Rješenje nejednadžbi metodom intervala. Rješavanje kvadratnih nejednadžbi metodom intervala

Intervalna metoda se smatra univerzalnom za rješavanje nejednakosti. Ponekad se ova metoda naziva i metoda razmaka. Može se koristiti i za rješavanje racionalnih nejednakosti s jednom varijablom i za nejednakosti drugih vrsta. U našem materijalu pokušali smo obratiti pozornost na sve aspekte problematike.

Što vas čeka u ovoj rubrici? Analizirat ćemo metodu jaza i razmotriti algoritme za rješavanje nejednakosti pomoću nje. Dodirnimo se teorijski aspekti na kojima se temelji primjena metode.

Posebnu pozornost posvećujemo nijansama teme, koje obično nisu obrađene u školski kurikulum. Na primjer, razmotrite pravila za postavljanje znakova na intervale i metodu intervala u opći pogled bez povezivanja s racionalnim nejednakostima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritam

Tko se sjeća kako je metoda gap uvedena u školski tečaj algebre? Obično sve počinje rješavanjem nejednakosti oblika f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >ili ≥). Ovdje f(x) može biti polinom ili omjer polinoma. Polinom se, pak, može predstaviti kao:

umnožak linearnih binoma s koeficijentom 1 za varijablu x;
umnožak kvadratnih trinoma s vodećim koeficijentom 1 i s negativnim diskriminantom njihovih korijena.

Evo nekoliko primjera takvih nejednakosti:

(x + 3) (x 2 − x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0 ,

(x − 5) (x + 5) ≤ 0 ,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

Pišemo algoritam za rješavanje nejednakosti ove vrste, kao što smo dali u primjerima, koristeći metodu intervala:

nalazimo nule brojnika i nazivnika, za to izjednačavamo brojnik i nazivnik izraza na lijevoj strani nejednadžbe s nulom i rješavamo rezultirajuće jednadžbe;
odrediti točke koje odgovaraju pronađenim nulama i označiti ih crticama na koordinatnoj osi;
definirati znakove izraza f(x) s lijeve strane riješene nejednadžbe na svakom intervalu i staviti ih na graf;
primijenite šrafiranje preko željenih dijelova grafikona, vođeni sljedeće pravilo: u slučaju da nejednakost ima predznake< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >ili ≥ , zatim zasjenjenjem odabiremo područja označena znakom “+”.

Crtež s kojim ćemo raditi može imati shematski prikaz. Prekomjerni detalji mogu preopteretiti crtež i otežati odluku. Malo će nas zanimati opseg. Bit će dovoljno zalijepiti se ispravno mjesto točke kako se vrijednosti njihovih koordinata povećavaju.

Kada radimo sa strogim nejednadžbama, koristit ćemo oznaku točke u obliku kružnice s nepopunjenim (praznim) središtem. U slučaju nestrogih nejednakosti točke koje odgovaraju nulama nazivnika bit će prikazane kao prazne, a sve ostale kao obične crne.

Označene točke dijele koordinatni pravac na nekoliko brojčanih intervala. To nam omogućuje da dobijemo geometrijski prikaz skupa brojeva, koji je zapravo rješenje zadane nejednadžbe.

Znanstvena osnova metode jaza

Pristup koji leži u osnovi intervalne metode temelji se na sljedećem svojstvu kontinuirane funkcije: funkcija zadržava konstantan predznak na intervalu (a, b) na kojem je ova funkcija kontinuirana i ne nestaje. Isto svojstvo je tipično za brojevne zrake(−∞ , a) i (a , +∞).

Navedeno svojstvo funkcije potvrđuje Bolzano-Cauchyjev teorem, koji je dan u mnogim priručnicima za pripremu za prijemne ispite.

Također je moguće opravdati postojanost predznaka na intervalima na temelju svojstava brojevnih nejednakosti. Na primjer, uzmimo nejednakost x - 5 x + 1 > 0 . Ako pronađemo nule brojnika i nazivnika i stavimo ih na brojevnu pravu, dobivamo niz praznina: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) i (5 , + ∞) .

Uzmimo bilo koji od intervala i na njemu pokažimo da će na cijelom intervalu izraz s lijeve strane nejednadžbe imati konstantan predznak. Neka je to interval (− ∞ , − 1) . Uzmimo bilo koji broj t iz ovog intervala. Zadovoljit će uvjete t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Koristeći i dobivene nejednadžbe i svojstvo brojčanih nejednakosti, možemo pretpostaviti da je t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t na intervalu (− ∞ , − 1) .

Koristeći pravilo za dijeljenje negativnih brojeva, možemo tvrditi da će vrijednost izraza t - 5 t + 1 biti pozitivna. To znači da će vrijednost izraza x - 5 x + 1 biti pozitivna za bilo koju vrijednost x iz jaza (− ∞ , − 1) . Sve to nam omogućuje da tvrdimo da na intervalu uzetom kao primjer, izraz ima konstantan predznak. U našem slučaju, ovo je znak "+".

Pronalaženje nula brojnika i nazivnika

Algoritam za pronalaženje nula je jednostavan: izraze iz brojnika i nazivnika izjednačavamo s nulom i rješavamo rezultirajuće jednadžbe. Ako imate bilo kakvih poteškoća, možete se obratiti na temu "Rješavanje jednadžbi faktoringom". U ovom odjeljku ograničavamo se na primjer.

Razmotrimo razlomak x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Da bismo pronašli nule brojnika i nazivnika, izjednačavamo ih s nulom kako bismo dobili i riješili jednadžbe: x (x − 0, 6) = 0 i x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

U prvom slučaju možemo prijeći na skup dviju jednadžbi x = 0 i x − 0 , 6 = 0 , što nam daje dva korijena 0 i 0 , 6 . To su nule brojnika.

Druga jednadžba je ekvivalentna skupu od tri jednadžbe x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Provodimo niz transformacija i dobivamo x = 0, x 2 + 2 x + 7 = 0, x + 5 = 0. Korijen prve jednadžbe je 0, druge jednadžbe nema korijena, budući da ima negativan diskriminant, korijen treće jednadžbe je 5. To su nule nazivnika.

0 u ovom slučaju je i nula brojnika i nula nazivnika.

Općenito, kada se na lijevoj strani nejednadžbe nalazi razlomak, koji nije nužno racionalan, brojnik i nazivnik se također izjednačavaju s nulom kako bi se dobile jednadžbe. Rješavanje jednadžbi omogućuje vam da pronađete nule brojnika i nazivnika.

Određivanje predznaka intervala je jednostavno. Da biste to učinili, možete pronaći vrijednost izraza s lijeve strane nejednakosti za bilo koju proizvoljno odabranu točku iz zadanog intervala. Rezultirajući predznak vrijednosti izraza u proizvoljno odabranoj točki intervala poklopit će se sa predznakom cijelog intervala.

Pogledajmo ovu izjavu s primjerom.

Uzmimo nejednakost x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . Izraz koji se nalazi na lijevoj strani nejednadžbe nema nule u brojniku. Nulti nazivnik bit će broj - 3 . Dobivamo dvije praznine na brojevnoj liniji (− ∞ , − 3) i (− 3 , + ∞) .

Da bismo odredili predznake intervala, izračunavamo vrijednost izraza x 2 - x + 4 x + 3 za točke koje se uzimaju proizvoljno na svakom od intervala.

Od prvog intervala (− ∞ , − 3) uzeti - 4 . Na x = -4 imamo (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Dobili smo negativno značenje, pa će cijeli interval biti sa znakom "-".

Za raspon (− 3 , + ∞) izvršimo izračune s točkom koja ima nultu koordinatu. Za x = 0 imamo 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Dobili smo pozitivnu vrijednost, što znači da će cijeli interval imati predznak “+”.

Možete koristiti drugi način za definiranje znakova. Da bismo to učinili, možemo pronaći znak na jednom od intervala i spremiti ga ili promijeniti prilikom prolaska kroz nulu. Da bismo sve učinili ispravno, potrebno je slijediti pravilo: pri prolasku kroz nulu nazivnika, ali ne i brojnika, ili brojnika, ali ne i nazivnika, možemo promijeniti predznak u suprotan ako je stupanj od izraz koji daje ovu nulu je neparan i ne možemo promijeniti predznak ako je stupanj paran. Ako smo dobili točku koja je i brojnik i nazivnik nula, tada je moguće promijeniti predznak u suprotan samo ako je zbroj potencija izraza koji daju ovu nulu neparan.

Ako se prisjetimo nejednakosti koju smo razmatrali na početku prvog odlomka ovog materijala, tada na krajnjem desnom intervalu možemo staviti znak "+".

Sada se okrenimo primjerima.

Uzmite nejednakost (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 i riješite je metodom intervala. Da bismo to učinili, moramo pronaći nule brojnika i nazivnika i označiti ih na koordinatnoj liniji. Nule brojnika bit će točke 2 , 3 , 4 , nazivnik točke 1 , 3 , 4 . Označavamo ih na koordinatnoj osi crticama.

Nule nazivnika označene su praznim točkama.

Budući da imamo posla s nestrogom nejednakošću, preostale crtice zamjenjujemo običnim točkama.

Sada stavimo točke na intervale. Krajnji desni raspon (4, +∞) bit će znak +.

Krećući se s desna na lijevo, označit ćemo preostale praznine. Prolazimo kroz točku s koordinatom 4. To je i nula brojnika i nazivnika. Sve u svemu, ove nule daju izraze (x − 4) 2 i x − 4. Zbrajamo njihove potencije 2 + 1 = 3 i dobivamo neparan broj. To znači da se predznak u prijelazu u ovom slučaju mijenja u suprotan. Na intervalu (3, 4) bit će znak minus.

Do intervala (2, 3) prelazimo kroz točku s koordinatom 3. Ovo je također nula i za brojnik i za nazivnik. Dobili smo ga zahvaljujući dvama izrazima (x − 3) 3 i (x − 3) 5, čiji je zbroj potencija 3 + 5 = 8 . Dobivanje parnog broja omogućuje nam da predznak intervala ostavimo nepromijenjen.

Točka s koordinatom 2 je nula brojnika. Stupanj izraza x - 2 jednak je 1 (neparan). To znači da prilikom prolaska kroz ovu točku znak mora biti obrnut.

Ostaje nam zadnji interval (− ∞ , 1) . Točka s koordinatom 1 je nulti nazivnik. Nastao je iz izraza (x − 1) 4, s ravnomjernim stupnjem 4 . Dakle, znak ostaje isti. Konačni crtež će izgledati ovako:

Uporaba intervalne metode posebno je učinkovita u slučajevima kada je izračunavanje vrijednosti izraza povezano s velikom količinom posla. Primjer bi bila potreba za procjenom vrijednosti izraza

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

u bilo kojoj točki intervala 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .

A sada primijenimo stečena znanja i vještine u praksi.

Primjer 1

Riješite nejednadžbu (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 .

Odluka

Za rješavanje nejednakosti preporučljivo je primijeniti metodu intervala. Pronađite nule brojnika i nazivnika. Nule brojnika su 1 i - 5 , nule nazivnika su 7 i 1 . Označimo ih na brojevnoj liniji. Radimo s nestrogom nejednakošću, pa ćemo nule nazivnika označiti praznim točkama, nulu brojnika - 5 ćemo označiti pravilnom popunjenom točkom.

Zapisujemo znakove praznina koristeći pravila za promjenu predznaka pri prolasku kroz nulu. Počnimo s krajnjim desnim intervalom, za koji izračunavamo vrijednost izraza s lijeve strane nejednadžbe u točki proizvoljno uzetoj iz intervala. Dobivamo znak "+". Prođimo uzastopce kroz sve točke na koordinatnoj liniji, postavljajući znakove, i dobićemo:

Radimo s nestrogom nejednakošću koja ima predznak ≤ . To znači da praznine označene znakom "-" trebamo označiti sjenčanjem.

Odgovor: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Rješenje racionalnih nejednakosti u većini slučajeva zahtijeva njihovu preliminarnu transformaciju u pravu vrstu. Tek tada postaje moguće koristiti intervalnu metodu. Algoritmi za izvođenje takvih transformacija razmatraju se u materijalu "Rješenje racionalnih nejednakosti".

Razmotrimo primjer pretvaranja kvadratnih trinoma u nejednadžbe.

Primjer 2

Pronađite rješenje nejednadžbe (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 .

Odluka

Pogledajmo jesu li diskriminanti kvadratnih trinoma u zapisu o nejednakosti stvarno negativni. To će nam omogućiti da utvrdimo da li nam oblik ove nejednakosti omogućuje primjenu intervalne metode na rješenje.

Izračunajte diskriminant za trinom x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Sada izračunajmo diskriminant za trinom x 2 + 2 x - 8: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Kao što vidite, nejednakost zahtijeva preliminarnu transformaciju. Da bismo to učinili, predstavljamo trinom x 2 + 2 x − 8 kao (x + 4) (x − 2), a zatim primijenite metodu intervala za rješavanje nejednakosti (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .

Odgovor: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Metoda generaliziranog jaza koristi se za rješavanje nejednakosti oblika f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , gdje je f (x) proizvoljan izraz s jednom varijablom x.

Sve se radnje provode prema određenom algoritmu. U ovom slučaju, algoritam za rješavanje nejednakosti metodom generaliziranog intervala donekle će se razlikovati od onoga što smo prethodno analizirali:

pronaći domenu funkcije f i nule te funkcije;
označiti granične točke na koordinatnoj osi;
ucrtati nule funkcije na brojevnu liniju;
odrediti znakove intervala;
primjenjujemo šrafiranje;
zapiši odgovor.

Na brojevnoj liniji također je potrebno označiti pojedine točke područja definicije. Na primjer, domena funkcije je skup (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . To znači da trebamo označiti točke s koordinatama − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 i 10 . bodova − 5 i 7 prikazani su kao prazni, ostali se mogu označiti olovkom u boji kako bi se razlikovali od nula funkcije.

Nule funkcije u slučaju nestrogih nejednakosti označene su običnim (zasjenjenim) točkama, a za stroge nejednakosti praznim točkama. Ako se nule podudaraju s graničnim točkama ili pojedinim točkama domene definicije, tada se mogu prebojati u crno, čineći ih praznim ili popunjenim, ovisno o vrsti nejednakosti.

Zapisnik odgovora je skup brojeva koje uključuje:

šrafirane praznine;
pojedinačne točke domene sa predznakom plus ako je riječ o nejednadžbi čiji je predznak > ili ≥ ili sa predznakom minus ako u nejednadžbi ima znakova< или ≤ .

Sada je postalo jasno da je algoritam koji smo predstavili na samom početku teme poseban slučaj algoritma za primjenu metode generaliziranog intervala.

Razmotrimo primjer primjene metode generaliziranog intervala.

Primjer 3

Riješite nejednakost x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Odluka

Uvodimo funkciju f takvu da je f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Pronađite domenu funkcije f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Sada pronađimo nule funkcije. Da bismo to učinili, riješit ćemo iracionalnu jednadžbu:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Dobivamo korijen x = 12 .

Za označavanje graničnih točaka na koordinatnoj osi koristimo se narančasta boja. Bodovi - 6, 4 će biti popunjeni, a 7 će ostati prazni. dobivamo:

Nulu funkcije označavamo praznom crnom točkom, budući da radimo sa strogom nejednakošću.

Određujemo znakove na odvojenim intervalima. Da biste to učinili, uzmite jednu točku iz svakog intervala, na primjer, 16 , 8 , 6 i − 8 , i izračunajte vrijednost funkcije u njima f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9 (prikaz, stručni).< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Postavljamo znakove koje smo upravo definirali i stavljamo šrafiranje preko praznina sa predznakom minus:

Odgovor će biti unija dvaju intervala sa predznakom "-": (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Kao odgovor, uključili smo točku s koordinatom - 6 . To nije nula funkcije, koju ne bismo uključili u odgovor pri rješavanju stroge nejednakosti, već granična točka domene definicije koja je uključena u domenu definicije. Vrijednost funkcije u ovoj točki je negativna, što znači da zadovoljava nejednakost.

U odgovor nismo uključili točku 4, kao što nismo uključili ni cijeli interval [4, 7) . U ovom trenutku, kao i na cijelom navedenom intervalu, vrijednost funkcije je pozitivna, što ne zadovoljava nejednakost koja se rješava.

Zapišimo to još jednom radi jasnijeg razumijevanja: obojene točke moraju biti uključene u odgovor u sljedećim slučajevima:

ove točke su dio šrafirane praznine,
ove točke su zasebne točke domene funkcije, vrijednosti funkcije u kojima zadovoljavaju nejednakost koja se rješava.

Odgovor: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Metoda razmaka je jednostavan način rješavanja frakcijskih racionalnih nejednakosti. Ovo je naziv nejednakosti koje sadrže racionalne (ili razlomačno-racionalne) izraze koji ovise o varijabli.

1. Razmotrimo, na primjer, sljedeću nejednakost

Intervalna metoda vam omogućuje da to riješite za nekoliko minuta.

Na lijevoj strani ove nejednakosti nalazi se razlomka racionalna funkcija. Racionalno, jer ne sadrži ni korijene, ni sinuse, ni logaritme - samo racionalne izraze. Desno je nula.

Intervalna metoda temelji se na sljedećem svojstvu frakcijske racionalne funkcije.

Razlomka racionalna funkcija može promijeniti predznak samo u onim točkama gdje je jednaka nuli ili ne postoji.

Prisjetite se kako faktorizirati kvadratni trinom, odnosno izraz oblika .

Gdje i su korijeni kvadratna jednadžba.

Crtamo os i poredamo točke u kojima brojnik i nazivnik nestaju.

Nule nazivnika i su probušene točke, budući da u tim točkama funkcija na lijevoj strani nejednadžbe nije definirana (ne možete dijeliti s nulom). Nule brojnika i - su zasjenjene jer nejednakost nije stroga. Jer i naša nejednakost je zadovoljena, budući da su oba njegova dijela jednaka nuli.

Ove točke razbijaju os u intervale.

Odredimo predznak razlomka-racionalne funkcije na lijevoj strani naše nejednakosti na svakom od tih intervala. Sjećamo se da razlomka racionalna funkcija može promijeniti predznak samo u onim točkama gdje je jednaka nuli ili ne postoji. To znači da će na svakom od intervala između točaka u kojima brojnik ili nazivnik nestaje, predznak izraza s lijeve strane nejednakosti biti stalan - ili "plus" ili "minus".

I stoga, da bismo odredili predznak funkcije na svakom takvom intervalu, uzimamo bilo koju točku koja pripada tom intervalu. Onaj koji nama odgovara.
. Uzmimo, na primjer, i provjerimo predznak izraza na lijevoj strani nejednadžbe. Svaka od "zagrada" je negativna. Lijeva strana ima znak.

Sljedeći interval: . Provjerimo znak za . Dobivamo da je lijeva strana promijenila predznak u .

Idemo uzeti . Kada je izraz pozitivan - dakle, pozitivan je na cijelom intervalu od do .

Za , lijeva strana nejednakosti je negativna.

I na kraju class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Pronašli smo na kojim intervalima je izraz pozitivan. Ostaje napisati odgovor:

Odgovor: .

Napomena: znakovi na intervalima se izmjenjuju. Ovo se dogodilo jer pri prolasku kroz svaku točku točno jedan od linearnih faktora promijenio je predznak, a ostali su ga zadržali nepromijenjenim.

Vidimo da je metoda intervala vrlo jednostavna. Da bismo riješili frakcijsku-racionalnu nejednakost metodom intervala, dovodimo je u oblik:

Ili class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, ili ili .

(na lijevoj strani - frakcijska-racionalna funkcija, na desnoj strani - nula).

Zatim - na brojevnoj liniji označavamo točke u kojima brojnik ili nazivnik nestaje.
Te točke dijele cijeli brojevni pravac na intervale, na svakom od kojih razlomka-racionalna funkcija zadržava svoj predznak.
Ostaje samo saznati njegov predznak na svakom intervalu.
To činimo provjeravanjem predznaka izraza u bilo kojoj točki unutar zadanog intervala. Nakon toga zapisujemo odgovor. To je sve.

Ali postavlja se pitanje: izmjenjuju li se znakovi uvijek? Ne ne uvijek! Moramo paziti da znakove ne postavljamo mehanički i nepromišljeno.

2. Pogledajmo još jednu nejednakost.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \lijevo(x-3\desno))>0"> !}

Ponovo stavljamo točke na os. Točke i su probušene jer su nule nazivnika. Točka je također probušena, budući da je nejednakost stroga.

Kada je brojnik pozitivan, oba faktora u nazivniku su negativna. To je lako provjeriti uzimanjem bilo kojeg broja iz zadanog intervala, na primjer, . Lijeva strana ima znak:

Kada je brojnik pozitivan; prvi faktor u nazivniku je pozitivan, drugi faktor negativan. Lijeva strana ima znak:

Kad je situacija ista! Brojnik je pozitivan, prvi faktor u nazivniku je pozitivan, drugi je negativan. Lijeva strana ima znak:

Konačno, s class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Odgovor: .

Zašto je izmjena likova prekinuta? Jer kada prolazi kroz točku, množitelj je "odgovoran" za to nije promijenio predznak. Posljedično, ni cijela lijeva strana naše nejednakosti nije promijenila predznak.

Zaključak: ako je linearni faktor u parnom stepenu (na primjer, u kvadratu), tada se prilikom prolaska kroz točku predznak izraza na lijevoj strani ne mijenja. U slučaju neparnog stupnja, znak se, naravno, mijenja.

3. Razmotrite više težak slučaj. Razlikuje se od prethodnog po tome što nejednakost nije stroga:

Lijeva strana je ista kao u prethodnom problemu. Slika znakova bit će ista:

Možda će odgovor biti isti? Ne! Rješenje se dodaje To je zato što na , i lijeva i desna strana nejednakosti su jednake nuli - dakle, ova točka je rješenje.

Odgovor: .

U zadatku na ispitu iz matematike često se susrećemo s ovom situacijom. Ovdje kandidati upadaju u zamku i gube bodove. Budi oprezan!

4. Što ako se brojnik ili nazivnik ne mogu rastaviti u linearne faktore? Razmotrimo ovu nejednakost:

Kvadratni trinom se ne može faktorizirati: diskriminant je negativan, nema korijena. Ali ovo je dobro! To znači da je predznak izraza isti za sve, a konkretno, pozitivan. Više o tome možete pročitati u članku o svojstvima. kvadratna funkcija.

A sada možemo podijeliti obje strane naše nejednakosti vrijednošću koja je pozitivna za sve. Dolazimo do ekvivalentne nejednakosti:

Što se lako rješava metodom intervala.

Obratite pažnju – obje strane nejednakosti podijelili smo vrijednošću za koju smo sigurno znali da je pozitivna. Naravno, u općem slučaju nejednakost ne biste trebali množiti ili dijeliti sa varijabla, čiji je predznak nepoznat.

5 . Razmotrimo još jednu nejednakost, naizgled vrlo jednostavnu:

Dakle, želim ga pomnožiti sa . Ali mi smo već pametni i nećemo to učiniti. Uostalom, može biti i pozitivno i negativno. A znamo da ako se oba dijela nejednakosti pomnože s negativnom vrijednošću, predznak nejednakosti se mijenja.

Postupit ćemo drugačije – skupit ćemo sve u jedan dio i dovesti do zajedničkog nazivnika. Nula će ostati na desnoj strani:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

I nakon toga - primjenjivo intervalna metoda.

1. Razmotrimo, na primjer, sljedeću nejednakost

Intervalna metoda vam omogućuje da to riješite za nekoliko minuta.

Na lijevoj strani ove nejednakosti nalazi se razlomka racionalna funkcija. Racionalno, jer ne sadrži ni korijene, ni sinuse, ni logaritme - samo racionalne izraze. Desno je nula.

Intervalna metoda temelji se na sljedećem svojstvu frakcijske racionalne funkcije.

Razlomka racionalna funkcija može promijeniti predznak samo u onim točkama gdje je jednaka nuli ili ne postoji.

Prisjetimo se kako je kvadratni trinom faktoriziran, odnosno izraz oblika .

Gdje su i su korijeni kvadratne jednadžbe.

Crtamo os i poredamo točke u kojima brojnik i nazivnik nestaju.

Ove točke razbijaju os u intervale.

Sljedeći interval: . Provjerimo znak za . Dobivamo da je lijeva strana promijenila predznak u .

Idemo uzeti . Kada je izraz pozitivan - dakle, pozitivan je na cijelom intervalu od do .

Za , lijeva strana nejednakosti je negativna.

Pronašli smo na kojim intervalima je izraz pozitivan. Ostaje napisati odgovor:

Odgovor: .

Vidimo da je metoda intervala vrlo jednostavna. Da bismo riješili frakcijsku-racionalnu nejednakost metodom intervala, dovodimo je u oblik:

Ili class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, ili ili .

(na lijevoj strani - frakcijska-racionalna funkcija, na desnoj strani - nula).

Ali postavlja se pitanje: izmjenjuju li se znakovi uvijek? Ne ne uvijek! Moramo paziti da znakove ne postavljamo mehanički i nepromišljeno.

2. Pogledajmo još jednu nejednakost.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \lijevo(x-3\desno))>0"> !}

Ponovo stavljamo točke na os. Točke i su probušene jer su nule nazivnika. Točka je također probušena, budući da je nejednakost stroga.

Kada je brojnik pozitivan, oba faktora u nazivniku su negativna. To je lako provjeriti uzimanjem bilo kojeg broja iz zadanog intervala, na primjer, . Lijeva strana ima znak:

Kada je brojnik pozitivan; prvi faktor u nazivniku je pozitivan, drugi faktor negativan. Lijeva strana ima znak:

Kad je situacija ista! Brojnik je pozitivan, prvi faktor u nazivniku je pozitivan, drugi je negativan. Lijeva strana ima znak:

Konačno, s class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Odgovor: .

3. Razmotrimo kompliciraniji slučaj. Razlikuje se od prethodnog po tome što nejednakost nije stroga:

Lijeva strana je ista kao u prethodnom problemu. Slika znakova bit će ista:

Možda će odgovor biti isti? Ne! Rješenje se dodaje To je zato što na , i lijeva i desna strana nejednakosti su jednake nuli - dakle, ova točka je rješenje.

Odgovor: .

U zadatku na ispitu iz matematike često se susrećemo s ovom situacijom. Ovdje kandidati upadaju u zamku i gube bodove. Budi oprezan!

4. Što ako se brojnik ili nazivnik ne mogu rastaviti u linearne faktore? Razmotrimo ovu nejednakost:

A sada možemo podijeliti obje strane naše nejednakosti vrijednošću koja je pozitivna za sve. Dolazimo do ekvivalentne nejednakosti:

Što se lako rješava metodom intervala.

Obratite pažnju – obje strane nejednakosti podijelili smo vrijednošću za koju smo sigurno znali da je pozitivna. Naravno, u općem slučaju ne biste trebali množiti ili dijeliti nejednakost s varijablom čiji je predznak nepoznat.

5 . Razmotrimo još jednu nejednakost, naizgled vrlo jednostavnu:

Postupit ćemo drugačije – skupit ćemo sve u jedan dio i dovesti do zajedničkog nazivnika. Nula će ostati na desnoj strani:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

I nakon toga - primjenjivo intervalna metoda.

Kako riješiti nejednakosti metodom intervala (algoritam s primjerima)

Primjer . (zadatak od OGE) Riješite nejednakost metodom intervala \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Odluka:

Odgovor : \((7;7+\sqrt(11))\)

Primjer . Riješite nejednakost metodom intervala \(≥0\)
Odluka:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Ovdje se na prvi pogled sve čini normalnim, a nejednakost je u početku svedena na željeni oblik. Ali to nije tako - uostalom, u prvoj i trećoj zagradi brojnika, x je sa predznakom minus. Transformiramo zagrade, uzimajući u obzir činjenicu da je četvrti stupanj paran (odnosno da će ukloniti znak minus), a treći je neparan (to jest, neće ga ukloniti). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Kao ovo. Sada vraćamo zagrade "na mjesto" već pretvorene.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Sada sve zagrade izgledaju kako treba (prvo dolazi nepotpisano odijelo, a tek onda broj). Ali ispred brojnika je bio minus. Uklanjamo ga množenjem nejednakosti s \(-1\), ne zaboravljajući obrnuti predznak usporedbe
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Spreman. Sada nejednakost izgleda ispravno. Možete koristiti metodu intervala.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Postavimo točke na os, znakove i obojimo potrebne praznine.
		U intervalu od \(4\) do \(6\), predznak nije potrebno mijenjati, jer je zagrada \((x-6)\) u parnom stupnju (vidi paragraf 4 algoritma) . Zastava će biti podsjetnik da je šestica također rješenje za nejednakost. Zapišimo odgovor.

Odgovor : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\lijevo\(6\desno\)\)

Primjer.(Zadatak od OGE) Riješite nejednakost metodom intervala \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Odluka:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Lijevo i desno su iste - to očito nije slučajno. Prva želja je podijeliti s \(-x^2-64\), ali ovo je pogreška, jer postoji mogućnost gubitka korijena. Umjesto toga, pomaknite \(64(-x^2-64)\) na lijeva strana
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Izvadite minus u prvoj zagradi i faktor drugu
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Imajte na umu da je \(x^2\) ili nula ili veći od nule. To znači da je \(x^2+64\) jedinstveno pozitivan za bilo koju vrijednost x, odnosno ovaj izraz ni na koji način ne utječe na predznak lijeve strane. Stoga možemo sa sigurnošću podijeliti oba dijela nejednakosti ovim izrazom. Podijelimo i nejednakost s \(-1\) da se riješimo minusa.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Sada možete primijeniti intervalnu metodu
\(x=8;\) \(x=-8\)		Zapišimo odgovor