Példák három szám legkisebb közös többszörösére. A legkisebb közös többszörös megtalálása: módszerek, példák az LCM megtalálására

Az LCM kiszámításának megértéséhez először meg kell határoznia a "többszörös" kifejezés jelentését.

A többszöröse olyan természetes szám, amely maradék nélkül osztható A-val, így a 15, 20, 25 és így tovább 5 többszörösének tekinthető.

Egy adott számnak korlátozott számú osztója lehet, de végtelen számú többszöröse van.

A természetes számok közös többszöröse olyan szám, amely maradék nélkül osztható velük.

Hogyan találjuk meg a számok legkisebb közös többszörösét

A számok legkisebb közös többszöröse (LCM) (kettő, három vagy több) a legkisebb természetes szám, amely egyenlően osztható ezekkel a számokkal.

A NOC megtalálásához többféle módszert is használhat.

Kis számok esetén célszerű egy sorba kiírni ezeknek a számoknak az összes többszörösét, amíg meg nem találjuk közöttük a közöst. A többszöröseket a rekordban nagy K betűvel jelöljük.

Például a 4 többszörösei így írhatók:

K(4) = (8,12,16,20,24,...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Láthatjuk tehát, hogy a 4 és 6 számok legkisebb közös többszöröse a 24. Ezt a bevitelt a következőképpen hajtjuk végre:

LCM(4; 6) = 24

Ha a számok nagyok, keresse meg három vagy több szám közös többszörösét, akkor jobb, ha más módszert használ az LCM kiszámításához.

A feladat elvégzéséhez a javasolt számokat prímtényezőkre kell bontani.

Először ki kell írnia egy sor legnagyobb számának kiterjesztését, alatta pedig a többit.

Az egyes számok bővítésében különböző számú tényező szerepelhet.

Például vegyük bele az 50-es és 20-as számokat prímtényezőkbe.

A kisebb szám bővítésekor érdemes aláhúzni azokat a tényezőket, amelyek az első legnagyobb szám bővítésében hiányoznak, majd ezeket hozzá kell adni. A bemutatott példában egy kettes hiányzik.

Most kiszámolhatjuk 20 és 50 legkisebb közös többszörösét.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Így a nagyobb szám prímtényezőinek és a második szám azon tényezőinek szorzata, amelyek nem szerepelnek a nagyobb szám dekompozíciójában, lesz a legkisebb közös többszörös.

Három vagy több szám LCM-jének meghatározásához mindegyiket prímtényezőkre kell bontani, mint az előző esetben.

Példaként megtalálhatja a 16, 24, 36 számok legkisebb közös többszörösét.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Így a tizenhat dekompozíciójából csak két kettes nem került be egy nagyobb szám faktorizálásába (az egyik a huszonnégy felbontásába).

Így ezeket egy nagyobb szám dekompozíciójához kell hozzáadni.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

A legkisebb közös többszörös meghatározásának vannak speciális esetei. Tehát, ha az egyik szám maradék nélkül osztható egy másikkal, akkor ezek közül a számok közül a nagyobb lesz a legkisebb közös többszörös.

Például a tizenkét és a huszonnégy fős NOC-ok huszonnégynek számítanak.

Ha meg kell találni azoknak a másodlagos számoknak a legkisebb közös többszörösét, amelyeknek nincs ugyanaz az osztója, akkor LCM-jük egyenlő lesz a szorzatukkal.

Például LCM(10, 11) = 110.

Tekintsünk három módszert a legkisebb közös többszörös megtalálására.

Megállapítás faktorozással

Az első módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása úgy, hogy a megadott számokat prímtényezőkké alakítjuk.

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a 99, 30 és 28 számok LCM-jét. Ehhez a számokat prímtényezőkre bontjuk:

Ahhoz, hogy a kívánt szám osztható legyen 99-cel, 30-cal és 28-cal, szükséges és elegendő, hogy tartalmazza ezen osztók összes prímtényezőjét. Ehhez a számok összes prímtényezőjét a legmagasabb előfordulási hatványra kell venni, és össze kell szorozni őket:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Tehát LCM (99, 30, 28) = 13 860. A 13 860-nál kisebb számok nem oszthatók egyenletesen 99-cel, 30-cal vagy 28-cal.

Adott számok legkisebb közös többszörösének megtalálásához fel kell bontania őket prímtényezőkre, majd minden egyes prímtényezőt a legnagyobb kitevővel kell felvennie, és ezeket a tényezőket össze kell szoroznia.

Mivel a koprímszámoknak nincs közös prímtényezője, a legkisebb közös többszörösük egyenlő ezeknek a számoknak a szorzatával. Például három szám: 20, 49 és 33 koprím. Így

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Ugyanezt kell tenni a különféle prímszámok legkisebb közös többszörösének keresésekor is. Például LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Keresés kiválasztással

A második módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása illesztéssel.

1. példa Ha a megadott számok közül a legnagyobb egyenlően osztható más megadott számokkal, akkor ezeknek a számoknak az LCM-je egyenlő a nagyobbik számmal. Például adott négy szám: 60, 30, 10 és 6. Mindegyik osztható 60-al, ezért:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

Más esetekben a legkisebb közös többszörös megtalálásához a következő eljárást kell alkalmazni:

1. Határozza meg a megadott számok közül a legnagyobb számot!
2. Ezután olyan számokat keresünk, amelyek a legnagyobb szám többszörösei, megszorozzuk a természetes számokkal növekvő sorrendben, és ellenőrizzük, hogy a fennmaradó adott számok oszthatók-e a kapott szorzattal.

2. példa Adott három szám: 24, 3 és 18. Határozza meg közülük a legnagyobbat - ez a 24. Ezután keresse meg azokat a számokat, amelyek 24 többszörösei, és ellenőrizze, hogy mindegyik osztható-e 18-cal és 3-mal:

24 1 = 24 osztható 3-mal, de nem osztható 18-cal.

24 2 = 48 - osztható 3-mal, de nem osztható 18-cal.

24 3 \u003d 72 - osztható 3-mal és 18-cal.

Tehát LCM(24; 3; 18) = 72.

Keresés szekvenciális kereséssel LCM

A harmadik módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása az LCM egymás utáni megkeresésével.

Két adott szám LCM-je egyenlő ezeknek a számoknak a szorzatával, osztva a legnagyobb közös osztóval.

Példa 1. Határozza meg két megadott szám LCM-jét: 12 és 8. Határozza meg legnagyobb közös osztójukat: GCD (12, 8) = 4. Szorozzuk meg ezeket a számokat:

A terméket a GCD-jükre osztjuk:

Tehát LCM(12; 8) = 24.

A három vagy több szám LCM-jének meghatározásához a következő eljárást kell használni:

1. Először a megadott számok közül bármelyik kettő LCM-jét megtaláljuk.
2. Ezután a talált legkisebb közös többszörös és a harmadik megadott szám LCM-je.
3. Ezután a kapott legkisebb közös többszörös és a negyedik szám LCM-je, és így tovább.
4. Így az LCM keresés addig tart, amíg vannak számok.

2. példa Keressük meg három megadott szám LCM-jét: 12, 8 és 9. Az előző példában már megtaláltuk a 12 és 8 számok LCM-jét (ez a 24-es szám). Meg kell találni a 24 legkisebb közös többszörösét és a harmadik megadott számot - 9. Határozzuk meg a legnagyobb közös osztójukat: gcd (24, 9) = 3. Szorozzuk meg az LCM-et 9-cel:

A terméket a GCD-jükre osztjuk:

Tehát LCM(12; 8; 9) = 72.

Tekintsük a következő probléma megoldását. A fiú lépése 75 cm, a lányé 60 cm Meg kell találni azt a legkisebb távolságot, amelyen mindketten egész számú lépést tesznek meg.

Döntés. Az egész út, amelyen a srácok mennek, oszthatónak kell lennie 60-nal és 70-nel maradék nélkül, mivel mindegyiküknek egész számú lépést kell megtennie. Más szavakkal, a válasznak 75 és 60 többszörösének kell lennie.

Először kiírjuk a 75-ös szám összes többszörösét.

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Most írjuk ki azokat a számokat, amelyek 60 többszörösei lesznek.

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Most megtaláljuk azokat a számokat, amelyek mindkét sorban vannak.

• A számok közös többszörösei a számok, 300, 600 stb.

Közülük a legkisebb a 300. Ebben az esetben a 75 és 60 számok legkisebb közös többszörösének nevezzük.

Visszatérve a probléma feltételére, a legkisebb távolság, amelyen a srácok egész számú lépést tesznek meg, 300 cm lesz, a fiú 4 lépésben, a lánynak 5 lépésben kell megtennie ezt az utat.

A legkisebb közös többszörös megtalálása

• Két a és b természetes szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb természetes szám, amely a és b többszöröse.

Ahhoz, hogy megtaláljuk két szám legkisebb közös többszörösét, nem szükséges ezeknek a számoknak az összes többszörösét egymás után felírni.

A következő módszert használhatja.

Hogyan találjuk meg a legkisebb közös többszöröst

Először is fel kell bontania ezeket a számokat prímtényezőkre.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Most írjuk fel mindazokat a tényezőket, amelyek az első szám (2,2,3,5) kiterjesztésében szerepelnek, és adjuk hozzá a második szám (5) bővítéséből származó összes hiányzó tényezőt.

Ennek eredményeként prímszámok sorozatát kapjuk: 2,2,3,5,5. Ezeknek a számoknak a szorzata lesz a legkevésbé gyakori tényező ezeknél a számoknál. 2*2*3*5*5 = 300.

Általános séma a legkisebb közös többszörös megtalálására

• 1. Bontsa fel a számokat prímtényezőkre.
• 2. Írja le az egyik legfontosabb tényezőt!
• 3. Add hozzá mindazokat a tényezőkhöz, amelyek a többi bontásában szerepelnek, de a kiválasztottban nem.
• 4. Keresse meg az összes kiírt tényező szorzatát!

Ez a módszer univerzális. Használható tetszőleges számú természetes szám legkisebb közös többszörösének megtalálására.

Meghatározás. Azt a legnagyobb természetes számot nevezzük, amellyel az a és b számok maradék nélkül oszthatók legnagyobb közös osztó (gcd) ezeket a számokat.

Keressük meg a 24 és 35 számok legnagyobb közös osztóját.
A 24 osztói az 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a 35 osztói pedig az 1, 5, 7, 35 számok lesznek.
Látjuk, hogy a 24-es és 35-ös számoknak csak egy közös osztójuk van - az 1-es szám. Az ilyen számokat ún. koprime.

Meghatározás. A természetes számokat nevezzük koprime ha a legnagyobb közös osztójuk (gcd) 1.

Legnagyobb közös osztó (GCD) megtalálható anélkül, hogy kiírnánk az adott számok összes osztóját.

A 48-as és 36-os számokat faktorálva kapjuk:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Ezen számok közül az első bővítésében szereplő tényezők közül töröljük azokat, amelyek nem szerepelnek a második szám bővítésében (azaz két kettes).
Maradnak a 2 * 2 * 3 tényezők, szorzatuk 12. Ez a szám a 48 és 36 számok legnagyobb közös osztója. Három vagy több szám legnagyobb közös osztója is megtalálható.

Megtalálni legnagyobb közös osztó

2) az egyik ilyen szám bővítésében szereplő tényezők közül húzza ki azokat, amelyek nem szerepelnek más számok bővítésében;
3) keresse meg a fennmaradó tényezők szorzatát.

Ha minden adott szám osztható valamelyikkel, akkor ez a szám legnagyobb közös osztó adott számokat.
Például a 15, 45, 75 és 180 legnagyobb közös osztója a 15, mivel ez osztja az összes többi számot: 45, 75 és 180.

Legkevésbé közös többszörös (LCM)

Meghatározás. Legkevésbé közös többszörös (LCM) az a és b természetes számok a legkisebb természetes számok, amelyek a és b többszörösei. A 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse (LCM) megtalálható anélkül, hogy ezeknek a számoknak a többszöröseit egymás után kiírnánk. Ehhez a 75-öt és a 60-at egyszerű tényezőkre bontjuk: 75 \u003d 3 * 5 * 5 és 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Ezen számok közül az első bővítésében szereplő tényezőket kiírjuk, és hozzájuk adjuk a második szám bővítéséből hiányzó 2-es és 2-es tényezőket (vagyis a tényezőket összevonjuk).
Öt 2 * 2 * 3 * 5 * 5 tényezőt kapunk, melynek szorzata 300. Ez a szám a 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse.

Keresse meg három vagy több szám legkisebb közös többszörösét is.

Nak nek megtalálni a legkisebb közös többszöröst több természetes számra van szüksége:
1) bontsa fel őket prímtényezőkre;
2) írja ki az egyik szám bővítésében szereplő tényezőket;
3) add hozzá a hiányzó tényezőket a fennmaradó számok bővítéséből;
4) keresse meg a kapott tényezők szorzatát.

Vegye figyelembe, hogy ha ezen számok egyike osztható az összes többi számmal, akkor ez a szám ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse.
Például a 12, 15, 20 és 60 legkisebb közös többszöröse 60 lenne, mivel osztható az összes megadott számmal.

Pythagoras (Kr. e. VI. század) és tanítványai a számok oszthatóságának kérdését tanulmányozták. Egy szám, amely megegyezik az összes osztójának összegével (maga nélkül), tökéletes számnak nevezték. Például a 6 (6 = 1 + 2 + 3), a 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) számok tökéletesek. A következő tökéletes számok a 496, 8128, 33 550 336. A püthagoreusok csak az első három tökéletes számot ismerték. A negyedik - 8128 - az I. században vált ismertté. n. e. Az ötödik - 33 550 336 - a 15. században került elő. 1983-ban már 27 tökéletes számot ismertek. De a tudósok mindeddig nem tudják, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok, hogy létezik-e a legnagyobb tökéletes szám.
Az ókori matematikusok érdeklődése a prímszámok iránt annak köszönhető, hogy bármely szám vagy prímszám, vagy prímszámok szorzataként ábrázolható, vagyis a prímszámok olyanok, mint a tégla, amelyből a többi természetes szám épül.
Valószínűleg Ön is észrevette, hogy a természetes számok sorozatában a prímszámok egyenetlenül fordulnak elő - a sorozat egyes részeiben több, máshol kevesebb. De minél tovább haladunk a számsorok mentén, annál ritkábbak a prímszámok. Felmerül a kérdés: létezik-e az utolsó (legnagyobb) prímszám? Az ókori görög matematikus, Eukleidész (Kr. e. III. század) a „Kezdetek” című könyvében, amely kétezer évig a matematika fő tankönyve volt, bebizonyította, hogy végtelenül sok prímszám van, vagyis minden prímszám mögött páros áll. nagyobb prímszám.
A prímszámok megtalálására egy másik görög matematikus, Eratoszthenész állt elő egy ilyen módszerrel. Felírta az összes számot 1-től valamilyen számig, majd áthúzta az egységet, amely nem prímszám és nem is összetett szám, majd egyen át áthúzta a 2 utáni összes számot (azokat a számokat, amelyek 2-nek, azaz 4-nek többszörösei, 6, 8 stb.). A 2 utáni első szám 3 volt. Kettő után a 3 utáni összes számot áthúztuk (olyan számok, amelyek 3 többszörösei, azaz 6, 9, 12 stb.). végül csak a prímszámok maradtak áthúzatlanul.

A diákok sok matematikai feladatot kapnak. Közöttük nagyon gyakran vannak a következő megfogalmazású feladatok: két érték van. Hogyan találjuk meg a megadott számok legkisebb közös többszörösét? Szükséges az ilyen feladatok elvégzése, hiszen az elsajátított készségeket a különböző nevezőjű törtekkel való munkavégzésre használják fel. A cikkben elemezzük, hogyan találjuk meg az LCM-et és az alapfogalmakat.

Mielőtt megtalálná a választ arra a kérdésre, hogy hogyan találja meg az LCM-et, meg kell határoznia a többszörös kifejezést. Ennek a fogalomnak a megfogalmazása leggyakrabban a következő: valamilyen A érték többszöröse egy természetes szám, amely maradék nélkül osztható A-val. Tehát 4, 8, 12, 16, 20 stb. a szükséges határértéket.

Ebben az esetben egy adott érték osztóinak száma korlátozható, és végtelenül sok többszöröse van. Ugyanez vonatkozik a természeti értékekre is. Ez egy olyan mutató, amelyet maradék nélkül osztanak el. Miután foglalkoztunk bizonyos mutatók legkisebb értékének fogalmával, térjünk át a megtalálásának módjára.

A NOC megtalálása

Két vagy több kitevő legkisebb többszöröse az a legkisebb természetes szám, amely teljes mértékben osztható az összes adott számmal.

Számos módja van egy ilyen érték megtalálásának. Tekintsük a következő módszereket:

1. Ha a számok kicsik, akkor írja be a sorba az összes osztható vele. Addig csináld ezt, amíg nem találsz valami közöset közöttük. A rekordban K betűvel vannak jelölve. Például 4 és 3 esetén a legkisebb többszörös 12.
2. Ha ezek nagyok, vagy 3 vagy több érték többszörösét kell találnia, akkor itt más technikát kell használnia, amely magában foglalja a számok prímtényezőkre történő felosztását. Először rakja ki a jelzett közül a legnagyobbat, majd az összes többit. Mindegyiknek megvan a maga szorzószáma. Példaként bontsuk fel a 20-at (2*2*5) és az 50-et (5*5*2). A kisebbiknél húzza alá a tényezőket, és adja hozzá a legnagyobbhoz. Az eredmény 100 lesz, ami a fenti számok legkisebb közös többszöröse.
3. 3 szám (16, 24 és 36) keresésekor az elvek ugyanazok, mint a másik kettőnél. Bővítsük ki mindegyiket: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. A 16-os szám kibővítéséből mindössze két kettőt nem vettünk bele a legnagyobbak bontásába, ezeket összeadva 144-et kapunk, ami a legkisebb eredmény a korábban feltüntetett számértékekre.

Most már tudjuk, mi az általános technika két, három vagy több érték legkisebb értékének meghatározására. Vannak azonban privát módszerek is, segít a NOC-ok felkutatásában, ha az előzőek nem segítenek.

Hogyan lehet megtalálni a GCD-t és a NOC-t.

Privát keresési módok

Mint minden matematikai résznél, itt is vannak speciális esetek az LCM-ek megtalálására, amelyek bizonyos helyzetekben segítenek:

• ha az egyik szám maradék nélkül osztható a többivel, akkor e számok legkisebb többszöröse egyenlő vele (NOC 60 és 15 egyenlő 15-tel);
• A másodprímszámoknak nincs közös prímosztójuk. Legkisebb értékük e számok szorzatával egyenlő. Így a 7-es és 8-as számok esetében ez 56 lesz;
• ugyanez a szabály más esetekben is működik, beleértve a speciális eseteket is, amelyekről a szakirodalomban olvashatunk. Ide tartoznak az összetett számok dekompozícióinak esetei is, amelyek külön cikkek, sőt Ph.D. értekezések tárgyát képezik.

A speciális esetek kevésbé gyakoriak, mint a szabványos példák. De nekik köszönhetően megtanulhatja, hogyan kell dolgozni a különböző bonyolultságú frakciókkal. Ez különösen igaz a törtekre., ahol különböző nevezők vannak.

Néhány példa

Nézzünk néhány példát, amelyeknek köszönhetően megértheti a legkisebb többszörös megtalálásának elvét:

1. LCM-et találunk (35; 40). Először 35 = 5*7, majd 40 = 5*8 rakjuk ki. A legkisebb számhoz hozzáadunk 8-at, és megkapjuk a NOC 280-at.
2. NOC (45; 54). Mindegyiket kirakjuk: 45 = 3*3*5 és 54 = 3*3*6. A 6-os számot hozzáadjuk 45-höz. A NOC értéke 270.
3. Nos, az utolsó példa. Van 5 és 4. Nincsenek egyszerű többszöröseik, így ebben az esetben a legkisebb közös többszörösük lesz a szorzatuk, ami egyenlő 20-zal.

A példáknak köszönhetően megértheti, hogyan található a NOC, mik az árnyalatok és mi az ilyen manipulációk jelentése.

A NOC megtalálása sokkal könnyebb, mint elsőre tűnik. Ehhez mind az egyszerű bővítést, mind az egyszerű értékek egymáshoz való szorzását használják.. A matematika ezen részével való munkavégzés képessége segít a matematikai témák további tanulmányozásában, különös tekintettel a különböző bonyolultságú töredékekre.

Ne felejtse el rendszeresen megoldani a példákat különböző módszerekkel, ez fejleszti a logikai apparátust, és lehetővé teszi számos kifejezés emlékezését. Tanuljon meg módszereket egy ilyen mutató megtalálására, és jól tud majd dolgozni a többi matematikai szakaszsal. Boldog matematika tanulást!

Videó

Ez a videó segít megérteni és emlékezni arra, hogyan találja meg a legkisebb közös többszöröst.