Բանաձևի սինուսների և կոսինուսների հատկությունները. Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններ

Եռանկյունաչափությունը մաթեմատիկայի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաները և դրանց կիրառությունը երկրաչափության մեջ։ Եռանկյունաչափության զարգացումը սկսվել է Հին Հունաստանի ժամանակներից: Միջնադարում այս գիտության զարգացման գործում կարևոր ներդրում են ունեցել Մերձավոր Արևելքի և Հնդկաստանի գիտնականները։

Այս հոդվածը նվիրված է եռանկյունաչափության հիմնական հասկացություններին և սահմանումներին: Այն քննարկում է հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները՝ սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս: Բացատրված և պատկերված է դրանց նշանակությունը երկրաչափության համատեքստում:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Սկզբում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները, որոնց արգումենտը անկյունն է, արտահայտվել են ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերությունների միջոցով։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումներ

Անկյան սինուսը (sin α) այս անկյան դիմաց գտնվող ոտքի հարաբերությունն է հիպոթենուսին:

Անկյան կոսինուսը (cos α) հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է։

Անկյան շոշափողը (t g α) հակառակ ոտքի հարաբերակցությունն է հարևանին:

Անկյան կոտանգենսը (c t g α) հարակից ոտքի և հակառակ ոտքի հարաբերությունն է։

Այս սահմանումները տրված են ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան համար:

Եկեք նկարազարդենք.

C ուղղանկյուն ABC եռանկյան մեջ A անկյան սինուսը հավասար է BC ոտքի և AB հիպոթենուսի հարաբերությունին:

Սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումները թույլ են տալիս հաշվարկել այս ֆունկցիաների արժեքները եռանկյան կողմերի հայտնի երկարություններից:

Կարևոր է հիշել.

Սինուսի և կոսինուսի արժեքների միջակայքը՝ -1-ից մինչև 1: Այլ կերպ ասած, սինուսը և կոսինուսը արժեքներ են վերցնում -1-ից մինչև 1: Շոշափող և կոտանգենս արժեքների միջակայքը ամբողջ թվային գիծն է, այսինքն՝ սրանք ֆունկցիաները կարող են ընդունել ցանկացած արժեք:

Վերևում տրված սահմանումները վերաբերում են սուր անկյուններին: Եռանկյունաչափության մեջ ներդրվում է պտտման անկյան հասկացությունը, որի արժեքը, ի տարբերություն սուր անկյան, չի սահմանափակվում շրջանակներով 0-ից 90 աստիճան: Պտտման անկյունը աստիճաններով կամ ռադիաններով արտահայտվում է ցանկացած իրական թվով. ∞-ից + ∞:

Այս համատեքստում կարելի է սահմանել կամայական մեծության անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը: Պատկերացրեք միավոր շրջան, որը կենտրոնացած է Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի սկզբնավորման վրա:

A ելակետը կոորդինատներով (1, 0) պտտվում է միավոր շրջանագծի կենտրոնի շուրջը որոշակի α անկյան տակ և գնում դեպի A 1 կետ: Սահմանումը տրվում է A 1 (x, y) կետի կոորդինատների միջոցով։

Պտտման անկյան սինուս (մեղք):

α պտտման անկյան սինուսը A 1 (x, y) կետի օրդինատն է։ sinα = y

Պտտման անկյան կոսինուս (cos):

α պտտման անկյան կոսինուսը A 1 (x, y) կետի աբսցիսն է։ cos α = x

Պտտման անկյան շոշափում (tg):

α պտտման անկյան շոշափողը A 1 (x, y) կետի օրդինատի հարաբերությունն է նրա աբսցիսային։ t g α = y x

Պտտման անկյան կոտանգենս (ctg):

α պտտման անկյան կոտանգենսը A 1 (x, y) կետի աբսցիսայի հարաբերությունն է նրա օրդինատի նկատմամբ։ c t g α = x y

Սինուսը և կոսինուսը սահմանվում են պտտման ցանկացած անկյան համար: Սա տրամաբանական է, քանի որ պտույտից հետո կետի աբսցիսան և օրդինատը կարելի է որոշել ցանկացած անկյան տակ։ Իրավիճակն այլ է շոշափողի և կոտանգենսի դեպքում։ Շոշափողը չի սահմանվում, երբ պտույտից հետո կետը գնում է զրոյական աբսցիսով (0, 1) և (0, - 1) կետին: Նման դեպքերում t g α = y x շոշափողի արտահայտությունը պարզապես իմաստ չունի, քանի որ այն պարունակում է բաժանում զրոյի: Իրավիճակը նման է կոտանգենտի դեպքում. Տարբերությունն այն է, որ կոտանգենսը չի սահմանվում այն ​​դեպքերում, երբ կետի օրդինատը անհետանում է:

Կարևոր է հիշել.

Սինուսը և կոսինուսը սահմանվում են α անկյունների համար:

Շոշափողը սահմանվում է բոլոր անկյունների համար, բացառությամբ α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Կոտանգենսը սահմանվում է բոլոր անկյունների համար, բացառությամբ α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Գործնական օրինակներ լուծելիս մի ասեք «α պտտման անկյան սինուս»: «Ռոտացիայի անկյուն» բառերն ուղղակի բաց են թողնվում՝ ենթադրելով, որ համատեքստից արդեն պարզ է, թե ինչի մասին է խոսքը։

Թվեր

Ի՞նչ կասեք թվի սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի սահմանման մասին, և ոչ թե պտտման անկյունի:

Սինուս, կոսինուս, շոշափող, թվի կոտանգենս

Թվի սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս տկոչվում է մի թիվ, որը համապատասխանաբար հավասար է սինուսին, կոսինուսին, շոշափողին և կոտանգենսին տռադիան.

Օրինակ, 10 π-ի սինուսը հավասար է 10 π ռադ պտտման անկյան սինուսին:

Գոյություն ունի թվի սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի սահմանման մեկ այլ մոտեցում։ Դիտարկենք այն ավելի մանրամասն:

Ցանկացած իրական թիվ տՈւղղանկյուն Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի սկզբնամասում կենտրոնի հետ համապատասխան կետ դրվում է միավոր շրջանագծի վրա: Սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը սահմանվում են այս կետի կոորդինատներով:

Շրջանակի ելակետը կոորդինատներով A կետն է (1, 0):

դրական թիվ տ

Բացասական թիվ տհամապատասխանում է այն կետին, որով կշարժվի մեկնարկային կետը, եթե այն շարժվի շրջանագծի շուրջը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ և անցնի t ճանապարհը:

Այժմ, երբ հաստատվել է շրջանագծի թվի և կետի միջև կապը, մենք անցնում ենք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանմանը:

t թվի սինուս (մեղք):

Թվի սինուս տ- թվին համապատասխան միավոր շրջանագծի կետի օրդինատը տ. մեղք t = y

t-ի կոսինուս (cos)

Թվի կոսինուս տ- թվին համապատասխան միավոր շրջանագծի կետի աբսիսսա տ. cos t = x

t-ի շոշափող (tg)

Թվի շոշափող տ- թվին համապատասխանող միավոր շրջանագծի կետի օրդինատի և աբսցիսայի հարաբերությունը. տ. t g t = y x = sin t cos t

Վերջին սահմանումները համահունչ են և չեն հակասում այս բաժնի սկզբում տրված սահմանմանը: Նշեք թվին համապատասխան շրջանագծի վրա տ, համընկնում է այն կետի հետ, որով անցնում է ելակետը անկյունով շրջվելուց հետո տռադիան.

Անկյունային և թվային արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

α անկյան յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է այս անկյան սինուսի և կոսինուսի որոշակի արժեքին։ Ինչպես α = 90 ° + 180 ° · k , բացի բոլոր α անկյուններից, k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) համապատասխանում է շոշափողի որոշակի արժեքին։ Կոտանգենսը, ինչպես նշվեց վերևում, սահմանվում է բոլոր α-ի համար, բացառությամբ α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z):

Կարող ենք ասել, որ sin α , cos α , t g α , c t g α անկյան ալֆայի ֆունկցիաներ են կամ անկյունային արգումենտի ֆունկցիաներ։

Նմանապես, կարելի է խոսել սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի մասին՝ որպես թվային փաստարկի ֆունկցիաներ: Յուրաքանչյուր իրական թիվ տհամապատասխանում է թվի սինուսի կամ կոսինուսի որոշակի արժեքին տ. Բացի π 2 + π · k , k ∈ Z բոլոր թվերը համապատասխանում են շոշափողի արժեքին։ Կոտանգենսը նմանապես սահմանվում է բոլոր թվերի համար, բացառությամբ π · k , k ∈ Z:

Եռանկյունաչափության հիմնական գործառույթները

Սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն են:

Սովորաբար կոնտեքստից պարզ է դառնում, թե եռանկյունաչափական ֆունկցիայի որ արգումենտի հետ (անկյունային արգումենտ կամ թվային արգումենտ) գործ ունենք։

Եկեք վերադառնանք սահմանումների հենց սկզբի տվյալներին և անկյան ալֆային, որը գտնվում է 0-ից 90 աստիճանի միջակայքում: Սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի եռանկյունաչափական սահմանումները լիովին համընկնում են ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերություններով տրված երկրաչափական սահմանումների հետ։ Եկեք ցույց տանք:

Վերցրեք միավոր շրջանագիծը՝ կենտրոնացած ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգի վրա: A (1, 0) ելակետը պտտենք մինչև 90 աստիճան անկյան տակ և ստացված A կետից նկարենք x-ի առանցքին ուղղահայաց 1 (x, y): Ստացված ուղղանկյուն եռանկյունում A 1 O H անկյունը հավասար է α պտտման անկյունին, O H ոտքի երկարությունը հավասար է A 1 (x, y) կետի աբսցիսային: Անկյունին հակառակ ոտքի երկարությունը հավասար է A 1 կետի օրդինատին (x, y), իսկ հիպոթենուսի երկարությունը հավասար է մեկի, քանի որ այն միավոր շրջանագծի շառավիղն է։

Երկրաչափության սահմանման համաձայն, α անկյան սինուսը հավասար է հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությանը:

մեղք α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Սա նշանակում է, որ ուղղանկյուն եռանկյունում սուր անկյան սինուսի սահմանումը հարթության հարաբերակցության միջոցով համարժեք է α պտտման անկյան սինուսի սահմանմանը, իսկ ալֆան գտնվում է 0-ից 90 աստիճանի միջակայքում:

Նմանապես, սահմանումների համապատասխանությունը կարող է ցուցադրվել կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի համար:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում.

Բարդության ցանկացած մակարդակի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումն ի վերջո հանգում է ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը: Եվ սրանում եռանկյունաչափական շրջանագիծը կրկին լավագույն օգնական է ստացվում։

Հիշեք կոսինուսի և սինուսի սահմանումները:

Անկյունի կոսինուսը աբսցիսա է (այսինքն՝ առանցքի երկայնքով կոորդինատը) միավոր շրջանագծի վրա գտնվող կետի, որը համապատասխանում է տվյալ անկյան տակ պտույտին։

Անկյունի սինուսը տվյալ անկյան միջով պտույտին համապատասխանող միավոր շրջանագծի կետի օրդինատն է (այսինքն՝ առանցքի երկայնքով կոորդինատը):

Եռանկյունաչափական շրջանի երկայնքով շարժման դրական ուղղությունը համարվում է շարժումը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ։ 0 աստիճանի (կամ 0 ռադիանի) պտույտը համապատասխանում է կոորդինատներով կետին (1; 0)

Մենք օգտագործում ենք այս սահմանումները ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները լուծելու համար:

1. Լուծի՛ր հավասարումը

Այս հավասարումը բավարարվում է պտտման անկյան բոլոր այն արժեքներով, որոնք համապատասխանում են շրջանագծի կետերին, որոնց օրդինատը հավասար է .

y առանցքի օրդինատով կետ նշենք.

Հորիզոնական գիծ գծի՛ր x առանցքին զուգահեռ, մինչև այն հատվի շրջանագծի հետ: Շրջանակի վրա պառկած և օրդինատ ունենալով կստանանք երկու միավոր։ Այս կետերը համապատասխանում են պտտման անկյուններին և ռադիաններին.

Եթե ​​մենք, թողնելով մեկ ռադիանի պտտման անկյան համապատասխան կետը, շրջենք ամբողջ շրջանով, ապա կգանք մեկ ռադիանի պտտման անկյան համապատասխան կետի և ունենալով նույն օրդինատը։ Այսինքն՝ պտտման այս անկյունը նույնպես բավարարում է մեր հավասարումը։ Մենք կարող ենք այնքան «պարապ» պտույտներ անել, որքան ցանկանում ենք՝ վերադառնալով նույն կետին, և այս բոլոր անկյունային արժեքները կբավարարեն մեր հավասարումը: «Պարապ» հեղափոխությունների թիվը նշվում է (կամ) տառով: Քանի որ մենք կարող ենք այս հեղափոխություններն անել ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական ուղղություններով, (կամ ) կարող ենք ընդունել ցանկացած ամբողջ արժեք:

Այսինքն, սկզբնական հավասարման լուծումների առաջին շարքն ունի ձև.

, , - ամբողջ թվերի բազմություն (1)

Նմանապես, լուծումների երկրորդ շարքը ունի ձևը.

, որտեղ , . (2)

Ինչպես կռահեցիք, լուծումների այս շարքը հիմնված է շրջանագծի կետի վրա, որը համապատասխանում է պտտման անկյան .

Այս երկու լուծումների շարքը կարելի է միավորել մեկ մուտքի մեջ.

Եթե ​​վերցնենք այս մուտքը (այսինքն՝ նույնիսկ), ապա կստանանք լուծումների առաջին շարքը։

Եթե ​​վերցնենք այս գրառումը (այսինքն՝ կենտ), ապա կստանանք լուծումների երկրորդ շարքը։

2. Այժմ լուծենք հավասարումը

Քանի որ միավոր շրջանագծի կետի աբսցիսան ստացվում է անկյան միջով պտտվելով, առանցքի վրա աբսցիսով նշում ենք մի կետ.

Գծի՛ր առանցքին զուգահեռ ուղղահայաց գիծ, ​​մինչև այն հատվի շրջանագծի հետ: Շրջանագծի վրա պառկած և աբսցիսսա ունեցող երկու միավոր կստանանք։ Այս կետերը համապատասխանում են պտտման անկյուններին և ռադիաններին: Հիշեցնենք, որ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ շարժվելիս մենք ստանում ենք պտտման բացասական անկյուն.

Մենք գրում ենք լուծումների երկու շարք.

,

,

(Մենք ճիշտ կետին ենք հասնում՝ անցնելով հիմնական ամբողջական շրջանից, այսինքն.

Համատեղենք այս երկու շարքերը մեկ գրառման մեջ.

3. Լուծե՛ք հավասարումը

Շոշափողների ուղիղն անցնում է OY առանցքին զուգահեռ միավոր շրջանագծի կոորդինատներով (1,0) կետով.

Նշե՛ք դրա վրա մի կետ 1-ի հավասար օրդինատով (մենք փնտրում ենք, որի անկյունների շոշափողը 1 է).

Այս կետը միացրեք սկզբնակետին ուղիղ գծով և նշեք գծի հատման կետերը միավոր շրջանով։ Ուղղի և շրջանագծի հատման կետերը համապատասխանում են պտտման անկյուններին և.

Քանի որ պտտման անկյուններին համապատասխանող կետերը, որոնք բավարարում են մեր հավասարումը, գտնվում են իրարից ռադիաններով, մենք կարող ենք լուծումը գրել հետևյալ կերպ.

4. Լուծի՛ր հավասարումը

Կոտանգենսների գիծն անցնում է առանցքին զուգահեռ միավոր շրջանագծի կոորդինատներով կետով։

Կոտանգենսների գծի վրա աբսցիսայով -1 կետ ենք նշում.

Այս կետը միացրեք ուղիղ գծի սկզբնակետին և շարունակեք այն մինչև այն հատվի շրջանագծի հետ: Այս ուղիղը կհատի շրջանագիծը պտտման անկյուններին և ռադիաններին համապատասխանող կետերում.

Քանի որ այս կետերը միմյանցից բաժանված են հավասար հեռավորությամբ, ապա այս հավասարման ընդհանուր լուծումը կարող ենք գրել հետևյալ կերպ.

Տրված օրինակներում, ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը ցույց տալով, օգտագործվել են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աղյուսակային արժեքներ։

Այնուամենայնիվ, եթե հավասարման աջ կողմում կա ոչ աղյուսակային արժեք, ապա մենք արժեքը փոխարինում ենք հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ.

ՀԱՏՈՒԿ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ.

Նշեք կետերը շրջանագծի վրա, որի օրդինատը 0 է.

Շրջանակի վրա նշե՛ք մեկ կետ, որի օրդինատը հավասար է 1-ի.

Շրջանակի վրա նշի՛ր մի կետ, որի օրդինատը հավասար է -1-ի.

Քանի որ ընդունված է նշել զրոյին ամենամոտ արժեքները, լուծումը գրում ենք հետևյալ կերպ.

Շրջանակի վրա նշի՛ր այն կետերը, որոնց աբսցիսան 0 է.

5.
Շրջանակի վրա նշենք մեկ կետ, որի աբսցիսան հավասար է 1-ի.

Շրջանակի վրա նշե՛ք մեկ կետ, որի աբսցիսան հավասար է -1-ի.

Եվ մի քանի ավելի բարդ օրինակներ.

1.

Սինուսը մեկն է, եթե փաստարկը կա

Մեր սինուսի արգումենտն է, ուստի մենք ստանում ենք.

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք 3-ի.

Պատասխան.

2.

Կոսինուսը զրոյական է, եթե կոսինուսի արգումենտը կա

Մեր կոսինուսի փաստարկը հետևյալն է, ուստի մենք ստանում ենք.

Մենք արտահայտում ենք, դրա համար նախ հակառակ նշանով շարժվում ենք դեպի աջ.

Պարզեցրեք աջ կողմը.

Երկու մասերը բաժանեք -2-ի.

Նկատի ունեցեք, որ տերմինից առաջ նշանը չի փոխվում, քանի որ k-ն կարող է ընդունել ցանկացած ամբողջ արժեք:

Պատասխան.

Եվ վերջում դիտեք «Արմատների ընտրություն եռանկյունաչափական հավասարման մեջ՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական շրջան» տեսանյութը։

Սրանով ավարտվում է ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մասին զրույցը։ Հաջորդ անգամ մենք կխոսենք, թե ինչպես լուծել:

Սկզբում սինուսը և կոսինուսը առաջացել են ուղղանկյուն եռանկյուններով մեծությունները հաշվարկելու անհրաժեշտության պատճառով: Նկատվեց, որ եթե ուղղանկյուն եռանկյան անկյունների աստիճանի չափման արժեքը չի փոխվում, ապա կողմերի հարաբերակցությունը, անկախ նրանից, թե որքանով են փոխվում այս կողմերը երկարությամբ, միշտ մնում է նույնը։

Այսպես են ներմուծվել սինուս և կոսինուս հասկացությունները։ Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյան սինուսը հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է, իսկ կոսինուսը՝ հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունը։

Կոսինուսների և սինուսների թեորեմներ

Բայց կոսինուսներն ու սինուսները կարող են օգտագործվել ոչ միայն ուղղանկյուն եռանկյունիներում։ Բութ կամ սուր անկյան, ցանկացած եռանկյան կողմի արժեքը գտնելու համար բավական է կիրառել կոսինուսի և սինուսի թեորեմը։

Կոսինուսների թեորեմը բավականին պարզ է. «Եռանկյան կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին` հանած երկու կողմերի արտադրյալը նրանց միջև եղած անկյան կոսինուսով»:

Սինուսի թեորեմի երկու մեկնաբանություն կա՝ փոքր և ընդլայնված: Ըստ փոքրի՝ «Եռանկյունում անկյունները համաչափ են հակառակ կողմերին»։ Այս թեորեմը հաճախ ընդլայնվում է եռանկյունու շուրջ շրջագծված շրջանագծի հատկության պատճառով. «Եռանկյունում անկյունները համաչափ են հակառակ կողմերին, և դրանց հարաբերությունը հավասար է շրջագծի տրամագծին»։

Ածանցյալներ

Ածանցյալը մաթեմատիկական գործիք է, որը ցույց է տալիս, թե ինչ արագությամբ է փոխվում ֆունկցիան՝ կապված իր փաստարկի փոփոխության հետ: Ածանցյալները օգտագործվում են երկրաչափության մեջ և մի շարք տեխնիկական առարկաներում։

Խնդիրներ լուծելիս դուք պետք է իմանաք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակային արժեքները՝ սինուս և կոսինուս: Սինուսի ածանցյալը կոսինուսն է, իսկ կոսինուսի ածանցյալը՝ սինուսը, բայց մինուս նշանով։

Կիրառում մաթեմատիկայի մեջ

Հատկապես հաճախ սինուսներն ու կոսինուսները օգտագործվում են ուղղանկյուն եռանկյունների և դրանց հետ կապված խնդիրների լուծման ժամանակ։

Սինուսների և կոսինուսների հարմարավետությունն արտացոլված է նաև տեխնոլոգիայի մեջ: Անկյուններն ու կողմերը հեշտ էր գնահատել՝ օգտագործելով կոսինուսի և սինուսի թեորեմները՝ բաժանելով բարդ ձևերն ու առարկաները «պարզ» եռանկյունների: Ինժեներները և, հաճախ գործ ունենալով կողմերի հարաբերակցության և աստիճանի չափումների հաշվարկներով, շատ ժամանակ և ջանք են ծախսել ոչ աղյուսակային անկյունների կոսինուսների և սինուսների հաշվարկի վրա:

Այնուհետև օգնության եկան Բրադիսի աղյուսակները, որոնք պարունակում էին տարբեր անկյունների սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների հազարավոր արժեքներ: Խորհրդային տարիներին որոշ ուսուցիչներ իրենց ծխերին ստիպում էին անգիր անել Բրադիսի աղյուսակների էջերը:

Ռադիան - աղեղի անկյունային արժեքը, երկարությամբ, որը հավասար է շառավղին կամ 57,295779513 ° աստիճանին:

Աստիճան (երկրաչափության մեջ) - շրջանագծի 1/360-րդ կամ ուղիղ անկյան 1/90-րդ:

π = 3.141592653589793238462… (pi-ի մոտավոր արժեքը):

Կոսինուսի աղյուսակ անկյունների համար՝ 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°։

x անկյուն (աստիճաններով)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
x անկյուն (ռադիաններով)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Եռանկյունաչափության մեր ուսումնասիրությունը սկսում ենք ուղղանկյուն եռանկյունով: Եկեք սահմանենք, թե ինչ են սինուսը և կոսինուսը, ինչպես նաև սուր անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը: Սրանք եռանկյունաչափության հիմունքներն են։

Հիշեք դա Աջ անկյունը 90 աստիճանի հավասար անկյուն է։ Այսինքն՝ բացված անկյունի կեսը։

Սուր անկյուն- 90 աստիճանից պակաս:

Բութ անկյուն- ավելի քան 90 աստիճան: Նման անկյան հետ կապված «բութ»-ը վիրավորանք չէ, այլ մաթեմատիկական տերմին :-)

Եկեք գծենք ուղղանկյուն եռանկյուն: Ուղղակի անկյունը սովորաբար նշվում է: Ուշադրություն դարձրեք, որ անկյունին հակառակ կողմը նշվում է նույն տառով, միայն փոքր: Այսպիսով, նշվում է A անկյան դիմաց գտնվող կողմը:

Անկյունը նշվում է համապատասխան հունարեն տառով:

ՀիպոթենուզաՈւղղանկյուն եռանկյունը ճիշտ անկյան հակառակ կողմն է:

Ոտքեր- սուր անկյունների հակառակ կողմերը:

Անկյունին հակառակ ոտքը կոչվում է հակառակը(անկյան համեմատ): Մյուս ոտքը, որը ընկած է անկյունի մի կողմում, կոչվում է կից.

ՍինուսՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է.

Կոսինուսսուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ - հարակից ոտքի հարաբերակցությունը հիպոթենուսին.

Շոշափողսուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ - հակառակ ոտքի հարաբերակցությունը հարակից.

Մեկ այլ (համարժեք) սահմանում. Սուր անկյան շոշափողը անկյան սինուսի և նրա կոսինուսի հարաբերությունն է.

Կոտանգենսսուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյունում - հարակից ոտքի հարաբերակցությունը հակառակին (կամ, համարժեքորեն, կոսինուսի և սինուսի հարաբերակցությունը).

Ուշադրություն դարձրեք սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի հիմնական գործակիցներին, որոնք տրված են ստորև: Նրանք մեզ օգտակար կլինեն խնդիրների լուծման գործում։

Եկեք ապացուցենք դրանցից մի քանիսը.

Լավ, մենք տվել ենք սահմանումներ և բանաձևեր գրել։ Բայց ինչո՞ւ են մեզ անհրաժեշտ սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը:

Մենք դա գիտենք Ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է.

Մենք գիտենք փոխհարաբերությունները կուսակցություններուղղանկյուն եռանկյուն. Սա Պյութագորասի թեորեմն է.

Պարզվում է, որ իմանալով եռանկյան երկու անկյուն, կարող ես գտնել երրորդը։ Իմանալով ուղղանկյուն եռանկյան երկու կողմերը՝ կարող եք գտնել երրորդը: Այսպիսով, անկյունների համար՝ իրենց հարաբերակցությունը, կողմերի համար՝ իրենցը: Բայց ի՞նչ անել, եթե ուղղանկյուն եռանկյան մեջ հայտնի են մեկ անկյուն (բացառությամբ ուղղանկյունի) և մի կողմ, բայց պետք է գտնել մյուս կողմերը:

Ահա թե ինչի են բախվել մարդիկ անցյալում՝ կազմելով տարածքի և աստղազարդ երկնքի քարտեզները։ Ի վերջո, միշտ չէ, որ հնարավոր է ուղղակիորեն չափել եռանկյան բոլոր կողմերը:

Սինուս, կոսինուս և շոշափող - դրանք նաև կոչվում են անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները- տալ հարաբերակցությունը միջև կուսակցություններև անկյուններըեռանկյուն. Իմանալով անկյունը՝ դուք կարող եք գտնել նրա բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները՝ օգտագործելով հատուկ աղյուսակներ: Իսկ իմանալով եռանկյան և նրա կողմերից մեկի անկյունների սինուսները, կոսինուսները և շոշափողները, կարող եք գտնել մնացածը:

Մենք նաև գծելու ենք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի արժեքների աղյուսակը դեպի «լավ» անկյունները:

Ուշադրություն դարձրեք աղյուսակի երկու կարմիր գծիկներին: Անկյունների համապատասխան արժեքների համար շոշափող և կոտանգենս գոյություն չունեն:

Եկեք վերլուծենք եռանկյունաչափության մի քանի խնդիր FIPI-ի բանկի առաջադրանքներից:

1. Եռանկյունում անկյունը , . Գտնել.

Խնդիրը լուծվում է չորս վայրկյանում։

Այնքանով, որքանով , .

2. Եռանկյան մեջ անկյունը , , . Գտնել.

Գտնենք Պյութագորասի թեորեմով.

Խնդիրը լուծված է.

Հաճախ խնդիրների մեջ լինում են անկյուններով և կամ անկյուններով եռանկյուններ և . Անգիր հիշիր նրանց հիմնական գործակիցները:

Անկյուններով եռանկյան համար, իսկ անկյան հակառակ ոտքը հավասար է հիպոթենուզի կեսը.

Անկյուններով և հավասարաչափ եռանկյուն: Դրանում հիպոթենուսը ոտքից անգամ ավելի մեծ է:

Մենք դիտարկել ենք ուղղանկյուն եռանկյուններ լուծելու խնդիրներ, այսինքն՝ անհայտ կողմեր ​​կամ անկյուններ գտնելու համար: Բայց սա դեռ ամենը չէ: Մաթեմատիկայի քննության տարբերակներում կան բազմաթիվ առաջադրանքներ, որտեղ հայտնվում է եռանկյան արտաքին անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը կամ կոտանգենսը։ Այս մասին ավելի շատ հաջորդ հոդվածում:

Հասկանալով պարզ հասկացությունները. սինուս և կոսինուսև հաշվարկ կոսինուս քառակուսի և սինուս քառակուսի.

Սինուսը և կոսինուսը ուսումնասիրվում են եռանկյունաչափության մեջ (գիտություն ուղղանկյուն եռանկյունների մասին)։

Հետևաբար, սկսելու համար եկեք հիշենք ուղղանկյուն եռանկյունու հիմնական հասկացությունները.

Հիպոթենուզա- այն կողմը, որը միշտ գտնվում է ճիշտ անկյան դիմաց (90 աստիճանի անկյուն): Հիպոթենուսը ուղղանկյուն եռանկյան ամենաերկար կողմն է։

Ուղղանկյուն եռանկյան մնացած երկու կողմերը կոչվում են ոտքերը.

Հիշեք նաև, որ եռանկյան երեք անկյունները միշտ գումարվում են մինչև 180°:

Հիմա անցնենք ալֆա անկյան կոսինուս և սինուս (∠α)(այսպես կարող եք ցանկացած ոչ ճիշտ անկյուն անվանել եռանկյունու մեջ կամ օգտագործել որպես խորհրդանիշ x - «x», որը չի փոխում էությունը)։

Ալֆա անկյան սինուս (sin ∠α)- Դա վերաբերմունք է հակառակըոտքը (համապատասխան անկյան հակառակ կողմը) դեպի հիպոթենուս: Եթե ​​նայեք նկարին, ապա մեղք ∠ABC = AC / BC

Ալֆա անկյան կոսինուս (cos ∠α)- վերաբերմունք կիցոտքի անկյան տակ դեպի հիպոթենուս: Կրկին նայելով վերևի նկարին, այնուհետև cos ∠ABC = AB / BC

Եվ պարզապես հիշեցնելու համար, որ կոսինուսը և սինուսը երբեք չեն լինի մեկից մեծ, քանի որ գլանափաթեթն ավելի կարճ է, քան հիպոթենուսը (իսկ հիպոթենուսը ցանկացած եռանկյան ամենաերկար կողմն է, քանի որ ամենաերկար կողմը գտնվում է եռանկյան ամենամեծ անկյան դիմաց): .

Կոսինուս քառակուսի, սինուս քառակուսի

Այժմ եկեք անցնենք հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերին՝ հաշվարկելով կոսինուսի քառակուսի և սինուսի քառակուսի:

Դրանք հաշվարկելու համար դուք պետք է հիշեք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը.

sin 2 α + cos 2 α = 1(Սինուս քառակուսին գումարած մեկ անկյան կոսինուսի քառակուսին միշտ հավասար է մեկի):

Եռանկյունաչափական ինքնությունից մենք եզրակացություններ ենք անում սինուսի մասին.

մեղք 2 α \u003d 1 - cos 2 α

սինուս քառակուսի ալֆահավասար է մեկ մինուս կրկնակի անկյան ալֆայի կոսինուսին և այս ամենը բաժանվում է երկուսի:

sin2α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Եռանկյունաչափական ինքնությունից մենք եզրակացություններ ենք անում կոսինուսի մասին.

cos 2 α \u003d 1 - մեղք 2 α

կամ բանաձեւի ավելի բարդ տարբերակ. կոսինուս քառակուսի ալֆահավասար է մեկին գումարած կրկնակի անկյան ալֆայի կոսինուսին և ամեն ինչ բաժանել երկուսի:

cos2α = (1 + cos(2α)) / 2

Սինուսի քառակուսու և կոսինուսի քառակուսու այս երկու ավելի բարդ բանաձևերը կոչվում են նաև «եռանկյունաչափական ֆունկցիաների քառակուսիների հզորության կրճատում»։ Նրանք. եղել է երկրորդ աստիճան, իջեցվել է առաջինին ու հաշվարկներն ավելի հարմար են դարձել։