Դաս «y=sinx, y=cosx ֆունկցիաների պարբերականությունը»։ Սինուս (sin x) և կոսինուս (cos x) - հատկություններ, գրաֆիկներ, բանաձևեր

>> Ֆունկցիաների պարբերականությունը y = sin x, y = cos x

§ 11. y \u003d sin x, y \u003d cos x ֆունկցիաների պարբերականությունը

Նախորդ պարբերություններում մենք օգտագործել ենք յոթ հատկություն գործառույթներըտիրույթ, զույգ կամ կենտ, միապաղաղ, սահմանափակ, ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը, շարունակականություն, ֆունկցիայի տիրույթ։ Մենք օգտագործել ենք այս հատկությունները կամ ֆունկցիայի գրաֆիկ կառուցելու համար (ինչպես, օրինակ, § 9-ում), կամ կառուցված գրաֆիկը կարդալու համար (ինչպես, օրինակ, § 10-ում): Հիմա եկել է բարենպաստ պահներկայացնել ֆունկցիաների ևս մեկ (ութերորդ) հատկություն, որը հիանալի տեսանելի է վերը նշվածի վրա գծապատկերներֆունկցիաները y \u003d sin x (տես Նկար 37), y \u003d cos x (տես նկ. 41):

Սահմանում.Ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե գոյություն ունի ոչ զրոյական T թիվ այնպես, որ բազմություններից որևէ x-ի համար կրկնակի հավասարություն:

T թիվը, որը բավարարում է նշված պայման, կոչվում է y \u003d f (x) ֆունկցիայի ժամանակաշրջան։
Հետևում է, որ ցանկացած x-ի համար հավասարումները ճշմարիտ են.

ապա y \u003d sin x, y \u003d cos x ֆունկցիաները պարբերական են, իսկ 2 թիվը Պծառայում է որպես երկու գործառույթների ժամանակաշրջան:
Ֆունկցիայի պարբերականությունը ֆունկցիաների խոստացված ութերորդ հատկությունն է։

Այժմ նայեք y \u003d sin x ֆունկցիայի գրաֆիկին (Նկար 37): Սինուսոիդ կառուցելու համար բավական է կառուցել դրա ալիքներից մեկը (հատվածի վրա և այնուհետև տեղափոխել այս ալիքը x առանցքի երկայնքով: Արդյունքում, օգտագործելով մեկ ալիք, մենք կկառուցենք ամբողջ գրաֆիկը:

Նույն տեսանկյունից նայենք y \u003d cos x ֆունկցիայի գրաֆիկին (նկ. 41): Մենք տեսնում ենք, որ այստեղ նույնպես գրաֆիկ գծելու համար բավական է նախ գծել մեկ ալիք (օրինակ՝ հատվածի վրա.

Եվ այնուհետև տեղափոխեք այն x առանցքի երկայնքով
Ամփոփելով՝ անում ենք հետևյալ եզրակացությունը.

Եթե ​​y \u003d f (x) ֆունկցիան ունի T կետ, ապա ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելու համար նախ պետք է գծագրել գրաֆիկի ճյուղը (ալիքը, մասը) T երկարության ցանկացած միջակայքի վրա (առավել հաճախ դրանք վերցնում են): կետերում ծայրերով ընդմիջում և այնուհետև այս ճյուղը x առանցքի երկայնքով տեղափոխեք աջ և ձախ դեպի T, 2T, ZT և այլն:
Պարբերական ֆունկցիան ունի անսահման շատ պարբերաշրջաններ. եթե T-ն ժամանակաշրջան է, ապա 2T-ը ժամանակաշրջան է, իսկ 3T-ը ժամանակաշրջան է, իսկ -T-ն ժամանակաշրջան է. Ընդհանրապես, ժամանակաշրջանը KT ձևի ցանկացած թիվ է, որտեղ k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Սովորաբար, հնարավորության դեպքում, նրանք փորձում են առանձնացնել ամենափոքր դրական շրջանը, այն կոչվում է հիմնական ժամանակաշրջան:
Այսպիսով, 2pc ձևի ցանկացած թիվ, որտեղ k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, y \u003d sinn x, y \u003d cos x ֆունկցիաների ժամանակաշրջանն է; 2p-ը երկու ֆունկցիաների հիմնական ժամանակաշրջանն է:

Օրինակ.Գտեք ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը.

ա)Թող T լինի y \u003d sin x ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը: դնենք

Որպեսզի T թիվը լինի ֆունկցիայի ժամանակաշրջան, Ho նույնականությունը պետք է պահպանվի, քանի որ մենք խոսում ենքհիմնական ժամանակաշրջանը գտնելու դեպքում մենք ստանում ենք
բ)Թող T լինի y = cos 0,5x ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունը: Թող f(x)=cos 0,5x: Այնուհետև f (x + T) \u003d cos 0.5 (x + T) \u003d cos (0.5x + 0.5 T):

Որպեսզի T թիվը լինի ֆունկցիայի ժամանակաշրջան, պետք է բավարարվի cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x նույնականացումը:

Այսպիսով, 0.5t = 2pp. Բայց, քանի որ մենք խոսում ենք հիմնական ժամանակաշրջանը գտնելու մասին, մենք ստանում ենք 0,5T = 2 լ, T = 4լ:

Օրինակում ստացված արդյունքների ընդհանրացումը հետևյալ պնդումն է՝ ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը

Ա.Գ. Մորդկովիչի հանրահաշիվ 10-րդ դասարան

Դասի բովանդակությունը դասի ամփոփումաջակցություն շրջանակային դասի ներկայացման արագացուցիչ մեթոդներ ինտերակտիվ տեխնոլոգիաներ Պրակտիկա առաջադրանքներ և վարժություններ ինքնաքննության սեմինարներ, թրեյնինգներ, դեպքեր, որոնումներ տնային առաջադրանքների քննարկման հարցեր հռետորական հարցեր ուսանողներից Նկարազարդումներ աուդիո, տեսահոլովակներ և մուլտիմեդիանկարներ, նկարներ գրաֆիկա, աղյուսակներ, սխեմաներ հումոր, անեկդոտներ, կատակներ, կոմիքսներ, առակներ, ասացվածքներ, խաչբառեր, մեջբերումներ Հավելումներ վերացականներհոդվածներ չիպսեր հետաքրքրասեր օրորոցների համար դասագրքեր հիմնական և լրացուցիչ տերմինների բառարան այլ Դասագրքերի և դասերի կատարելագործումուղղել դասագրքի սխալներըԴասագրքի նորարարության տարրերի թարմացում դասագրքում՝ հնացած գիտելիքները նորերով փոխարինելով Միայն ուսուցիչների համար կատարյալ դասեր օրացուցային պլանմեկ տարով ուղեցույցներքննարկման ծրագրեր Ինտեգրված դասեր

Կենտրոնացած մի կետում Ա.
α ռադիաններով արտահայտված անկյուն է։

Սահմանում
Սինուսեռանկյունաչափական ֆունկցիա է, որը կախված է հիպոթենուսի և ոտքի միջև α անկյունից ուղղանկյուն եռանկյուն, հավասար է հակառակ ոտքի երկարության |մ.թ.ա.| հիպոթենուսի երկարությանը |AC|.

Կոսինուս (cos α)եռանկյունաչափական ֆունկցիա է՝ կախված ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի և ոտքի α անկյունից, հավասար է հարակից ոտքի երկարության |AB| հիպոթենուսի երկարությանը |AC|.

Ընդունված նշանակումներ

;
;
.

;
;
.

Սինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = sin x

Կոսինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = cos x

Սինուսի և կոսինուսի հատկությունները

Պարբերականություն

y= ֆունկցիաներ մեղք xև y= cos xպարբերական՝ ժամանակաշրջանով 2 պ.

Պարիտետ

Սինուսի ֆունկցիան կենտ է: Կոսինուսի ֆունկցիան հավասար է:

Սահմանման և արժեքների տիրույթ, ծայրահեղություն, աճ, նվազում

Սինուս և կոսինուս ֆունկցիաները շարունակական են իրենց սահմանման տիրույթում, այսինքն՝ բոլոր x-ի համար (տե՛ս շարունակականության ապացույցը)։ Նրանց հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում (n - ամբողջ թիվ):

	y= մեղք x	y= cos x
Շրջանակ և շարունակականություն	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Արժեքների տիրույթ	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Աճող
Նվազող
Առավելագույնները, y= 1
Նվազագույնը, y = - 1
Զրոներ, y= 0
y առանցքի հետ հատման կետերը, x = 0	y= 0	y= 1

Հիմնական բանաձևեր

Քառակուսի սինուսների և կոսինուսների գումարը

Գումարի և տարբերության սինուսների և կոսինուսների բանաձևերը

;
;

Սինուսների և կոսինուսների արտադրյալի բանաձևեր

Գումարի և տարբերության բանաձևեր

Սինուսի արտահայտություն կոսինուսի միջոցով

;
;
;
.

Կոսինուսի արտահայտությունը սինուսի միջոցով

;
;
;
.

Արտահայտություն շոշափողով

; .

Համար, մենք ունենք.
; .

ժամը՝
; .

Սինուսների և կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների աղյուսակ

Այս աղյուսակը ցույց է տալիս սինուսների և կոսինուսների արժեքները փաստարկի որոշ արժեքների համար:

Արտահայտություններ բարդ փոփոխականների միջոցով

;

Էյլերի բանաձեւ

Արտահայտություններ հիպերբոլիկ ֆունկցիաների առումով

;
;

Ածանցյալներ

; . Բանաձևերի ածանցում > > >

n-րդ կարգի ածանցյալներ.
{ -∞ < x < +∞ }

Սեկանտ, կոսեկանտ

Հակադարձ գործառույթներ

Հակադարձ գործառույթներդեպի սինուս և կոսինուս համապատասխանաբար արկսինն ու արկկոսինն են:

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար, Լան, 2009 թ.

Հրահանգ

Գտնելու համար եռանկյունաչափական ֆունկցիայի պարբերությունը, որը բարձրացված է մինչև հզորությունը, գնահատեք հզորության հավասարությունը: Ստանդարտ ժամկետը կիսով չափ կրճատելու համար: Օրինակ, եթե ձեզ տրվի y \u003d 3 cos ^ 2x ֆունկցիա, ապա 2P ստանդարտ ժամանակահատվածը կնվազի 2 անգամ, ուստի ժամկետը հավասար կլինի P-ին: Նկատի ունեցեք, որ tg, ctg ֆունկցիաները պարբերական են ցանկացած աստիճանի: Պ.

Եթե ​​ձեզ տրված է հավասարում, որը պարունակում է կամ հանդիսանում է երկու եռանկյունաչափական ֆունկցիաների քանորդ, նախ գտեք դրանցից յուրաքանչյուրի պարբերությունը առանձին: Այնուհետև գտեք այն նվազագույն թիվը, որը կհամապատասխանի երկուսի ամբողջ քանակին: Օրինակ՝ հաշվի առնելով y=tgx*cos5x ֆունկցիան։ Շոշափողի համար կետը P է, կոսինուսի համար՝ 5x, պարբերությունը 2P/5 է: Նվազագույն թիվը, որը կարող է տեղավորել այս երկու ժամանակաշրջանները, 2P է, ուստի պահանջվող ժամանակահատվածը 2P է:

Եթե ​​դժվարանում եք գործել առաջարկվող ձևով կամ կասկածում եք պատասխանին, փորձեք գործել ըստ սահմանման: Վերցրեք T-ը որպես ֆունկցիայի պարբերություն, այն զրոյից մեծ է: Հավասարման մեջ (x + T) արտահայտությունը փոխարինի՛ր x-ով և ստացված հավասարությունը լուծի՛ր այնպես, կարծես T-ը պարամետր կամ թիվ է: Արդյունքում դուք կգտնեք եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը և կկարողանաք ընտրել նվազագույն ժամանակահատվածը: Օրինակ, պարզեցման արդյունքում դուք ստանում եք ինքնության մեղքը (T / 2) \u003d 0: T-ի նվազագույն արժեքը, որով այն կատարվում է, 2P է, սա կլինի խնդիրը:

Աղբյուրներ:

• մեղքի շրջան

Պարբերական ֆունկցիան ֆունկցիա է, որը կրկնում է իր արժեքները որոշ ոչ զրոյական ժամանակաշրջանից հետո: Ֆունկցիայի պարբերությունը այն թիվն է, որի գումարումը ֆունկցիայի արգումենտին չի փոխում ֆունկցիայի արժեքը։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• Տարրական մաթեմատիկայի իմացություն և վերլուծության սկիզբ:

Հրահանգ

Առնչվող տեսանյութեր

Նշում

Բոլորը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներպարբերական են, և 2-ից մեծ աստիճան ունեցող բոլոր բազմանդամները պարբերական են:

Օգտակար խորհուրդ

Երկու պարբերական ֆունկցիաներից բաղկացած ֆունկցիայի պարբերությունը այս ֆունկցիաների ժամանակաշրջանների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։

Եռանկյունաչափական հավասարումներհավասարումներ են, որոնք պարունակում են անհայտ արգումենտի ֆունկցիաներ (օրինակ՝ 5sinx-3cosx =7): Սովորելու համար, թե ինչպես լուծել դրանք, դուք պետք է իմանաք դրա համար որոշ մեթոդներ:

Հրահանգ

Հավասարման տարրալուծումը գործոնների. Նախ, մենք բոլոր տերմինները տեղափոխում ենք ձախ և ֆակտորիզացնում ենք:

Կարևոր է հիշել, որ զույգ և կենտ ֆունկցիաները ուղիղ գիծ ունեն ֆունկցիայի տիրույթի հետ։ Եթե, օրինակ, զույգ տարօրինակ գործառույթոչ x=5-ի համար, ուրեմն այն գոյություն չունի x=-5-ի համար, ինչը չի կարելի ասել ֆունկցիայի մասին ընդհանուր տեսարան. Զույգ և կենտ սահմանելիս ուշադրություն դարձրեք ֆունկցիայի տիրույթին։

Զույգ և կենտ պարիտետով ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը փոխկապակցված է ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը գտնելու հետ: Զույգ ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը գտնելու համար բավական է դիտարկել ֆունկցիայի կեսը՝ զրոյից աջ կամ ձախ: Եթե ​​x>0-ի համար y(x) զույգ ֆունկցիան վերցնում է A-ից B, ապա այն կունենա նույն արժեքները x-ի համար:<0.
Կենտ ֆունկցիայի կողմից ընդունված արժեքների բազմությունը գտնելու համար բավական է նաև դիտարկել միայն մեկ ֆունկցիա: Եթե ​​x>0-ի համար y(x) կենտ ֆունկցիան վերցնում է արժեքների մի շարք A-ից մինչև B, ապա x-ի համար<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

«Եռանկյունաչափ» մի ժամանակ սկսեցին անվանել ֆունկցիաներ, որոնք որոշվում են ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների կախվածությամբ նրա կողմերի երկարություններից: Այս ֆունկցիաները ներառում են, առաջին հերթին, սինուսը և կոսինուսը, և երկրորդը, այս ֆունկցիաներին հակադարձ սեկանտը և կոսեկանտը, դրանց շոշափող և կոտանգենսային ածանցյալները, ինչպես նաև հակադարձ ֆունկցիաները՝ արկսին, արկկոսին և այլն։ Ավելի ճիշտ է. խոսեք ոչ թե նման գործառույթների «լուծման», այլ դրանց «հաշվարկի», այսինքն՝ թվային արժեք գտնելու մասին։

Հրահանգ

Եթե ​​եռանկյունաչափական արգումենտն անհայտ է, ապա դրա արժեքը կարող է անուղղակիորեն հաշվարկվել՝ հիմնվելով այս ֆունկցիաների սահմանումների վրա։ Դա անելու համար դուք պետք է իմանաք եռանկյան կողմերի երկարությունները, որի անկյուններից մեկի եռանկյունաչափությունը ցանկանում եք հաշվարկել: Օրինակ, ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը այս անկյան դիմաց գտնվող ոտքի երկարության հարաբերությունն է հիպոթենուսի երկարությանը: Այստեղից հետևում է, որ անկյան համար բավական է իմանալ այս երկու կողմերի երկարությունները։ Անալոգային ասում է, որ սուր անկյան սինուսը այս անկյան հարակից ոտքի երկարության հարաբերությունն է հիպոթենուսի երկարությանը: Սուր անկյան շոշափողը կարելի է հաշվել՝ հակառակ ոտքի երկարությունը բաժանելով հարակից ոտքի երկարության վրա, և պահանջում է բաժանել հարակից ոտքի երկարությունը հակառակ ոտքի երկարության վրա։ Սուր անկյան հատվածը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել հիպոթենուզայի երկարության հարաբերությունը ցանկալի անկյան հարևանությամբ գտնվող ոտքի երկարությանը, իսկ կոսեկանտը որոշվում է հիպոթենուզայի երկարության և հիպոթենուզայի երկարության հարաբերությամբ: հակառակ ոտքի երկարությունը.

Եթե ​​եռանկյունաչափական ֆունկցիայի փաստարկը հայտնի է, ապա ձեզ հարկավոր չէ իմանալ եռանկյունու կողմերի երկարությունները. կարող եք օգտագործել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքային աղյուսակները կամ հաշվիչները: Սա Windows օպերացիոն համակարգի ստանդարտ ծրագրերից է։ Այն գործարկելու համար կարող եք սեղմել Win + R ստեղների համակցությունը, մուտքագրել calc հրամանը և սեղմել OK կոճակը: Ծրագրի միջերեսում բացեք «Դիտել» բաժինը և «Ինժեներական» կամ «Գիտական» կետը: Դրանից հետո կարող եք մուտքագրել եռանկյունաչափական ֆունկցիայի փաստարկը։ Սինուս, կոսինուս ֆունկցիաները հաշվարկելու համար և արժեքը մուտքագրելուց հետո բավական է սեղմել համապատասխան ինտերֆեյսի կոճակը (sin, cos, tg) և գտնել դրանց հակադիրները կամարների, արկոսինի, և նախ պետք է ստուգել Inv վանդակ:

Կան նաև այլընտրանքային ուղիներ. Դրանցից մեկն է գնալ Nigma կամ Google որոնողական կայքի կայք և մուտքագրել ցանկալի ֆունկցիան ու դրա արգումենտը որպես որոնման հարցում (օրինակ՝ sin 0.47)։ Այս որոնիչները ունեն ներկառուցված հաշվիչներ, ուստի նման հարցում ուղարկելուց հետո դուք կստանաք ձեր մուտքագրած եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը։

Առնչվող տեսանյութեր

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները սկզբում առաջացել են որպես գործիքներ՝ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների մեծությունների կախվածության վերացական մաթեմատիկական հաշվարկների համար իր կողմերի երկարություններից։ Այժմ դրանք շատ լայնորեն կիրառվում են մարդկային գործունեության ինչպես գիտական, այնպես էլ տեխնիկական ոլորտներում։ Տրված արգումենտներից եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գործնական հաշվարկների համար կարող եք օգտագործել տարբեր գործիքներ. դրանցից մի քանիսը առավել մատչելի են նկարագրված ստորև:

Հրահանգ

Օգտագործեք, օրինակ, օպերացիոն համակարգով լռելյայն տեղադրված հաշվիչ ծրագիրը: Այն բացվում է՝ «Բոլոր ծրագրերը» բաժնում տեղադրված «Ստանդարտ» ենթաբաժնի «Կոմունալ ծառայություններ» թղթապանակում ընտրելով «Հաշվիչ» տարրը։ Այս բաժինը կարելի է բացել՝ սեղմելով վիրահատարանի հիմնական ցանկի «Սկսել» կոճակը: Եթե ​​դուք օգտվում եք Windows 7 տարբերակից, կարող եք պարզապես մուտքագրել «Calculator» հիմնական ցանկի «Որոնել ծրագրեր և ֆայլեր» դաշտում, այնուհետև սեղմել որոնման արդյունքների համապատասխան հղումը:

Մուտքագրեք այն անկյունը, որի համար ցանկանում եք հաշվարկել եռանկյունաչափական ֆունկցիան, այնուհետև սեղմեք դրա համար համապատասխան կոճակը՝ sin, cos կամ tan: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով (arcsine, arccosine կամ ), ապա նախ սեղմեք Inv պիտակավորված կոճակը. այն հակադարձում է կառավարման կոճակներին տրված գործառույթները:

ՕՀ-ի ավելի վաղ տարբերակներում (օրինակ՝ Windows XP), եռանկյունաչափական գործառույթներ մուտք գործելու համար հաշվիչի ընտրացանկում բացեք «Դիտել» բաժինը և ընտրեք «Ինժեներական» տողը: Բացի այդ, ծրագրի հին տարբերակների ինտերֆեյսում Inv կոճակի փոխարեն նույն մակագրությամբ վանդակ կա։

Դուք կարող եք դա անել առանց հաշվիչի, եթե ունեք ինտերնետ հասանելիություն: Ցանցում կան բազմաթիվ ծառայություններ, որոնք առաջարկում են տարբեր կերպով կազմակերպված եռանկյունաչափական ֆունկցիայի հաշվիչներ: Ամենահարմարներից մեկը ներկառուցված է Nigma որոնման համակարգում: Անցնելով նրա գլխավոր էջ, պարզապես մուտքագրեք ձեզ հետաքրքրող արժեքը որոնման հարցման դաշտում, օրինակ՝ «arcttangent 30»: «Գտնել» կոճակը սեղմելուց հետո: որոնիչը կհաշվարկի և ցույց կտա հաշվարկի արդյունքը՝ 0,482347907101025։

Առնչվող տեսանյութեր

Եռանկյունաչափությունը մաթեմատիկայի ճյուղ է ուսումնասիրելու համար, որն արտահայտում է ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի տարբեր կախվածություններ հիպոթենուսում սուր անկյունների մեծություններից։ Նման ֆունկցիաները կոչվում են եռանկյունաչափական, և դրանց հետ աշխատանքը պարզեցնելու համար ստացվել են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։ ինքնությունները.

հայեցակարգ ինքնություններընշանակում է հավասարություն, որը բավարարվում է դրանում ներառված ֆունկցիաների արգումենտների ցանկացած արժեքի համար։ Եռանկյունաչափական ինքնությունները- սրանք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հավասարություններն են, որոնք ապացուցված և ընդունված են եռանկյունաչափական բանաձևերի հետ աշխատանքը հեշտացնելու համար: Եռանկյունաչափական ֆունկցիան ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերից մեկի կախվածության տարրական ֆունկցիան է հիպոթենուսում սուր անկյան մեծությունից: Գոյություն ունեն վեց հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, որոնք առավել հաճախ օգտագործվում են՝ sin (sinus), cos (cosine), tg (tangent), ctg (cotangent), sec (secant) և cosec (cosecant): Այս ֆունկցիաները կոչվում են ուղղակի, կան նաև

Նպատակը` ընդհանրացնել և համակարգել ուսանողների գիտելիքները «Ֆունկցիաների պարբերականությունը» թեմայով. ձևավորել պարբերական ֆունկցիայի հատկությունները կիրառելու, ֆունկցիայի ամենափոքր դրական շրջանը գտնելու, պարբերական ֆունկցիաների գծագրման հմտություններ. խթանել հետաքրքրությունը մաթեմատիկայի ուսումնասիրության նկատմամբ. զարգացնել դիտողականությունը, ճշգրտությունը.

Սարքավորումներ՝ համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, առաջադրանքների քարտեր, սլայդներ, ժամացույցներ, դեկորատիվ սեղաններ, ժողովրդական արհեստի տարրեր

«Մաթեմատիկան այն է, ինչ մարդիկ օգտագործում են բնությունը և իրենց կառավարելու համար»
Ա.Ն. Կոլմոգորովը

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական փուլ.

Ուսանողների պատրաստվածության ստուգում դասին: Դասի թեմայի և նպատակների ներկայացում.

II. Տնային աշխատանքների ստուգում.

Մենք ստուգում ենք տնային աշխատանքը ըստ նմուշների, քննարկում ենք ամենադժվար կետերը:

III. Գիտելիքների ընդհանրացում և համակարգում:

1. Բանավոր ճակատային աշխատանք.

Տեսության հարցեր.

1) Ձևավորել ֆունկցիայի ժամանակաշրջանի սահմանումը
2) Ո՞րն է y=sin(x), y=cos(x) ֆունկցիաների ամենափոքր դրական պարբերությունը։
3). Ո՞րն է y=tg(x), y=ctg(x) ֆունկցիաների ամենափոքր դրական պարբերությունը։
4) Հարաբերությունների ճիշտությունն ապացուցելու համար օգտագործեք շրջանակը.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Ինչպե՞ս գծագրել պարբերական ֆունկցիա:

բանավոր վարժություններ.

1) Ապացուցե՛ք հետևյալ հարաբերությունները

ա) մեղք (740º) = մեղք (20º)
բ) cos(54º) = cos(-1026º)
գ) մեղք (-1000º) = մեղք (80º)

2. Ապացուցեք, որ 540º անկյունը y= cos(2x) ֆունկցիայի պարբերություններից մեկն է։

3. Ապացուցե՛ք, որ 360º անկյունը y=tg(x) ֆունկցիայի պարբերություններից մեկն է։

4. Այս արտահայտությունները փոխակերպե՛ք այնպես, որ դրանցում ներառված անկյունները բացարձակ արժեքով չգերազանցեն 90º-ը:

ա) tg375º
բ) ctg530º
գ) մեղք1268º
դ) cos(-7363º)

5. Որտե՞ղ եք հանդիպել ՊԵՐԻՈԴ, ՊԵՐԻՈԴԻԿԻՏ բառերին:

Ուսանողների պատասխանները. Երկրաբանական ժամանակաշրջանը դարաշրջանի մի մասն է և բաժանված է դարաշրջանների՝ 35-ից 90 միլիոն տարի տևողությամբ:

Ռադիոակտիվ նյութի կիսամյակը: Պարբերական կոտորակ. Պարբերականները տպագիր հրապարակումներ են, որոնք հայտնվում են խիստ սահմանված ամսաթվերով: Մենդելեևի պարբերական համակարգը.

6. Նկարները ցույց են տալիս պարբերական ֆունկցիաների գրաֆիկների մասերը: Սահմանեք ֆունկցիայի ժամկետը: Որոշեք ֆունկցիայի ժամկետը:

Պատասխանել T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Ձեր կյանքում որտե՞ղ եք հանդիպել կրկնվող տարրերի կառուցմանը:

Սովորողները պատասխանում են՝ Զարդանախշերի տարրեր, ժողովրդական արվեստ։

IV. Կոլեկտիվ խնդիրների լուծում.

(Խնդիրի լուծում սլայդների վրա):

Դիտարկենք պարբերականության ֆունկցիան ուսումնասիրելու եղանակներից մեկը։

Այս մեթոդը շրջանցում է այն դժվարությունները, որոնք կապված են ապացուցելու, որ այս կամ այն ​​ժամանակաշրջանը ամենափոքրն է, ինչպես նաև կարիք չկա անդրադառնալ պարբերական ֆունկցիաների թվաբանական գործողությունների և բարդ ֆունկցիայի պարբերականության վերաբերյալ հարցերին: Պատճառաբանությունը հիմնված է միայն պարբերական ֆունկցիայի սահմանման վրա և հետևյալ փաստի վրա՝ եթե T-ն ֆունկցիայի պարբերաշրջանն է, ապա nT(n? 0) նրա պարբերությունն է։

Խնդիր 1. Գտե՛ք f(x)=1+3(x+q>5) ֆունկցիայի ամենափոքր դրական պարբերակը.

Լուծում. Ենթադրենք, որ այս ֆունկցիայի T պարբերությունը։ Այնուհետև f(x+T)=f(x) բոլոր x ∈ D(f) համար, այսինքն.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Թողնենք x=-0,25

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Մենք ստացել ենք, որ դիտարկվող ֆունկցիայի բոլոր ժամանակաշրջանները (եթե դրանք կան) գտնվում են ամբողջ թվերի մեջ։ Այս թվերից ընտրի՛ր ամենափոքր դրական թիվը։ Սա 1 . Եկեք ստուգենք, արդյոք դա իրականում ժամանակաշրջան է 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

Քանի որ (T+1)=(T) ցանկացած T-ի համար, ապա f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), այսինքն. 1 - շրջան զ. Քանի որ 1-ը բոլոր դրական ամբողջ թվերից ամենափոքրն է, ապա T=1:

Առաջադրանք 2. Ցույց տվեք, որ f(x)=cos 2 (x) ֆունկցիան պարբերական է և գտե՛ք դրա հիմնական շրջանը:

Առաջադրանք 3. Գտե՛ք ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Ենթադրենք ֆունկցիայի T պարբերությունը, ապա ցանկացածի համար Xհարաբերակցությունը

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Եթե ​​x=0 ապա

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Եթե ​​x=-T, ապա

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - մեղք (1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Ավելացնելով, մենք ստանում ենք.

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Զ

Բոլոր «կասկածելի» թվերից ընտրենք ամենափոքր դրականը և ստուգենք՝ արդյոք դա f-ի կետ է։ Այս թիվը

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Այսպիսով, f ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է.

Առաջադրանք 4. Ստուգեք, արդյոք f(x)=sin(x) ֆունկցիան պարբերական է

Թող T լինի f ֆունկցիայի պարբերությունը։ Այնուհետև ցանկացած x-ի համար

մեղք|x+T|=մեղք|x|

Եթե ​​x=0, ապա sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Ենթադրենք. Որ որոշ n-ի համար π n թիվը կետ է

համարվում է π n>0 ֆունկցիան: Ապա sin|π n+x|=sin|x|

Սա ենթադրում է, որ n-ը միաժամանակ պետք է լինի և՛ զույգ, և՛ կենտ, ինչը անհնար է: Հետևաբար, այս գործառույթը պարբերական չէ:

Առաջադրանք 5. Ստուգեք, արդյոք ֆունկցիան պարբերական է

f(x)=

Թող T լինի f կետը, ապա

, հետևաբար sinT=0, T=π n, n € Z. Ենթադրենք, որ որոշ n-ի համար π n թիվը իսկապես տվյալ ֆունկցիայի պարբերաշրջանն է։ Այդ դեպքում 2π n թիվը նույնպես կետ կլինի

Քանի որ համարիչները հավասար են, ուրեմն նրանց հայտարարներն էլ են, ուրեմն

Հետևաբար, f ֆունկցիան պարբերական չէ։

Խմբային աշխատանք.

Առաջադրանքներ 1-ին խմբի համար.

Առաջադրանքներ 2-րդ խմբի համար.

Ստուգեք, արդյոք f ֆունկցիան պարբերական է և գտե՛ք դրա հիմնական ժամանակաշրջանը (եթե այն գոյություն ունի):

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Առաջադրանքներ 3-րդ խմբի համար.

Աշխատանքի վերջում խմբերը ներկայացնում են իրենց լուծումները։

VI. Ամփոփելով դասը.

Արտացոլում.

Ուսուցիչը ուսանողներին տալիս է գծագրերով բացիկներ և առաջարկում է նկարել առաջին գծագրի մի մասը՝ համապատասխան, թե որքանով են, ինչպես իրենց թվում է, նրանք տիրապետել են ֆունկցիայի պարբերականության ուսումնասիրության մեթոդներին, իսկ երկրորդ գծագրի մի մասը. , դասի աշխատանքին իրենց ներդրմանը համապատասխան։

VII. Տնային աշխատանք

մեկը): Ստուգեք, արդյոք f ֆունկցիան պարբերական է և գտեք դրա հիմնական ժամանակաշրջանը (եթե այն գոյություն ունի)

բ). f(x)=x 2 -2x+4

գ). f(x)=2tg (3x+5)

2). y=f(x) ֆունկցիան ունի T=2 կետ և f(x)=x 2 +2x x €-ի համար [-2; 0]. Գտե՛ք -2f(-3)-4f(3,5) արտահայտության արժեքը

գրականություն/

1. Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ՝ խորը ուսումնասիրությամբ.
2. Մաթեմատիկա. Քննության նախապատրաստում. Էդ. Լիսենկո Ֆ.Ֆ., Կուլաբուխովա Ս.Յու.
3. Շերեմետևա Տ.Գ. , Տարասովա Է.Ա.Հանրահաշիվ և սկզբնական վերլուծություն 10-11-րդ դասարանների համար.