Եռանկյունաչափությունը ձևավորում է սինուսի և կոսինուսի գումարը: Գնեք բարձրագույն կրթության դիպլոմ էժան

Ամենահաճախ տրվող հարցերը

Հնարավո՞ր է փաստաթղթի վրա կնիք անել ըստ ներկայացված նմուշի: Պատասխանել Այո, հնարավոր է։ Ուղարկեք սկանավորված պատճեն կամ լուսանկար մեր էլ. հասցեին լավ որակև մենք կկատարենք անհրաժեշտ կրկնօրինակը:

Վճարման ի՞նչ տեսակներ եք ընդունում: Պատասխանել Փաստաթղթի համար կարող եք վճարել սուրհանդակի կողմից ստանալու պահին՝ լրացման ճշգրտությունը և դիպլոմի որակը ստուգելուց հետո։ Դա կարելի է անել նաև փոստային ընկերությունների գրասենյակում, որոնք առաջարկում են կանխիկ առաքման ծառայություններ:
Փաստաթղթերի առաքման և վճարման բոլոր պայմանները նկարագրված են «Վճարում և առաքում» բաժնում: Մենք պատրաստ ենք լսել նաև ձեր առաջարկները փաստաթղթի առաքման և վճարման պայմանների վերաբերյալ:

Կարո՞ղ եմ վստահ լինել, որ պատվեր կատարելուց հետո դու չես անհետանա իմ փողի հետ: Պատասխանել Մենք բավականին երկար փորձ ունենք դիպլոմների արտադրության ոլորտում։ Մենք ունենք մի քանի կայքեր, որոնք անընդհատ թարմացվում են։ Մեր մասնագետները աշխատում են երկրի տարբեր ծայրերում՝ օրական պատրաստելով ավելի քան 10 փաստաթուղթ։ Տարիների ընթացքում մեր փաստաթղթերը շատերին օգնել են լուծել զբաղվածության խնդիրները կամ տեղափոխվել ավելին բարձր վարձատրվող աշխատանք. Մենք վստահություն և ճանաչում ենք վաստակել մեր հաճախորդների շրջանում, ուստի բացարձակապես որևէ պատճառ չկա, որ մենք դա անենք: Ընդ որում, դա ֆիզիկապես անհնար է անել. պատվերի համար վճարում ես այն ձեռքիդ տակ ստանալու պահին, չկա կանխավճար։

Կարո՞ղ եմ ցանկացած համալսարանի դիպլոմ պատվիրել: Պատասխանել Ընդհանուր առմամբ՝ այո։ Մենք այս ոլորտում աշխատում ենք գրեթե 12 տարի։ Այս ընթացքում ձևավորվել է հանրապետության և արտերկրի գրեթե բոլոր բուհերի կողմից տրված փաստաթղթերի գրեթե ամբողջական բազա։ տարբեր տարիներթողարկումը. Ձեզ անհրաժեշտ է միայն ընտրել համալսարան, մասնագիտություն, փաստաթուղթ և լրացնել պատվերի ձևաթուղթը:

Ի՞նչ պետք է անեմ, եթե փաստաթղթում հայտնաբերեմ տառասխալներ և սխալներ: Պատասխանել Մեր սուրհանդակային կամ փոստային ընկերությունից փաստաթուղթ ստանալիս խորհուրդ ենք տալիս ուշադիր ստուգել բոլոր մանրամասները: Տառասխալ, սխալ կամ անճշտություն հայտնաբերելու դեպքում դուք իրավունք ունեք չվերցնել դիպլոմը, և հայտնաբերված թերությունները պետք է անձամբ նշեք առաքիչին կամ հասցեում. գրելընամակ ուղարկելով էլ.
Հնարավորինս շուտ մենք կուղղենք փաստաթուղթը և նորից կուղարկենք նշված հասցեով: Իհարկե, առաքումը կվճարի մեր ընկերությունը։
Նման թյուրիմացություններից խուսափելու համար, նախքան բնօրինակ ձևը լրացնելը, մենք հաճախորդի փոստին ուղարկում ենք ապագա փաստաթղթի դասավորությունը՝ ստուգման և հաստատման համար: վերջնական տարբերակը. Սուրհանդակով կամ փոստով փաստաթուղթ ուղարկելուց առաջ մենք նաև անում ենք լրացուցիչ լուսանկարև տեսանյութ (ներառյալ ուլտրամանուշակագույն լույսի ներքո), որպեսզի տեսողական պատկերացում ունենաք, թե ինչ եք ստանում վերջում:

Ի՞նչ պետք է անեք ձեր ընկերությունից դիպլոմ պատվիրելու համար: Պատասխանել Փաստաթուղթ (վկայական, դիպլոմ, գիտական ​​վկայական և այլն) պատվիրելու համար դուք պետք է լրացնեք առցանց պատվերի ձևը մեր կայքում կամ տրամադրեք ձեր էլ. փոստը, որպեսզի մենք ձեզ ուղարկենք հարցաթերթիկ, որը դուք պետք է լրացնեք և ուղարկեք: վերադառնալ մեզ:
Եթե ​​չգիտեք, թե ինչ նշել պատվերի ձևի/հարցաշարի որևէ դաշտում, թողեք դրանք դատարկ: Ուստի մենք հեռախոսով կճշտենք բոլոր բացակայող տեղեկությունները։

Վերջին ակնարկներ

Ալեքսեյ.

Ինձ պետք էր դիպլոմ ստանալ՝ որպես մենեջեր աշխատանքի անցնելու համար։ Եվ ամենակարևորը, ես ունեմ և՛ փորձ, և՛ հմտություններ, բայց առանց փաստաթղթի չեմ կարող, ցանկացած տեղ աշխատանք կստանամ։ Մի անգամ ձեր կայքում, ես դեռ որոշեցի դիպլոմ գնել: Դիպլոմը ավարտվեց 2 օրում! Հիմա ես ունեմ աշխատանք, որի մասին նախկինում չէի երազել!! Շնորհակալություն!

Երկու α և β անկյունների համար սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևերը թույլ են տալիս նշված անկյունների գումարից անցնել α + β 2 և α - β 2 անկյունների արտադրյալին: Անմիջապես նշում ենք, որ չպետք է շփոթել սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևերը գումարի և տարբերության սինուսների և կոսինուսների բանաձևերի հետ: Ստորև մենք թվարկում ենք այս բանաձևերը, տալիս ենք դրանց ծագումը և ցույց ենք տալիս կոնկրետ խնդիրների կիրառման օրինակներ:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևեր

Եկեք գրենք, թե ինչպես են սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևերը

Սինուսների գումարի և տարբերության բանաձևեր

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևեր

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2

Այս բանաձևերը վավեր են α և β ցանկացած անկյունների համար: α + β 2 և α - β 2 անկյունները կոչվում են համապատասխանաբար ալֆա և բետա անկյունների կիսագումար և կես տարբերություն։ Յուրաքանչյուր բանաձևի համար մենք տալիս ենք ձևակերպում:

Սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևերի սահմանումներ

Երկու անկյունների սինուսների գումարըհավասար է այս անկյունների կիսագումարի սինուսի և կես տարբերության կոսինուսի արտադրյալի երկու անգամ։

Երկու անկյունների սինուսների տարբերությունհավասար է այս անկյունների կես տարբերության սինուսի և կիսագումարի կոսինուսի արտադրյալի երկու անգամ:

Երկու անկյունների կոսինուսների գումարըհավասար է այս անկյունների կիսագումարի կոսինուսի և կիսատև տարբերության կոսինուսի արտադրյալի երկու անգամ:

Երկու անկյունների կոսինուսների տարբերությունհավասար է այս անկյունների կիսագումարի սինուսի և կես տարբերության սինուսի արտադրյալի երկու անգամ՝ վերցված բացասական նշանով։

Սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևերի ստացում

Երկու անկյունների սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևեր ստանալու համար օգտագործվում են գումարման բանաձևեր: Դրանք ներկայացնում ենք ստորև

sin (α + β) = մեղք α cos β + cos α sin β sin (α - β) = մեղք α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - մեղք α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Մենք նաև ներկայացնում ենք հենց անկյունները որպես կիսագումարի և կիսատ տարբերությունների գումար:

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Մենք ուղղակիորեն անցնում ենք sin-ի և cos-ի գումարի և տարբերության բանաձևերի ստացմանը:

Սինուսների գումարի բանաձևի ստացում

Sin α + sin β գումարի մեջ α-ն և β-ն փոխարինում ենք վերևում տրված այս անկյունների արտահայտություններով: Ստացեք

մեղք α + մեղք β = մեղք α + β 2 + α - β 2 + մեղք α + β 2 - α - β 2

Այժմ մենք կիրառում ենք գումարման բանաձևը առաջին արտահայտության վրա, իսկ անկյունների տարբերությունների սինուսային բանաձևը երկրորդին (տես վերևի բանաձևերը)

sin α + β 2 + α - β 2 = մեղք α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = մեղք α + β 2 cos α. - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Մնացած բանաձևերի ստացման քայլերը նման են.

Սինուսների տարբերության բանաձևի ստացում

մեղք α - մեղք β = մեղք α + β 2 + α - β 2 - մեղք α + β 2 - α - β 2 մեղք α + β 2 + α - β 2 - մեղք α + β 2 - α - β 2 = մեղք. α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 մեղք α - β 2 cos α + β 2

Կոսինուսների գումարի բանաձևի ստացում

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Կոսինուսի տարբերության բանաձևի ստացում

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β. 2 sin α - β 2

Գործնական խնդիրների լուծման օրինակներ

Սկզբից մենք կստուգենք բանաձևերից մեկը՝ դրա մեջ փոխարինելով կոնկրետ անկյունային արժեքներ: Թող α = π 2 , β = π 6 : Հաշվենք այս անկյունների սինուսների գումարի արժեքը։ Նախ, եկեք օգտագործենք հիմնական արժեքների աղյուսակը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, այնուհետև կիրառեք սինուսների գումարի բանաձևը:

Օրինակ 1. Երկու անկյունների սինուսների գումարի բանաձեւի ստուգում

α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ անկյունների արժեքները տարբերվում են աղյուսակում ներկայացված հիմնական արժեքներից: Թող α = 165°, β = 75°: Եկեք հաշվարկենք այս անկյունների սինուսների տարբերության արժեքը:

Օրինակ 2. Սինուսային տարբերության բանաձևի կիրառում

α = 165 °, β = 75 ° մեղք α - մեղք β = մեղք 165 ° - մեղք 75 ° մեղք 165 - մեղք 75 = 2 մեղք 165 ° - մեղք 75 ° 2 cos 165 ° + մեղք 75 ° 2 = = 2 մեղք 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Օգտագործելով սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևերը, կարող եք գումարից կամ տարբերությունից անցնել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալին: Հաճախ այդ բանաձևերը կոչվում են գումարից արտադրանքի անցման բանաձևեր: Լուծման ժամանակ լայնորեն կիրառվում են սինուսների և կոսինուսների գումարի և տարբերության բանաձևերը եռանկյունաչափական հավասարումներև եռանկյունաչափական արտահայտությունները փոխարկելիս.

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Երկու անկյունների գումարի և տարբերության կոսինուս

Այս բաժնում ապացուցվելու են հետևյալ երկու բանաձևերը.

cos (α + β) = cos α cos β - մեղք α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Երկու անկյունների գումարի (տարբերության) կոսինուսը հավասար է այս անկյունների կոսինուսների արտադրյալին մինուս (գումարած) այս անկյունների սինուսների արտադրյալին։

Մեզ համար ավելի հարմար կլինի սկսել բանաձեւի (2) ապացույցից։ Պարզության համար նախ ենթադրենք, որ անկյունները α և β բավարարում են հետևյալ պայմանները.

1) այս անկյուններից յուրաքանչյուրը ոչ բացասական է և փոքր է 2պ:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Թող 0x առանցքի դրական մասը լինի անկյունների ընդհանուր սկզբնական կողմը α և β .

Այս անկյունների ծայրային կողմերը նշենք համապատասխանաբար 0A և 0B: Ակնհայտորեն անկյունը α - β կարելի է համարել այն անկյունը, որով անհրաժեշտ է պտտել ճառագայթը 0B կետի շուրջը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, որպեսզի դրա ուղղությունը համընկնի 0A ճառագայթի ուղղության հետ։

0A և 0B ճառագայթների վրա նշում ենք M և N կետերը, որոնք գտնվում են 0 կոորդինատների սկզբնակետից 1 հեռավորության վրա, որպեսզի 0M = 0N = 1:

x0y կոորդինատային համակարգում M կետն ունի կոորդինատներ ( cosα, sinα), և N կետ - կոորդինատներ ( cos β, sin β): Այսպիսով, նրանց միջև հեռավորության քառակուսին հավասար է.

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

Հաշվարկներում մենք օգտագործել ենք ինքնությունը

մեղք 2 φ + cos 2 φ = 1.

Այժմ դիտարկենք մեկ այլ կոորդինատային համակարգ B0C, որը ստացվում է 0x և 0y առանցքները 0 կետի շուրջ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ անկյան տակ պտտելով: β .

Այս կոորդինատային համակարգում M կետն ունի կոորդինատներ (cos ( α - β ), մեղք ( α - β )), իսկ կետը N-կոորդինատներն են (1,0): Այսպիսով, նրանց միջև հեռավորության քառակուսին հավասար է.

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ մեղք 2 (α - β) \u003d 2.

Բայց M և N կետերի միջև հեռավորությունը կախված չէ նրանից, թե որ կոորդինատային համակարգն ենք համարում այս կետերը: Այսպիսով

դ 1 2 = դ 2 2

2 (1 - cos α cos β - մեղք α sin β) = 2 .

Այստեղ հետևում է բանաձևը (2):

Այժմ մենք պետք է հիշենք այն երկու սահմանափակումները, որոնք մենք սահմանել ենք անկյուններում ներկայացնելու պարզության համար α և β .

Պահանջը, որ յուրաքանչյուր անկյունում α և β ոչ բացասական էր, ոչ իրականում նշանակալի: Ի վերջո, այս անկյուններից որևէ մեկին կարող է ավելացվել 2n-ի բազմապատիկ անկյուն, ինչը որևէ կերպ չի ազդի (2) բանաձևի վավերականության վրա։ Նմանապես, տրված անկյուններից յուրաքանչյուրից կարող եք հանել մի անկյուն, որը բազմապատիկ է 2պ. Ուստի կարելի է համարել, որ 0 < α < 2պ, 0 < β < 2պ.

Պայմանը α > β . Իսկապես, եթե α < β , ապա β >α ; հետեւաբար՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի հավասարությունը cos X , ստանում ենք.

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

որն ըստ էության համընկնում է (2) բանաձևի հետ։ Այսպիսով, բանաձեւը

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

ճիշտ է բոլոր տեսանկյունների համար α և β . Մասնավորապես՝ փոխարինելով β վրա - β և հաշվի առնելով, որ գործառույթը cosX հավասար է, իսկ ֆունկցիան մեղքX տարօրինակ, մենք ստանում ենք.

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

\u003d cos α cos β - մեղք α sin β,

որն ապացուցում է (1) բանաձևը.

Այսպիսով, ապացուցված են (1) և (2) բանաձևերը:

Օրինակներ.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Զորավարժություններ

1 . Հաշվեք առանց եռանկյունաչափական աղյուսակների.

ա) cos 17° cos 43° - մեղք 17° sin 43°;

բ) մեղք 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

գ) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

դ) մեղք 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

ե) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;

ե) մեղք 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5:

2.Պարզեցնել արտահայտությունները.

ա). cos ( α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .

բ). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + մեղք (36° + α ) մեղք ( α - 24 °):

մեջ): մեղք (π / 4 - α ) մեղք (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

դ) 2 α +tg α մեղք 2 α .

3 . Հաշվիր :

ա) cos (α - β), եթե

cosα = - 2 / 5 , sinβ = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

բ) cos ( α + π / 6) եթե cos α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . Գտնել cos(α + β)և կոս (α - β) , եթե հայտնի է, որ մեղքը α = 7/25 cos β = - 5/13 և երկու անկյունները ( α և β ) ավարտվում է նույն եռամսյակում:

5 .Հաշվարկել.

ա). cos [arcsin 1/3 + arccos 2/3]

բ). cos [arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

մեջ): cos [arctg 1 / 2 + arccos (- 2)]