Angka apa yang disebut berbeda. Angka yang setara

Target: pembentukan konsep "angka yang sama".

membentuk kemampuan untuk memperbaiki konsep” angka yang sama”, untuk memperbaiki kemampuan menemukan angka yang sama;
mengembangkan pidato matematika, pemikiran geometris; melatih operasi mental;
meningkatkan keterampilan berhitung dalam waktu 9;
mendidik siswa dalam kedisiplinan, kemampuan bekerja sama.

Selama kelas

1. Momen organisasi

Pengenalan oleh guru.

Bajak laut adalah perampok laut, tujuan utama mereka selalu mencari harta karun. Kami akan menjadi bajak laut yang baik dan pergi ke pelayaran mencari harta kita. Saya mendapatkan peta bajak laut tua.

Ini sangat membingungkan, banyak pulau ditandai di atasnya untuk membingungkan para pencari, tetapi Anda harus sampai ke pulau tempat harta karun itu disembunyikan. Untuk menemukannya, kita perlu mengatasi banyak rintangan. Kamu siap? Lalu pergi.

Kami akan melakukan perjalanan dengan kapal.

Mari kita pergi ke pulau pertama.

2. Akun lisan

Jadi, mengikuti peta kami, kami berakhir di sebuah pulau bernama "Akun Mental". Dan untuk melanjutkan, kita perlu menyelesaikan tugas:

Sebutkan tetangga bilangan: 3, 6, 8;

Isi bagian yang kosong:

7,….,….,….,…, 12

10,…,…., 7,….,…,….,…., 2

Selesaikan contoh dengan menggunakan garis bilangan.

3. Memperbarui pengetahuan

Pulau berikutnya yang kami temui dalam perjalanan adalah “Pulau Geometris”. Dia penuh dengan rahasia dan misteri yang perlu kita ungkap!

Teman-teman perlu mengingat dan menggambar semua yang kita ketahui angka geometris. (Lingkaran, persegi, belah ketupat, oval, persegi panjang)

Perhatikan gambar, angka apa yang ditunjukkan?

Atas dasar apa semua tokoh dapat dibagi menjadi kelompok-kelompok? (warna, bentuk, ukuran). Beri nama grup-grup ini.

4. Pengenalan materi baru

Kami berhasil mengatasi tugas dan bisa pergi ke pulau berikutnya. Di pulau ketiga, saya menemukan pesan rahasia untuk Anda dan saya. Setiap orang memiliki amplop di meja mereka. Mari kita buka dan lihat ujian seperti apa yang menanti kita kali ini. (Setiap amplop berisi kotak hijau besar dan kecil, segitiga biru besar dan kecil, persegi panjang kuning besar dan kecil, dua lingkaran merah dengan ukuran yang sama)

Guys, ingat atas dasar apa semua angka itu dibagi? (warna, bentuk, ukuran)

Latihan: bagi angka-angka dalam amplop menjadi pasangan-pasangan sehingga hanya satu tanda yang berubah - ukurannya.

Apakah Anda dapat memasangkan semua item? (Bukan)

Mengapa? (Karena kedua lingkaran tersebut memiliki ukuran, warna dan bentuk yang sama)

Buktikan bahwa angka-angka ini sama. (Hamparan)

Mari kita pikirkan bagaimana angka-angka seperti itu bisa disebut? ( Dari opsi yang diusulkan, guru memilih konsep "angka yang sama")

Jadi, teman-teman, topik pelajaran kita adalah "Angka Setara". ( Topik diposting di papan tulis

Mari kita mengenal mereka lebih baik. Untuk melakukan ini, kita harus pergi ke pulau berikutnya, yang disebut "Angka Setara".

Sesampainya di pulau itu, saya langsung melihat berbagai sosok di pasir, membuat sketsanya, karena ombak bisa menghanyutkan mereka kapan saja.

Lihatlah papan, angka-angka ini:

Jika mereka setara? ( Anak-anak pertama-tama menentukan angka yang sama secara visual, kemudian siswa dipanggil ke papan tulis)

Bagaimana kita tahu apakah angka-angka ini benar-benar sama atau tidak? (Dengan melapiskan satu gambar di atas yang lain). Tindakan praktis sedang diambil.

Jadi, angka apa yang bisa kita sebut sama? (Angka yang sama adalah yang cocok saat ditumpangkan).

Mari kita tentukan fitur apa dari angka yang sama yang harus bertepatan.

Di bawah topik pelajaran, catatan singkat tentang penalaran anak-anak dicatat di papan tulis.

(Angka yang sama selalu memiliki bentuk dan ukuran yang sama, dan warnanya dapat berbeda)

Apakah menurut Anda angka 1 dan 2 sama?

Bagaimana kita memeriksanya? (Siswa menggabungkan angka-angka dan memastikan mereka sama)

Apakah menurut Anda angka 2 dan 3 sama? (Pekerjaan serupa sedang berlangsung)

Gan, apakah angka 1 dan 3 sama?

Mengapa? (Keduanya sama dengan gambar 2, yang berarti mereka sama satu sama lain)

Mari kita periksa dengan overlay.

Teman-teman membuat kesimpulan, guru secara singkat memperbaiki di papan tulis 1=2 dan 2=3, lalu 1=3 (Jika angka pertama sama dengan yang kedua, dan yang kedua sama dengan yang ketiga, maka angka pertama sama dengan yang ketiga)

Saya punya masalah, dan jika saya tidak bisa melapisi bentuk, misalnya, mereka digambar di buku catatan, bagaimana saya bisa memeriksa apakah mereka sama atau tidak? (Anda dapat menghitung berdasarkan sel)

Mari kita pergi ke pulau berikutnya.

5. Pengikat utama

Bekerja dengan buku teks.

1) Halaman 36 #1. Temukan bentuk yang sama dan warnai dengan warna yang sama . Pekerjaan dilakukan sesuai dengan opsi:

Opsi 1 - No. 1 a)

Opsi 2 - No. 1 b)

Kawan, Anda mengatasi tugas ini, tetapi kami tidak dapat melanjutkan perjalanan kami, kapal tersandung karang, kami harus mengumpulkannya lagi. Karena menurut peta, pulau terakhir adalah yang kita butuhkan!

2) Halaman 36 #2.

6. Ulasan

Anda berani hari ini dan tidak takut dengan cobaan sulit yang kita temui di pulau-pulau. Dan sebagai hadiah untuk ini, Anda bisa menjadi kapten-guru kapal. Namun menjadi seorang kapten tidaklah mudah, Anda perlu tahu dan bisa melakukan banyak hal, jadi cobalah untuk mengatasi tugas-tugas berikut:

1) Siswa diajak menjadi guru: membuat tugas menggambar, mengontrol pelaksanaan, mengevaluasi.

2) Kartu dibagikan. Semua kesalahan harus ditemukan. Cek pasangan.

8=8 4+3=8 8-2>8-3

7>4 3+1<6 5+1<5+4

3<1 5<5+4 9-7=9-6

7. Ringkasan pelajaran, refleksi

Kami tiba di pulau terakhir, dan inilah harta karunnya! Jalan kami tidak sia-sia, karena kami dihargai dengan harta seperti itu!

Guys, bagaimana Anda memahami ungkapan "Pengetahuan adalah kekayaan kita"?

Ada dua emotikon di atas meja di depan Anda - sedih dan ceria. Jika Anda dalam suasana hati yang baik, tempelkan smiley kuning ceria ke kapal, jika Anda dalam suasana hati yang buruk - merah.

Sekarang kami adalah pelancong dan pemburu harta karun yang berpengalaman, dan lain kali kami akan memiliki petualangan baru! Terima kasih untuk pelajarannya!

Dalam kehidupan sehari-hari, kita dikelilingi oleh banyak objek yang berbeda. Beberapa di antaranya memiliki ukuran dan bentuk yang sama. Misalnya, dua lembar identik atau dua batang sabun identik, dua koin identik, dll.

Dalam geometri, bangun-bangun yang memiliki ukuran dan bentuk yang sama disebut angka yang sama. Gambar di bawah ini menunjukkan dua gambar A1 dan A2. Untuk menetapkan kesetaraan angka-angka ini, kita perlu menyalin salah satunya ke kertas kalkir. Dan kemudian pindahkan kertas kalkir dan gabungkan salinan satu bentuk dengan bentuk lain. Jika digabungkan, maka ini berarti angka-angka ini adalah angka yang sama. Saat ini ditulis A1 \u003d A2 menggunakan tanda sama dengan yang biasa.

Menentukan persamaan dua bentuk geometris

Kita dapat membayangkan bahwa gambar pertama ditumpangkan pada gambar kedua, dan bukan salinannya pada kertas kalkir. Oleh karena itu, di masa depan kita akan berbicara tentang memaksakan sosok itu sendiri, dan bukan salinannya, pada sosok lain. Berdasarkan hal tersebut di atas, kita dapat merumuskan definisi persamaan dua bangun geometri.

Dua bangun geometris disebut sama jika dapat digabungkan dengan melapiskan satu bangun ke bangun lainnya. Dalam geometri, untuk beberapa bentuk geometris (misalnya, segitiga), tanda-tanda khusus dirumuskan, setelah terpenuhi kita dapat mengatakan bahwa angka-angkanya sama.

apa yang disebut sudut? Angka apa yang disebut sama? Jelaskan cara membandingkan dua segmen? titik apa yang disebut

tengah segmen?

Sinar manakah yang disebut garis bagi sudut?

berapakah besaran derajat suatu sudut?

Gambar apa yang disebut segitiga? Segitiga apa yang disebut sama panjang? Ruas mana yang disebut median segitiga? Ruas mana yang disebut

garis-bagi segitiga? Ruas mana yang disebut tinggi segitiga? Segitiga mana yang disebut sama kaki? Segitiga mana yang disebut sama sisi? Pengertian jari-jari, diameter, tali busur Berikan pengertian garis-garis sejajar Apa yang disebut sudut luar segitiga? Segitiga mana yang disebut lancip, segitiga mana yang disebut tumpul, mana yang siku-siku. Apa yang disebut sisi-sisi segitiga siku-siku? Sifat dua garis yang sejajar dengan garis ketiga. Teorema pada garis yang memotong salah satu garis sejajar. Sifat dua garis yang tegak lurus sepertiga

Bentuk apa yang disebut garis putus-putus? Apa itu vertex link dan panjang polyline?

Jelaskan apa yang dimaksud dengan garis putus-putus yang disebut poligon. Apa simpul, sisi, keliling, dan diagonal poligon? Apa itu poligon cembung?
Jelaskan apa yang disebut sudut cembung pada poligon. Turunkan rumus untuk menghitung jumlah sudut n-gon cembung. Buktikan bahwa jumlah sudut luar poligon cembung. DIAMBIL satu di setiap titik, sama dengan 360 derajat.
Berapa jumlah sudut pada segi empat cembung?

1) Bentuk apa yang disebut segi empat?

2) Apa yang dimaksud dengan titik sudut, sudut, sisi, diagonal, keliling segi empat?
3) Apa sudut sisi segi empat yang disebut cembung?
4) berapa jumlah sudut pada segi empat cembung?
5) segi empat apa yang disebut cembung?
6) segi empat apa yang disebut jajar genjang?
7) sifat apa yang dimiliki jajaran genjang?
8) sebutkan tanda-tanda jajar genjang.
9) merumuskan sifat-sifat persegi panjang.
10) segi empat apa yang disebut persegi?
11) merumuskan sifat-sifat belah ketupat.
12) segi empat apa yang disebut belah ketupat?
13) segi empat apa yang disebut persegi panjang?
14) sifat apa yang dimiliki persegi? tolong jawab dengan singkat...

Geometri Atanasyan kelas 7,8,9 “Soal jawaban soal ulangan ke bab 2 pada buku ajar geometri kelas 7-9 atanasyan Jelaskan apa gambar

disebut segitiga.
2. Berapakah keliling segitiga?
3. Segitiga apa yang disebut sama?
4. Apa yang dimaksud dengan teorema dan pembuktian teorema?
5. Jelaskan segmen mana yang disebut garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik ke garis tertentu.
6. Ruas manakah yang disebut median segitiga? Berapa banyak median yang dimiliki sebuah segitiga?
7. Ruas manakah yang disebut garis bagi segitiga? Berapa banyak garis bagi sebuah segitiga?
8. Ruas apakah yang disebut tinggi segitiga? Berapa tinggi sebuah segitiga?
9. Segitiga apa yang disebut sama kaki?
10. Apa nama-nama sisi segitiga sama kaki?
11. Segitiga apa yang disebut segitiga sama sisi?
12. Rumuskan sifat-sifat sudut pada alas segitiga sama kaki.
13. Rumuskan teorema tentang garis bagi segitiga sama kaki.
14. Merumuskan tanda pertama persamaan segitiga.
15. Merumuskan tanda kedua persamaan segitiga.
16. Rumuskan kriteria ketiga untuk persamaan segitiga.
17. Tentukan lingkaran.
18. Apa pusat lingkaran?
19. Apa yang disebut jari-jari lingkaran?
20. Apa yang disebut diameter lingkaran?
21. Apa yang disebut tali busur lingkaran?

Salah satu konsep dasar dalam geometri adalah bangun. Istilah ini berarti sekumpulan titik pada bidang yang dibatasi oleh sejumlah garis yang terbatas. Beberapa tokoh dapat dianggap setara, yang berkaitan erat dengan konsep gerak. Angka-angka geometris dapat dianggap tidak dalam isolasi, tetapi dalam satu atau lain cara dalam kaitannya satu sama lain - pengaturan bersama, kontak dan kecocokan, posisi "antara", "di dalam", rasio yang dinyatakan dalam konsep "lebih", "kurang", "sama". Geometri mempelajari sifat invarian dari angka, yaitu. mereka yang tetap tidak berubah di bawah transformasi geometris tertentu. Transformasi ruang seperti itu, di mana jarak antara titik-titik yang membentuk sosok tertentu tetap tidak berubah, disebut gerakan.Gerakan dapat bertindak dengan cara yang berbeda: terjemahan paralel, transformasi identik, rotasi di sekitar sumbu, simetri relatif terhadap garis lurus atau bidang, pusat, rotasi, simetri translasi.

Gerakan dan angka yang sama

Jika gerakan seperti itu dimungkinkan yang akan mengarah pada kombinasi satu angka dengan yang lain, angka-angka tersebut disebut sama (kongruen). Dua angka sama dengan sepertiga juga sama satu sama lain - pernyataan seperti itu dirumuskan oleh Euclid, pendiri geometri.Konsep angka kongruen dapat dijelaskan dalam bahasa yang lebih sederhana: sama adalah angka-angka yang benar-benar bertepatan ketika ditumpangkan pada masing-masing lainnya Ini cukup mudah untuk menentukan apakah gambar diberikan dalam bentuk objek tertentu yang dapat dimanipulasi - misalnya, mereka dipotong dari kertas, oleh karena itu di sekolah di kelas mereka sering menggunakan metode ini untuk menjelaskan konsep ini . Tetapi dua sosok yang digambar di pesawat tidak dapat secara fisik ditumpangkan satu sama lain. Dalam hal ini, bukti persamaan bangun-bangun adalah bukti persamaan semua unsur yang membentuk bangun-bangun tersebut: panjang ruas, besar sudut, diameter dan jari-jari, jika kita berbicara tentang sebuah lingkaran.

Angka yang setara dan berjarak sama

Dengan angka yang sama, orang tidak boleh bingung dengan angka yang berukuran sama dan komposisi yang sama - dengan semua kedekatan konsep ini.
Angka-angka berukuran sama adalah mereka yang memiliki luas yang sama jika mereka adalah angka-angka di pesawat, atau volume yang sama jika kita berbicara tentang benda tiga dimensi. Kebetulan semua elemen yang membentuk angka-angka ini tidak wajib. Angka yang sama akan selalu sama ukurannya, tetapi tidak semua angka dengan ukuran yang sama bisa disebut sama.Konsep komposisi yang sama paling sering diterapkan pada poligon. Ini menyiratkan bahwa poligon dapat dibagi menjadi jumlah yang sama dari masing-masing bentuk yang sama. Poligon yang ekuivalen selalu luasnya sama.

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Tujuan Pelajaran: Ulangi topik "Luas jajaran genjang". Turunkan rumus untuk luas segitiga, perkenalkan konsep angka yang sama besar. Memecahkan masalah dengan topik "Area dengan angka yang sama."

Selama kelas

I. Pengulangan.

1) Secara lisan sesuai dengan gambar yang sudah jadi Turunkan rumus luas jajar genjang.

2) Apa hubungan antara sisi jajar genjang dan ketinggian yang dijatuhkan padanya?

(sesuai dengan gambar yang sudah jadi)

hubungannya berbanding terbalik.

3) Temukan ketinggian kedua (sesuai dengan gambar yang sudah jadi)

4) Temukan luas jajaran genjang sesuai dengan gambar yang sudah jadi.

Keputusan:

5) Bandingkan luas jajar genjang S1, S2, S3. (Mereka memiliki luas yang sama, semua memiliki alas a dan tinggi h).

Definisi: Angka-angka yang memiliki luas yang sama disebut sama.

II. Penyelesaian masalah.

1) Buktikan bahwa setiap garis yang melalui titik potong diagonal-diagonalnya membaginya menjadi 2 bagian yang sama.

Keputusan:

2) Dalam jajar genjang ABCD tinggi CF dan CE. Buktikan bahwa AD CF = AB CE.

3) Diberikan trapesium dengan alas a dan 4a. Apakah mungkin menggambar garis lurus melalui salah satu simpulnya, membagi trapesium menjadi 5 segitiga dengan luas yang sama?

Keputusan: Bisa. Semua segitiga sama.

4) Buktikan bahwa jika kita mengambil titik A pada sisi jajar genjang dan menghubungkannya dengan simpul-simpulnya, maka luas segitiga ABC yang dihasilkan sama dengan setengah luas jajar genjang.

Keputusan:

5) Kue tersebut berbentuk jajar genjang. Kid dan Carlson membaginya seperti ini: Kid menunjuk ke sebuah titik di permukaan kue, dan Carlson memotong kue menjadi 2 bagian sepanjang garis lurus melewati titik ini dan mengambil salah satu bagian untuk dirinya sendiri. Semua orang menginginkan bagian yang lebih besar. Di mana Kid harus mengakhiri?

Keputusan: Pada titik potong diagonal.

6) Pada diagonal persegi panjang, sebuah titik dipilih dan garis lurus digambar melaluinya, sejajar dengan sisi persegi panjang. Pada sisi yang berhadapan terbentuk 2 buah persegi panjang. Bandingkan daerah mereka.

Keputusan:

AKU AKU AKU. Mempelajari topik "Luas segitiga"

mulai dengan tugas:

"Temukan luas segitiga yang alasnya a dan tingginya h."

Teman-teman, menggunakan konsep angka berukuran sama, membuktikan teorema.

Mari kita membangun segitiga ke jajaran genjang.

Luas segitiga sama dengan setengah luas jajar genjang.

Latihan: Gambarlah segitiga yang sama.

Sebuah model digunakan (3 segitiga berwarna dipotong dari kertas dan direkatkan pada alasnya).

Latihan nomor 474. "Bandingkan luas dua segitiga yang dibagi dengan mediannya."

Segitiga memiliki alas yang sama a dan tingginya sama h. Segitiga memiliki luas yang sama

Kesimpulan: Angka-angka yang memiliki luas yang sama disebut sama.

Pertanyaan untuk kelas:

Apakah angka yang sama memiliki ukuran yang sama?
Rumuskan pernyataan yang berlawanan. Apakah itu benar?
Apakah benar:
a) Apakah segitiga sama sisi sama luas?
b. Segitiga sama sisi dengan sisi yang sama panjang?
c. Persegi yang sisinya sama panjang?
d) Buktikan bahwa jajar genjang yang dibentuk oleh perpotongan dua garis dengan lebar yang sama pada sudut kemiringan yang berbeda satu sama lain adalah sama besar. Temukan jajar genjang dari area terkecil yang dibentuk oleh persimpangan dua strip dengan lebar yang sama. (Tunjukkan pada model: garis-garis lebar yang sama)

IV. Maju!

Ditulis di papan tulis tugas opsional:

1. "Potong segitiga dengan dua garis lurus sehingga Anda dapat melipat potongannya menjadi persegi panjang."

Keputusan:

2. "Potong persegi panjang dalam garis lurus menjadi 2 bagian, dari mana Anda dapat membuat segitiga siku-siku."

Keputusan:

3) Sebuah diagonal digambar pada persegi panjang. Di salah satu segitiga yang dihasilkan, median ditarik. Tentukan perbandingan antara luas bangun-bangun tersebut .

Keputusan:

Menjawab:

3. Dari tugas Olimpiade:

Pada segi empat ABCD, titik E adalah titik tengah AB, dihubungkan dengan titik D, dan F adalah titik tengah CD, dengan titik B. Buktikan bahwa luas EBFD segi empat adalah 2 kali lebih kecil dari luas segi empat ABCD.

Solusi: gambarkan BD diagonal.

Latihan nomor 475.

“Gambarlah segitiga ABC. Melalui titik sudut B, buat 2 garis lurus sehingga membagi segitiga tersebut menjadi 3 segitiga dengan luas yang sama.

Gunakan teorema Thales (bagi AC menjadi 3 bagian yang sama).

V. Tugas hari ini.

Baginya, saya mengambil bagian paling kanan dari papan, di mana saya menulis tugas hari ini. Anak-anak mungkin atau mungkin tidak memutuskan. Kami tidak akan menyelesaikan masalah ini di kelas hari ini. Hanya saja yang berminat bisa menuliskannya, menyelesaikannya di rumah atau saat istirahat. Biasanya, sudah jam istirahat, banyak pria mulai menyelesaikan masalah, jika mereka memutuskan, mereka menunjukkan solusinya, dan saya memperbaikinya di meja khusus. Dalam pelajaran berikutnya, kita pasti akan kembali ke masalah ini, mencurahkan sebagian kecil pelajaran untuk menyelesaikannya (dan masalah baru dapat ditulis di papan tulis).

“Jalur genjang dipotong menjadi jajaran genjang. Bagi sisanya menjadi 2 gambar berukuran sama.

Keputusan: Garis potong AB melalui titik potong diagonal jajar genjang O dan O1.

Masalah tambahan (dari masalah Olympiad):

1) “Dalam trapesium ABCD (AD || BC), simpul A dan B terhubung ke titik M, titik tengah sisi CD. Luas segitiga ABM adalah m. Cari luas trapesium ABCD.

Keputusan:

Segitiga ABM dan AMK sama besar, karena AM adalah median.
S ABK = 2m, BCM = MDK, S ABCD = S ABK = 2m.

Jawab: SABCD = 2m.

2) "Pada trapesium ABCD (AD || BC), diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O. Buktikan bahwa segitiga AOB dan COD adalah luas yang sama."

Keputusan:

S BCD = S ABC , karena mereka memiliki alas BC yang sama dan tinggi yang sama.

3) Sisi AB dari segitiga sembarang ABC diperpanjang melampaui titik B sehingga BP = AB, sisi AC diperpanjang melampaui titik A sehingga AM = CA, sisi BC diperpanjang melampaui titik C sehingga KS = BC. Berapa kali luas segitiga RMK lebih besar dari luas segitiga ABC?

Keputusan:

Dalam segitiga MVS: MA = AC, jadi luas segitiga BAM sama dengan luas segitiga ABC. Dalam segitiga tempat kerja: BP = AB, jadi luas segitiga BAM sama dengan luas segitiga ABP. Dalam segitiga ARS: AB = BP, jadi luas segitiga BAC sama dengan luas segitiga BPC. Dalam segitiga VRK: BC \u003d SC, oleh karena itu, luas segitiga VRS sama dengan luas segitiga RKS. Dalam segitiga AVK: BC = SC, jadi luas segitiga BAC sama dengan luas segitiga ASC. Pada segitiga MSC: MA = AC, maka luas segitiga KAM sama dengan luas segitiga ASC. Kami mendapatkan 7 segitiga yang sama. Cara,

Jawab: Luas segitiga MRK adalah 7 kali luas segitiga ABC.

4) Jajar genjang terkait.

2 jajar genjang terletak seperti yang ditunjukkan pada gambar: mereka memiliki simpul yang sama dan satu simpul lagi untuk masing-masing jajaran genjang terletak di sisi jajaran genjang lainnya. Buktikan bahwa luas jajar genjang sama.

Keputusan:

dan , cara,

Daftar literatur yang digunakan:

Buku teks "Geometri 7-9" (penulis L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev (Moskow, "Pencerahan", 2003).
Masalah Olimpiade dari tahun yang berbeda, khususnya dari buku teks "Masalah terbaik Olimpiade matematika" (disusun oleh A.A. Korznyakov, Perm, "Knizhny Mir", 1996).
Pilihan tugas yang terakumulasi selama bertahun-tahun bekerja.