अलग-अलग जड़ें बिछाएं। जड़ घटाने के नियम

किसी संख्या का वर्गमूल एक्सएक नंबर कहा जाता है ए, जो स्वयं को स्वयं से गुणा करने की प्रक्रिया में ( ए*ए) एक नंबर दे सकते हैं एक्स.
वे। ए * ए = ए 2 = एक्स, और एक्स = ए.

वर्गमूल से अधिक ( x), अन्य संख्याओं की तरह, आप अंकगणितीय संक्रियाएँ जैसे घटाव और जोड़ कर सकते हैं। जड़ों को घटाने और जोड़ने के लिए, उन्हें इन क्रियाओं के अनुरूप संकेतों का उपयोग करके जोड़ा जाना चाहिए (उदाहरण के लिए x- y ).
और फिर जड़ों को उनके पास ले आओ सबसे सरल रूप- यदि उनके बीच समान हैं, तो एक कास्ट बनाना आवश्यक है। यह इस तथ्य में समाहित है कि समान पदों के गुणांकों को संबंधित शब्दों के संकेतों के साथ लिया जाता है, फिर उन्हें कोष्ठक में संलग्न किया जाता है, और सामान्य जड़ को गुणक कोष्ठक के बाहर प्रदर्शित किया जाता है। हमने जो गुणांक प्राप्त किया है वह सामान्य नियमों के अनुसार सरलीकृत है।

चरण 1. वर्गमूल निकालना

सबसे पहले, वर्गमूल जोड़ने के लिए, आपको सबसे पहले इन जड़ों को निकालना होगा। यह तब किया जा सकता है जब मूल चिह्न के नीचे की संख्याएँ पूर्ण वर्ग हों। उदाहरण के लिए, दिए गए व्यंजक को लें √4 + √9 . पहला नंबर 4 संख्या का वर्ग है 2 . दूसरा नंबर 9 संख्या का वर्ग है 3 . इस प्रकार, निम्नलिखित समानता प्राप्त की जा सकती है: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
सब कुछ, उदाहरण हल हो गया है। लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है।

चरण 2. किसी संख्या के गुणक को मूल के नीचे से निकालना

यदि मूल चिह्न के नीचे कोई पूर्ण वर्ग नहीं है, तो आप मूल चिह्न के नीचे से संख्या के गुणक को निकालने का प्रयास कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक लें √24 + √54 .

आइए संख्याओं का गुणनखंड करें:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

सूची में 24 हमारे पास एक गुणक है 4 , इसे वर्गमूल चिह्न के नीचे से निकाला जा सकता है। सूची में 54 हमारे पास एक गुणक है 9 .

हमें समानता मिलती है:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

इस उदाहरण पर विचार करते हुए, हम मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड को हटाते हैं, जिससे दिए गए व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है।

चरण 3. हर को कम करना

निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें: दो वर्गमूलों का योग एक भिन्न का हर होता है, उदाहरण के लिए, ए / (√a + √b).
अब हम "हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने" के कार्य का सामना कर रहे हैं।
आइए निम्नलिखित विधि का प्रयोग करें: भिन्न के अंश और हर को व्यंजक से गुणा करें a - b.

अब हम हर में संक्षिप्त गुणन सूत्र प्राप्त करते हैं:
(√a + b) * (√a - b) = a - b.

इसी तरह, यदि हर में जड़ों का अंतर होता है: a - b, भिन्न के अंश और हर को व्यंजक से गुणा किया जाता है a + b.

आइए एक अंश को एक उदाहरण के रूप में लें:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

जटिल हर कमी का एक उदाहरण

आइए अब पर्याप्त विचार करें जटिल उदाहरणहर में तर्कहीनता से छुटकारा।

आइए एक अंश को एक उदाहरण के रूप में लें: 12 / (√2 + √3 + √5) .
आपको इसका अंश और हर लेना होगा और व्यंजक से गुणा करना होगा √2 + √3 - √5 .

हम पाते हैं:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

चरण 4. कैलकुलेटर पर अनुमानित मूल्य की गणना करें

यदि आपको केवल एक अनुमानित मूल्य की आवश्यकता है, तो यह एक कैलकुलेटर पर वर्गमूल के मूल्य की गणना करके किया जा सकता है। अलग-अलग, प्रत्येक संख्या के लिए, मूल्य की गणना और आवश्यक सटीकता के साथ दर्ज की जाती है, जो दशमलव स्थानों की संख्या से निर्धारित होती है। इसके अलावा, सभी आवश्यक संचालन सामान्य संख्याओं की तरह ही किए जाते हैं।

अनुमानित गणना उदाहरण

इस अभिव्यक्ति के अनुमानित मूल्य की गणना करना आवश्यक है √7 + √5 .

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

कृपया ध्यान दें: किसी भी परिस्थिति में वर्गमूल को अभाज्य संख्याओं के रूप में नहीं जोड़ा जाना चाहिए, यह पूरी तरह से अस्वीकार्य है। यानी अगर हम जोड़ते हैं वर्गमूलपांच में से और तीन में से, हमें आठ का वर्गमूल नहीं मिल सकता है।

उपयोगी सलाह: यदि आप किसी संख्या को गुणनखंड करने का निर्णय लेते हैं, तो मूल चिह्न के नीचे से एक वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको एक रिवर्स चेक करने की आवश्यकता है, अर्थात, गणनाओं के परिणामस्वरूप सभी कारकों को गुणा करें, और इसका अंतिम परिणाम गणितीय गणना वह संख्या होनी चाहिए जो हमें मूल रूप से दी गई थी।

गणित में, मूल वर्ग, घन, या कोई अन्य घातांक (शक्ति) हो सकता है, जो मूल चिह्न के ऊपर बाईं ओर लिखा होता है। मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को मूल व्यंजक कहते हैं। रूट जोड़ शब्द जोड़ के समान है। बीजगणतीय अभिव्यक्ति, अर्थात्, इसे समान जड़ों की परिभाषा की आवश्यकता है।

कदम

2 का भाग 1 : जड़ों का पता लगाना

जड़ पदनाम।मूल चिह्न () के तहत एक अभिव्यक्ति का अर्थ है कि इस अभिव्यक्ति से एक निश्चित डिग्री की जड़ निकालना आवश्यक है।

• जड़ को एक चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है।
• जड़ का सूचकांक (डिग्री) मूल चिह्न के ऊपर बाईं ओर लिखा होता है। उदाहरण के लिए, 27 का घनमूल इस प्रकार लिखा जाता है: (27)
• यदि मूल का घातांक (डिग्री) अनुपस्थित हो, तो घातांक को 2 के बराबर माना जाता है, अर्थात यह वर्गमूल (या दूसरी डिग्री का मूल) होता है।
• मूल चिह्न से पहले लिखी गई संख्या गुणक कहलाती है (अर्थात इस संख्या को मूल से गुणा किया जाता है), उदाहरण के लिए 5 (2)
• यदि मूल के सामने कोई गुणनखंड न हो तो वह 1 के बराबर होता है (याद रखें कि किसी भी संख्या को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं के बराबर होता है)।
• यदि आप पहली बार जड़ों के साथ काम कर रहे हैं, तो मूल के गुणक और घातांक पर उपयुक्त नोट्स बनाएं ताकि भ्रमित न हों और उनके उद्देश्य को बेहतर ढंग से समझ सकें।

याद रखें कि किन जड़ों को मोड़ा जा सकता है और कौन सी नहीं।जैसे आप किसी व्यंजक के भिन्न-भिन्न पदों को नहीं जोड़ सकते, जैसे कि 2a + 2b 4ab, आप भिन्न मूल नहीं जोड़ सकते।

आप भिन्न मूल व्यंजकों के साथ मूल नहीं जोड़ सकते, उदाहरण के लिए, (2) + (3) (5)। लेकिन आप एक ही मूल के अंतर्गत संख्याएँ जोड़ सकते हैं, उदाहरण के लिए, (2 + 3) = (5) (2 का वर्गमूल लगभग 1.414 है, 3 का वर्गमूल लगभग 1.732 है, और 5 का वर्गमूल लगभग 2.236 है) )

आप समान मूल भावों के साथ मूल नहीं जोड़ सकते, लेकिन विभिन्न घातांक, उदाहरण के लिए, (64) + (64) (यह योग (64) के बराबर नहीं है, क्योंकि 64 का वर्गमूल 8 है, 64 का घनमूल है 4, 8 + 4 = 12, जो 64 के पांचवें मूल से काफी बड़ा है, जो लगभग 2.297 है)।

भाग 2 का 2: सरलीकरण और मूल जोड़ना

समान जड़ों को पहचानें और समूहित करें।समान जड़ें वे जड़ें होती हैं जिनमें समान घातांक और समान मूल भाव होते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति पर विचार करें:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• सबसे पहले, व्यंजक को फिर से लिखिए ताकि समान घातांक वाले मूल श्रृंखला में हों।
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• फिर व्यंजक को फिर से लिखें ताकि समान घातांक और समान मूल व्यंजक वाले मूल श्रृंखला में हों।
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

अपनी जड़ों को सरल बनाएं।ऐसा करने के लिए, कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों को दो कारकों में विघटित (जहां संभव हो) करें, जिनमें से एक को जड़ के नीचे से निकाला जाता है। इस मामले में, प्रदान की गई संख्या और मूल कारक को गुणा किया जाता है।

ऊपर के उदाहरण में, गुणनखंड 50 गुणा 2*25 और संख्या 32 गुणा 2*16. 25 और 16 से, आप वर्गमूल निकाल सकते हैं (क्रमशः 5 और 4) और जड़ के नीचे से 5 और 4 निकाल सकते हैं, उन्हें क्रमशः गुणनखंड 2 और 1 से गुणा कर सकते हैं। इस प्रकार, आपको एक सरलीकृत व्यंजक मिलता है: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

संख्या 81 को 3 * 27 में विभाजित किया जा सकता है, और 3 का घनमूल संख्या 27 से लिया जा सकता है। इस संख्या 3 को मूल के नीचे से निकाला जा सकता है। इस प्रकार, आपको और भी अधिक सरलीकृत व्यंजक मिलता है: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

समान मूलों के गुणनखंडों को जोड़ें।हमारे उदाहरण में, 2 के समान वर्गमूल हैं (उन्हें जोड़ा जा सकता है) और 3 के समान वर्गमूल (उन्हें भी जोड़ा जा सकता है)। पर घनमूल 3 में से ऐसी कोई जड़ें नहीं हैं।

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

अंतिम सरलीकृत अभिव्यक्ति: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• किसी व्यंजक में मूल लिखे जाने के क्रम के लिए आम तौर पर स्वीकृत नियम नहीं हैं। इसलिए, आप मूलों को उनके घातांक के आरोही क्रम में और मूल भावों के आरोही क्रम में लिख सकते हैं।

ध्यान दें, केवल आज!

सभी दिलचस्प

मूल चिह्न के नीचे की संख्या अक्सर समीकरण के समाधान में हस्तक्षेप करती है, इसके साथ काम करना असुविधाजनक होता है। यहां तक ​​​​कि अगर इसे एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है, भिन्नात्मक, या एक निश्चित डिग्री के पूर्णांक के रूप में प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, तो कोई इसे प्राप्त करने का प्रयास कर सकता है ...

किसी संख्या x का एक मूल एक संख्या है, जिसे जब मूल की घात तक बढ़ाया जाता है, तो वह x के बराबर होगी। गुणक वह संख्या है जिसे गुणा किया जा रहा है। यानी, x*ª-&radic-y जैसे एक्सप्रेशन में, आपको रूट के नीचे x जोड़ना होगा। निर्देश 1 डिग्री निर्धारित करें ...

यदि मूल अभिव्यक्ति में चर के साथ गणितीय कार्यों का एक सेट होता है, तो कभी-कभी, इसके सरलीकरण के परिणामस्वरूप, अपेक्षाकृत सरल मूल्य प्राप्त करना संभव होता है, जिसका कुछ हिस्सा रूट के नीचे से निकाला जा सकता है। यह सरलीकरण उपयोगी है ...

विभिन्न डिग्री की जड़ों के साथ अंकगणितीय संचालन भौतिकी और प्रौद्योगिकी में गणना को बहुत सरल बना सकते हैं और उन्हें अधिक सटीक बना सकते हैं। गुणा और भाग करते समय, प्रत्येक कारक या लाभांश और भाजक से जड़ निकालना अधिक सुविधाजनक नहीं होता है, लेकिन पहले ...

संख्या x का वर्गमूल संख्या a है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर संख्या x: a * a = a^2 = x, x = a प्राप्त होती है। किसी भी संख्या की तरह, आप वर्गमूलों पर जोड़ और घटाव की अंकगणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं। निर्देश...

गणित में एक मूल के दो अर्थ हो सकते हैं: यह एक अंकगणितीय संक्रिया है और एक समीकरण, बीजगणितीय, पैरामीट्रिक, अंतर, या किसी अन्य का प्रत्येक समाधान है। निर्देश 1 संख्या a के n-वें अंश का मूल एक ऐसी संख्या है जो...

विभिन्न प्रदर्शन करते समय अंकगणितीय आपरेशनसजड़ों के साथ, कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों को बदलने में सक्षम होना अक्सर आवश्यक होता है। गणना को सरल बनाने के लिए, कारक को रेडिकल के संकेत से बाहर निकालना या उसके नीचे रखना आवश्यक हो सकता है। यह कार्रवाई कर सकते हैं...

जड़ वह चिह्न है जो दर्शाता है गणितीय कार्यऐसी संख्या का पता लगाना, जिसमें जड़ के चिन्ह से पहले इंगित की गई शक्ति को ऊपर उठाना चाहिए, इसी चिन्ह के तहत इंगित संख्या देनी चाहिए। अक्सर उन समस्याओं के समाधान के लिए...

गणितीय विज्ञान में जड़ के चिन्ह को कहा जाता है प्रतीकजड़ों के लिए। मूल चिह्न के नीचे की संख्या को मूलक व्यंजक कहते हैं। घातांक की अनुपस्थिति में, मूल एक वर्ग है, अन्यथा आकृति इंगित करती है ...

अंकगणितीय जड़ nth डिग्रीवास्तविक संख्या a से ऐसी गैर-ऋणात्मक संख्या x कहलाती है, nth डिग्रीजो संख्या a के बराबर है। वे। (एन) ए = एक्स, एक्स ^ एन = ए। अस्तित्व विभिन्न तरीकेअतिरिक्त अंकगणितीय जड़और एक परिमेय संख्या...

वास्तविक संख्या a का n-वें मूल एक संख्या b है जिसके लिए समानता b^n = a सत्य है। ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं के लिए विषम जड़ें मौजूद होती हैं, और यहां तक ​​कि जड़ें केवल धनात्मक संख्याओं के लिए मौजूद होती हैं।…

किसी संख्या का वर्गमूल एक्सएक नंबर कहा जाता है ए, जो स्वयं को स्वयं से गुणा करने की प्रक्रिया में ( ए*ए) एक नंबर दे सकते हैं एक्स.
वे। ए * ए = ए 2 = एक्स, और एक्स = ए.

वर्गमूल से अधिक ( x), अन्य संख्याओं की तरह, आप अंकगणितीय संक्रियाएँ जैसे घटाव और जोड़ कर सकते हैं। जड़ों को घटाने और जोड़ने के लिए, उन्हें इन क्रियाओं के अनुरूप संकेतों का उपयोग करके जोड़ा जाना चाहिए (उदाहरण के लिए x - y ).
और फिर जड़ों को उनके सरलतम रूप में लाएं - यदि उनके बीच समान हैं, तो आपको एक कास्ट बनाने की आवश्यकता है। यह इस तथ्य में समाहित है कि समान पदों के गुणांकों को संबंधित शब्दों के संकेतों के साथ लिया जाता है, फिर उन्हें कोष्ठक में संलग्न किया जाता है, और सामान्य जड़ को गुणक कोष्ठक के बाहर प्रदर्शित किया जाता है। हमने जो गुणांक प्राप्त किया है वह सामान्य नियमों के अनुसार सरलीकृत है।

चरण 1. वर्गमूल निकालना

सबसे पहले, वर्गमूल जोड़ने के लिए, आपको सबसे पहले इन जड़ों को निकालना होगा। यह तब किया जा सकता है जब मूल चिह्न के नीचे की संख्याएँ पूर्ण वर्ग हों। उदाहरण के लिए, दिए गए व्यंजक को लें √4 + √9 . पहला नंबर 4 संख्या का वर्ग है 2 . दूसरा नंबर 9 संख्या का वर्ग है 3 . इस प्रकार, निम्नलिखित समानता प्राप्त की जा सकती है: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
सब कुछ, उदाहरण हल हो गया है। लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है।

चरण 2. किसी संख्या के गुणक को मूल के नीचे से निकालना

यदि मूल चिह्न के नीचे कोई पूर्ण वर्ग नहीं है, तो आप मूल चिह्न के नीचे से संख्या के गुणक को निकालने का प्रयास कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक लें √24 + √54 .

आइए संख्याओं का गुणनखंड करें:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

सूची में 24 हमारे पास एक गुणक है 4 , इसे वर्गमूल चिह्न के नीचे से निकाला जा सकता है। सूची में 54 हमारे पास एक गुणक है 9 .

हमें समानता मिलती है:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

इस उदाहरण पर विचार करते हुए, हम मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड को हटाते हैं, जिससे दिए गए व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है।

चरण 3. हर को कम करना

निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें: दो वर्गमूलों का योग एक भिन्न का हर होता है, उदाहरण के लिए, ए / (√a + √b).
अब हम "हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने" के कार्य का सामना कर रहे हैं।
आइए निम्नलिखित विधि का प्रयोग करें: भिन्न के अंश और हर को व्यंजक से गुणा करें a - b.

अब हम हर में संक्षिप्त गुणन सूत्र प्राप्त करते हैं:
(√a + b) * (√a - b) = a - b.

इसी तरह, यदि हर में जड़ों का अंतर होता है: a - b, भिन्न के अंश और हर को व्यंजक से गुणा किया जाता है a + b.

आइए एक अंश को एक उदाहरण के रूप में लें:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

जटिल हर कमी का एक उदाहरण

अब हम हर में अतार्किकता से छुटकारा पाने के एक जटिल उदाहरण पर विचार करेंगे।

आइए एक अंश को एक उदाहरण के रूप में लें: 12 / (√2 + √3 + √5) .
आपको इसका अंश और हर लेना होगा और व्यंजक से गुणा करना होगा √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

चरण 4. कैलकुलेटर पर अनुमानित मूल्य की गणना करें

यदि आपको केवल एक अनुमानित मूल्य की आवश्यकता है, तो यह एक कैलकुलेटर पर वर्गमूल के मूल्य की गणना करके किया जा सकता है। अलग-अलग, प्रत्येक संख्या के लिए, मूल्य की गणना और आवश्यक सटीकता के साथ दर्ज की जाती है, जो दशमलव स्थानों की संख्या से निर्धारित होती है। इसके अलावा, सभी आवश्यक संचालन सामान्य संख्याओं की तरह ही किए जाते हैं।

अनुमानित गणना उदाहरण

इस अभिव्यक्ति के अनुमानित मूल्य की गणना करना आवश्यक है √7 + √5 .

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

कृपया ध्यान दें: किसी भी परिस्थिति में वर्गमूल को अभाज्य संख्याओं के रूप में नहीं जोड़ा जाना चाहिए, यह पूरी तरह से अस्वीकार्य है। यानी अगर आप पांच और तीन के वर्गमूल को जोड़ दें तो हमें आठ का वर्गमूल नहीं मिल सकता है।

उपयोगी सलाह: यदि आप किसी संख्या को गुणनखंड करने का निर्णय लेते हैं, तो मूल चिह्न के नीचे से एक वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको एक रिवर्स चेक करने की आवश्यकता है, अर्थात, गणनाओं के परिणामस्वरूप सभी कारकों को गुणा करें, और इसका अंतिम परिणाम गणितीय गणना वह संख्या होनी चाहिए जो हमें मूल रूप से दी गई थी।

जड़ घटाने के नियम

1. गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल से अंश का मूल गुणनखंडों से समान अंश के मूलों के गुणनफल के बराबर होता है: जहाँ (उत्पाद से मूल निकालने का नियम)।

2. यदि , तो y (एक भिन्न से मूल निकालने का नियम)।

3. यदि तब (जड़ को जड़ से निकालने का नियम)।

4. यदि है तो किसी घात को जड़ से ऊपर उठाने का नियम)।

5. यदि तब कहाँ, अर्थात् मूल सूचकांक और मूलांक व्यंजक सूचकांक को एक ही संख्या से गुणा किया जा सकता है।

6. यदि तब 0, अर्थात् एक बड़ा धनात्मक मूलक व्यंजक मूल के बड़े मान से मेल खाता है।

7. उपरोक्त सभी फ़ार्मुलों का अक्सर उपयोग किया जाता है उल्टे क्रम(यानी दाएं से बाएं)। उदाहरण के लिए,

(जड़ों के गुणन का नियम);

(जड़ों को विभाजित करने का नियम);

8. गुणक को मूल चिह्न के नीचे से निकालने का नियम। पर

9. व्युत्क्रम समस्या - जड़ के चिन्ह के तहत एक कारक का परिचय। उदाहरण के लिए,

10. भिन्न के हर में अपरिमेयता का विनाश।

आइए कुछ विशिष्ट मामलों पर विचार करें।

• शब्द का अर्थ शब्दों का अर्थ स्पष्ट करें: कानून, सूदखोर, कर्जदार-दास। शब्दों के अर्थ की व्याख्या करें: कानून, सूदखोर, देनदार दास। स्वादिष्ट स्ट्राबेरी (अतिथि) विषय पर स्कूल के प्रश्न 1. 3 प्रकार क्या हैं […]
• क्या आपको कार में वॉकी-टॉकी के लिए परमिट की आवश्यकता है? कहाँ पढ़ना है? आपको वैसे भी अपना रेडियो स्टेशन पंजीकृत करने की आवश्यकता है। वॉकी-टॉकी जो 462 मेगाहर्ट्ज की आवृत्ति पर काम करते हैं, यदि आप आंतरिक मामलों के मंत्रालय के प्रतिनिधि नहीं हैं, तो […]
• एकल कर की दर - 2018 पहले और दूसरे समूहों के उद्यमियों-व्यक्तियों के लिए एकल कर दर - 2018 की गणना निर्वाह न्यूनतम और 01 जनवरी को स्थापित न्यूनतम मजदूरी के प्रतिशत के रूप में की जाती है […]
• एविटो बीमा कानूनी गारंटी। क्या आपने अपने दम पर OSAGO ईमेल पता जारी करने का निर्णय लिया है, लेकिन आपके लिए कुछ भी कारगर नहीं है? घबराएं नहीं! !!मैं आपके लिए इलेक्ट्रॉनिक एप्लिकेशन में सभी आवश्यक डेटा दर्ज करूंगा […]
• उत्पाद कर की गणना और भुगतान करने की प्रक्रिया उत्पाद कर वस्तुओं और सेवाओं पर अप्रत्यक्ष करों में से एक है, जो उनकी लागत में शामिल है। उत्पाद शुल्क वैट से इस मायने में भिन्न है कि यह उस पर लगाया जाता है […]
• अनुबंध। रोस्तोव-ऑन-डॉन शहर के भूमि उपयोग और विकास के नियम 17 जून, 2008 के सिटी ड्यूमा के निर्णय के परिशिष्ट एन 405 रोस्तोव-ऑन-डॉन शहर के भूमि उपयोग और विकास के लिए नियम संशोधित और [… ]

उदाहरण के लिए,

11. अंकगणितीय जड़ों वाले संक्रियाओं के लिए संक्षिप्त गुणन सर्वसमिकाओं का अनुप्रयोग:

12. मूल के सामने वाले गुणनखंड को उसका गुणांक कहते हैं। उदाहरण के लिए, यहां 3 एक कारक है।

13. मूल (कट्टरपंथी) समान कहलाते हैं यदि उनके मूल घातांक और समान मूलक व्यंजक हों, लेकिन केवल गुणांक में भिन्न हों। यह निर्धारित करने के लिए कि ये मूल (कट्टरपंथी) समान हैं या नहीं, आपको उन्हें उनके सरलतम रूप में कम करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, और समान हैं क्योंकि

समाधान के साथ अभ्यास

1. अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं:

फेसला। 1) मूल व्यंजक को गुणा करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि प्रत्येक कारक एक पूर्णांक के वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। आइए उत्पाद से जड़ निकालने के नियम का उपयोग करें:

भविष्य में इस तरह की कार्रवाई मौखिक रूप से की जाएगी।

2) आइए, यदि संभव हो तो, कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करने का प्रयास करें, जिनमें से प्रत्येक एक पूर्णांक का घन है, और उत्पाद की जड़ के बारे में नियम लागू करें:

2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

फेसला। 1) भिन्न से मूल निकालने के नियम के अनुसार, हमारे पास है:

3) हम कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों को बदलते हैं और जड़ निकालते हैं:

3. सरल करें जब

फेसला। जड़ से जड़ निकालते समय, जड़ों के सूचकांकों को गुणा किया जाता है, और मूल अभिव्यक्ति अपरिवर्तित रहती है।

यदि जड़ के नीचे जड़ से पहले एक गुणांक है, तो जड़ निकालने का कार्य करने से पहले, यह गुणांक उस मूलांक के चिह्न के नीचे दर्ज किया जाता है जिसके सामने वह खड़ा होता है।

उपरोक्त नियमों के आधार पर, हम अंतिम दो जड़ें निकालते हैं:

4. एक शक्ति के लिए उठाएँ:

फेसला। जब जड़ को घात में ऊपर उठाया जाता है, तो मूल घातांक अपरिवर्तित रहता है, और मूल अभिव्यक्ति घातांक को घातांक से गुणा किया जाता है।

(चूंकि इसे परिभाषित किया गया है, तब);

यदि एक दी गई जड़एक गुणांक है, तो इस गुणांक को अलग से एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है और परिणाम को गुणांक के रूप में रूट पर लिखा जाता है।

यहां हमने नियम का उपयोग किया है कि मूल के सूचकांक और मूलांक अभिव्यक्ति के सूचकांक को एक ही संख्या से गुणा किया जा सकता है (हम गुणा करते हैं यानी 2 से विभाजित)।

उदाहरण के लिए, या

4) दो भिन्न मूलकों के योग को निरूपित करने वाले कोष्ठकों में व्यंजक को घना और सरलीकृत किया जाएगा:

क्योंकि हमारे पास है:

5. हर में तर्कहीनता को खत्म करें:

फेसला। एक अंश के हर में तर्कहीनता को खत्म करने (नष्ट) करने के लिए, आपको सबसे सरल अभिव्यक्तियों को खोजने की जरूरत है, जो हर के साथ उत्पाद में देता है तर्कसंगत अभिव्यक्ति, और इस भिन्न के अंश और हर को पाए गए गुणनखंड से गुणा करें।

उदाहरण के लिए, यदि किसी भिन्न के हर में एक द्विपद है, तो भिन्न के अंश और हर को हर के संयुग्मी व्यंजक से गुणा किया जाना चाहिए, अर्थात योग को संगत अंतर से गुणा किया जाना चाहिए और इसके विपरीत।

अधिक में मुश्किल मामलेअतार्किकता को तुरंत नहीं, बल्कि कई चरणों में नष्ट करें।

1) व्यंजक में होना चाहिए

भिन्न के अंश और हर को गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:

2) भिन्न के अंश और हर को योग के अपूर्ण वर्ग से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

3) आइए भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं:

इस उदाहरण को हल करते समय, हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि प्रत्येक भिन्न का एक अर्थ होता है, अर्थात प्रत्येक भिन्न का हर शून्य से भिन्न होता है। के अलावा,

रेडिकल युक्त भावों को परिवर्तित करते समय अक्सर गलतियाँ की जाती हैं। वे अंकगणितीय मूल और निरपेक्ष मान की अवधारणा (परिभाषा) को सही ढंग से लागू करने में असमर्थता के कारण होते हैं।

जड़ घटाने के नियम

अभिव्यक्ति मूल्य की गणना करें

फेसला.

व्याख्या.
मूल व्यंजक को संक्षिप्त करने के लिए, आइए इसके मूल व्यंजक के दूसरे गुणनखंड में संख्या 31 को 15+16 के योग के रूप में निरूपित करें। (लाइन 2)

परिवर्तन के बाद, यह देखा जा सकता है कि दूसरी मूल अभिव्यक्ति में योग को संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके योग के वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। (पंक्ति 3)

आइए अब दिए गए गुणनफल से प्रत्येक मूल को एक अंश के रूप में निरूपित करें। (पंक्ति 4)

व्यंजक को सरल कीजिए (पंक्ति 5)

चूंकि उत्पाद की शक्ति प्रत्येक कारक की शक्तियों के उत्पाद के बराबर होती है, इसलिए हम इसे तदनुसार दर्शाते हैं (पंक्ति 6)

जैसा कि आप देख सकते हैं, संक्षिप्त गुणन के सूत्रों के अनुसार, हमारे पास दो संख्याओं के वर्गों का अंतर है। व्यंजक का मान कहाँ से और परिकलित कीजिए (पंक्ति 7)

अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें।

फेसला.

व्याख्या.

हम रूट के गुणों का उपयोग करते हैं, कि निजी संख्याओं की मनमानी शक्ति की जड़ इन संख्याओं की जड़ों के निजी के बराबर होती है (पंक्ति 2)

एक ही डिग्री की संख्या की मनमानी शक्ति की जड़ इस संख्या के बराबर है (पंक्ति 3)

आइए पहले गुणक के कोष्ठक से ऋण को हटा दें। इस स्थिति में, कोष्ठक के अंदर के सभी वर्ण उलट दिए जाएंगे (पंक्ति 4)

आइए भिन्न को कम करें (पंक्ति 5)

आइए संख्या 729 को संख्या 27 के वर्ग के रूप में और संख्या 27 को संख्या 3 के घन के रूप में निरूपित करें। जहाँ से हमें मूलांक का मान प्राप्त होता है।

वर्गमूल। प्रथम स्तर।

क्या आप अपनी ताकत का परीक्षण करना चाहते हैं और परिणाम का पता लगाना चाहते हैं कि आप एकीकृत राज्य परीक्षा या ओजीई के लिए कितने तैयार हैं?

1. अंकगणितीय वर्गमूल की अवधारणा का परिचय

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल (अंकगणितीय वर्गमूल) एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है जिसका वर्ग बराबर होता है।
.

मूल चिह्न के नीचे की संख्या या व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए

2. वर्गों की तालिका

3. अंकगणितीय वर्गमूल के गुण

अंकगणितीय वर्गमूल की अवधारणा का परिचय

आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि "रूट" किस तरह की अवधारणा है और "इसे किसके साथ खाया जाता है।" ऐसा करने के लिए, उन उदाहरणों पर विचार करें जिनका आप पहले ही पाठों में सामना कर चुके हैं (ठीक है, या आपको बस इसका सामना करना होगा)।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक समीकरण है। समाधान क्या है दिया गया समीकरण? एक ही समय में किन संख्याओं को चुकता और प्राप्त किया जा सकता है? गुणन तालिका को याद करके, आप आसानी से उत्तर दे सकते हैं: और (क्योंकि जब आप दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो आपको एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है)! सरल बनाने के लिए, गणितज्ञों ने वर्गमूल की एक विशेष अवधारणा पेश की है और इसे एक विशेष प्रतीक सौंपा है।

आइए अंकगणितीय वर्गमूल को परिभाषित करें।

संख्या को गैर-ऋणात्मक क्यों होना चाहिए? उदाहरण के लिए, किसके बराबर है? ठीक है, आइए इसे जानने की कोशिश करते हैं। शायद तीन? आइए देखें: और नहीं। शायद, ? दोबारा, जांचें: अच्छा, क्या यह चयनित नहीं है? यह उम्मीद की जानी चाहिए - क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है, जो चुकता होने पर ऋणात्मक संख्या दे!

हालाँकि, आपने शायद पहले ही देखा है कि परिभाषा कहती है कि "एक संख्या एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग बराबर है" के वर्गमूल का समाधान। और बहुत शुरुआत में, हमने उदाहरण का विश्लेषण किया, चयनित संख्याएँ जिन्हें एक ही समय में चुकता और प्राप्त किया जा सकता है, उत्तर था और, और यहाँ यह किसी प्रकार की "गैर-ऋणात्मक संख्या" के बारे में बात कर रहा है! ऐसी टिप्पणी काफी उचित है। यहां केवल द्विघात समीकरणों की अवधारणाओं और किसी संख्या के अंकगणितीय वर्गमूल के बीच अंतर करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यह एक अभिव्यक्ति के बराबर नहीं है।

और उसी का अनुसरण करता है।

बेशक, यह बहुत भ्रमित करने वाला है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि संकेत समीकरण को हल करने का परिणाम हैं, क्योंकि समीकरण को हल करते समय, हमें उन सभी एक्स को लिखना होगा, जो मूल समीकरण में प्रतिस्थापित होने पर सही देंगे। नतीजा। हमारे द्विघात समीकरण में और दोनों फिट बैठता है।

हालांकि, यदि आप किसी चीज का वर्गमूल ही लेते हैं, तो आपको हमेशा एक गैर-ऋणात्मक परिणाम मिलता है.

अब इस समीकरण को हल करने का प्रयास करें। सब कुछ इतना सरल और सहज नहीं है, है ना? संख्याओं के माध्यम से छाँटने की कोशिश करें, शायद कुछ जल जाएगा?

आइए शुरू से ही शुरू करें - खरोंच से: - फिट नहीं है, आगे बढ़ें; - तीन से कम, हम भी एक तरफ ब्रश करते हैं, लेकिन क्या होगा? आइए देखें: - भी फिट नहीं है, क्योंकि यह तीन से अधिक है। नकारात्मक संख्याओं के साथ, वही कहानी निकलेगी। और अब क्या करें? क्या खोज ने हमें कुछ नहीं दिया? बिल्कुल नहीं, अब हम निश्चित रूप से जानते हैं कि उत्तर कुछ संख्या के बीच में होगा, साथ ही साथ और के बीच भी। साथ ही, यह स्पष्ट है कि हल पूर्णांक नहीं होंगे। इसके अलावा, वे तर्कसंगत नहीं हैं। तो, आगे क्या है? आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं और उस पर समाधानों को चिह्नित करें।

आइए सिस्टम को चकमा देने की कोशिश करें और कैलकुलेटर का उपयोग करके उत्तर प्राप्त करें! आइए व्यापार की जड़ को बाहर निकालें! ओह-ओह-ओह, यह पता चला है कि ऐसी संख्या कभी समाप्त नहीं होती है। आप इसे कैसे याद रख सकते हैं, क्योंकि परीक्षा में कोई कैलकुलेटर नहीं होगा! सब कुछ बहुत सरल है, आपको इसे याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको एक अनुमानित मूल्य को याद रखने (या जल्दी से अनुमान लगाने में सक्षम) की आवश्यकता है। और जवाब खुद। ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है, और ऐसी संख्याओं के अंकन को सरल बनाने के लिए वर्गमूल की अवधारणा पेश की गई थी।
आइए सुदृढ़ करने के लिए एक और उदाहरण देखें। आइए निम्नलिखित समस्या का विश्लेषण करें: आपको एक वर्गाकार मैदान को किमी की भुजा के साथ तिरछे पार करने की आवश्यकता है, आपको कितने किमी जाना है?

यहाँ सबसे स्पष्ट बात यह है कि त्रिभुज पर अलग से विचार करें और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें:। इस प्रकार, । तो यहाँ आवश्यक दूरी क्या है? जाहिर है, दूरी नकारात्मक नहीं हो सकती है, हमें वह मिलता है। दो का मूल लगभग बराबर है, लेकिन, जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, पहले से ही एक पूर्ण उत्तर है।

जड़ निष्कर्षण

ताकि उदाहरणों को जड़ों से हल करने से समस्या न हो, आपको उन्हें देखने और पहचानने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, आपको कम से कम संख्याओं के वर्गों को जानने की जरूरत है, साथ ही उन्हें पहचानने में सक्षम होना चाहिए।

यही है, आपको यह जानने की जरूरत है कि क्या चुकता है, और इसके विपरीत, क्या चुकता है। सबसे पहले, यह तालिका आपको जड़ निकालने में मदद करेगी।

जैसे ही आप पर्याप्त संख्या में उदाहरणों को हल करते हैं, तो इसकी आवश्यकता स्वतः ही गायब हो जाएगी।
निम्नलिखित भावों में स्वयं वर्गमूल निकालने का प्रयास करें:

अच्छा, यह कैसे काम किया? आइए अब इन उदाहरणों को देखें:

अंकगणित वर्गमूल के गुण

अब आप जानते हैं कि जड़ों को कैसे निकाला जाता है और यह अंकगणितीय वर्गमूल के गुणों के बारे में जानने का समय है। उनमें से केवल 3 हैं:

• गुणन;
• विभाजन;
• घातांक

खैर, इस तालिका की मदद से उन्हें याद रखना बहुत आसान है और निश्चित रूप से, प्रशिक्षण:

कैसे तय करें
द्विघातीय समीकरण

पिछले पाठों में, हमने "रैखिक समीकरणों को कैसे हल करें" का विश्लेषण किया, अर्थात्, पहली डिग्री के समीकरण। इस पाठ में, हम पता लगाएंगे द्विघात समीकरण क्या हैऔर इसे कैसे हल करें।

द्विघात समीकरण क्या है

एक समीकरण की डिग्री उस उच्चतम डिग्री से निर्धारित होती है जिस पर अज्ञात खड़ा होता है।

यदि अज्ञात की अधिकतम डिग्री "2" है, तो आपके पास द्विघात समीकरण है।

द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

"ए", "बी" और "सी" खोजने के लिए आपको द्विघात समीकरण "कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0" के सामान्य रूप के साथ अपने समीकरण की तुलना करने की आवश्यकता है।

आइए द्विघात समीकरणों में गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करने का अभ्यास करें।

• ए = 5
• बी = -14
• सी = 17

• ए = -7
• बी = −13
• सी = 8

• ए = -1
• बी = 1

• ए = 1
• बी = 0.25
• सी = 0

• ए = 1
• बी = 0
• सी = −8

द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें

भिन्न रेखीय समीकरणद्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, एक विशेष जड़ों को खोजने का सूत्र.

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए आपको चाहिए:

• द्विघात समीकरण को में लाएं सामान्य दृष्टि से"कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0"। यानी दायीं तरफ सिर्फ "0" ही रहना चाहिए;
• जड़ों के लिए सूत्र का प्रयोग करें:

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके यह पता लगाएं कि द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए सूत्र को कैसे लागू किया जाए। आइए द्विघात समीकरण को हल करें।

समीकरण "x 2 − 3x − 4 = 0" को पहले ही सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" में घटा दिया गया है और इसके लिए अतिरिक्त सरलीकरण की आवश्यकता नहीं है। इसे हल करने के लिए, हमें केवल आवेदन करने की आवश्यकता है द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र.

आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" परिभाषित करें।

• ए = 1
• बी = -3
• सी = −4

उन्हें सूत्र में रखिए और मूल ज्ञात कीजिए।

जड़ों को खोजने के सूत्र को याद करना सुनिश्चित करें।

इसकी सहायता से कोई भी द्विघात समीकरण हल किया जाता है।

द्विघात समीकरण के एक अन्य उदाहरण पर विचार करें।

इस रूप में, गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करना काफी मुश्किल है। आइए पहले समीकरण को "ax 2 + bx + c = 0" के सामान्य रूप में लाएं।

अब आप जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

ऐसे समय होते हैं जब द्विघात समीकरणों में कोई जड़ें नहीं होती हैं। यह स्थिति तब होती है जब मूल के नीचे सूत्र में ऋणात्मक संख्या दिखाई देती है।

वर्गमूल की परिभाषा से हमें याद है कि आप ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल नहीं ले सकते।

एक द्विघात समीकरण के उदाहरण पर विचार करें जिसकी कोई जड़ नहीं है।

तो, हमें एक ऐसी स्थिति मिली जहां रूट के नीचे एक ऋणात्मक संख्या है। इसका मतलब है कि समीकरण में कोई जड़ें नहीं हैं। इसलिए, जवाब में, हमने लिखा "कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।"

"कोई वास्तविक जड़ें नहीं" शब्दों का क्या अर्थ है? आप सिर्फ "कोई जड़ नहीं" क्यों नहीं लिख सकते?

वास्तव में, ऐसे मामलों में जड़ें हैं, लेकिन के ढांचे के भीतर स्कूल के पाठ्यक्रमउन्हें पारित नहीं किया जाता है, इसलिए, प्रतिक्रिया में, हम उसे लिख देते हैं वास्तविक संख्याकोई जड़ें नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, "कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।"

अपूर्ण द्विघात समीकरण

कभी-कभी द्विघात समीकरण होते हैं जिनमें कोई स्पष्ट गुणांक "बी" और/या "सी" नहीं होता है। उदाहरण के लिए, इस समीकरण में:

ऐसे समीकरण अपूर्ण कहलाते हैं। द्विघातीय समीकरण. उन्हें कैसे हल किया जाए, इसकी चर्चा "अपूर्ण द्विघात समीकरण" पाठ में की गई है।

किसी संख्या का वर्गमूल निकालना एकमात्र ऐसा ऑपरेशन नहीं है जिसे इस गणितीय घटना के साथ किया जा सकता है। सामान्य संख्याओं की तरह, वर्गमूलों को जोड़ा और घटाया जा सकता है।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

वर्गमूल जोड़ने और घटाने के नियम

परिभाषा 1

वर्गमूल को जोड़ने और घटाने जैसी क्रियाएं तभी संभव हैं जब मूल व्यंजक समान हो।

उदाहरण 1

आप व्यंजकों को जोड़ या घटा सकते हैं 2 3 और 6 3, लेकिन नहीं 5 6 और 9 4. यदि व्यंजक को सरल बनाना और उसे समान मूल संख्या के साथ मूल में लाना संभव है, तो सरल करें, और फिर जोड़ें या घटाएं।

मूल क्रियाएँ: मूल बातें

उदाहरण 2

6 50 - 2 8 + 5 12

क्रिया एल्गोरिथ्म:

1. मूल व्यंजक को सरल कीजिए. ऐसा करने के लिए, मूल अभिव्यक्ति को 2 कारकों में विघटित करना आवश्यक है, जिनमें से एक वर्ग संख्या है (वह संख्या जिससे पूरा वर्गमूल निकाला जाता है, उदाहरण के लिए, 25 या 9)।
2. फिर आपको रूट निकालने की जरूरत है वर्ग संख्या और परिणामी मान को मूल चिह्न से पहले लिखें। कृपया ध्यान दें कि दूसरा कारक रूट साइन के तहत दर्ज किया गया है।
3. सरलीकरण प्रक्रिया के बाद, जड़ों को समान मूल अभिव्यक्तियों के साथ रेखांकित करना आवश्यक है - केवल उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है।
4. समान मूल भाव वाले मूलों के लिए, मूल चिह्न से पहले के कारकों को जोड़ना या घटाना आवश्यक है। मूल अभिव्यक्ति अपरिवर्तित रहती है। मूल संख्याओं को जोड़ें या घटाएं नहीं!

टिप 1

यदि आपके पास के साथ एक उदाहरण है बड़ी मात्रासमरूप मूलक व्यंजक, फिर गणना प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाने के लिए ऐसे व्यंजकों को सिंगल, डबल और ट्रिपल लाइनों के साथ रेखांकित करें।

उदाहरण 3

आइए इस उदाहरण को आजमाएं:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2। पहले आपको 50 को 2 गुणनखंड 25 और 2 में विघटित करने की आवश्यकता है, फिर 25 की जड़ लें, जो कि 5 है, और जड़ के नीचे से 5 निकाल लें। उसके बाद, आपको 5 को 6 से गुणा करना होगा (मूल पर गुणक) और 30 2 प्राप्त करना होगा।

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2। सबसे पहले, आपको 8 को 2 कारकों में विघटित करने की आवश्यकता है: 4 और 2। फिर, 4 से, जड़ निकालें, जो 2 के बराबर है, और 2 को जड़ के नीचे से निकालें। उसके बाद, आपको 2 को 2 से गुणा करना होगा (मूल का गुणनखंड) और 4 2 प्राप्त करना होगा।

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3। सबसे पहले, आपको 12 को 2 कारकों में विघटित करने की आवश्यकता है: 4 और 3। फिर जड़ को 4 से निकालें, जो कि 2 है, और इसे जड़ के नीचे से निकालें। उसके बाद, आपको 2 को 5 से गुणा करना होगा (मूल पर गुणनखंड) और 10 3 प्राप्त करना होगा।

सरलीकरण परिणाम: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

नतीजतन, हमने देखा कि कितने समान कट्टरपंथी अभिव्यक्तियां निहित हैं यह उदाहरण. अब अन्य उदाहरणों के साथ अभ्यास करते हैं।

उदाहरण 4

• सरल कीजिए (45)। हम 45: (45) = (9 × 5) का गुणनखंड करते हैं;
• हम जड़ के नीचे से 3 निकालते हैं (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• हम गुणनखंडों को मूल में जोड़ते हैं: 3 5 + 4 5 = 7 5 ।

उदाहरण 5

6 40 - 3 10 + 5:

• 6 40 का सरलीकरण। हम 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) का गुणनखंड करते हैं;
• हम जड़ के नीचे से 2 निकालते हैं (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• हम मूल के सामने वाले गुणनखंडों को गुणा करते हैं: 12 10;
• हम व्यंजक को सरलीकृत रूप में लिखते हैं: 12 10 - 3 10 + 5;
• चूँकि पहले दो पदों की मूल संख्याएँ समान हैं, इसलिए हम उन्हें घटा सकते हैं: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5।

उदाहरण 6

जैसा कि हम देख सकते हैं, मूलांकों को सरल बनाना संभव नहीं है, इसलिए हम उदाहरण में समान मूलांक वाले सदस्यों की तलाश करते हैं, गणितीय संक्रियाएँ करते हैं (जोड़ें, घटाएँ, आदि) और परिणाम लिखें:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

सलाह:

• जोड़ने या घटाने से पहले, मूल भावों को सरल (यदि संभव हो) करना अनिवार्य है।
• विभिन्न मूल भावों के साथ जड़ों को जोड़ना और घटाना सख्त वर्जित है।
• किसी पूर्णांक या वर्गमूल को न जोड़ें या घटाएं: 3 + (2 x) 1/2 ।
• भिन्नों के साथ क्रिया करते समय, आपको एक ऐसी संख्या ढूंढनी होगी जो प्रत्येक हर द्वारा पूरी तरह से विभाज्य हो, फिर भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएं, फिर अंश जोड़ें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

यदि आपको टेक्स्ट में कोई गलती दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाईलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएं