Kalkulator nejednakosti s online rješenjem. Linearne nejednakosti

Nejednakost je brojčani omjer koji ilustrira veličinu brojeva u odnosu jedan na drugi. Nejednakosti se široko koriste u potrazi za veličinama u primijenjenim znanostima. Naš kalkulator pomoći će vam da se nosite s tako teškom temom kao što je rješavanje linearnih nejednakosti.

Što je nejednakost

Nejednaki omjeri u stvarnom životu odgovaraju stalnoj usporedbi različitih objekata: viših ili nižih, daljih ili bližih, težih ili lakših. Intuitivno ili vizualno možemo shvatiti da je jedan predmet veći, viši ili teži od drugog, no zapravo je uvijek riječ o usporedbi brojeva koji karakteriziraju odgovarajuće veličine. Objekte možete uspoređivati na bilo kojoj osnovi, au svakom slučaju možemo napraviti brojčanu nejednakost.

Ako su nepoznate veličine pod određenim uvjetima jednake, tada za njihovo numeričko određivanje pravimo jednadžbu. Ako ne, onda umjesto znaka "jednako" možemo označiti bilo koji drugi omjer između ovih veličina. Dva broja ili matematički objekti mogu biti veći od ">", manji od "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Znakove nejednakosti u njihovom modernom obliku izumio je britanski matematičar Thomas Harriot, koji je 1631. objavio knjigu o nejednakim omjerima. Veće od ">" i manje od "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Rješavanje nejednačina

Nejednakosti, kao i jednadžbe, dolaze u različitim vrstama. Linearni, kvadratni, logaritamski ili eksponencijalni nejednaki omjeri oslobađaju se raznim metodama. No, bez obzira na metodu, svaka se nejednakost prvo mora svesti na standardni oblik. Za to se koriste identične transformacije, koje su identične modifikacijama jednakosti.

Identitetske transformacije nejednakosti

Takve transformacije izraza vrlo su slične duhu jednadžbi, ali imaju nijanse koje je važno uzeti u obzir prilikom razvezivanja nejednakosti.

Prva transformacija identiteta identična je analognoj operaciji s jednakostima. Na obje strane nejednakog omjera možete dodati ili oduzeti isti broj ili izraz s nepoznatim x, dok predznak nejednakosti ostaje isti. Najčešće se ova metoda koristi u pojednostavljenom obliku kao prijenos pojmova izraza kroz znak nejednakosti s promjenom predznaka broja u suprotno. To se odnosi na promjenu predznaka samog pojma, odnosno, + R kada se prenese kroz bilo koji znak nejednakosti promijenit će se u - R i obrnuto.

Druga transformacija ima dvije točke:

Obje strane nejednakog omjera smiju se pomnožiti ili podijeliti s istim pozitivnim brojem. Sam predznak nejednakosti se neće promijeniti.
Obje strane nejednakosti smiju se podijeliti ili pomnožiti s istim negativnim brojem. Predznak same nejednakosti promijenit će se u suprotan.

Druga identična transformacija nejednakosti ima ozbiljne razlike s modifikacijom jednadžbi. Prvo, pri množenju/dijeljenju s negativnim brojem, predznak nejednakog izraza uvijek se obrće. Drugo, dijeljenje ili množenje dijelova relacije dopušteno je samo brojem, a ne bilo kojim izrazom koji sadrži nepoznanicu. Činjenica je da ne možemo sa sigurnošću znati krije li se iza nepoznatog broj veći ili manji od nule, pa se druga identična transformacija primjenjuje na nejednadžbe isključivo s brojevima. Pogledajmo ova pravila s primjerima.

Primjeri razrješenja nejednakosti

U zadacima iz algebre postoje različiti zadaci na temu nejednakosti. Dajmo nam izraz:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Prvo otvorite zagrade i pomaknite sve nepoznanice ulijevo, a sve brojeve udesno.

6x − 12x > 6 + 3

Oba dijela izraza trebamo podijeliti s −6, pa će se pri pronalaženju nepoznatog x predznak nejednakosti promijeniti u suprotan.

Prilikom rješavanja ove nejednakosti koristili smo obje identične transformacije: sve smo brojeve pomaknuli desno od predznaka i obje strane omjera podijelili negativnim brojem.

Naš program je kalkulator za rješavanje brojčanih nejednadžbi koje ne sadrže nepoznanice. Program sadrži sljedeće teoreme za omjere tri broja:

ako je A< B то A–C< B–C;
ako je A > B, onda A–C > B–C.

Umjesto oduzimanja pojmova A-C, možete odrediti bilo koju aritmetičku operaciju: zbrajanje, množenje ili dijeljenje. Dakle, kalkulator će automatski prikazati nejednakosti zbroja, razlika, proizvoda ili razlomaka.

Zaključak

U stvarnom životu, nejednakosti su uobičajene kao i jednadžbe. Naravno, u svakodnevnom životu znanje o rješavanju nejednakosti možda neće biti potrebno. Međutim, u primijenjenim znanostima nejednakosti i njihovi sustavi imaju široku primjenu. Primjerice, različita proučavanja problema globalne ekonomije svode se na sastavljanje i oslobađanje sustava linearnih ili kvadratnih nejednakosti, a neki nejednaki odnosi služe kao nedvosmislen način dokazivanja postojanja određenih objekata. Koristite naše programe za rješavanje linearnih nejednakosti ili provjerite vlastite izračune.

Oblik ax 2 + bx + 0 0, gdje (umjesto znaka > može, naravno, biti bilo koji drugi znak nejednakosti). Imamo sve teorijske činjenice potrebne za rješavanje takvih nejednakosti, koje ćemo sada provjeriti.

Primjer 1. Riješite nejednakost:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Riješenje,

a) Razmotrite parabolu y \u003d x 2 - 2x - 3 prikazanu na sl. 117.

Riješiti nejednakost x 2 - 2x - 3 > 0 - to znači odgovoriti na pitanje za koje su vrijednosti x ordinate točaka parabole pozitivne.

Primjećujemo da je y > 0, tj. da se graf funkcije nalazi iznad x-ose, na x< -1 или при х > 3.

Dakle, rješenja nejednakosti su sve točke otvorenog greda(- 00 , - 1), kao i sve točke otvorenog snopa (3, +00).

Koristeći znak U (znak unije skupova), odgovor se može napisati na sljedeći način: (-00 , - 1) U (3, +00). Međutim, odgovor se može napisati i ovako:< - 1; х > 3.

b) Nejednakost x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: raspored nalazi se ispod x-ose ako je -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Nejednadžba x 2 - 2x - 3 > 0 razlikuje se od nejednadžbe x 2 - 2x - 3 > 0 po tome što odgovor mora uključivati i korijene jednadžbe x 2 - 2x - 3 = 0, tj. točke x = - 1

i x \u003d 3. Dakle, rješenja ove nestroge nejednakosti su sve točke grede (-00, - 1], kao i sve točke grede.

Praktični matematičari obično kažu ovo: zašto mi, rješavajući nejednakost ax 2 + bx + c > 0, pažljivo gradimo graf parabole kvadratne funkcije

y \u003d ax 2 + bx + c (kao što je učinjeno u primjeru 1)? Dovoljno je napraviti shematsku skicu grafa, za koju samo trebate pronaći korijenje kvadratni trinom (točka presjeka parabole s osi x) i odredi kamo su usmjerene grane parabole - gore ili dolje. Ova shematska skica dat će vizualnu interpretaciju rješenja nejednakosti.

Primjer 2 Riješite nejednakost - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Riješenje.

1) Pronađite korijene kvadratnog trinoma - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, koja služi kao graf funkcije y \u003d -2x 2 + Zx + 9, siječe x-os u točkama 3 i - 1,5, a grane parabole usmjerene su prema dolje, budući da je stariji koeficijent- negativan broj - 2. Na sl. 118 je skica grafa.

3) Koristeći sl. 118, zaključujemo:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Odgovor: x< -1,5; х > 3.

Primjer 3 Riješite nejednakost 4x 2 - 4x + 1< 0.
Riješenje.

1) Iz jednadžbe 4x 2 - 4x + 1 = 0 nalazimo.

2) Kvadratni trinom ima jedan korijen; to znači da parabola koja služi kao graf kvadratnog trinoma ne siječe os x, već je dodiruje u točki. Grane parabole usmjerene su prema gore (slika 119.)

3) Koristeći geometrijski model prikazan na sl. 119, utvrđujemo da je navedena nejednakost zadovoljena samo u točki, budući da su za sve ostale vrijednosti x ordinate grafa pozitivne.
Odgovor: .
Vjerojatno ste primijetili da je zapravo, u primjerima 1, 2, 3, dobro definirano algoritam rješavajući kvadratne nejednadžbe, formalizirat ćemo ga.

Algoritam za rješavanje kvadratne nejednadžbe ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Prvi korak ovog algoritma je pronaći korijene kvadratnog trinoma. Ali korijeni možda ne postoje, pa što učiniti? Tada je algoritam neprimjenjiv, što znači da je potrebno drugačije zaključivati. Ključ za ove argumente daju sljedeći teoremi.

Drugim riječima, ako D< 0, а >0, tada je nejednakost ax 2 + bx + c > 0 zadovoljena za sve x; naprotiv, nejednakost ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Dokaz. raspored funkcije y \u003d ax 2 + bx + c je parabola čije su grane usmjerene prema gore (budući da je a > 0) i koja ne siječe os x, budući da kvadratni trinom po uvjetu nema korijena. Grafikon je prikazan na sl. 120. Vidimo da se za sve x graf nalazi iznad osi x, što znači da je za sve x zadovoljena nejednakost ax 2 + bx + c > 0, što je trebalo dokazati.

Drugim riječima, ako D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nema rješenja.

Dokaz. Graf funkcije y \u003d ax 2 + bx + c je parabola, čije su grane usmjerene prema dolje (budući da je a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Primjer 4. Riješite nejednakost:

a) 2x 2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Pronađite diskriminant kvadratnog trinoma 2x 2 - x + 4. Imamo D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Stariji koeficijent trinoma (broj 2) je pozitivan.

Dakle, prema teoremu 1, za sve x, nejednakost 2x 2 - x + 4 > 0 je zadovoljena, tj. rješenje zadane nejednadžbe je cjelina (-00, + 00).

b) Pronađite diskriminant kvadratnog trinoma - x 2 + Zx - 8. Imamo D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Odgovor: a) (-00, + 00); b) nema rješenja.

U sljedećem primjeru upoznat ćemo se s drugim načinom zaključivanja koji se koristi u rješavanju kvadratnih nejednadžbi.

Primjer 5 Riješite nejednakost 3x 2 - 10x + 3< 0.
Riješenje. Faktorizirajmo kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3. Korijeni trinoma su brojevi 3 i, stoga, koristeći ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), dobivamo Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Na brojevnoj liniji bilježimo korijene tročlana: 3 i (slika 122).

Neka je x > 3; tada je x-3>0 i x->0, pa je umnožak 3(x - 3)(x - ) pozitivan. Dalje, neka< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Dakle, umnožak 3(x-3)(x-) je negativan. Konačno, neka x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) je pozitivno.

Sumirajući obrazloženje, dolazimo do zaključka: predznaci kvadratnog trinoma Zx 2 - 10x + 3 se mijenjaju kao što je prikazano na sl. 122. Zanima nas za koji x kvadratni trinom poprima negativne vrijednosti. Od sl. 122 zaključujemo: kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3 uzima negativne vrijednosti za bilo koju vrijednost x iz intervala (, 3)
Odgovor (, 3), ili< х < 3.

Komentar. Metoda zaključivanja koju smo primijenili u primjeru 5 obično se naziva metodom intervala (ili metodom intervala). Aktivno se koristi u matematici za rješavanje racionalno nejednakosti. U 9. razredu ćemo detaljnije proučavati intervalnu metodu.

Primjer 6. Na kojim vrijednostima parametra p je kvadratna jednadžba x 2 - 5x + p 2 = 0:
a) ima dva različita korijena;

b) ima jedan korijen;

c) nema -korijena?

Riješenje. Broj korijena kvadratne jednadžbe ovisi o predznaku njezine diskriminate D. U ovom slučaju nalazimo D \u003d 25 - 4p 2.

a) Kvadratna jednadžba ima dva različita korijena, ako je D> 0, onda se problem svodi na rješavanje nejednadžbe 25 - 4p 2 > 0. Oba dijela ove nejednadžbe pomnožimo s -1 (sjetimo se da promijenimo predznak nejednadžbe). Dobivamo ekvivalentnu nejednakost 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Znaci izraza 4(p - 2,5) (p + 2,5) prikazani su na sl. 123.

Zaključujemo da je nejednakost 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadratna jednadžba ima jedan korijen ako je D 0.
Kao što smo gore naveli, D = 0 pri p = 2,5 ili p = -2,5.

Za ove vrijednosti parametra p ova kvadratna jednadžba ima samo jedan korijen.

c) Kvadratna jednadžba nema korijena ako je D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Dobivamo 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, odakle (vidi sliku 123) p< -2,5; р >2.5. Za ove vrijednosti parametra p, ova kvadratna jednadžba nema korijen.

Odgovor: a) na p (-2,5, 2,5);

b) pri p = 2,5 ili p = -2,5;
c) na r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algebra. 8. razred: Proc. za opće obrazovanje institucije - 3. izd., dovršeno. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 str.: ilustr.

Pomozite učeniku online, Matematika za 8. razred preuzimanje, kalendarsko-tematsko planiranje

vidi također Grafičko rješavanje problema linearnog programiranja, Kanonski oblik problema linearnog programiranja

Sustav ograničenja za takav problem sastoji se od nejednakosti u dvije varijable:
a ciljna funkcija ima oblik F = C 1 x + C 2 y, koji treba maksimizirati.

Odgovorimo na pitanje: koji parovi brojeva ( x; y) jesu li rješenja sustava nejednakosti, tj. zadovoljavaju li svaku od nejednadžbi istovremeno? Drugim riječima, što znači grafički riješiti sustav?
Prvo morate razumjeti što je rješenje jedne linearne nejednadžbe s dvije nepoznanice.
Riješiti linearnu nejednakost s dvije nepoznanice znači odrediti sve parove vrijednosti nepoznanica za koje je nejednakost zadovoljena.
Na primjer, nejednakost 3 x – 5y≥ 42 zadovoljavaju parove ( x , y) : (100, 2); (3, –10) itd. Problem je pronaći sve takve parove.
Razmotrimo dvije nejednakosti: sjekira + po≤ c, sjekira + po≥ c. Ravno sjekira + po = c dijeli ravninu na dvije poluravnine tako da koordinate točaka jedne od njih zadovoljavaju nejednakost sjekira + po >c, a druga nejednakost sjekira + +po <c.
Doista, uzmite točku s koordinatama x = x 0; zatim točka koja leži na ravnoj crti i ima apscisu x 0 , ima ordinatu

Neka za određenost a<0, b>0, c>0. Sve točke s apscisom x 0 gore P(npr. točka M), imati yM>y 0 , i sve točke ispod točke P, s apscisom x 0 , imaju yN<y 0 . Ukoliko x 0 je proizvoljna točka, tada će uvijek postojati točke na jednoj strani pravca za koje sjekira+ po > c, tvoreći poluravninu, a s druge strane, točke za koje sjekira + po< c.

Slika 1

Znak nejednakosti u poluravnini ovisi o brojevima a, b , c.
To podrazumijeva sljedeću metodu za grafičko rješavanje sustava linearnih nejednakosti u dvije varijable. Za rješavanje sustava potrebno je:

Za svaku nejednakost zapišite jednadžbu koja odgovara zadanoj nejednadžbi.
Konstruirajte linije koje su grafovi funkcija zadanih jednadžbama.
Za svaku ravnu liniju odredite poluravninu koja je dana nejednakošću. Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu točku koja ne leži na ravnoj crti, zamijenite njezine koordinate u nejednakosti. ako je nejednadžba istinita, tada je poluravnina koja sadrži odabranu točku rješenje izvorne nejednakosti. Ako je nejednakost netočna, tada je poluravnina s druge strane pravca skup rješenja ove nejednakosti.
Za rješavanje sustava nejednadžbi potrebno je pronaći područje presjeka svih poluravnina koje su rješenje svake nejednadžbe u sustavu.

Ovo područje može ispasti prazno, tada sustav nejednakosti nema rješenja, nedosljedan je. Inače se kaže da je sustav kompatibilan.
Rješenja mogu biti konačan broj i beskonačan skup. Područje može biti zatvoreni poligon ili može biti neograničeno.

Pogledajmo tri relevantna primjera.

Primjer 1. Grafički riješite sustav:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2y + 5 ≤ 0.

razmotriti jednadžbe x+y–1=0 i –2x–2y+5=0 koje odgovaraju nejednadžbama;
konstruirajmo ravne dane ovim jednadžbama.

Slika 2

Definirajmo poluravnine dane nejednadžbama. Uzmite proizvoljnu točku, neka (0; 0). Smatrati x+ y- 1 0 zamjenjujemo točku (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. dakle, u poluravni gdje leži točka (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, tj. poluravnina koja leži ispod ravne je rješenje prve nejednadžbe. Zamjenom ove točke (0; 0) u drugu dobivamo: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tj. u poluravni gdje leži točka (0; 0), -2 x – 2y+ 5≥ 0, a nas su pitali gdje je -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, dakle, u drugoj poluravnini - u onoj iznad prave.
Pronađite presjek tih dviju poluravnina. Prave su paralelne pa se ravnine nigdje ne sijeku, što znači da sustav ovih nejednakosti nema rješenja, nedosljedan je.

Primjer 2. Grafički pronađite rješenja sustava nejednačina:

Slika 3
1. Zapišite jednadžbe koje odgovaraju nejednadžbama i konstruirajte ravne.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Odabravši točku (0; 0), odredimo znakove nejednakosti u poluravni:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, tj. x + 2y– 2 ≤ 0 u poluravni ispod ravne;
0 – 0 – 1 ≤ 0, tj. y –x– 1 ≤ 0 u poluravni ispod ravne;
0 + 2 =2 ≥ 0, tj. y+ 2 ≥ 0 u poluravni iznad pravca.
3. Sjecište ovih triju poluravnina bit će područje koje je trokut. Nije teško pronaći vrhove regije kao točke presjeka odgovarajućih pravaca

Na ovaj način, ALI(–3; –2), U(0; 1), IZ(6; –2).

Razmotrimo još jedan primjer u kojem rezultirajuća domena rješenja sustava nije ograničena.

Rješavanje nejednakosti online

Prije rješavanja nejednadžbi potrebno je dobro razumjeti kako se jednadžbe rješavaju.

Nije važno je li nejednakost stroga () ili nestroga (≤, ≥), prvi korak je rješavanje jednadžbe zamjenom znaka nejednakosti s jednakošću (=).

Objasni što znači riješiti nejednakost?

Nakon proučavanja jednadžbi, učenik ima sljedeću sliku u glavi: trebate pronaći takve vrijednosti varijable za koje oba dijela jednadžbe imaju iste vrijednosti. Drugim riječima, pronađite sve točke u kojima vrijedi jednakost. Sve je točno!

Kada se govori o nejednakostima, misli se na pronalaženje intervala (segmenata) na kojima nejednakost vrijedi. Ako u nejednadžbi postoje dvije varijable, tada rješenje više neće biti intervali, već neka područja na ravnini. Pogodite što će biti rješenje nejednakosti u tri varijable?

Kako riješiti nejednakosti?

Metoda intervala (poznata i kao metoda intervala) smatra se univerzalnim načinom rješavanja nejednakosti, koji se sastoji u određivanju svih intervala unutar kojih će zadana nejednakost biti ispunjena.

Ne ulazeći u vrstu nejednakosti, u ovom slučaju to nije bit, potrebno je riješiti odgovarajuću jednadžbu i odrediti njezine korijene, nakon čega slijedi označavanje tih rješenja na brojčanoj osi.

Koji je ispravan način da se zapiše rješenje nejednadžbe?

Kada ste odredili intervale za rješavanje nejednadžbe, potrebno je ispravno napisati samo rješenje. Postoji važna nijansa - jesu li granice intervala uključene u rješenje?

Ovdje je sve jednostavno. Ako rješenje jednadžbe zadovoljava ODZ, a nejednadžba nije stroga, tada je granica intervala uključena u rješenje nejednadžbe. Inače, ne.

Uzimajući u obzir svaki interval, rješenje nejednakosti može biti sam interval, ili poluinterval (kada jedna od njegovih granica zadovoljava nejednakost), ili segment - interval zajedno sa svojim granicama.

Važna točka

Nemojte misliti da samo intervali, polu-intervali i segmenti mogu biti rješenje za nejednakost. Ne, u rješenje se mogu uključiti i pojedinačne točke.

Na primjer, nejednadžba |x|≤0 ima samo jedno rješenje - točku 0.

I nejednakost |x|

Čemu služi kalkulator nejednakosti?

Kalkulator nejednakosti daje točan konačni odgovor. U ovom slučaju, u većini slučajeva, daje se ilustracija numeričke osi ili ravnine. Možete vidjeti jesu li granice intervala uključene u rješenje ili ne - točke se prikazuju ispunjene ili probušene.

Zahvaljujući online kalkulatoru nejednakosti, možete provjeriti jeste li ispravno pronašli korijene jednadžbe, označili ih na brojevnoj liniji i provjerili uvjete nejednakosti na intervalima (i granicama)?

Ako se vaš odgovor razlikuje od odgovora kalkulatora, onda svakako trebate još jednom provjeriti svoje rješenje i identificirati učinjenu pogrešku.

Nejednakost je izraz sa, ≤ ili ≥. Na primjer, 3x - 5 Riješiti nejednakost znači pronaći sve vrijednosti varijabli za koje je ta nejednakost istinita. Svaki od ovih brojeva je rješenje nejednakosti, a skup svih takvih rješenja je njezin mnoga rješenja. Nejednadžbe koje imaju isti skup rješenja nazivaju se ekvivalentne nejednakosti.

Linearne nejednakosti

Načela rješavanja nejednačina su slična načelima rješavanja jednadžbi.

Principi rješavanja nejednačina
Za bilo koje realne brojeve a, b i c:
Princip zbrajanja nejednakosti: Ako a Princip množenja za nejednakosti: Ako je 0 istinit, onda je ac Ako je i bc također istinit.
Slične tvrdnje vrijede i za a ≤ b.

Kada se obje strane nejednakosti pomnože negativnim brojem, predznak nejednakosti treba obrnuti.
Nejednakosti prve razine, kao u primjeru 1 (dolje), nazivaju se linearne nejednakosti.

Primjer 1 Riješite svaku od sljedećih nejednakosti. Zatim nacrtajte skup rješenja.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Riješenje
Bilo koji broj manji od 11/5 je rješenje.
Skup rješenja je (x|x
Za provjeru možemo nacrtati y 1 = 3x - 5 i y 2 = 6 - 2x. Tada se odavde vidi da je za x
Skup rješenja je (x|x ≤ 1), ili (-∞, 1]. Graf skupa rješenja je prikazan ispod.

Dvostruke nejednakosti

Kad su dvije nejednakosti povezane riječju I, ili, tada se formira dvostruka nejednakost. Dvostruka nejednakost kao
-3 I 2x + 5 ≤ 7
pozvao povezani jer koristi I. Zapis -3 Dvostruke nejednadžbe se mogu riješiti primjenom principa zbrajanja i množenja nejednadžbi.

Primjer 2 Riješi -3 Riješenje Imamo

Skup rješenja (x|x ≤ -1 ili x > 3). Rješenje možemo napisati i pomoću oznake razmaka i simbola za udrugama ili uključivanja oba skupa: (-∞ -1] (3, ∞). Graf skupa rješenja prikazan je ispod.

Za testiranje nacrtajte y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 i y 3 = 1. Imajte na umu da za (x|x ≤ -1 ili x > 3), y 1 ≤ y 2 ili y 1 > y 3 .

Nejednakosti s apsolutnom vrijednošću (modul)

Nejednakosti ponekad sadrže module. Za njihovo rješavanje koriste se sljedeća svojstva.
Za a > 0 i algebarski izraz x:
|x| |x| > a je ekvivalentno x ili x > a.
Slične izjave za |x| ≤ a i |x| ≥ a.

Na primjer,
|x| |y| ≥ 1 je ekvivalentno y ≤ -1 ili y ≥ 1;
i |2x + 3| ≤ 4 je ekvivalentno -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Primjer 4 Riješite svaku od sljedećih nejednakosti. Nacrtajte skup rješenja.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Riješenje
a) |3x + 2|

Skup rješenja je (x|-7/3