Osnovne formule trigonometrije. Osnovni trigonometrijski identitet

Formule redukcije su omjeri koji vam omogućuju da idete od sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa s kutovima `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` na iste funkcije kuta `\alpha`, koji se nalazi u prvoj četvrtini jedinične kružnice. Dakle, formule redukcije nas "vode" na rad s kutovima u rasponu od 0 do 90 stupnjeva, što je vrlo zgodno.

Sve zajedno postoje 32 formule redukcije. Oni će nesumnjivo dobro doći na ispitu, ispitima, testovima. Ali odmah ćemo vas upozoriti da ih nema potrebe pamtiti! Morate potrošiti malo vremena i razumjeti algoritam za njihovu primjenu, tada vam neće biti teško izvesti potrebnu jednakost u pravo vrijeme.

Prvo, zapišimo sve formule redukcije:

Za kut (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ili (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Za kut (`\pi \pm \alpha`) ili (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Za kut (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ili (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Za kut (`2\pi \pm \alpha`) ili (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Često možete pronaći formule redukcije u obliku tablice, gdje su kutovi napisani u radijanima:

Da biste ga koristili, trebate odabrati redak s funkcijom koja nam je potrebna, te stupac sa željenim argumentom. Na primjer, da biste pomoću tablice saznali što će biti ` sin(\pi + \alpha)`, dovoljno je pronaći odgovor na sjecištu retka ` sin \beta` i stupca ` \pi + \ alfa`. Dobivamo ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

I druga, slična tablica, gdje su kutovi napisani u stupnjevima:

Mnemotehničko pravilo unošenja formula ili kako ih zapamtiti

Kao što smo već spomenuli, nije potrebno pamtiti sve navedene omjere. Ako ste ih pažljivo pogledali, vjerojatno ste primijetili neke uzorke. Omogućuju nam da formuliramo mnemotehničko pravilo (mnemotehnika - zapamtite), s kojim lako možete dobiti bilo koju od formula za smanjenje.

Odmah napominjemo da je za primjenu ovog pravila potrebno dobro odrediti (ili zapamtiti) znakove trigonometrijskih funkcija u različitim četvrtima jedinične kružnice.
Sam transplantacija se sastoji od 3 faze:

1. 1. Argument funkcije mora biti u obliku `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, gdje je `\alpha` uvijek oštar kut (od 0 do 90 stupnjeva).
   2. Za argumente `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` trigonometrijska funkcija pretvorenog izraza mijenja se u kofunkciju, odnosno suprotno (sinus u kosinus, tangenta u kotangens i obrnuto). Za argumente `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` funkcija se ne mijenja.
   3. Određuje se predznak izvorne funkcije. Rezultirajuća funkcija s desne strane imat će isti predznak.

Da vidimo kako se ovo pravilo može primijeniti u praksi, transformirajmo nekoliko izraza:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

Funkcija nije obrnuta. Kut ` \pi + \alpha` je u trećem kvadrantu, kosinus u ovom kvadrantu ima predznak "-", tako da će konvertirana funkcija također imati predznak "-".

Odgovor: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.

Prema mnemoničko pravilo funkcija će biti obrnuta. Kut `\frac (3\pi)2 - \alpha` je u trećem kvadrantu, sinus ovdje ima predznak "-", tako da će rezultat također biti sa predznakom "-".

Odgovor: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))`. Predstavimo `3\pi` kao `2\pi+\pi`. `2\pi` je period funkcije.

Važno: Funkcije `cos \alpha` i `sin \alpha` imaju period od `2\pi` ili `360^\circ`, njihove vrijednosti se neće promijeniti ako se argument poveća ili smanji za te vrijednosti.

Na temelju toga, naš izraz se može napisati na sljedeći način: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Primjenom mnemoničkog pravila dvaput, dobivamo: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Odgovor: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

pravilo konja

Druga točka gornjeg mnemoničkog pravila također se naziva konjsko pravilo redukcijskih formula. Pitam se zašto baš konji?

Dakle, imamo funkcije s argumentima `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, točke `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` su ključne točke, nalaze se na koordinatnim osi. `\pi` i `2\pi` su na horizontalnoj x-osi, a `\frac (\pi)2` i `\frac (3\pi)2` su na okomitoj y-osi.

Postavljamo si pitanje: “Pretvara li se funkcija u kofunkciju?”. Da biste odgovorili na ovo pitanje, morate pomaknuti glavu duž osi na kojoj se nalazi ključna točka.

Odnosno, za argumente s ključnim točkama smještenim na vodoravnoj osi, odgovaramo "ne" odmahujući glavom u stranu. A za uglove s ključnim točkama smještenim na okomitoj osi, odgovaramo "da" kimajući glavom odozgo prema dolje, poput konja 🙂

Preporučujemo gledanje video tutoriala u kojem autor detaljno objašnjava kako zapamtiti formule redukcije bez njihovog pamćenja.

Praktični primjeri korištenja formula za lijevanje

Korištenje redukcijskih formula počinje u 9. i 10. razredu. Puno zadataka s njihovom upotrebom predaje se na ispit. Evo nekih zadataka u kojima ćete morati primijeniti ove formule:

• zadaci za rješavanje pravokutnog trokuta;
• konverzija brojčanih i abecednih trigonometrijskih izraza, izračunavanje njihovih vrijednosti;
• stereometrijski problemi.

Primjer 1. Koristite formule redukcije za izračunavanje a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Rješenje: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

d) `grijeh 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Primjer 2. Izrazivši kosinus kroz sinus koristeći formule redukcije, usporedite brojeve: 1) `sin \frac (9\pi)8` i `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` i `cos \frac (3\pi)10`.

Rješenje: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5)

`grijeh \frac (\pi)8

`grijeh \frac (\pi)8

Prvo ćemo dokazati dvije formule za sinus i kosinus argumenta `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` i ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Ostalo je izvedeno iz njih.

Uzmite jediničnu kružnicu i na njoj točku A s koordinatama (1,0). Pustite nakon uključivanja kut `\alpha` ići će do točke `A_1(x, y)`, a nakon okretanja kroz kut `\frac (\pi)2 + \alpha` do točke `A_2(-y,x)` . Spustimo okomice iz ovih točaka na pravac OX, vidimo da su trokuti `OA_1H_1` i `OA_2H_2` jednaki, jer su im hipotenuze i susjedni kutovi jednaki. Zatim, na temelju definicija sinusa i kosinusa, možemo napisati `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Kako se može napisati da je `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` i `cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, što dokazuje redukciju formule za sinus i kosinus kuta `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Iz definicije tangenta i kotangensa dobivamo ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` i ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, što dokazuje redukciju formule za tangentu i kotangens kuta `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Da biste dokazali formule s argumentom `\frac (\pi)2 - \alpha`, dovoljno ga je predstaviti kao `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` i slijediti isti put kao gore. Na primjer, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Kutovi `\pi + \alpha` i `\pi - \alpha` mogu se predstaviti kao `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` i `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` respektivno.

I `\frac (3\pi)2 + \alpha` i `\frac (3\pi)2 - \alpha` kao `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` i `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

U ovom članku ćemo sveobuhvatno pogledati . Osnovni trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog kuta i omogućuju vam da pronađete bilo koju od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznati drugi.

Odmah navodimo glavne trigonometrijske identitete, koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapisujemo ih u tablicu, a u nastavku dajemo derivaciju ovih formula i dajemo potrebna objašnjenja.

Navigacija po stranici.

Odnos sinusa i kosinusa jednog kuta

Ponekad ne govore o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tablici, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet ljubazan . Objašnjenje ove činjenice je prilično jednostavno: jednakosti se dobivaju iz osnovnog trigonometrijskog identiteta nakon što se oba njegova dijela podijele s i, odnosno, i jednakosti I slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. O tome ćemo detaljnije raspravljati u sljedećim odlomcima.

Odnosno, upravo je jednakost od posebnog interesa, koja je dobila ime glavnog trigonometrijskog identiteta.

Prije nego dokažemo osnovni trigonometrijski identitet, dajemo njegovu formulaciju: zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta identično je jednak jedinici. Sada dokažimo.

Osnovni trigonometrijski identitet vrlo se često koristi u transformacija trigonometrijskih izraza. Dopušta da se zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta zamijeni jednim. Ništa manje često se osnovni trigonometrijski identitet koristi obrnutim redoslijedom: jedinica se zamjenjuje zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg kuta.

Tangenta i kotangens kroz sinus i kosinus

Identiteti koji povezuju tangentu i kotangens sa sinusom i kosinusom jednog kuta oblika i odmah slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Doista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangenta je omjer ordinate i apscise, tj. , a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. .

Zbog te očitosti identiteta i često se definicije tangenta i kotangensa daju ne kroz omjer apscise i ordinate, već kroz omjer sinusa i kosinusa. Dakle, tangent kuta je omjer sinusa i kosinusa ovog kuta, a kotangens omjer kosinusa i sinusa.

Za kraj ovog odjeljka treba napomenuti da su identiteti i vrijedi za sve takve kutove za koje trigonometrijske funkcije u njima imaju smisla. Dakle, formula vrijedi za bilo koje drugo osim (inače će nazivnik biti nula, a nismo definirali dijeljenje nulom), a formula - za sve , različito od , gdje je z bilo koji .

Odnos tangente i kotangensa

Još očitiji trigonometrijski identitet od prethodna dva je identitet koji povezuje tangentu i kotangens jednog kuta oblika . Jasno je da se to odvija za sve kutove osim , inače ni tangenta ni kotangens nisu definirani.

Dokaz formule jako jednostavno. Po definiciji i odakle . Dokaz se mogao izvesti na malo drugačiji način. Budući da i , onda .

Dakle, tangenta i kotangens jednog kuta, pod kojim imaju smisla, jest.

Dani su omjeri između glavnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to također objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog kuta, druge - funkcije višestrukog kuta, druge - omogućuju snižavanje stupnja, četvrte - izražavanje svih funkcija kroz tangentu pola kuta, itd.

U ovom članku navodimo redom sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i korištenja, grupirat ćemo ih prema namjeni i unijeti u tablice.

Navigacija po stranici.

Osnovni trigonometrijski identiteti

Osnovni trigonometrijski identiteti postaviti odnos između sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa jednog kuta. Oni proizlaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa, kao i koncepta jedinične kružnice. Omogućuju vam da izrazite jednu trigonometrijsku funkciju kroz bilo koju drugu.

Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene pogledajte članak.

Izlivene formule

Izlivene formule proizlaze iz svojstava sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, a također i svojstvo pomaka za zadani kut. Ove trigonometrijske formule omogućuju vam da prijeđete s rada s proizvoljnim kutovima na rad s kutovima u rasponu od nule do 90 stupnjeva.

Obrazloženje ovih formula, mnemotehničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučavati u članku.

Formule zbrajanja

Trigonometrijske formule zbrajanja pokazati kako se trigonometrijske funkcije zbroja ili razlike dvaju kutova izražavaju kroz trigonometrijske funkcije tih kutova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.

Formule za dvostruko, trostruko itd. kut

Formule za dvostruko, trostruko itd. kut (oni se također nazivaju i formule višestrukih kutova) pokazuju kako su trigonometrijske funkcije dvostruke, trostruke itd. kutovi () su izraženi u terminima trigonometrijskih funkcija jednog kuta. Njihovo izvođenje temelji se na adicijskim formulama.

Detaljnije informacije prikupljene su u formulama članka za dvostruko, trostruko itd. kut .

Formule pola kuta

Formule pola kuta pokazati kako se trigonometrijske funkcije polukuta izražavaju kroz kosinus cjelobrojnog kuta. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog kuta.

Njihov zaključak i primjeri primjene mogu se pronaći u članku.

Formule redukcije

Trigonometrijske formule za opadajuće stupnjeve dizajnirani su da olakšaju prijelaz s prirodnih snaga trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse prvog stupnja, ali više kutova. Drugim riječima, dopuštaju da se snage trigonometrijskih funkcija svedu na prvu.

Formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija

glavno odredište formule zbroja i razlike za trigonometrijske funkcije sastoji se u prijelazu na umnožak funkcija, što je vrlo korisno kod pojednostavljivanja trigonometrijskih izraza. Ove formule također se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi, jer omogućuju faktoriranje zbroja i razlike sinusa i kosinusa.

Formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinus po kosinus

Prijelaz s umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku provodi se kroz formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa po kosinus.

Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Zbornik. za 10-11 ćelija. prosječno škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava pametnih studenata

Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Niti jedan dio www.site-a, uključujući interne materijale i vanjski dizajn, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pismenog dopuštenja nositelja autorskih prava.

Trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa jednog kuta, što vam omogućuje da pronađete bilo koju od ovih funkcija, pod uvjetom da je bilo koja druga poznata.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Ovaj identitet kaže da je zbroj kvadrata sinusa jednog kuta i kvadrata kosinusa jednog kuta jednak jedan, što u praksi omogućuje izračunavanje sinusa jednog kuta kada je poznat njegov kosinus i obrnuto. .

Prilikom pretvorbe trigonometrijskih izraza vrlo se često koristi ovaj identitet, koji vam omogućuje zamjenu kvadrata kosinusa i sinusa jednog kuta s jednim i također obavljanje operacije zamjene obrnutim redoslijedom.

Pronalaženje tangente i kotangensa kroz sinus i kosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Ovi se identiteti formiraju iz definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Uostalom, ako pogledate, onda je po definiciji ordinata y sinus, a apscisa x je kosinus. Tada će tangenta biti jednaka omjeru \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), i omjer \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bit će kotangens.

Dodajemo da će se identiteti odvijati samo za takve kutove \alpha za koje trigonometrijske funkcije uključene u njih imaju smisla, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Na primjer: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) vrijedi za \alfa kutove koji se razlikuju od \frac(\pi)(2)+\pi z, ali ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- za kut \alpha koji nije \pi z , z je cijeli broj.

Odnos tangente i kotangensa

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ovaj identitet vrijedi samo za kutove \alpha koji se razlikuju od \frac(\pi)(2) z. U suprotnom se neće odrediti ni kotangens ni tangens.

Na temelju gore navedenih točaka, dobivamo to tg \alpha = \frac(y)(x), ali ctg\alpha=\frac(x)(y). Otuda slijedi da tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dakle, tangent i kotangens jednog kuta pod kojim imaju smisla su međusobno recipročni brojevi.

Odnosi između tangente i kosinusa, kotangensa i sinusa

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- zbroj kvadrata tangente kuta \alpha i 1 jednak je inverznom kvadratu kosinusa ovog kuta. Ovaj identitet vrijedi za sve \alfa osim \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- zbroj 1 i kvadrata kotangensa kuta \alpha, jednak je inverznom kvadratu sinusa zadanog kuta. Ovaj identitet vrijedi za bilo koju \alfu osim \pi z.

Primjeri s rješenjima zadataka pomoću trigonometrijskih identiteta

Primjer 1

Pronađite \sin \alpha i tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 I \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Prikaži rješenje

Riješenje

Funkcije \sin \alpha i \cos \alpha povezane su formulom \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Zamjena u ovoj formuli \cos \alpha = -\frac12, dobivamo:

\sin^(2)\alpha + \lijevo (-\frac12 \desno)^2 = 1

Ova jednadžba ima 2 rješenja:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Po uvjetu \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . U drugoj četvrtini sinus je pozitivan, dakle \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Da bismo pronašli tg \alpha , koristimo formulu tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Primjer 2

Pronađite \cos \alpha i ctg \alpha ako i \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Prikaži rješenje

Riješenje

Zamjena u formulu \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 uvjetni broj \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dobivamo \lijevo (\frac(\sqrt3)(2)\desno)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ova jednadžba ima dva rješenja \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Po uvjetu \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . U drugoj četvrtini kosinus je negativan, dakle \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Da bismo pronašli ctg \alpha , koristimo formulu ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Znamo odgovarajuće vrijednosti.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Ovo je posljednja i najvažnija lekcija potrebna za rješavanje problema B11. Već znamo kako pretvoriti kutove iz radijanske mjere u stupanjsku mjeru (vidi lekciju „ Radijan i stupanj mjera kuta"), a znamo i odrediti predznak trigonometrijske funkcije, fokusirajući se na koordinatne četvrti (vidi lekciju "Znakovi trigonometrijskih funkcija").

Stvar ostaje mala: izračunati vrijednost same funkcije - samog broja koji je napisan u odgovoru. Ovdje u pomoć dolazi osnovni trigonometrijski identitet.

Osnovni trigonometrijski identitet. Za bilo koji kut α vrijedi tvrdnja:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Ova formula povezuje sinus i kosinus jednog kuta. Sada, poznavajući sinus, lako možemo pronaći kosinus - i obrnuto. Dovoljno je uzeti kvadratni korijen:

Obratite pažnju na znak "±" ispred korijena. Činjenica je da iz osnovnog trigonometrijskog identiteta nije jasno što su bili izvorni sinus i kosinus: pozitivan ili negativan. Uostalom, kvadriranje je parna funkcija koja "spaljuje" sve minuse (ako ih ima).

Zato u svim zadacima B11 koji se nalaze u USE-u iz matematike, nužno postoje dodatni uvjeti koji pomažu da se riješimo nesigurnosti znakovima. Obično je to oznaka koordinatne četvrti po kojoj se može odrediti znak.

Pažljiv čitatelj će sigurno pitati: "Što je s tangentom i kotangensom?" Nemoguće je izravno izračunati ove funkcije iz gornjih formula. Međutim, postoje važne posljedice iz osnovnog trigonometrijskog identiteta koje već sadrže tangente i kotangense. Naime:

Važan zaključak: za bilo koji kut α, osnovni se trigonometrijski identitet može prepisati na sljedeći način:

Ove se jednadžbe lako izvode iz osnovnog identiteta - dovoljno je obje strane podijeliti s cos 2 α (da se dobije tangenta) ili sa sin 2 α (za kotangens).

Pogledajmo sve to na konkretnim primjerima. Sljedeći su stvarni B11 problemi preuzeti iz ispitivanja matematike USE iz 2012. godine.

Znamo kosinus, ali ne znamo sinus. Glavni trigonometrijski identitet (u svom "čistom" obliku) povezuje upravo te funkcije, pa ćemo s njim raditi. Imamo:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Da bismo riješili problem, ostaje pronaći znak sinusa. Budući da je kut α ∈ (π /2; π ), tada se u mjeri stupnja piše kako slijedi: α ∈ (90°; 180°).

Dakle, kut α leži u II koordinatnoj četvrtini – svi sinusi su pozitivni. Stoga je sin α = 0,1.

Dakle, znamo sinus, ali moramo pronaći kosinus. Obje ove funkcije su u osnovnom trigonometrijskom identitetu. Zamjenjujemo:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Ostaje se pozabaviti znakom ispred razlomka. Što odabrati: plus ili minus? Po uvjetu kut α pripada intervalu (π 3π /2). Pretvorimo kutove iz radijanske mjere u stupnjsku mjeru - dobivamo: α ∈ (180°; 270°).

Očito, ovo je III koordinatna četvrtina, gdje su svi kosinusi negativni. Stoga je cosα = −0,5.

Zadatak. Pronađite tg α ako znate sljedeće:

Tangent i kosinus povezani su jednadžbom koja slijedi iz osnovnog trigonometrijskog identiteta:

Dobivamo: tg α = ±3. Predznak tangente određen je kutom α. Poznato je da je α ∈ (3π /2; 2π ). Pretvorimo kutove iz radijanske mjere u mjeru stupnjeva - dobivamo α ∈ (270°; 360°).

Očito se radi o IV koordinatnoj četvrti, gdje su sve tangente negativne. Stoga je tgα = −3.

Zadatak. Pronađite cos α ako znate sljedeće:

Opet, sinus je poznat, a kosinus je nepoznat. Zapisujemo glavni trigonometrijski identitet:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Znak je određen kutom. Imamo: α ∈ (3π /2; 2π ). Pretvorimo kutove iz stupnjeva u radijane: α ∈ (270°; 360°) je IV koordinatna četvrtina, kosinusi su tamo pozitivni. Prema tome, cos α = 0,6.

Zadatak. Pronađite sin α ako znate sljedeće:

Napišimo formulu koja slijedi iz osnovnog trigonometrijskog identiteta i izravno povezuje sinus i kotangens:

Odavde dobivamo da je sin 2 α = 1/25, t.j. sin α = ±1/5 = ±0,2. Poznato je da je kut α ∈ (0; π /2). U stupnjevima, to se piše na sljedeći način: α ∈ (0°; 90°) - I koordinatna četvrtina.

Dakle, kut je u I koordinatnoj četvrti - sve su trigonometrijske funkcije tamo pozitivne, dakle sin α \u003d 0,2.