द्विघात समीकरण हल करते हैं और हल करते हैं। द्विघातीय समीकरण

"समीकरणों को हल करना" विषय की निरंतरता में, इस लेख की सामग्री आपको द्विघात समीकरणों से परिचित कराएगी।

आइए हर चीज पर विस्तार से विचार करें: द्विघात समीकरण का सार और अंकन, संबंधित शब्द सेट करें, अपूर्ण और पूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए योजना का विश्लेषण करें, जड़ों और विवेचक के सूत्र से परिचित हों, जड़ों और गुणांक के बीच संबंध स्थापित करें, और निश्चित रूप से हम व्यावहारिक उदाहरणों का एक दृश्य समाधान देंगे।

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द्विघात समीकरण, इसके प्रकार

परिभाषा 1

द्विघात समीकरणसमीकरण के रूप में लिखा गया है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, कहाँ पे एक्स- चर, ए, बी और सीकुछ संख्याएं हैं, जबकि एशून्य नहीं है।

अक्सर, द्विघात समीकरणों को दूसरी डिग्री के समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि वास्तव में द्विघात समीकरण दूसरी डिग्री का बीजगणितीय समीकरण होता है।

आइए दी गई परिभाषा को स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण दें: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, आदि। द्विघात समीकरण हैं।

परिभाषा 2

नंबर ए, बी और सीद्विघात समीकरण के गुणांक हैं ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, जबकि गुणांक ए x 2 पर पहला, या वरिष्ठ, या गुणांक कहा जाता है, b - दूसरा गुणांक, या गुणांक at एक्स, ए सीमुक्त सदस्य कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण में 6 x 2 - 2 x - 11 = 0उच्चतम गुणांक 6 है, दूसरा गुणांक है − 2 , और मुक्त पद के बराबर है − 11 . आइए हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि जब गुणांक बीऔर/या c ऋणात्मक हैं, तो शॉर्टहैंड फॉर्म का उपयोग किया जाता है 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, लेकिन नहीं 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

आइए हम इस पहलू को भी स्पष्ट करें: यदि गुणांक एऔर/या बीबराबर 1 या − 1 , तो वे द्विघात समीकरण को लिखने में स्पष्ट भाग नहीं ले सकते हैं, जिसे संकेतित संख्यात्मक गुणांक लिखने की ख़ासियत द्वारा समझाया गया है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण में वाई 2 - वाई + 7 = 0वरिष्ठ गुणांक 1 है और दूसरा गुणांक है − 1 .

कम और गैर कम द्विघात समीकरण

पहले गुणांक के मूल्य के अनुसार, द्विघात समीकरणों को कम और गैर-घटित में विभाजित किया जाता है।

परिभाषा 3

घटा हुआ द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है जहां अग्रणी गुणांक 1 है। अग्रणी गुणांक के अन्य मूल्यों के लिए, द्विघात समीकरण को कम नहीं किया जाता है।

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: द्विघात समीकरण x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 - x − 4 5 = 0 घटाए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक में प्रमुख गुणांक 1 है।

9 x 2 - x - 2 = 0- अपरिष्कृत द्विघात समीकरण, जहां पहला गुणांक से भिन्न होता है 1 .

किसी भी अनियोजित द्विघात समीकरण को उसके दोनों भागों को पहले गुणांक (समतुल्य परिवर्तन) से विभाजित करके एक कम समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है। रूपांतरित समीकरण के मूल दिए गए गैर-घटित समीकरण के समान होंगे या बिल्कुल भी मूल नहीं होंगे।

एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करने से हम स्पष्ट रूप से एक असंक्रमित द्विघात समीकरण से घटे हुए समीकरण में संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित कर सकेंगे।

उदाहरण 1

समीकरण 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . दिया गया है . मूल समीकरण को घटे हुए रूप में बदलना आवश्यक है।

फेसला

उपरोक्त योजना के अनुसार, हम मूल समीकरण के दोनों भागों को प्रमुख गुणांक 6 से विभाजित करते हैं। तब हमें मिलता है: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, और यह वही है: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0और आगे: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0।यहां से: एक्स 2 + 3 एक्स - 1 1 6 = 0। इस प्रकार, दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण प्राप्त होता है।

जवाब: एक्स 2 + 3 एक्स - 1 1 6 = 0।

पूर्ण और अपूर्ण द्विघात समीकरण

आइए हम द्विघात समीकरण की परिभाषा की ओर मुड़ें। इसमें, हमने निर्दिष्ट किया कि एक 0. एक समान स्थिति समीकरण के लिए आवश्यक है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0बिल्कुल चौकोर था, क्योंकि ए = 0यह अनिवार्य रूप से एक रैखिक समीकरण में बदल जाता है बी एक्स + सी = 0.

मामले में जहां गुणांक बीऔर सीशून्य के बराबर हैं (जो व्यक्तिगत और संयुक्त रूप से संभव है), द्विघात समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है।

परिभाषा 4

अधूरा द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी \u003d 0,जहां कम से कम एक गुणांक बीऔर सी(या दोनों) शून्य है।

पूर्ण द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है जिसमें सभी संख्यात्मक गुणांक शून्य के बराबर नहीं होते हैं।

आइए चर्चा करें कि द्विघात समीकरणों के प्रकारों को ठीक ऐसे नाम क्यों दिए गए हैं।

b = 0 के लिए, द्विघात समीकरण रूप लेता है ए एक्स 2 + 0 एक्स + सी = 0, जो के समान है ए एक्स 2 + सी = 0. पर सी = 0द्विघात समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है ए एक्स 2 + बी एक्स + 0 = 0, जो समतुल्य है ए एक्स 2 + बी एक्स = 0. पर बी = 0और सी = 0समीकरण का रूप ले लेगा एक एक्स 2 = 0. हमने जो समीकरण प्राप्त किए हैं, वे पूर्ण द्विघात समीकरण से भिन्न हैं, क्योंकि उनके बाएं हाथ की भुजाओं में या तो चर x वाला कोई पद नहीं है, या एक मुक्त पद, या दोनों एक साथ नहीं हैं। दरअसल, इस तथ्य ने इस प्रकार के समीकरणों को नाम दिया - अधूरा।

उदाहरण के लिए, x 2 + 3 x + 4 = 0 और - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 पूर्ण द्विघात समीकरण हैं; एक्स 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , - x 2 - 6 x = 0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

ऊपर दी गई परिभाषा निम्नलिखित प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को अलग करना संभव बनाती है:

• एक एक्स 2 = 0, गुणांक ऐसे समीकरण के अनुरूप हैं बी = 0और सी = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0 के लिए;
• c = 0 के लिए a x 2 + b x = 0।

प्रत्येक प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के हल पर क्रमिक रूप से विचार करें।

समीकरण का हल a x 2 \u003d 0

जैसा कि पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया है, ऐसा समीकरण गुणांक से मेल खाता है बीऔर सी, शून्य के बराबर। समीकरण एक एक्स 2 = 0एक समान समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है x2 = 0, जो हमें मूल समीकरण के दोनों पक्षों को संख्या . से विभाजित करने पर प्राप्त होता है ए, शून्य के बराबर नहीं। स्पष्ट तथ्य यह है कि समीकरण की जड़ x2 = 0शून्य है क्योंकि 0 2 = 0 . इस समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं हैं, जिसे डिग्री के गुणों द्वारा समझाया गया है: किसी भी संख्या के लिए पी ,शून्य के बराबर नहीं, असमानता सत्य है p2 > 0, जिससे यह इस प्रकार है कि जब पी 0समानता पी2 = 0कभी नहीं पहुंचेगा।

परिभाषा 5

अत: अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 = 0 के लिए एक अद्वितीय मूल है एक्स = 0.

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, आइए एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करें -3 x 2 = 0. यह समीकरण के बराबर है x2 = 0, इसकी एकमात्र जड़ है एक्स = 0, तो मूल समीकरण का एक ही मूल है - शून्य।

समाधान संक्षेप में इस प्रकार है:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0।

समीकरण का हल a x 2 + c \u003d 0

अगली पंक्ति में अधूरे द्विघात समीकरणों का हल है, जहाँ b \u003d 0, c 0, अर्थात् रूप के समीकरण ए एक्स 2 + सी = 0. आइए इस समीकरण को समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ स्थानांतरित करके, चिह्न को विपरीत में बदलकर और समीकरण के दोनों पक्षों को एक संख्या से विभाजित करें जो शून्य के बराबर नहीं है:

• सहना सीदाईं ओर, जो समीकरण देता है ए एक्स 2 = - सी;
• समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें ए, हम परिणाम x = - c a के रूप में प्राप्त करते हैं।

हमारे परिवर्तन क्रमशः समतुल्य हैं, परिणामी समीकरण भी मूल के बराबर है, और यह तथ्य समीकरण की जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाता है। मूल्यों से क्या हैं एऔर सीव्यंजक के मान पर निर्भर करता है - c a: इसमें ऋण चिह्न हो सकता है (उदाहरण के लिए, if ए = 1और सी = 2, तो - c a = - 2 1 = - 2) या एक धन चिह्न (उदाहरण के लिए, if .) ए = -2और सी = 6, फिर - सी ए = - 6 - 2 = 3); यह शून्य के बराबर नहीं है क्योंकि सी 0. आइए हम उन स्थितियों पर अधिक विस्तार से ध्यान दें जब - c a< 0 и - c a > 0 .

मामले में जब - सी ए< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа पीसमता p 2 = - c a सत्य नहीं हो सकता।

सब कुछ अलग है जब - c a > 0: वर्गमूल को याद रखें, और यह स्पष्ट हो जाएगा कि समीकरण का मूल x 2 \u003d - c a संख्या होगी - c a, चूंकि - c a 2 \u003d - c a। यह समझना आसान है कि संख्या - - c a - भी समीकरण का मूल है x 2 = - c a: वास्तव में, - - c a 2 = - c a ।

समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं होंगी। हम इसे विपरीत विधि का उपयोग करके प्रदर्शित कर सकते हैं। सबसे पहले, आइए ऊपर पाए गए जड़ों के अंकन को इस प्रकार सेट करें एक्स 1और - एक्स 1. आइए मान लें कि समीकरण x 2 = - c a का भी एक मूल है x2, जो जड़ों से अलग है एक्स 1और - एक्स 1. हम जानते हैं कि के बजाय समीकरण में प्रतिस्थापित करके एक्सइसकी जड़ें, हम समीकरण को एक निष्पक्ष संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

के लिए एक्स 1और - एक्स 1लिखें: x 1 2 = - c a , और for x2- एक्स 2 2 \u003d - सी ए। संख्यात्मक समानता के गुणों के आधार पर, हम एक वास्तविक समानता को दूसरे पद से घटाते हैं, जो हमें देगा: x 1 2 - x 2 2 = 0. अंतिम समानता को फिर से लिखने के लिए संख्या संचालन के गुणों का उपयोग करें (एक्स 1 - एक्स 2) (एक्स 1 + एक्स 2) = 0. यह ज्ञात है कि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि उनमें से कम से कम एक संख्या शून्य हो। जो कहा गया है, वह इस प्रकार है x1 - x2 = 0और/या x1 + x2 = 0, जो एक ही है x2 = x1और/या एक्स 2 = - एक्स 1. एक स्पष्ट विरोधाभास उत्पन्न हुआ, क्योंकि सबसे पहले यह सहमति हुई थी कि समीकरण की जड़ x2से मतभेद होना एक्स 1और - एक्स 1. इसलिए, हमने सिद्ध किया है कि समीकरण का x = - c a और x = - - c a के अलावा और कोई मूल नहीं है।

हम उपरोक्त सभी तर्कों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा 6

अधूरा द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + सी = 0समीकरण x 2 = - c a के बराबर है, जो:

• पर जड़ें नहीं होंगी - c a< 0 ;
• x = - c a और x = - - c a जब - c a > 0 के दो मूल होंगे।

आइए समीकरणों को हल करने के उदाहरण दें ए एक्स 2 + सी = 0.

उदाहरण 3

द्विघात समीकरण दिया गया है 9 x 2 + 7 = 0।इसका समाधान खोजना जरूरी है।

फेसला

हम मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, फिर समीकरण का रूप ले लेगा 9 x 2 \u003d - 7.
हम परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं 9 , हम x 2 = - 7 9 पर आते हैं। दाईं ओर हम एक ऋण चिह्न के साथ एक संख्या देखते हैं, जिसका अर्थ है: दिए गए समीकरण का कोई मूल नहीं है। तब मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण 9 x 2 + 7 = 0जड़ें नहीं होंगी।

जवाब:समीकरण 9 x 2 + 7 = 0कोई जड़ नहीं है।

उदाहरण 4

समीकरण को हल करना आवश्यक है - x2 + 36 = 0.

फेसला

आइए 36 को दाईं ओर ले जाएं: - एक्स 2 = - 36.
आइए दोनों भागों को विभाजित करें − 1 , हम पाते हैं x2 = 36. दाईं ओर एक धनात्मक संख्या है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक्स = 36 या एक्स = - 36।
हम जड़ निकालते हैं और अंतिम परिणाम लिखते हैं: एक अधूरा द्विघात समीकरण - x2 + 36 = 0दो जड़ें हैं एक्स = 6या एक्स = -6.

जवाब: एक्स = 6या एक्स = -6.

समीकरण का हल a x 2 +b x=0

आइए हम तीसरे प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों का विश्लेषण करें, जब सी = 0. एक अपूर्ण द्विघात समीकरण का हल खोजने के लिए ए एक्स 2 + बी एक्स = 0, हम गुणनखंड विधि का उपयोग करते हैं। आइए हम बहुपद को गुणनखंड करें, जो समीकरण के बाईं ओर है, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते हुए एक्स. यह चरण मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण को इसके समतुल्य में बदलना संभव बना देगा एक्स (ए एक्स + बी) = 0. और यह समीकरण, बदले में, समीकरणों के समुच्चय के बराबर है एक्स = 0और ए एक्स + बी = 0. समीकरण ए एक्स + बी = 0रैखिक, और इसकी जड़: एक्स = - बी ए.

परिभाषा 7

अत: अपूर्ण द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + बी एक्स = 0दो जड़ें होंगी एक्स = 0और एक्स = - बी ए.

आइए एक उदाहरण के साथ सामग्री को समेकित करें।

उदाहरण 5

समीकरण 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 का हल निकालना आवश्यक है।

फेसला

चलो निकालते हैं एक्सकोष्ठक के बाहर और समीकरण x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 प्राप्त करें। यह समीकरण समीकरणों के बराबर है एक्स = 0और 2 3 x - 2 2 7 = 0। अब आपको परिणामी रैखिक समीकरण को हल करना चाहिए: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 ।

संक्षेप में, हम समीकरण का हल इस प्रकार लिखते हैं:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

एक्स = 0 या 2 3 एक्स - 2 2 7 = 0

एक्स = 0 या एक्स = 3 3 7

जवाब:एक्स = 0, एक्स = 3 3 7।

विभेदक, द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र

द्विघात समीकरणों का हल खोजने के लिए, एक मूल सूत्र है:

परिभाषा 8

एक्स = - बी ± डी 2 ए, जहां डी = बी 2 - 4 ए सीद्विघात समीकरण का तथाकथित विभेदक है।

x \u003d - b ± D 2 a लिखने का अनिवार्य रूप से अर्थ है कि x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a।

यह समझना उपयोगी होगा कि संकेतित सूत्र कैसे प्राप्त हुआ और इसे कैसे लागू किया जाए।

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

मान लीजिए कि हम एक द्विघात समीकरण को हल करने के कार्य का सामना कर रहे हैं ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0. आइए कई समकक्ष परिवर्तन करें:

• समीकरण के दोनों पक्षों को संख्या से विभाजित करें ए, शून्य से भिन्न, हम घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• परिणामी समीकरण के बाईं ओर पूर्ण वर्ग का चयन करें:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  इसके बाद, समीकरण रूप लेगा: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• अब अंतिम दो पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव है, इसके विपरीत संकेत को बदलना, जिसके बाद हमें मिलता है: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• अंत में, हम अंतिम समानता के दाईं ओर लिखे गए व्यंजक को रूपांतरित करते हैं:
  बी 2 ए 2 - सी ए \u003d बी 2 4 ए 2 - सी ए \u003d बी 2 4 ए 2 - 4 ए सी 4 ए 2 \u003d बी 2 - 4 ए सी 4 ए 2।

इस प्रकार, हम समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 पर आ गए हैं, जो मूल समीकरण के बराबर है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0.

हमने पिछले अनुच्छेदों (अपूर्ण द्विघात समीकरणों का हल) में ऐसे समीकरणों के हल पर चर्चा की थी। पहले से प्राप्त अनुभव समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 की जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाता है:

• बी 2 - 4 ए सी 4 ए 2 . के लिए< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 के लिए, समीकरण का रूप x + b 2 · a 2 = 0 है, फिर x + b 2 · a = 0 है।

यहाँ से, एकमात्र मूल x = - b 2 · a स्पष्ट है;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 के लिए सही है: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 या x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, जो कि वही x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 या x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , अर्थात। समीकरण की दो जड़ें हैं।

यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (और इसलिए मूल समीकरण) की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति अभिव्यक्ति b 2 - 4 a c के चिन्ह पर निर्भर करती है। 4 · a 2 दायीं ओर लिखा हुआ है। और इस व्यंजक का चिह्न अंश के चिह्न से दिया जाता है, (हर .) 4 ए 2हमेशा सकारात्मक रहेगा), यानी अभिव्यक्ति का संकेत बी 2 - 4 ए सी. यह अभिव्यक्ति बी 2 - 4 ए सीएक नाम दिया गया है - एक द्विघात समीकरण का विवेचक और अक्षर D को इसके पदनाम के रूप में परिभाषित किया गया है। यहां आप विवेचक का सार लिख सकते हैं - इसके मूल्य और चिन्ह से, वे यह निष्कर्ष निकालते हैं कि क्या द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें होंगी, और यदि हां, तो कितनी जड़ें - एक या दो।

आइए समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 पर लौटते हैं। आइए विभेदक संकेतन का उपयोग करके इसे फिर से लिखें: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 ।

आइए निष्कर्षों का पुनर्कथन करें:

परिभाषा 9

• पर डी< 0 समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं;
• पर डी = 0समीकरण का एक ही मूल x = - b 2 · a है;
• पर डी > 0समीकरण की दो जड़ें हैं: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 या x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. मूलकों के गुणों के आधार पर, इन जड़ों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: x \u003d - b 2 a + D 2 a या - b 2 a - D 2 a। और जब हम मॉड्यूल खोलते हैं और अंशों को एक सामान्य हर में कम करते हैं, तो हमें मिलता है: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a।

तो, हमारे तर्क का परिणाम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति थी:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , विवेचक डीसूत्र द्वारा गणना डी = बी 2 - 4 ए सी.

ये सूत्र संभव बनाते हैं, जब विवेचक शून्य से अधिक होता है, दोनों वास्तविक जड़ों को निर्धारित करने के लिए। जब विभेदक शून्य होता है, तो दोनों सूत्रों को लागू करने से द्विघात समीकरण के एकमात्र हल के समान मूल प्राप्त होगा। उस स्थिति में जब विभेदक ऋणात्मक होता है, द्विघात मूल सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करते हुए, हमें एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालने की आवश्यकता का सामना करना पड़ेगा, जो हमें वास्तविक संख्याओं से आगे ले जाएगा। एक नकारात्मक विभेदक के साथ, द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें नहीं होंगी, लेकिन जटिल संयुग्म जड़ों की एक जोड़ी संभव है, जो हमें प्राप्त किए गए समान मूल सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है।

मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

मूल सूत्र का उपयोग करके तुरंत द्विघात समीकरण को हल करना संभव है, लेकिन मूल रूप से यह तब किया जाता है जब जटिल जड़ों को खोजना आवश्यक होता है।

अधिकांश मामलों में, खोज आमतौर पर जटिल के लिए नहीं, बल्कि द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के लिए होती है। तब यह इष्टतम है, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करने से पहले, पहले विवेचक का निर्धारण करें और सुनिश्चित करें कि यह ऋणात्मक नहीं है (अन्यथा हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं), और फिर गणना करने के लिए आगे बढ़ें जड़ों का मूल्य।

उपरोक्त तर्क द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करना संभव बनाता है।

परिभाषा 10

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, ज़रूरी:

• सूत्र के अनुसार डी = बी 2 - 4 ए सीविवेचक का मान ज्ञात कीजिए;
• डी पर< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 के लिए सूत्र x = - b 2 · a द्वारा समीकरण का एकमात्र मूल ज्ञात कीजिए;
• D > 0 के लिए, सूत्र x = - b ± D 2 · a द्वारा द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

ध्यान दें कि जब विभेदक शून्य होता है, तो आप सूत्र x = - b ± D 2 · a का उपयोग कर सकते हैं, यह सूत्र x = - b 2 · a के समान परिणाम देगा।

उदाहरणों पर विचार करें।

द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण

हम विवेचक के विभिन्न मूल्यों के लिए उदाहरणों का समाधान प्रस्तुत करते हैं।

उदाहरण 6

समीकरण के मूल ज्ञात करना आवश्यक है एक्स 2 + 2 एक्स - 6 = 0.

फेसला

हम द्विघात समीकरण के संख्यात्मक गुणांक लिखते हैं: a \u003d 1, b \u003d 2 और सी = - 6. अगला, हम एल्गोरिथ्म के अनुसार कार्य करते हैं, अर्थात। आइए विवेचक की गणना शुरू करें, जिसके लिए हम गुणांकों को प्रतिस्थापित करते हैं a , b और सीविभेदक सूत्र में: डी = बी 2 - 4 ए सी = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28।

अतः, हमें D > 0 प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि मूल समीकरण के दो वास्तविक मूल होंगे।
उन्हें खोजने के लिए, हम मूल सूत्र का उपयोग करते हैं x \u003d - b ± D 2 · a और, उपयुक्त मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1। हम परिणामी व्यंजक को मूल के चिह्न से गुणनखंड निकालकर, उसके बाद भिन्न को घटाकर सरल करते हैं:

एक्स = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 या x = - 2 - 2 7 2

एक्स = - 1 + 7 या एक्स = - 1 - 7

जवाब:एक्स = - 1 + 7, एक्स = - 1 - 7।

उदाहरण 7

द्विघात समीकरण को हल करना आवश्यक है − 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

फेसला

आइए विभेदक को परिभाषित करें: डी = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. विवेचक के इस मान के साथ, मूल समीकरण का केवल एक मूल होगा, जो सूत्र x = - b 2 · a द्वारा निर्धारित होता है।

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

जवाब: एक्स = 3, 5.

उदाहरण 8

समीकरण को हल करना आवश्यक है 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

फेसला

इस समीकरण के संख्यात्मक गुणांक होंगे: a = 5 , b = 6 और c = 2 । हम इन मानों का उपयोग विभेदक को खोजने के लिए करते हैं: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = -4 । परिकलित विवेचक ऋणात्मक है, इसलिए मूल द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

उस स्थिति में जब कार्य जटिल जड़ों को इंगित करना है, हम जटिल संख्याओं के साथ संचालन करके मूल सूत्र लागू करते हैं:

एक्स \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 या x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i या x = - 3 5 - 1 5 i ।

जवाब:कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं; सम्मिश्र मूल हैं: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i ।

स्कूल पाठ्यक्रम में, एक मानक के रूप में, जटिल जड़ों की तलाश करने की कोई आवश्यकता नहीं है, इसलिए, यदि समाधान के दौरान विवेचक को नकारात्मक के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो उत्तर तुरंत दर्ज किया जाता है कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र

मूल सूत्र x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) एक और सूत्र प्राप्त करना संभव बनाता है, अधिक सघन, आपको x पर सम गुणांक वाले द्विघात समीकरणों के समाधान खोजने की अनुमति देता है (या गुणांक के साथ) फॉर्म 2 ए एन, उदाहरण के लिए, 2 3 या 14 एलएन 5 = 2 7 एलएन 5)। आइए हम दिखाते हैं कि यह सूत्र कैसे प्राप्त होता है।

मान लीजिए कि हमारे सामने द्विघात समीकरण a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 का हल खोजने का कार्य है। हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं: हम विभेदक D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) निर्धारित करते हैं, और फिर मूल सूत्र का उपयोग करते हैं:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · सीए ।

मान लें कि व्यंजक n 2 - a c को D 1 के रूप में निरूपित किया जाता है (कभी-कभी इसे D " के रूप में दर्शाया जाता है)। फिर दूसरे गुणांक 2 n के साथ माने गए द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र रूप लेगा:

एक्स \u003d - एन ± डी 1 ए, जहां डी 1 \u003d एन 2 - ए सी।

यह देखना आसान है कि D = 4 · D 1 , या D 1 = D 4 । दूसरे शब्दों में, डी 1 विवेचक का एक चौथाई है। जाहिर है, डी 1 का संकेत डी के संकेत के समान है, जिसका अर्थ है कि डी 1 का संकेत द्विघात समीकरण की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति के संकेतक के रूप में भी काम कर सकता है।

परिभाषा 11

इस प्रकार, 2 n के दूसरे गुणांक वाले द्विघात समीकरण का हल खोजने के लिए, यह आवश्यक है:

• डी 1 = एन 2 - ए सी खोजें;
• डी 1 . पर< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• डी 1 = 0 के लिए, सूत्र द्वारा समीकरण का एकमात्र मूल निर्धारित करें x = - n a ;
• D 1 > 0 के लिए, सूत्र x = - n ± D 1 a का उपयोग करके दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 9

द्विघात समीकरण 5 · x 2 - 6 · x - 32 = 0 को हल करना आवश्यक है।

फेसला

दिए गए समीकरण के दूसरे गुणांक को 2 · (- 3) के रूप में दर्शाया जा सकता है। फिर हम दिए गए द्विघात समीकरण को 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x − 32 = 0 के रूप में फिर से लिखते हैं, जहां a = 5 , n = − 3 और c = − 32 ।

आइए विभेदक के चौथे भाग की गणना करें: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169। परिणामी मान धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। हम उन्हें जड़ों के संगत सूत्र द्वारा परिभाषित करते हैं:

एक्स = - एन ± डी 1 ए, एक्स = - - 3 ± 169 5, एक्स = 3 ± 13 5,

एक्स = 3 + 13 5 या एक्स = 3 - 13 5

एक्स = 3 1 5 या एक्स = - 2

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करके गणना करना संभव होगा, लेकिन इस मामले में समाधान अधिक बोझिल होगा।

जवाब:एक्स = 3 1 5 या एक्स = - 2।

द्विघात समीकरणों के रूप का सरलीकरण

कभी-कभी मूल समीकरण के रूप को अनुकूलित करना संभव होता है, जो जड़ों की गणना की प्रक्रिया को सरल करेगा।

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 से हल करने के लिए स्पष्ट रूप से अधिक सुविधाजनक है।

अधिक बार, द्विघात समीकरण के रूप का सरलीकरण इसके दोनों भागों को एक निश्चित संख्या से गुणा या विभाजित करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, ऊपर हमने समीकरण 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 का एक सरलीकृत निरूपण दिखाया, जो इसके दोनों भागों को 100 से विभाजित करके प्राप्त किया गया था।

ऐसा परिवर्तन तब संभव है जब द्विघात समीकरण के गुणांक अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ न हों। फिर, आमतौर पर, समीकरण के दोनों भागों को इसके गुणांकों के निरपेक्ष मूल्यों के सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित किया जाता है।

उदाहरण के तौर पर, हम द्विघात समीकरण 12 x 2 - 42 x + 48 = 0 का उपयोग करते हैं। आइए इसके गुणांकों के निरपेक्ष मानों के gcd को परिभाषित करें: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6। आइए मूल द्विघात समीकरण के दोनों भागों को 6 से विभाजित करें और समतुल्य द्विघात समीकरण 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 प्राप्त करें।

द्विघात समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करके, भिन्नात्मक गुणांक आमतौर पर समाप्त हो जाते हैं। इस मामले में, इसके गुणांकों के हर के कम से कम सामान्य गुणक से गुणा करें। उदाहरण के लिए, यदि द्विघात समीकरण 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 के प्रत्येक भाग को LCM (6, 3, 1) \u003d 6 से गुणा किया जाता है, तो इसे सरल रूप में लिखा जाएगा x 2 + 4 एक्स - 18 = 0।

अंत में, हम ध्यान दें कि समीकरण के प्रत्येक पद के संकेतों को बदलते हुए, द्विघात समीकरण के पहले गुणांक पर लगभग हमेशा ऋण से छुटकारा मिलता है, जो दोनों भागों को -1 से गुणा (या विभाजित) करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 से, आप इसके सरलीकृत संस्करण 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0 पर जा सकते हैं।

जड़ों और गुणांकों के बीच संबंध

द्विघात समीकरणों की जड़ों के लिए पहले से ही ज्ञात सूत्र x = - b ± D 2 · a समीकरण की जड़ों को इसके संख्यात्मक गुणांक के रूप में व्यक्त करता है। इस सूत्र के आधार पर, हमारे पास जड़ों और गुणांकों के बीच अन्य निर्भरताएँ निर्धारित करने का अवसर है।

विएटा प्रमेय के सूत्र सबसे प्रसिद्ध और लागू हैं:

एक्स 1 + एक्स 2 \u003d - बी ए और एक्स 2 \u003d सी ए।

विशेष रूप से, दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग विपरीत चिह्न वाला दूसरा गुणांक होता है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 के रूप में, यह तुरंत निर्धारित करना संभव है कि इसकी जड़ों का योग 7 3 है, और जड़ों का उत्पाद 22 3 है।

आप द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच कई अन्य संबंध भी पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों का योग गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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हम विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं समीकरणों का हल". हम पहले ही रैखिक समीकरणों से परिचित हो चुके हैं और अब हम इससे परिचित होने जा रहे हैं द्विघातीय समीकरण.

सबसे पहले, हम चर्चा करेंगे कि द्विघात समीकरण क्या है, इसे सामान्य रूप में कैसे लिखा जाता है, और संबंधित परिभाषाएँ देंगे। उसके बाद, उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे कि अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। इसके बाद, आइए पूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ें, जड़ों के लिए सूत्र प्राप्त करें, द्विघात समीकरण के विवेचक से परिचित हों, और विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करें। अंत में, हम जड़ों और गुणांकों के बीच संबंध का पता लगाते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

द्विघात समीकरण क्या है? उनके प्रकार

पहले आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि द्विघात समीकरण क्या है। इसलिए, द्विघात समीकरण की परिभाषा के साथ-साथ उससे संबंधित परिभाषाओं के साथ द्विघात समीकरणों के बारे में बात करना शुरू करना तर्कसंगत है। उसके बाद, आप मुख्य प्रकार के द्विघात समीकरणों पर विचार कर सकते हैं: कम और गैर-कम, साथ ही पूर्ण और अपूर्ण समीकरण।

द्विघात समीकरणों की परिभाषा और उदाहरण

परिभाषा।

द्विघात समीकरणफॉर्म का एक समीकरण है ए एक्स 2 +बी एक्स+सी=0, जहाँ x एक चर है, a , b और c कुछ संख्याएँ हैं, और a शून्य से भिन्न है।

आइए तुरंत कहें कि द्विघात समीकरणों को अक्सर दूसरी डिग्री के समीकरण कहा जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि द्विघात समीकरण है बीजीय समीकरणदूसरी उपाधि।

ध्वनि की परिभाषा हमें द्विघात समीकरणों के उदाहरण देने की अनुमति देती है। तो 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, आदि। द्विघात समीकरण हैं।

परिभाषा।

नंबर ए, बी और सी कहा जाता है द्विघात समीकरण के गुणांक a x 2 + b x + c \u003d 0, और गुणांक a को पहला, या वरिष्ठ, या x 2 पर गुणांक कहा जाता है, b दूसरा गुणांक है, या x पर गुणांक है, और c एक मुक्त सदस्य है।

उदाहरण के लिए, आइए 5 x 2 −2 x−3=0 के रूप का द्विघात समीकरण लें, यहां प्रमुख गुणांक 5 है, दूसरा गुणांक −2 है, और मुक्त पद −3 है। ध्यान दें कि जब गुणांक b और/या c ऋणात्मक होते हैं, जैसा कि अभी दिए गए उदाहरण में है, फॉर्म 5 x 2 −2 x−3=0 के द्विघात समीकरण के संक्षिप्त रूप का उपयोग किया जाता है, न कि 5 x 2 +(- 2 )x+(−3)=0 ।

यह ध्यान देने योग्य है कि जब गुणांक a और / या b 1 या -1 के बराबर होते हैं, तो वे आमतौर पर द्विघात समीकरण के संकेतन में स्पष्ट रूप से मौजूद नहीं होते हैं, जो कि इस तरह के अंकन की ख़ासियत के कारण होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण y 2 −y+3=0 में, प्रमुख गुणांक एक है, और y पर गुणांक -1 है।

कम और गैर कम द्विघात समीकरण

अग्रणी गुणांक के मूल्य के आधार पर, कम और गैर-कम द्विघात समीकरण प्रतिष्ठित हैं। आइए हम संबंधित परिभाषाएं दें।

परिभाषा।

एक द्विघात समीकरण जिसमें अग्रणी गुणांक 1 होता है, कहलाता है घटा हुआ द्विघात समीकरण. अन्यथा, द्विघात समीकरण है कम किया हुआ.

इस परिभाषा के अनुसार, द्विघात समीकरण x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, आदि। - घटाया गया, उनमें से प्रत्येक में पहला गुणांक एक के बराबर है। और 5 x 2 −x−1=0 , आदि। - अपरिष्कृत द्विघात समीकरण, उनके प्रमुख गुणांक 1 से भिन्न होते हैं।

किसी भी गैर-घटित द्विघात समीकरण से, इसके दोनों भागों को अग्रणी गुणांक से विभाजित करके, आप घटाए गए समीकरण पर जा सकते हैं। यह क्रिया एक समतुल्य परिवर्तन है, अर्थात, इस तरह से प्राप्त कम द्विघात समीकरण की जड़ें मूल गैर-घटित द्विघात समीकरण के समान हैं, या, इसकी तरह, कोई जड़ें नहीं हैं।

आइए एक उदाहरण लेते हैं कि कैसे एक असंबद्ध द्विघात समीकरण से एक कम किए गए समीकरण में संक्रमण किया जाता है।

उदाहरण।

समीकरण 3 x 2 +12 x−7=0 से, संगत घटाए गए द्विघात समीकरण पर जाएं।

फेसला।

हमारे लिए मूल समीकरण के दोनों भागों को प्रमुख गुणांक 3 से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है, यह गैर-शून्य है, इसलिए हम यह क्रिया कर सकते हैं। हमारे पास (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 है, जो समान है (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , और इसी तरह (3 x 2): :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , कहां से । तो हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण मिला, जो मूल समीकरण के बराबर है।

जवाब:

पूर्ण और अपूर्ण द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण की परिभाषा में एक शर्त a≠0 है। समीकरण a x 2 +b x+c=0 के बिल्कुल वर्गाकार होने के लिए यह शर्त आवश्यक है, क्योंकि a=0 के साथ यह वास्तव में b x+c=0 रूप का एक रैखिक समीकरण बन जाता है।

गुणांक बी और सी के लिए, वे शून्य के बराबर हो सकते हैं, दोनों अलग-अलग और एक साथ। इन मामलों में, द्विघात समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है।

परिभाषा।

द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 कहा जाता है अधूरा, यदि कम से कम एक गुणांक b , c शून्य के बराबर है।

इसकी बारी में

परिभाषा।

पूर्ण द्विघात समीकरणएक समीकरण है जिसमें सभी गुणांक शून्य से भिन्न होते हैं।

ये नाम संयोग से नहीं दिए गए हैं। यह निम्नलिखित चर्चा से स्पष्ट हो जाएगा।

यदि गुणांक b शून्य के बराबर है, तो द्विघात समीकरण a x 2 +0 x+c=0 रूप लेता है, और यह समीकरण a x 2 +c=0 के बराबर है। यदि c=0 , अर्थात द्विघात समीकरण का रूप a x 2 +b x+0=0 है, तो इसे a x 2 +b x=0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। और b=0 और c=0 से हमें द्विघात समीकरण a·x 2 =0 मिलता है। परिणामी समीकरण पूर्ण द्विघात समीकरण से इस मायने में भिन्न होते हैं कि उनके बाएँ हाथ की भुजाओं में या तो चर x वाला कोई पद नहीं है, या एक मुक्त पद, या दोनों नहीं हैं। इसलिए उनके नाम - अपूर्ण द्विघात समीकरण।

तो समीकरण x 2 +x+1=0 और −2 x 2 −5 x+0,2=0 पूर्ण द्विघात समीकरणों के उदाहरण हैं, और x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

यह पिछले पैराग्राफ की जानकारी से इस प्रकार है कि वहाँ है तीन प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण:

• a x 2 =0 , गुणांक b=0 और c=0 इसके अनुरूप हैं;
• a x 2 +c=0 जब b=0 ;
• और a x 2 +b x=0 जब c=0 ।

आइए हम इस क्रम में विश्लेषण करें कि इनमें से प्रत्येक प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।

ए एक्स 2 \u003d 0

आइए अधूरे द्विघात समीकरणों को हल करके शुरू करें जिसमें गुणांक b और c शून्य के बराबर हैं, अर्थात, x 2 = 0 के रूप के समीकरणों के साथ। समीकरण a·x 2 =0 समीकरण x 2 =0 के समतुल्य है, जो मूल से इसके दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। जाहिर है, समीकरण x 2 \u003d 0 की जड़ शून्य है, 0 2 \u003d 0 से। इस समीकरण का कोई अन्य मूल नहीं है, जिसे समझाया गया है, वास्तव में, किसी भी गैर-शून्य संख्या p के लिए, असमानता p 2 >0 होती है, जिसका अर्थ है कि p≠0 के लिए, समानता p 2 = 0 कभी हासिल नहीं होती है।

तो, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 \u003d 0 का एक मूल x \u003d 0 है।

उदाहरण के तौर पर, हम एक अपूर्ण द्विघात समीकरण −4·x 2 =0 का हल देते हैं। यह समीकरण x 2 \u003d 0 के बराबर है, इसका एकमात्र मूल x \u003d 0 है, इसलिए मूल समीकरण का एक मूल शून्य है।

इस मामले में एक संक्षिप्त समाधान निम्नानुसार जारी किया जा सकता है:
−4 x 2 \u003d 0,
एक्स 2 \u003d 0,
एक्स = 0।

ए एक्स 2 +सी = 0

अब विचार करें कि अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, जिसमें गुणांक b शून्य के बराबर होता है, और c≠0, अर्थात्, a x 2 +c=0 के रूप के समीकरण। हम जानते हैं कि समीकरण के एक तरफ से विपरीत चिह्न के साथ एक पद का स्थानांतरण, साथ ही साथ एक गैर-शून्य संख्या द्वारा समीकरण के दोनों पक्षों का विभाजन, एक समान समीकरण देता है। इसलिए, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +c=0 के निम्नलिखित समतुल्य परिवर्तन किए जा सकते हैं:

• c को दाईं ओर ले जाएँ, जो समीकरण a x 2 =−c देता है,
• और इसके दोनों भागों को a से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है।

परिणामी समीकरण हमें इसकी जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है। a और c के मानों के आधार पर, व्यंजक का मान ऋणात्मक हो सकता है (उदाहरण के लिए, यदि a=1 और c=2 , तो ) या धनात्मक, (उदाहरण के लिए, यदि a=−2 और c=6 , तब), यह शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि शर्त c≠0 के अनुसार। हम अलग से मामलों का विश्लेषण करेंगे और .

यदि , तो समीकरण का कोई मूल नहीं है। यह कथन इस तथ्य का अनुसरण करता है कि किसी भी संख्या का वर्ग एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि जब , तब किसी संख्या p के लिए समता सत्य नहीं हो सकती।

यदि , तो समीकरण की जड़ों के साथ स्थिति अलग है। इस मामले में, अगर हम याद करते हैं, तो समीकरण की जड़ तुरंत स्पष्ट हो जाती है, यह संख्या है, क्योंकि। यह अनुमान लगाना आसान है कि संख्या भी समीकरण की जड़ है, वास्तव में,। इस समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं हैं, जिन्हें दिखाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, विरोधाभास द्वारा। हो जाए।

आइए समीकरण के उचित स्वर वाले मूलों को x 1 और −x 1 के रूप में निरूपित करें। मान लीजिए कि समीकरण का एक और मूल x 2 है जो संकेतित मूल x 1 और −x 1 से भिन्न है। यह ज्ञात है कि इसकी जड़ों के x के बजाय समीकरण में प्रतिस्थापन समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देता है। x 1 और −x 1 के लिए हमारे पास है, और x 2 के लिए हमारे पास है। संख्यात्मक समानता के गुण हमें वास्तविक संख्यात्मक समानता का पद-दर-अवधि घटाव करने की अनुमति देते हैं, इसलिए समानता के संगत भागों को घटाने पर x 1 2 - x 2 2 = 0 प्राप्त होता है। संख्याओं के साथ संक्रियाओं के गुण हमें परिणामी समानता को (x 1 - x 2)·(x 1 + x 2)=0 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देते हैं। हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर हो। इसलिए, यह प्राप्त समानता का अनुसरण करता है कि x 1 −x 2 =0 और/या x 1 +x 2 =0 , जो समान है, x 2 =x 1 और/या x 2 = −x 1 । इसलिए हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं, क्योंकि शुरुआत में हमने कहा था कि समीकरण x 2 का मूल x 1 और −x 1 से भिन्न है। इससे सिद्ध होता है कि समीकरण का और के अलावा और कोई मूल नहीं है।

आइए इस पैराग्राफ में जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करें। अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +c=0 समीकरण के समतुल्य है, जो

• कोई जड़ नहीं है अगर ,
• दो जड़ें हैं और यदि .

a·x 2 +c=0 रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

आइए द्विघात समीकरण 9 x 2 +7=0 से शुरू करें। मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करने के बाद, यह 9·x 2 =−7 का रूप ले लेगा। परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को 9 से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं। चूँकि दायीं ओर एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, इसलिए मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण 9 x 2 +7=0 का कोई मूल नहीं है।

आइए एक और अपूर्ण द्विघात समीकरण −x 2 +9=0 हल करें। हम नौ को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं: -x 2 \u003d -9। अब हम दोनों भागों को -1 से विभाजित करते हैं, हमें x 2 =9 प्राप्त होता है। दाईं ओर एक धनात्मक संख्या है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि या । अंतिम उत्तर लिखने के बाद: अपूर्ण द्विघात समीकरण −x 2 +9=0 के दो मूल x=3 या x=−3 हैं।

ए एक्स 2 +बी एक्स=0

यह c=0 के लिए अंतिम प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों के समाधान से निपटने के लिए बनी हुई है। फॉर्म के अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +b x=0 आपको हल करने की अनुमति देता है गुणनखंडन विधि. जाहिर है, हम समीकरण के बाईं ओर स्थित हो सकते हैं, जिसके लिए यह सामान्य कारक x को कोष्ठक से बाहर निकालने के लिए पर्याप्त है। यह हमें मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण से x·(a·x+b)=0 रूप के समतुल्य समीकरण में जाने की अनुमति देता है। और यह समीकरण दो समीकरणों x=0 और a x+b=0 के समुच्चय के समतुल्य है, जिनमें से अंतिम रैखिक है और इसका मूल x=−b/a है।

तो, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +b x=0 के दो मूल x=0 और x=−b/a हैं।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम एक विशिष्ट उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

फेसला।

हम कोष्ठक में से x निकालते हैं, यह समीकरण देता है। यह दो समीकरणों x=0 और के बराबर है। हम परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं: और मिश्रित संख्या को एक साधारण भिन्न से विभाजित करने के बाद, हम पाते हैं। इसलिए, मूल समीकरण के मूल x=0 और हैं।

आवश्यक अभ्यास प्राप्त करने के बाद, ऐसे समीकरणों के हल संक्षेप में लिखे जा सकते हैं:

जवाब:

एक्स = 0,।

विभेदक, द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, एक मूल सूत्र है। आइए लिखते हैं द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र: , कहाँ पे डी=बी 2 −4 ए सी- तथाकथित द्विघात समीकरण का विभेदक. नोटेशन का अनिवार्य रूप से मतलब है कि .

यह जानना उपयोगी है कि मूल सूत्र कैसे प्राप्त किया गया था, और इसे द्विघात समीकरणों की जड़ों को खोजने में कैसे लागू किया जाता है। आइए इससे निपटें।

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x+c=0 को हल करें। आइए कुछ समकक्ष परिवर्तन करें:

• हम इस समीकरण के दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित कर सकते हैं, परिणामस्वरूप हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण मिलता है।
• अभी एक पूर्ण वर्ग चुनेंइसके बाईं ओर: . उसके बाद, समीकरण रूप लेगा।
• इस स्तर पर, हमारे पास विपरीत चिन्ह के साथ अंतिम दो पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव है।
• और दायीं ओर के व्यंजक को भी रूपांतरित करते हैं: .

नतीजतन, हम समीकरण पर पहुंचते हैं, जो मूल द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x+c=0 के बराबर है।

जब हमने विश्लेषण किया तो हम पिछले पैराग्राफ में समान रूप में समीकरणों को पहले ही हल कर चुके हैं। यह हमें समीकरण की जड़ों के बारे में निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है:

• यदि , तो समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है;
• यदि , तो समीकरण का वह रूप है , इसलिए , जिससे उसका एकमात्र मूल दिखाई देता है;
• यदि , तो या , जो या के समान है, अर्थात समीकरण के दो मूल हैं।

इस प्रकार, समीकरण के मूलों की उपस्थिति या अनुपस्थिति, और इसलिए मूल द्विघात समीकरण, दायीं ओर के व्यंजक के चिन्ह पर निर्भर करता है। बदले में, इस व्यंजक का चिह्न अंश के चिह्न से निर्धारित होता है, क्योंकि हर 4 a 2 हमेशा धनात्मक होता है, अर्थात व्यंजक b 2 −4 a c का चिह्न। यह व्यंजक b 2 −4 a c कहलाता है द्विघात समीकरण का विभेदकऔर पत्र के साथ चिह्नित डी. यहां से, विवेचक का सार स्पष्ट है - इसके मूल्य और चिन्ह से, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि क्या द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें हैं, और यदि हां, तो उनकी संख्या क्या है - एक या दो।

हम समीकरण पर लौटते हैं, इसे विवेचक के संकेतन का उपयोग करके फिर से लिखते हैं:। और हम निष्कर्ष निकालते हैं:

• अगर डी<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• यदि D=0, तो इस समीकरण का एक ही मूल है;
• अंत में, यदि D>0, तो समीकरण के दो मूल हैं या, जिसे या के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, और भिन्नों को एक सामान्य हर में विस्तारित और कम करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं।

इसलिए हमने द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र निकाले, वे ऐसे दिखते हैं, जहां विभेदक D की गणना सूत्र D=b 2 −4 a c द्वारा की जाती है।

उनकी मदद से, एक सकारात्मक विवेचक के साथ, आप द्विघात समीकरण के दोनों वास्तविक मूलों की गणना कर सकते हैं। जब विभेदक शून्य के बराबर होता है, तो दोनों सूत्र द्विघात समीकरण के एकमात्र समाधान के अनुरूप समान मूल मान देते हैं। और एक नकारात्मक विभेदक के साथ, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करते समय, हमें एक ऋणात्मक संख्या से वर्गमूल निकालने का सामना करना पड़ता है, जो हमें स्कूली पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर ले जाता है। एक नकारात्मक विवेचक के साथ, द्विघात समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं, लेकिन एक युग्म होता है जटिल सन्युग्मजड़ें, जिन्हें हमने प्राप्त किए गए मूल सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

व्यवहार में, द्विघात समीकरण को हल करते समय, आप तुरंत मूल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जिसके साथ उनके मूल्यों की गणना की जा सकती है। लेकिन यह जटिल जड़ों को खोजने के बारे में अधिक है।

हालाँकि, एक स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में, हम आमतौर पर जटिल के बारे में नहीं, बल्कि द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के बारे में बात करते हैं। इस मामले में, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करने से पहले पहले विवेचक को खोजने की सलाह दी जाती है, सुनिश्चित करें कि यह गैर-ऋणात्मक है (अन्यथा, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं), और उसके बाद जड़ों के मूल्यों की गणना करें।

उपरोक्त तर्क हमें लिखने की अनुमति देता है द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म. द्विघात समीकरण a x 2 + b x + c \u003d 0 को हल करने के लिए, आपको चाहिए:

• विभेदक सूत्र D=b 2 −4 a c का उपयोग करके इसके मान की गणना करें;
• यह निष्कर्ष निकालें कि यदि विभेदक ऋणात्मक है तो द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है;
• सूत्र का उपयोग करके समीकरण के एकमात्र मूल की गणना करें यदि D=0 ;
• यदि विभेदक धनात्मक है, तो मूल सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

यहां हम केवल यह नोट करते हैं कि यदि विवेचक शून्य के बराबर है, तो सूत्र का भी उपयोग किया जा सकता है, यह वही मान देगा जो .

आप द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म को लागू करने के उदाहरणों पर आगे बढ़ सकते हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण

सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य विवेचक वाले तीन द्विघात समीकरणों के समाधान पर विचार करें। उनके हल से निपटने के बाद, सादृश्य द्वारा किसी अन्य द्विघात समीकरण को हल करना संभव होगा। चलो शुरू करो।

उदाहरण।

समीकरण x 2 +2 x−6=0 के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला।

इस मामले में, हमारे पास द्विघात समीकरण के निम्नलिखित गुणांक हैं: a=1 , b=2 और c=−6 । एल्गोरिथ्म के अनुसार, आपको पहले विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है, इसके लिए हम संकेतित a, b और c को विवेचक सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास है डी=बी 2 −4 ए सी=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. चूँकि 28>0, अर्थात् विवेचक शून्य से बड़ा है, द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। आइए उन्हें जड़ों के सूत्र द्वारा खोजें, हमें मिलता है, यहाँ हम करके प्राप्त किए गए व्यंजकों को सरल बना सकते हैं जड़ के चिन्ह को बाहर निकालनाइसके बाद अंश में कमी:

जवाब:

आइए अगले विशिष्ट उदाहरण पर चलते हैं।

उदाहरण।

द्विघात समीकरण −4 x 2 +28 x−49=0 को हल करें।

फेसला।

हम विवेचक को ढूंढकर शुरू करते हैं: डी=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. इसलिए, इस द्विघात समीकरण का एक ही मूल है, जिसे हम पाते हैं, अर्थात्,

जवाब:

एक्स = 3.5।

यह नकारात्मक विवेचक के साथ द्विघात समीकरणों के समाधान पर विचार करने के लिए बनी हुई है।

उदाहरण।

समीकरण 5 y 2 +6 y+2=0 हल कीजिए।

फेसला।

द्विघात समीकरण के गुणांक यहां दिए गए हैं: a=5 , b=6 और c=2 । इन मूल्यों को विवेचक सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है डी=बी 2 −4 ए सी=6 2 −4 5 2=36−40=−4. विवेचक ऋणात्मक है, इसलिए इस द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

यदि आपको जटिल जड़ों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है, तो हम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करते हैं, और प्रदर्शन करते हैं जटिल संख्याओं के साथ संचालन:

जवाब:

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, जटिल जड़ें हैं: .

एक बार फिर, हम ध्यान दें कि यदि द्विघात समीकरण का विवेचक ऋणात्मक है, तो स्कूल आमतौर पर तुरंत उत्तर लिख देता है, जिसमें वे इंगित करते हैं कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, और उन्हें जटिल जड़ें नहीं मिलती हैं।

दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र, जहां D=b 2 −4 a c आपको एक अधिक कॉम्पैक्ट सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है जो आपको x पर एक सम गुणांक के साथ द्विघात समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है (या केवल एक गुणांक के साथ जो 2 n जैसा दिखता है) , उदाहरण के लिए, या 14 ln5=2 7 ln5 )। चलो उसे बाहर निकालते हैं।

मान लीजिए कि हमें a x 2 +2 n x + c=0 रूप के द्विघात समीकरण को हल करने की आवश्यकता है। आइए हम ज्ञात सूत्र का उपयोग करके इसकी जड़ें खोजें। ऐसा करने के लिए, हम विवेचक की गणना करते हैं D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), और फिर हम मूल सूत्र का उपयोग करते हैं:

व्यंजक n 2 -a c को D 1 के रूप में निरूपित करें (कभी-कभी इसे D " के रूप में दर्शाया जाता है)। फिर दूसरे गुणांक 2 n के साथ माना द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र रूप लेता है , जहां डी 1 =एन 2 -ए सी।

यह देखना आसान है कि D=4·D 1 , या D 1 =D/4 । दूसरे शब्दों में, डी 1 विवेचक का चौथा भाग है। यह स्पष्ट है कि D 1 का चिन्ह D के चिन्ह के समान है। अर्थात्, चिह्न D 1 भी द्विघात समीकरण के मूलों की उपस्थिति या अनुपस्थिति का सूचक है।

तो, दूसरे गुणांक 2 n के साथ द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, आपको चाहिए

• D 1 =n 2 −a·c परिकलित करें;
• अगर डी 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• यदि डी 1 = 0, तो सूत्र का उपयोग करके समीकरण की एकमात्र जड़ की गणना करें;
• यदि D 1 >0, तो सूत्र का प्रयोग कर दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

इस अनुच्छेद में प्राप्त मूल सूत्र का उपयोग करके उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

द्विघात समीकरण 5 x 2 −6 x−32=0 को हल करें।

फेसला।

इस समीकरण के दूसरे गुणांक को 2·(−3) के रूप में दर्शाया जा सकता है। यानी, आप मूल द्विघात समीकरण को 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 के रूप में फिर से लिख सकते हैं, यहां a=5 , n=−3 और c=−32 , और इसके चौथे भाग की गणना कर सकते हैं विभेदक: डी 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. चूँकि इसका मान धनात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। हम उन्हें संबंधित मूल सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

ध्यान दें कि द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करना संभव था, लेकिन इस मामले में, अधिक कम्प्यूटेशनल कार्य करना होगा।

जवाब:

द्विघात समीकरणों के रूप का सरलीकरण

कभी-कभी, सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना शुरू करने से पहले, यह प्रश्न पूछने में कोई दिक्कत नहीं होती है: "क्या इस समीकरण के रूप को सरल बनाना संभव है"? सहमत हैं कि गणना के संदर्भ में द्विघात समीकरण 11 x 2 −4 x −6=0 को 1100 x 2 −400 x−600=0 से हल करना आसान होगा।

आमतौर पर, द्विघात समीकरण के रूप का एक सरलीकरण इसके दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा या विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, पिछले पैराग्राफ में, हम दोनों पक्षों को 100 से विभाजित करके समीकरण 1100 x 2 −400 x −600=0 का सरलीकरण प्राप्त करने में सफल रहे।

द्विघात समीकरणों के साथ एक समान परिवर्तन किया जाता है, जिसके गुणांक नहीं होते हैं। इस मामले में, समीकरण के दोनों भागों को आमतौर पर इसके गुणांकों के निरपेक्ष मूल्यों से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आइए द्विघात समीकरण 12 x 2 −42 x+48=0 लेते हैं। इसके गुणांकों के निरपेक्ष मान: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 । मूल द्विघात समीकरण के दोनों भागों को 6 से विभाजित करने पर, हम समतुल्य द्विघात समीकरण 2 x 2 −7 x+8=0 पर पहुंचते हैं।

और द्विघात समीकरण के दोनों भागों का गुणन आमतौर पर भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाने के लिए किया जाता है। इस मामले में, गुणन इसके गुणांकों के हर पर किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि द्विघात समीकरण के दोनों भागों को LCM(6, 3, 1)=6 से गुणा किया जाता है, तो यह एक सरल रूप x 2 +4 x−18=0 ले लेगा।

इस अनुच्छेद के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि लगभग हमेशा सभी पदों के संकेतों को बदलकर द्विघात समीकरण के उच्चतम गुणांक पर ऋण से छुटकारा मिलता है, जो दोनों भागों को -1 से गुणा (या विभाजित) करने के अनुरूप होता है। उदाहरण के लिए, आमतौर पर द्विघात समीकरण −2·x 2 −3·x+7=0 से समाधान 2·x 2 +3·x−7=0 पर जाएं।

द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध

द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र समीकरण के मूलों को उसके गुणांकों के रूप में व्यक्त करता है। मूलों के सूत्र के आधार पर, आप मूलों और गुणांकों के बीच अन्य संबंध प्राप्त कर सकते हैं।

प्रपत्र के Vieta प्रमेय से सबसे प्रसिद्ध और लागू सूत्र और . विशेष रूप से, दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर होता है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 3 x 2 −7 x+22=0 के रूप में, हम तुरंत कह सकते हैं कि इसके मूलों का योग 7/3 है, और मूलों का गुणनफल 22/3 है।

पहले से लिखे गए सूत्रों का उपयोग करके, आप द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच कई अन्य संबंध प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप किसी द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों के योग को उसके गुणांकों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: .

ग्रंथ सूची।

• बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16 वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
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”, यानी पहली डिग्री के समीकरण। इस पाठ में, हम पता लगाएंगे द्विघात समीकरण क्या हैऔर इसे कैसे हल करें।

द्विघात समीकरण क्या है

जरूरी!

एक समीकरण की डिग्री उस उच्चतम डिग्री से निर्धारित होती है जिस पर अज्ञात खड़ा होता है।

यदि अज्ञात की अधिकतम डिग्री "2" है, तो आपके पास द्विघात समीकरण है।

द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• एक्स 2 - 8 = 0

जरूरी! द्विघात समीकरण का सामान्य रूप इस तरह दिखता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0

"ए", "बी" और "सी" - दिए गए नंबर।

• "ए" - पहला या वरिष्ठ गुणांक;
• "बी" - दूसरा गुणांक;
• "सी" एक स्वतंत्र सदस्य है।

"ए", "बी" और "सी" खोजने के लिए आपको द्विघात समीकरण "कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0" के सामान्य रूप के साथ अपने समीकरण की तुलना करने की आवश्यकता है।

आइए द्विघात समीकरणों में गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करने का अभ्यास करें।

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

समीकरण	कठिनाइयाँ
ए = 5 बी = -14 सी = 17
ए = -7 बी = −13 सी = 8

1

3

= 0

• ए = -1
• बी = 1
• सी =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• ए = 1
• बी = 0.25
• सी = 0

एक्स 2 - 8 = 0

• ए = 1
• बी = 0
• सी = −8

द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें

रैखिक समीकरणों के विपरीत, द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक विशेष समीकरण का उपयोग किया जाता है। जड़ों को खोजने का सूत्र.

याद है!

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए आपको चाहिए:

• द्विघात समीकरण को सामान्य रूप "कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0" में लाएं। यानी दायीं तरफ सिर्फ "0" ही रहना चाहिए;
• जड़ों के लिए सूत्र का प्रयोग करें:

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके यह पता लगाएं कि द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए सूत्र को कैसे लागू किया जाए। आइए द्विघात समीकरण को हल करें।

एक्स 2 - 3x - 4 = 0

समीकरण "x 2 - 3x - 4 = 0" को पहले ही सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" में घटा दिया गया है और इसके लिए अतिरिक्त सरलीकरण की आवश्यकता नहीं है। इसे हल करने के लिए, हमें केवल आवेदन करने की आवश्यकता है द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र.

आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" परिभाषित करें।

एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =

इसकी सहायता से कोई भी द्विघात समीकरण हल किया जाता है।

सूत्र "x 1; 2 \u003d" में मूल अभिव्यक्ति को अक्सर बदल दिया जाता है
"बी 2 - 4ac" अक्षर "डी" के लिए और विवेचक कहा जाता है। "विभेदक क्या है" पाठ में विवेचक की अवधारणा पर अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

द्विघात समीकरण के एक अन्य उदाहरण पर विचार करें।

एक्स 2 + 9 + एक्स = 7x

इस रूप में, गुणांक "ए", "बी", और "सी" को निर्धारित करना मुश्किल है। आइए पहले समीकरण को सामान्य रूप "कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0" में लाएं।

एक्स 2 + 9 + एक्स = 7x
एक्स 2 + 9 + एक्स - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
एक्स 2 - 6x + 9 = 0

अब आप जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स =

6

2

एक्स = 3
उत्तर: एक्स = 3

ऐसे समय होते हैं जब द्विघात समीकरणों में कोई जड़ें नहीं होती हैं। यह स्थिति तब होती है जब मूल के नीचे सूत्र में ऋणात्मक संख्या दिखाई देती है।

अभी-अभी। सूत्रों और स्पष्ट सरल नियमों के अनुसार। पहले चरण में

दिए गए समीकरण को मानक रूप में लाना आवश्यक है, अर्थात्। देखने के लिए:

यदि इस रूप में आपको पहले से ही समीकरण दिया गया है, तो आपको पहले चरण को करने की आवश्यकता नहीं है। सबसे महत्वपूर्ण बात सही है

सभी गुणांक निर्धारित करें ए, बीऔर सी.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र।

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को कहते हैं विभेदक . जैसा कि आप देख सकते हैं, x ज्ञात करने के लिए, हम

उपयोग केवल ए, बी और सी. वे। ऑड्स फ्रॉम द्विघात समीकरण. बस ध्यान से डालें

मूल्यों ए, बी और सीइस सूत्र और गिनती में। के साथ प्रतिस्थापित करें उनकासंकेत!

उदाहरण के लिए, समीकरण में:

ए =1; बी = 3; सी = -4.

मानों को प्रतिस्थापित करें और लिखें:

उदाहरण लगभग हल हो गया:

यही उत्तर है।

सबसे आम गलतियाँ मूल्यों के संकेतों के साथ भ्रम हैं ए, बीऔर साथ. बल्कि, प्रतिस्थापन के साथ

जड़ों की गणना के लिए सूत्र में नकारात्मक मान। यहाँ विस्तृत सूत्र बचाता है

विशिष्ट संख्या के साथ। यदि गणना में कोई समस्या है, तो करें!

मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है:

यहां ए = -6; बी = -5; सी = -1

हम सब कुछ विस्तार से, ध्यान से, सभी संकेतों और कोष्ठकों के साथ कुछ भी याद किए बिना पेंट करते हैं:

अक्सर द्विघात समीकरण थोड़े अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:

अब उन व्यावहारिक तकनीकों पर ध्यान दें जो त्रुटियों की संख्या को नाटकीय रूप से कम करती हैं।

पहला स्वागत. पहले आलसी मत बनो द्विघात समीकरण को हल करनाइसे मानक रूप में लाएं।

इसका क्या मतलब है?

मान लीजिए, किसी भी परिवर्तन के बाद, आपको निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

जड़ों का सूत्र लिखने में जल्दबाजी न करें! आप लगभग निश्चित रूप से बाधाओं को मिलाएंगे ए, बी और सी।

उदाहरण सही ढंग से बनाएँ। पहले, x चुकता, फिर बिना वर्ग के, फिर एक मुक्त सदस्य। ऐशे ही:

माइनस से छुटकारा पाएं। कैसे? हमें पूरे समीकरण को -1 से गुणा करना होगा। हम पाते हैं:

और अब आप जड़ों के लिए सूत्र को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं, विवेचक की गणना कर सकते हैं और उदाहरण को पूरा कर सकते हैं।

आप ही निर्णय लें। आपको जड़ों 2 और -1 के साथ समाप्त होना चाहिए।

दूसरा स्वागत।अपनी जड़ों की जाँच करें! द्वारा विएटा का प्रमेय.

दिए गए द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, अर्थात्। यदि गुणांक

x2+bx+c=0,

तबएक्स 1 एक्स 2 = सी

x1 +x2 =−बी

एक पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए जिसमें ए≠1:

एक्स 2 +बीएक्स+सी=0,

पूरे समीकरण को से विभाजित करें ए:

→ →

कहाँ पे एक्स 1और एक्स 2 - समीकरण की जड़ें।

रिसेप्शन तीसरा. यदि आपके समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाएं! गुणा

एक सामान्य भाजक के लिए समीकरण।

निष्कर्ष। व्यावहारिक सुझाव:

1. हल करने से पहले, हम द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाते हैं, इसे बनाते हैं सही.

2. यदि वर्ग में x के सामने ऋणात्मक गुणांक हो तो हम सभी को गुणा करके इसे समाप्त कर देते हैं

-1 के लिए समीकरण।

3. यदि गुणांक भिन्नात्मक हैं, तो हम संपूर्ण समीकरण को संगत से गुणा करके भिन्नों को समाप्त करते हैं

कारक।

4. यदि x वर्ग शुद्ध है, तो इसके लिए गुणांक एक के बराबर है, समाधान को आसानी से जांचा जा सकता है

सरल तरीके से। ऐसा करने के लिए, कोष्ठक में से z निकालें। आपको मिलता है: z(az + b) = 0. गुणनखंड लिखे जा सकते हैं: z=0 और az + b = 0, क्योंकि दोनों का परिणाम शून्य हो सकता है। संकेतन az + b = 0 में, हम दूसरे को एक भिन्न चिह्न के साथ दाईं ओर ले जाते हैं। यहाँ से हमें z1 = 0 और z2 = -b/a प्राप्त होता है। ये मूल की जड़ें हैं।

यदि az² + c \u003d 0 के रूप का एक अधूरा समीकरण है, तो इस मामले में वे केवल मुक्त शब्द को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करके पाए जाते हैं। साथ ही इसका चिन्ह भी बदल दें। आपको रिकॉर्ड az² \u003d -s मिलता है। व्यक्त z² = -c/a. मूल लें और दो समाधान लिखें - वर्गमूल का एक सकारात्मक और एक नकारात्मक मान।

टिप्पणी

यदि समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए संपूर्ण समीकरण को उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें।

स्कूली बच्चों और छात्रों दोनों के लिए द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका जानना आवश्यक है, कभी-कभी यह एक वयस्क को रोजमर्रा की जिंदगी में मदद कर सकता है। कई विशिष्ट निर्णय विधियां हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करना

फॉर्म का एक द्विघात समीकरण a*x^2+b*x+c=0. गुणांक x वांछित चर है, a, b, c - संख्यात्मक गुणांक। याद रखें कि "+" चिह्न "-" चिह्न में बदल सकता है।

इस समीकरण को हल करने के लिए, आपको विएटा प्रमेय का उपयोग करना चाहिए या विवेचक का पता लगाना चाहिए। सबसे आम तरीका है विवेचक को खोजना, क्योंकि a, b, c के कुछ मानों के लिए Vieta प्रमेय का उपयोग करना संभव नहीं है।

विभेदक (D) को खोजने के लिए, आपको सूत्र D=b^2 - 4*a*c लिखना होगा। D का मान शून्य से अधिक, कम या उसके बराबर हो सकता है। यदि डी शून्य से बड़ा या कम है, तो दो मूल होंगे, यदि डी = 0, तो केवल एक जड़ शेष है, अधिक सटीक रूप से, हम कह सकते हैं कि इस मामले में डी की दो समकक्ष जड़ें हैं। ज्ञात गुणांक a, b, c को सूत्र में रखें और मान की गणना करें।

विवेचक मिल जाने के बाद, x ज्ञात करने के लिए, सूत्रों का उपयोग करें: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a जहां sqrt दी गई संख्या का वर्गमूल निकालने का कार्य है। इन व्यंजकों की गणना करने के बाद, आप अपने समीकरण के दो मूल पाएंगे, जिसके बाद समीकरण को हल माना जाता है।

यदि डी शून्य से कम है, तो इसकी जड़ें अभी भी हैं। स्कूल में, इस खंड का व्यावहारिक रूप से अध्ययन नहीं किया जाता है। विश्वविद्यालय के छात्रों को पता होना चाहिए कि मूल के नीचे एक नकारात्मक संख्या दिखाई देती है। हम काल्पनिक भाग को अलग करके इससे छुटकारा पाते हैं, अर्थात -1 जड़ के नीचे हमेशा काल्पनिक तत्व "i" के बराबर होता है, जिसे उसी सकारात्मक संख्या के साथ मूल से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि D=sqrt(-20), परिवर्तन के बाद, D=sqrt(20)*i प्राप्त होता है। इस परिवर्तन के बाद, समीकरण का हल मूलों के समान खोज में कम हो जाता है, जैसा कि ऊपर वर्णित है।

Vieta के प्रमेय में x(1) और x(2) मानों का चयन शामिल है। दो समान समीकरणों का उपयोग किया जाता है: x(1) + x(2)= -b; एक्स (1) * एक्स (2) = एस। इसके अलावा, एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु गुणांक बी के सामने का चिन्ह है, याद रखें कि यह चिन्ह समीकरण में एक के विपरीत है। पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि x(1) और x(2) की गणना करना बहुत सरल है, लेकिन हल करते समय, आप इस तथ्य का सामना करेंगे कि संख्याओं को ठीक से चुनना होगा।

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए तत्व

गणित के नियमों के अनुसार, कुछ का गुणनखंड किया जा सकता है: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, यदि आप गणितीय सूत्रों का उपयोग करके इस द्विघात समीकरण को इस तरह बदलने में कामयाब रहे, तो बेझिझक उत्तर लिखो। x(1) और x(2) कोष्ठकों में आसन्न गुणांकों के बराबर होंगे, लेकिन विपरीत चिह्न के साथ।

इसके अलावा, अधूरे द्विघात समीकरणों के बारे में मत भूलना। हो सकता है कि आप कुछ पदों को याद कर रहे हों, यदि ऐसा है, तो इसके सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं। यदि x^2 या x के पहले कुछ भी नहीं है, तो गुणांक a और b 1 के बराबर हैं।