumlah berapa pun. Misalnya, dua adalah monomial. Dan artikel ini adalah tentang mengangkat monomial seperti itu menjadi sebuah kekuatan.

Menggunakan rumus eksponensial, tidak akan sulit untuk menghitung eksponensial dari monomial ke pangkat.

Sebagai contoh, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Jika Anda menaikkan monomial menjadi pangkat, maka setiap komponen monomial dinaikkan menjadi pangkat.

Saat menaikkan variabel yang sudah memiliki derajat ke pangkat, derajat dikalikan. Misalnya, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Meningkatkan ke kekuatan negatif

Eksponen negatif adalah kebalikan dari suatu bilangan. Apa itu timbal balik? Untuk sembarang bilangan X, kebalikannya adalah 1/X. Yaitu X-1=1/X. Ini adalah inti dari derajat negatif.

Perhatikan contoh (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Mengapa demikian? Karena ada minus dalam derajat, kami hanya mentransfer ekspresi ini ke penyebut, dan kemudian menaikkannya ke kekuatan ketiga. Benar?

Menaikkan ke pangkat pecahan

Mari kita mulai diskusinya contoh spesifik. 43/2. Apa yang dimaksud dengan kekuatan 3/2? 3 - pembilang, berarti menaikkan angka (dalam hal ini 4) menjadi kubus. Angka 2 adalah penyebutnya, ini adalah ekstraksi akar kedua dari angka tersebut (dalam hal ini 4).

Kemudian kita mendapatkan akar kuadrat dari 43 = 2^3 = 8 . Jawaban: 8.

Jadi, penyebut derajat pecahan dapat berupa 3 atau 4, dan hingga tak terhingga angka apa pun, dan angka ini menentukan derajat akar pangkat dua diekstrak dari nomor yang diberikan. Tentu saja, penyebutnya tidak boleh nol.

Meningkatkan akar menjadi kekuatan

Jika akar dipangkatkan dengan pangkat yang sama dengan pangkat akar itu sendiri, maka jawabannya adalah ekspresi radikal. Misalnya, (√x)2 = x. Dan dalam hal apapun persamaan derajat akar dan derajat kenaikan akar.

Jika (√x)^4. Maka (√x)^4=x^2. Untuk memeriksa solusinya, kami menerjemahkan ekspresi ke dalam ekspresi dengan derajat pecahan. Karena akarnya kuadrat, penyebutnya adalah 2. Dan jika akarnya dipangkatkan ke empat, maka pembilangnya adalah 4. Kita peroleh 4/2=2. Jawab: x = 2.

Bagaimanapun jalan terbaik cukup ubah ekspresi menjadi ekspresi dengan kekuatan pecahan. Jika pecahan tidak dikurangi, maka jawaban seperti itu akan diberikan, asalkan akar dari angka yang diberikan tidak dialokasikan.

Eksponen dari bilangan kompleks

Apa itu bilangan kompleks? Bilangan kompleks adalah ekspresi yang memiliki rumus a + b * i; a,b adalah bilangan real. i adalah bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan -1.

Pertimbangkan sebuah contoh. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Daftar ke kursus "Mempercepat penghitungan mental, BUKAN aritmatika mental" untuk mempelajari cara menambah, mengurangi, mengalikan, membagi, mengkuadratkan bilangan, dan bahkan mengakarkan dengan cepat dan benar. Dalam 30 hari, Anda akan belajar cara menggunakan trik mudah untuk menyederhanakan operasi aritmatika. Setiap pelajaran berisi teknik baru, contoh yang jelas dan tugas yang berguna.

Eksponen online

Dengan bantuan kalkulator kami, Anda dapat menghitung eksponensial suatu bilangan ke pangkat:

Eksponen Kelas 7

Mengangkat kekuatan mulai melewati anak-anak sekolah hanya di kelas tujuh.

Sebagai contoh, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Contoh Solusi:

Presentasi eksponen

Presentasi tentang eksponensial, dirancang untuk siswa kelas tujuh. Presentasi mungkin mengklarifikasi beberapa poin yang tidak dapat dipahami, tetapi mungkin tidak akan ada poin seperti itu berkat artikel kami.

Hasil

Kami hanya mempertimbangkan puncak gunung es, untuk memahami matematika dengan lebih baik - daftar untuk kursus kami: Percepat penghitungan mental - BUKAN aritmatika mental.

Dari kursus ini, Anda tidak hanya akan mempelajari lusinan trik untuk perkalian, penjumlahan, perkalian, pembagian, penghitungan persentase yang disederhanakan dan cepat, tetapi juga mengerjakannya dalam tugas khusus dan permainan edukatif! Penghitungan mental juga membutuhkan banyak perhatian dan konsentrasi, yang dilatih secara aktif dalam memecahkan masalah yang menarik.

Saatnya membiasakan diri dengan pemasangan pecahan aljabar sampai tingkat tertentu. Tindakan dengan pecahan aljabar ini, dalam hal derajat, direduksi menjadi perkalian pecahan identik. Dalam artikel ini, kami akan memberikan aturan yang sesuai, dan mempertimbangkan contoh menaikkan pecahan aljabar ke pangkat alami.

Navigasi halaman.

Aturan menaikkan pecahan aljabar ke pangkat, buktinya

Sebelum berbicara tentang menaikkan pecahan aljabar ke pangkat, tidak ada salahnya untuk mengingat apa produk dari faktor-faktor yang sama yang berdiri di dasar derajat, dan jumlahnya ditentukan oleh indikator. Misalnya, 2 3 =2 2 2=8 .

Sekarang mari kita ingat aturan eksponensial pecahan biasa- untuk ini, Anda perlu menaikkan pembilang secara terpisah ke pangkat yang ditunjukkan, dan secara terpisah - penyebutnya. Sebagai contoh, . Aturan ini berlaku untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat alami.

Menaikkan pecahan aljabar ke pangkat alami memberikan pecahan baru, di mana pembilangnya adalah tingkat pembilang dari pecahan asli yang ditentukan, dan dalam penyebutnya - derajat penyebutnya. Dalam bentuk literal, aturan ini sesuai dengan persamaan , di mana a dan b adalah polinomial arbitrer (dalam kasus tertentu, monomial atau angka), dan b adalah polinomial bukan nol, dan n adalah .

Bukti aturan bersuara untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat didasarkan pada definisi derajat dengan eksponen alami dan pada bagaimana kita mendefinisikan perkalian pecahan aljabar: .

Contoh, Solusi

Aturan yang diperoleh pada paragraf sebelumnya mengurangi kenaikan pecahan aljabar menjadi pangkat menjadi pangkat ini. Dan karena pembilang dan penyebut pecahan aljabar asli adalah polinomial (dalam kasus tertentu, monomial atau angka), tugas aslinya dikurangi menjadi menaikkan polinomial ke pangkat. Setelah melakukan tindakan ini, pecahan aljabar baru akan diperoleh, sama persis dengan pangkat yang ditentukan dari pecahan aljabar asli.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh.

Kuadratkan pecahan aljabar.

Keputusan.

Mari kita menulis gelar. Sekarang kita beralih ke aturan untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat, itu memberi kita kesetaraan . Tetap mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi bentuk pecahan aljabar dengan menaikkan monomial menjadi pangkat. Jadi .

Biasanya, ketika menaikkan pecahan aljabar ke pangkat, jalannya penyelesaian tidak dijelaskan, dan penyelesaiannya ditulis secara singkat. Contoh kami sesuai dengan catatan .

Menjawab:

Ketika polinomial, terutama binomial, berada dalam pembilang dan / atau penyebut dari pecahan aljabar, maka saat menaikkannya ke pangkat, disarankan untuk menggunakan rumus perkalian singkatan yang sesuai.

Contoh.

Naikkan pecahan aljabar ke derajat kedua.

Keputusan.

Dengan aturan menaikkan pecahan menjadi pangkat, kita memiliki .

Untuk mengubah ekspresi yang dihasilkan dalam pembilang, kami menggunakan rumus kuadrat selisih, dan dalam penyebut - rumus kuadrat dari jumlah tiga suku:

Menjawab:

Sebagai kesimpulan, kita mencatat bahwa jika kita menaikkan pecahan aljabar tak tereduksi ke pangkat alami, maka hasilnya juga akan menjadi pecahan tak tereduksi. Jika pecahan asli dapat dibatalkan, maka sebelum dipangkatkan, disarankan untuk mengurangi pecahan aljabar agar tidak melakukan pengurangan setelah dipangkatkan.

Bibliografi.

Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku siswa institusi pendidikan/ A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Hak Cipta oleh siswa pintar

Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.website, termasuk bahan internal dan desain eksternal tidak boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.

Kami menemukan apa tingkat angka secara umum. Sekarang kita perlu memahami cara menghitungnya dengan benar, mis. menaikkan angka menjadi kekuatan. Dalam materi ini, kita akan menganalisis aturan dasar untuk menghitung derajat dalam kasus bilangan bulat, alami, pecahan, eksponen rasional dan irasional. Semua definisi akan diilustrasikan dengan contoh.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Konsep eksponensial

Mari kita mulai dengan perumusan definisi dasar.

Definisi 1

Eksponen adalah perhitungan nilai pangkat beberapa bilangan.

Artinya, kata "perhitungan nilai derajat" dan "perpangkatan" memiliki arti yang sama. Jadi, jika tugasnya adalah "Naikkan angka 0 , 5 ke pangkat lima", ini harus dipahami sebagai "hitung nilai pangkat (0 , 5) 5 .

Sekarang kami memberikan aturan dasar yang harus diikuti dalam perhitungan tersebut.

Ingat kembali apa itu pangkat dari bilangan dengan eksponen alami. Untuk pangkat dengan basis a dan eksponen n, ini akan menjadi produk dari jumlah faktor ke-n, yang masing-masing sama dengan a. Ini dapat ditulis seperti ini:

Untuk menghitung nilai derajat, Anda perlu melakukan operasi perkalian, yaitu mengalikan basis derajat beberapa kali. Konsep gelar dengan indikator alami didasarkan pada kemampuan untuk mengalikan dengan cepat. Mari kita beri contoh.

Contoh 1

Kondisi: Naikkan - 2 pangkat 4 .

Keputusan

Menggunakan definisi di atas, kita menulis: (− 2) 4 = (− 2) ( 2) (− 2) (− 2) . Selanjutnya, kita hanya perlu mengikuti langkah-langkah ini dan mendapatkan 16 .

Mari kita ambil contoh yang lebih rumit.

Contoh 2

Hitung nilainya 3 2 7 2

Keputusan

Entri ini dapat ditulis ulang menjadi 3 2 7 · 3 2 7 . Sebelumnya kita telah melihat cara mengalikan bilangan campuran yang disebutkan dalam kondisi dengan benar.

Lakukan langkah-langkah ini dan dapatkan jawabannya: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jika tugas menunjukkan kebutuhan untuk menaikkan bilangan irasional ke kekuatan alami, pertama-tama kita harus membulatkan basisnya ke angka yang memungkinkan kita mendapatkan jawaban dengan akurasi yang diinginkan. Mari kita ambil contoh.

Contoh 3

Lakukan kuadrat dari bilangan .

Keputusan

Mari kita bulatkan ke ratusan dulu. Maka 2 (3, 14) 2 = 9, 8596. Jika 3 . 14159, maka kita akan mendapatkan hasil yang lebih akurat: 2 (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Perhatikan bahwa kebutuhan untuk menghitung pangkat bilangan irasional dalam praktik relatif jarang muncul. Kita kemudian dapat menulis jawabannya sebagai pangkat itu sendiri (ln 6) 3 atau jika mungkin mengubah: 5 7 = 125 5 .

Secara terpisah, itu harus ditunjukkan apa kekuatan pertama dari suatu angka. Di sini Anda hanya dapat mengingat bahwa angka apa pun yang dipangkatkan pertama akan tetap menjadi dirinya sendiri:

Ini jelas dari catatan. .

Itu tidak tergantung pada dasar gelar.

Contoh 4

Jadi, (− 9) 1 = 9 , dan 7 3 dipangkatkan pertama tetap sama dengan 7 3 .

Untuk memudahkan, kami akan menganalisis tiga kasus secara terpisah: jika eksponen adalah bilangan bulat positif, jika nol, dan jika bilangan bulat negatif.

Dalam kasus pertama, ini sama dengan menaikkan ke kekuatan alami: setelah semua, bilangan bulat positif termasuk dalam himpunan bilangan asli. Kami telah menjelaskan cara bekerja dengan gelar seperti itu di atas.

Sekarang mari kita lihat cara menaikkan pangkat nol dengan benar. Dengan basis yang bukan nol, perhitungan ini selalu menghasilkan keluaran 1 . Kami sebelumnya telah menjelaskan bahwa pangkat 0 dari a dapat didefinisikan untuk sembarang bilangan asli, tidak sama dengan 0 , dan a 0 = 1 .

Contoh 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - tidak ditentukan.

Kami hanya memiliki kasus gelar dengan eksponen bilangan bulat negatif. Kita telah membahas bahwa derajat tersebut dapat ditulis sebagai pecahan 1 a z, di mana a adalah bilangan apa saja, dan z adalah bilangan bulat negatif. Kita lihat bahwa penyebut pecahan ini tidak lain adalah gelar biasa dengan bilangan bulat positif, dan kita telah mempelajari cara menghitungnya. Mari kita beri contoh tugas.

Contoh 6

Naikkan 3 ke pangkat -2.

Keputusan

Menggunakan definisi di atas, kita menulis: 2 - 3 = 1 2 3

Kami menghitung penyebut pecahan ini dan mendapatkan 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Maka jawabannya adalah: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Contoh 7

Naikkan 1, 43 ke pangkat -2.

Keputusan

Rumuskan ulang: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kami menghitung kuadrat dalam penyebut: 1,43 1,43. Desimal dapat dikalikan dengan cara ini:

Hasilnya, kami mendapatkan (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Tetap bagi kita untuk menulis hasil ini dalam bentuk pecahan biasa, yang perlu dikalikan dengan 10 ribu (lihat materi tentang konversi pecahan).

Jawaban: (1, 43) - 2 = 10.000 20449

Kasus terpisah adalah menaikkan angka ke pangkat pertama minus. Nilai derajat seperti itu sama dengan angka yang berlawanan dengan nilai asli pangkalan: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Contoh 8

Contoh: 3 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cara menaikkan angka ke kekuatan pecahan

Untuk melakukan operasi seperti itu, kita perlu mengingat definisi dasar derajat dengan eksponen pecahan: a m n \u003d a m n untuk setiap positif a, bilangan bulat m dan n alami.

Definisi 2

Dengan demikian, perhitungan derajat pecahan harus dilakukan dalam dua langkah: menaikkan pangkat bilangan bulat dan menemukan akar derajat ke-n.

Kami memiliki persamaan a m n = a m n , yang, mengingat sifat-sifat akar, biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bentuk a m n = a n m . Ini berarti bahwa jika kita menaikkan angka a ke pangkat pecahan m / n, maka pertama-tama kita mengekstrak akar derajat ke-n dari a, kemudian kita menaikkan hasilnya ke pangkat dengan eksponen bilangan bulat m.

Mari kita ilustrasikan dengan sebuah contoh.

Contoh 9

Hitung 8 - 2 3 .

Keputusan

Metode 1. Menurut definisi dasar, kita dapat menyatakan ini sebagai: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Sekarang mari kita hitung derajat di bawah akar dan ekstrak akar ketiga dari hasilnya: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metode 2. Mari kita ubah persamaan dasar: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Setelah itu, kita ekstrak akar 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 dan kuadratkan hasilnya: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Kami melihat bahwa solusinya identik. Anda dapat menggunakan cara apa pun yang Anda suka.

Ada kasus ketika derajat memiliki indikator yang dinyatakan sebagai angka campuran atau pecahan desimal. Untuk memudahkan perhitungan, lebih baik menggantinya dengan pecahan biasa dan menghitung seperti yang ditunjukkan di atas.

Contoh 10

Naikkan 44,89 ke pangkat 2,5.

Keputusan

Mari kita ubah nilai indikator menjadi pecahan biasa - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Dan sekarang kita melakukan semua tindakan yang ditunjukkan di atas secara berurutan: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Jawaban: 13501, 25107.

Jika pembilang dan penyebut suatu eksponen pecahan adalah angka besar, maka menghitung eksponen tersebut dengan eksponen rasional adalah pekerjaan yang agak sulit. Biasanya membutuhkan teknologi komputer.

Secara terpisah, kita membahas derajat dengan basis nol dan eksponen pecahan. Ekspresi bentuk 0 m n dapat diberikan arti sebagai berikut: jika m n > 0, maka 0 m n = 0 m n = 0 ; jika m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cara menaikkan angka menjadi kekuatan irasional

Kebutuhan untuk menghitung nilai derajat dalam eksponennya adalah bilangan irasional, tidak terlalu sering terjadi. Dalam praktiknya, tugas biasanya terbatas pada menghitung nilai perkiraan (hingga sejumlah tempat desimal tertentu). Ini biasanya dihitung di komputer karena rumitnya perhitungan seperti itu, jadi kami tidak akan membahas ini secara rinci, kami hanya akan menunjukkan ketentuan utama.

Jika kita perlu menghitung nilai derajat a dengan eksponen irasional a , maka kita mengambil pendekatan desimal dari eksponen dan menghitungnya. Hasilnya akan menjadi jawaban perkiraan. Semakin akurat pendekatan desimal yang diambil, semakin akurat jawabannya. Mari kita tunjukkan dengan sebuah contoh:

Contoh 11

Hitung nilai perkiraan 21 , 174367 ....

Keputusan

Kami membatasi diri pada pendekatan desimal a n = 1 , 17 . Mari kita lakukan perhitungan menggunakan angka ini: 2 1 , 17 2 , 250116 . Jika kita ambil, misalnya, aproksimasi a n = 1 , 1743 , maka jawabannya akan sedikit lebih tepat: 2 1 , 174367 . . . 2 1. 1743 2. 256833 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Topiknya bermuara pada fakta bahwa kita perlu mengalikan pecahan yang identik. Artikel ini akan memberi tahu Anda aturan apa yang perlu Anda gunakan untuk menaikkan pecahan aljabar dengan benar ke pangkat alami.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aturan untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat, buktinya

Sebelum Anda mulai menaikkan pangkat, Anda perlu memperdalam pengetahuan Anda dengan bantuan artikel tentang gelar dengan indikator alami, di mana ada produk dari faktor yang sama yang berada di dasar derajat, dan jumlahnya adalah ditentukan oleh indikator. Misalnya, angka 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Saat menaikkan pangkat, kita paling sering menggunakan aturan. Untuk melakukan ini, angkat pembilang dan penyebut secara terpisah. Perhatikan contoh 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Aturan ini berlaku untuk menaikkan pecahan menjadi kekuatan alami.

Pada menaikkan pecahan aljabar ke pangkat alami kita mendapatkan yang baru, di mana pembilangnya memiliki derajat pecahan asli, dan penyebutnya memiliki derajat penyebutnya. Ini semua dalam bentuk a b n = a n b n , di mana a dan b adalah polinomial arbitrer, b bukan nol, dan n adalah bilangan asli.

Bukti dari aturan ini ditulis dalam bentuk pecahan, yang harus dipangkatkan, berdasarkan definisi itu sendiri dengan indikator alami. Kemudian kita mendapatkan perkalian pecahan dengan bentuk a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . b = a n b n

Contoh, Solusi

Aturan untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat dilakukan secara berurutan: pertama pembilangnya, lalu penyebutnya. Ketika ada polinomial di pembilang dan penyebut, maka tugas itu sendiri akan dikurangi menjadi menaikkan polinomial yang diberikan ke pangkat. Setelah itu, pecahan baru akan ditunjukkan, yang sama dengan yang asli.

Contoh 1

Mengkuadratkan pecahan x 2 3 y z 3

Keputusan

Hal ini diperlukan untuk memperbaiki derajat x 2 3 · y · z 3 2 . Menurut aturan menaikkan pecahan aljabar ke pangkat, kita memperoleh persamaan dalam bentuk x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Sekarang perlu untuk mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi bentuk aljabar dengan eksponensial. Kemudian kita mendapatkan ekspresi bentuk

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Semua kasus eksponensial tidak memerlukan penjelasan rinci, sehingga solusinya sendiri memiliki catatan singkat. Artinya, kita mendapatkan itu

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Menjawab: x 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6 .

Jika pembilang dan penyebutnya memiliki polinomial, maka perlu untuk menaikkan seluruh pecahan menjadi pangkat, dan kemudian menerapkan rumus perkalian yang disingkat untuk menyederhanakannya.

Contoh 2

Kuadratkan pecahan 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.

Keputusan

Dari aturan kita memiliki itu

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

Untuk mengonversi ekspresi, Anda harus menggunakan rumus kuadrat dari jumlah tiga suku dalam penyebut, dan dalam pembilang - kuadrat selisihnya, yang akan menyederhanakan ekspresi. Kita mendapatkan:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 x y + 2 x 2 (- y ) + 2 3 x y - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Menjawab: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Perhatikan bahwa ketika menaikkan pecahan yang tidak dapat kita perkecil ke pangkat alami, kita juga memperoleh pecahan yang tidak dapat direduksi. Ini tidak membuatnya lebih mudah untuk dipecahkan lebih lanjut. Ketika suatu pecahan tertentu dapat direduksi, maka ketika dieksponenkan, kita menemukan bahwa pengurangan pecahan aljabar perlu dilakukan, untuk menghindari pengurangan setelah dipangkatkan.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Sebagai kelanjutan dari percakapan tentang derajat suatu bilangan, adalah logis untuk berurusan dengan mencari nilai derajat. Proses ini diberi nama eksponensial. Dalam artikel ini, kita hanya akan mempelajari bagaimana eksponensial dilakukan, sambil menyentuh semua eksponen yang mungkin - alami, bilangan bulat, rasional dan irasional. Dan menurut tradisi, kami akan mempertimbangkan secara rinci solusi untuk contoh menaikkan angka ke berbagai derajat.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan "eksponensial"?

Mari kita mulai dengan menjelaskan apa yang disebut eksponensial. Berikut adalah definisi yang relevan.

Definisi.

Eksponen adalah mencari nilai pangkat suatu bilangan.

Jadi, mencari nilai pangkat a dengan pangkat r dan menaikkan angka a ke pangkat r adalah hal yang sama. Misalnya, jika tugasnya adalah "menghitung nilai pangkat (0,5) 5", maka dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: "Naikkan angka 0,5 ke pangkat 5".

Sekarang Anda dapat langsung menuju ke aturan yang digunakan untuk melakukan eksponensial.

Menaikkan angka menjadi kekuatan alami

Dalam praktiknya, kesetaraan berdasarkan biasanya diterapkan dalam bentuk . Artinya, ketika menaikkan angka a menjadi pangkat pecahan m / n, akar derajat ke-n dari angka a pertama kali diekstraksi, setelah itu hasilnya dinaikkan menjadi pangkat bilangan bulat m.

Pertimbangkan solusi untuk contoh menaikkan ke pangkat pecahan.

Contoh.

Hitung nilai derajatnya.

Keputusan.

Kami menunjukkan dua solusi.

Cara pertama. Menurut definisi derajat dengan eksponen pecahan. Kami menghitung nilai derajat di bawah tanda akar, setelah itu kami mengekstrak akar pangkat tiga: .

Cara kedua. Dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan dan berdasarkan sifat-sifat akar, persamaan adalah benar . Sekarang ekstrak root Akhirnya, kita naikkan ke pangkat integer .

Jelas, hasil yang diperoleh dari peningkatan ke kekuatan fraksional bertepatan.

Menjawab:

Perhatikan bahwa eksponen pecahan dapat ditulis sebagai pecahan desimal atau bilangan campuran, dalam kasus ini harus diganti dengan pecahan biasa yang sesuai, dan kemudian eksponen harus dilakukan.

Contoh.

Hitung (44,89) 2.5 .

Keputusan.

Kami menulis eksponen dalam bentuk pecahan biasa (jika perlu, lihat artikel): . Sekarang kami melakukan peningkatan ke kekuatan fraksional:

Menjawab:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Juga harus dikatakan bahwa menaikkan bilangan ke pangkat rasional adalah proses yang agak melelahkan (terutama bila pembilang dan penyebut dari pangkat pecahan adalah bilangan yang cukup besar), yang biasanya dilakukan dengan menggunakan teknologi komputer.

Sebagai penutup paragraf ini, kita akan membahas konstruksi angka nol menjadi pangkat pecahan. Kami memberikan arti berikut ke tingkat pecahan nol dari bentuk: karena kami memiliki , sedangkan nol pangkat m/n tidak ditentukan. Jadi nol untuk pangkat pecahan positif nol, Sebagai contoh, . Dan nol dalam pangkat negatif fraksional tidak masuk akal, misalnya, ekspresi dan 0 -4,3 tidak masuk akal.

Mengangkat ke kekuatan irasional

Terkadang menjadi perlu untuk mengetahui nilai derajat suatu bilangan dengan eksponen irasional. Dalam hal ini, untuk keperluan praktis, biasanya cukup diperoleh nilai derajat sampai suatu tanda tertentu. Kami segera mencatat bahwa nilai ini dihitung dalam praktik menggunakan teknologi komputasi elektronik, sejak dinaikkan menjadi ir derajat rasional secara manual membutuhkan jumlah yang besar perhitungan yang rumit. Namun, kami akan menjelaskan umumnya esensi tindakan.

Untuk mendapatkan nilai perkiraan eksponen a dengan eksponen irasional, beberapa pendekatan desimal dari eksponen diambil, dan nilai eksponen dihitung. Nilai ini adalah nilai perkiraan derajat dari bilangan a dengan eksponen irasional. Perkiraan desimal yang lebih akurat dari suatu angka diambil pada awalnya, semakin banyak nilai yang tepat gelar akan diperoleh pada akhirnya.

Sebagai contoh, mari kita hitung perkiraan nilai pangkat 2 1.174367... . Mari kita ambil pendekatan desimal berikut dari indikator irasional: . Sekarang kita naikkan 2 ke pangkat rasional 1,17 (kita jelaskan esensi proses ini di paragraf sebelumnya), kita mendapatkan 2 1,17 2,250116. Dengan demikian, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jika kita mengambil pendekatan desimal yang lebih akurat dari eksponen irasional, misalnya, , maka kita mendapatkan nilai derajat aslinya yang lebih akurat: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografi.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematika Zh untuk 5 sel. institusi pendidikan.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 7 sel. institusi pendidikan.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 8 sel. institusi pendidikan.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 9 sel. institusi pendidikan.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).