मूलों को जानकर द्विघात समीकरण कैसे लिखें। द्विघात समीकरण - समाधान, विशेषताओं और सूत्रों के साथ उदाहरण

हम विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं समीकरणों का हल". हम पहले ही रैखिक समीकरणों से परिचित हो चुके हैं और अब हम इससे परिचित होने जा रहे हैं द्विघातीय समीकरण.

सबसे पहले, हम विश्लेषण करेंगे कि द्विघात समीकरण क्या है, इसे कैसे लिखा जाता है सामान्य दृष्टि से, और संबंधित परिभाषाएं दें। उसके बाद, उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे कि अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। आइए समाधान पर चलते हैं। पूर्ण समीकरण, हम जड़ों का सूत्र प्राप्त करते हैं, द्विघात समीकरण के विवेचक से परिचित होते हैं और विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करते हैं। अंत में, हम जड़ों और गुणांकों के बीच संबंध का पता लगाते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

द्विघात समीकरण क्या है? उनके प्रकार

पहले आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि द्विघात समीकरण क्या है। इसलिए, द्विघात समीकरण की परिभाषा के साथ-साथ उससे संबंधित परिभाषाओं के साथ द्विघात समीकरणों के बारे में बात करना शुरू करना तर्कसंगत है। उसके बाद, आप मुख्य प्रकार के द्विघात समीकरणों पर विचार कर सकते हैं: कम और गैर-कम, साथ ही पूर्ण और अपूर्ण समीकरण।

द्विघात समीकरणों की परिभाषा और उदाहरण

परिभाषा।

द्विघात समीकरणफॉर्म का एक समीकरण है ए एक्स 2 +बी एक्स+सी=0, जहाँ x एक चर है, a , b और c कुछ संख्याएँ हैं, और a शून्य से भिन्न है।

आइए तुरंत कहें कि द्विघात समीकरणों को अक्सर दूसरी डिग्री के समीकरण कहा जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि द्विघात समीकरण है बीजीय समीकरणदूसरी उपाधि।

ध्वनि की परिभाषा हमें द्विघात समीकरणों के उदाहरण देने की अनुमति देती है। तो 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, आदि। द्विघात समीकरण हैं।

परिभाषा।

नंबर ए, बी और सी कहा जाता है द्विघात समीकरण के गुणांक a x 2 + b x + c \u003d 0, और गुणांक a को पहला, या वरिष्ठ, या x 2 पर गुणांक कहा जाता है, b दूसरा गुणांक है, या x पर गुणांक है, और c एक मुक्त सदस्य है।

उदाहरण के लिए, आइए 5 x 2 −2 x−3=0 के रूप का द्विघात समीकरण लें, यहां प्रमुख गुणांक 5 है, दूसरा गुणांक −2 है, और मुक्त पद −3 है। ध्यान दें कि जब गुणांक b और/या c ऋणात्मक हों, जैसा कि अभी दिए गए उदाहरण में है, तब संक्षिप्त रूप 5 x 2 −2 x−3=0 फॉर्म का द्विघात समीकरण लिखना, न कि 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 ।

यह ध्यान देने योग्य है कि जब गुणांक a और / या b 1 या -1 के बराबर होते हैं, तो वे आमतौर पर द्विघात समीकरण के संकेतन में स्पष्ट रूप से मौजूद नहीं होते हैं, जो कि इस तरह के अंकन की ख़ासियत के कारण होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण y 2 −y+3=0 में, प्रमुख गुणांक एक है, और y पर गुणांक -1 है।

कम और गैर कम द्विघात समीकरण

अग्रणी गुणांक के मूल्य के आधार पर, कम और गैर-कम द्विघात समीकरण प्रतिष्ठित हैं। आइए हम संबंधित परिभाषाएं दें।

परिभाषा।

एक द्विघात समीकरण जिसमें अग्रणी गुणांक 1 होता है, कहलाता है घटा हुआ द्विघात समीकरण. अन्यथा, द्विघात समीकरण है कम किया हुआ.

इस परिभाषा के अनुसार, द्विघात समीकरण x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, आदि। - कम, उनमें से प्रत्येक में पहला गुणांक एक के बराबर. और 5 x 2 −x−1=0 , आदि। - अपरिष्कृत द्विघात समीकरण, उनके प्रमुख गुणांक 1 से भिन्न होते हैं।

किसी भी गैर-घटित द्विघात समीकरण से, इसके दोनों भागों को अग्रणी गुणांक से विभाजित करके, आप घटाए गए समीकरण पर जा सकते हैं। यह क्रिया एक समतुल्य परिवर्तन है, अर्थात, इस तरह से प्राप्त कम द्विघात समीकरण की जड़ें मूल गैर-घटित द्विघात समीकरण के समान हैं, या, इसकी तरह, कोई जड़ें नहीं हैं।

आइए एक उदाहरण लेते हैं कि कैसे एक असंबद्ध द्विघात समीकरण से एक कम किए गए समीकरण में संक्रमण किया जाता है।

उदाहरण।

समीकरण 3 x 2 +12 x−7=0 से, संगत घटाए गए द्विघात समीकरण पर जाएं।

समाधान।

हमारे लिए मूल समीकरण के दोनों भागों को प्रमुख गुणांक 3 से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है, यह गैर-शून्य है, इसलिए हम यह क्रिया कर सकते हैं। हमारे पास (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 है, जो समान है (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , और इसी तरह (3 x 2): :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , कहां से । तो हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण मिला, जो मूल समीकरण के बराबर है।

उत्तर:

पूर्ण और अपूर्ण द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण की परिभाषा में एक शर्त a≠0 है। समीकरण a x 2 +b x+c=0 के बिल्कुल वर्गाकार होने के लिए यह शर्त आवश्यक है, क्योंकि a=0 के साथ यह वास्तव में b x+c=0 रूप का एक रैखिक समीकरण बन जाता है।

गुणांक बी और सी के लिए, वे शून्य के बराबर हो सकते हैं, दोनों अलग-अलग और एक साथ। इन मामलों में, द्विघात समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है।

परिभाषा।

द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 कहा जाता है अधूरा, यदि कम से कम एक गुणांक b , c शून्य के बराबर है।

इसकी बारी में

परिभाषा।

पूर्ण द्विघात समीकरणएक समीकरण है जिसमें सभी गुणांक शून्य से भिन्न होते हैं।

ये नाम संयोग से नहीं दिए गए हैं। यह निम्नलिखित चर्चा से स्पष्ट हो जाएगा।

यदि गुणांक b शून्य के बराबर है, तो द्विघात समीकरण a x 2 +0 x+c=0 रूप लेता है, और यह समीकरण a x 2 +c=0 के बराबर है। यदि c=0 , अर्थात द्विघात समीकरण का रूप a x 2 +b x+0=0 है, तो इसे a x 2 +b x=0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। और b=0 और c=0 से हमें द्विघात समीकरण a·x 2 =0 मिलता है। परिणामी समीकरण पूर्ण द्विघात समीकरण से इस मायने में भिन्न होते हैं कि उनके बाएँ हाथ की भुजाओं में या तो चर x वाला कोई पद नहीं है, या एक मुक्त पद, या दोनों नहीं हैं। इसलिए उनके नाम - अपूर्ण द्विघात समीकरण।

तो समीकरण x 2 +x+1=0 और −2 x 2 −5 x+0,2=0 पूर्ण द्विघात समीकरणों के उदाहरण हैं, और x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

यह पिछले पैराग्राफ की जानकारी से इस प्रकार है कि वहाँ है तीन प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण:

• a x 2 =0 , गुणांक b=0 और c=0 इसके अनुरूप हैं;
• a x 2 +c=0 जब b=0 ;
• और a x 2 +b x=0 जब c=0 ।

आइए हम इस क्रम में विश्लेषण करें कि इनमें से प्रत्येक प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।

ए एक्स 2 \u003d 0

आइए अधूरे द्विघात समीकरणों को हल करके शुरू करें जिसमें गुणांक b और c शून्य के बराबर हैं, अर्थात x 2 = 0 के रूप के समीकरणों के साथ। समीकरण a·x 2 =0 समीकरण x 2 =0 के समतुल्य है, जो मूल से इसके दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। जाहिर है, समीकरण x 2 \u003d 0 की जड़ शून्य है, 0 2 \u003d 0 से। इस समीकरण का कोई अन्य मूल नहीं है, जिसे समझाया गया है, वास्तव में, किसी भी गैर-शून्य संख्या p के लिए, असमानता p 2 >0 होती है, जिसका अर्थ है कि p≠0 के लिए, समानता p 2 = 0 कभी हासिल नहीं होती है।

तो, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 \u003d 0 का एक मूल x \u003d 0 है।

उदाहरण के तौर पर, हम एक अपूर्ण द्विघात समीकरण −4·x 2 =0 का हल देते हैं। यह समीकरण x 2 \u003d 0 के बराबर है, इसका एकमात्र मूल x \u003d 0 है, इसलिए मूल समीकरण का एक मूल शून्य है।

इस मामले में एक संक्षिप्त समाधान निम्नानुसार जारी किया जा सकता है:
−4 x 2 \u003d 0,
एक्स 2 \u003d 0,
एक्स = 0।

ए एक्स 2 +सी = 0

अब विचार करें कि अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, जिसमें गुणांक b शून्य के बराबर होता है, और c≠0, यानी a x 2 +c=0 के रूप के समीकरण। हम जानते हैं कि समीकरण के एक तरफ से विपरीत चिह्न के साथ एक पद का स्थानांतरण, साथ ही साथ एक गैर-शून्य संख्या द्वारा समीकरण के दोनों पक्षों का विभाजन, एक समान समीकरण देता है। इसलिए, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +c=0 के निम्नलिखित समतुल्य परिवर्तन किए जा सकते हैं:

• c को दाईं ओर ले जाएँ, जो समीकरण a x 2 =−c देता है,
• और इसके दोनों भागों को a से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है।

परिणामी समीकरण हमें इसकी जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है। a और c के मानों के आधार पर, व्यंजक का मान ऋणात्मक हो सकता है (उदाहरण के लिए, यदि a=1 और c=2 , तो ) या धनात्मक, (उदाहरण के लिए, यदि a=−2 और c=6 , तब), यह शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि शर्त c≠0 के अनुसार। हम अलग से मामलों का विश्लेषण करेंगे और .

यदि , तो समीकरण का कोई मूल नहीं है। यह कथन इस तथ्य का अनुसरण करता है कि किसी भी संख्या का वर्ग एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि जब , तब किसी संख्या p के लिए समता सत्य नहीं हो सकती।

यदि , तो समीकरण की जड़ों के साथ स्थिति अलग है। इस मामले में, अगर हम याद करते हैं, तो समीकरण की जड़ तुरंत स्पष्ट हो जाती है, यह संख्या है, क्योंकि। यह अनुमान लगाना आसान है कि संख्या भी समीकरण की जड़ है, वास्तव में,। इस समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं हैं, जिन्हें दिखाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, विरोधाभास द्वारा। हो जाए।

आइए समीकरण के उचित स्वर वाले मूलों को x 1 और −x 1 के रूप में निरूपित करें। मान लीजिए कि समीकरण का एक और मूल x 2 है जो संकेतित मूल x 1 और −x 1 से भिन्न है। यह ज्ञात है कि इसकी जड़ों के x के बजाय समीकरण में प्रतिस्थापन समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देता है। x 1 और −x 1 के लिए हमारे पास है, और x 2 के लिए हमारे पास है। संख्यात्मक समानता के गुण हमें वास्तविक संख्यात्मक समानता का पद-दर-अवधि घटाव करने की अनुमति देते हैं, इसलिए समानता के संगत भागों को घटाने पर x 1 2 - x 2 2 = 0 प्राप्त होता है। संख्याओं के साथ संक्रियाओं के गुण हमें परिणामी समानता को (x 1 - x 2)·(x 1 + x 2)=0 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देते हैं। हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर हो। इसलिए, यह प्राप्त समानता का अनुसरण करता है कि x 1 −x 2 =0 और/या x 1 +x 2 =0 , जो समान है, x 2 =x 1 और/या x 2 = −x 1 । इसलिए हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं, क्योंकि शुरुआत में हमने कहा था कि समीकरण x 2 का मूल x 1 और −x 1 से भिन्न है। इससे सिद्ध होता है कि समीकरण का और के अलावा और कोई मूल नहीं है।

आइए इस पैराग्राफ में जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करें। अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +c=0 समीकरण के समतुल्य है, जो

• कोई जड़ नहीं है अगर ,
• दो जड़ें हैं और यदि .

a·x 2 +c=0 रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

आइए द्विघात समीकरण 9 x 2 +7=0 से शुरू करें। मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करने के बाद, यह 9·x 2 =−7 का रूप ले लेगा। परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को 9 से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं। चूँकि दायीं ओर एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, इसलिए मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण 9 x 2 +7=0 का कोई मूल नहीं है।

आइए एक और अपूर्ण द्विघात समीकरण −x 2 +9=0 हल करें। हम नौ को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं: -x 2 \u003d -9। अब हम दोनों भागों को -1 से विभाजित करते हैं, हमें x 2 =9 प्राप्त होता है। दाईं ओर एक धनात्मक संख्या है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि या । अंतिम उत्तर लिखने के बाद: अपूर्ण द्विघात समीकरण −x 2 +9=0 के दो मूल x=3 या x=−3 हैं।

ए एक्स 2 +बी एक्स=0

यह c=0 के लिए अंतिम प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों के समाधान से निपटने के लिए बनी हुई है। फॉर्म के अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +b x=0 आपको हल करने की अनुमति देता है गुणनखंडन विधि. जाहिर है, हम समीकरण के बाईं ओर स्थित हो सकते हैं, जिसके लिए यह सामान्य कारक x को कोष्ठक से बाहर निकालने के लिए पर्याप्त है। यह हमें मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण से x·(a·x+b)=0 रूप के समतुल्य समीकरण में जाने की अनुमति देता है। और यह समीकरण दो समीकरणों x=0 और a x+b=0 के समुच्चय के समतुल्य है, जिनमें से अंतिम रैखिक है और इसका मूल x=−b/a है।

तो, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +b x=0 के दो मूल x=0 और x=−b/a हैं।

सामग्री को मजबूत करने के लिए, हम समाधान का विश्लेषण करते हैं मामले का अध्ययन.

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

समाधान।

हम कोष्ठक में से x निकालते हैं, यह समीकरण देता है। यह दो समीकरणों x=0 और के बराबर है। हम परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं: , और मिश्रित संख्या को से विभाजित करते हैं सामान्य अंश, हम देखतें है । इसलिए, मूल समीकरण के मूल x=0 और हैं।

आवश्यक अभ्यास प्राप्त करने के बाद, ऐसे समीकरणों के हल संक्षेप में लिखे जा सकते हैं:

उत्तर:

एक्स = 0,।

विभेदक, द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, एक मूल सूत्र है। आइए लिखते हैं द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र: , कहाँ पे डी=बी 2 −4 ए सी- तथाकथित द्विघात समीकरण का विभेदक. नोटेशन का अनिवार्य रूप से मतलब है कि .

यह जानना उपयोगी है कि मूल सूत्र कैसे प्राप्त किया गया था, और इसे द्विघात समीकरणों की जड़ों को खोजने में कैसे लागू किया जाता है। आइए इससे निपटें।

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x+c=0 को हल करें। आइए कुछ समकक्ष परिवर्तन करें:

• हम इस समीकरण के दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित कर सकते हैं, परिणामस्वरूप हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण मिलता है।
• अब एक पूर्ण वर्ग चुनेंइसके बाईं ओर: . उसके बाद, समीकरण रूप लेगा।
• इस स्तर पर, हमारे पास विपरीत चिन्ह के साथ अंतिम दो पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव है।
• और दायीं ओर के व्यंजक को भी रूपांतरित करते हैं: .

नतीजतन, हम समीकरण पर पहुंचते हैं, जो मूल द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x+c=0 के बराबर है।

जब हमने विश्लेषण किया तो हम पिछले पैराग्राफ में समान रूप में समीकरणों को पहले ही हल कर चुके हैं। यह हमें समीकरण की जड़ों के बारे में निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है:

• यदि , तो समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है;
• यदि , तो समीकरण का वह रूप है , इसलिए , जिससे उसका एकमात्र मूल दिखाई देता है;
• यदि , तो या , जो या के समान है, अर्थात समीकरण के दो मूल हैं।

इस प्रकार, समीकरण के मूलों की उपस्थिति या अनुपस्थिति, और इसलिए मूल द्विघात समीकरण, दायीं ओर के व्यंजक के चिन्ह पर निर्भर करता है। बदले में, इस व्यंजक का चिह्न अंश के चिह्न से निर्धारित होता है, क्योंकि हर 4 a 2 हमेशा धनात्मक होता है, अर्थात व्यंजक b 2 −4 a c का चिह्न। यह व्यंजक b 2 −4 a c कहलाता है द्विघात समीकरण का विभेदकऔर पत्र के साथ चिह्नित डी. यहाँ से विवेचक का सार स्पष्ट है - इसके मूल्य और चिन्ह से यह निष्कर्ष निकलता है कि क्या द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल हैं, और यदि हां, तो उनकी संख्या क्या है - एक या दो।

हम समीकरण पर लौटते हैं, इसे विवेचक के संकेतन का उपयोग करके फिर से लिखते हैं:। और हम निष्कर्ष निकालते हैं:

• अगर डी<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• यदि D=0, तो इस समीकरण का एक ही मूल है;
• अंत में, यदि D>0, तो समीकरण के दो मूल हैं या, जिसे या के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, और भिन्नों को एक सामान्य हर में विस्तारित और कम करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं।

इसलिए हमने द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र निकाले, वे ऐसे दिखते हैं, जहां विभेदक D की गणना सूत्र D=b 2 −4 a c द्वारा की जाती है।

उनकी मदद से, एक सकारात्मक विवेचक के साथ, आप द्विघात समीकरण के दोनों वास्तविक मूलों की गणना कर सकते हैं। पर शून्यविभेदक, दोनों सूत्र द्विघात समीकरण के एकमात्र समाधान के अनुरूप समान मूल मान देते हैं। और एक नकारात्मक विभेदक के साथ, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करते समय, हमें एक ऋणात्मक संख्या से वर्गमूल निकालने का सामना करना पड़ता है, जो हमें स्कूली पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर ले जाता है। एक नकारात्मक विवेचक के साथ, द्विघात समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं, लेकिन एक जोड़ी होती है जटिल सन्युग्मजड़ें, जिन्हें हमने प्राप्त किए गए मूल सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

व्यवहार में, द्विघात समीकरण को हल करते समय, आप तुरंत मूल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जिसके साथ उनके मूल्यों की गणना की जा सकती है। लेकिन यह जटिल जड़ों को खोजने के बारे में अधिक है।

हालाँकि, एक स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में, यह आमतौर पर होता है हम बात कर रहे हेजटिल के बारे में नहीं, बल्कि द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के बारे में। इस मामले में, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करने से पहले पहले विवेचक को खोजने की सलाह दी जाती है, सुनिश्चित करें कि यह गैर-ऋणात्मक है (अन्यथा, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं), और उसके बाद जड़ों के मूल्यों की गणना करें।

उपरोक्त तर्क हमें लिखने की अनुमति देता है द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म. द्विघात समीकरण a x 2 + b x + c \u003d 0 को हल करने के लिए, आपको चाहिए:

• विभेदक सूत्र D=b 2 −4 a c का उपयोग करके इसके मान की गणना करें;
• यह निष्कर्ष निकालें कि यदि विभेदक ऋणात्मक है तो द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है;
• सूत्र का उपयोग करके समीकरण के एकमात्र मूल की गणना करें यदि D=0 ;
• यदि विभेदक धनात्मक है, तो मूल सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

यहां हम केवल यह नोट करते हैं कि यदि विवेचक शून्य के बराबर है, तो सूत्र का भी उपयोग किया जा सकता है, यह वही मान देगा जो .

आप द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म को लागू करने के उदाहरणों पर आगे बढ़ सकते हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण

सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य विवेचक वाले तीन द्विघात समीकरणों के समाधान पर विचार करें। उनके हल से निपटने के बाद, सादृश्य द्वारा किसी अन्य द्विघात समीकरण को हल करना संभव होगा। चलो शुरू करो।

उदाहरण।

समीकरण x 2 +2 x−6=0 के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस मामले में, हमारे पास द्विघात समीकरण के निम्नलिखित गुणांक हैं: a=1 , b=2 और c=−6 । एल्गोरिथ्म के अनुसार, आपको पहले विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है, इसके लिए हम संकेतित a, b और c को विवेचक सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास है डी=बी 2 −4 ए सी=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. चूँकि 28>0, अर्थात् विवेचक शून्य से बड़ा है, द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। आइए उन्हें जड़ों के सूत्र द्वारा खोजें, हमें मिलता है, यहाँ हम करके प्राप्त किए गए व्यंजकों को सरल बना सकते हैं जड़ के चिन्ह को बाहर निकालनाइसके बाद अंश में कमी:

उत्तर:

आइए अगले विशिष्ट उदाहरण पर चलते हैं।

उदाहरण।

द्विघात समीकरण −4 x 2 +28 x−49=0 को हल करें।

समाधान।

हम विवेचक को ढूंढकर शुरू करते हैं: डी=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. इसलिए, इस द्विघात समीकरण का एक ही मूल है, जिसे हम पाते हैं, अर्थात्,

उत्तर:

एक्स = 3.5।

यह नकारात्मक विवेचक के साथ द्विघात समीकरणों के समाधान पर विचार करने के लिए बनी हुई है।

उदाहरण।

समीकरण 5 y 2 +6 y+2=0 हल कीजिए।

समाधान।

द्विघात समीकरण के गुणांक यहां दिए गए हैं: a=5 , b=6 और c=2 । इन मूल्यों को विवेचक सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है डी=बी 2 −4 ए सी=6 2 −4 5 2=36−40=−4. विवेचक ऋणात्मक है, इसलिए इस द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

यदि जटिल जड़ों को इंगित करना आवश्यक है, तो हम उपयोग करते हैं ज्ञात सूत्रद्विघात समीकरण की जड़ें, और प्रदर्शन जटिल संख्याओं के साथ संचालन:

उत्तर:

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, जटिल जड़ें हैं: .

एक बार फिर, हम ध्यान दें कि यदि द्विघात समीकरण का विभेदक ऋणात्मक है, तो स्कूल आमतौर पर तुरंत उत्तर लिख देता है, जिसमें वे इंगित करते हैं कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, और उन्हें जटिल जड़ें नहीं मिलती हैं।

दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र, जहां D=b 2 −4 a c आपको एक अधिक कॉम्पैक्ट सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है जो आपको x पर एक सम गुणांक के साथ द्विघात समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है (या केवल एक गुणांक के साथ जो 2 n जैसा दिखता है) , उदाहरण के लिए, या 14 ln5=2 7 ln5 )। चलो उसे बाहर निकालते हैं।

मान लीजिए कि हमें a x 2 +2 n x + c=0 रूप के द्विघात समीकरण को हल करने की आवश्यकता है। आइए हम ज्ञात सूत्र का उपयोग करके इसकी जड़ें खोजें। ऐसा करने के लिए, हम विवेचक की गणना करते हैं D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), और फिर हम मूल सूत्र का उपयोग करते हैं:

व्यंजक n 2 -a c को D 1 के रूप में निरूपित करें (कभी-कभी इसे D " के रूप में दर्शाया जाता है)। फिर दूसरे गुणांक 2 n के साथ माना द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र रूप लेता है , जहां डी 1 =एन 2 -ए सी।

यह देखना आसान है कि D=4·D 1 , या D 1 =D/4 । दूसरे शब्दों में, डी 1 विवेचक का चौथा भाग है। यह स्पष्ट है कि D 1 का चिन्ह D के चिन्ह के समान है। अर्थात्, चिह्न D 1 भी द्विघात समीकरण के मूलों की उपस्थिति या अनुपस्थिति का सूचक है।

तो, दूसरे गुणांक 2 n के साथ द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, आपको चाहिए

• D 1 =n 2 −a·c परिकलित करें;
• अगर डी 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• यदि डी 1 = 0, तो सूत्र का उपयोग करके समीकरण की एकमात्र जड़ की गणना करें;
• यदि D 1 >0, तो सूत्र का प्रयोग कर दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

इस अनुच्छेद में प्राप्त मूल सूत्र का उपयोग करके उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

द्विघात समीकरण 5 x 2 −6 x−32=0 को हल करें।

समाधान।

इस समीकरण के दूसरे गुणांक को 2·(−3) के रूप में दर्शाया जा सकता है। यानी, आप मूल द्विघात समीकरण को 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 के रूप में फिर से लिख सकते हैं, यहां a=5 , n=−3 और c=−32 , और इसके चौथे भाग की गणना कर सकते हैं विभेदक: डी 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. चूँकि इसका मान धनात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। हम उन्हें संबंधित मूल सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

ध्यान दें कि द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करना संभव था, लेकिन इस मामले में, अधिक कम्प्यूटेशनल कार्य करना होगा।

उत्तर:

द्विघात समीकरणों के रूप का सरलीकरण

कभी-कभी, सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना शुरू करने से पहले, यह प्रश्न पूछने में कोई दिक्कत नहीं होती है: "क्या इस समीकरण के रूप को सरल बनाना संभव है"? सहमत हैं कि गणना के संदर्भ में द्विघात समीकरण 11 x 2 −4 x −6=0 को 1100 x 2 −400 x−600=0 से हल करना आसान होगा।

आमतौर पर, द्विघात समीकरण के रूप का एक सरलीकरण इसके दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा या विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, पिछले पैराग्राफ में, हम दोनों पक्षों को 100 से विभाजित करके समीकरण 1100 x 2 −400 x −600=0 का सरलीकरण प्राप्त करने में सफल रहे।

द्विघात समीकरणों के साथ एक समान परिवर्तन किया जाता है, जिसके गुणांक नहीं होते हैं। इस मामले में, समीकरण के दोनों भागों को आमतौर पर इसके गुणांकों के निरपेक्ष मूल्यों से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आइए द्विघात समीकरण 12 x 2 −42 x+48=0 लेते हैं। इसके गुणांकों के निरपेक्ष मान: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 । मूल द्विघात समीकरण के दोनों भागों को 6 से विभाजित करने पर, हम समतुल्य द्विघात समीकरण 2 x 2 −7 x+8=0 पर पहुंचते हैं।

और द्विघात समीकरण के दोनों भागों का गुणन आमतौर पर भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाने के लिए किया जाता है। इस मामले में, गुणन इसके गुणांकों के हर पर किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि द्विघात समीकरण के दोनों भागों को LCM(6, 3, 1)=6 से गुणा किया जाता है, तो यह एक सरल रूप x 2 +4 x−18=0 ले लेगा।

इस अनुच्छेद के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि लगभग हमेशा सभी पदों के संकेतों को बदलकर द्विघात समीकरण के प्रमुख गुणांक पर ऋण से छुटकारा मिलता है, जो दोनों भागों को -1 से गुणा (या विभाजित) करने के अनुरूप होता है। उदाहरण के लिए, आमतौर पर द्विघात समीकरण −2·x 2 −3·x+7=0 से समाधान 2·x 2 +3·x−7=0 पर जाएं।

द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध

द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र समीकरण के मूलों को उसके गुणांकों के रूप में व्यक्त करता है। मूलों के सूत्र के आधार पर, आप मूलों और गुणांकों के बीच अन्य संबंध प्राप्त कर सकते हैं।

प्रपत्र के Vieta प्रमेय से सबसे प्रसिद्ध और लागू सूत्र और . विशेष रूप से, दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर होता है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 3 x 2 −7 x+22=0 के रूप में, हम तुरंत कह सकते हैं कि इसके मूलों का योग 7/3 है, और मूलों का गुणनफल 22/3 है।

पहले से लिखे गए सूत्रों का उपयोग करके, आप द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच कई अन्य संबंध प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप किसी द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों के योग को उसके गुणांकों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: .

ग्रंथ सूची।

• बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित। 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1. छात्र की पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थानों/ ए जी मोर्दकोविच। - 11 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनमोज़िना, 2009. - 215 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01155-2।

"समीकरणों को हल करना" विषय की निरंतरता में, इस लेख की सामग्री आपको द्विघात समीकरणों से परिचित कराएगी।

आइए हर चीज पर विस्तार से विचार करें: द्विघात समीकरण का सार और अंकन, संबंधित शब्द सेट करें, अपूर्ण और पूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए योजना का विश्लेषण करें, जड़ों और विवेचक के सूत्र से परिचित हों, जड़ों और गुणांक के बीच संबंध स्थापित करें, और निश्चित रूप से हम व्यावहारिक उदाहरणों का एक दृश्य समाधान देंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

द्विघात समीकरण, इसके प्रकार

परिभाषा 1

द्विघात समीकरणसमीकरण के रूप में लिखा गया है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, कहाँ पे एक्स- चर, ए, बी और सीकुछ संख्याएं हैं, जबकि एकशून्य नहीं है।

अक्सर, द्विघात समीकरणों को दूसरी डिग्री के समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि वास्तव में एक द्विघात समीकरण होता है बीजीय समीकरणदूसरी उपाधि।

आइए दी गई परिभाषा को स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण दें: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, आदि। द्विघात समीकरण हैं।

परिभाषा 2

नंबर ए, बी और सीद्विघात समीकरण के गुणांक हैं ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, जबकि गुणांक एक x 2 पर पहला, या वरिष्ठ, या गुणांक कहा जाता है, b - दूसरा गुणांक, या गुणांक at एक्स, एक सीमुक्त सदस्य कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण में 6 x 2 - 2 x - 11 = 0उच्चतम गुणांक 6 है, दूसरा गुणांक है − 2 , और मुक्त पद के बराबर है − 11 . आइए हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि जब गुणांक बीऔर/या c ऋणात्मक हैं, तो शॉर्टहैंड फॉर्म का उपयोग किया जाता है 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, लेकिन नहीं 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

आइए हम इस पहलू को भी स्पष्ट करें: यदि गुणांक एकऔर/या बीबराबर 1 या − 1 , तो वे द्विघात समीकरण को लिखने में एक स्पष्ट भाग नहीं ले सकते हैं, जिसे संकेतित संख्यात्मक गुणांक लिखने की ख़ासियत द्वारा समझाया गया है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण में वाई 2 - वाई + 7 = 0वरिष्ठ गुणांक 1 है और दूसरा गुणांक है − 1 .

कम और गैर कम द्विघात समीकरण

पहले गुणांक के मूल्य के अनुसार, द्विघात समीकरणों को कम और गैर-घटित में विभाजित किया जाता है।

परिभाषा 3

घटा हुआ द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है जहां अग्रणी गुणांक 1 है। अग्रणी गुणांक के अन्य मूल्यों के लिए, द्विघात समीकरण को कम नहीं किया जाता है।

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: द्विघात समीकरण x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 - x − 4 5 = 0 घटाए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक में प्रमुख गुणांक 1 है।

9 x 2 - x - 2 = 0- अपरिष्कृत द्विघात समीकरण, जहां पहला गुणांक से भिन्न होता है 1 .

किसी भी अपरिष्कृत द्विघात समीकरण को उसके दोनों भागों को पहले गुणांक (समतुल्य परिवर्तन) से विभाजित करके एक कम समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है। रूपांतरित समीकरण के मूल दिए गए गैर-घटित समीकरण के समान होंगे या बिल्कुल भी मूल नहीं होंगे।

एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करने से हम स्पष्ट रूप से एक कम किए गए द्विघात समीकरण से एक कम किए गए समीकरण में संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करने की अनुमति देंगे।

उदाहरण 1

समीकरण 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . दिया गया है . मूल समीकरण को घटे हुए रूप में बदलना आवश्यक है।

समाधान

उपरोक्त योजना के अनुसार, हम मूल समीकरण के दोनों भागों को प्रमुख गुणांक 6 से विभाजित करते हैं। तब हमें मिलता है: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, और यह वही है: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0और आगे: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0।यहाँ से: एक्स 2 + 3 एक्स - 1 1 6 = 0। इस प्रकार, दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण प्राप्त होता है।

उत्तर: एक्स 2 + 3 एक्स - 1 1 6 = 0।

पूर्ण और अपूर्ण द्विघात समीकरण

आइए हम द्विघात समीकरण की परिभाषा की ओर मुड़ें। इसमें, हमने निर्दिष्ट किया कि एक 0. एक समान स्थिति समीकरण के लिए आवश्यक है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0बिल्कुल चौकोर था, क्योंकि ए = 0यह अनिवार्य रूप से एक रैखिक समीकरण में बदल जाता है बी एक्स + सी = 0.

मामले में जहां गुणांक बीतथा सीशून्य के बराबर हैं (जो व्यक्तिगत और संयुक्त रूप से संभव है), द्विघात समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है।

परिभाषा 4

अधूरा द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी \u003d 0,जहां कम से कम एक गुणांक बीतथा सी(या दोनों) शून्य है।

पूर्ण द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है जिसमें सभी संख्यात्मक गुणांक शून्य के बराबर नहीं होते हैं।

आइए चर्चा करें कि द्विघात समीकरणों के प्रकारों को ठीक ऐसे नाम क्यों दिए गए हैं।

b = 0 के लिए, द्विघात समीकरण रूप लेता है ए एक्स 2 + 0 एक्स + सी = 0, जो के समान है ए एक्स 2 + सी = 0. पर सी = 0द्विघात समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है ए एक्स 2 + बी एक्स + 0 = 0, जो समतुल्य है ए एक्स 2 + बी एक्स = 0. पर बी = 0तथा सी = 0समीकरण का रूप ले लेगा एक एक्स 2 = 0. हमने जो समीकरण प्राप्त किए हैं, वे पूर्ण द्विघात समीकरण से भिन्न हैं, क्योंकि उनके बाएं हाथ की भुजाओं में या तो चर x वाला कोई पद नहीं है, या एक मुक्त पद, या दोनों एक साथ नहीं हैं। दरअसल, इस तथ्य ने इस प्रकार के समीकरणों को नाम दिया - अधूरा।

उदाहरण के लिए, x 2 + 3 x + 4 = 0 और - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 पूर्ण द्विघात समीकरण हैं; एक्स 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , - x 2 - 6 x = 0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

ऊपर दी गई परिभाषा निम्नलिखित प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को अलग करना संभव बनाती है:

• एक एक्स 2 = 0, गुणांक ऐसे समीकरण के अनुरूप हैं बी = 0और सी = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0 के लिए;
• c = 0 के लिए a x 2 + b x = 0।

प्रत्येक प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के हल पर क्रमिक रूप से विचार करें।

समीकरण का हल a x 2 \u003d 0

जैसा कि पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया है, ऐसा समीकरण गुणांक से मेल खाता है बीतथा सी, शून्य के बराबर। समीकरण एक एक्स 2 = 0एक समान समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है x2 = 0, जो हमें मूल समीकरण के दोनों पक्षों को संख्या . से विभाजित करने पर प्राप्त होता है एक, शून्य के बराबर नहीं। स्पष्ट तथ्य, जो समीकरण की जड़ है x2 = 0शून्य है क्योंकि 0 2 = 0 . इस समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं हैं, जिसे डिग्री के गुणों द्वारा समझाया गया है: किसी भी संख्या के लिए पी ,शून्य के बराबर नहीं, असमानता सत्य है p2 > 0, जिससे यह इस प्रकार है कि जब पी 0समानता पी2 = 0कभी नहीं पहुंचेगा।

परिभाषा 5

अत: अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 = 0 के लिए एक अद्वितीय मूल है एक्स = 0.

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, आइए एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करें -3 x 2 = 0. यह समीकरण के बराबर है x2 = 0, इसकी एकमात्र जड़ है एक्स = 0, तो मूल समीकरण का एक ही मूल है - शून्य।

समाधान संक्षेप में इस प्रकार है:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0।

समीकरण का हल a x 2 + c \u003d 0

अगली पंक्ति में अधूरे द्विघात समीकरणों का हल है, जहाँ b \u003d 0, c ≠ 0, अर्थात् रूप के समीकरण ए एक्स 2 + सी = 0. आइए इस समीकरण को समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ स्थानांतरित करके, चिह्न को विपरीत में बदलकर और समीकरण के दोनों पक्षों को एक संख्या से विभाजित करें जो शून्य के बराबर नहीं है:

• सहना सीदाईं ओर, जो समीकरण देता है ए एक्स 2 = - सी;
• समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें एक, हम परिणाम x = - c a के रूप में प्राप्त करते हैं।

हमारे परिवर्तन क्रमशः समतुल्य हैं, परिणामी समीकरण भी मूल के बराबर है, और यह तथ्य समीकरण की जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाता है। मूल्यों से क्या हैं एकतथा सीव्यंजक के मान पर निर्भर करता है - c a: इसमें ऋण चिह्न हो सकता है (उदाहरण के लिए, if ए = 1तथा सी = 2, तो - c a = - 2 1 = - 2) या एक धन चिह्न (उदाहरण के लिए, if .) ए = -2तथा सी = 6, फिर - सी ए = - 6 - 2 = 3); यह शून्य के बराबर नहीं है क्योंकि सी 0. आइए हम उन स्थितियों पर अधिक विस्तार से ध्यान दें जब - c a< 0 и - c a > 0 .

मामले में जब - सी ए< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа पीसमता p 2 = - c a सत्य नहीं हो सकता।

सब कुछ अलग है जब - c a > 0: वर्गमूल को याद रखें, और यह स्पष्ट हो जाएगा कि समीकरण का मूल x 2 \u003d - c a संख्या होगी - c a, चूंकि - c a 2 \u003d - c a। यह समझना आसान है कि संख्या - - c a - भी समीकरण का मूल है x 2 = - c a: वास्तव में, - - c a 2 = - c a ।

समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं होंगी। हम इसे विपरीत विधि का उपयोग करके प्रदर्शित कर सकते हैं। सबसे पहले, आइए ऊपर पाए गए जड़ों के अंकन को इस प्रकार सेट करें एक्स 1तथा - एक्स 1. आइए मान लें कि समीकरण x 2 = - c a का भी एक मूल है x2, जो जड़ों से अलग है एक्स 1तथा - एक्स 1. हम जानते हैं कि के बजाय समीकरण में प्रतिस्थापित करके एक्सइसकी जड़ें, हम समीकरण को एक निष्पक्ष संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

के लिये एक्स 1तथा - एक्स 1लिखें: x 1 2 = - c a , और for x2- एक्स 2 2 \u003d - सी ए। संख्यात्मक समानता के गुणों के आधार पर, हम एक वास्तविक समानता को दूसरे पद से घटाते हैं, जो हमें देगा: x 1 2 - x 2 2 = 0. अंतिम समानता को फिर से लिखने के लिए संख्या संचालन के गुणों का उपयोग करें (एक्स 1 - एक्स 2) (एक्स 1 + एक्स 2) = 0. यह ज्ञात है कि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि उनमें से कम से कम एक संख्या शून्य हो। जो कहा गया है, वह इस प्रकार है x1 - x2 = 0और/या x1 + x2 = 0, जो एक ही है x2 = x1और/या एक्स 2 = - एक्स 1. एक स्पष्ट विरोधाभास उत्पन्न हुआ, क्योंकि सबसे पहले यह सहमति हुई थी कि समीकरण की जड़ x2से भिन्न है एक्स 1तथा - एक्स 1. इसलिए, हमने सिद्ध किया है कि समीकरण का x = - c a और x = - - c a के अलावा और कोई मूल नहीं है।

हम उपरोक्त सभी तर्कों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा 6

अधूरा द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + सी = 0समीकरण x 2 = - c a के बराबर है, जो:

• पर जड़ें नहीं होंगी - c a< 0 ;
• x = - c a और x = - - c a जब - c a > 0 के दो मूल होंगे।

आइए समीकरणों को हल करने के उदाहरण दें ए एक्स 2 + सी = 0.

उदाहरण 3

द्विघात समीकरण दिया गया है 9 x 2 + 7 = 0।इसका समाधान खोजना जरूरी है।

समाधान

हम मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, फिर समीकरण का रूप ले लेगा 9 x 2 \u003d - 7.
हम परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं 9 , हम x 2 = - 7 9 पर आते हैं। दाईं ओर हम एक संख्या देखते हैं जिसमें ऋण चिह्न होता है, जिसका अर्थ है: दिया गया समीकरणकोई जड़ नहीं। तब मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण 9 x 2 + 7 = 0जड़ें नहीं होंगी।

उत्तर:समीकरण 9 x 2 + 7 = 0कोई जड़ नहीं है।

उदाहरण 4

समीकरण को हल करना आवश्यक है - x2 + 36 = 0.

समाधान

आइए 36 को दाईं ओर ले जाएं: - एक्स 2 = - 36.
आइए दोनों भागों को विभाजित करें − 1 , हम पाते हैं x2 = 36. दाईं ओर एक धनात्मक संख्या है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक्स = 36 या एक्स = - 36।
हम जड़ निकालते हैं और अंतिम परिणाम लिखते हैं: एक अधूरा द्विघात समीकरण - x2 + 36 = 0दो जड़ें हैं एक्स = 6या एक्स = -6.

उत्तर: एक्स = 6या एक्स = -6.

समीकरण का हल a x 2 +b x=0

आइए हम तीसरे प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों का विश्लेषण करें, जब सी = 0. एक अपूर्ण द्विघात समीकरण का हल खोजने के लिए ए एक्स 2 + बी एक्स = 0, हम गुणनखंड विधि का उपयोग करते हैं। आइए हम बहुपद को गुणनखंड करें, जो समीकरण के बाईं ओर है, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते हुए एक्स. यह चरण मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण को इसके समतुल्य में बदलना संभव बना देगा एक्स (ए एक्स + बी) = 0. और यह समीकरण, बदले में, समीकरणों के समुच्चय के बराबर है एक्स = 0तथा ए एक्स + बी = 0. समीकरण ए एक्स + बी = 0रैखिक, और इसकी जड़: एक्स = - बी ए.

परिभाषा 7

अत: अपूर्ण द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + बी एक्स = 0दो जड़ें होंगी एक्स = 0तथा एक्स = - बी ए.

आइए एक उदाहरण के साथ सामग्री को समेकित करें।

उदाहरण 5

समीकरण 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 का हल निकालना आवश्यक है।

समाधान

चलो निकालते हैं एक्सकोष्ठक के बाहर और समीकरण x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 प्राप्त करें। यह समीकरण समीकरणों के बराबर है एक्स = 0और 2 3 x - 2 2 7 = 0। अब आपको परिणामी रैखिक समीकरण को हल करना चाहिए: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 ।

संक्षेप में, हम समीकरण का हल इस प्रकार लिखते हैं:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

एक्स = 0 या 2 3 एक्स - 2 2 7 = 0

एक्स = 0 या एक्स = 3 3 7

उत्तर:एक्स = 0, एक्स = 3 3 7।

विभेदक, द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र

द्विघात समीकरणों का हल खोजने के लिए, एक मूल सूत्र है:

परिभाषा 8

एक्स = - बी ± डी 2 ए, जहां डी = बी 2 - 4 ए सीद्विघात समीकरण का तथाकथित विभेदक है।

x \u003d - b ± D 2 a लिखने का अनिवार्य रूप से अर्थ है कि x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a।

यह समझना उपयोगी होगा कि संकेतित सूत्र कैसे प्राप्त हुआ और इसे कैसे लागू किया जाए।

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

मान लीजिए कि हम एक द्विघात समीकरण को हल करने के कार्य का सामना कर रहे हैं ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0. आइए कई समकक्ष परिवर्तन करें:

• समीकरण के दोनों पक्षों को संख्या से विभाजित करें एक, शून्य से भिन्न, हम घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• परिणामी समीकरण के बाईं ओर पूर्ण वर्ग का चयन करें:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  इसके बाद, समीकरण रूप लेगा: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• अब आप अंतिम दो पदों को दाईं ओर स्थानांतरित कर सकते हैं, इसके विपरीत संकेत बदल सकते हैं, जिसके बाद हमें मिलता है: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• अंत में, हम अंतिम समानता के दाईं ओर लिखे गए व्यंजक को रूपांतरित करते हैं:
  बी 2 ए 2 - सी ए \u003d बी 2 4 ए 2 - सी ए \u003d बी 2 4 ए 2 - 4 ए सी 4 ए 2 \u003d बी 2 - 4 ए सी 4 ए 2।

इस प्रकार, हम समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 पर आ गए हैं, जो मूल समीकरण के बराबर है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0.

हमने पिछले अनुच्छेदों (अपूर्ण द्विघात समीकरणों का हल) में ऐसे समीकरणों के हल पर चर्चा की थी। पहले से प्राप्त अनुभव समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 की जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाता है:

• बी 2 - 4 ए सी 4 ए 2 . के लिए< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 के लिए, समीकरण का रूप x + b 2 · a 2 = 0 है, फिर x + b 2 · a = 0 है।

यहाँ से, एकमात्र मूल x = - b 2 · a स्पष्ट है;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 के लिए सही है: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 या x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, जो कि वही x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 या x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , अर्थात। समीकरण की दो जड़ें हैं।

यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (और इसलिए मूल समीकरण) की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति अभिव्यक्ति b 2 - 4 a c के चिन्ह पर निर्भर करती है। 4 · a 2 दायीं ओर लिखा हुआ है। और इस व्यंजक का चिह्न अंश के चिह्न से दिया जाता है, (हर .) 4 ए 2हमेशा सकारात्मक रहेगा), यानी अभिव्यक्ति का संकेत बी 2 - 4 ए सी. यह अभिव्यक्ति बी 2 - 4 ए सीएक नाम दिया गया है - एक द्विघात समीकरण का विवेचक और अक्षर D को इसके पदनाम के रूप में परिभाषित किया गया है। यहां आप विवेचक का सार लिख सकते हैं - इसके मूल्य और चिन्ह से, वे यह निष्कर्ष निकालते हैं कि क्या द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें होंगी, और यदि हां, तो कितनी जड़ें - एक या दो।

आइए समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 पर लौटते हैं। आइए विभेदक संकेतन का उपयोग करके इसे फिर से लिखें: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 ।

आइए निष्कर्षों का पुनर्कथन करें:

परिभाषा 9

• पर डी< 0 समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं;
• पर डी = 0समीकरण का एक ही मूल x = - b 2 · a है;
• पर डी > 0समीकरण की दो जड़ें हैं: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 या x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. मूलकों के गुणों के आधार पर, इन जड़ों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: x \u003d - b 2 a + D 2 a या - b 2 a - D 2 a। और जब हम मॉड्यूल खोलते हैं और अंशों को एक सामान्य हर में कम करते हैं, तो हमें मिलता है: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a।

तो, हमारे तर्क का परिणाम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति थी:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , विवेचक डीसूत्र द्वारा गणना डी = बी 2 - 4 ए सी.

ये सूत्र संभव बनाते हैं, जब विवेचक शून्य से अधिक होता है, दोनों वास्तविक जड़ों को निर्धारित करने के लिए। जब विभेदक शून्य होता है, तो दोनों सूत्रों को लागू करने से द्विघात समीकरण के एकमात्र हल के समान मूल प्राप्त होगा। मामले में जब विवेचक नकारात्मक है, द्विघात मूल सूत्र का उपयोग करने की कोशिश कर रहा है, तो हमें निकालने की आवश्यकता का सामना करना पड़ेगा वर्गमूलएक ऋणात्मक संख्या से, जो हमें वास्तविक संख्याओं से आगे ले जाएगी। एक नकारात्मक विभेदक के साथ, द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें नहीं होंगी, लेकिन जटिल संयुग्म जड़ों की एक जोड़ी संभव है, जो हमने प्राप्त किए गए मूल सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है।

मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

मूल सूत्र का उपयोग करके तुरंत द्विघात समीकरण को हल करना संभव है, लेकिन मूल रूप से यह तब किया जाता है जब जटिल जड़ों को खोजना आवश्यक होता है।

अधिकांश मामलों में, खोज आमतौर पर जटिल के लिए नहीं, बल्कि द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के लिए होती है। फिर यह इष्टतम है, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करने से पहले, पहले विवेचक का निर्धारण करें और सुनिश्चित करें कि यह ऋणात्मक नहीं है (अन्यथा हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं), और फिर गणना करने के लिए आगे बढ़ें जड़ों का मूल्य।

उपरोक्त तर्क द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करना संभव बनाता है।

परिभाषा 10

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, ज़रूरी:

• सूत्र के अनुसार डी = बी 2 - 4 ए सीविवेचक का मान ज्ञात कीजिए;
• डी पर< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 के लिए सूत्र x = - b 2 · a द्वारा समीकरण का एकमात्र मूल ज्ञात कीजिए;
• D > 0 के लिए, सूत्र x = - b ± D 2 · a द्वारा द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

ध्यान दें कि जब विभेदक शून्य हो, तो आप सूत्र x = - b ± D 2 · a का उपयोग कर सकते हैं, यह सूत्र x = - b 2 · a के समान परिणाम देगा।

उदाहरणों पर विचार करें।

द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण

आइए हम इसके लिए एक उदाहरण समाधान दें विभिन्न मूल्यभेदभाव करने वाला

उदाहरण 6

समीकरण के मूल ज्ञात करना आवश्यक है एक्स 2 + 2 एक्स - 6 = 0.

समाधान

हम द्विघात समीकरण के संख्यात्मक गुणांक लिखते हैं: a \u003d 1, b \u003d 2 और सी = - 6. अगला, हम एल्गोरिथ्म के अनुसार कार्य करते हैं, अर्थात। आइए विवेचक की गणना शुरू करें, जिसके लिए हम गुणांकों को प्रतिस्थापित करते हैं a , b तथा सीविभेदक सूत्र में: डी = बी 2 - 4 ए सी = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28।

अतः, हमें D > 0 प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि मूल समीकरण के दो वास्तविक मूल होंगे।
उन्हें खोजने के लिए, हम मूल सूत्र का उपयोग करते हैं x \u003d - b ± D 2 · a और, उपयुक्त मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1। हम परिणामी व्यंजक को मूल के चिह्न से गुणनखंड निकालकर, उसके बाद भिन्न को घटाकर सरल करते हैं:

एक्स = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 या x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 या x = - 1 - 7

उत्तर:एक्स = - 1 + 7, एक्स = - 1 - 7।

उदाहरण 7

द्विघात समीकरण को हल करना आवश्यक है − 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

समाधान

आइए विभेदक को परिभाषित करें: डी = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. विवेचक के इस मान के साथ, मूल समीकरण का केवल एक मूल होगा, जो सूत्र x = - b 2 · a द्वारा निर्धारित होता है।

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

उत्तर: एक्स = 3, 5.

उदाहरण 8

समीकरण को हल करना आवश्यक है 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

समाधान

इस समीकरण के संख्यात्मक गुणांक होंगे: a = 5 , b = 6 और c = 2 । हम इन मानों का उपयोग विभेदक को खोजने के लिए करते हैं: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = -4 । परिकलित विवेचक ऋणात्मक है, इसलिए मूल द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

उस स्थिति में जब कार्य जटिल जड़ों को इंगित करना है, हम जटिल संख्याओं के साथ संचालन करके मूल सूत्र लागू करते हैं:

एक्स \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 या x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i या x = - 3 5 - 1 5 i ।

उत्तर:कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं; सम्मिश्र मूल हैं: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i ।

पर स्कूल के पाठ्यक्रमडिफ़ॉल्ट रूप से, जटिल जड़ों की तलाश करने की कोई आवश्यकता नहीं है, इसलिए, यदि समाधान के दौरान विवेचक को नकारात्मक के रूप में निर्धारित किया जाता है, तो उत्तर तुरंत दर्ज किया जाता है कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र

मूल सूत्र x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) एक और सूत्र प्राप्त करना संभव बनाता है, अधिक कॉम्पैक्ट, आपको x पर सम गुणांक वाले द्विघात समीकरणों के समाधान खोजने की अनुमति देता है (या गुणांक के साथ) फॉर्म 2 ए एन, उदाहरण के लिए, 2 3 या 14 एलएन 5 = 2 7 एलएन 5)। आइए हम दिखाते हैं कि यह सूत्र कैसे प्राप्त होता है।

मान लीजिए कि हमारे सामने द्विघात समीकरण a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 का हल खोजने का कार्य है। हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं: हम विभेदक D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) निर्धारित करते हैं, और फिर मूल सूत्र का उपयोग करते हैं:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · सीए ।

मान लें कि व्यंजक n 2 - a c को D 1 के रूप में निरूपित किया जाता है (कभी-कभी इसे D " के रूप में दर्शाया जाता है)। फिर दूसरे गुणांक 2 n के साथ माने गए द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र रूप लेगा:

एक्स \u003d - एन ± डी 1 ए, जहां डी 1 \u003d एन 2 - ए सी।

यह देखना आसान है कि D = 4 · D 1 , या D 1 = D 4 । दूसरे शब्दों में, डी 1 विवेचक का एक चौथाई है। जाहिर है, डी 1 का संकेत डी के संकेत के समान है, जिसका अर्थ है कि डी 1 का संकेत द्विघात समीकरण की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति के संकेतक के रूप में भी काम कर सकता है।

परिभाषा 11

इस प्रकार, 2 n के दूसरे गुणांक वाले द्विघात समीकरण का हल खोजने के लिए, यह आवश्यक है:

• डी 1 = एन 2 - ए सी खोजें;
• डी 1 . पर< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• डी 1 = 0 के लिए, सूत्र द्वारा समीकरण का एकमात्र मूल निर्धारित करें x = - n a ;
• D 1 > 0 के लिए, सूत्र x = - n ± D 1 a का उपयोग करके दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 9

द्विघात समीकरण 5 · x 2 - 6 · x - 32 = 0 को हल करना आवश्यक है।

समाधान

दिए गए समीकरण के दूसरे गुणांक को 2 · (- 3) के रूप में दर्शाया जा सकता है। फिर हम दिए गए द्विघात समीकरण को 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x − 32 = 0 के रूप में फिर से लिखते हैं, जहां a = 5 , n = − 3 और c = − 32 ।

आइए विभेदक के चौथे भाग की गणना करें: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169। परिणामी मान धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। हम उन्हें जड़ों के संगत सूत्र द्वारा परिभाषित करते हैं:

एक्स = - एन ± डी 1 ए, एक्स = - - 3 ± 169 5, एक्स = 3 ± 13 5,

एक्स = 3 + 13 5 या एक्स = 3 - 13 5

एक्स = 3 1 5 या एक्स = - 2

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करके गणना करना संभव होगा, लेकिन इस मामले में समाधान अधिक बोझिल होगा।

उत्तर: x = 3 1 5 या x = - 2 ।

द्विघात समीकरणों के रूप का सरलीकरण

कभी-कभी मूल समीकरण के रूप को अनुकूलित करना संभव होता है, जो जड़ों की गणना की प्रक्रिया को सरल करेगा।

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 से हल करने के लिए स्पष्ट रूप से अधिक सुविधाजनक है।

अधिक बार, द्विघात समीकरण के रूप का सरलीकरण इसके दोनों भागों को एक निश्चित संख्या से गुणा या विभाजित करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, ऊपर हमने समीकरण 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 का एक सरलीकृत निरूपण दिखाया, जो इसके दोनों भागों को 100 से विभाजित करके प्राप्त किया गया था।

ऐसा परिवर्तन तब संभव है जब द्विघात समीकरण के गुणांक अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ न हों। फिर, आमतौर पर, समीकरण के दोनों भागों को इसके गुणांकों के निरपेक्ष मूल्यों के सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित किया जाता है।

उदाहरण के तौर पर, हम द्विघात समीकरण 12 x 2 - 42 x + 48 = 0 का उपयोग करते हैं। आइए इसके गुणांकों के निरपेक्ष मानों के gcd को परिभाषित करें: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6। आइए मूल द्विघात समीकरण के दोनों भागों को 6 से विभाजित करें और समतुल्य द्विघात समीकरण 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 प्राप्त करें।

द्विघात समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करके, भिन्नात्मक गुणांक आमतौर पर समाप्त हो जाते हैं। इस मामले में, इसके गुणांकों के हर के कम से कम सामान्य गुणक से गुणा करें। उदाहरण के लिए, यदि द्विघात समीकरण 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 के प्रत्येक भाग को LCM (6, 3, 1) \u003d 6 से गुणा किया जाता है, तो इसे और अधिक में लिखा जाएगा अराल तरीकाएक्स 2 + 4 एक्स - 18 = 0।

अंत में, हम ध्यान दें कि समीकरण के प्रत्येक पद के संकेतों को बदलते हुए, द्विघात समीकरण के पहले गुणांक पर लगभग हमेशा ऋण से छुटकारा मिलता है, जो दोनों भागों को -1 से गुणा (या विभाजित) करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 से, आप इसके सरलीकृत संस्करण 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0 पर जा सकते हैं।

जड़ों और गुणांकों के बीच संबंध

द्विघात समीकरणों की जड़ों के लिए पहले से ही ज्ञात सूत्र x = - b ± D 2 · a समीकरण की जड़ों को इसके संख्यात्मक गुणांक के रूप में व्यक्त करता है। पर भरोसा यह सूत्र, हमारे पास मूल और गुणांकों के बीच अन्य निर्भरताओं को निर्दिष्ट करने का अवसर है।

विएटा प्रमेय के सूत्र सबसे प्रसिद्ध और लागू हैं:

एक्स 1 + एक्स 2 \u003d - बी ए और एक्स 2 \u003d सी ए।

विशेष रूप से, दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग विपरीत चिह्न वाला दूसरा गुणांक होता है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 के रूप में, यह तुरंत निर्धारित करना संभव है कि इसकी जड़ों का योग 7 3 है, और जड़ों का उत्पाद 22 3 है।

आप द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच कई अन्य संबंध भी पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों का योग गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

यदि आप टेक्स्ट में कोई गलती देखते हैं, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएं

पर आधुनिक समाजवर्ग चर वाले समीकरणों के साथ संचालन करने की क्षमता गतिविधि के कई क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है और व्यापक रूप से वैज्ञानिक और अभ्यास में उपयोग की जाती है। तकनीकी विकास. इसका प्रमाण समुद्र और नदी के जहाजों, विमानों और मिसाइलों के डिजाइन से लगाया जा सकता है। इस तरह की गणनाओं की मदद से, अंतरिक्ष वस्तुओं सहित विभिन्न निकायों की गति के प्रक्षेपवक्र निर्धारित किए जाते हैं। द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों का उपयोग न केवल आर्थिक पूर्वानुमान में, भवनों के डिजाइन और निर्माण में, बल्कि सबसे सामान्य रोजमर्रा की परिस्थितियों में भी किया जाता है। इनकी आवश्यकता हो सकती है लंबी पैदल यात्रा यात्राएं, खेलकूद में, दुकानों में खरीदारी करते समय और अन्य बहुत ही सामान्य स्थितियों में।

आइए अभिव्यक्ति को घटक कारकों में तोड़ें

किसी समीकरण की घात उस चर की घात के अधिकतम मान से निर्धारित होती है जिसमें दिए गए व्यंजक में होते हैं। यदि यह 2 के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को द्विघात समीकरण कहा जाता है।

यदि हम सूत्रों की भाषा में बात करते हैं, तो ये अभिव्यक्तियाँ, चाहे वे कैसी भी दिखें, हमेशा उस रूप में लायी जा सकती हैं जब व्यंजक के बाईं ओर तीन पद होते हैं। उनमें से: कुल्हाड़ी 2 (अर्थात, इसके गुणांक के साथ एक चर वर्ग), बीएक्स (एक अज्ञात वर्ग के बिना इसके गुणांक के साथ) और सी (मुक्त घटक, यानी एक साधारण संख्या)। यह सब दायीं ओर 0 के बराबर है।ऐसी स्थिति में जब ऐसे बहुपद का अपना कोई अवयव पद न हो, कुल्हाड़ी 2 के अपवाद के साथ, इसे अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है। ऐसी समस्याओं के समाधान के उदाहरण, जिनमें चरों का मान ज्ञात करना कठिन नहीं है, पहले विचार किया जाना चाहिए।

यदि व्यंजक ऐसा लगता है कि व्यंजक के दाईं ओर दो पद हैं, अधिक सटीक रूप से ax 2 और bx, तो चर को कोष्ठक में रखकर x को खोजना सबसे आसान है। अब हमारा समीकरण इस तरह दिखेगा: x(ax+b)। इसके अलावा, यह स्पष्ट हो जाता है कि या तो x=0, या समस्या निम्न व्यंजक से एक चर खोजने के लिए कम हो गई है: ax+b=0. यह गुणन के गुणों में से एक द्वारा निर्धारित किया जाता है। नियम कहता है कि दो कारकों के गुणनफल का परिणाम केवल तभी होता है जब उनमें से एक शून्य हो।

उदाहरण

x=0 या 8x - 3 = 0

नतीजतन, हमें समीकरण की दो जड़ें मिलती हैं: 0 और 0.375।

इस तरह के समीकरण गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत पिंडों की गति का वर्णन कर सकते हैं, जो एक निश्चित बिंदु से आगे बढ़ना शुरू हुआ, जिसे मूल के रूप में लिया गया था। यहां गणितीय संकेतनस्वीकार निम्नलिखित प्रपत्र: वाई = वी 0 टी + जीटी 2/2। आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करके, दाईं ओर को 0 के बराबर करके और संभावित अज्ञातों को ढूंढकर, आप शरीर के उठने के क्षण से लेकर गिरने तक के समय के साथ-साथ कई अन्य मात्राओं का पता लगा सकते हैं। लेकिन हम इस बारे में बाद में बात करेंगे।

एक अभिव्यक्ति फैक्टरिंग

ऊपर वर्णित नियम इन समस्याओं को और अधिक में हल करना संभव बनाता है मुश्किल मामले. इस प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल करने वाले उदाहरणों पर विचार करें।

X2 - 33x + 200 = 0

इस वर्ग त्रिपदतैयार है। सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति को बदलते हैं और इसे कारकों में विघटित करते हैं। उनमें से दो हैं: (x-8) और (x-25) = 0. परिणामस्वरूप, हमारे पास दो मूल 8 और 25 हैं।

ग्रेड 9 में द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरण इस पद्धति को न केवल दूसरे, बल्कि तीसरे और चौथे क्रम के भी व्यंजकों में एक चर खोजने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. जब एक चर वाले कारकों में दाहिनी ओर फ़ैक्टर करते हैं, तो उनमें से तीन होते हैं, अर्थात (x + 1), (x-3) और (x + 3))।

परिणामस्वरूप, यह स्पष्ट हो जाता है कि इस समीकरण के तीन मूल हैं: -3; -एक; 3.

वर्गमूल निकालना

एक और मामला अधूरा समीकरणदूसरा क्रम अक्षरों की भाषा में इस तरह व्यक्त अभिव्यक्ति है कि दाहिनी ओर घटक कुल्हाड़ी 2 और सी से बनाया गया है। यहाँ, चर का मान प्राप्त करने के लिए, मुक्त पद को स्थानांतरित किया जाता है दाईं ओर, और उसके बाद, समानता के दोनों ओर से वर्गमूल निकाला जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस मामले में आमतौर पर समीकरण की दो जड़ें होती हैं। एकमात्र अपवाद समानताएं हैं जिनमें सी शब्द बिल्कुल भी नहीं है, जहां चर शून्य के बराबर है, साथ ही साथ अभिव्यक्ति के रूप भी हैं जब दायां पक्ष नकारात्मक हो जाता है। बाद के मामले में, कोई समाधान नहीं हैं, क्योंकि उपरोक्त क्रियाओं को जड़ों से नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों पर विचार किया जाना चाहिए।

इस मामले में, समीकरण की जड़ें संख्या -4 और 4 होंगी।

भूमि के क्षेत्रफल की गणना

इस तरह की गणना की आवश्यकता प्राचीन काल में दिखाई दी, क्योंकि गणित का विकास काफी हद तक इन्हीं में है दूर का समयसबसे बड़ी सटीकता के साथ भूमि भूखंडों के क्षेत्रों और परिधि को निर्धारित करने की आवश्यकता के कारण था।

हमें इस प्रकार की समस्याओं के आधार पर संकलित द्विघात समीकरणों को हल करने वाले उदाहरणों पर भी विचार करना चाहिए।

तो चलिए बताते हैं आयताकार क्षेत्रभूमि, जिसकी लंबाई चौड़ाई से 16 मीटर अधिक है। आपको साइट की लंबाई, चौड़ाई और परिधि का पता लगाना चाहिए, यदि यह ज्ञात हो कि इसका क्षेत्रफल 612 मीटर 2 है।

व्यवसाय में उतरते हुए, सबसे पहले हम आवश्यक समीकरण बनाएंगे। चलो खंड की चौड़ाई को x के रूप में निरूपित करते हैं, तो इसकी लंबाई (x + 16) होगी। यह लिखा गया है कि क्षेत्र एक्स (x + 16) अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो कि हमारी समस्या की स्थिति के अनुसार 612 है। इसका मतलब है कि x (x + 16) \u003d 612।

पूर्ण द्विघात समीकरणों का हल, और यह व्यंजक बस इतना ही है, उसी तरह नहीं किया जा सकता है। क्यों? हालांकि इसके बाईं ओर अभी भी दो कारक हैं, उनका उत्पाद 0 के बराबर नहीं है, इसलिए यहां अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है।

विभेदक

सबसे पहले, हम आवश्यक परिवर्तन करते हैं, फिर दिखावटयह व्यंजक इस प्रकार दिखाई देगा: x 2 + 16x - 612 = 0. इसका अर्थ है कि हमें पहले निर्दिष्ट मानक के अनुरूप रूप में एक व्यंजक प्राप्त हुआ है, जहां a=1, b=16, c=-612.

यह विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरणों को हल करने का एक उदाहरण हो सकता है। यहां आवश्यक गणनायोजना के अनुसार उत्पादित: D = b 2 - 4ac। यह सहायक मूल्य न केवल दूसरे क्रम के समीकरण में वांछित मूल्यों को खोजना संभव बनाता है, यह संख्या निर्धारित करता है विकल्प. मामले में D>0, उनमें से दो हैं; डी = 0 के लिए एक रूट है। मामले में डी<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

जड़ों और उनके सूत्र के बारे में

हमारे मामले में, विवेचक है: 256 - 4(-612) = 2704। यह इंगित करता है कि हमारी समस्या का उत्तर है। यदि आप जानते हैं, को, द्विघात समीकरणों का हल नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके जारी रखा जाना चाहिए। यह आपको जड़ों की गणना करने की अनुमति देता है।

इसका मतलब है कि प्रस्तुत मामले में: x 1 =18, x 2 =-34। इस दुविधा में दूसरा विकल्प समाधान नहीं हो सकता, क्योंकि भूमि भूखंड के आकार को ऋणात्मक मानों में नहीं मापा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि x (अर्थात भूखंड की चौड़ाई) 18 मीटर है। यहाँ से हम लंबाई की गणना करते हैं: 18+16=34, और परिधि 2(34+ 18) = 104 (एम 2)।

उदाहरण और कार्य

हम द्विघात समीकरणों का अध्ययन जारी रखते हैं। उनमें से कई के उदाहरण और विस्तृत समाधान नीचे दिए जाएंगे।

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

आइए समानता के बाईं ओर सब कुछ स्थानांतरित करें, एक परिवर्तन करें, अर्थात, हमें समीकरण का रूप मिलता है, जिसे आमतौर पर मानक एक कहा जाता है, और इसे शून्य के बराबर करते हैं।

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

समान जोड़ने के बाद, हम विवेचक का निर्धारण करते हैं: डी \u003d 49 - 48 \u003d 1. तो हमारे समीकरण की दो जड़ें होंगी। हम उनकी गणना उपरोक्त सूत्र के अनुसार करते हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें से पहला 4/3 के बराबर होगा, और दूसरा 1.

2) अब हम एक अलग तरह की पहेलियों का खुलासा करेंगे।

आइए जानें कि क्या यहां x 2 - 4x + 5 = 1 मूल हैं? एक विस्तृत उत्तर प्राप्त करने के लिए, हम बहुपद को संबंधित परिचित रूप में लाते हैं और विवेचक की गणना करते हैं। इस उदाहरण में, द्विघात समीकरण को हल करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि समस्या का सार इसमें बिल्कुल नहीं है। इस मामले में, डी \u003d 16 - 20 \u003d -4, जिसका अर्थ है कि वास्तव में कोई जड़ें नहीं हैं।

विएटा का प्रमेय

उपरोक्त सूत्रों और विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरणों को हल करना सुविधाजनक होता है, जब वर्गमूल को बाद वाले के मान से निकाला जाता है। लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है। हालांकि, इस मामले में चर के मान प्राप्त करने के कई तरीके हैं। उदाहरण: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना। इसका नाम एक ऐसे व्यक्ति के नाम पर रखा गया है जो 16वीं शताब्दी के फ्रांस में रहता था और अदालत में अपनी गणितीय प्रतिभा और कनेक्शन के कारण उसका शानदार करियर था। उनका चित्र लेख में देखा जा सकता है।

प्रसिद्ध फ्रांसीसी ने जो पैटर्न देखा वह इस प्रकार था। उन्होंने सिद्ध किया कि समीकरण के मूलों का योग -p=b/a के बराबर है, और उनका गुणनफल q=c/a के संगत है।

अब आइए विशिष्ट कार्यों को देखें।

3x2 + 21x - 54 = 0

सादगी के लिए, आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

एक्स 2 + 7x - 18 = 0

विएटा प्रमेय का उपयोग करते हुए, यह हमें निम्नलिखित देगा: जड़ों का योग -7 है, और उनका उत्पाद -18 है। यहां से हम पाते हैं कि समीकरण की जड़ें संख्या -9 और 2 हैं। एक जाँच करने के बाद, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि चर के ये मान वास्तव में अभिव्यक्ति में फिट हों।

एक परवलय का ग्राफ और समीकरण

द्विघात फलन और द्विघात समीकरण की अवधारणाएँ आपस में घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं। इसके उदाहरण पहले भी दिए जा चुके हैं। आइए अब कुछ गणितीय पहेलियों को थोड़ा और विस्तार से देखें। वर्णित प्रकार के किसी भी समीकरण को नेत्रहीन रूप से दर्शाया जा सकता है। ग्राफ के रूप में खींची गई ऐसी निर्भरता को परवलय कहा जाता है। इसके विभिन्न प्रकार नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।

किसी भी परवलय का एक शीर्ष होता है, अर्थात वह बिंदु जहाँ से उसकी शाखाएँ निकलती हैं। यदि a>0, वे अनंत तक उच्च जाते हैं, और जब a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

कार्यों के दृश्य प्रतिनिधित्व द्विघात समीकरणों सहित किसी भी समीकरण को हल करने में मदद करते हैं। इस विधि को ग्राफिक कहा जाता है। और x चर का मान भुज निर्देशांक उन बिंदुओं पर होता है जहां ग्राफ़ रेखा 0x के साथ प्रतिच्छेद करती है। शीर्ष के निर्देशांक अभी दिए गए सूत्र द्वारा पाए जा सकते हैं x 0 = -b / 2a। और, परिणामी मान को फ़ंक्शन के मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, आप y 0 का पता लगा सकते हैं, जो कि y-अक्ष से संबंधित परवलय शीर्ष का दूसरा निर्देशांक है।

एब्सिस्सा अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं का प्रतिच्छेदन

द्विघात समीकरणों को हल करने के कई उदाहरण हैं, लेकिन सामान्य पैटर्न भी हैं। आइए उन पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि a>0 के लिए 0x अक्ष के साथ ग्राफ का प्रतिच्छेदन तभी संभव है जब y 0 लेता है नकारात्मक मान. और एक के लिए<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. अन्यथा डी<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

एक परवलय के ग्राफ से, आप जड़ों को भी निर्धारित कर सकते हैं। विपरीत भी सही है। यही है, अगर आपको एक दृश्य छवि मिलती है द्विघात फंक्शनआसान नहीं है, आप व्यंजक के दाएँ पक्ष को 0 के बराबर कर सकते हैं और परिणामी समीकरण को हल कर सकते हैं। और 0x अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को जानना, प्लॉट करना आसान है।

इतिहास से

चुकता चर वाले समीकरणों की मदद से, पुराने दिनों में, न केवल गणितीय गणना की जाती थी और ज्यामितीय आकृतियों का क्षेत्र निर्धारित किया जाता था। पूर्वजों को भौतिकी और खगोल विज्ञान के क्षेत्र में भव्य खोजों के साथ-साथ ज्योतिषीय पूर्वानुमान बनाने के लिए ऐसी गणनाओं की आवश्यकता थी।

जैसा कि आधुनिक वैज्ञानिकों का सुझाव है, बाबुल के निवासी द्विघात समीकरणों को हल करने वाले पहले लोगों में से थे। यह हमारे युग के आगमन से चार शताब्दी पहले हुआ था। बेशक, उनकी गणना मूल रूप से वर्तमान में स्वीकृत लोगों से अलग थी और बहुत अधिक आदिम निकली। उदाहरण के लिए, मेसोपोटामिया के गणितज्ञों को ऋणात्मक संख्याओं के अस्तित्व के बारे में कोई जानकारी नहीं थी। वे हमारे समय के किसी भी छात्र को ज्ञात अन्य सूक्ष्मताओं से भी अपरिचित थे।

शायद बाबुल के वैज्ञानिकों से भी पहले भारत के ऋषि बौधायामा ने द्विघात समीकरणों का हल निकाला था। यह ईसा के युग के आगमन से लगभग आठ शताब्दी पहले हुआ था। सच है, दूसरे क्रम के समीकरण, हल करने के लिए जो तरीके उन्होंने दिए, वे सबसे सरल थे। उनके अलावा, चीनी गणितज्ञ भी पुराने दिनों में इसी तरह के प्रश्नों में रुचि रखते थे। यूरोप में, द्विघात समीकरणों को केवल 13वीं शताब्दी की शुरुआत में हल किया जाने लगा, लेकिन बाद में न्यूटन, डेसकार्टेस और कई अन्य जैसे महान वैज्ञानिकों द्वारा अपने काम में उनका उपयोग किया गया।

द्विघात समीकरण - हल करने में आसान! *आगे पाठ "केयू" में।दोस्तों, ऐसा लगता है कि गणित में इस तरह के समीकरण को हल करने से ज्यादा आसान हो सकता है। लेकिन कुछ ने मुझे बताया कि बहुत से लोगों को उससे समस्या है। मैंने यह देखने का फैसला किया कि यांडेक्स प्रति माह प्रति अनुरोध कितने इंप्रेशन देता है। यहाँ क्या हुआ, एक नज़र डालें:

इसका क्या मतलब है? इसका मतलब यह है कि एक महीने में लगभग 70,000 लोग इस जानकारी की तलाश में हैं, और यह गर्मी है, और स्कूल वर्ष के दौरान क्या होगा - दोगुने अनुरोध होंगे। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि वे लड़के और लड़कियां जिन्होंने लंबे समय से स्कूल से स्नातक किया है और परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं, वे इस जानकारी की तलाश में हैं, और स्कूली बच्चे भी अपनी याददाश्त को ताज़ा करने की कोशिश कर रहे हैं।

इस तथ्य के बावजूद कि बहुत सारी साइटें हैं जो बताती हैं कि इस समीकरण को कैसे हल किया जाए, मैंने सामग्री को योगदान और प्रकाशित करने का भी फैसला किया। सबसे पहले, मैं चाहता हूं कि आगंतुक इस अनुरोध पर मेरी साइट पर आएं; दूसरे, अन्य लेखों में, जब भाषण "केयू" आएगा, तो मैं इस लेख का लिंक दूंगा; तीसरा, मैं आपको उनके समाधान के बारे में कुछ और बताऊंगा जो आमतौर पर अन्य साइटों पर कहा जाता है। आएँ शुरू करें!लेख की सामग्री:

द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है:

जहां गुणांक ए,बीऔर मनमानी संख्या के साथ, a≠0 के साथ।

स्कूल पाठ्यक्रम में, सामग्री निम्नलिखित रूप में दी जाती है - तीन वर्गों में समीकरणों का विभाजन सशर्त रूप से किया जाता है:

1. दो जड़ें हों।

2. *केवल एक जड़ हो।

3. कोई जड़ नहीं है। यहां यह ध्यान देने योग्य है कि उनकी वास्तविक जड़ें नहीं हैं

जड़ों की गणना कैसे की जाती है? अभी-अभी!

हम विभेदक की गणना करते हैं। इस "भयानक" शब्द के तहत एक बहुत ही सरल सूत्र है:

मूल सूत्र इस प्रकार हैं:

*इन सूत्रों को दिल से जानना चाहिए।

आप तुरंत लिख सकते हैं और हल कर सकते हैं:

उदाहरण:

1. यदि D > 0, तो समीकरण के दो मूल हैं।

2. यदि D = 0 है, तो समीकरण का एक मूल है।

3. यदि डी< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

आइए समीकरण को देखें:

द्वारा इस अवसर, जब विवेचक शून्य होता है, तो स्कूल पाठ्यक्रम कहता है कि एक जड़ प्राप्त होती है, यहाँ यह नौ के बराबर है। यह सही है, यह है, लेकिन...

यह प्रतिनिधित्व कुछ हद तक गलत है। वास्तव में, दो जड़ें हैं। हाँ, हाँ, हैरान मत होइए, यह दो हो जाता है बराबर जड़, और गणितीय रूप से सटीक होने के लिए, उत्तर में दो मूल लिखे जाने चाहिए:

एक्स 1 = 3 एक्स 2 = 3

लेकिन ऐसा है - एक छोटा विषयांतर। स्कूल में, आप लिख सकते हैं और कह सकते हैं कि केवल एक जड़ है।

अब निम्नलिखित उदाहरण:

जैसा कि हम जानते हैं, ऋणात्मक संख्या का मूल नहीं निकाला जाता है, इसलिए इस मामले में कोई समाधान नहीं है।

यह पूरी निर्णय प्रक्रिया है।

द्विघात फंक्शन।

यहां बताया गया है कि समाधान ज्यामितीय रूप से कैसा दिखता है। यह समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है (भविष्य में, हम एक लेख में द्विघात असमानता के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करेंगे)।

यह प्रपत्र का एक कार्य है:

जहाँ x और y चर हैं

ए, बी, सी - दिए गए नंबर, जहां एक ≠ 0

ग्राफ एक परवलय है:

यही है, यह पता चला है कि शून्य के बराबर "y" के साथ एक द्विघात समीकरण को हल करके, हम एक्स-अक्ष के साथ परवलय के चौराहे के बिंदु पाते हैं। इनमें से दो बिंदु हो सकते हैं (विभेदक सकारात्मक है), एक (विभेदक शून्य है) या कोई नहीं (विभेदक नकारात्मक है)। द्विघात फलन के बारे में अधिक जानकारी आप देख सकते हैंइन्ना फेल्डमैन द्वारा लेख।

उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 1: निर्णय लें 2x 2 +8 एक्स–192=0

a=2 b=8 c= -192

डी = बी 2 -4ac = 8 2 -4∙2∙ (-192) = 64+1536 = 1600

उत्तर: x 1 = 8 x 2 = -12

* आप समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को तुरंत 2 से विभाजित कर सकते हैं, अर्थात इसे सरल बना सकते हैं। गणना आसान हो जाएगी।

उदाहरण 2: तय करना x2–22 एक्स+121 = 0

ए = 1 बी = -22 सी = 121

डी = बी 2 -4 एसी = (-22) 2 -4∙1∙121 = 484-484 = 0

हमें वह x 1 \u003d 11 और x 2 \u003d 11 . मिला

उत्तर में x = 11 लिखने की अनुमति है।

उत्तर: एक्स = 11

उदाहरण 3: तय करना x 2 -8x+72 = 0

ए = 1 बी = -8 सी = 72

डी = बी 2 -4 एसी = (-8) 2 -4∙1∙72 = 64-288 = -224

विवेचक ऋणात्मक है, वास्तविक संख्या में कोई हल नहीं है।

उत्तर: कोई समाधान नहीं

विभेदक नकारात्मक है। एक समाधान है!

यहां हम उस मामले में समीकरण को हल करने के बारे में बात करेंगे जब एक नकारात्मक विवेचक प्राप्त होता है। क्या आप सम्मिश्र संख्याओं के बारे में कुछ जानते हैं? मैं यहाँ विस्तार में नहीं जाऊँगा कि वे क्यों और कहाँ उत्पन्न हुए और गणित में उनकी विशिष्ट भूमिका और आवश्यकता क्या है, यह एक बड़े अलग लेख का विषय है।

एक जटिल संख्या की अवधारणा।

थोड़ा सिद्धांत।

एक सम्मिश्र संख्या z, रूप की एक संख्या है

जेड = ए + द्वि

जहां ए और बी हैं वास्तविक संख्या, i तथाकथित काल्पनिक इकाई है।

a+bi एक एकल संख्या है, जोड़ नहीं।

काल्पनिक इकाई माइनस वन के मूल के बराबर होती है:

अब समीकरण पर विचार करें:

दो संयुग्मी जड़ें प्राप्त करें।

अधूरा द्विघात समीकरण।

विशेष मामलों पर विचार करें, यह तब होता है जब गुणांक "बी" या "सी" शून्य के बराबर होता है (या दोनों शून्य के बराबर होते हैं)। वे बिना किसी भेदभाव के आसानी से हल हो जाते हैं।

स्थिति 1. गुणांक b = 0.

समीकरण रूप लेता है:

आइए रूपांतरित करें:

उदाहरण:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

स्थिति 2. गुणांक c = 0.

समीकरण रूप लेता है:

रूपांतरित करें, गुणनखंड करें:

*उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है।

उदाहरण:

9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) = 0 => x = 0 या x-5 =0

एक्स 1 = 0 एक्स 2 = 5

स्थिति 3. गुणांक b = 0 और c = 0।

यहाँ यह स्पष्ट है कि समीकरण का हल हमेशा x = 0 होगा।

गुणांक के उपयोगी गुण और पैटर्न।

ऐसे गुण हैं जो बड़े गुणांक वाले समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं।

एकएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता

एक + बी+ सी = 0,फिर

— यदि समीकरण के गुणांकों के लिए एकएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता

एक+ के साथ =बी, फिर

ये गुण एक निश्चित प्रकार के समीकरण को हल करने में मदद करते हैं।

उदाहरण 1: 5001 एक्स 2 –4995 एक्स – 6=0

गुणांकों का योग 5001+ है ( – 4995)+(– 6) = 0, तो

उदाहरण 2: 2501 एक्स 2 +2507 एक्स+6=0

समानता एक+ के साथ =बी, साधन

गुणांक की नियमितता।

1. यदि समीकरण में कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0 गुणांक "बी" (ए 2 +1) है, और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 + (ए 2 +1) एक्स + ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d -ए एक्स 2 \u003d -1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 6x 2 +37x+6 = 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6।

2. यदि समीकरण कुल्हाड़ी 2 - बीएक्स + सी \u003d 0 में, गुणांक "बी" (ए 2 +1) है, और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 - (ए 2 + 1) एक्स + ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d ए एक्स 2 \u003d 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 15x 2 -226x +15 = 0 पर विचार करें।

एक्स 1 = 15 एक्स 2 = 1/15।

3. यदि समीकरण मेंकुल्हाड़ी 2 + बीएक्स - सी = 0 गुणांक "बी" बराबर (एक 2 -1), और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर, तो इसकी जड़ें बराबर होती हैं

कुल्हाड़ी 2 + (ए 2 -1) एक्स - ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d - ए एक्स 2 \u003d 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 17x 2 + 288x - 17 = 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17।

4. यदि समीकरण कुल्हाड़ी 2 - बीएक्स - सी \u003d 0 में, गुणांक "बी" बराबर है (ए 2 - 1), और गुणांक सी संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 - (ए 2 -1) एक्स - ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d ए एक्स 2 \u003d - 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 10x2 - 99x -10 = 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

विएटा का प्रमेय।

विएटा के प्रमेय का नाम प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएटा के नाम पर रखा गया है। विएटा के प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक मनमाना KU की जड़ों के योग और गुणनफल को इसके गुणांकों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

कुल मिलाकर, संख्या 14 केवल 5 और 9 देती है। ये मूल हैं। एक निश्चित कौशल के साथ, प्रस्तुत प्रमेय का उपयोग करके, आप कई द्विघात समीकरणों को तुरंत मौखिक रूप से हल कर सकते हैं।

विएटा का प्रमेय, इसके अलावा। सुविधाजनक है क्योंकि द्विघात समीकरण को सामान्य तरीके से (विभेदक के माध्यम से) हल करने के बाद, परिणामी जड़ों की जाँच की जा सकती है। मैं इसे हर समय करने की सलाह देता हूं।

स्थानांतरण विधि

इस पद्धति के साथ, गुणांक "ए" को मुक्त शब्द से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "स्थानांतरित" किया जाता है, यही कारण है कि इसे कहा जाता है स्थानांतरण विधि।इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों को खोजना आसान होता है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

यदि एक एक± बी+सी 0, तब स्थानांतरण तकनीक का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए:

2एक्स 2 – 11एक्स+ 5 = 0 (1) => एक्स 2 – 11एक्स+ 10 = 0 (2)

समीकरण (2) में वियत प्रमेय के अनुसार, यह निर्धारित करना आसान है कि x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

समीकरण की प्राप्त जड़ों को 2 से विभाजित किया जाना चाहिए (चूंकि दोनों को x 2 से "फेंक" दिया गया था), हम प्राप्त करते हैं

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5।

तर्क क्या है? देखिए क्या हो रहा है।

समीकरणों के विभेदक (1) और (2) हैं:

यदि आप समीकरणों की जड़ों को देखते हैं, तो केवल अलग-अलग हर प्राप्त होते हैं, और परिणाम x 2 पर गुणांक पर सटीक रूप से निर्भर करता है:

दूसरी (संशोधित) जड़ें 2 गुना बड़ी होती हैं।

इसलिए, हम परिणाम को 2 से विभाजित करते हैं।

*अगर हम एक तरह के तीन रोल करते हैं, तो हम परिणाम को 3 से विभाजित करते हैं, और इसी तरह।

उत्तर: x 1 = 5 x 2 = 0.5

वर्ग उर-यानी और परीक्षा।

मैं इसके महत्व के बारे में संक्षेप में कहूंगा - आपको जल्दी से निर्णय लेने में सक्षम होना चाहिए और बिना सोचे-समझे आपको जड़ों के सूत्र और विवेचक को दिल से जानना होगा। बहुत सारे कार्य जो USE कार्यों का हिस्सा हैं, एक द्विघात समीकरण (ज्यामितीय सहित) को हल करने के लिए नीचे आते हैं।

क्या ध्यान देने योग्य है!

1. समीकरण का रूप "अंतर्निहित" हो सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रविष्टि संभव है:

15+ 9x 2 - 45x = 0 या 15x+42+9x 2 - 45x=0 या 15 -5x+10x 2 = 0.

आपको उसे लाने की जरूरत है मानक दृश्य(ताकि निर्णय लेते समय भ्रमित न हों)।

2. याद रखें कि x एक अज्ञात मान है और इसे किसी अन्य अक्षर - t, q, p, h और अन्य द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

विभेदक, साथ ही द्विघात समीकरण, कक्षा 8 में बीजगणित पाठ्यक्रम में अध्ययन करना शुरू करते हैं। आप विवेचक और विएटा प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं। द्विघात समीकरणों का अध्ययन करने की पद्धति, साथ ही साथ भेदभावपूर्ण सूत्र, स्कूली बच्चों में असफल रूप से स्थापित किया गया है, जैसे वास्तविक शिक्षा में। इसलिए, स्कूल के वर्ष बीत जाते हैं, ग्रेड 9-11 में प्रशिक्षण की जगह " उच्च शिक्षा"और हर कोई फिर से देख रहा है - "कैसे एक द्विघात समीकरण को हल करने के लिए?", "कैसे एक समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए?", "विभेदक कैसे खोजें?" तथा...

विभेदक सूत्र

द्विघात समीकरण a*x^2+bx+c=0 का विभेदक D, D=b^2–4*a*c है।
द्विघात समीकरण के मूल (समाधान) विवेचक (D) के चिह्न पर निर्भर करते हैं:
D>0 - समीकरण के 2 भिन्न वास्तविक मूल हैं;
डी = 0 - समीकरण में 1 मूल है (2 मेल खाने वाली जड़ें):
डी<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
विभेदक की गणना करने का सूत्र काफी सरल है, इसलिए कई साइटें एक ऑनलाइन विभेदक कैलकुलेटर प्रदान करती हैं। हमने अभी तक इस तरह की स्क्रिप्ट का पता नहीं लगाया है, इसलिए कौन जानता है कि इसे कैसे लागू किया जाए, कृपया मेल पर लिखें इस ईमेल पते की सुरक्षा स्पैममबोट से की जा रही है। देखने के लिए आपके पास जावास्क्रिप्ट सक्षम होना चाहिए। .

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सामान्य सूत्र:

समीकरण के मूल सूत्र द्वारा पाए जाते हैं
यदि वर्ग में चर के गुणांक को जोड़ा जाता है, तो विवेचक की गणना करने की सलाह नहीं दी जाती है, बल्कि इसके चौथे भाग की गणना की जाती है।
ऐसे मामलों में, समीकरण के मूल सूत्र द्वारा पाए जाते हैं

जड़ों को खोजने का दूसरा तरीका वियत का प्रमेय है।

प्रमेय न केवल द्विघात समीकरणों के लिए, बल्कि बहुपदों के लिए भी तैयार किया गया है। आप इसे विकिपीडिया या अन्य इलेक्ट्रॉनिक संसाधनों पर पढ़ सकते हैं। हालांकि, सरल बनाने के लिए, इसके उस हिस्से पर विचार करें जो कम द्विघात समीकरणों से संबंधित है, यानी फॉर्म के समीकरण (ए = 1)
विएटा सूत्रों का सार यह है कि समीकरण की जड़ों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए चर के गुणांक के बराबर होता है। समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। Vieta के प्रमेय के सूत्रों में एक संकेतन है।
Vieta सूत्र की व्युत्पत्ति काफी सरल है। आइए द्विघात समीकरण को अभाज्य गुणनखंडों के रूप में लिखें
जैसा कि आप देख सकते हैं, एक ही समय में सरल सब कुछ सरल है। वीटा सूत्र का उपयोग तब प्रभावी होता है जब जड़ों के मापांक में अंतर या जड़ों के मापांक में अंतर 1, 2 होता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण, वीटा प्रमेय के अनुसार, जड़ें हैं




4 समीकरण विश्लेषण तक इस तरह दिखना चाहिए। समीकरण की जड़ों का गुणनफल 6 है, इसलिए जड़ें मान (1, 6) और (2, 3) या विपरीत चिह्न वाले जोड़े हो सकते हैं। मूलों का योग 7 है (विपरीत चिह्न वाले चर का गुणांक)। यहाँ से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि द्विघात समीकरण के हल x=2 के बराबर हैं; एक्स = 3।
मुक्त पद के भाजक के बीच समीकरण की जड़ों का चयन करना आसान है, विएटा सूत्रों को पूरा करने के लिए उनके संकेत को सही करना। शुरुआत में, ऐसा करना मुश्किल लगता है, लेकिन कई द्विघात समीकरणों पर अभ्यास के साथ, यह तकनीक विवेचक की गणना करने और शास्त्रीय तरीके से द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने की तुलना में अधिक कुशल होगी।
जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक का अध्ययन करने का स्कूल सिद्धांत और समीकरण के समाधान खोजने के तरीके व्यावहारिक अर्थ से रहित हैं - "स्कूली बच्चों को द्विघात समीकरण की आवश्यकता क्यों है?", "विभेदक का भौतिक अर्थ क्या है?"।

आइए इसे जानने की कोशिश करते हैं विभेदक क्या वर्णन करता है?

बीजगणित के दौरान, वे कार्यों का अध्ययन करते हैं, कार्यों के अध्ययन के लिए योजनाओं और कार्यों की साजिश रचते हैं। सभी कार्यों में, एक महत्वपूर्ण स्थान परवलय द्वारा कब्जा कर लिया जाता है, जिसके समीकरण को रूप में लिखा जा सकता है
तो द्विघात समीकरण का भौतिक अर्थ परवलय का शून्य है, अर्थात, एब्सिस्सा अक्ष ऑक्स के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु
मैं आपको नीचे वर्णित परवलय के गुणों को याद रखने के लिए कहता हूं। परीक्षा, परीक्षा या प्रवेश परीक्षा देने का समय आ जाएगा और आप संदर्भ सामग्री के लिए आभारी होंगे। वर्ग में चर का चिन्ह इस बात से मेल खाता है कि क्या ग्राफ पर परवलय की शाखाएँ ऊपर जाएँगी (a>0),

या नीचे की शाखाओं वाला एक परवलय (a<0) .

परवलय का शीर्ष जड़ों के बीच में स्थित होता है

विवेचक का भौतिक अर्थ:

यदि विवेचक शून्य (D>0) से अधिक है, तो परवलय में ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं।
यदि विवेचक शून्य (D=0) के बराबर है, तो शीर्ष पर परवलय x-अक्ष को स्पर्श करता है।
और अंतिम मामला, जब विवेचक शून्य से कम हो (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

अपूर्ण द्विघात समीकरण