A trigonometria képletei a szinusz és a koszinusz összegét. Vásároljon olcsón felsőfokú végzettséget

Leggyakrabban ismételt kérdések

Lehet-e pecsétet készíteni egy dokumentumra a megadott minta alapján? Válasz Igen, lehetséges. Szkennelt másolatot vagy fényképet küldjön e-mail címünkre jó minőségűés elkészítjük a szükséges másolatot.

Milyen fizetési módokat fogad el? Válasz Az okmányt a futár általi átvételkor fizetheti ki, miután ellenőrizte a kitöltés helyességét és az oklevél minőségét. Ez megtehető az utánvétes postai társaságok irodáiban is.
A dokumentumok szállításának és fizetésének minden feltétele a „Fizetés és kézbesítés” részben található. Szintén készek vagyunk meghallgatni javaslataikat a dokumentum szállítási és fizetési feltételeivel kapcsolatban.

Biztos lehetek benne, hogy a rendelés leadása után nem fog eltűnni a pénzemmel? Válasz Nagy tapasztalattal rendelkezünk a diplomakészítés területén. Számos oldalunk van, amelyeket folyamatosan frissítünk. Szakembereink az ország különböző pontjain dolgoznak, naponta több mint 10 dokumentumot készítenek. Az évek során dokumentumaink sok embernek segítettek a foglalkoztatási problémák megoldásában, vagy máshová költözni jól fizető állás. Kivívtuk a bizalmat és az elismerést az ügyfelek körében, így semmi okunk erre. Sőt, fizikailag egyszerűen lehetetlen megtenni: a rendelést akkor fizeted, amikor kézhez kapod, nincs előleg.

Bármelyik egyetemről rendelhetek diplomát? Válasz Általában igen. Közel 12 éve dolgozunk ezen a területen. Ez idő alatt szinte teljes adatbázis alakult ki az ország és a határon túli szinte valamennyi egyeteme által kiadott dokumentumokról. különböző évek kiadását. Ehhez nem kell más, mint kiválasztani az egyetemet, a szakot, a dokumentumot, és kitölteni egy megrendelőlapot.

Mi a teendő, ha elírási hibákat találok egy dokumentumban? Válasz Ha futárunktól vagy postai cégünktől dokumentumot kap, javasoljuk, hogy alaposan ellenőrizze az összes részletet. Ha elírást, hibát vagy pontatlanságot észlel, jogában áll az oklevelet nem átvenni, és az észlelt hiányosságokat személyesen kell jeleznie a futárnak vagy írás címre küldött levél útján email.
A lehető legrövidebb időn belül kijavítjuk a dokumentumot és újra elküldjük a megadott címre. Természetesen a szállítást cégünk állja.
Az ilyen félreértések elkerülése érdekében az eredeti űrlap kitöltése előtt ellenőrzés és jóváhagyás céljából elküldjük a leendő dokumentum elrendezését az ügyfél postájára. végső verzió. A dokumentum futárral vagy postai úton történő elküldése előtt is megtesszük további fotóés videót (beleértve az ultraibolya fényt is), hogy vizuális elképzelése legyen arról, mit kap a végén.

Mit kell tenned ahhoz, hogy diplomát rendelj a cégedtől? Válasz Dokumentum (bizonyítvány, oklevél, tanulmányi bizonyítvány stb.) megrendeléséhez ki kell töltenie egy online megrendelőlapot a weboldalunkon, vagy meg kell adnia e-mail címét, hogy elküldhessük Önnek a kérdőívet, amelyet kitöltve és el kell küldenie. vissza hozzánk.
Ha nem tudja, mit kell feltüntetni a megrendelőlap/kérdőív bármely mezőjében, hagyja üresen. Ezért minden hiányzó információt telefonon pontosítunk.

Legfrissebb értékelések

Alekszej:

Diplomát kellett szereznem ahhoz, hogy menedzserként dolgozhassak. És ami a legfontosabb, van tapasztalatom és képességem is, de dokumentum nélkül nem tudok, bárhol elhelyezkedek. Amikor felkerültem az oldalára, mégis úgy döntöttem, hogy diplomát veszek. 2 nap alatt elkészült a diploma! Most olyan munkám van, amiről korábban nem is álmodtam!! Köszönöm!

A két α és β szög szinuszainak és koszinuszainak összegére és különbségére vonatkozó képletek lehetővé teszik, hogy a jelzett szögek összegéből az α + β 2 és α - β 2 szögek szorzatára jussunk. Azonnal megjegyezzük, hogy ne keverje össze a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteit az összeg és a különbség szinuszainak és koszinuszainak képleteivel. Az alábbiakban felsoroljuk ezeket a képleteket, megadjuk a származtatásukat, és példákat mutatunk be konkrét problémákra.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Képletek szinuszok és koszinuszok összegére és különbségére

Írjuk fel, hogyan néznek ki a szinuszokra és koszinuszokra vonatkozó összeg- és különbségképletek

Összeg és különbség képletek szinuszokhoz

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Összeg és különbség képletek koszinuszokhoz

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β -2 α 2

Ezek a képletek bármely α és β szögre érvényesek. Az α + β 2 és α - β 2 szögeket rendre az alfa és béta szögek félösszegének, illetve félkülönbségének nevezzük. Minden képlethez megadunk egy formulát.

Összeg és különbség képletek definíciói szinuszokhoz és koszinuszokhoz

Két szög szinuszainak összege egyenlő e szögek fele összege szinuszának és a félkülönbség koszinuszának a szorzatával.

Két szög szinuszainak különbsége egyenlő e szögek fele-különbségének szinuszának és a félösszeg koszinuszának kétszeresével.

Két szög koszinuszának összege egyenlő e szögek feleösszegének koszinuszának és fele-különbségének koszinuszának kétszeresével.

Két szög koszinuszainak különbsége egyenlő e szögek feleösszege szinuszának és fele-különbségének koszinuszának kétszeresével, negatív előjellel véve.

A szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képletei származtatása

Két szög szinuszának és koszinuszának összegének és különbségének képleteinek származtatásához összeadási képleteket kell használni. Az alábbiakban bemutatjuk őket

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Magukat a szögeket is félösszegek és félkülönbségek összegeként ábrázoljuk.

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d

Közvetlenül továbblépünk a sin és cos összeg- és különbségképleteinek levezetéséhez.

A szinuszösszeg képletének levezetése

A sin α + sin β összegben az α-t és a β-t a fenti szögekre vonatkozó kifejezésekkel helyettesítjük. Kap

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Most alkalmazzuk az összeadási képletet az első kifejezésre, és a szögkülönbségek szinuszos képletét a másodikra ​​(lásd a fenti képleteket)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + 2 cos α - β 2

A többi képlet levezetésének lépései hasonlóak.

A szinuszok különbségének képletének levezetése

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α 2 cos α + β 2

A koszinuszösszeg képletének levezetése

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 cos α - β 2

A koszinusz-különbség képletének levezetése

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + α 2 sin α - β 2

Példák gyakorlati problémák megoldására

Először is ellenőrizzük az egyik képletet úgy, hogy bizonyos szögértékeket helyettesítünk bele. Legyen α = π 2, β = π 6. Számítsuk ki e szögek szinuszainak összegét! Először is használjuk az alapértékek táblázatát trigonometrikus függvények, majd alkalmazza a szinuszösszeg képletét.

Példa 1. Két szög szinuszösszegének képletének ellenőrzése

α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π π 2 + co π 2 - 2 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Tekintsük most azt az esetet, amikor a szögek értéke eltér a táblázatban bemutatott alapértékektől. Legyen α = 165°, β = 75°. Számítsuk ki e szögek szinuszai közötti különbség értékét.

2. példa A szinuszkülönbség képlet alkalmazása

α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

A szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteivel az összegből vagy a különbségből a trigonometrikus függvények szorzatára lehet lépni. Ezeket a képleteket gyakran az összegről a szorzatra való átmenet képleteinek nevezik. A megoldás során széles körben alkalmazzák a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteit trigonometrikus egyenletekés trigonometrikus kifejezések konvertálásakor.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Két szög összegének és különbségének koszinusza

Ebben a részben a következő két képlet kerül bizonyításra:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Két szög összegének (különbségének) koszinusza egyenlő e szögek koszinuszainak szorzatával, mínusz (plusz) e szögek szinuszainak szorzatával.

Kényelmesebb lesz a (2) képlet bizonyításával kezdenünk. Az egyszerűség kedvéért először tegyük fel, hogy a szögek α és β megfelel a következő feltételeknek:

1) ezen szögek mindegyike nem negatív és kisebb, mint 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Legyen a 0x tengely pozitív része a szögek közös kezdőoldala α és β .

Jelöljük ezeknek a szögeknek a végoldalait 0A-val, illetve 0B-vel. Nyilván a szög α - β tekinthető annak a szögnek, amellyel a 0B gerendát a 0 pont körül az óramutató járásával ellentétes irányban el kell forgatni úgy, hogy annak iránya egybeessen a 0A sugár irányával.

A 0A és 0B sugarakon a 0 koordináták origójától 1 távolságra lévő M és N pontokat jelöljük, így 0M = 0N = 1.

Az x0y koordinátarendszerben az M pontnak vannak koordinátái ( cosα, sinα), és az N pont - koordináták ( cos β , sin β). Tehát a köztük lévő távolság négyzete:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

A számítások során az azonosságot használtuk

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Tekintsünk most egy másik B0C koordináta-rendszert, amelyet úgy kapunk, hogy a 0x és 0y tengelyeket a 0 pont körül az óramutató járásával ellentétes szöggel elforgatjuk. β .

Ebben a koordinátarendszerben az M pontnak vannak koordinátái (cos ( α - β ), bűn ( α - β )), és a pont N-koordináta (1,0). Tehát a köztük lévő távolság négyzete:

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) \u003d 2.

De az M és N pont távolsága nem attól függ, hogy melyik koordinátarendszert vesszük figyelembe. Így

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Itt következik a (2) képlet.

Most fel kell idéznünk azt a két korlátozást, amelyeket a sarkokon való megjelenítés egyszerűsége érdekében szabtunk meg α és β .

Az a követelmény, hogy az egyes sarkok α és β nem volt negatív, nem igazán jelentős. Végül is bármelyik szöghez hozzáadható egy 2n többszöröse, ami semmilyen módon nem befolyásolja a (2) képlet érvényességét. Hasonlóképpen, minden adott szögből levonhat egy szöget, amely többszöröse 2π. Ezért úgy tekinthetjük 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Az állapot α > β . Valóban, ha α < β , azután β >α ; ezért a függvény egyenletességét figyelembe véve kötözősaláta x , kapunk:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

ami lényegében egybeesik a (2) képlettel. Így a képlet

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

minden szögre igaz α és β . Különösen cserével β a - β és tekintettel arra, hogy a funkció kötözősalátax páros, és a függvény bűnx furcsa, ezt kapjuk:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

\u003d cos α cos β - sin α sin β,

ami az (1) képletet bizonyítja.

Így az (1) és (2) képletek bizonyítottak.

Példák.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Feladatok

1 . Számítás trigonometrikus táblázatok használata nélkül:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Kifejezések egyszerűsítése:

a) kötözősaláta( α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .

b). cos (36°+ α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) bűn ( α -24°).

ban ben). sin (π / 4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos(π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α +tg α bűn 2 α .

3 . Kiszámítja :

a) cos (α - β), ha

cosα = - 2 / 5 , sinβ = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) cos( α + π / 6) ha cos α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . Megtalálni cos(α + β)és cos (α - β) , ha ismert, hogy a bűn α = 7/25 költség β = - 5/13 és mindkét szög ( α és β ) ugyanabban a negyedévben végződik.

5 .Kiszámítja:

a) cos [ arcsin 1/3 + arccos 2/3 ]

b). cos [ arcsin 1/3 - arccos (- 2/3)] .

ban ben). cos [arctg 1/2 + arccos (-2)]