Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ և դրանց: Ինչ է սինուսը և կոսինուսը տոկոսներ են

Այս հոդվածում դիտարկվելու են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների երեք հիմնական հատկություններ՝ սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս։

Առաջին հատկությունը ֆունկցիայի նշանն է, կախված նրանից, թե միավոր շրջանագծի որ քառորդին է պատկանում α անկյունը։ Երկրորդ հատկությունը պարբերականությունն է։ Ըստ այս հատկության՝ տիգոնոմետրիկ ֆունկցիան չի փոխում իր արժեքը, երբ անկյունը փոխվում է պտույտների ամբողջ թվով։ Երրորդ հատկությունը որոշում է, թե ինչպես են փոխվում արժեքները մեղքի գործառույթները, cos, tg, ctg հակառակ անկյուններում α և - α .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Հաճախ մաթեմատիկական տեքստում կամ խնդրի համատեքստում կարելի է գտնել «առաջին, երկրորդ, երրորդ կամ չորրորդ կոորդինատային քառորդի անկյուն» արտահայտությունը։ Ինչ է դա?

Դիտարկենք միավորի շրջանակը: Այն բաժանված է չորս քառորդների։ Շրջանակի վրա նշում ենք A ելակետը 0 (1, 0) և պտտելով այն O կետի շուրջ α անկյան տակ, հասնում ենք A 1 կետին (x, y): Կախված նրանից, թե որ քառորդում կգտնվի A 1 (x, y) կետը, α անկյունը կկոչվի համապատասխանաբար առաջին, երկրորդ, երրորդ և չորրորդ քառորդների անկյուն։

Պարզության համար մենք տալիս ենք նկարազարդում:

α = 30° անկյունը գտնվում է առաջին քառորդում: Անկյուն - 210° երկրորդ քառորդ անկյունն է: 585° անկյունը երրորդ քառորդի անկյունն է։ Անկյուն - 45° չորրորդ քառորդի անկյունն է։

Այս դեպքում ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° անկյունները չեն պատկանում որևէ քառորդի, քանի որ դրանք ընկած են կոորդինատային առանցքների վրա:

Այժմ հաշվի առեք այն նշանները, որոնք ընդունում են սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս՝ կախված նրանից, թե որ քառորդում է գտնվում անկյունը:

Սինուսի նշանները քառորդներով որոշելու համար հիշեք սահմանումը. Սինուսը A 1 (x, y) կետի օրդինատն է: Նկարը ցույց է տալիս, որ առաջին և երկրորդ եռամսյակներում այն ​​դրական է, իսկ երրորդում և քառապատիկում՝ բացասական։

Կոսինուսը A 1 (x, y) կետի աբսցիսա է: Դրան համապատասխան մենք որոշում ենք շրջանագծի վրա գտնվող կոսինուսի նշանները։ Առաջին և չորրորդ եռամսյակներում կոսինուսը դրական է, իսկ երկրորդ և երրորդ քառորդում՝ բացասական:

Շոշափողի և կոտանգենսի նշանները քառորդներով որոշելու համար մենք նաև հիշում ենք այս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները: Տանգենս - կետի օրդինատի հարաբերությունը աբսցիսային: Այսպիսով, ըստ թվերի բաժանման կանոնի տարբեր նշաններերբ օրդինատն ու աբսցիսն ունեն նույնական նշաններ, շրջանագծի վրա շոշափողի նշանը կլինի դրական, իսկ երբ օրդինատն ու աբսցիսան տարբեր նշաններ ունենան, բացասական։ Նմանապես, որոշվում են եռամսյակներում կոտանգենսի նշանները:

Կարևոր է հիշել.

1. α անկյան սինուսը 1-ին և 2-րդ քառորդներում ունի գումարած նշան, 3-րդ և 4-րդ քառորդներում՝ մինուս:
2. α անկյան կոսինուսը 1-ին և 4-րդ քառորդներում ունի գումարած նշան, 2-րդ և 3-րդ քառորդներում՝ մինուս:
3. α անկյան շոշափողը 1-ին և 3-րդ քառորդներում ունի գումարած նշան, 2-րդ և 4-րդ քառորդներում՝ մինուս:
4. α անկյան կոտանգենսը 1-ին և 3-րդ քառորդներում ունի գումարած նշան, 2-րդ և 4-րդ քառորդներում՝ մինուս:

Պարբերականության հատկություն

Պարբերականության հատկությունը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների առավել ակնհայտ հատկություններից է։

Պարբերականության հատկություն

Երբ անկյունը փոխվում է ամբողջական պտույտների ամբողջ թվով, տվյալ անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները մնում են անփոփոխ:

Իրոք, անկյունը պտույտների ամբողջ թվով փոխելիս միավոր շրջանագծի A ելակետից միշտ կհասնենք նույն կոորդինատներով A 1 կետին: Համապատասխանաբար, սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները չեն փոխվի:

Մաթեմատիկորեն այս հատկությունը գրված է հետևյալ կերպ.

sin α + 2 π z = մեղք α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α.

Ո՞րն է այս գույքի գործնական կիրառումը: Պարբերականության հատկությունը, ինչպես կրճատման բանաձևերը, հաճախ օգտագործվում է մեծ անկյունների սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների արժեքները հաշվարկելու համար:

Բերենք օրինակներ.

մեղք 13 π 5 \u003d մեղք 3 π 5 + 2 π \u003d մեղք 3 π 5

տ գ (- 689 °) = տ գ (31 ° + 360 ° (- 2)) = տ գ 31 ° տ գ (- 689 °) = տ գ (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = տ գ (- 329 °)

Եկեք նորից նայենք միավորի շրջանակին:

A 1 (x, y) կետը A 0 (1, 0) մեկնարկային կետը շրջանագծի կենտրոնի շուրջ α անկյան տակ պտտելու արդյունք է։ A 2 կետը (x, - y) մեկնարկային կետը՝ α անկյան տակ պտտելու արդյունք է։

A 1 և A 2 կետերը համաչափ են x առանցքի նկատմամբ: Այն դեպքում, երբ α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° A 1 և A 2 կետերը համընկնում են: Թող մի կետն ունենա կոորդինատներ (x, y), իսկ երկրորդը՝ (x, -y): Հիշեք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի, կոտանգենսի սահմանումները և գրեք.

sin α = y, cos α = x, t g α = y x, c t g α = x y sin - α = - y, cos - α = x, t g - α = - y x, c t g - α = x - y.

Սա ենթադրում է սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների հատկությունը հակառակ անկյունները.

Հակառակ անկյունների սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների հատկությունը

sin - α = - մեղք α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α.

Ըստ այս հատկության՝ հավասարությունները

մեղք - 48 ° = - մեղք 48 °, c t g π 9 = - c t g - π 9, cos 18 ° = cos - 18 °

Դիտարկվող հատկությունը հաճախ օգտագործվում է գործնական խնդիրներ լուծելիս այն դեպքերում, երբ անհրաժեշտ է ազատվել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փաստարկներում անկյունների բացասական նշաններից։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Թույլ է տալիս հաստատել մի շարք բնութագրական արդյունքներ. սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի հատկությունները. Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք երեք հիմնական հատկություններին. Դրանցից առաջինը ցույց է տալիս α անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի նշանները՝ կախված նրանից, թե որ կոորդինատային քառորդ անկյունն է α։ Հաջորդը, մենք դիտարկում ենք պարբերականության հատկությունը, որը սահմանում է α անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքների անփոփոխությունը, երբ այս անկյունը փոխվում է պտույտների ամբողջ քանակով: Երրորդ հատկությունն արտահայտում է α և -α հակադիր անկյունների սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքների փոխհարաբերությունը:

Եթե ​​ձեզ հետաքրքրում է սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի ֆունկցիաների հատկությունները, ապա դրանք կարելի է ուսումնասիրել հոդվածի համապատասխան բաժնում։

Էջի նավարկություն.

Սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի նշանները քառորդներով

Այս պարբերության ներքևում կգտնվի «կոորդինատային քառորդի I, II, III և IV անկյունը» արտահայտությունը։ Եկեք բացատրենք, թե որոնք են այս անկյունները:

Վերցնենք միավոր շրջան, վրան նշենք A(1, 0) մեկնարկային կետը և պտտենք այն O կետի շուրջ α անկյան տակ, մինչդեռ ենթադրենք, որ հասնում ենք A 1 կետին (x, y):

Նրանք դա ասում են α անկյունը կոորդինատային քառորդի I, II, III, IV անկյունն էեթե A 1 կետը գտնվում է համապատասխանաբար I, II, III, IV եռամսյակներում. եթե α անկյունն այնպիսին է, որ A 1 կետը ընկած է Ox կամ Oy կոորդինատային ուղիղներից որևէ մեկի վրա, ապա այս անկյունը չի պատկանում չորս քառորդներից որևէ մեկին:

Պարզության համար ներկայացնում ենք գրաֆիկական նկարազարդում։ Ստորև բերված գծագրերը ցույց են տալիս 30, -210, 585 և -45 աստիճանի պտտման անկյունները, որոնք համապատասխանաբար կոորդինատային քառորդների I, II, III և IV անկյուններն են:

անկյունները 0, ±90, ±180, ±270, ±360, ...աստիճանները չեն պատկանում կոորդինատային քառորդներից որևէ մեկին:

Հիմա եկեք պարզենք, թե որ նշաններն ունեն α պտտման անկյան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի արժեքները՝ կախված նրանից, թե որ քառորդ անկյունն է α։

Սինուսի և կոսինուսի համար դա հեշտ է անել:

Ըստ սահմանման α անկյան սինուսը A 1 կետի օրդինատն է։ Ակնհայտ է, որ I և II կոորդինատային եռամսյակներում այն ​​դրական է, իսկ III և IV եռամսյակներում՝ բացասական։ Այսպիսով, α անկյան սինուսը I և II քառորդներում ունի գումարած նշան, իսկ III և VI քառորդներում՝ մինուս:

Իր հերթին α անկյան կոսինուսը A 1 կետի աբսցիսա է։ I և IV եռամսյակներում դրական է, իսկ II և III եռամսյակներում՝ բացասական։ Հետևաբար, α անկյան կոսինուսի արժեքները I և IV քառորդներում դրական են, իսկ II և III քառորդներում՝ բացասական։

Նշանները շոշափողի և կոտանգենսի քառորդներով որոշելու համար պետք է հիշել դրանց սահմանումները՝ շոշափողը A 1 կետի օրդինատի հարաբերությունն է աբսցիսային, իսկ կոտանգենսը՝ A 1 կետի աբսցիսայի հարաբերակցությունը օրդինատին: Հետո սկսած թվերի բաժանման կանոններմիևնույն և տարբեր նշաններով, հետևում է, որ շոշափողն ու կոտանգենսը ունեն գումարած նշան, երբ A 1 կետի աբսցիսա և օրդինական նշանները նույնն են, և ունեն մինուս նշան, երբ A 1 կետի աբսցիսա և օրդինական նշանները տարբեր են: Այսպիսով, անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը I և III կոորդինատային քառորդներում ունեն + նշան, իսկ II և IV քառորդներում՝ մինուս:

Իրոք, օրինակ, առաջին քառորդում A 1 կետի և՛ աբսցիսա x, և՛ y օրդինատը դրական են, ապա և՛ x/y, և՛ y/x գործակիցը դրական են, հետևաբար, շոշափողն ու կոտանգենսը ունեն + նշան. . Իսկ երկրորդ քառորդում x աբսցիսա բացասական է, իսկ y օրդինատը դրական է, հետևաբար և՛ x/y, և՛ y/x բացասական են, որտեղից շոշափողը և կոտանգենսը ունեն մինուս նշան:

Անցնենք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի հաջորդ հատկությանը:

Պարբերականության հատկություն

Այժմ մենք կվերլուծենք, թերևս, անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի ամենաակնառու հատկությունը։ Այն բաղկացած է հետևյալից. երբ անկյունը փոխվում է ամբողջական պտույտների ամբողջ թվով, այս անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները չեն փոխվում:

Սա հասկանալի է. երբ անկյունը փոխվում է ամբողջ թվով պտույտներով, մենք միշտ A ելակետից կհասնենք A 1 կետին միավոր շրջանագծի վրա, հետևաբար, սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները մնում են անփոփոխ, քանի որ A 1 կետի կոորդինատներն անփոփոխ են.

Բանաձևերի միջոցով սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի դիտարկվող հատկությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ sin(α+2 π z)=sinα, cos(α+2 π z)=cosα, tg(α+2 π z) =tgα, ctg(α+2 π z)=ctgα, որտեղ α-ն ռադիաններով պտտման անկյունն է, z-ը ցանկացած է, որի բացարձակ արժեքը ցույց է տալիս լրիվ պտույտների թիվը, որով փոխվում է α անկյունը, և նշանը. z թիվը ցույց է տալիս ուղղության շրջադարձը:

Եթե ​​α պտտման անկյունը տրված է աստիճաններով, ապա այս բանաձևերը կվերագրվեն որպես sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360° z)=cosα, tg(α+360° z)=tgα, ctg(α+360° z)=ctgα .

Եկեք օրինակներ բերենք այս գույքի օգտագործման վերաբերյալ: Օրինակ, , ինչպես , ա . Ահա ևս մեկ օրինակ. կամ .

Այս հատկությունը, կրճատման բանաձևերի հետ միասին, շատ հաճախ օգտագործվում է «մեծ» անկյունների սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները հաշվարկելիս:

Սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի համարվող հատկությունը երբեմն կոչվում է պարբերականության հատկություն։

Հակառակ անկյունների սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների հատկությունները

Թող А 1 կետը լինի Ա(1, 0) սկզբնական կետի O կետի շուրջ α անկյան պտտման արդյունքում ստացված կետը, իսկ А 2 կետը՝ А կետի անկյան տակ պտտվելու արդյունքը։ −α անկյան հակառակ.

Հակառակ անկյունների սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների հատկությունը հիմնված է բավարարի վրա ակնհայտ փաստվերը նշված A 1 և A 2 կետերը կամ համընկնում են (at) կամ գտնվում են սիմետրիկորեն Ox առանցքի նկատմամբ: Այսինքն, եթե A 1 կետն ունի կոորդինատներ (x, y) , ապա A 2 կետը կունենա կոորդինատներ (x, −y): Այստեղից, ըստ սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումների, գրում ենք և.
Համեմատելով դրանք՝ հանգում ենք սինուսների, կոսինուսների, շոշափողների և հակադիր անկյունների α և −α ձևի սինուսների հարաբերություններին։
Սա դիտարկվող հատկությունն է բանաձևերի տեսքով։

Եկեք օրինակներ բերենք այս գույքի օգտագործման վերաբերյալ: Օրինակ՝ հավասարությունները և .

Մնում է միայն նշել, որ հակադիր անկյունների սինուսների, կոսինուսների, շոշափողների և կոտանգենսների հատկությունը, ինչպես նախորդ հատկությունը, հաճախ օգտագործվում է սինուսի, կոսինուսի, տանգենտի և կոտանգենսի արժեքները հաշվարկելիս և թույլ է տալիս լիովին հեռանալ: բացասական կողմերից.

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:Պրոց. 9 բջիջների համար: միջին դպրոց / Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա; Էդ. Ս.Ա.Տելյակովսկի.- Մ.: Լուսավորություն, 1990.- 272 էջ: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Հանրահաշիվև վերլուծության սկիզբը՝ Պրոց. 10-11 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / Ա. Ն. Կոլմոգորով, Ա. Մ. Աբրամով, Յու. Պ. Դուդնիցին և այլք; Էդ. Ա. Ն. Կոլմոգորովա.- 14-րդ հրատ.- Մ.: Լուսավորություն, 2004.- 384 էջ: ill.- ISBN 5-09-013651-3:
• Բաշմակով Մ.Ի.Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. Պրոց. 10-11 բջիջների համար: միջին դպրոց - 3-րդ հրատ. - Մ.: Լուսավորություն, 1993. - 351 էջ: հիվանդ. - ISBN 5-09-004617-4։
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.

Կարևոր նշումներ.
1. Եթե բանաձևերի փոխարեն տեսնում եք abracadabra, մաքրեք ձեր քեշը: Ինչպես դա անել ձեր բրաուզերում, գրված է այստեղ.
2. Նախքան հոդվածը կարդալը, առավելագույն ուշադրություն դարձրեք մեր նավիգատորին օգտակար ռեսուրսհամար

Սինուս, կոսինուս, շոշափող, կոտանգենս

Սինուս (), կոսինուս (), շոշափող (), կոտանգենս () հասկացությունները անքակտելիորեն կապված են անկյուն հասկացության հետ։ Որպեսզի լավ հասկանանք այս, առաջին հայացքից, բարդ հասկացությունները (որոնք սարսափելի վիճակ են առաջացնում շատ դպրոցականների մոտ), և համոզվելու համար, որ «սատանան այնքան սարսափելի չէ, որքան նկարված է», սկսենք հենց սկզբից և հասկանանք. անկյան հասկացությունը.

Անկյուն հասկացությունը՝ ռադիան, աստիճան

Եկեք նայենք նկարին։ Վեկտորը «շրջվել» է կետի նկատմամբ որոշակի քանակությամբ։ Այսպիսով, այս պտույտի չափը նախնական դիրքի համեմատ կլինի ներարկում.

Էլ ի՞նչ պետք է իմանաք անկյուն հասկացության մասին: Դե, անկյան միավորներ, իհարկե։

Անկյունը և՛ երկրաչափության, և՛ եռանկյունաչափության մեջ կարելի է չափել աստիճաններով և ռադիաններով:

Անկյունը (մեկ աստիճան) կոչվում է շրջանագծի կենտրոնական անկյուն՝ հիմնված շրջանագծի մասին հավասար շրջանաձև աղեղի վրա։ Այսպիսով, ամբողջ շրջանը բաղկացած է շրջանաձև աղեղների «կտորներից», կամ շրջանագծի նկարագրած անկյունը հավասար է։

Այսինքն՝ վերևի նկարը ցույց է տալիս հավասար անկյուն, այսինքն՝ այս անկյունը հիմնված է շրջագծի չափով շրջանաձև աղեղի վրա։

Ռադիաններով անկյունը կոչվում է շրջանագծի կենտրոնական անկյուն՝ հիմնված շրջանաձև աղեղի վրա, որի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին։ Լավ, հասկացա՞ր։ Եթե ​​ոչ, ապա եկեք նայենք նկարին։

Այսպիսով, նկարը ցույց է տալիս ռադիանի հավասար անկյուն, այսինքն, այս անկյունը հիմնված է շրջանաձև աղեղի վրա, որի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին (երկարությունը հավասար է երկարությանը կամ շառավիղը հավասար է. աղեղի երկարությունը): Այսպիսով, աղեղի երկարությունը հաշվարկվում է բանաձևով.

Որտեղ է կենտրոնական անկյունը ռադիաններով:

Դե, իմանալով սա, կարո՞ղ եք պատասխանել, թե քանի ռադիան է պարունակում շրջանով նկարագրված անկյուն: Այո, դրա համար անհրաժեշտ է հիշել շրջանագծի շրջագծի բանաձեւը։ Ահա նա.

Դե, հիմա եկեք փոխկապակցենք այս երկու բանաձևերը և ստանանք, որ շրջանագծի նկարագրած անկյունը հավասար է: Այսինքն՝ փոխկապակցելով արժեքը աստիճաններով և ռադիաններով՝ մենք ստանում ենք դա։ Համապատասխանաբար, . Ինչպես տեսնում եք, ի տարբերություն «աստիճանների», «ռադիան» բառը բաց է թողնված, քանի որ չափման միավորը սովորաբար պարզ է համատեքստից։

Քանի՞ ռադիան է: Ճիշտ է!

Հասկացա? Այնուհետև ամրացրեք առաջ.

Դժվարություններ կա՞ն: Հետո նայիր պատասխանները:

Ուղղանկյուն եռանկյուն՝ սինուս, կոսինուս, շոշափող, անկյան կոտանգենս

Այսպիսով, անկյան հայեցակարգը պարզվեց: Բայց ո՞րն է անկյան սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը, կոտանգենսը: Եկեք պարզենք այն: Դա անելու համար մենք կօգնենք ուղղանկյուն եռանկյուն.

Ինչպե՞ս են կոչվում ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը: Ճիշտ է, հիպոթենուսը և ոտքերը. հիպոթենուսը հակառակ կողմն է Աջ անկյունը(մեր օրինակում սա կողմն է); ոտքերը մնացած երկու կողմերն են և (որոնք հարում են ուղիղ անկյան տակ), ընդ որում, եթե ոտքերը դիտարկենք անկյան նկատմամբ, ապա ոտքը հարակից ոտքն է, իսկ ոտքը՝ հակառակը։ Այսպիսով, հիմա եկեք պատասխանենք հարցին. որո՞նք են անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը:

Անկյունի սինուսհակառակ (հեռավոր) ոտքի հարաբերությունն է հիպոթենուսին:

մեր եռանկյունու մեջ։

Անկյան կոսինուս- սա հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերակցությունն է հիպոթենուսին:

մեր եռանկյունու մեջ։

Անկյուն շոշափող- սա հակառակ (հեռավոր) ոտքի հարաբերակցությունն է հարակից (մոտ):

մեր եռանկյունու մեջ։

Անկյունի կոտանգենս- սա հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերակցությունն է հակառակ (հեռու):

մեր եռանկյունու մեջ։

Այս սահմանումները անհրաժեշտ են հիշիր! Որպեսզի ավելի հեշտ լինի հիշել, թե որ ոտքը ինչի վրա բաժանել, դուք պետք է հստակ հասկանաք դա շոշափողև կոտանգենսմիայն ոտքերը նստում են, իսկ հիպոթենուսը հայտնվում է միայն ներսում սինուսև կոսինուս. Եվ հետո դուք կարող եք գալ ասոցիացիաների շղթա: Օրինակ, այս մեկը.

կոսինուս→ շոշափել→ հպել→ հարակից;

Կոտանգենտ→ շոշափել→ շոշափել→ հարակից.

Նախ պետք է հիշել, որ սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը որպես եռանկյան կողմերի հարաբերություններ կախված չեն այս կողմերի երկարություններից (մեկ անկյան տակ): Չեն հավատում? Այնուհետև համոզվեք՝ նայելով նկարին.

Դիտարկենք, օրինակ, անկյան կոսինուսը: Ըստ սահմանման՝ եռանկյունից՝ , բայց անկյան կոսինուսը կարող ենք հաշվել եռանկյունից՝ . Տեսեք, կողմերի երկարությունները տարբեր են, բայց մեկ անկյան կոսինուսի արժեքը նույնն է։ Այսպիսով, սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները կախված են բացառապես անկյան մեծությունից:

Եթե ​​հասկանում եք սահմանումները, ապա առաջ գնացեք և ուղղեք դրանք:

Ստորև նկարում ներկայացված եռանկյունու համար մենք գտնում ենք.

Դե, ստացե՞լ եք: Ապա փորձեք ինքներդ՝ նույնը հաշվարկեք անկյունի համար։

Միավոր (եռանկյունաչափական) շրջան

Հասկանալով աստիճաններ և ռադիաններ հասկացությունները՝ մենք համարեցինք հավասար շառավղով շրջան։ Նման շրջանակը կոչվում է միայնակ. Այն շատ օգտակար է եռանկյունաչափության ուսումնասիրության մեջ։ Հետևաբար, մենք մի փոքր ավելի մանրամասն կանդրադառնանք դրան:

Ինչպես տեսնում եք, այս շրջանակը կառուցված է դեկարտյան կոորդինատային համակարգում։ Շրջանակի շառավիղը մեկին հավասար, մինչդեռ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է սկզբնակետում, շառավիղի վեկտորի սկզբնական դիրքը ամրագրված է առանցքի դրական ուղղության երկայնքով (մեր օրինակում սա շառավիղն է)։

Շրջանակի յուրաքանչյուր կետին համապատասխանում է երկու թիվ՝ առանցքի երկայնքով կոորդինատը և առանցքի երկայնքով կոորդինատը: Որո՞նք են այս կոորդինատային թվերը: Իսկ ընդհանրապես ի՞նչ կապ ունեն քննարկվող թեմայի հետ։ Դա անելու համար հիշեք դիտարկված ուղղանկյուն եռանկյունու մասին: Վերևի նկարում կարող եք տեսնել երկու ամբողջական ուղղանկյուն եռանկյունիներ: Դիտարկենք եռանկյուն: Այն ուղղանկյուն է, քանի որ այն ուղղահայաց է առանցքին:

Ինչի՞ է հավասար եռանկյունից: Ճիշտ է. Բացի այդ, մենք գիտենք, որ դա միավորի շրջանագծի շառավիղն է, և, հետևաբար, . Փոխարինեք այս արժեքը մեր կոսինուսի բանաձևով: Ահա թե ինչ է տեղի ունենում.

Իսկ ինչի՞ն է հավասար եռանկյունից։ Դե, իհարկե,! Փոխարինեք շառավիղի արժեքը այս բանաձևով և ստացեք.

Այսպիսով, կարո՞ղ եք ինձ ասել, թե որոնք են շրջանագծին պատկանող կետի կոորդինատները: Դե, ոչ մի կերպ: Իսկ եթե դուք դա գիտակցում եք և պարզապես թվեր եք: Ո՞ր կոորդինատին է այն համապատասխանում: Դե, իհարկե, կոորդինատը: Ո՞ր կոորդինատին է այն համապատասխանում: Ճիշտ է, կոորդինացե՛ք։ Այսպիսով, կետը.

Իսկ ի՞նչն է այդ դեպքում հավասար և. Ճիշտ է, օգտագործենք շոշափողի և կոտանգենսի համապատասխան սահմանումները և ստանանք, որ ա.

Իսկ եթե անկյունն ավելի մեծ է: Ահա, օրինակ, ինչպես այս նկարում.

Ինչ է փոխվել մեջ այս օրինակը? Եկեք պարզենք այն: Դա անելու համար մենք կրկին դիմում ենք ուղղանկյուն եռանկյունի: Դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյունը՝ անկյուն (անկյունին կից): Որքա՞ն է անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքը: Ճիշտ է, մենք հավատարիմ ենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համապատասխան սահմանումներին.

Դե, ինչպես տեսնում եք, անկյան սինուսի արժեքը դեռևս համապատասխանում է կոորդինատին. անկյան կոսինուսի արժեքը՝ կոորդինատը; և համապատասխան հարաբերակցություններին շոշափողի և կոտանգենսի արժեքները: Այսպիսով, այս հարաբերությունները կիրառելի են շառավիղի վեկտորի ցանկացած պտույտի համար:

Արդեն նշվեց, որ շառավիղի վեկտորի սկզբնական դիրքը առանցքի դրական ուղղության երկայնքով է։ Մինչ այժմ մենք պտտել ենք այս վեկտորը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, բայց ի՞նչ կլինի, եթե այն պտտենք ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ: Ոչ մի արտառոց բան, դուք նույնպես որոշակի չափի անկյուն կստանաք, բայց միայն այն կլինի բացասական։ Այսպիսով, շառավիղի վեկտորը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտելիս ստանում ենք դրական անկյուններև ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտվելիս՝ բացասական.

Այսպիսով, մենք գիտենք, որ շրջանագծի շուրջ շառավղային վեկտորի մի ամբողջ պտույտ է կամ. Հնարավո՞ր է շառավիղի վեկտորը պտտել ըստ կամ ըստ: Դե, իհարկե, կարող ես: Այսպիսով, առաջին դեպքում շառավիղի վեկտորը կկատարի մեկ ամբողջական պտույտ և կանգ կառնի դիրքում կամ.

Երկրորդ դեպքում, այսինքն, շառավիղի վեկտորը կկատարի երեք ամբողջական պտույտ և կանգ կառնի դիրքում կամ.

Այսպիսով, վերը նշված օրինակներից մենք կարող ենք եզրակացնել, որ անկյունները, որոնք տարբերվում են կամ (որտեղ կա որևէ ամբողջ թիվ) համապատասխանում են շառավիղի վեկտորի նույն դիրքին:

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս անկյունը: Նույն պատկերը համապատասխանում է անկյունին և այլն։ Այս ցանկը կարելի է անվերջ շարունակել։ Այս բոլոր անկյունները կարելի է գրել ընդհանուր բանաձևով կամ (որտեղ կա որևէ ամբողջ թիվ)

Այժմ, իմանալով հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները և օգտագործելով միավորի շրջանակը, փորձեք պատասխանել, թե ինչ արժեքներ են հավասար.

Ահա միավորի շրջանակը, որը կօգնի ձեզ.

Դժվարություններ կա՞ն: Հետո եկեք պարզենք: Այսպիսով, մենք գիտենք, որ.

Այստեղից որոշում ենք անկյան որոշակի չափումների համապատասխան կետերի կոորդինատները։ Դե, եկեք սկսենք հերթականությամբ. ժամը անկյունը համապատասխանում է կոորդինատներով կետի, հետևաբար.

Գոյություն չունի;

Այնուհետև, հավատարիմ մնալով նույն տրամաբանությանը, պարզում ենք, որ անկյունները համապատասխանաբար համապատասխանում են կոորդինատներով կետերին։ Իմանալով դա՝ հեշտ է որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները համապատասխան կետերում: Նախ փորձեք ինքներդ, ապա ստուգեք պատասխանները:

Պատասխանները:

Այսպիսով, մենք կարող ենք կազմել հետևյալ աղյուսակը.

Այս բոլոր արժեքները հիշելու կարիք չկա։ Բավական է հիշել միավորի շրջանագծի կետերի կոորդինատների և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների համապատասխանությունը.

Բայց ստորև բերված աղյուսակում տրված անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները, պետք է հիշել:

Մի վախեցեք, հիմա մենք ցույց կտանք օրինակներից մեկը համապատասխան արժեքների բավականին պարզ անգիր:

Այս մեթոդն օգտագործելու համար կարևոր է հիշել սինուսի արժեքները անկյան բոլոր երեք չափումների համար (), ինչպես նաև անկյան շոշափողի արժեքը: Իմանալով այս արժեքները, բավականին հեշտ է վերականգնել ամբողջ աղյուսակը. կոսինուսի արժեքները փոխանցվում են սլաքների համաձայն, այսինքն.

Իմանալով դա, դուք կարող եք վերականգնել արժեքները: « » համարիչը կհամընկնի, իսկ հայտարարը կհամապատասխանի: Կոտանգենտի արժեքները փոխանցվում են նկարում ներկայացված սլաքների համաձայն: Եթե ​​դուք հասկանում եք սա և հիշում եք սլաքներով գծապատկերը, ապա բավական կլինի հիշել ամբողջ արժեքը աղյուսակից:

Կետի կոորդինատները շրջանագծի վրա

Հնարավո՞ր է շրջանի վրա գտնել կետ (դրա կոորդինատները), իմանալով շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները, նրա շառավիղը և պտտման անկյունը?

Դե, իհարկե, կարող ես: Եկեք դուրս բերենք ընդհանուր բանաձեւգտնել կետի կոորդինատները.

Ահա, օրինակ, մենք ունենք այսպիսի շրջանակ.

Մեզ տրվում է, որ կետը շրջանագծի կենտրոնն է։ Շրջանակի շառավիղը հավասար է։ Անհրաժեշտ է գտնել կետի կոորդինատները, որոնք ստացվում են կետը աստիճաններով պտտելով։

Ինչպես երևում է նկարից, կետի կոորդինատը համապատասխանում է հատվածի երկարությանը։ Հատվածի երկարությունը համապատասխանում է շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատին, այսինքն՝ այն հավասար է. Հատվածի երկարությունը կարելի է արտահայտել՝ օգտագործելով կոսինուսի սահմանումը.

Այնուհետև մենք ունենք այն կետի կոորդինատը:

Նույն տրամաբանությամբ մենք գտնում ենք կետի համար y կոորդինատի արժեքը։ Այսպիսով,

Այսպիսով, ներս ընդհանուր տեսարանկետի կոորդինատները որոշվում են բանաձևերով.

Շրջանակի կենտրոնի կոորդինատները,

շրջանագծի շառավիղ,

Շառավիղի վեկտորի պտտման անկյուն:

Ինչպես տեսնում եք, միավորի շրջանակի համար, որը մենք դիտարկում ենք, այս բանաձևերը զգալիորեն կրճատվել են, քանի որ կենտրոնի կոորդինատները զրո են, իսկ շառավիղը հավասար է մեկի.

Դե, եկեք փորձենք այս բանաձեւերը համտեսելու համար՝ պարապելով շրջանագծի վրա միավորներ գտնելու՞ն:

1. Գտե՛ք կետի կոորդինատները միավոր շրջանագծի վրա, որը ստացվում է կետը միացնելով:

2. Գտե՛ք կետի կոորդինատները միավոր շրջանագծի վրա, որը ստացվում է կետը պտտելով:

3. Գտե՛ք կետի կոորդինատները միավոր շրջանագծի վրա, որը ստացվել է կետը միացնելով:

4. Կետ - շրջանագծի կենտրոն: Շրջանակի շառավիղը հավասար է։ Անհրաժեշտ է գտնել սկզբնական շառավիղի վեկտորը պտտելով ստացված կետի կոորդինատները:

5. Կետ - շրջանագծի կենտրոն: Շրջանակի շառավիղը հավասար է։ Անհրաժեշտ է գտնել սկզբնական շառավիղի վեկտորը պտտելով ստացված կետի կոորդինատները:

Ունե՞ք դժվարություն շրջանագծի վրա գտնվող կետի կոորդինատները գտնելու հարցում:

Լուծեք այս հինգ օրինակները (կամ լավ հասկացեք լուծումը) և կսովորեք, թե ինչպես գտնել դրանք:

ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎ

Անկյունի սինուսը հակառակ (հեռավոր) ոտքի հարաբերությունն է հիպոթենուսին:

Անկյունի կոսինուսը հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերությունն է հիպոթենուսին:

Անկյան շոշափողը հակառակ (հեռավոր) ոտքի հարաբերակցությունն է հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերակցությունը:

Անկյունի կոտանգենսը հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերակցությունն է հակառակ (հեռու):

Դե թեման վերջացավ։ Եթե ​​դուք կարդում եք այս տողերը, ապա դուք շատ լավն եք:

Քանի որ մարդկանց միայն 5%-ն է կարողանում ինքնուրույն ինչ-որ բանի տիրապետել։ Իսկ եթե կարդացել եք մինչև վերջ, ուրեմն դուք 5%-ի մեջ եք։

Հիմա ամենակարեւորը.

Դուք պարզել եք այս թեմայի տեսությունը: Եվ, կրկնում եմ, դա ... պարզապես սուպեր է: Դուք արդեն ավելի լավն եք, քան ձեր հասակակիցների ճնշող մեծամասնությունը:

Խնդիրն այն է, որ սա կարող է բավարար չլինել…

Ինչի համար?

Հաջողության համար քննություն հանձնելը, բյուջեով ինստիտուտ ընդունվելու համար և, ԱՄԵՆ ԿԱՐԵՎՈՐԸ, ցմահ։

Ես ձեզ ոչ մի բանում չեմ համոզի, միայն մի բան կասեմ...

Մարդիկ, ովքեր ստացել են լավ կրթություն, վաստակում են շատ ավելին, քան նրանք, ովքեր չեն ստացել այն։ Սա վիճակագրություն է։

Բայց սա չէ գլխավորը։

Գլխավորն այն է, որ նրանք ԱՎԵԼԻ ԵՐՋԱՆԱԼ են (նման ուսումնասիրություններ կան)։ Միգուցե այն պատճառով, որ շատ ավելի շատ հնարավորություններ են բացվում նրանց առջև, և կյանքը դառնում է ավելի պայծառ: չգիտեմ...

Բայց մտածեք ինքներդ...

Ի՞նչ է անհրաժեշտ քննությանը մյուսներից լավը լինելու և, ի վերջո, ավելի երջանիկ լինելու համար:

ՁԵՌՔ ԼՑՐԵՔ՝ ԱՅՍ ԹԵՄԱՅԻ ՀԱՄԱՐ ԽՆԴԻՐՆԵՐ ԼՈՒԾԵԼՈՎ։

Քննության ժամանակ ձեզ տեսություն չեն հարցնի:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի ժամանակին լուծել խնդիրները.

Եվ եթե դուք չեք լուծել դրանք (ՇԱՏ!), դուք հաստատ ինչ-որ տեղ հիմար սխալ կգործեք կամ պարզապես ժամանակին չեք անի:

Դա նման է սպորտի. պետք է բազմիցս կրկնել՝ հաստատ հաղթելու համար:

Գտեք հավաքածու ցանկացած վայրում, որտեղ ցանկանում եք անպայման լուծումներով մանրամասն վերլուծություն և որոշի՛ր, որոշի՛ր, որոշի՛ր։

Դուք կարող եք օգտագործել մեր առաջադրանքները (անհրաժեշտ չէ), և մենք, իհարկե, խորհուրդ ենք տալիս դրանք:

Մեր առաջադրանքների օգնությամբ ձեռք բերելու համար դուք պետք է օգնեք երկարացնել YouClever դասագրքի կյանքը, որը ներկայումս կարդում եք:

Ինչպե՞ս: Երկու տարբերակ կա.

1. Բացեք այս հոդվածի բոլոր թաքնված առաջադրանքների հասանելիությունը.
2. Բացեք մուտքը դեպի բոլոր թաքնված առաջադրանքները ձեռնարկի բոլոր 99 հոդվածներում. Գնել դասագիրք - 499 ռուբլի

Այո, մենք դասագրքում ունենք 99 նման հոդված, և բոլոր առաջադրանքների և դրանցում բոլոր թաքնված տեքստերի հասանելիությունը կարող է անմիջապես բացվել:

Բոլոր թաքնված առաջադրանքների մուտքն ապահովված է կայքի ողջ կյանքի ընթացքում:

Եզրափակելով...

Եթե ​​ձեզ դուր չեն գալիս մեր առաջադրանքները, գտեք ուրիշներին: Պարզապես մի կանգ առեք տեսության վրա:

«Հասկացել եմ» և «Ես գիտեմ, թե ինչպես լուծել» բոլորովին այլ հմտություններ են: Ձեզ երկուսն էլ պետք են:

Գտեք խնդիրներ և լուծեք:

Եռանկյունաչափության մեր ուսումնասիրությունը սկսում ենք ուղղանկյուն եռանկյունով: Եկեք սահմանենք, թե ինչ են սինուսը և կոսինուսը, ինչպես նաև սուր անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը: Սրանք եռանկյունաչափության հիմունքներն են։

Հիշեք դա Աջ անկյունը 90 աստիճանի հավասար անկյուն է։ Այսինքն՝ բացված անկյունի կեսը։

Սուր անկյուն- 90 աստիճանից պակաս:

Բութ անկյուն- ավելի քան 90 աստիճան: Նման անկյան հետ կապված «բութ»-ը վիրավորանք չէ, այլ մաթեմատիկական տերմին :-)

Եկեք գծենք ուղղանկյուն եռանկյուն: Ուղղակի անկյունը սովորաբար նշվում է: Ուշադրություն դարձրեք, որ անկյունին հակառակ կողմը նշվում է նույն տառով, միայն փոքր: Այսպիսով, նշվում է A անկյան դիմաց գտնվող կողմը:

Անկյունը նշվում է համապատասխանով Հունարեն նամակ.

ՀիպոթենուզաՈւղղանկյուն եռանկյունը ճիշտ անկյան հակառակ կողմն է:

Ոտքեր- սուր անկյունների հակառակ կողմերը:

Անկյունին հակառակ ոտքը կոչվում է հակառակը(անկյան համեմատ): Մյուս ոտքը, որը ընկած է անկյունի մի կողմում, կոչվում է կից.

ՍինուսՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է.

Կոսինուսսուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ - հարակից ոտքի հարաբերակցությունը հիպոթենուսին.

Շոշափողսուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ - հակառակ ոտքի հարաբերակցությունը հարակից.

Մեկ այլ (համարժեք) սահմանում. Սուր անկյան շոշափողը անկյան սինուսի և նրա կոսինուսի հարաբերությունն է.

Կոտանգենսսուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյունում - հարակից ոտքի հարաբերակցությունը հակառակին (կամ, համարժեքորեն, կոսինուսի և սինուսի հարաբերակցությունը).

Ուշադրություն դարձրեք սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի հիմնական գործակիցներին, որոնք տրված են ստորև: Նրանք մեզ օգտակար կլինեն խնդիրների լուծման գործում։

Եկեք ապացուցենք դրանցից մի քանիսը.

Լավ, մենք տվել ենք սահմանումներ և բանաձևեր գրել։ Բայց ինչո՞ւ են մեզ անհրաժեշտ սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը:

Մենք դա գիտենք Ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է.

Մենք գիտենք փոխհարաբերությունները կուսակցություններուղղանկյուն եռանկյուն. Սա Պյութագորասի թեորեմն է.

Պարզվում է, որ իմանալով եռանկյան երկու անկյուն, կարող ես գտնել երրորդը։ Իմանալով ուղղանկյուն եռանկյան երկու կողմերը՝ կարող եք գտնել երրորդը: Այսպիսով, անկյունների համար՝ իրենց հարաբերակցությունը, կողմերի համար՝ իրենցը: Բայց ի՞նչ անել, եթե ուղղանկյուն եռանկյան մեջ հայտնի են մեկ անկյուն (բացառությամբ ուղղանկյունի) և մի կողմ, բայց պետք է գտնել մյուս կողմերը:

Ահա թե ինչի են բախվել մարդիկ անցյալում՝ կազմելով տարածքի և աստղազարդ երկնքի քարտեզները։ Ի վերջո, միշտ չէ, որ հնարավոր է ուղղակիորեն չափել եռանկյան բոլոր կողմերը:

Սինուս, կոսինուս և շոշափող - դրանք նաև կոչվում են անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները- տալ հարաբերակցությունը միջև կուսակցություններև անկյուններըեռանկյուն. Իմանալով անկյունը, դուք կարող եք գտնել այն ամենը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներըստ հատուկ աղյուսակների. Իսկ իմանալով եռանկյան և նրա կողմերից մեկի անկյունների սինուսները, կոսինուսները և շոշափողները, կարող եք գտնել մնացածը:

Մենք նաև գծելու ենք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի արժեքների աղյուսակը դեպի «լավ» անկյունները:

Ուշադրություն դարձրեք աղյուսակի երկու կարմիր գծիկներին: Անկյունների համապատասխան արժեքների համար շոշափող և կոտանգենս գոյություն չունեն:

Եկեք վերլուծենք եռանկյունաչափության մի քանի խնդիր FIPI-ի բանկի առաջադրանքներից:

1. Եռանկյունում անկյունը , . Գտնել.

Խնդիրը լուծվում է չորս վայրկյանում։

Այնքանով, որքանով , .

2. Եռանկյան մեջ անկյունը , , . Գտնել.

Գտնենք Պյութագորասի թեորեմով.

Խնդիրը լուծված է.

Հաճախ խնդիրների մեջ լինում են անկյուններով և կամ անկյուններով եռանկյուններ և . Անգիր հիշիր նրանց հիմնական գործակիցները:

Անկյուններով եռանկյան համար, իսկ անկյան հակառակ ոտքը հավասար է հիպոթենուզի կեսը.

Անկյուններով և հավասարաչափ եռանկյուն: Դրանում հիպոթենուսը ոտքից անգամ ավելի մեծ է:

Մենք դիտարկել ենք ուղղանկյուն եռանկյուններ լուծելու խնդիրներ, այսինքն՝ անհայտ կողմեր ​​կամ անկյուններ գտնելու համար: Բայց սա դեռ ամենը չէ: AT ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ ընտրանքներՄաթեմատիկայի մեջ կան բազմաթիվ խնդիրներ, որտեղ հայտնվում է եռանկյան արտաքին անկյան սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը կամ կոտանգենսը: Այս մասին ավելի շատ հաջորդ հոդվածում:

Սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս հասկացությունները եռանկյունաչափության հիմնական կատեգորիաներն են՝ մաթեմատիկայի ճյուղ, և անքակտելիորեն կապված են անկյան սահմանման հետ։ Այս մաթեմատիկական գիտությանը տիրապետելը պահանջում է բանաձևերի և թեորեմների անգիր և ընկալում, ինչպես նաև զարգացած տարածական մտածողություն: Այդ իսկ պատճառով եռանկյունաչափական հաշվարկները հաճախ դժվարություններ են առաջացնում դպրոցականների և ուսանողների համար։ Դրանք հաղթահարելու համար դուք պետք է ավելի լավ ծանոթանաք եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին և բանաձևերին:

Հայեցակարգեր եռանկյունաչափության մեջ

Եռանկյունաչափության հիմնական հասկացությունները հասկանալու համար նախ պետք է որոշել, թե ինչ են ուղղանկյուն եռանկյունը և անկյունը շրջանագծի մեջ, և ինչու են բոլոր հիմնական եռանկյունաչափական հաշվարկները կապված դրանց հետ: Եռանկյունը, որի անկյուններից մեկը 90 աստիճան է, ուղղանկյուն եռանկյուն է: Պատմականորեն այս ցուցանիշը հաճախ օգտագործվում էր ճարտարապետության, նավիգացիայի, արվեստի, աստղագիտության մեջ: Ըստ այդմ, ուսումնասիրելով և վերլուծելով այս գործչի հատկությունները, մարդիկ եկան դրա պարամետրերի համապատասխան հարաբերակցությունների հաշվարկին:

Ուղղանկյուն եռանկյունների հետ կապված հիմնական կատեգորիաներն են հիպոթենուսը և ոտքերը: Հիպոթենուսը եռանկյան այն կողմն է, որը գտնվում է ուղիղ անկյան դիմաց: Ոտքերը, համապատասխանաբար, մյուս երկու կողմերն են։ Ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը միշտ 180 աստիճան է։

Գնդաձև եռանկյունաչափությունը եռանկյունաչափության բաժին է, որը չի ուսումնասիրվում դպրոցում, բայց կիրառական գիտություններում, ինչպիսիք են աստղագիտությունը և գեոդեզիան, գիտնականներն այն օգտագործում են: Գնդաձև եռանկյունու առանձնահատկությունն այն է, որ այն միշտ ունի 180 աստիճանից մեծ անկյունների գումար:

Եռանկյան անկյուններ

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ անկյան սինուսը ցանկալի անկյան դիմաց գտնվող ոտքի հարաբերությունն է եռանկյան հիպոթենուսին: Համապատասխանաբար, կոսինուսը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է: Այս երկու արժեքներն էլ միշտ ունեն մեկից պակաս արժեք, քանի որ հիպոթենուսը միշտ ավելի երկար է, քան ոտքը:

Անկյունի շոշափողը մի արժեք է, որը հավասար է հակառակ ոտքի և ցանկալի անկյան հարակից ոտքի կամ սինուսի և կոսինուսի հարաբերությանը: Կոտանգենսն իր հերթին ցանկալի անկյան հարակից ոտքի հարաբերակցությունն է հակառակ կակտետին: Անկյունի կոտանգենսը կարելի է ստանալ նաև միավորը շոշափողի արժեքի վրա բաժանելով։

միավոր շրջան

Միավոր շրջանագիծը երկրաչափության մեջ այն շրջանագիծն է, որի շառավիղը հավասար է մեկի: Նման շրջանագիծը կառուցված է դեկարտյան կոորդինատային համակարգում, շրջանագծի կենտրոնը համընկնում է սկզբնակետի հետ, իսկ շառավիղի վեկտորի սկզբնական դիրքը որոշվում է X առանցքի դրական ուղղությամբ (աբսցիսային առանցք)։ Շրջանակի յուրաքանչյուր կետ ունի երկու կոորդինատ՝ XX և YY, այսինքն՝ աբսցիսայի և օրդինատի կոորդինատները։ Ընտրելով XX հարթության շրջանագծի ցանկացած կետ և ուղղահայացը գցելով դեպի աբսցիսայի առանցքը, մենք ստանում ենք ընտրված կետի շառավղով ձևավորված ուղղանկյուն եռանկյուն (նշանակենք այն C տառով), ուղղահայաց, որը գծված է. X առանցքը (հատման կետը նշվում է G տառով), և աբսցիսայի առանցքի հատվածը սկզբնաղբյուրի (կետը նշվում է A տառով) և հատման կետի G-ի միջև: շրջան, որտեղ AG-ն հիպոթենուսն է, իսկ AC-ն և GC-ն ոտքերն են: AC շրջանագծի շառավղի և AG նշմամբ աբսցիսային առանցքի հատվածի միջև անկյունը մենք սահմանում ենք α (ալֆա): Այսպիսով, cos α = AG/AC: Հաշվի առնելով, որ AC-ը միավոր շրջանագծի շառավիղն է, և այն հավասար է մեկի, ստացվում է, որ cos α=AG: Նմանապես, sin α=CG:

Բացի այդ, իմանալով այս տվյալները, դուք կարող եք որոշել C կետի կոորդինատը շրջանագծի վրա, քանի որ cos α=AG, և sin α=CG, ինչը նշանակում է, որ C կետն ունի տրված կոորդինատները (cos α; sin α): Իմանալով, որ շոշափողը հավասար է սինուսի և կոսինուսի հարաբերությանը, մենք կարող ենք որոշել, որ tg α \u003d y / x և ctg α \u003d x / y: Հաշվի առնելով անկյունները բացասական կոորդինատային համակարգում, կարելի է հաշվարկել, որ որոշ անկյունների սինուսի և կոսինուսի արժեքները կարող են բացասական լինել:

Հաշվարկներ և հիմնական բանաձևեր

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքներ

Հաշվի առնելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների էությունը միավորի շրջանակի միջոցով, մենք կարող ենք դուրս բերել այդ ֆունկցիաների արժեքները որոշ անկյունների համար: Արժեքները թվարկված են ստորև բերված աղյուսակում:

Ամենապարզ եռանկյունաչափական ինքնությունները

Այն հավասարումները, որոնցում եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ անհայտ արժեք կա, կոչվում են եռանկյունաչափական: Sin x = α արժեքով նույնականություններ, k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk:
4. sin x = a, |a| > 1, լուծումներ չկան:
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Cos x = a արժեքով նույնականություններ, որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk:
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, լուծումներ չկան:
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Նույնականություններ tg x = a արժեքով, որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk:

ctg x = a արժեք ունեցող նույնականություններ, որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Ձուլման բանաձևեր

Մշտական ​​բանաձևերի այս կատեգորիան նշանակում է մեթոդներ, որոնցով կարող եք ձևի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից անցնել փաստարկի ֆունկցիաների, այսինքն՝ ցանկացած արժեքի անկյան սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը փոխարկել անկյան համապատասխան ցուցիչներին։ 0-ից 90 աստիճանի միջակայքը՝ հաշվարկների ավելի հարմարավետության համար:

Անկյունի սինուսի համար ֆունկցիաների կրճատման բանաձևերը հետևյալն են.

• sin(900 - α) = α;
• sin (900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin (1800 + α) = -sin α;
• sin (2700 - α) = -cos α;
• sin (2700 + α) = -cos α;
• sin (3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Անկյան կոսինուսի համար.

• cos(900 - α) = մեղք α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Վերոնշյալ բանաձևերի օգտագործումը հնարավոր է երկու կանոնների համաձայն. Նախ, եթե անկյունը կարող է ներկայացվել որպես արժեք (π/2 ± a) կամ (3π/2 ± a), ֆունկցիայի արժեքը փոխվում է.

• մեղքից մինչև կոս;
• cos-ից մինչև մեղք;
• tg-ից մինչև ctg;
• ctg-ից tg.

Ֆունկցիայի արժեքը մնում է անփոփոխ, եթե անկյունը կարող է ներկայացվել որպես (π ± a) կամ (2π ± a):

Երկրորդ, կրճատված ֆունկցիայի նշանը չի փոխվում. եթե ի սկզբանե դրական է եղել, այդպես էլ մնում է։ Նույնը վերաբերում է բացասական գործառույթներին:

Հավելման բանաձևեր

Այս բանաձևերը արտահայտում են սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և պտտման երկու անկյունների գումարի և տարբերության արժեքները՝ ըստ դրանց եռանկյունաչափական ֆունկցիաների: Անկյունները սովորաբար նշանակում են α և β:

Բանաձևերն այսպիսի տեսք ունեն.

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β):
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β):

Այս բանաձևերը վավեր են α և β ցանկացած անկյունների համար:

Կրկնակի և եռակի անկյունային բանաձևեր

Կրկնակի և եռակի անկյան եռանկյունաչափական բանաձևերը բանաձևեր են, որոնք կապում են համապատասխանաբար 2α և 3α անկյունների ֆունկցիաները α անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ։ Ավելացման բանաձևերից ստացված.

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α):
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α):

Անցում գումարից ապրանքի

Հաշվի առնելով, որ 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), պարզեցնելով այս բանաձևը, մենք ստանում ենք նույնականությունը sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2: Նմանապես, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α):

Անցում ապրանքից դեպի գումար

Գումարի արդյունքին անցնելու նույնականացումներից բխում են այս բանաձևերը.

• sinα * sinβ = 1/2 *;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2 *:

Կրճատման բանաձևեր

Այս նույնություններում սինուսի և կոսինուսի քառակուսի և խորանարդ հզորությունները կարող են արտահայտվել բազմակի անկյան առաջին ուժի սինուսի և կոսինուսի տեսքով.

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Ունիվերսալ փոխարինում

Եռանկյունաչափական փոխարինման համընդհանուր բանաձևերը արտահայտում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կիսանկյան շոշափողով։

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), մինչդեռ x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), որտեղ x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), որտեղ x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), մինչդեռ x \u003d π + 2πn.

Հատուկ դեպքեր

Ամենապարզից հատուկ դեպքեր եռանկյունաչափական հավասարումներտրված են ստորև (k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է):

Անձնական սինուսի համար.

մեղք x արժեք	x արժեքը
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk կամ 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk կամ -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk կամ 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk կամ -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk կամ 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk կամ -2π/3 + 2πk

Կոսինուսի գործակիցները.

cos x արժեքը	x արժեքը
0	π/2 + 2πk
1	2 πk
-1	2 + 2 πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Մասնավոր շոշափողի համար.

tg x արժեքը	x արժեքը
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Կոտանգենսների գործակիցները.

ctg x արժեքը	x արժեքը
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Թեորեմներ

Սինուսի թեորեմ

Թեորեմի երկու տարբերակ կա՝ պարզ և ընդլայնված։ Պարզ սինուսների թեորեմ՝ a/sin α = b/sin β = c/sin γ: Այս դեպքում a, b, c-ն եռանկյան կողմերն են, իսկ α, β, γ՝ համապատասխանաբար հակառակ անկյունները։

Ընդլայնված սինուսի թեորեմ կամայական եռանկյունու համար՝ a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R: Այս նույնությամբ R-ը նշանակում է շրջանագծի շառավիղը, որում մակագրված է տվյալ եռանկյունը։

Կոսինուսների թեորեմ

Ինքնությունը ցուցադրվում է այսպես՝ a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α: Բանաձևում a, b, c-ն եռանկյան կողմերն են, իսկ α-ն՝ a կողմի հակառակ անկյունը:

Շոշափող թեորեմ

Բանաձևն արտահայտում է երկու անկյունների շոշափողների և նրանց դիմաց գտնվող կողմերի երկարության հարաբերությունները: Կողմերը նշված են a, b, c, իսկ համապատասխան հակադիր անկյուններն են α, β, γ: Շոշափող թեորեմի բանաձևը՝ (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Կոտանգենտի թեորեմ

Եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը կապում է նրա կողմերի երկարության հետ: Եթե ​​a, b, c եռանկյան կողմերն են, իսկ A, B, C, համապատասխանաբար, նրանց հակադիր անկյունները, r-ը ներգծված շրջանագծի շառավիղն է, իսկ p-ն եռանկյան կիսաշրջագիծն է, ապա հետևյալ նույնականությունները. պահել:

• ctg A / 2 = (p-a) / r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Դիմումներ

Եռանկյունաչափությունը միայն տեսական գիտություն չէ, որը կապված է մաթեմատիկական բանաձևերի հետ։ Դրա հատկությունները, թեորեմները և կանոնները գործնականում օգտագործվում են տարբեր ոլորտների կողմից մարդկային գործունեություն- աստղագիտություն, օդային և ծովային նավարկություն, երաժշտության տեսություն, գեոդեզիա, քիմիա, ակուստիկա, օպտիկա, էլեկտրոնիկա, ճարտարապետություն, տնտեսագիտություն, մեքենաշինություն, չափիչ աշխատանք, համակարգչային գրաֆիկա, քարտեզագրություն, օվկիանոսագրություն և շատ ուրիշներ։

Սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը եռանկյունաչափության հիմնական հասկացություններն են, որոնցով կարելի է մաթեմատիկորեն արտահայտել եռանկյան անկյունների և կողմերի երկարությունների միջև կապը և գտնել ցանկալի մեծությունները նույնականությունների, թեորեմների և կանոնների միջոցով: