Vrijednosti trigonometrijskih jednadžbi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi

Zahtijeva poznavanje osnovnih formula trigonometrije - zbroj kvadrata sinusa i kosinusa, izraz tangente kroz sinus i kosinus i druge. Za one koji su ih zaboravili ili ne znaju, preporučujemo čitanje članka "".
Dakle, znamo osnovne trigonometrijske formule, vrijeme je da ih provedemo u praksi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s pravim pristupom, to je prilično uzbudljiva aktivnost, poput, na primjer, rješavanja Rubikove kocke.

Na temelju samog naziva jasno je da je trigonometrijska jednadžba jednadžba u kojoj je nepoznanica pod znakom trigonometrijske funkcije.
Postoje tzv. jednostavne trigonometrijske jednadžbe. Evo kako izgledaju: sinh = a, cos x = a, tg x = a. Smatrati, kako riješiti takve trigonometrijske jednadžbe, radi jasnoće, koristit ćemo već poznati trigonometrijski krug.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

dječji krevetić x = a

Bilo koja trigonometrijska jednadžba se rješava u dvije faze: dovedemo jednadžbu u najjednostavniji oblik, a zatim je riješimo kao najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu.
Postoji 7 glavnih metoda kojima se rješavaju trigonometrijske jednadžbe.

Varijabilna supstitucija i metoda supstitucije

Riješite jednadžbu 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Koristeći formule redukcije dobivamo:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Zamijenimo cos(x + /6) s y radi jednostavnosti i dobijemo uobičajenu kvadratnu jednadžbu:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Korijeni kojih je y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sada idemo unatrag

Zamjenjujemo pronađene vrijednosti y i dobivamo dva odgovora:

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi faktorizacijom

Kako riješiti jednadžbu sin x + cos x = 1?

Pomaknimo sve ulijevo tako da 0 ostane desno:

sin x + cos x - 1 = 0

Koristimo gornje identitete da pojednostavimo jednadžbu:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Napravimo faktorizaciju:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dobivamo dvije jednadžbe

Redukcija na homogenu jednadžbu

Jednadžba je homogena s obzirom na sinus i kosinus ako su svi njezini članovi u odnosu na sinus i kosinus istog stupnja istog kuta. Za rješavanje homogene jednadžbe postupite na sljedeći način:

a) prebaci sve svoje članove na lijevu stranu;

b) sve zajedničke faktore staviti izvan zagrada;

c) sve faktore i zagrade izjednačiti s 0;

d) u zagradi se dobiva homogena jednadžba nižeg stupnja, koja se, pak, dijeli sinusom ili kosinusom na viši stupanj;

e) riješiti rezultirajuću jednadžbu za tg.

Riješite jednadžbu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Upotrijebimo formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 i riješimo se otvorene dvije na desnoj strani:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Podijelite s cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Zamijenimo tg x s y i dobijemo kvadratnu jednadžbu:

y 2 + 4y +3 = 0 čiji su korijeni y 1 =1, y 2 = 3

Odavde nalazimo dva rješenja izvorne jednadžbe:

x 2 \u003d arctg 3 + k

Rješavanje jednadžbi, kroz prijelaz na polukut

Riješite jednadžbu 3sin x - 5cos x = 7

Idemo na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Pomicanje svega ulijevo:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Podijelite s cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Uvođenje pomoćnog kuta

Za razmatranje, uzmimo jednadžbu oblika: a sin x + b cos x \u003d c,

gdje su a, b, c neki proizvoljni koeficijenti, a x je nepoznanica.

Podijelite obje strane jednadžbe sa:

Sada koeficijenti jednadžbe, prema trigonometrijskim formulama, imaju svojstva sin i cos, naime: njihov modul nije veći od 1 i zbroj kvadrata = 1. Označimo ih kao cos i sin, gdje je takozvani pomoćni kut. Tada će jednadžba poprimiti oblik:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

ili sin(x + ) = C

Rješenje ove jednostavne trigonometrijske jednadžbe je

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, gdje je

Treba napomenuti da su oznake cos i sin zamjenjive.

Riješite jednadžbu sin 3x - cos 3x = 1

U ovoj jednadžbi koeficijenti su:

a \u003d, b \u003d -1, pa oba dijela podijelimo s \u003d 2

Video tečaj "Dobijte A" uključuje sve teme potrebne za uspjeh polaganje ispita iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profilni ispit matematika. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite položiti ispit s 90-100 bodova, 1. dio trebate riješiti za 30 minuta i bez grešaka!

Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka je tema data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Zlobni trikovi rješenja, korisne cheat sheets, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Baza za rješenje izazovni zadaci 2 dijela ispita.

Nije tajna da uspjeh ili neuspjeh u procesu rješavanja gotovo svakog problema ovisi uglavnom o ispravnosti definicije tipa. zadana jednadžba, kao i o ispravnoj reprodukciji slijeda svih faza njegovog rješenja. Međutim, u slučaju trigonometrijskih jednadžbi uopće nije teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. No, u procesu određivanja slijeda radnji koje bi nas trebale dovesti do točnog odgovora, možemo naići na određene poteškoće. Idemo shvatiti kako pravilno riješiti trigonometrijske jednadžbe od samog početka.

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi

Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, morate pokušati izvesti sljedeće točke:

Sve funkcije koje su uključene u našu jednadžbu dovodimo do "istih kutova";
Treba donijeti za zadana jednadžba na "iste funkcije";
Lijevu stranu zadane jednadžbe razlažemo na faktore ili druge potrebne komponente.

Metode

Metoda 1. Takve jednadžbe potrebno je riješiti u dvije faze. Najprije transformiramo jednadžbu kako bismo dobili njezin najjednostavniji (pojednostavljeni) oblik. Jednadžba: Cosx = a, Sinx = a i slično nazivaju se najjednostavnijim trigonometrijskim jednadžbama. Drugi korak je rješavanje rezultirajuće jednostavne jednadžbe. Valja napomenuti da se najjednostavnija jednadžba može riješiti algebarskom metodom, koja nam je dobro poznata iz školskog tečaja algebre. Također se naziva metoda zamjene i zamjene varijable. Uz pomoć redukcijskih formula, prvo trebate pretvoriti, zatim napraviti zamjenu i zatim pronaći korijene.

Zatim, trebate rastaviti našu jednadžbu na moguće faktore, za to trebate pomaknuti sve članove ulijevo, a zatim možete rastaviti na faktore. Sada morate ovu jednadžbu dovesti do homogene, u kojoj su svi članovi jednaki u istom stupnju, a kosinus i sinus imaju isti kut.

Prije rješavanja trigonometrijskih jednadžbi potrebno je prenijeti njegove članove na lijevu stranu, uzimajući ih s desne strane, a zatim izvadimo sve zajedničke nazivnike u zagradama. Svoje zagrade i faktore izjednačavamo s nulom. Naše izjednačene zagrade su homogena jednadžba reduciranog stupnja koja se dijeli sa sin(cos) na najveći stepen. Sada odlučujemo algebarska jednadžba, koji je dobiven, u odnosu na tan.

Metoda 2. Druga metoda kojom možete riješiti trigonometrijsku jednadžbu je prijelaz na polovični kut. Na primjer, rješavamo jednadžbu: 3sinx-5cosx=7.

Moramo ići na pola kuta, u našem slučaju to je: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2) I nakon toga sve članke svedemo u jedan dio (zbog praktičnosti, bolje je odabrati pravi) i nastavljamo s rješavanjem jednadžbe.

Ako je potrebno, možete unijeti pomoćni kut. To se radi kada trebate zamijeniti cjelobrojnu vrijednost sin (a) ili cos (a), a znak "a" samo djeluje kao pomoćni kut.

proizvod zbrojiti

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe pomoću zbrojnog proizvoda? Metoda poznata kao pretvorba proizvoda u zbroj također se može koristiti za rješavanje takvih jednadžbi. U ovom slučaju potrebno je koristiti formule koje odgovaraju jednadžbi.

Na primjer, imamo jednadžbu: 2sinx * sin3x= cos4x

Ovaj problem moramo riješiti pretvaranjem lijeve strane u zbroj, odnosno:

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8.

Ako gore navedene metode nisu prikladne, a još uvijek ne znate kako riješiti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe, možete koristiti drugu metodu - univerzalnu supstituciju. Pomoću njega možete transformirati izraz i napraviti zamjenu. Na primjer: Cos(x/2)=u. Sada možemo riješiti jednadžbu sa zadanim parametrom u. I nakon što ste dobili željeni rezultat, ne zaboravite ovu vrijednost prevesti u suprotno.

Mnogim "iskusnim" studentima se savjetuje da se za rješavanje jednadžbi obrate ljudima na internetu. Kako riješiti trigonometrijsku jednadžbu na mreži, pitate se. Za online rješenja problema, možete se obratiti na forume relevantnih tema, gdje vam mogu pomoći savjetom ili u rješavanju problema. Ali najbolje je pokušati se sami snaći.

Vještine i sposobnosti rješavanja trigonometrijskih jednadžbi vrlo su važne i korisne. Njihov razvoj zahtijevat će od vas mnogo truda. Mnogi problemi iz fizike, stereometrije itd. povezani su s rješavanjem takvih jednadžbi. A sam proces rješavanja takvih problema podrazumijeva prisutnost vještina i znanja koja se mogu steći proučavajući elemente trigonometrije.

Naučite trigonometrijske formule

U procesu rješavanja jednadžbe možete naići na potrebu korištenja bilo koje formule iz trigonometrije. Možete ga, naravno, početi tražiti u svojim udžbenicima i varalicama. A ako vam se ove formule ubace u glavu, ne samo da ćete uštedjeti živce, već ćete i znatno olakšati svoj zadatak, bez gubljenja vremena na traženje potrebnih informacija. Tako ćete imati priliku razmisliti na najracionalniji način rješavanja problema.

Lekcija složena primjena znanje.

Ciljevi lekcije.

Smatrati razne metode rješenja trigonometrijskih jednadžbi.
Razvoj kreativnost učenika rješavanjem jednadžbi.
Poticanje učenika na samokontrolu, međusobnu kontrolu, samoanalizu svojih odgojno-obrazovnih aktivnosti.

Oprema: platno, projektor, referentni materijal.

Tijekom nastave

Uvodni razgovor.

Glavna metoda za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi je njihova najjednostavnija redukcija. U ovom slučaju koriste se uobičajene metode, na primjer faktorizacija, kao i tehnike koje se koriste samo za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi. Ima dosta tih trikova, na primjer, razne trigonometrijske zamjene, transformacije kutova, transformacije trigonometrijskih funkcija. Nediskriminatorna primjena bilo koje trigonometrijske transformacije obično ne pojednostavljuje jednadžbu, ali je pogubno komplicira. Za vježbanje u općenito govoreći planirati rješavanje jednadžbe, ocrtati način da se jednadžba svede na najjednostavniji, prvo morate analizirati kutove - argumente trigonometrijskih funkcija uključenih u jednadžbu.

Danas ćemo govoriti o metodama rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Pravilno odabrana metoda često omogućuje značajno pojednostavljenje rješenja, pa sve metode koje smo proučavali uvijek treba držati u zoni naše pažnje kako bismo na najprikladniji način riješili trigonometrijske jednadžbe.

II. (Projektorom ponavljamo metode rješavanja jednadžbi.)

1. Metoda svođenja trigonometrijske jednadžbe na algebarsku.

Sve se mora izraziti trigonometrijske funkcije kroz jedan, s istim argumentom. To se može učiniti pomoću osnovnog trigonometrijskog identiteta i njegovih posljedica. Dobivamo jednadžbu s jednom trigonometrijskom funkcijom. Uzimajući to kao novu nepoznanicu, dobivamo algebarsku jednadžbu. Pronalazimo njegove korijene i vraćamo se na staru nepoznanicu, rješavajući najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.

2. Metoda faktorizacije.

Za promjenu kutova često su korisne formule redukcije, zbroji i razlike argumenata, kao i formule za pretvaranje zbroja (razlike) trigonometrijskih funkcija u umnožak i obrnuto.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Metoda za uvođenje dodatnog kuta.

4. Metoda korištenja univerzalne supstitucije.

Jednadžbe oblika F(sinx, cosx, tgx) = 0 reduciraju se na algebarske jednadžbe korištenjem univerzalne trigonometrijske zamjene

Izražavanje sinusa, kosinusa i tangente u terminima tangenta pola kuta. Ovaj trik može dovesti do jednadžbe višeg reda. Odluka o čemu je teška.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Prikupljeno kod nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosnih, provedbenih ili drugih razloga javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.