Valeurs des équations trigonométriques. Résolution d'équations trigonométriques

Nécessite la connaissance des formules de base de la trigonométrie - la somme des carrés du sinus et du cosinus, l'expression de la tangente par le sinus et le cosinus, etc. Pour ceux qui les ont oubliés ou ne les connaissent pas, nous vous conseillons de lire l'article "".
Donc, nous connaissons les formules trigonométriques de base, il est temps de les mettre en pratique. Résolution d'équations trigonométriques avec la bonne approche, c'est une activité assez excitante, comme, par exemple, résoudre un Rubik's cube.

D'après le nom lui-même, il est clair qu'une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l'inconnue est sous le signe d'une fonction trigonométrique.
Il y a des soi-disant simples équations trigonométriques. Voici à quoi ils ressemblent : sinх = a, cos x = a, tg x = a. Considérer, comment résoudre de telles équations trigonométriques, pour plus de clarté, nous utiliserons le cercle trigonométrique déjà familier.

sinx = un

cos x = a

bronzer x = un

lit bébé x = a

Toute équation trigonométrique est résolue en deux étapes : nous amenons l'équation à la forme la plus simple, puis nous la résolvons comme l'équation trigonométrique la plus simple.
Il existe 7 méthodes principales par lesquelles les équations trigonométriques sont résolues.

1. Substitution variable et méthode de substitution

Résoudre l'équation 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

En utilisant les formules de réduction, nous obtenons :

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Remplaçons cos(x + /6) par y pour plus de simplicité et obtenons l'équation quadratique habituelle :

2a 2 – 3a + 1 + 0

Les racines dont y 1 = 1, y 2 = 1/2

Maintenant revenons en arrière

Nous substituons les valeurs trouvées de y et obtenons deux réponses :

2. Résolution d'équations trigonométriques par factorisation

Comment résoudre l'équation sin x + cos x = 1 ?

Déplaçons tout vers la gauche pour que 0 reste à droite :

sin x + cos x - 1 = 0

Nous utilisons les identités ci-dessus pour simplifier l'équation :

péché x - 2 péché 2 (x/2) = 0

Faisons la factorisation :

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

On obtient deux équations

3. Réduction à une équation homogène

Une équation est homogène par rapport au sinus et au cosinus si tous ses termes par rapport au sinus et au cosinus sont du même degré du même angle. Pour résoudre une équation homogène, procédez comme suit :

a) transférer tous ses membres sur le côté gauche ;

b) mettre tous les facteurs communs entre parenthèses ;

c) égaliser tous les facteurs et toutes les parenthèses à 0 ;

d) entre parenthèses, une équation homogène d'un degré moindre est obtenue, qui, à son tour, est divisée par un sinus ou un cosinus à un degré plus élevé ;

e) résoudre l'équation résultante pour tg.

Résolvez l'équation 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Utilisons la formule sin 2 x + cos 2 x = 1 et débarrassons-nous des deux ouverts à droite :

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Diviser par cosx :

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Nous remplaçons tg x par y et obtenons une équation quadratique :

y 2 + 4y +3 = 0 dont les racines sont y 1 =1, y 2 = 3

De là, nous trouvons deux solutions à l'équation d'origine :

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Résoudre des équations, à travers la transition vers un demi-angle

Résolvez l'équation 3sin x - 5cos x = 7

Passons à x/2 :

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Tout décalé vers la gauche :

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Diviser par cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introduction d'un angle auxiliaire

Pour considération, prenons une équation de la forme: a sin x + b cos x \u003d c,

où a, b, c sont des coefficients arbitraires et x est une inconnue.

Diviser les deux côtés de l'équation par :



Or les coefficients de l'équation, selon les formules trigonométriques, ont les propriétés de sin et cos, à savoir : leur module n'est pas supérieur à 1 et la somme des carrés = 1. Notons-les respectivement cos et sin, où est le dit angle auxiliaire. L'équation prendra alors la forme :

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

ou sin(x + ) = C

La solution de cette simple équation trigonométrique est

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, où



Il convient de noter que les désignations cos et sin sont interchangeables.

Résoudre l'équation sin 3x - cos 3x = 1

Dans cette équation, les coefficients sont :

a \u003d, b \u003d -1, donc nous divisons les deux parties par \u003d 2

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Ce n'est un secret pour personne que le succès ou l'échec dans le processus de résolution de presque tous les problèmes dépend principalement de l'exactitude de la définition du type. équation donnée, ainsi que sur la reproduction correcte de la séquence de toutes les étapes de sa solution. Cependant, dans le cas des équations trigonométriques, il n'est pas du tout difficile de déterminer le fait que l'équation est trigonométrique. Mais dans le processus de détermination de la séquence d'actions qui devrait nous conduire à la bonne réponse, nous pouvons rencontrer certaines difficultés. Voyons comment résoudre correctement les équations trigonométriques dès le début.

Résolution d'équations trigonométriques

Afin de résoudre l'équation trigonométrique, vous devez essayer d'effectuer les points suivants :

• Nous amenons toutes les fonctions qui sont incluses dans notre équation aux « mêmes angles » ;
• Besoin d'apporter pour équation donnée aux "mêmes fonctions" ;
• Nous décomposons le côté gauche de l'équation donnée en facteurs ou autres composants nécessaires.

Méthodes

Méthode 1. Il est nécessaire de résoudre ces équations en deux étapes. Premièrement, nous transformons l'équation afin d'obtenir sa forme la plus simple (simplifiée). Équation : Cosx = a, Sinx = a et similaires sont appelés les équations trigonométriques les plus simples. La deuxième étape consiste à résoudre l'équation simple résultante. Il convient de noter que l'équation la plus simple peut être résolue par la méthode algébrique, qui nous est bien connue du cours d'algèbre scolaire. On l'appelle aussi la méthode de substitution et de substitution de variables. À l'aide de formules de réduction, vous devez d'abord convertir, puis effectuer un remplacement, puis trouver les racines.

Ensuite, vous devez décomposer notre équation en facteurs possibles, pour cela, vous devez déplacer tous les termes vers la gauche, puis vous pouvez décomposer en facteurs. Maintenant, vous devez amener cette équation à une équation homogène, dans laquelle tous les termes sont égaux au même degré, et le cosinus et le sinus ont le même angle.

Avant de résoudre des équations trigonométriques, vous devez transférer ses termes sur le côté gauche, en les prenant du côté droit, puis nous retirons tous les dénominateurs communs entre parenthèses. Nous assimilons nos parenthèses et nos facteurs à zéro. Nos parenthèses équationnées sont une équation homogène de degré réduit à diviser par sin(cos) à la puissance la plus élevée. Maintenant, nous décidons équation algébrique, qui a été obtenu, par rapport à tan.

Méthode 2. Une autre méthode par laquelle vous pouvez résoudre l'équation trigonométrique est la transition vers un demi-angle. Par exemple, on résout l'équation : 3sinx-5cosx=7.

Nous devons aller au demi-angle, dans notre cas c'est : 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2) Et après cela, nous réduisons tous les termes en une seule partie (pour plus de commodité, il vaut mieux choisir le bon) et procédons à la résolution de l'équation.

Si nécessaire, vous pouvez entrer un angle auxiliaire. Cela se fait lorsque vous devez remplacer la valeur entière sin (a) ou cos (a) et que le signe "a" agit simplement comme un angle auxiliaire.

produit à sommer

Comment résoudre des équations trigonométriques en utilisant le produit somme? La méthode connue sous le nom de conversion produit-somme peut également être utilisée pour résoudre de telles équations. Dans ce cas, il faut utiliser les formules correspondant à l'équation.

Par exemple, nous avons une équation : 2sinx * sin3x= cos4x

Nous devons résoudre ce problème en convertissant le membre de gauche en une somme, à savoir :

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8.

Si les méthodes ci-dessus ne conviennent pas et que vous ne savez toujours pas comment résoudre les équations trigonométriques les plus simples, vous pouvez utiliser une autre méthode - la substitution universelle. Avec lui, vous pouvez transformer l'expression et effectuer un remplacement. Par exemple : Cos(x/2)=u. Nous pouvons maintenant résoudre l'équation avec le paramètre donné u. Et après avoir reçu le résultat souhaité, n'oubliez pas de traduire cette valeur dans le sens contraire.

Il est conseillé à de nombreux étudiants "expérimentés" de se tourner vers des personnes en ligne pour résoudre des équations. Comment résoudre une équation trigonométrique en ligne, demandez-vous. Pour solutions en ligne problèmes, vous pouvez vous tourner vers les forums des sujets pertinents, où ils peuvent vous aider avec des conseils ou pour résoudre le problème. Mais le mieux est d'essayer de se débrouiller tout seul.

Les compétences et les capacités à résoudre des équations trigonométriques sont très importantes et utiles. Leur développement vous demandera beaucoup d'efforts. De nombreux problèmes de physique, de stéréométrie, etc. sont associés à la résolution de telles équations. Et le processus même de résolution de tels problèmes implique la présence de compétences et de connaissances pouvant être acquises tout en étudiant les éléments de la trigonométrie.

Apprendre les formules trigonométriques

Dans le processus de résolution d'une équation, vous pouvez rencontrer la nécessité d'utiliser n'importe quelle formule de la trigonométrie. Vous pouvez, bien sûr, commencer à le chercher dans vos manuels et aide-mémoire. Et si ces formules sont mises dans votre tête, vous économiserez non seulement vos nerfs, mais vous faciliterez également beaucoup la tâche, sans perdre de temps à rechercher les informations nécessaires. Ainsi, vous aurez la possibilité de réfléchir à la manière la plus rationnelle de résoudre le problème.

Cours demande complexe connaissance.

Objectifs de la leçon.

1. Considérer diverses méthodes solutions d'équations trigonométriques.
2. Développement la créativitéélèves en résolvant des équations.
3. Encourager les étudiants à la maîtrise de soi, au contrôle mutuel, à l'auto-analyse de leurs activités éducatives.

Matériel : écran, projecteur, matériel de référence.

Pendant les cours

Conversation d'introduction.

La principale méthode de résolution des équations trigonométriques est leur réduction la plus simple. Dans ce cas, les méthodes habituelles sont utilisées, par exemple la factorisation, ainsi que des techniques utilisées uniquement pour résoudre des équations trigonométriques. Il y a beaucoup de ces astuces, par exemple diverses substitutions trigonométriques, transformations d'angle, transformations de fonctions trigonométriques. L'application aveugle de toute transformation trigonométrique ne simplifie généralement pas l'équation, mais la complique de manière désastreuse. Pour s'entraîner dans de façon générale plan pour résoudre l'équation, esquisser un moyen de réduire l'équation au plus simple, vous devez d'abord analyser les angles - les arguments des fonctions trigonométriques incluses dans l'équation.

Aujourd'hui, nous allons parler des méthodes de résolution des équations trigonométriques. Une méthode correctement choisie permet souvent une simplification significative de la solution, de sorte que toutes les méthodes que nous avons étudiées doivent toujours être gardées dans la zone de notre attention afin de résoudre les équations trigonométriques de la manière la plus appropriée.

II. (À l'aide d'un projecteur, nous répétons les méthodes de résolution des équations.)

1. Une méthode pour réduire une équation trigonométrique à une équation algébrique.

Tout doit être exprimé fonctions trigonométriques par un, avec le même argument. Cela peut être fait en utilisant l'identité trigonométrique de base et ses corollaires. Nous obtenons une équation avec une fonction trigonométrique. En la prenant comme nouvelle inconnue, on obtient une équation algébrique. Nous trouvons ses racines et revenons à l'ancienne inconnue, en résolvant les équations trigonométriques les plus simples.

2. Méthode de factorisation.

Pour changer les angles, les formules de réduction, les sommes et les différences d'arguments, ainsi que les formules de conversion de la somme (différence) des fonctions trigonométriques en un produit et vice versa sont souvent utiles.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Méthode d'introduction d'un angle supplémentaire.

4. Méthode d'utilisation de la substitution universelle.

Les équations de la forme F(sinx, cosx, tgx) = 0 sont réduites à des équations algébriques en utilisant la substitution trigonométrique universelle

Exprimer le sinus, le cosinus et la tangente en fonction de la tangente d'un demi-angle. Cette astuce peut conduire à une équation d'ordre supérieur. dont la décision est difficile.

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