Az óra témája: Aritmetikai műveletek helyszámrendszerekben.

9. évfolyam

Az óra céljai:

Didaktikus: Ismertesse meg a tanulókkal az összeadást, kivonást, szorzást és osztást a bináris rendszerben, és gyakoroltassa ezen műveletek végrehajtásának készségeit.

Nevelési: a tanulók érdeklődésének fejlesztése az új dolgok elsajátítása iránt, megmutatni a számítások nem szabványos megközelítésének lehetőségét.

Fejlesztés: fejleszteni a figyelmet, a gondolkodás szigorúságát, az érvelési képességet.

Az óra szerkezete.

Szervezeti momentum -1 perc.

Házi feladat ellenőrzése szóbeli vizsgával -15 perc.

Házi feladat -2 perc.

Problémák megoldása az anyag egyidejű elemzésével és önálló fejlesztésével -25 perc.

Összegezve a leckét -2 perc.

AZ ÓRÁK ALATT

Szervezési pillanat.

Házi feladat ellenőrzése (szóbeli teszt) .

A tanár sorban felolvassa a kérdéseket. A tanulók figyelmesen hallgassák meg a kérdést anélkül, hogy leírnák. Csak a választ rögzítjük, és nagyon röviden. (Ha egy szóval is lehet válaszolni, akkor csak ez a szó kerül rögzítésre).

Mi az a számrendszer? (-ez egy jelrendszer, amelyben a számokat bizonyos szabályok szerint írják le valamilyen számnak nevezett ábécé karakterei segítségével )

Milyen számrendszereket ismer?( nem pozíciós és pozicionális )

Melyik rendszert nevezzük nem pozicionálisnak? (Az SCH-t nem-pozíciósnak nevezzük, ha egy szám számjegyének kvantitatív egyenértéke (mennyiségi értéke) nem függ a szám jelölésében elfoglalt helyétől. ).

Mi a pozíciós SSC alapja. (egyenlő az ábécéjét alkotó számjegyek számával )

Milyen matematikai művelettel konvertálhatunk egy egész számot decimális NSC-ből bármely másikra? (osztály )

Mit kell tenni egy szám decimálisról binárisra konvertálásához? (Következetesen oszd el 2-vel )

Hányszorosára csökken a 11,1 szám 2 amikor a vesszőt egy karakterrel balra mozgatja? (2 alkalommal )

Most pedig hallgassunk meg egy verset egy rendkívüli lányról, és válaszoljunk a kérdésekre. (Úgy hangzik, mint egy vers )

RENDKÍVÜLI LÁNY

Ezer és száz éves volt
A százegyedik osztályba járt,
Száz könyvet hordtam a tárcámban.
Mindez igaz, nem hülyeség.

Amikor egy tucat lábbal poroszkál,
Ment az úton.
Mindig egy kiskutya követte
Egy farokkal, de százlábú.

Minden hangot elkapott
Tíz füllel
És tíz lebarnult kéz
Egy aktatáskát és egy pórázt tartottak.

És tíz sötétkék szem
Szokásosnak tekintve a világot,
De minden teljesen normális lesz,
Amikor megérted a történetemet.

/ N. Starikov /

És hány éves volt a lány? (12 év ) Melyik osztályba járt? (5. osztály ) Hány karja és lába volt? (2 kar, 2 láb ) Hogyan lehet egy kiskutyának 100 lába? (4 mancs )

A teszt kitöltése után a tanulók maguk hangosan mondják ki a válaszokat, önvizsgálatot végeznek, és a tanulók saját magukat értékelik.

Kritérium:

10 helyes válasz (talán egy kis hiba) - „5”;

9 vagy 8 - „4”;

7, 6 – “3”;

a többi a „2”.

II. Házi feladat (2 perc)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Munka új anyagokkal

Aritmetikai műveletek kettes rendszerben.

A kettes számrendszer aritmetikája a számjegyek összeadási, kivonási és szorzási táblázatainak használatán alapul. Az aritmetikai operandusok a táblázatok felső sorában és első oszlopában találhatók, az eredmények pedig az oszlopok és sorok metszéspontjában:

0

1

1

1

Kiegészítés.

A bináris összeadási táblázat rendkívül egyszerű. Csak egy esetben, amikor 1 + 1 összeadás történik, történik átvitel a legjelentősebb bitre.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Kivonás.

A kivonási művelet végrehajtása során mindig egy kisebb számot vonunk ki egy nagyobb abszolút értékű számból, és feltesszük a megfelelő előjelet. A kivonási táblázatban az 1-es sáv magas rendű kölcsönt jelent. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Szorzás

A szorzási művelet a szorzótábla segítségével történik a tizedes számrendszerben szokásos séma szerint, a szorzót a szorzó következő számjegyével szorozva. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

A szorzás a szorzó eltolására és az összeadásokra redukálódik.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. A lecke összegzése

Kártya a tanulók további munkájához.

Végezzen aritmetikai műveleteket:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Kiegészítés. A kettes számrendszerben a számok összeadása az egyjegyű kettes számok összeadási táblázatán alapul (6. táblázat).

Fontos figyelni arra, hogy két egység összeadásakor a legmagasabb számjegyre történik az átutalás. Ez akkor történik, ha egy szám értéke egyenlő vagy nagyobb lesz, mint a számrendszer alapja.

A többjegyű bináris számok összeadása a fenti összeadási táblázat szerint történik, figyelembe véve az esetleges átviteleket az alacsonyabb számjegyekről a magasabb számjegyekre. Példaként adjunk hozzá bináris számokat egy oszlopba:

Ellenőrizzük a számítások helyességét összeadással a decimális számrendszerben. A bináris számokat alakítsuk át decimális számrendszerré, és adjuk össze őket:

Kivonás. A kettes számok kivonása az egyjegyű kettes számok kivonási táblázatán alapul (7. táblázat).

Ha egy kisebb számból (0) kivonunk egy nagyobbat (1), akkor a legmagasabb rendű hitelfelvétel történik. A táblázatban a kölcsönt 1-es sáv jelzi.

A többjegyű bináris számok kivonása ennek a táblázatnak megfelelően valósul meg, figyelembe véve az esetleges kölcsönöket a magasabb rendű számjegyekben.

Például vonjunk ki bináris számokat:

Szorzás. A szorzás az egyjegyű kettes számok szorzótábláján alapul (8. táblázat).

A többjegyű bináris számok szorzása ennek a szorzótáblának megfelelően történik a tizedes számrendszerben használt szokásos séma szerint, a szorzó egymást követő szorzásával a szorzó következő számjegyével. Vegyünk egy példát a bináris szorzásra

Megjegyzés: Ha két 1-gyel egyenlő számot adunk össze, akkor ebben a számjegyben 0-t kapunk, az 1-es pedig a legjelentősebb számjegyre kerül át.

Példa_21: A 101 (2) és a 11 (2) számok vannak megadva. Keresse meg ezeknek a számoknak az összegét!

ahol 101 (2) = 5 (10), 11 (2) = 3 (10), 1000 (2) = 8 (10) .

Ellenőrzés: 5+3=8.

Ha 0-ból kivonunk egyet, akkor a legközelebbi legmagasabb számjegyből veszünk egy mértékegységet, amely eltér 0-tól. Ugyanakkor a legmagasabb számjegyben foglalt egység 2 egységet ad a legkisebb jelentőségű számjegyben, és egyet a legmagasabb számjegyek között. és a legalacsonyabb.

Példa_22: A 101 (2) és a 11 (2) számok vannak megadva. Keresse meg a különbséget ezek között a számok között.

ahol 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Ellenőrzés: 5-3=2.

A szorzási művelet ismételt eltolásra és összeadásra redukálódik.

Példa_23: A 11 (2) és a 10 (2) számok adottak. Keresse meg ezeknek a számoknak a szorzatát!

ahol 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10), 110 (2) =6 (10) .

Ellenőrzés: 3*2=6.

Aritmetikai műveletek oktális számrendszerben

Két olyan szám összeadásakor, amelyek összege 8, ebben a kategóriában 0-t kapunk, és az 1-es a legmagasabb sorrendbe kerül.

Példa_24: 165 (8) és 13 (8) számok vannak megadva. Keresse meg ezeknek a számoknak az összegét!

ahol 165 (8) = 117 (10), 13 (8) = 11 (10), 200 (8) = 128 (10).

Ha egy nagyobb számot kivonunk egy kisebb számból, akkor a legközelebbi, 0-tól eltérő legmagasabb számjegyből egy mértékegységet veszünk. Ugyanakkor a legmagasabb számjegyben foglalt egység 8-at ad a legkisebb jelentőségű számjegyben.

Példa_25: 114 (8) és 15 (8) számok vannak megadva. Keresse meg a különbséget ezek között a számok között.

ahol 114 (8) =76 (10), 15 (8) =13 (10), 77 (8) =63 (10).

Aritmetikai műveletek hexadecimális számrendszerben

Két szám összeadásakor, összesen 16, 0-t írunk ebbe a kategóriába, és az 1-et a legmagasabb sorrendbe helyezzük át.

Példa_26: Az 1B5 (16) és az 53 (16) számok adottak. Keresse meg ezeknek a számoknak az összegét!

ahol 1B5 (16) = 437 (10), 53 (16) = 83 (10), 208 (16) = 520 (10).

Ha egy nagyobb számot kivonunk egy kisebb számból, akkor a 0-tól eltérő legközelebbi legmagasabb számjegyből veszünk egységet. Ugyanakkor a legmagasabb számjegyben elfoglalt egység 16-ot ad a legkisebb jelentőségű számjegyben.

Példa_27: A 11A (16) és a 2C (16) számok adottak. Keresse meg a különbséget ezek között a számok között.

ahol 11A(16)=282(10), 2C(16)=44(10), EE(16)=238(10).

Számítógépes adatkódolás

A számítógépben lévő adatok kódként jelennek meg, amely egyesekből és nullákból áll különböző sorrendben.

A kód– szimbólumok halmaza az információ bemutatására. A kódolás az információ kód formájában történő bemutatásának folyamata.

Számkódok

Számítógépen végzett aritmetikai műveletek során használják közvetlen, fordított és további számkódok.

Közvetlen kód

Egyenes egy bináris szám kódja (abszolút érték előjeles ábrázolása) maga a bináris szám, amelybe az értékét reprezentáló összes számjegy matematikai jelölés szerint, a szám előjele pedig egy bináris számjegy.

Az egész számokat számítógépen előjellel vagy anélkül is ábrázolhatjuk.

Az előjel nélküli egész számok általában egy vagy két bájtot foglalnak el a memóriából. Az előjeles egész számok tárolására egy, kettő vagy négy bájt, míg a legjelentősebb (bal szélső) bit a szám előjele alatt kerül lefoglalásra. Ha a szám pozitív, akkor 0-t írunk erre a bitre, ha negatív, akkor 1-et.

Példa_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

A számítógépben lévő pozitív számok mindig közvetlen kóddal jelennek meg. A szám közvetlen kódja teljesen egybeesik magának a számnak a gép cellájába való beírásával. Egy negatív szám közvetlen kódja csak az előjelbit tartalmában tér el a megfelelő pozitív szám közvetlen kódjától.

A közvetlen kódot a számok számítógépmemóriában való tárolásakor, valamint szorzási és osztási műveletek végrehajtásakor használják, de a számok közvetlen kódban történő megjelenítésének formátuma kényelmetlen a számításokhoz, mivel a pozitív és negatív számok összeadása és kivonása történik. eltérően, ezért szükséges az előjel-operandus bitek elemzése. Ezért a közvetlen kódot gyakorlatilag nem használják az ALU egész számokon végzett aritmetikai műveletek végrehajtása során. De a negatív egész számok nem jelennek meg közvetlen kóddal a számítógépben. E formátum helyett elterjedtek a számok fordított és további kódok megjelenítésére szolgáló formátumok.

Fordított kód

Fordított kód pozitív szám egybeesik egy közvetlen számmal, és negatív szám írásakor a szám előjelét jelző számjegy kivételével minden számjegye ellentétesre cserélődik (0 helyett 1, 1 helyett 0 ).

Példa_29:

Példa_30:

A negatív szám közvetlen kódjának visszaállításához a fordított kódból minden számjegyet a szám előjelét képviselő számjegy kivételével ellentétes számjegyekre kell cserélni.

Kiegészítő kód

Kiegészítő kód egy pozitív szám egybeesik a közvetlen számmal, és egy negatív szám kódja úgy keletkezik, hogy az inverz kódhoz hozzáadunk 1-et.

Példa_31:

Példa_32:

Példa_33:

A -32 (10) egész számhoz írjon be egy további kódot.

1. Miután a 32 (10) számot kettes számrendszerré alakítjuk, a következőt kapjuk:

32 (10) =100000 (2) .

2. A 32 (10) pozitív szám közvetlen kódja 0010 0000.

3. -32 (10) negatív szám esetén a közvetlen kód 1010 0000.

4. A -32 (10) szám fordított kódja: 1101 1111.

5. A -32 (10) szám kiegészítő kódja 1110 0000.

Példa_34:

A szám kiegészítő kódja: 0011 1011. Keresse meg a szám értékét decimális jelöléssel!

1. A szám első (előjele) számjegye 0 A 011 1011 0, tehát a szám pozitív.

2. Pozitív szám esetén a járulékos, inverz és közvetlen kódok megegyeznek.

3. A bináris rendszerben lévő számot a közvetlen kód rekordjából kapjuk - 111011 (2) (a legmagasabb számjegyekből a nullákat eldobjuk).

4. A 111011 (2) szám a decimális számrendszerre való átszámítás után 59 (10).

Példa_35:

A szám kiegészítő kódja: 1011 1011. Keresse meg a szám értékét decimális jelöléssel!

1. Egy szám előjelű számjegye 1 A 011 1011 1, tehát a szám negatív.

2. A szám fordított kódjának meghatározásához vonjon le egyet a kiegészítő kódból. A fordított kód az 1 011 1010.

3. A közvetlen kódot fordítva kapjuk meg úgy, hogy a szám összes bináris számjegyét az ellentétes számjegyekre cseréljük (1 a 0, 0 az 1). A szám közvetlen kódja 1 100 0101 (az előjelbitbe 1-et írunk).

4. A bináris rendszerben lévő szám a közvetlen kód -100 0101 (2) rekordjából származik.

4. A -1000101 (2) szám a tizedesjegyre történő átalakítás után egyenlő -69 (10).

Hasonló információk.

itthon \ Dokumentáció \ Informatika tanárnak

Az oldalról származó anyagok használatakor - és a banner elhelyezése KÖTELEZŐ!!!

Bináris aritmetika

Az általunk megszokott számokat decimálisnak, az általunk használt aritmetikát decimálisnak is nevezzük. Ennek az az oka, hogy minden szám 10 karakterből álló számjegyekből állhat – számjegyekből – „0123456789”.

A matematika úgy fejlődött, hogy ez a halmaz lett a fő, de a decimális aritmetika nem az egyetlen. Ha csak öt számjegyet veszünk, akkor ezek alapján ötszörös aritmetikát építhetünk, hét számjegyből hétszeres. A számítástechnikával kapcsolatos ismeretek területén gyakran használják az aritmetikát, amelyben a számok tizenhat számjegyből állnak, ezt az aritmetikát hexadecimálisnak nevezik. Ahhoz, hogy megértsük, mi a szám a nem decimális aritmetikában, először megtudjuk, mi a szám a decimális aritmetikában.

Vegyük például a 246-os számot. Ez a bejegyzés azt jelenti, hogy a számban kétszáz, négy tízes és hat egyes található. Ezért felírhatjuk a következő egyenlőséget:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Itt az egyenlőségjelek ugyanazon szám írásának három módját választják el. Számunkra most a harmadik írásforma a legérdekesebb: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. A következőképpen szerveződik:

Három számunk van. A legmagasabb számjegy, a "2" számjegye 3. Tehát a második hatványhoz megszorozzuk 10-zel. A következő „4” számjegy sorozatszáma 2, és az első számjegyben megszorozzuk 10-zel. Már most látható, hogy a számjegyeket tízzel szorozzuk a számjegy sorszámánál eggyel kisebb hatványig. Az elmondottak megértése után felírhatjuk a decimális szám ábrázolásának általános képletét. Legyen egy N számjegyű szám. Az i-edik számjegyet i-vel jelöljük. Ekkor a szám a következő formában írható fel: a n a n-1 ….a 2 a 1 . Ez az első űrlap, a harmadik pedig így fog kinézni:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

ahol az i egy karakter a "0123456789" halmazból

Ebben a bejegyzésben nagyon jól látható a tíz szerepe. A tíz az alapja a számképzésnek. És mellesleg "a számrendszer alapjának" hívják, és magát a számrendszert, ezért hívják "tizedesnek". Természetesen a tízes számnak nincsenek különleges tulajdonságai. A tízet könnyedén helyettesíthetjük bármilyen más számmal. Például egy szám az ötjegyű számrendszerben így írható fel:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

ahol az i egy karakter a "01234" halmazból

Általában a 10-et bármilyen más számmal helyettesítjük, és teljesen más számrendszert és más aritmetikát kapunk. A legegyszerűbb aritmetika akkor érhető el, ha 10-et 2-vel helyettesítjük. A kapott számrendszert binárisnak nevezzük, és a benne lévő számot a következőképpen definiáljuk:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

ahol az i egy karakter a "01" halmazból

Ez a rendszer a legegyszerűbb az összes lehetséges közül, hiszen benne bármely szám csak két 0 és 1 számjegyből áll. Nyilvánvaló, hogy ennél egyszerűbb nincs. Példák kettes számokra: 10, 111, 101.

Nagyon fontos kérdés. Egy bináris szám ábrázolható-e decimális számként és fordítva, egy decimális szám ábrázolható-e bináris számként?

Bináristól tizedesjegyig. Ez nagyon egyszerű. Az ilyen fordítás módszere megadja a számok írásának módját. Vegyük például a következő bináris számot 1011. Bővítsük ki kettő hatványaira. A következőket kapjuk:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Elvégezzük az összes rögzített műveletet, és megkapjuk:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Így azt kapjuk, hogy 1011 (bináris) = 11 (tizedes). Azonnal láthatja a bináris rendszer enyhe kellemetlenségét. Ugyanannak a számnak, amelyet decimális rendszerben kettesben egy karakterrel írunk, négy karakter szükséges a rögzítéséhez. De ez ára az egyszerűségnek (semmi sem történik ingyen). De a bináris rendszer hatalmas nyereséget ad az aritmetikai műveletekben. És akkor meglátjuk.

Adja meg a következő bináris számokat decimális számként!

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

Bináris számok összeadása.

Az oszlopokkal történő összeadás módja általában ugyanaz, mint egy decimális szám esetében. Vagyis az összeadás bitenként történik, a legkisebb jelentőségű számjegytől kezdve. Ha két számjegy összeadása kilencnél nagyobb SUM-ot eredményez, akkor a = SZUM-10 szám kerül kiírásra, és a legmagasabb számjegyhez hozzáadódik a TELJES RÉSZ (SUM / 10). (Adjon hozzá néhány számot egy oszlopba, ne feledje, hogyan történik ez.) Így van ez egy bináris számmal is. Adja össze apránként, a legalacsonyabb számjegytől kezdve. Ha 1-nél több lesz, akkor 1-et írunk, és 1-et adunk a legjelentősebb számjegyhez (azt mondják, hogy "őrültség").

Fussunk le egy példát: 10011 + 10001.

Első rang: 1+1 = 2. Felírunk 0 és 1 jutott eszünkbe.

Második rang: 1+0+1 (memorizált egység) =2. Leírjuk a 0 és 1 jutott eszembe.

Harmadik rang: 0+0+1(megjegyzett egység) = 1. Írjon 1-et.

Negyedik rang 0+0=0. 0-t írunk fel.

Ötödik rang 1+1=2. 0-t írunk és a hatodik bithez hozzáadunk 1-et.

Alakítsuk át mind a három számot tizedes rendszerűvé, és ellenőrizzük az összeadás helyességét.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 helyes egyenlőség

Példák független megoldásra:

a) 11001 +101 =

b) 11001 +11001 =

c) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

f) 11011 + 1111 =

e) 11111 + 10011 =

Hogyan lehet decimálist binárissá konvertálni. A következő művelet a kivonás. De ezzel a művelettel egy kicsit később foglalkozunk, és most megvizsgáljuk a decimális számok binárissá alakításának módszerét.

Ahhoz, hogy egy decimális számot binárissá alakítsunk, kettős hatványokkal kell bővíteni. De ha a tízes hatványok bővítését azonnal megkapjuk, akkor a kettő hatványainak bővítése egy kis átgondolást igényel. Először nézzük meg, hogyan kell ezt megtenni a kiválasztási módszerrel. Vegyük a 12-es decimális számot.

Első lépés. 2 2 \u003d 4, ez nem elég. Ez is kicsi, és 2 3 \u003d 8, és 2 4 \u003d 16 már sok. Hagyjuk tehát 2 3 =8-at. 12 - 8 = 4. Most a 4-et kettő hatványaként kell ábrázolnia.

Második lépés. 4 = 2 2 .

Ekkor a 12-es számunk = 2 3 + 2 2 . A legmagasabb számjegy a 4-es, a legmagasabb fok = 3, ezért legyenek olyan tagok, amelyek hatványai 1 és 0. De nincs rájuk szükségünk, így a felesleges fokozatok megszabadulása érdekében hagyjuk meg a szükségeseket. egyesével a számot így írjuk: 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - ez a 12 szám bináris reprezentációja. Könnyen belátható, hogy minden következő hatvány a kettő legnagyobb hatványa, ami kisebb, mint a bővítendő szám. A módszer javításához nézzünk egy másik példát. 23. szám.

1. lépés. A kettő legközelebbi hatványa 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

2. lépés. A kettő legközelebbi hatványa 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

3. lépés Kettő legközelebbi hatványa 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

4. lépés: Kettő legközelebbi hatványa 2 0 =1 1 - 1 =0

A következő bontást kapjuk: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

És a kívánt bináris számunk az 10111

A fent tárgyalt módszer jól megoldja az előtte felállított feladatot, de van olyan módszer, amely sokkal jobban algoritmizálható. Ennek a módszernek az algoritmusa az alábbiakban olvasható:

Mindaddig, amíg a SZÁM nagyobb nullánál

KÖVETKEZŐ SZÁMJEGY \u003d a SZÁM 2-vel való osztásának maradéka

SZÁM = a SZÁM egész része osztva 2-vel

Amikor ez az algoritmus befejezi munkáját, a számított SZABÁLYOS SZÁMJEGYEK sorozata egy bináris számot fog képviselni. Például dolgozzunk a 19-es számmal.

Algoritmus kezdete SZÁM = 19

KÖVETKEZŐ SZÁMJEGY = 1

KÖVETKEZŐ SZÁMJEGY = 1

KÖVETKEZŐ SZÁMJEGY = 0

KÖVETKEZŐ SZÁMJEGY = 0

KÖVETKEZŐ SZÁMJEGY = 1

Tehát ennek eredményeként a következő számot kapjuk: 10011. Vegye figyelembe, hogy a két vizsgált módszer különbözik a következő számjegyek beszerzésének sorrendjében. Az első módszerben az első kapott számjegy a bináris szám legmagasabb számjegye, a második módszerben pedig a kapott első számjegy, éppen ellenkezőleg, a legalacsonyabb.

Konvertálja a decimálist binárissá kétféleképpen

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019

Hogyan alakítsuk át a tört részt decimálissá.

Ismeretes, hogy bármely racionális szám ábrázolható tizedes és közönséges törtként. A közönséges tört, vagyis az A / B formájú törtrész lehet szabályos és helytelen. Egy törtet akkor nevezünk megfelelőnek, ha A<В и неправильной если А>NÁL NÉL.

Ha egy racionális számot helytelen törttel ábrázolunk, és ugyanakkor a tört számlálóját teljesen elosztjuk a nevezővel, akkor ez a racionális szám egész szám, minden más esetben törtrész jelenik meg. A tört rész gyakran nagyon hosszú szám, sőt végtelen (végtelen periodikus tört pl. 20/6), így a tört rész esetében nemcsak az a feladatunk, hogy az egyik reprezentációt a másikra fordítsuk, hanem lefordítjuk. bizonyos pontossággal.

Pontossági szabály. Tegyük fel, hogy kapunk egy decimális számot, amely legfeljebb N számjegyből álló tizedes törtként ábrázolható. Ahhoz, hogy a megfelelő bináris szám ugyanolyan pontosságú legyen, M - karaktereket kell beleírni, hogy

És most próbáljuk meg megszerezni a fordítási szabályt, és először vegyük figyelembe az 5,401 példát

Döntés:

Az egész részt az általunk már ismert szabályok szerint kapjuk meg, és egyenlő a 101-es bináris számmal. A tört részt pedig kibővítjük 2 hatványaival.

1. lépés: 2-2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. a maradék.

2. lépés: Most a 0,151-et kettő hatványaként kell ábrázolnunk. Tegyük ezt: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

Így az eredeti tört rész 2 -2 +2 -3-ként ábrázolható. Ugyanez felírható egy ilyen bináris számba: 0,011. Az első tört számjegy nulla, ez azért van, mert a 2 -1 fok hiányzik a dekompozíciónkból.

Az első és második lépésből világosan látszik, hogy ez az ábrázolás nem pontos, és kívánatos lehet a bontás folytatása. Térjünk vissza a szabályhoz. Azt mondja, hogy annyi M jelre van szükségünk, hogy 10 3 kisebb legyen, mint 2 M. Azaz 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

3. lépés: Most a 0,026-os számmal dolgozunk. A kettő legközelebbi hatványa ehhez a számhoz 2 -6 \u003d 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 most a pontosabb bináris számunk 0,011001. A tizedesvessző után már hat tizedesjegy van, de ez még nem elég, így még egy lépést végzünk.

4. lépés: Most a 0.010375 számmal dolgozunk. A kettő legközelebbi hatványa ehhez a számhoz 2 -7 \u003d 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

5. lépés: Jelenleg a 0.0025625 számmal dolgozunk. A kettő legközelebbi hatványa ehhez a számhoz 2 -9 \u003d 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Az utolsó kapott maradék kisebb, mint 2 -10, és ha tovább akarnánk közelíteni az eredeti számot, akkor 2 -11-re lenne szükségünk, de ez már meghaladja a szükséges pontosságot, ezért a számítások leállíthatók és a végső bináris ábrázolás a tört rész felírható.

0,401 = 0,011001101

Amint látja, egy decimális szám tört részének bináris megjelenítésre konvertálása egy kicsit bonyolultabb, mint az egész rész konvertálása. Kettő hatványtáblázata az előadás végén.

És most megírjuk a transzformációs algoritmust:

Az algoritmus kiinduló adatai: A-n keresztül az eredeti, tizedes alakban írt saját tizedes törtet jelöljük. Legyen ez a tört N jelű.

Algoritmus

Művelet 1. Határozza meg a szükséges M bináris karakterek számát a 10 N egyenlőtlenségből!< 2 M

2. lépés: Számítsa ki a bináris ábrázolás számjegyeit (nulla utáni számjegyek). A számjegy számát a K szimbólum fogja jelölni.

1. Számjegy = 1
2. Ha 2 -K > A

Ezután nullát adunk a kettes szám jelöléséhez

• adjunk hozzá 1-et a bináris számhoz
• A \u003d A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Ha K > M

• akkor az algoritmus kész.
• Ellenkező esetben folytassa a 2. lépéssel.

A decimális átalakítás binárissá

a) 3,6 b) 12,0112 c) 0,231 d) 0,121 e) 23,0091

Bináris számok kivonása. Számokat is kivonunk, oszlopot is használunk, és az általános szabály ugyanaz, mint a decimális számoknál, a kivonás bitenként történik, és ha nincs elég egység a bitben, akkor a régebbibe kapcsol. Oldjuk meg a következő példát:

Első rangú. 1-0 =1. Felírjuk az 1.

Második rang 0-1. Az egység hiányzik. Szenior kategóriában vesszük. A legmagasabb számjegyből az egyik a legalacsonyabbra kerül, mint két egység (mivel a legmagasabb számjegyet egy nagyobb fokú kettő jelöli) 2-1 \u003d 1. Felírjuk az 1.

Harmadik rang. Ennek a számjegynek az egységét foglaltuk el, így most a 0 számjegyben a legjelentősebb számjegy egységét kell elfoglalni. 2-1=1. Felírjuk az 1.

Ellenőrizzük az eredményt decimális rendszerben

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Valódi egyenlőség.

A kivonás másik érdekes módja a kettes komplementer fogalmához kapcsolódik, amely lehetővé teszi, hogy a kivonást összeadásra csökkentsük. Kiderült, hogy a kiegészítő kódban lévő szám rendkívül egyszerű, vesszük a számot, a nullákat egyesekre cseréljük, fordítva, a nullákat nullára cseréljük, és a legkisebb jelentőségű számjegyhez hozzáadunk egyet. Például az 10010 a 011011 lenne a kettő komplementer kódjában.

A kettős komplement kivonás szabálya kimondja, hogy a kivonás helyettesíthető összeadással, ha a részfejet egy szám helyettesíti a kettő komplementer kódjában.

Példa: 34 - 22 = 12

Írjuk ezt a példát bináris formában. 100010 - 10110 = 1100

A 10110-es szám kiegészítő kódja így lesz

01001 + 00001 = 01010. Ezután az eredeti példa helyettesíthető összeadással, így 100010 + 01010 = 101100 Ezután egy egységet kell eldobni a legmagasabb sorrendben. Ha ezt tesszük, 001100-at kapunk. A jelentéktelen nullákat eldobjuk és 1100-at kapunk, vagyis a példa helyesen volt megoldva

Végezze el a kivonásokat. A szokásos módon és kiegészítő kódban, a decimális számokat előzőleg binárissá alakítva:

Ellenőrizze a bináris eredmény decimálissá alakításával.

Szorzás kettes számrendszerben.

Kezdjük a következő érdekességgel. Egy bináris szám 2-vel való szorzásához (binárisban a tizedes kettõ 10) elég egy nullát hozzáadni a bal oldali szorzott számhoz.

Példa. 10101 * 10 = 101010

Vizsgálat.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Ha emlékezünk arra, hogy bármely kettes szám kibővíthető kettő hatványával, akkor világossá válik, hogy a bináris számrendszerben a szorzás 10-zel (vagyis tizedes 2-vel) való szorzásra redukálódik, és ezért a szorzás egy egymást követő sorozat. műszakok. Az általános szabály az, hogy a decimális számokhoz hasonlóan a bináris szorzást is bitenként hajtják végre. És a második szorzó minden egyes számjegyéhez egy nullát adunk az első szorzótól jobbra. Példa (még nem oszlop):

1011 * 101 Ez a szorzás három bitenkénti szorzás összegére redukálható:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 Ugyanez a következő oszlopba írható:

Vizsgálat:

101 = 5 (tizedes)

1011 = 11 (tizedes)

110111 = 55 (tizedes)

5*11 = 55 helyes egyenlőség

Döntsd el magad

a) 1101 * 1110 =

b) 1010 * 110 =

e) 101011 * 1101 =

f) 10010 * 1001 =

Megjegyzés: Egyébként a bináris rendszerben a szorzótábla csak egy elemből áll 1 * 1 = 1

Osztás a bináris rendszerben.

Három műveletet már megvizsgáltunk, és azt hiszem, már most világos, hogy általában a bináris számokra vonatkozó műveletek kevéssé különböznek a decimális számokra vonatkozó műveletektől. A különbség csak abban mutatkozik meg, hogy két számjegy van és nem tíz, de ez csak leegyszerűsíti az aritmetikai műveleteket. Ugyanez igaz az osztásra is, de az osztási algoritmus jobb megértése érdekében részletesebben elemezzük. Tegyük fel, hogy el kell osztanunk két decimális számot, például 234 osztva 7-tel. Hogyan csináljuk.

A jobb oldalra (a legjelentősebb számjegytől) annyi számjegyet rendelünk, hogy a kapott szám a lehető legkisebb legyen, és ugyanakkor nagyobb legyen, mint az osztó. 2 kisebb, mint az osztó, ezért a szükséges szám 23. Ezután a kapott számot elosztjuk az osztóval egy maradékkal. A következő eredményt kapjuk:

A leírt műveletet addig ismételjük, amíg a kapott maradék kisebb lesz, mint az osztó. Amikor ez megtörténik, a sáv alatt kapott szám a hányados, az utolsó maradék pedig a művelet maradéka. Tehát egy bináris szám elosztásának művelete pontosan ugyanúgy történik. Próbáljuk meg

Példa: 10010111 / 101

Olyan számot keresünk, amelynek legmagasabb rendjéből az első nagyobb lenne, mint az osztó. Ez az 1001 négyjegyű szám. Félkövéren van szedve. Most meg kell találnia a kiválasztott szám osztóját. És itt ismét nyerünk összehasonlításban a tizedes rendszerben. A helyzet az, hogy a kiválasztott osztó szükségszerűen egy számjegy, és csak két számjegyünk van. Mivel 1001 egyértelműen nagyobb, mint 101, az osztóval minden világos, ez 1. Végezzük el a műveleti lépést.

Tehát a művelet hátralévő része 100. Ez kevesebb, mint 101, tehát a második osztási lépés végrehajtásához hozzá kell adni a következő számjegyet 100-hoz, ez a szám 0. Most a következő számot kapjuk:

1000 nagyobb, mint 101, ezért a második lépésben ismét hozzáadunk 1-et a privát számjegyhez, és a következő eredményt kapjuk (a helytakarékosság kedvéért azonnal kihagyjuk a következő számjegyet).

Harmadik lépés. A kapott 110-es szám nagyobb, mint 101, ezért ebben a lépésben beírjuk az 1-es hányadosba. Így fog kinézni:

A kapott 11-es szám kisebb, mint 101, ezért a 0 privát számjegybe írjuk, és a következő számjegyet lejjebb vesszük. Így alakul:

A kapott szám nagyobb, mint 101, ezért a hányadosba beírjuk az 1-es számot, és újra végrehajtjuk a műveleteket. Kiderült ez a kép:

1

0

Az így kapott maradék 10 kisebb, mint 101, de az osztalékból kifogytunk a számjegyekből, így 10 a végső maradék, 1110 pedig a kívánt hányados.

Ellenőrzés tizedesjegyben

Ezzel véget ért a legegyszerűbb aritmetikai műveletek leírása, amelyeket tudnia kell a bináris aritmetika használatához, és most megpróbáljuk megválaszolni a „Miért van szükségünk a bináris aritmetikára” kérdésre. Természetesen fentebb már bemutattuk, hogy egy szám bináris rendszerben való felírása nagymértékben leegyszerűsíti az aritmetikai műveleteket, ugyanakkor maga a rekord sokkal hosszabb lesz, ami csökkenti a kapott egyszerűsítés értékét, ezért meg kell nézni olyan feladatokra, amelyek megoldása bináris számokban sokkal egyszerűbb.

1. feladat: Minden minta lekérése

Nagyon gyakran vannak olyan feladatok, amelyekben minden lehetséges kombinációt fel kell tudni építeni egy adott elemkészletből. Például egy ilyen feladat:

Adott egy nagy kőhalom, helyezze el a köveket két kupacba úgy, hogy ennek a két kupacnak a tömege lehetőleg azonos legyen.

Ezt a feladatot a következőképpen lehet megfogalmazni:

Keress egy nagy halomból olyan kőmintát, amelynek össztömege a lehető legkisebb mértékben tér el a nagy halom tömegének felétől.

Elég sok ilyen jellegű feladat van. És mindegyik abból adódik, ahogy már említettük, hogy az összes lehetséges kombinációt (az alábbiakban kiválasztásnak nevezzük) egy adott elemkészletből megkapjuk. És most megvizsgálunk egy általános módszert az összes lehetséges minta megszerzésére a bináris összeadási művelet segítségével. Kezdjük egy példával. Legyen három elemből álló halmaz. Minden lehetséges mintát elkészítünk. A tételeket sorozatszámok jelölik. Vagyis a következő elemek vannak: 1, 2, 3.

Minták: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (100); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Ha a következő számú pozícióban van egy, akkor ez azt jelenti, hogy az ezzel a pozícióval megegyező számú elem szerepel a kijelölésben, ha pedig nulla, akkor az elem nincs jelen. Például minta(0, 1, 0); egy 2-es számú elemből áll, és a minta (1, 1, 0); két 1-es és 2-es elemből áll.

Ez a példa jól mutatja, hogy a minta bináris számként is ábrázolható. Ezen kívül jól látható, hogy az összes lehetséges egy-, két- és háromjegyű bináris szám fent van írva. Írjuk át őket a következőképpen:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Egy sor egymást követő bináris számot kaptunk, amelyek mindegyikét az előzőből kapjuk egy összeadásával. Meg tudod nézni. Ezt a megfigyelt szabályszerűséget felhasználva a következő algoritmust állíthatjuk össze a minták beszerzésére.

Az algoritmus kiinduló adatai

Adott egy elemkészlet N - darab. A továbbiakban erre a halmazra a kezdeti elemek halmazaként fogunk hivatkozni. Számozzuk meg az eredeti halmaz összes elemét 1-től N-ig. Készítsünk bináris számot N jelentéktelen nullából. 0000… 0 N Ez a nulla bináris szám azt a nulla mintát jelöli, amelytől a mintavételi folyamat elkezdődik. A számjegyeket jobbról balra számoljuk, vagyis a bal szélső számjegy a legjelentősebb.

Egyezzünk meg abban, hogy ezt a bináris számot nagybetűkkel jelöljük BINARY

Algoritmus

Ha egy BINÁRIS szám teljes egészében egyesekből áll

Ezután leállítjuk az algoritmust

• A BINÁRIS számhoz adunk egyet a bináris aritmetika szabályai szerint.
• A kapott BINÁRIS számból a fent leírtak szerint összeállítjuk a következő mintát.

2. feladat: Nagy prímek keresése

Először is ne feledje, hogy a prímszám olyan természetes szám, amely csak 1-gyel és önmagával osztható. Példák prímszámokra: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

A nagy prímszámok megtalálása nagyon fontos matematikai probléma. Nagy prímszámokra van szükség az üzenetek bizonyos titkosítási algoritmusokkal történő biztonságos titkosításához. És nem csak nagy számokra van szükség, hanem nagyon nagyokra is. Minél nagyobb a szám, annál biztonságosabb az adott szám alapján készült titkosítás.

Jegyzet. Az erős titkosítás olyan titkosítás, amelynek visszafejtése nagyon hosszú ideig tart.

Miért? A prímszám kulcs szerepét tölti be a titkosításban és a visszafejtésben. Ráadásul tudjuk, hogy a természetes számok sorozatában nem túl gyakran fordulnak elő prímszámok. Az első ezer között elég sokan vannak, aztán rohamosan csökkenni kezd a számuk. Ezért, ha nem túl nagy számot veszünk kulcsnak, a dekódoló még egy nem túl gyors számítógépet is használva, korlátozott időn belül hozzá tud jutni (az összes prímszámot kulcsként egymás után rendezve).

Meglehetősen megbízható kódot kaphat, ha egy egyszerű kódot vesz, amelyben például 150 karakter. Egy ilyen egyszerű megtalálása azonban nem olyan egyszerű. Tételezzük fel, hogy valamilyen A szám (nagyon nagy) elsődlegességét meg kell vizsgálni. Ez ugyanaz, mint az osztóinak keresése. Ha találunk osztókat 2 és A négyzetgyöke között, akkor az nem prím. Becsüljük meg azoknak a számoknak a számát, amelyeket ellenőrizni kell az A szám osztásának képességéhez.

Tegyük fel, hogy az A szám 150 számjegyből áll. Ennek négyzetgyöke legalább 75 karakterből áll. Ahhoz, hogy ilyen sok lehetséges osztó között válogathassunk, nagyon erős számítógépre és sok időre van szükségünk, ami azt jelenti, hogy a probléma gyakorlatilag megoldhatatlan.

Hogyan kell kezelni.

Először is, megtanulhatja gyorsan ellenőrizni az egyik szám oszthatóságát a másikkal, másodszor pedig megpróbálhatja úgy kiválasztani az A számot, hogy az egyszerű és nagy valószínűséggel legyen. Kiderül, hogy ez lehetséges. Mersen matematikus felfedezte a következő alakú számokat

Egyszerűek, nagy valószínűséggel.

A fent írt kifejezés megértéséhez számoljuk meg, hogy hány prímszám van az első ezerben, és hány Mersenne-szám ugyanabban az ezerben. Tehát a Mersen-számok az első ezerben a következők:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

A prímszámok félkövérrel vannak jelölve. Összesen 5 prímszám van 9 Mersenne-számhoz. Százalékosan ez 5/9 * 100 \u003d 55,6%. Ugyanakkor az első 1000 természetes számnak csak 169 prímje van. Százalékosan ez 169/1000 * 100 = 16,9%. Vagyis az első ezerben, százalékban kifejezve, a Mersenne-számok prímjei csaknem 4-szer gyakrabban találhatók meg, mint az egyszerű természetes számok között.

___________________________________________________________

És most vegyünk egy konkrét Mersen-számot, például 2 4 - 1. Írjuk fel bináris számként.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Vegyük a következő Mersen-számot 2 5 -1, és írjuk fel bináris számként. A következőket kapjuk:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Már most világos, hogy minden Mersenne-szám egyesek sorozata, és ez a tény önmagában is nagy nyereséget ad. Először is, a kettes rendszerben nagyon könnyű megkapni a következő Mersenne-számot, elegendő egyet hozzáadni a következő számhoz, másodszor pedig sokkal könnyebb osztókat keresni a kettes rendszerben, mint a decimálisban.

Gyors decimális bináris átalakítás

A kettes számrendszer használatának egyik fő problémája a decimális szám binárissá alakításának nehézsége. Ez meglehetősen fáradságos feladat. Természetesen nem túl nehéz lefordítani a kis, három-négy számjegyű számokat, de az olyan decimális számok esetében, amelyekben 5 vagy több számjegy van, ez már nehéz. Vagyis szükségünk van egy módra, amellyel gyorsan konvertálhatjuk a nagy decimális számokat bináris ábrázolásra.

Ezt a módszert Legendre francia matematikus találta ki. Adjuk meg például a 11183445 számot, amit elosztunk 64-gyel, a maradékot 21-et és a hányadost 174741-et kapjuk. Ezt a számot ismét elosztjuk 64-gyel, a maradékot 21-gyel és a hányadost 2730-al. Végül 2730 osztva A 64 a maradék 42-t és a 42-es hányadost adja, de a 64 binárisban 1000000, a 21 binárisban 10101, a 42 pedig 101010, tehát az eredeti szám binárisan a következőképpen lesz írva:

101010 101010 010101 010101

Hogy érthetőbb legyen, egy másik példa kisebb számmal. Fordítsuk le a 235 szám bináris reprezentációját. Osszuk el 235-öt 64-gyel egy maradékkal. Kapunk:

PRIVÁT = 3, bináris 11 vagy 000011

FELBONTÁS = 43, bináris 101011

Ezután 235 = 11101011, ellenőrizze ezt az eredményt:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Megjegyzések:

1. Könnyen belátható, hogy a végső bináris szám tartalmazza az összes maradékot, és az utolsó lépésben a maradékot és a hányadost is.
2. A hányadost a maradék elé írjuk.
3. Ha a kapott hányados vagy maradék bináris ábrázolásban kevesebb, mint 6 számjegyből áll (6 nulla a 64 = 1000000 szám bináris reprezentációját tartalmazza), akkor jelentéktelen nullákat adunk hozzá.

És még egy nehéz példa. 25678425 szám.

1. lépés: 25678425 osztva 64-gyel

Privát = 401225

Maradék = 25 = 011001

2. lépés: 401225 osztva 64-gyel

Privát = 6269

Maradék = 9 = 001001

3. lépés: 6269 osztva 64-gyel

Privát = 97

Maradék = 61 = 111101

4. lépés: 97 osztva 64-gyel

Privát = 1 = 000001

Maradék = 33 = 100001

Szám eredménye = 1.100001.111101.001001.011001

Ebben a számban egy pont választja el a benne szereplő köztes eredményeket.

Átalakítás egy szám bináris reprezentációjává:

FÜGGELÉK: 1. TÁBLÁZAT

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. Az óra helye: 9. évfolyam- a tanult rész 3. órája
2. Óra témája: Aritmetikai műveletek kettes rendszerben.

Osztály típusa: előadás, beszélgetés, önálló munkavégzés.

Az óra céljai:

Didaktikus: bevezetni a kettes számrendszerben végzett aritmetikai műveletek (összeadás, szorzás, kivonás) szabályait.

Nevelési: az önállóság készségének meghonosítása a munkában, pontosságra, fegyelemre nevelés.

Fejlesztés: a tanulók figyelmének, memóriájának fejlesztése, a kapott információk összehasonlítási képességének fejlesztése.

Interdiszciplináris kapcsolatok: Matematika:

Oktatási eszköz (felszerelés) osztályok:projektor, asztal, feladatkártyák.

Az óra módszertani támogatása:bemutató a PowerPointban.

Tanterv

1. Szervezési pillanat (2 perc).
2. Ismétlés (10)
3. Új anyag ismertetése (15 perc)
4. A bevont anyag tömörítése (10 perc)
5. házi feladat
6. Reflexió (2 perc)
7. Összegzés (2 perc)

Az órák alatt

1. Idő szervezése
2. Tudásfrissítés.Továbbra is tanulmányozzuk a számrendszer témáját, és mai leckénk célja az lesz, hogy megtanuljuk, hogyan kell számtani műveleteket végrehajtani a kettes számrendszerben, nevezetesen megvizsgáljuk az olyan műveletek végrehajtásának szabályát, mint az összeadás, kivonás, szorzás, osztás.
3. Tudásellenőrzés (frontális felmérés).

Emlékezzünk:

1. Mi a számrendszer?
2. Mi a számrendszer alapja?
3. Mi a kettes számrendszer alapja?
4. Jelölje meg, mely számok vannak hibásan írva, és indokolja válaszát:
   123 8, 3006 2, 12ААС09 20, 13476 10,
5. Mekkora a minimális alapja a számrendszernek, ha a számok beleírhatók: 10, 21, 201, 1201
6. Mi a páros bináris szám vége?
   Melyik számjegy végződik páratlan bináris számmal?

4 . Az új anyag tanulmányozását bemutató kíséri

/ 1. függelék/

A tanár az előadás diákjain ismerteti az új témát, a tanulók jegyzetelnek, és a füzetben a tanár által javasolt feladatokat hajtják végre.

Az összes helyzetrendszer közül a kettes számrendszer különösen egyszerű. Fontolja meg az alapvető aritmetikai műveletek elvégzését bináris számokkal.

Minden helyzetszámrendszer "ugyanaz", azaz mindegyikben ugyanazon szabályok szerint hajtják végre az aritmetikai műveleteket:

egy . ugyanazok az aritmetikai törvények érvényesek: kommutatív, asszociatív, disztributív;

2. az összeadás, a kivonás és az oszloppal való szorzás szabályai igazságosak;

3. Az aritmetikai műveletek végrehajtásának szabályai összeadási és szorzótáblákon alapulnak.

Kiegészítés

Vegye figyelembe a kiegészítési példákat.

Ha a bináris számrendszerben két számjegyből álló oszlopot adunk hozzá jobbról balra, mint minden pozíciórendszerben, csak az egyik mehet a következő bitre.

Két pozitív szám összeadásának eredménye vagy ugyanannyi számjegyből áll, mint a két tag maximuma, vagy egy számjeggyel több, de ez a számjegy csak egy lehet.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

Kivonás

A tanulók önálló munkája jegyzetfüzetben az anyag konszolidálására

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
Szorzás
Vegyen példákat a szorzásra.

A szorzást a szorzótábla segítségével hajtjuk végre a szokásos (tizedes számrendszerben használt) séma szerint, a szorzót a szorzó következő számjegyével szorozva.
Tekintsünk szorzási példákat
A 2. példa szerinti szorzáskor három egységet adunk hozzá 1+1+1=11 a megfelelő számjegyhez, 1-et írunk, és a másik mértékegységet a legmagasabb számjegyre visszük át.
A kettes számrendszerben a szorzási művelet a szorzó eltolására és a köztes eredmények összeadására redukálódik.
Osztály

Az osztási művelet a decimális számrendszer osztási műveleti algoritmusához hasonló algoritmus szerint történik.

Tekintsük a felosztási példát

Konszolidáció (a tanulók önálló kártyás munkája jegyzetfüzetben történik) / 2. melléklet /

Az önálló munkát rövid időn belül teljesítő hallgatók számára további feladatot ajánlunk.

5. Házi feladat

2. Ismerje meg a kettes számrendszerben végzett számtani műveletek végrehajtásának szabályait, tanulja meg az összeadás, kivonás, szorzás táblázatait.

3. Kovesd ezeket a lepeseket:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 Reflexió

A mai órán a leginformatívabb számomra az volt, hogy...

Meglepett, hogy…

A mai órán tanultakat alkalmazhatom...

7. Óra összefoglalója

Ma megtanultuk, hogyan kell a kettes számrendszerben számtani műveleteket végrehajtani (osztályozás a leckéhez).

Diák feliratai:

Az óra témája: „Aritmetikai műveletek helyzeti számrendszerekben” Marina Valentinovna Fedorchenko számítástechnika tanár MOU Berezovskaya középiskola Berezovka Taishet kerülettel, Irkutszki régió Emlékezzünk: Mi a számrendszer? Mi a számrendszer alapja? Mi az a kettes számrendszer alapja?a számok hibával vannak felírva és indokolják a választ: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, Mekkora legyen a minimális alapja a számrendszernek, ha számok írhatók bele: 10, 21, 201 , 1201 Melyik számjegy végződik páros bináris számmal Milyen számjegy végződik páratlan bináris számmal?
Laplace így írt a nagy matematikus, Leibniz kettes (bináris) számrendszeréhez való hozzáállásáról: „Leibniz kettes aritmetikájában a teremtés prototípusát látta. Úgy tűnt neki, hogy az egyes az isteni princípiumot képviseli, a nulla pedig a nemlétet, és egy magasabb rendű lény a nemlétből teremt mindent pontosan ugyanúgy, ahogy az ő rendszerében az egy és a nulla minden számot kifejez. Ezek a szavak hangsúlyozzák a két karakterből álló ábécé egyetemességét. Minden helyzetszámrendszer „ugyanolyan”, vagyis mindegyikben ugyanazon szabályok szerint hajtják végre az aritmetikai műveleteket:
ugyanazok az aritmetikai törvények érvényesek: --kommutatív (eltolódás) m + n = n + m m n = n m asszociatív (kombinatív) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k (m n) ) k = m (n k) = m n k elosztó (elosztó) (m + n) k = m k + n k
az összeadás, a kivonás és az oszloppal való szorzás szabályai érvényesek;
az aritmetikai műveletek végrehajtásának szabályai összeadási és szorzótáblákon alapulnak.
Összeadás helyszámrendszerekben Az összes helyzetrendszer közül a kettes számrendszer különösen egyszerű. Fontolja meg az alapvető aritmetikai műveletek elvégzését bináris számokkal. Minden pozicionális számrendszer "ugyanaz", vagyis az aritmetikai műveleteket mindegyikben ugyanazon szabályok szerint hajtják végre: ugyanazok érvényesek: kommutatív, asszociatív, disztributív, az összeadás, kivonás és szorzás szabályai oszloppal. érvényes, az aritmetikai műveletek végrehajtásának szabályai összeadási és szorzótáblákon alapulnak.
Ha a bináris számrendszerben két számjegyből álló oszlopot adunk hozzá jobbról balra, mint minden pozíciórendszerben, csak az egyik mehet a következő bitre. Két pozitív szám összeadásának eredménye vagy ugyanannyi számjegyből áll, mint a két tag maximuma, vagy egy számjeggyel több, de ez a számjegy csak egy lehet. Tekintse meg a példákat. Oldja meg a példákat saját maga:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
A kivonási művelet végrehajtásakor a nagyobb abszolút értékből mindig kisebb számot vonunk le, és az eredményre a megfelelő előjelet helyezzük.
Kivonás Tekintsünk példákat Példák:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Szorzás helyzeti számrendszerekben A szorzási műveletet a szorzótábla segítségével hajtjuk végre a szokásos (tizedes számrendszerben használatos) séma szerint, a szorzószám egymást követő szorzásával a szorzó következő számjegyével Nézzünk meg példákat a szorzásra. Nézzük a példákat Nézzük az osztási példát
Oldjunk meg példákat:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Házi feladat 1.&3.1.22.Tanulja meg a számtani műveletek elvégzésének szabályait kettes rendszerben, tanulja meg az összeadás, kivonás, szorzás táblázatait.3. Tedd a következőket: 110010+111.0111110000111-11011000110101.101*111 Reflexió A mai órán számomra az volt a leginformatívabb, hogy... Meglepődtem, hogy... a ma megszerzett tudást a leckében tudom alkalmazni...