Rješenje složenih nejednakosti online. Neke točke o tome kako se nejednakosti rješavaju

Prvo, nekoliko tekstova kako biste dobili osjećaj za problem koji rješava intervalna metoda. Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeću nejednakost:

(x − 5)(x + 3) > 0

Koje su opcije? Prvo što većini učenika padne na pamet su pravila "plus puta plus čini plus" i "minus puta minus čini plus". Stoga je dovoljno razmotriti slučaj kada su obje zagrade pozitivne: x − 5 > 0 i x + 3 > 0. Zatim ćemo razmotriti i slučaj kada su oba zagrada negativna: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Napredniji učenici će se sjetiti (možda) da je na lijevoj strani kvadratna funkcija čiji je graf parabola. Štoviše, ova parabola siječe os OX u točkama x = 5 i x = −3. Za daljnji rad morate otvoriti zagrade. Imamo:

x 2 − 2x − 15 > 0

Sada je jasno da su grane parabole usmjerene prema gore, jer koeficijent a = 1 > 0. Pokušajmo nacrtati dijagram ove parabole:

Funkcija je veća od nule gdje prolazi iznad osi OX. U našem slučaju, to su intervali (−∞ −3) i (5; +∞) - ovo je odgovor.

Imajte na umu da slika prikazuje točno dijagram funkcije, ne njezin raspored. Jer za pravi graf trebate izračunati koordinate, izračunati pomake i ostalo sranje, što nam sada uopće ne treba.

Zašto su ove metode neučinkovite?

Dakle, razmotrili smo dva rješenja iste nejednakosti. I jedni i drugi su se pokazali vrlo glomazni. Prva odluka se nameće – razmislite samo o tome! je skup sustava nejednakosti. Drugo rješenje također nije lako: morate zapamtiti graf parabole i hrpu drugih malih činjenica.

Bila je to vrlo jednostavna nejednakost. Ima samo 2 množitelja. Sada zamislite da neće biti 2 množitelja, već barem 4. Na primjer:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Kako riješiti takvu nejednakost? Proći kroz sve moguće kombinacije za i protiv? Da, brže ćemo zaspati nego što pronađemo rješenje. Crtanje grafa također nije opcija, jer nije jasno kako se takva funkcija ponaša na koordinatnoj ravnini.

Za takve nejednakosti potreban je poseban algoritam rješenja, koji ćemo danas razmotriti.

Što je intervalna metoda

Intervalna metoda je poseban algoritam dizajniran za rješavanje složenih nejednakosti oblika f (x) > 0 i f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Riješite jednadžbu f (x) \u003d 0. Dakle, umjesto nejednadžbe, dobivamo jednadžbu koju je mnogo lakše riješiti;
2. Označite sve dobivene korijene na koordinatnoj liniji. Dakle, ravna linija će biti podijeljena na nekoliko intervala;
3. Pronađite predznak (plus ili minus) funkcije f (x) na krajnjem desnom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je u f (x) zamijeniti bilo koji broj koji će biti desno od svih označenih korijena;
4. Označite oznake na drugim intervalima. Da biste to učinili, dovoljno je zapamtiti da se prilikom prolaska kroz svaki korijen znak mijenja.

To je sve! Nakon toga ostaje samo napisati intervale koji nas zanimaju. Označavaju se znakom “+” ako je nejednakost oblika f (x) > 0, odnosno znakom “−” ako je nejednakost oblika f (x)< 0.

Na prvi pogled može se činiti da je intervalna metoda neka vrsta kositra. Ali u praksi će sve biti vrlo jednostavno. Potrebno je malo vježbe - i sve će postati jasno. Pogledajte primjere i uvjerite se sami:

Zadatak. Riješite nejednakost:

(x − 2)(x + 7)< 0

Radimo na metodi intervala. Korak 1: Zamijenite nejednakost s jednadžbom i riješite je:

(x − 2)(x + 7) = 0

Umnožak je jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od faktora jednak nuli:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Dobio dva korijena. Idite na korak 2: označite ove korijene na koordinatnoj liniji. Imamo:

Sada korak 3: nalazimo predznak funkcije na krajnjem desnom intervalu (desno od označene točke x = 2). Da biste to učinili, trebate uzeti bilo koji broj koji je veći od broja x = 2. Na primjer, uzmimo x = 3 (ali nitko ne zabranjuje uzimanje x = 4, x = 10, pa čak i x = 10 000). dobivamo:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Dobivamo da je f (3) = 10 > 0, pa stavljamo znak plus u krajnji desni interval.

Prelazimo na posljednju točku - potrebno je zabilježiti znakove na preostalim intervalima. Zapamtite da se prilikom prolaska kroz svaki korijen znak mora promijeniti. Na primjer, desno od korijena x = 2 nalazi se plus (u to smo se uvjerili u prethodnom koraku), tako da s lijeve strane mora biti minus.

Ovaj minus se proteže na cijeli interval (−7; 2), tako da postoji minus desno od korijena x = −7. Dakle, lijevo od korijena x = −7 nalazi se plus. Ostaje označiti ove znakove na koordinatnoj osi. Imamo:

Vratimo se izvornoj nejednakosti koja je izgledala ovako:

(x − 2)(x + 7)< 0

Dakle, funkcija mora biti manja od nule. To znači da nas zanima znak minus, koji se javlja samo na jednom intervalu: (−7; 2). Ovo će biti odgovor.

Zadatak. Riješite nejednakost:

(x + 9)(x − 3) (1 − x )< 0

Korak 1: Izjednačite lijevu stranu s nulom:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Zapamtite: umnožak je nula kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Zato imamo pravo svaku pojedinačnu zagradu izjednačiti na nulu.

Korak 2: označite sve korijene na koordinatnoj liniji:

Korak 3: saznajte znak krajnje desne praznine. Uzimamo bilo koji broj koji je veći od x = 1. Na primjer, možemo uzeti x = 10. Imamo:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

Korak 4: Postavite ostale znakove. Zapamtite da se prilikom prolaska kroz svaki korijen znak mijenja. Kao rezultat, naša slika će izgledati ovako:

To je sve. Ostaje samo napisati odgovor. Pogledajte još jednom izvornu nejednakost:

(x + 9)(x − 3) (1 − x )< 0

Ovo je nejednakost oblika f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Ovo je odgovor.

Napomena o znakovima funkcije

Praksa pokazuje da najveće poteškoće u metodi intervala nastaju u posljednja dva koraka, t.j. prilikom postavljanja znakova. Mnogi se učenici počinju zbuniti: koje brojeve uzeti i gdje staviti znakove.

Da biste konačno razumjeli metodu intervala, razmotrite dvije napomene na kojima je izgrađena:

1. Kontinuirana funkcija mijenja predznak samo u točkama gdje je jednak nuli. Takve točke razbijaju koordinatnu os na dijelove, unutar kojih se predznak funkcije nikada ne mijenja. Zato rješavamo jednadžbu f (x) \u003d 0 i označavamo pronađene korijene na ravnoj crti. Pronađeni brojevi su "granične" točke koje odvajaju pluse od minusa.
2. Da biste saznali predznak funkcije na bilo kojem intervalu, dovoljno je bilo koji broj iz tog intervala zamijeniti u funkciju. Na primjer, za interval (−5; 6) možemo uzeti x = −4, x = 0, x = 4 pa čak i x = 1,29374 ako želimo. Zašto je to važno? Da, jer mnogi studenti počinju glodati sumnje. Na primjer, što ako za x = −4 dobijemo plus, a za x = 0 dobijemo minus? Ništa slično se nikada neće dogoditi. Sve točke u istom intervalu daju isti predznak. Zapamtite ovo.

To je sve što trebate znati o metodi intervala. Naravno, rastavili smo ga u najjednostavnijem obliku. Postoje složenije nejednakosti - nestroge, frakcijske i s ponovljenim korijenima. Za njih možete primijeniti i metodu intervala, ali ovo je tema za zasebnu veliku lekciju.

Sada bih želio analizirati napredni trik koji drastično pojednostavljuje metodu intervala. Točnije, pojednostavljenje utječe samo na treći korak - izračunavanje predznaka na krajnjem desnom dijelu linije. Iz nekog razloga ova tehnika se ne održava u školama (bar mi to nitko nije objasnio). Ali uzalud - u stvari, ovaj algoritam je vrlo jednostavan.

Dakle, predznak funkcije je na desnom dijelu numeričke osi. Ovaj komad ima oblik (a; +∞), gdje je a najveći korijen jednadžbe f (x) = 0. Da nam ne bi raznijeli mozak, razmotrimo konkretan primjer:

(x − 1) (2 + x ) (7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Dobili smo 3 korijena. Navodimo ih uzlaznim redoslijedom: x = −2, x = 1 i x = 7. Očito, najveći korijen je x = 7.

Za one kojima je lakše grafički zaključivati, označit ću ove korijene na koordinatnoj liniji. Pogledajmo što se događa:

Potrebno je pronaći predznak funkcije f (x) na krajnjem desnom intervalu, t.j. na (7; +∞). Ali kao što smo već primijetili, da biste odredili znak, možete uzeti bilo koji broj iz ovog intervala. Na primjer, možete uzeti x = 8, x = 150, itd. A sada – ista tehnika koja se ne uči u školama: uzmimo beskonačnost kao broj. Točnije, plus beskonačnost, tj. +∞.

„Jesi li kamenovan? Kako možete zamijeniti beskonačnost u funkciju? možda, pitate se. Ali razmislite o tome: ne trebamo vrijednost same funkcije, trebamo samo znak. Stoga, na primjer, vrijednosti f (x) = −1 i f (x) = −938 740 576 215 znače istu stvar: funkcija je negativna na ovom intervalu. Stoga, sve što se od vas traži je pronaći znak koji se javlja u beskonačnosti, a ne vrijednost funkcije.

Zapravo, zamjena beskonačnosti je vrlo jednostavna. Vratimo se našoj funkciji:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Zamislite da je x vrlo velik broj. Milijardu ili čak trilijun. Pogledajmo sada što se događa u svakoj zagradi.

Prva zagrada: (x − 1). Što se događa ako od milijardu oduzmete jedan? Rezultat će biti broj koji se neće puno razlikovati od milijarde, a taj će broj biti pozitivan. Slično s drugom zagradom: (2 + x). Ako milijardu dodamo dvije, dobivamo milijardu s kopejkama - ovo je pozitivan broj. Konačno, treća zagrada: (7 − x ). Ovdje će biti minus milijarda, od koje je “oglodan” mizerni komadić u obliku sedmice. Oni. rezultirajući broj neće se puno razlikovati od minus milijarde – bit će negativan.

Ostaje pronaći znak cijelog djela. Kako smo u prvim zagradama imali plus, a u posljednjoj minus, dobivamo sljedeću konstrukciju:

(+) · (+) · (−) = (−)

Konačni znak je minus! Nije važno kolika je vrijednost same funkcije. Glavna stvar je da je ova vrijednost negativna, t.j. na krajnjem desnom intervalu nalazi se znak minus. Ostaje dovršiti četvrti korak metode intervala: rasporediti sve znakove. Imamo:

Izvorna nejednakost je izgledala ovako:

(x − 1) (2 + x ) (7 − x )< 0

Stoga nas zanimaju intervali označeni znakom minus. Zapisujemo odgovor:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

To je cijeli trik koji sam htio reći. Zaključno, postoji još jedna nejednakost koja se rješava intervalnom metodom korištenjem beskonačnosti. Kako bih vizualno skratio rješenje, neću pisati brojeve koraka i detaljne komentare. Napisat ću samo ono što stvarno treba napisati pri rješavanju stvarnih problema:

Zadatak. Riješite nejednakost:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Nejednadžbinu zamjenjujemo jednadžbom i rješavamo je:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Sva tri korijena označavamo na koordinatnoj liniji (odmah znakovima):

Na desnoj strani koordinatne osi nalazi se plus, jer funkcija izgleda ovako:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

A ako zamijenimo beskonačnost (na primjer, milijardu), dobivamo tri pozitivne zagrade. Budući da izvorni izraz mora biti veći od nule, zanimaju nas samo plusevi. Ostaje napisati odgovor:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

A danas ne može svatko riješiti racionalne nejednakosti. Točnije, ne može samo svatko odlučiti. Malo ljudi to može.
Kličko

Ova lekcija će biti teška. Toliko tvrd da će samo Odabrani doći do kraja. Stoga prije čitanja preporučam izbaciti žene, mačke, trudnu djecu i...

Ok, zapravo je prilično jednostavno. Pretpostavimo da ste savladali intervalnu metodu (ako je niste svladali, preporučujem da se vratite i pročitate) i naučili kako riješiti nejednakosti oblika $P\left(x \right) \gt 0$, gdje je $P \left(x \right)$ je neki polinom ili proizvod polinoma.

Vjerujem da vam neće biti teško riješiti npr. takvu igru ​​(usput, pokušajte je za zagrijavanje):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\lijevo(2((x)^(2))-3x-20 \desno)\lijevo(x-1 \desno)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Sada ćemo malo zakomplicirati zadatak i razmotriti ne samo polinome, već i takozvane racionalne razlomke oblika:

gdje su $P\left(x \right)$ i $Q\left(x \right)$ isti polinomi oblika $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, ili umnožak takvih polinoma.

Ovo će biti racionalna nejednakost. Temeljna točka je prisutnost varijable $x$ u nazivniku. Na primjer, evo racionalnih nejednakosti:

\[\begin(poravnati) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\lijevo(3-x \desno))^(2))\lijevo(4-((x)^( 2)) \desno))\ge 0. \\ \end(align)\]

I to nije racionalna, već najčešća nejednakost koja se rješava intervalnom metodom:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Gledajući unaprijed, odmah ću reći: postoje barem dva načina za rješavanje racionalnih nejednakosti, ali svi su na ovaj ili onaj način svedeni na metodu intervala koja nam je već poznata. Stoga, prije analize ovih metoda, prisjetimo se starih činjenica, inače neće biti smisla od novog materijala.

Ono što već trebate znati

Nema mnogo bitnih činjenica. Zaista nam trebaju samo četiri.

Skraćene formule za množenje

Da, da: proganjat će nas kroz cijeli nastavni plan i program matematike. I na sveučilištu također. Postoji dosta ovih formula, ali trebamo samo sljedeće:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\lijevo(a-b \desno)\lijevo(a+b \desno); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\lijevo(a+b \desno)\lijevo(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\desno); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\lijevo(ab \desno)\lijevo(((a)^(2))+ab+((b)^( 2)))\desno). \\ \end(poravnati)\]

Obratite pažnju na zadnje dvije formule - ovo je zbroj i razlika kocki (a ne kocka zbroja ili razlike!). Lako ih je zapamtiti ako primijetite da je znak u prvoj zagradi isti kao znak u izvornom izrazu, a u drugoj zagradi suprotan je znaku u izvornom izrazu.

Linearne jednadžbe

Ovo su najjednostavnije jednadžbe oblika $ax+b=0$, gdje su $a$ i $b$ obični brojevi, a $a\ne 0$. Ovu jednadžbu je lako riješiti:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(poravnati)\]

Napominjem da imamo pravo dijeljenja s koeficijentom $a$, jer je $a\ne 0$. Ovaj zahtjev je sasvim logičan, jer s $a=0$ dobivamo ovo:

Prvo, u ovoj jednadžbi nema varijable $x$. To nas, općenito govoreći, ne bi trebalo zbuniti (to se događa, recimo, u geometriji, i to prilično često), ali ipak više nismo linearna jednadžba.

Drugo, rješenje ove jednadžbe ovisi isključivo o koeficijentu $b$. Ako je $b$ također nula, onda je naša jednadžba $0=0$. Ova je jednakost uvijek istinita; stoga je $x$ bilo koji broj (obično napisan kao $x\in \mathbb(R)$). Ako koeficijent $b$ nije jednak nuli, tada jednakost $b=0$ nikada nije zadovoljena, tj. nema odgovora (napisano $x\in \varnothing $ i pročitano "skup rješenja je prazan").

Kako bismo izbjegli sve ove složenosti, jednostavno pretpostavljamo $a\ne 0$, što nas ni na koji način ne ograničava u daljnjim razmišljanjima.

Kvadratne jednadžbe

Dopustite mi da vas podsjetim da se ovo zove kvadratna jednadžba:

Ovdje lijevo je polinom drugog stupnja, i opet $a\ne 0$ (inače, umjesto kvadratne jednadžbe, dobivamo linearnu). Sljedeće se jednadžbe rješavaju kroz diskriminant:

1. Ako je $D \gt 0$, dobivamo dva različita korijena;
2. Ako je $D=0$, tada će korijen biti jedan, ali drugog višestrukosti (o kakvoj se vrsti višestrukosti radi i kako to uzeti u obzir - više o tome kasnije). Ili možemo reći da jednadžba ima dva identična korijena;
3. Za $D \lt 0$ uopće nema korijena, a predznak polinoma $a((x)^(2))+bx+c$ za bilo koje $x$ podudara se sa predznakom koeficijenta $a $. Ovo je, inače, vrlo korisna činjenica, o kojoj se iz nekog razloga zaboravlja reći na satovima algebre.

Sami korijeni izračunavaju se prema poznatoj formuli:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Otuda, usput rečeno, ograničenja na diskriminatoru. Uostalom, kvadratni korijen negativnog broja ne postoji. Što se tiče korijena, mnogi učenici imaju užasan nered u glavi, pa sam posebno snimio cijelu lekciju: što je korijen u algebri i kako ga izračunati - toplo preporučam da ga pročitate. :)

Operacije s racionalnim razlomcima

Sve što je gore napisano, već znate ako ste proučavali metodu intervala. Ali ono što ćemo sada analizirati nema analoga u prošlosti - to je potpuno nova činjenica.

Definicija. Racionalni razlomak je izraz oblika

\[\frac(P\lijevo(x \desno))(Q\lijevo(x \desno))\]

gdje su $P\left(x \right)$ i $Q\left(x \right)$ polinomi.

Očito je da je iz takvog razlomka lako dobiti nejednakost - dovoljno je samo pripisati znak "veće od" ili "manje od" desno. A malo dalje ćemo otkriti da je rješavanje takvih problema zadovoljstvo, tamo je sve vrlo jednostavno.

Problemi počinju kada postoji nekoliko takvih razlomaka u jednom izrazu. Moraju se svesti na zajednički nazivnik – a upravo se u ovom trenutku čini veliki broj ofenzivnih pogrešaka.

Stoga je za uspješno rješavanje racionalnih jednadžbi potrebno čvrsto ovladati dvije vještine:

1. Faktorizacija polinoma $P\left(x \right)$;
2. Zapravo, dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Kako faktorizirati polinom? Jako jednostavno. Neka imamo polinom oblika

Izjednačimo ga s nulom. Dobivamo jednadžbu $n$-tog stupnja:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Recimo da smo riješili ovu jednadžbu i dobili korijene $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (ne brinite: u većini slučajeva neće biti više od dva ova korijena) . U ovom slučaju, naš izvorni polinom se može prepisati ovako:

\[\begin(poravnati) & P\lijevo(x \desno)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\lijevo(x -((x)_(1)) \desno)\cdot \left(x-((x)_(2)) \desno)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \desno) \end(poravnati)\]

To je sve! Napominjemo: vodeći koeficijent $((a)_(n))$ nije nigdje nestao - bit će zaseban faktor ispred zagrada, a po potrebi se može umetnuti u bilo koju od ovih zagrada (pokazuje praksa da s $((a)_ (n))\ne \pm 1$ među korijenima gotovo uvijek postoje razlomci).

Zadatak. Pojednostavite izraz:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Riješenje. Prvo, pogledajmo nazivnike: svi su linearni binomi i ovdje se nema što faktorizirati. Dakle, faktorizirajmo brojnike:

\[\početi(poravnati) & ((x)^(2))+x-20=\lijevo(x+5 \desno)\lijevo(x-4 \desno); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\desno)\lijevo(x-1\desno); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\lijevo(x+2 \desno)\lijevo(x-\frac(2)(5) \desno)=\lijevo(x +2 \desno)\lijevo(2-5x \desno). \\\kraj (poravnaj)\]

Imajte na umu: u drugom polinomu, stariji koeficijent "2", u potpunosti u skladu s našom shemom, prvo se pojavio ispred zagrade, a zatim je uključen u prvu zagradu, budući da je tamo izašao razlomak.

Ista stvar se dogodila i u trećem polinomu, samo što je i tu pobrkao redoslijed pojmova. Međutim, koeficijent “−5” na kraju je uključen u drugu zagradu (zapamtite: faktor možete unijeti u jednu i samo jednu zagradu!), što nas je spasilo od neugodnosti povezanih s razlomkom korijena.

Što se tiče prvog polinoma, tu je sve jednostavno: njegovi se korijeni traže ili na standardni način preko diskriminanta, ili pomoću Vietinog teorema.

Vratimo se izvornom izrazu i prepišimo ga s brojnicima razloženim na faktore:

\[\begin(matrica) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \desno))(2x-3)-\frac(\lijevo(x+2 \desno)\lijevo(2-5x \desno))(x+2)= \\ =\lijevo(x+5 \desno)-\lijevo(x-1 \desno)-\lijevo(2-5x \desno)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \kraj (matrica)\]

Odgovor: $5x+4$.

Kao što vidite, ništa komplicirano. Malo matematike 7.-8. razreda i to je to. Smisao svih transformacija je pretvoriti složen i zastrašujući izraz u nešto jednostavno i lako za rad.

Međutim, to neće uvijek biti tako. Dakle, sada ćemo razmotriti ozbiljniji problem.

Ali prvo, shvatimo kako dovesti dva razlomka na zajednički nazivnik. Algoritam je vrlo jednostavan:

1. Faktorizirajte oba nazivnika;
2. Uzmite u obzir prvi nazivnik i dodajte mu čimbenike koji su prisutni u drugom nazivniku, ali ne i u prvom. Rezultirajući proizvod bit će zajednički nazivnik;
3. Saznajte koji čimbenici nedostaju svakom od izvornih razlomaka kako bi nazivnici postali jednaki zajedničkom.

Možda će vam se ovaj algoritam činiti samo tekstom u kojem ima "puno slova". Pa pogledajmo konkretan primjer.

Zadatak. Pojednostavite izraz:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \desno)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \desno)\]

Riješenje. Takve obimne zadatke najbolje je riješiti u dijelovima. Napišimo što je u prvoj zagradi:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Za razliku od prethodnog problema, ovdje nazivnici nisu tako jednostavni. Faktorizirajmo svaki od njih.

Kvadratni trinom $((x)^(2))+2x+4$ ne može se faktorizirati jer jednadžba $((x)^(2))+2x+4=0$ nema korijena (diskriminanta je negativna) . Ostavljamo nepromijenjeno.

Drugi nazivnik, kubni polinom $((x)^(3))-8$, nakon detaljnijeg proučavanja je razlika kocki i može se lako rastaviti korištenjem skraćenih formula za množenje:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x) ^(2))+2x+4 \desno)\]

Ništa se drugo ne može faktorizirati, jer prva zagrada sadrži linearni binom, a druga nam je već poznata konstrukcija koja nema pravi korijen.

Konačno, treći nazivnik je linearni binom koji se ne može rastaviti. Dakle, naša će jednadžba poprimiti oblik:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \desno))-\frac(1)(x-2)\]

Sasvim je očito da će $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ biti zajednički nazivnik, a da biste sve razlomke sveli na njega, trebate pomnožiti prvi razlomak na $\left(x-2 \right)$, a posljednji na $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Zatim ostaje samo donijeti sljedeće:

\[\begin(matrica) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ desno))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \desno))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \desno))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \desno))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \desno))(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+4 \desno))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo (((x)^(2))+2x+4 \desno))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\lijevo(x-2 \desno)\ lijevo(((x)^(2))+2x+4 \desno)). \\ \kraj (matrica)\]

Obratite pažnju na drugi redak: kada je nazivnik već zajednički, t.j. umjesto tri odvojena razlomka, napisali smo jedan veliki, ne biste se trebali odmah riješiti zagrada. Bolje je napisati dodatni redak i primijetiti da je, recimo, postojao minus prije trećeg razlomka - i neće ići nikamo, već će "visjeti" u brojniku ispred zagrade. Time ćete uštedjeti mnogo pogrešaka.

Pa, u zadnjem retku korisno je faktorizirati brojnik. Štoviše, ovo je točan kvadrat, a u pomoć nam opet dolaze skraćene formule množenja. Imamo:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \desno)\left(((x)^(2))+2x+4 \desno))= \frac(((\levo(x-2 \desno))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \desno) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Sada se pozabavimo drugim zagradama na isti način. Ovdje ću jednostavno napisati lanac jednakosti:

\[\begin(matrica) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(x+2 \desno))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \desno)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \desno)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \desno)\lijevo(x+2 \desno))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(x+2 \desno) ). \\ \kraj (matrica)\]

Vraćamo se na izvorni problem i gledamo proizvod:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \desno)\lijevo(x+2 \desno))=\frac(1)(x+2)\]

Odgovor: \[\frac(1)(x+2)\].

Značenje ovog problema je isto kao i prethodnog: pokazati koliko se racionalni izrazi mogu pojednostaviti ako mudro pristupite njihovoj transformaciji.

A sada, kada sve ovo znate, prijeđimo na glavnu temu današnje lekcije - rješavanje razlomaka racionalnih nejednakosti. Štoviše, nakon takve pripreme i same nejednakosti će kliknuti kao orasi. :)

Glavni način rješavanja racionalnih nejednakosti

Postoje najmanje dva pristupa rješavanju racionalnih nejednakosti. Sada ćemo razmotriti jedan od njih - onaj koji je općenito prihvaćen u školskom tečaju matematike.

No, prvo napomenimo jedan važan detalj. Sve nejednakosti podijeljene su u dvije vrste:

1. Strogo: $f\left(x \right) \gt 0$ ili $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Nestrogo: $f\left(x \right)\ge 0$ ili $f\left(x \right)\le 0$.

Nejednakosti druge vrste lako se svode na prvu, kao i jednadžba:

Ovaj mali "dodatak" $f\left(x \right)=0$ dovodi do tako neugodne stvari kao što su ispunjene točke - sreli smo ih još u intervalnoj metodi. Inače, nema razlike između strogih i nestrogih nejednakosti, pa analizirajmo univerzalni algoritam:

1. Skupite sve elemente koji nisu nula na jednoj strani znaka nejednakosti. Na primjer, s lijeve strane;
2. Dovedite sve razlomke na zajednički nazivnik (ako ima više takvih razlomaka), dovedite slične. Zatim, ako je moguće, faktorizirajte u brojnik i nazivnik. Na ovaj ili onaj način, dobivamo nejednakost oblika $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, gdje je kvačica znak nejednakosti.
3. Izjednačite brojnik s nulom: $P\left(x \right)=0$. Rješavamo ovu jednadžbu i dobivamo korijene $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Tada zahtijevamo da nazivnik nije bio jednak nuli: $Q\left(x \right)\ne 0$. Naravno, u biti, moramo riješiti jednadžbu $Q\left(x \right)=0$, i dobivamo korijene $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (u stvarnim problemima teško da će biti više od tri takva korijena).
4. Sve te korijene (sa zvjezdicama i bez njih) označimo na jednoj brojevnoj liniji, a korijene bez zvjezdica prefarbamo, a one sa zvjezdicama izbušimo.
5. Postavljamo znake plus i minus, odabiremo intervale koji su nam potrebni. Ako nejednakost ima oblik $f\left(x \right) \gt 0$, tada će odgovor biti intervali označeni s "plus". Ako je $f\left(x \right) \lt 0$, tada intervale gledamo s "minusima".

Praksa pokazuje da točke 2 i 4 uzrokuju najveće poteškoće - kompetentne transformacije i ispravan raspored brojeva u rastućem redoslijedu. Pa, u posljednjem koraku, budite izuzetno oprezni: uvijek postavljamo znakove na temelju posljednja nejednakost napisana prije prelaska na jednadžbe. Ovo je univerzalno pravilo naslijeđeno iz metode intervala.

Dakle, postoji shema. Idemo vjezbati.

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Riješenje. Imamo strogu nejednakost oblika $f\left(x \right) \lt 0$. Očito, točke 1 i 2 iz naše sheme su već dovršene: svi elementi nejednakosti skupljeni su na lijevoj strani, ništa se ne treba svesti na zajednički nazivnik. Pa prijeđimo na treću točku.

Postavite brojnik na nulu:

\[\begin(poravnati) & x-3=0; \\ &x=3. \end(poravnati)\]

I nazivnik:

\[\begin(poravnati) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(poravnati)\]

Na ovom mjestu mnogi ljudi zapnu, jer u teoriji trebate zapisati $x+7\ne 0$, kako zahtijeva ODZ (ne možete dijeliti s nulom, to je sve). Ali uostalom, u budućnosti ćemo izvući točke koje su proizašle iz nazivnika, tako da ne biste trebali još jednom komplicirati svoje izračune - napišite znak jednakosti posvuda i ne brinite. Za ovo nitko neće oduzimati bodove. :)

Četvrta točka. Dobivene korijene označavamo na brojevnoj liniji:

Sve točke su probušene jer je nejednakost stroga

Bilješka: sve točke su probušene jer je izvorna nejednakost stroga. I ovdje više nije važno: ti su bodovi došli iz brojnika ili nazivnika.

Pa, pogledajte znakove. Uzmite bilo koji broj $((x)_(0)) \gt 3$. Na primjer, $((x)_(0))=100$ (ali isto tako ste mogli uzeti $((x)_(0))=3,1$ ili $((x)_(0)) = 1\000\000$). dobivamo:

Dakle, desno od svih korijena imamo pozitivno područje. A pri prolasku kroz svaki korijen, predznak se mijenja (to neće uvijek biti slučaj, ali o tome kasnije). Stoga prelazimo na petu točku: postavljamo znakove i odabiremo pravi:

Vraćamo se na posljednju nejednakost, koja je bila prije rješavanja jednadžbi. Zapravo, poklapa se s izvornim, jer u ovom zadatku nismo izvršili nikakve transformacije.

Budući da je potrebno riješiti nejednakost oblika $f\left(x \right) \lt 0$, zasjenio sam interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - on je jedini označeno znakom minus. Ovo je odgovor.

Odgovor: $x\in \lijevo(-7;3 \desno)$

To je sve! Je li teško? Ne, nije teško. Doista, bio je to lak zadatak. Ajmo sada malo zakomplicirati misiju i razmisliti o "fancy" nejednakosti. Prilikom rješavanja više neću davati tako detaljne izračune - jednostavno ću ocrtati ključne točke. Općenito ćemo to urediti onako kako bismo to radili na samostalnom radu ili ispitu. :)

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\frac(\lijevo(7x+1 \desno)\lijevo(11x+2 \desno))(13x-4)\ge 0\]

Riješenje. Ovo je nestroga nejednakost oblika $f\left(x \right)\ge 0$. Svi elementi različiti od nule skupljeni su na lijevoj strani, nema različitih nazivnika. Prijeđimo na jednadžbe.

brojilac:

\[\begin(poravnati) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Strelica desno ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Strelica desno ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(poravnati)\]

Nazivnik:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(poravnati)\]

Ne znam kakav je perverznjak napravio ovaj problem, ali korijeni nisu ispali baš dobro: bit će ih teško složiti na brojevnu liniju. A ako je sve više-manje jasno s korijenom $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (ovo je jedini pozitivan broj - bit će s desne strane), onda $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ zahtijevaju daljnje proučavanje: koji je veći?

To možete saznati, na primjer:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Nadam se da nema potrebe objašnjavati zašto je brojčani razlomak $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Ako je potrebno, preporučujem da se prisjetite kako izvoditi radnje s razlomcima.

I označavamo sva tri korijena na brojevnoj liniji:

Točke iz brojnika su zasjenjene, iz nazivnika su izrezane

Postavili smo znakove. Na primjer, možete uzeti $((x)_(0))=1$ i saznati znak u ovom trenutku:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Posljednja nejednakost prije jednadžbi bila je $f\left(x \right)\ge 0$, pa nas zanima znak plus.

Dobili smo dva skupa: jedan je običan segment, a drugi je otvorena zraka na brojevnoj liniji.

Odgovor: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Važna napomena o brojevima koje zamjenjujemo da bismo saznali znak na krajnjem desnom intervalu. Nije potrebno zamijeniti broj blizu krajnjeg desnog korijena. Možete uzeti milijarde ili čak "plus-beskonačnost" - u ovom slučaju, predznak polinoma u zagradi, brojniku ili nazivniku određen je isključivo predznakom vodećeg koeficijenta.

Pogledajmo još jednom funkciju $f\left(x \right)$ iz posljednje nejednakosti:

Sadrži tri polinoma:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\lijevo(x \desno)=11x+2; \\ & Q\lijevo(x\desno)=13x-4. \end(poravnati)\]

Svi su linearni binomi i svi imaju pozitivne koeficijente (brojevi 7, 11 i 13). Stoga će kod zamjene vrlo velikih brojeva i sami polinomi biti pozitivni. :)

Ovo pravilo može izgledati previše komplicirano, ali samo na početku, kada analiziramo vrlo lake zadatke. U ozbiljnim nejednakostima, zamjena "plus-beskonačnost" omogućit će nam da shvatimo znakove mnogo brže od standardnog $((x)_(0))=100$.

Vrlo brzo ćemo se suočiti s takvim izazovima. Ali prvo, pogledajmo alternativni način rješavanja frakcijskih racionalnih nejednakosti.

Alternativni način

Ovu tehniku ​​mi je predložio jedan od mojih učenika. I sam ga nikad nisam koristio, ali praksa je pokazala da je mnogim učenicima doista zgodnije rješavati nejednačine na ovaj način.

Dakle, izvorni podaci su isti. Moramo riješiti frakcijsku racionalnu nejednakost:

\[\frac(P\lijevo(x \desno))(Q\lijevo(x \desno)) \gt 0\]

Razmislimo: zašto je polinom $Q\left(x \right)$ "gori" od polinoma $P\left(x \right)$? Zašto moramo uzeti u obzir odvojene skupine korijena (sa i bez zvjezdice), razmišljati o probijenim točkama itd.? Jednostavno je: razlomak ima domenu definicije, prema kojoj razlomak ima smisla samo kada mu je nazivnik različit od nule.

Inače, nema razlike između brojnika i nazivnika: također ga izjednačavamo s nulom, tražimo korijene, pa ih označavamo na brojevnoj liniji. Pa zašto onda ne zamijeniti razlomak (zapravo, znak dijeljenja) uobičajenim množenjem i sve zahtjeve DHS-a napisati kao zasebnu nejednakost? Na primjer, ovako:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Strelica desno \levo\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Imajte na umu: ovaj pristup će vam omogućiti da problem svedete na metodu intervala, ali uopće neće komplicirati rješenje. Uostalom, ionako ćemo polinom $Q\left(x \right)$ izjednačiti s nulom.

Pogledajmo kako to radi na stvarnim zadacima.

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Riješenje. Dakle, prijeđimo na metodu intervala:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Strelica desno \levo\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(poravnati) \desno.\]

Prva nejednakost rješava se elementarno. Samo postavite svaku zagradu na nulu:

\[\begin(align) & x+8=0\Strelica desno ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Strelica desno ((x)_(2))=11. \\ \end(poravnati)\]

S drugom nejednakošću sve je također jednostavno:

Označavamo točke $((x)_(1))$ i $((x)_(2))$ na realnoj liniji. Svi su probušeni jer je nejednakost stroga:

Ispostavilo se da je prava točka dvaput probušena. Ovo je u redu.

Obratite pažnju na točku $x=11$. Ispada da je “dvaput izvađen”: s jedne strane, vadimo ga zbog težine nejednakosti, s druge strane zbog dodatnog zahtjeva ODZ-a.

U svakom slučaju, to će biti samo probušena točka. Stoga smo stavili predznake za nejednakost $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - posljednji koji smo vidjeli prije nego što smo počeli rješavati jednadžbe:

Zanimaju nas pozitivne regije, budući da rješavamo nejednakost oblika $f\left(x \right) \gt 0$, te ćemo ih obojati. Ostaje samo zapisati odgovor.

Odgovor. $x\in \lijevo(-\infty ;-8 \desno)\bigcup \left(11;+\infty \desno)$

Koristeći ovo rješenje kao primjer, želio bih vas upozoriti na čestu pogrešku među studentima početnicima. Naime: nikad ne otvarajte zagrade u nejednačinama! Naprotiv, pokušajte sve uračunati - to će pojednostaviti rješenje i uštedjeti si mnogo problema.

Pokušajmo sada nešto teže.

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\frac(\left(2x-13 \desno)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Riješenje. Ovo je nestroga nejednakost oblika $f\left(x \right)\le 0$, pa ovdje morate pažljivo pratiti popunjene točke.

Prijeđimo na metodu intervala:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \desno.\]

Prijeđimo na jednadžbu:

\[\begin(poravnati) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Strelica desno ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Strelica desno ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Strelica desno ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(poravnati)\]

Uzimamo u obzir dodatne zahtjeve:

Sve dobivene korijene označavamo na brojevnoj liniji:

Ako je bod i izbušena i popunjena u isto vrijeme, smatra se izbušenom.

Opet se dvije točke "preklapaju" - to je normalno, tako će uvijek biti. Važno je samo razumjeti da je točka označena i kao izbušena i kao popunjena zapravo izbušena točka. Oni. "Udubljenje" je jača radnja od "preslikavanja".

To je apsolutno logično, jer probijanjem označavamo točke koje utječu na predznak funkcije, ali same ne sudjeluju u odgovoru. A ako nam u nekom trenutku broj prestane odgovarati (na primjer, ne spada u ODZ), brišemo ga iz razmatranja do samog kraja zadatka.

Općenito, prestanite filozofirati. Postavljamo znakove i bojimo one intervale koji su označeni znakom minus:

Odgovor. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \desno)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

I opet sam želio da vam skrenem pažnju na ovu jednadžbu:

\[\lijevo(2x-13 \desno)\lijevo(12x-9 \desno)\lijevo(15x+33 \desno)=0\]

Još jednom: nikada ne otvarajte zagrade u takvim jednadžbama! Samo sebi otežavaš. Zapamtite: umnožak je nula kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Posljedično, ova se jednadžba jednostavno “raspada” na nekoliko manjih, koje smo riješili u prethodnom zadatku.

Uzimajući u obzir mnogostrukost korijena

Iz prethodnih problema lako je vidjeti da su upravo nestroge nejednakosti najteže, jer u njima morate pratiti popunjene točke.

Ali u svijetu postoji još veće zlo – to su višestruki korijeni nejednakosti. Ovdje je već potrebno pratiti ne neke popunjene točke - ovdje se znak nejednakosti možda neće iznenada promijeniti pri prolasku kroz te iste točke.

Ovo još nismo razmatrali u ovoj lekciji (iako se sličan problem često susreo u metodi intervala). Pa uvedemo novu definiciju:

Definicija. Korijen jednadžbe $((\left(x-a \right))^(n))=0$ jednak je $x=a$ i naziva se korijenom $n$-te višestrukosti.

Zapravo, ne zanima nas točna vrijednost višestrukosti. Važno je samo je li upravo ovaj broj $n$ paran ili neparan. Jer:

1. Ako je $x=a$ korijen parnog višestrukosti, tada se predznak funkcije ne mijenja pri prolasku kroz nju;
2. I obrnuto, ako je $x=a$ korijen neparne višestrukosti, tada će se promijeniti predznak funkcije.

Poseban slučaj korijena neparne višestrukosti su svi prethodni problemi razmatrani u ovoj lekciji: tamo je višestrukost svugdje jednaka jedinici.

I dalje. Prije nego počnemo rješavati probleme, želio bih vam skrenuti pozornost na jednu suptilnost koja se iskusnom studentu čini očitom, ali mnoge početnike dovodi u omamljenost. Naime:

Korijen višestrukosti $n$ nastaje samo kada se cijeli izraz podigne na ovaj stepen: $((\left(xa \right))^(n))$, a ne $\left(((x)^(n) )-a\desno)$.

Još jednom: zagrada $((\left(xa \right))^(n))$ daje nam korijen $x=a$ višestrukosti $n$, ali zagrada $\left(((x)^( n)) -a \right)$ ili, kao što se često događa, $(a-((x)^(n)))$ nam daje korijen (ili dva korijena, ako je $n$ paran) prvog višestrukosti , bez obzira što je jednako $n$.

usporedi:

\[((\lijevo(x-3 \desno))^(5))=0\Strelica desno x=3\lijevo(5k \desno)\]

Ovdje je sve jasno: cijela zagrada je podignuta na peti stepen, tako da smo na izlazu dobili korijen petog stupnja. A sada:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Strelica desno ((x)^(2))=4\Strelica desno x=\pm 2\]

Dobili smo dva korijena, ali oba imaju prvu višestrukost. Ili evo još jednog:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Strelica desno ((x)^(10))=1024\Strelica desno x=\pm 2\]

I neka vas deseti stupanj ne zbuni. Glavna stvar je da je 10 paran broj, tako da imamo dva korijena na izlazu, a oba opet imaju prvu višestrukost.

Općenito, budite oprezni: višestrukost se javlja samo kada stupanj se odnosi na cijelu zagradu, a ne samo na varijablu.

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\frac(((x)^(2))((\lijevo(6-x \desno))^(3))\lijevo(x+4 \desno))((\lijevo(x+7 \desno))^(5)))\ge 0\]

Riješenje. Pokušajmo to riješiti na alternativni način - prijelazom s pojedinog na proizvod:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\pravo.\]

S prvom nejednakošću obrađujemo metodu intervala:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \desno))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Strelica desno x=0\lijevo(2k \desno); \\ & ((\lijevo(6-x \desno))^(3))=0\Strelica desno x=6\lijevo(3k \desno); \\ & x+4=0\Strelica desno x=-4; \\ & ((\lijevo(x+7 \desno))^(5))=0\Strelica desno x=-7\lijevo(5k \desno). \\ \end(poravnati)\]

Dodatno rješavamo i drugu nejednakost. Zapravo smo to već riješili, ali kako recenzenti ne bi našli zamjerke rješenju, bolje ga je riješiti ponovno:

\[((\lijevo(x+7 \desno))^(5))\ne 0\Strelica desno x\ne -7\]

Imajte na umu da u posljednjoj nejednakosti nema višestrukosti. Doista: kakva je razlika koliko puta precrtati točku $x=-7$ na brojevnoj pravoj? Barem jednom, najmanje pet puta - rezultat će biti isti: probušena točka.

Zabilježimo sve što smo dobili na brojevnoj liniji:

Kao što sam rekao, točka $x=-7$ će na kraju biti izbijena. Multipliciteti su raspoređeni na temelju rješenja nejednadžbe metodom intervala.

Ostaje postaviti znakove:

Budući da je točka $x=0$ korijen parnog višestrukosti, predznak se ne mijenja pri prolasku kroz nju. Preostale točke imaju neparan broj, a s njima je sve jednostavno.

Odgovor. $x\in \lijevo(-\infty ;-7 \desno)\bigcup \left[ -4;6 \desno]$

Ponovno obratite pozornost na $x=0$. Zbog ujednačene višestrukosti javlja se zanimljiv efekt: sve što je lijevo od njega je obojano, desno - također, a sama točka je potpuno obojana.

Kao posljedica toga, ne treba ga izolirati prilikom snimanja odgovora. Oni. ne morate napisati nešto poput $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (iako bi formalno takav odgovor također bio točan). Umjesto toga, odmah pišemo $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Takvi učinci mogući su samo za korijene parne višestrukosti. I u sljedećem zadatku naići ćemo na obrnutu „manifestaciju“ ovog učinka. Spreman?

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\frac(((\lijevo(x-3 \desno))^(4))\lijevo(x-4 \desno))(((\lijevo(x-1 \desno))^(2)) \lijevo(7x-10-((x)^(2)) \desno))\ge 0\]

Riješenje. Ovaj put ćemo slijediti standardnu ​​shemu. Postavite brojnik na nulu:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\lijevo(x-3 \desno))^(4))=0\Strelica desno ((x)_(1))=3\lijevo(4k \desno); \\ & x-4=0\Strelica desno ((x)_(2))=4. \\ \end(poravnati)\]

I nazivnik:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\lijevo(x-1 \desno))^(2))=0\Strelica desno x_(1)^(*)=1\lijevo(2k \desno); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Strelica desno x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(poravnati)\]

Budući da rješavamo nestrogu nejednakost oblika $f\left(x \right)\ge 0$, korijeni iz nazivnika (koji imaju zvjezdice) bit će izrezani, a oni iz brojnika će biti prefarbani .

Rasporedimo znakove i pogladimo područja označena s "plus":

Točka $x=3$ je izolirana. Ovo je dio odgovora

Prije nego što zapišete konačni odgovor, dobro pogledajte sliku:

1. Točka $x=1$ ima paran broj, ali je sama po sebi probušena. Stoga će to morati biti izolirano u odgovoru: trebate napisati $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a ne $x\in \lijevo(-\ infty ;2\desno)$.
2. Točka $x=3$ također ima parnu višestrukost i zasjenjena je. Raspored znakova ukazuje da nam sama točka odgovara, ali korak lijevo-desno – i nalazimo se u području koje nam definitivno ne odgovara. Takve se točke nazivaju izoliranim i pišu se kao $x\in \left\( 3 \right\)$.

Sve dobivene komade spojimo u zajednički skup i zapišemo odgovor.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;1 \desno)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definicija. Rješavanje nejednakosti znači pronaći skup svih njegovih rješenja, ili dokazati da je ovaj skup prazan.

Čini se: što ovdje može biti neshvatljivo? Da, činjenica je da se skupovi mogu specificirati na različite načine. Prepišimo odgovor na zadnji problem:

Doslovno čitamo napisano. Varijabla "x" pripada određenom skupu, koji se dobiva udruživanjem (simbol "U") četiri zasebna skupa:

• Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, što doslovno znači "svi brojevi manji od jedan, ali ne jedan";
• Interval je $\left(1;2 \right)$, tj. "svi brojevi između 1 i 2, ali ne i sami brojevi 1 i 2";
• Skup $\left\( 3 \right\)$, koji se sastoji od jednog broja - tri;
• Interval $\left[ 4;5 \right)$ koji sadrži sve brojeve između 4 i 5, plus sam 4, ali ne i 5.

Ovdje je zanimljiva treća točka. Za razliku od intervala, koji definiraju beskonačne skupove brojeva i označavaju samo granice tih skupova, skup $\left\( 3 \right\)$ definira točno jedan broj nabrajanjem.

Da bismo razumjeli da navodimo određene brojeve uključene u skup (a ne postavljamo granice ili bilo što drugo), koriste se vitičaste zagrade. Na primjer, oznaka $\left\( 1;2 \right\)$ znači upravo "skup koji se sastoji od dva broja: 1 i 2", ali ne i segment od 1 do 2. Ni u kojem slučaju nemojte brkati ove pojmove .

Pravilo zbrajanja višestrukosti

Pa, na kraju današnje lekcije, mala limena od Pavela Berdova. :)

Pažljivi učenici vjerojatno su si već postavili pitanje: što će se dogoditi ako se u brojniku i nazivniku nađu isti korijeni? Dakle, funkcionira sljedeće pravilo:

Zbraja se višestrukost identičnih korijena. Je uvijek. Čak i ako se ovaj korijen pojavljuje i u brojniku i u nazivniku.

Ponekad je bolje odlučiti nego razgovarati. Stoga rješavamo sljedeći problem:

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \desno)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \desno))\ge 0\]

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(poravnati)\]

Zasad ništa posebno. Postavite nazivnik na nulu:

\[\begin(poravnati) & \left(((x)^(2))-16 \desno)\left(((x)^(2))+9x+14 \desno)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Strelica desno x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Strelica desno x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(poravnati)\]

Pronađena su dva identična korijena: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Obje imaju prvu mnogostrukost. Stoga ih zamjenjujemo jednim korijenom $x_(4)^(*)=-2$, ali s višestrukim brojem 1+1=2.

Osim toga, postoje i identični korijeni: $((x)_(2))=-4$ i $x_(2)^(*)=-4$. Oni su također prve višestrukosti, tako da ostaje samo $x_(2)^(*)=-4$ višestrukosti 1+1=2.

Napominjemo: u oba slučaja ostavili smo točno “izrezani” korijen, a izbacili iz razmatranja onaj “prefarban”. Jer već na početku lekcije složili smo se: ako je točka istovremeno izbušena i obojena, onda je još uvijek smatramo izbušenom.

Kao rezultat toga, imamo četiri korijena, a ispostavilo se da su svi iskopani:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\lijevo(2k \desno); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\lijevo(2k \desno). \\ \end(poravnati)\]

Označavamo ih na brojevnoj liniji, uzimajući u obzir višestrukost:

Postavljamo znakove i bojimo područja koja nas zanimaju:

Sve. Bez izoliranih točaka i drugih perverzija. Možete napisati odgovor.

Odgovor. $x\in \left(-\infty ;-7 \desno)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

pravilo množenja

Ponekad se dogodi još neugodnija situacija: jednadžba koja ima više korijena sama se podiže na određeni stepen. Time se mijenja mnogostrukost svih izvornih korijena.

To je rijetkost, pa većina učenika nema iskustva u rješavanju ovakvih problema. A ovdje je pravilo:

Kada se jednadžba podigne na stepen $n$, višestrukost svih njezinih korijena također se povećava za faktor od $n$.

Drugim riječima, podizanje na stepen rezultira množenjem višestrukosti istom potencijom. Uzmimo ovo pravilo kao primjer:

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\frac(x((\lijevo(((x)^(2))-6x+9 \desno))^(2))((\lijevo(x-4 \desno))^(5)) )(((\lijevo(2-x \desno))^(3))((\lijevo(x-1 \desno))^(2)))\le 0\]

Riješenje. Postavite brojnik na nulu:

Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Sve je jasno s prvim množiteljem: $x=0$. I evo gdje počinju problemi:

\[\begin(poravnati) & ((\lijevo(((x)^(2))-6x+9 \desno))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\lijevo(2k \desno); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\lijevo(2k \desno)\lijevo(2k \desno) \ \ & ((x)_(2))=3\lijevo(4k \desno) \\ \end(poravnati)\]

Kao što možete vidjeti, jednadžba $((x)^(2))-6x+9=0$ ima jedinstveni korijen drugog višestrukosti: $x=3$. Tada se cijela jednadžba kvadrira. Stoga će višestrukost korijena biti $2\cdot 2=4$, što smo na kraju zapisali.

\[((\lijevo(x-4 \desno))^(5))=0\Strelica desno x=4\lijevo(5k \desno)\]

Nema problema ni s nazivnikom:

\[\begin(poravnati) & ((\lijevo(2-x \desno))^(3))((\lijevo(x-1 \desno))^(2))=0; \\ & ((\lijevo(2-x \desno))^(3))=0\Strelica desno x_(1)^(*)=2\lijevo(3k \desno); \\ & ((\lijevo(x-1 \desno))^(2))=0\Strelica desno x_(2)^(*)=1\lijevo(2k \desno). \\ \end(poravnati)\]

Ukupno smo osvojili pet bodova: dva izbijena i tri popunjena. U brojniku i nazivniku nema podudarnih korijena, pa ih samo označavamo na brojevnoj liniji:

Raspoređujemo znakove uzimajući u obzir višestrukost i bojimo intervale koji nas zanimaju:

Opet jedna izolirana točka i jedna probušena

Zbog korijena ravnomjerne višestrukosti, opet smo dobili nekoliko "nestandardnih" elemenata. Ovo je $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a ne $x\in \left[ 0;2 \right)$, i također izolirana točka $ x\u \lijevo\( 3 \desno\)$.

Odgovor. $x\in \left[ 0;1 \desno)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Kao što vidite, nije sve tako teško. Glavna stvar je pažnja. Posljednji dio ove lekcije posvećen je transformacijama - upravo onima o kojima smo govorili na samom početku.

Predkonverzije

Nejednakosti o kojima ćemo raspravljati u ovom odjeljku nisu složene. No, za razliku od prethodnih zadataka, ovdje ćete morati primijeniti vještine iz teorije racionalnih razlomaka - faktorizacije i svođenja na zajednički nazivnik.

O ovom pitanju smo detaljno raspravljali na samom početku današnje lekcije. Ako niste sigurni da razumijete o čemu se radi, toplo preporučam da se vratite i ponovite. Jer nema smisla trpati metode za rješavanje nejednačina ako "plivate" u pretvorbi razlomaka.

U zadaći će, inače, također biti mnogo sličnih zadataka. Smješteni su u poseban pododjeljak. I tamo ćete naći vrlo netrivijalne primjere. Ali to će biti u domaćoj zadaći, ali sada analizirajmo nekoliko takvih nejednakosti.

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Riješenje. Pomicanje svega ulijevo:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Svodimo na zajednički nazivnik, otvaramo zagrade, dajemo slične pojmove u brojniku:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ desno))(x\cdot \lijevo(x-1 \desno))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\lijevo(((x)^(2))-2x-x+2 \desno))(x\lijevo(x-1 \desno)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Sada imamo klasičnu frakcijsku racionalnu nejednakost, čije rješenje više nije teško. Predlažem da se to riješi alternativnom metodom - metodom intervala:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(poravnati)\]

Ne zaboravite na ograničenje koje dolazi iz nazivnika:

Označavamo sve brojeve i ograničenja na brojevnoj liniji:

Svi korijeni imaju prvu višestrukost. Nema problema. Samo postavljamo znakove i bojimo područja koja su nam potrebna:

Ovo je sve. Možete napisati odgovor.

Odgovor. $x\in \left(-\infty ;0 \desno)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \desno)$.

Naravno, ovo je bio vrlo jednostavan primjer. Pa sada pogledajmo pobliže problem. I inače, razina ovog zadatka sasvim je u skladu sa samostalnim i kontrolnim radom na ovu temu u 8. razredu.

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Riješenje. Pomicanje svega ulijevo:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Prije nego što oba razlomka dovedemo do zajedničkog nazivnika, te nazivnike rastavljamo na faktore. Odjednom će izaći iste zagrade? S prvim nazivnikom je lako:

\[((x)^(2))+8x-9=\lijevo(x-1 \desno)\lijevo(x+9 \desno)\]

Drugi je malo teži. Slobodno dodajte konstantni množitelj u zagradu gdje je razlomak pronađen. Zapamtite: izvorni polinom imao je cjelobrojne koeficijente, pa je vrlo vjerojatno da će faktorizacija također imati cjelobrojne koeficijente (zapravo, uvijek će imati, osim kada je diskriminant iracionalan).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\lijevo(x-1 \desno)\lijevo(3x-2 \desno) \end(poravnati)\]

Kao što vidite, postoji uobičajena zagrada: $\left(x-1 \right)$. Vraćamo se na nejednakost i dovodimo oba razlomka na zajednički nazivnik:

\[\begin(poravnati) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ lijevo(3x-2\desno))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\lijevo(3x-2 \desno))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(poravnati)\]

Postavite nazivnik na nulu:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( uskladiti)\]

Bez višestrukosti i bez podudarnih korijena. Na pravoj liniji označavamo četiri broja:

Postavljamo znakove:

Zapisujemo odgovor.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;-9 \desno)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \desno)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ desno)$.

Sve! Tako sam pročitao do ovog retka. :)

U članku ćemo razmotriti rješenje nejednačina. Razgovarajmo otvoreno o tome kako izgraditi rješenje za nejednakosti sa jasnim primjerima!

Prije razmatranja rješenja nejednadžbi s primjerima, pozabavimo se osnovnim pojmovima.

Uvod u nejednakosti

nejednakost naziva se izraz u kojem su funkcije povezane znakovima relacija >, . Nejednakosti mogu biti i numeričke i abecedne.
Nejednakosti s dva znaka odnosa nazivaju se dvostrukim, s tri - trostrukim itd. Na primjer:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nejednadžbe koje sadrže znak > ili ili nisu stroge.
Rješenje nejednakosti je bilo koja vrijednost varijable za koju je ta nejednakost istinita.
"Riješite nejednakost" znači da trebate pronaći skup svih njegovih rješenja. Ima ih raznih metode rješavanja nejednačina. Za rješenja nejednakosti koristiti brojevni pravac koji je beskonačan. Na primjer, rješavanje nejednakosti x > 3 je interval od 3 do +, a broj 3 nije uključen u taj interval, pa je točka na pravoj označena praznim krugom, jer nejednakost je stroga.
+
Odgovor će biti: x (3; +).
Vrijednost x=3 nije uključena u skup rješenja, pa je zagrada okrugla. Znak beskonačnosti je uvijek u zagradi. Znak znači "pripadanje".
Razmislite kako riješiti nejednakosti koristeći drugi primjer sa predznakom:
x2
-+
Vrijednost x=2 uključena je u skup rješenja, pa se uglata zagrada i točka na liniji označavaju ispunjenim krugom.
Odgovor će biti: x

Jednostavno rečeno, modul je "broj bez minusa". I upravo u toj dvojnosti (negdje ne morate ništa učiniti s izvornim brojem, ali negdje morate ukloniti neki minus) i leži sva poteškoća za studente početnike.

Postoji i geometrijska definicija. Također ga je korisno znati, ali ćemo se na njega pozivati ​​samo u složenim i nekim posebnim slučajevima, gdje je geometrijski pristup prikladniji od algebarskog (spoiler: ne danas).

Definicija. Neka je točka $a$ označena na realnoj liniji. Zatim modul $\left| x-a \right|$ je udaljenost od točke $x$ do točke $a$ na ovoj liniji.

Ako nacrtate sliku, dobit ćete nešto poput ovoga:

Definicija grafičkog modula

Na ovaj ili onaj način, njegovo ključno svojstvo odmah slijedi iz definicije modula: modul broja je uvijek nenegativna vrijednost. Ova činjenica bit će crvena nit koja se provlači kroz cijelu našu današnju priču.

Rješenje nejednačina. Metoda razmaka

Sada se pozabavimo nejednakostima. Ima ih jako puno, ali naša je zadaća sada moći riješiti barem najjednostavnije od njih. One koje se svode na linearne nejednakosti, kao i na metodu intervala.

Imam dva velika tutorijala na ovu temu (usput, vrlo, JAKO korisna - preporučujem proučavanje):

1. Intervalna metoda za nejednakosti (posebno pogledajte video);
2. Razlomno-racionalne nejednakosti vrlo su opsežna lekcija, ali nakon nje više nećete imati pitanja.

Ako sve ovo znate, ako vas fraza "prijeđimo s nejednakosti na jednadžbu" ne tjera na maglovitu želju da se ubijete o zid, onda ste spremni: dobrodošli u pakao na glavnu temu lekcije. :)

1. Nejednadžbe oblika "Modul manji od funkcije"

Ovo je jedan od najčešćih zadataka s modulima. Potrebno je riješiti nejednakost oblika:

\[\lijevo| f\desno| \ltg\]

Bilo što može djelovati kao funkcije $f$ i $g$, ali obično su to polinomi. Primjeri takvih nejednakosti:

\[\početi(poravnati) & \lijevo| 2x+3\desno| \ltx+7; \\ & \lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0; \\ & \lijevo| ((x)^(2))-2\lijevo| x \desno|-3 \desno| \lt 2. \\\end(poravnati)\]

Svi su riješeni doslovno u jednom redu prema shemi:

\[\lijevo| f\desno| \lt g\Strelica desno -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(poravnati) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(poravnati) \točno točno)\]

Lako je vidjeti da smo se riješili modula, ali umjesto toga dobivamo dvostruku nejednakost (ili, što je isto, sustav dviju nejednakosti). Ali ovaj prijelaz uzima u obzir apsolutno sve moguće probleme: ako je broj ispod modula pozitivan, metoda radi; ako je negativan, još uvijek radi; pa čak i s najneadekvatnijom funkcijom umjesto $f$ ili $g$, metoda će i dalje raditi.

Naravno, postavlja se pitanje: nije li lakše? Nažalost, ne možete. To je cijela poanta modula.

Ali dosta filozofiranja. Riješimo par problema:

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| 2x+3\desno| \ltx+7\]

Riješenje. Dakle, imamo klasičnu nejednakost oblika "modul je manji od" - čak se nema što transformirati. Radimo prema algoritmu:

\[\početi(poravnati) & \lijevo| f\desno| \lt g\Strelica desno -g \lt f \lt g; \\ & \lijevo| 2x+3\desno| \lt x+7\Strelica udesno -\lijevo(x+7 \desno) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\kraj (poravnati)\]

Nemojte žuriti otvarati zagrade kojima prethodi "minus": sasvim je moguće da ćete zbog žurbe napraviti uvredljivu pogrešku.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\lijevo\( \početak(poravnati) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\lijevo\( \početak(poravnati) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(poravnati) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(poravnati) \desno.\]

Problem je sveden na dvije elementarne nejednakosti. Njihova rješenja bilježimo na paralelnim realnim pravima:

Raskrižje mnogih

Presjek ovih skupova bit će odgovor.

Odgovor: $x\in \lijevo(-\frac(10)(3);4 \desno)$

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0\]

Riješenje. Ovaj zadatak je malo teži. Za početak, izoliramo modul pomicanjem drugog člana udesno:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]

Očito, opet imamo nejednakost u obliku "modul je manji", pa se modula rješavamo prema već poznatom algoritmu:

\[-\lijevo(-3\lijevo(x+1 \desno) \desno) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]

Pažnja: netko će reći da sam ja pomalo perverznjak sa svim ovim zagradama. Ali još jednom vas podsjećam da je naš ključni cilj točno riješiti nejednakost i dobiti odgovor. Kasnije, kada savršeno savladate sve što je opisano u ovoj lekciji, možete se izopačiti kako želite: otvarati zagrade, dodavati minuse itd.

I za početak, samo se riješimo dvostrukog minusa s lijeve strane:

\[-\left(-3\left(x+1 \desno) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\lijevo(x+1\desno)\]

Sada otvorimo sve zagrade u dvostrukoj nejednadžbi:

Prijeđimo na dvostruku nejednakost. Ovaj put će izračuni biti ozbiljniji:

\[\lijevo\( \begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( poravnati)\desno.\]

Obje nejednakosti su kvadratne i rješavaju se intervalnom metodom (zato i kažem: ako ne znate što je to, bolje je da još ne preuzimate module). Prelazimo na jednadžbu u prvoj nejednadžbi:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\lijevo(x+5 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\kraj (poravnaj)\]

Kao što vidite, rezultat se pokazao kao nepotpuna kvadratna jednadžba, koja je elementarno riješena. Sada se pozabavimo drugom nejednakošću sustava. Tu morate primijeniti Vietin teorem:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \lijevo(x-3 \desno)\lijevo(x+2 \desno)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\kraj (poravnaj)\]

Dobivene brojeve označavamo na dvije paralelne linije (odvojeno za prvu nejednakost i odvojeno za drugu):

Opet, budući da rješavamo sustav nejednakosti, zanima nas presjek zasjenjenih skupova: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ovo je odgovor.

Odgovor: $x\in \lijevo(-5;-2 \desno)$

Mislim da je nakon ovih primjera shema rješenja vrlo jasna:

1. Izolirajte modul pomicanjem svih ostalih pojmova na suprotnu stranu nejednakosti. Tako dobivamo nejednakost oblika $\left| f\desno| \ltg$.
2. Riješite ovu nejednakost tako da se riješite modula kako je gore opisano. U nekom trenutku bit će potrebno prijeći s dvostruke nejednadžbe na sustav dva neovisna izraza od kojih se svaki već može zasebno rješavati.
3. Konačno, ostaje samo križati rješenja ova dva nezavisna izraza – i to je to, dobit ćemo konačan odgovor.

Sličan algoritam postoji za nejednakosti sljedećeg tipa, kada je modul veći od funkcije. Međutim, postoji nekoliko ozbiljnih "ali". Sada ćemo razgovarati o tim "ali".

2. Nejednakosti oblika "Modul je veći od funkcije"

izgledaju ovako:

\[\lijevo| f\desno| \gt g\]

Slično prethodnom? Izgleda kao. Ipak, takvi se zadaci rješavaju na potpuno drugačiji način. Formalno, shema je sljedeća:

\[\lijevo| f\desno| \gt g\Strelica udesno \left[ \begin(poravnati) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(poravnati) \desno.\]

Drugim riječima, razmatramo dva slučaja:

1. Prvo, jednostavno zanemarimo modul - rješavamo uobičajenu nejednakost;
2. Tada, zapravo, otvaramo modul sa predznakom minus, a zatim oba dijela nejednadžbe pomnožimo sa −1, sa predznakom.

U ovom slučaju, opcije se kombiniraju s uglastim zagradama, t.j. Imamo kombinaciju dva zahtjeva.

Obratite pažnju još jednom: pred nama nije sustav, nego agregat, dakle u odgovoru se skupovi kombiniraju, a ne sijeku. Ovo je temeljna razlika u odnosu na prethodni paragraf!

Općenito, mnogi studenti imaju veliku zbrku sa sindikatima i raskrižjima, pa pogledajmo ovo pitanje jednom zauvijek:

• "∪" je znak spajanja. Zapravo se radi o stiliziranom slovu "U", koje nam je došlo iz engleskog jezika i skraćenica je za "Union", t.j. "Udruge".
• "∩" je znak raskrižja. Ovo sranje nije došlo niotkuda, već se samo pojavilo kao opozicija "∪".

Da bi bilo još lakše zapamtiti, samo dodajte noge ovim znakovima kako biste napravili naočale (samo me nemojte optuživati ​​da sada promičem ovisnost o drogama i alkoholizmu: ako ozbiljno proučavate ovu lekciju, onda ste već ovisnik o drogama):

Razlika između presjeka i unije skupova

Prevedeno na ruski, to znači sljedeće: unija (kolekcija) uključuje elemente iz oba skupa, dakle, ne manje od svakog od njih; ali raskrižje (sustav) uključuje samo one elemente koji su i u prvom skupu i u drugom. Stoga, presjek skupova nikada nije veći od izvornih skupova.

Pa je postalo jasnije? To je odlično. Idemo dalje na praksu.

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\]

Riješenje. Djelujemo prema shemi:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\Strelica desno \lijevo[ \početak(poravnati) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\lijevo(5-4x \desno) \\\end(poravnati) \ pravo.\]

Rješavamo svaku populacijsku nejednakost:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(poravnati) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Svaki rezultirajući skup označavamo na brojevnoj liniji, a zatim ih kombiniramo:

Unija skupova

Očito je odgovor $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odgovor: $x\in \lijevo(\frac(4)(7);+\infty \desno)$

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gtx\]

Riješenje. Dobro? Ne, sve je isto. Od nejednadžbe s modulom prelazimo na skup dviju nejednakosti:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\Strelica desno \levo[ \begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\kraj (poravnaj) \desno.\]

Rješavamo svaku nejednakost. Nažalost, korijeni tamo neće biti jako dobri:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\kraj (poravnaj)\]

U drugoj nejednakosti ima i malo igre:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\kraj (poravnaj)\]

Sada ove brojeve trebamo označiti na dvije osi - jednu os za svaku nejednakost. Međutim, morate označiti točke ispravnim redoslijedom: što je broj veći, to se točka dalje pomiče udesno.

I ovdje čekamo postavljanje. Ako je sve jasno s brojevima $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (članovi u brojniku prvog razlomak su manji od članova u brojniku drugog , pa je i zbroj manji), s brojevima $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ također neće biti poteškoća (pozitivan broj očito negativniji), ali s zadnjim parom sve nije tako jednostavno. Što je veće: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ili $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Raspored točaka na brojevnim pravcima i, zapravo, odgovor ovisit će o odgovoru na ovo pitanje.

Pa da usporedimo:

\[\begin(matrica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]

Izolirali smo korijen, dobili nenegativne brojeve na obje strane nejednakosti, tako da imamo pravo kvadrirati obje strane:

\[\begin(matrica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]

Mislim da nije pametno da $4\sqrt(13) \gt 3$, dakle $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, konačno će točke na osi biti raspoređene ovako:

Slučaj ružnih korijena

Podsjetim da rješavamo skup, pa će odgovor biti unija, a ne sjecište zasjenjenih skupova.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \desno)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\desno)$

Kao što vidite, naša shema izvrsno funkcionira i za jednostavne i za vrlo teške zadatke. Jedina "slaba točka" u ovom pristupu je da trebate ispravno usporediti iracionalne brojeve (i vjerujte mi: to nisu samo korijeni). Ali posebna (i vrlo ozbiljna lekcija) bit će posvećena pitanjima usporedbe. I idemo dalje.

3. Nejednakosti s nenegativnim "repovima"

Tako smo došli do najzanimljivijeg. To su nejednakosti oblika:

\[\lijevo| f\desno| \gt\lijevo| g\desno|\]

Općenito govoreći, algoritam o kojem ćemo sada govoriti vrijedi samo za modul. Radi u svim nejednačinama gdje su zajamčeni nenegativni izrazi s lijeve i desne strane:

Što učiniti s tim zadacima? Samo zapamti:

U nejednakostima s nenegativnim repovima obje se strane mogu podići na bilo koju prirodnu moć. Neće biti dodatnih ograničenja.

Prije svega, zanimat će nas kvadratura - spaljuje module i korijene:

\[\begin(poravnati) & ((\lijevo(\lijevo| f \desno| \desno))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\lijevo(\sqrt(f) \desno))^(2))=f. \\\kraj (poravnaj)\]

Samo nemojte ovo brkati s uzimanjem korijena kvadrata:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\lijevo| f \desno|\ne f\]

Napravljene su bezbrojne pogreške kada je student zaboravio instalirati modul! Ali ovo je sasvim druga priča (to su, takoreći, iracionalne jednadžbe), pa nećemo sada ulaziti u to. Bolje da riješimo nekoliko problema:

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| x+2 \desno|\ge \lijevo| 1-2x \desno|\]

Riješenje. Odmah primjećujemo dvije stvari:

1. Ovo je nestroga nejednakost. Točke na brojevnoj liniji bit će izbušene.
2. Obje strane nejednakosti očito su nenegativne (ovo je svojstvo modula: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Stoga možemo kvadrirati obje strane nejednadžbe da bismo se riješili modula i riješili problem koristeći uobičajenu intervalnu metodu:

\[\begin(poravnati) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\lijevo(x+2 \desno))^(2))\ge ((\lijevo(2x-1 \desno))^(2)). \\\kraj (poravnaj)\]

U zadnjem koraku sam se malo prevario: promijenio sam slijed pojmova, koristeći paritet modula (zapravo, pomnožio sam izraz $1-2x$ s −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ desno)\desno)\le 0; \\ & \lijevo(2x-1-x-2 \desno)\cdot \lijevo(2x-1+x+2 \desno)\le 0; \\ & \left(x-3 \desno)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rješavamo metodom intervala. Prijeđimo s nejednakosti na jednadžbu:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\kraj (poravnaj)\]

Pronađene korijene označavamo na brojevnoj liniji. Još jednom: sve točke su zasjenjene jer izvorna nejednakost nije stroga!

Riješite se znaka modula

Podsjetim za posebno tvrdoglave: uzimamo predznake iz posljednje nejednadžbe, koja je zapisana prije nego što se prijeđe na jednadžbu. I slikamo preko područja potrebnih u istoj nejednakosti. U našem slučaju, ovo je $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Pa to je sve. Problem riješen.

Odgovor: $x\in \lijevo[ -\frac(1)(3);3 \desno]$.

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| ((x)^(2))+x+1 \desno|\le \lijevo| ((x)^(2))+3x+4 \desno|\]

Riješenje. Sve radimo isto. Neću komentirati - samo pogledajte slijed radnji.

Kvadratirajmo:

\[\begin(poravnati) & ((\lijevo(\lijevo| ((x)^(2))+x+1 \desno| \desno))^(2))\le ((\lijevo(\lijevo | ((x)^(2))+3x+4 \desno| \desno))^(2)); \\ & ((\lijevo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))\le ((\lijevo(((x)^(2))+3x+4 \desno))^(2)); \\ & ((\lijevo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))-((\lijevo(((x)^(2))+3x+4 \ desno))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \desno)\puta \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \desno)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \desno)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda razmaka:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Desna strelica x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Strelica desno D=16-40 \lt 0\Strelica desno \varnothing . \\\kraj (poravnaj)\]

Na brojevnoj liniji postoji samo jedan korijen:

Odgovor je cijeli niz

Odgovor: $x\in \lijevo[ -1,5;+\infty \desno)$.

Mala napomena o zadnjem zadatku. Kao što je jedan od mojih učenika točno primijetio, oba izraza podmodula u ovoj nejednakosti očito su pozitivna, pa se znak modula može izostaviti bez štete po zdravlje.

Ali to je već sasvim druga razina razmišljanja i drugačiji pristup – uvjetno se može nazvati metodom posljedica. O njemu - u zasebnoj lekciji. A sada prijeđimo na završni dio današnje lekcije i razmotrimo univerzalni algoritam koji uvijek radi. Čak i kada su svi dosadašnji pristupi bili nemoćni. :)

4. Način nabrajanja opcija

Što ako svi ovi trikovi ne uspiju? Ako se nejednakost ne svodi na nenegativne repove, ako je nemoguće izolirati modul, ako uopće bol-tuga-čežnja?

Tada na scenu stupa “teška artiljerija” sve matematike – metoda prebrojavanja. S obzirom na nejednakosti s modulom, to izgleda ovako:

1. Napišite sve izraze podmodula i izjednačite ih s nulom;
2. Riješite dobivene jednadžbe i na jednom brojevnom pravcu označite pronađene korijene;
3. Ravna linija će biti podijeljena na nekoliko dijelova, unutar kojih svaki modul ima fiksni predznak i stoga se nedvosmisleno širi;
4. Riješite nejednakost na svakom takvom odjeljku (možete zasebno razmotriti granične korijene dobivene u stavku 2 - radi pouzdanosti). Kombinirajte rezultate - ovo će biti odgovor. :)

Pa, kako? Slab? Lako! Samo na dulje vrijeme. Pogledajmo u praksi:

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| x+2 \desno| \lt\lijevo| x-1 \desno|+x-\frac(3)(2)\]

Riješenje. Ovo sranje se ne svodi na nejednakosti poput $\left| f\desno| \lt g$, $\lijevo| f\desno| \gt g$ ili $\lijevo| f\desno| \lt\lijevo| g \right|$, pa idemo naprijed.

Zapisujemo izraze podmodula, izjednačavamo ih s nulom i pronalazimo korijene:

\[\begin(align) & x+2=0\Strelica desno x=-2; \\ & x-1=0\Strelica desno x=1. \\\kraj (poravnaj)\]

Ukupno imamo dva korijena koja dijele brojevnu liniju na tri dijela, unutar kojih se svaki modul otkriva na jedinstven način:

Dijeljenje brojevnog pravca nulama submodularnih funkcija

Razmotrimo svaki odjeljak zasebno.

1. Neka je $x \lt -2$. Tada su oba izraza podmodula negativna, a izvorna nejednakost se prepisuje na sljedeći način:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(poravnati)\]

Dobili smo prilično jednostavno ograničenje. Presijecimo ga s izvornom pretpostavkom da je $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Strelica desno x\in \varnothing \]

Očito, varijabla $x$ ne može istovremeno biti manja od −2, ali veća od 1,5. U ovom području nema rješenja.

1.1. Razmotrimo odvojeno granični slučaj: $x=-2$. Zamijenimo ovaj broj u izvornu nejednakost i provjerimo: vrijedi li?

\[\begin(poravnaj) & ((\lijevo. \lijevo| x+2 \desno| \lt \left| x-1 \desno|+x-1,5 \desno|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \lijevo| -3 \desno|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Strelica desno \varništa . \\\kraj (poravnaj)\]

Očito nas je lanac izračuna doveo do pogrešne nejednakosti. Stoga je izvorna nejednakost također netočna, a $x=-2$ nije uključeno u odgovor.

2. Neka je sada $-2 \lt x \lt 1$. Lijevi modul će se već otvoriti s "plusom", ali desni je još uvijek s "minusom". Imamo:

\[\begin(poravnati) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(poravnati)\]

Opet se križamo s izvornim zahtjevom:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Strelica desno x\in \varnothing \]

I opet, prazan skup rješenja, budući da nema brojeva koji su manji od −2,5 i veći od −2.

2.1. I opet poseban slučaj: $x=1$. Zamjenjujemo u izvornu nejednakost:

\[\begin(poravnaj) & ((\lijevo. \lijevo| x+2 \desno| \lt \left| x-1 \desno|+x-1,5 \desno|)_(x=1)) \\ & \lijevo| 3\desno| \lt\lijevo| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Strelica desno \varništa . \\\kraj (poravnaj)\]

Slično kao u prethodnom "posebnom slučaju", broj $x=1$ očito nije uključen u odgovor.

3. Posljednji dio retka: $x \gt 1$. Ovdje su svi moduli prošireni znakom plus:

\[\početak(poravnati) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(poravnati)\ ]

I opet siječemo pronađeni skup s izvornim ograničenjem:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Strelica desno x\in \left(4,5;+\infty) \pravo)\]

Konačno! Pronašli smo interval, koji će biti odgovor.

Odgovor: $x\in \lijevo(4,5;+\infty \desno)$

Na kraju, jedna napomena koja bi vas mogla spasiti od glupih pogrešaka pri rješavanju stvarnih problema:

Rješenja nejednadžbi s modulima obično su neprekidni skupovi na brojevnoj liniji – intervali i segmenti. Izolirane točke su puno rjeđe. I još rjeđe, događa se da se granice rješenja (kraj segmenta) poklapaju s granicom raspona koji se razmatra.

Stoga, ako granice (ti vrlo “posebni slučajevi”) nisu uključene u odgovor, tada gotovo sigurno neće biti uključena ni područja lijevo-desno od ovih granica. I obrnuto: granica unesena kao odgovor, što znači da će neka područja oko nje također biti odgovori.

Imajte to na umu kada provjeravate svoja rješenja.

Nakon što smo dobili početne informacije o nejednakostima s varijablama, prelazimo na pitanje njihova rješenja. Analizirajmo rješenje linearnih nejednadžbi s jednom varijablom i sve metode za njihovo rješavanje s algoritmima i primjerima. Razmatrat će se samo linearne jednadžbe s jednom varijablom.

Što je linearna nejednakost?

Najprije morate definirati linearnu jednadžbu i saznati njezin standardni oblik i po čemu će se razlikovati od ostalih. Iz školskog predmeta imamo da nejednakosti nemaju temeljnu razliku, pa se mora koristiti nekoliko definicija.

Definicija 1

Linearna nejednakost s jednom varijablom x je nejednakost oblika a x + b > 0 kada se umjesto > koristi bilo koji znak nejednakosti< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definicija 2

Nejednadžbe a x< c или a · x >c , gdje je x varijabla, a a i c neki brojevi, zove se linearne nejednadžbe s jednom varijablom.

Budući da se ništa ne govori o tome može li koeficijent biti jednak 0 , onda je stroga nejednakost oblika 0 x > c i 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Njihove razlike su:

• oznaka a · x + b > 0 u prvom, a a · x > c – u drugom;
• dopuštenost nultog koeficijenta a , a ≠ 0 - u prvom i a = 0 - u drugom.

Vjeruje se da su nejednakosti a x + b > 0 i a x > c ekvivalentne, jer se dobivaju prenošenjem člana iz jednog dijela u drugi. Rješavanje nejednadžbe 0 · x + 5 > 0 dovest će do činjenice da će je trebati riješiti, a slučaj a = 0 neće raditi.

Definicija 3

Smatra se da su linearne nejednadžbe u jednoj varijabli x nejednakosti oblika a x + b< 0 , a · x + b >0 , a x + b ≤ 0 I a x + b ≥ 0, gdje su a i b realni brojevi. Umjesto x može postojati običan broj.

Na temelju pravila imamo da je 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1, 2 nazivaju se linearnim.

Kako riješiti linearnu nejednakost

Glavni način rješavanja takvih nejednakosti je korištenje ekvivalentnih transformacija za pronalaženje elementarnih nejednakosti x< p (≤ , >, ≥) , p je neki broj, za a ≠ 0 i oblika a< p (≤ , >, ≥) za a = 0 .

Za rješavanje nejednakosti s jednom varijablom možete primijeniti intervalnu metodu ili je prikazati grafički. Bilo koji od njih može se koristiti izolirano.

Korištenje ekvivalentnih transformacija

Za rješavanje linearne nejednakosti oblika a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , potrebno je primijeniti ekvivalentne transformacije nejednadžbe. Koeficijent može ili ne mora biti nula. Razmotrimo oba slučaja. Da pojasnimo, potrebno je pridržavati se sheme koja se sastoji od 3 točke: bit procesa, algoritam, samo rješenje.

Definicija 4

Algoritam za rješavanje linearne nejednadžbe a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0

• broj b će se prenijeti na desnu stranu nejednadžbe sa suprotnim predznakom, što će nam omogućiti da dođemo do ekvivalenta a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• oba dijela nejednakosti podijelit će se brojem koji nije jednak 0. Štoviše, kada je a pozitivan, predznak ostaje, kada je a negativan, mijenja se u suprotan.

Razmotrimo primjenu ovog algoritma na rješavanje primjera.

Primjer 1

Riješite nejednakost oblika 3 · x + 12 ≤ 0 .

Riješenje

Ova linearna nejednakost ima a = 3 i b = 12 . Dakle, koeficijent a od x nije jednak nuli. Primijenimo gornje algoritme i riješimo.

Potrebno je prenijeti član 12 na drugi dio nejednadžbe s promjenom predznaka ispred njega. Tada dobivamo nejednakost oblika 3 · x ≤ − 12 . Potrebno je oba dijela podijeliti sa 3. Predznak se neće promijeniti jer je 3 pozitivan broj. Dobivamo da (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , što će dati rezultat x ≤ − 4 .

Nejednakost oblika x ≤ − 4 je ekvivalentna. Odnosno, rješenje za 3 x + 12 ≤ 0 je svaki realni broj koji je manji ili jednak 4. Odgovor je zapisan kao nejednadžba x ≤ − 4, ili brojčani interval oblika (− ∞, − 4 ] .

Cijeli algoritam opisan gore je napisan na sljedeći način:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Odgovor: x ≤ − 4 ili (− ∞, − 4 ] .

Primjer 2

Navedite sva dostupna rješenja nejednadžbe − 2 , 7 · z > 0 .

Riješenje

Iz uvjeta vidimo da je koeficijent a na z jednak - 2, 7, a b eksplicitno odsutan ili jednak nuli. Ne možete koristiti prvi korak algoritma, ali odmah prijeđite na drugi.

Oba dijela jednadžbe dijelimo brojem - 2, 7. Budući da je broj negativan, potrebno je promijeniti predznak nejednakosti u suprotan. Odnosno, dobivamo da (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Cijeli algoritam zapisujemo u kratkom obliku:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Odgovor: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Primjer 3

Riješite nejednadžbu - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Riješenje

Prema uvjetu vidimo da je potrebno riješiti nejednakost s koeficijentom a za varijablu x, koji je jednak - 5, s koeficijentom b koji odgovara razlomku - 15 22 . Nejednakost je potrebno riješiti slijedeći algoritam, odnosno: premjestiti - 15 22 na drugi dio suprotnog predznaka, oba dijela podijeliti sa - 5, promijeniti predznak nejednakosti:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Na zadnjem prijelazu za desnu stranu koristi se pravilo za dijeljenje broja s različitim predznacima 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, nakon čega obični razlomak podijelimo prirodnim brojem - 15 22: 5 \ u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Odgovor: x ≥ - 3 22 i [ - 3 22 + ∞) .

Razmotrimo slučaj kada je a = 0. Linearni izraz oblika a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Sve se temelji na definiciji rješenja nejednakosti. Za bilo koju vrijednost x dobivamo brojčanu nejednakost oblika b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Sve prosudbe razmatramo u obliku algoritma za rješavanje linearnih nejednadžbi 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definicija 5

Brojčana nejednakost oblika b< 0 (≤ , >, ≥) je istina, tada izvorna nejednadžba ima rješenje za bilo koju vrijednost, a netočna kada izvorna nejednadžba nema rješenja.

Primjer 4

Riješite nejednakost 0 · x + 7 > 0 .

Riješenje

Ova linearna nejednakost 0 · x + 7 > 0 može poprimiti bilo koju vrijednost x . Tada dobivamo nejednakost oblika 7 > 0 . Posljednja se nejednakost smatra istinitom, pa bilo koji broj može biti njeno rješenje.

Odgovor: interval (− ∞ , + ∞) .

Primjer 5

Pronađite rješenje nejednadžbe 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Riješenje

Zamjenom varijable x za bilo koji broj, dobivamo da će nejednakost poprimiti oblik − 12 , 7 ≥ 0 . To je netočno. Odnosno, 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Razmotrimo rješenje linearnih nejednakosti, gdje su oba koeficijenta jednaka nuli.

Primjer 6

Odredite nerješivu nejednadžbu iz 0 · x + 0 > 0 i 0 · x + 0 ≥ 0 .

Riješenje

Prilikom zamjene bilo kojeg broja umjesto x, dobivamo dvije nejednakosti oblika 0 > 0 i 0 ≥ 0 . Prvi je netočan. To znači da 0 x + 0 > 0 nema rješenja, a 0 x + 0 ≥ 0 ima beskonačan broj rješenja, odnosno bilo koji broj.

Odgovor: nejednadžba 0 x + 0 > 0 nema rješenja, a 0 x + 0 ≥ 0 ima rješenja.

Ova metoda se razmatra u školskom kolegiju matematike. Intervalna metoda je sposobna riješiti različite vrste nejednakosti, uključujući one linearne.

Intervalna metoda se koristi za linearne nejednakosti kada vrijednost koeficijenta x nije jednaka 0 . Inače ćete morati izračunati drugom metodom.

Definicija 6

Metoda razmaka je:

• uvođenje funkcije y = a x + b ;
• traženje nula za podjelu domene definicije na intervale;
• određivanje znakova za pojam njih na intervalima.

Sastavimo algoritam za rješavanje linearnih jednadžbi a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0 koristeći intervalnu metodu:

• pronalaženje nula funkcije y = a · x + b za rješavanje jednadžbe oblika a · x + b = 0 . Ako je a ≠ 0, tada će rješenje biti jedini korijen koji će dobiti oznaku x 0;
• konstrukcija koordinatnog pravca sa slikom točke s koordinatom x 0, sa strogom nejednakošću, točka je označena probušenom, s nestrogom nejednakošću je zasjenjena;
• određivanje predznaka funkcije y = a x + b na intervalima, za to je potrebno pronaći vrijednosti funkcije u točkama na intervalu;
• rješenje nejednadžbe sa predznacima > ili ≥ na koordinatnoj liniji, šrafiranje se dodaje iznad pozitivnog razmaka,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja linearne nejednadžbe metodom intervala.

Primjer 6

Riješite nejednakost − 3 · x + 12 > 0 .

Riješenje

Iz algoritma slijedi da prvo trebate pronaći korijen jednadžbe − 3 · x + 12 = 0 . Dobivamo da je − 3 · x = − 12 , x = 4 . Potrebno je prikazati koordinatnu liniju, gdje označavamo točku 4. Bit će probijen jer je nejednakost stroga. Razmotrite crtež u nastavku.

Potrebno je odrediti znakove na intervalima. Da bismo ga odredili na intervalu (− ∞ , 4) , potrebno je izračunati funkciju y = − 3 · x + 12 za x = 3 . Odavde dobivamo da je − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Znak na razmaku je pozitivan.

Određujemo znak iz intervala (4, + ∞), zatim zamjenjujemo vrijednost x \u003d 5. Imamo − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Rješenje nejednadžbe izvodimo sa predznakom > , a šrafiranje se izvodi preko pozitivnog razmaka. Razmotrite crtež u nastavku.

Iz crteža se vidi da željeno rješenje ima oblik (− ∞ , 4) ili x< 4 .

Odgovor: (− ∞ , 4) ili x< 4 .

Da bismo razumjeli grafički prikaz, potrebno je kao primjer razmotriti 4 linearne nejednadžbe: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 i 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Njihova rješenja bit će x< 2 , x ≤ 2 , x >2 i x ≥ 2 . Da biste to učinili, nacrtajte graf linearne funkcije y = 0 , 5 · x − 1 ispod.

To je jasno

Definicija 7

• rješenje nejednadžbe 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• rješenje 0 , 5 x − 1 ≤ 0 je interval u kojem je funkcija y = 0 , 5 x − 1 ispod 0 x ili se podudara;
• rješenjem 0 , 5 x − 1 > 0 smatra se interval, gdje se funkcija nalazi iznad O x;
• rješenje 0 , 5 x − 1 ≥ 0 je interval u kojem je graf viši od O x ili se podudara.

Smisao grafičkog rješenja nejednakosti je pronaći praznine, koje moraju biti prikazane na grafikonu. U ovom slučaju dobivamo da lijeva strana ima y = a x + b, a desna ima y = 0, i podudara se s oko x.

Definicija 8

Izvodi se crtanje funkcije y = a x + b:

• dok se rješava nejednadžba a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• pri rješavanju nejednadžbe a x + b ≤ 0 određuje se interval gdje se graf prikazuje ispod osi O x ili se podudara;
• pri rješavanju nejednadžbe a x + b > 0 određuje se interval gdje je graf prikazan iznad O x;
• pri rješavanju nejednadžbe a x + b ≥ 0 određuje se interval gdje je graf iznad O x ili se poklapa.

Primjer 7

Riješite nejednadžbu - 5 · x - 3 > 0 pomoću grafa.

Riješenje

Potrebno je izgraditi graf linearne funkcije - 5 · x - 3 > 0 . Ova linija se smanjuje jer je koeficijent od x negativan. Da bismo odredili koordinate točke njezina sjecišta s O x - 5 · x - 3 > 0, dobivamo vrijednost - 3 5 . Nacrtajmo ga grafikonom.

Rješenje nejednadžbe sa predznakom >, tada trebate obratiti pažnju na interval iznad O x. Potreban dio aviona označimo crvenom bojom i dobijemo to

Potreban razmak je O x dio crvene boje. Dakle, otvorena brojevna zraka - ∞ , - 3 5 bit će rješenje nejednadžbe. Ako bi po uvjetu imali nestrogu nejednakost, tada bi vrijednost boda - 3 5 također bila rješenje nejednakosti. I poklopilo bi se s O x.

Odgovor: - ∞ , - 3 5 ili x< - 3 5 .

Grafičko rješenje se koristi kada će lijeva strana odgovarati funkciji y = 0 x + b , odnosno y = b . Tada će pravac biti paralelan s O x ili se podudarati na b \u003d 0. Ovi slučajevi pokazuju da nejednakost možda nema rješenja, ili bilo koji broj može biti rješenje.

Primjer 8

Odredi iz nejednadžbi 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Riješenje

Prikaz y = 0 x + 7 je y = 7 , tada će se dati koordinatna ravnina s ravnom linijom koja je paralelna s O x i iznad O x. Dakle 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Graf funkcije y \u003d 0 x + 0 smatra se y = 0, odnosno linija se podudara s O x. Dakle, nejednadžba 0 · x + 0 ≥ 0 ima mnogo rješenja.

Odgovor: druga nejednadžba ima rješenje za bilo koju vrijednost x .

Linearne nejednakosti

Rješenje nejednadžbi može se svesti na rješenje linearne jednadžbe, koje se nazivaju linearne nejednadžbe.

Te su nejednakosti razmatrane u školskom kolegiju, jer su bile poseban slučaj rješavanja nejednakosti, što je dovelo do otvaranja zagrada i svođenja sličnih pojmova. Na primjer, uzmimo da je 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Gore navedene nejednakosti uvijek se svode na oblik linearne jednadžbe. Nakon toga se otvaraju zagrade i daju se slični pojmovi, prenose iz različitih dijelova, mijenjajući predznak u suprotan.

Kada se nejednadžba 5 − 2 x > 0 reducira na linearnu, predstavljamo je na način da ima oblik − 2 x + 5 > 0 , a da bismo drugu reducirali, dobivamo 7 (x − 1 ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Potrebno je otvoriti zagrade, donijeti slične pojmove, sve pojmove pomaknuti na lijevu stranu i donijeti slične pojmove. izgleda ovako:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Time se rješenje dovodi do linearne nejednakosti.

Ove se nejednadžbe smatraju linearnim, budući da imaju isti princip rješenja, nakon čega ih je moguće svesti na elementarne nejednadžbe.

Za rješavanje ove vrste nejednakosti ove vrste potrebno ju je svesti na linearnu. To bi trebalo učiniti ovako:

Definicija 9

• otvorene zagrade;
• prikupiti varijable s lijeve strane, a brojeve s desne strane;
• donijeti slične uvjete;
• podijeliti oba dijela koeficijentom x .

Primjer 9

Riješite nejednadžbu 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Riješenje

Proširujemo zagrade, tada dobivamo nejednakost oblika 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Nakon smanjenja sličnih članova, imamo da je 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Nakon pomicanja članova s ​​lijeva na desno, dobivamo da je 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Dakle, ima nejednakost oblika 32 ≤ 0 iz rezultata dobivenog u proračunu 0 · x + 32 ≤ 0 . Vidi se da je nejednakost netočna, što znači da nejednakost dana uvjetom nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Vrijedi napomenuti da postoje mnoge nejednakosti druge vrste, koje se mogu svesti na linearnu ili na nejednakost gore prikazane. Na primjer, 5 2 x − 1 ≥ 1 je eksponencijalna jednadžba koja se svodi na linearno rješenje 2 · x − 1 ≥ 0 . Ovi slučajevi će se uzeti u obzir pri rješavanju nejednakosti ovog tipa.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter