La définition classique de la probabilité résoudra l'examen. Théorie des probabilités à l'examen de mathématiques

La probabilité d'un événement $A$ est le rapport du nombre de résultats favorables pour $A$ au nombre de tous les résultats également possibles

$P(A)=(m)/(n)$, où $n$ est le nombre total de résultats possibles et $m$ est le nombre de résultats favorisant $A$.

La probabilité d'un événement est un nombre du segment $$

Compagnie de taxi disponible 50$ voitures. 35 $ d'entre eux sont noirs, le reste est jaune. Trouver la probabilité qu'une voiture arrive à un appel aléatoire couleur jaune.

Trouvez le nombre de voitures jaunes :

Au total, il y a des voitures à 50$, c'est-à-dire qu'une sur cinquante viendra à l'appel. Il y a $15$ de voitures jaunes, donc la probabilité d'arrivée d'une voiture jaune est $(15)/(50)=(3)/(10)=0.3$

Réponse : 0,3 $

Événements opposés

Deux événements sont dits opposés si ce test ils sont incompatibles et l'un d'eux est inévitable. Les probabilités d'événements opposés totalisent 1. Un événement opposé à l'événement $A$ s'écrit $((A))↖(-)$.

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la probabilité d'occurrence de chacun d'eux ne dépend pas du fait que l'autre événement s'est produit ou non. Sinon, les événements sont dits dépendants.

La probabilité du produit de deux événements indépendants $A$ et $B$ est égale au produit de ces probabilités :

$P(A B)=P(A) P(B)$

Ivan Ivanovich a acheté deux billets de loterie différents. La probabilité que le premier gagne billet de loterie, est égal à 0,15 $. La probabilité que le deuxième billet de loterie gagne est de 0,12 $. Ivan Ivanovich participe aux deux tirages. En supposant que les tirages se déroulent indépendamment l'un de l'autre, trouvez la probabilité qu'Ivan Ivanovitch gagne aux deux tirages.

Probabilité $P(A)$ - remporte le premier ticket.

Probabilité $P(B)$ - gagne le deuxième ticket.

Les événements $A$ et $B$ sont des événements indépendants. Autrement dit, pour trouver la probabilité que les deux événements se produisent, vous devez trouver le produit des probabilités

$P(A B)=P(A) P(B)$

$P=0,15 0,12=0,018$

Réponse : 0,018 $

Événements incompatibles

Deux événements $A$ et $B$ sont dits incompatibles s'il n'y a pas de résultat favorisant à la fois l'événement $A$ et l'événement $B$. (Événements qui ne peuvent pas se produire en même temps)

La probabilité de la somme de deux événements incompatibles $A$ et $B$ est égale à la somme des probabilités de ces événements :

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

Dans l'examen d'algèbre, l'étudiant obtient une question sur tous les examens. La probabilité qu'il s'agisse d'une question sur le sujet " Équations du second degré", est égal à $0,3$. La probabilité qu'il s'agisse d'une question sur le sujet " Équations irrationnelles", est égal à $0,18$. Il n'y a pas de questions liées à ces deux sujets en même temps. Trouvez la probabilité que l'étudiant obtienne une question sur l'un de ces deux sujets à l'examen.

Ces événements sont dits incompatibles, puisque l'élève recevra une question SOIT sur le thème « Équations quadriculaires », SOIT sur le thème « Équations irrationnelles ». Les sujets ne peuvent pas être capturés en même temps. La probabilité de la somme de deux événements incompatibles $A$ et $B$ est égale à la somme des probabilités de ces événements :

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P \u003d 0,3 + 0,18 \u003d 0,48 $

Réponse : 0,48 $

Événements conjoints

Deux événements sont dits conjoints si la survenance de l'un d'eux n'exclut pas la survenance de l'autre dans le même procès. Sinon, les événements sont dits incompatibles.

La probabilité de la somme de deux événements conjoints $A$ et $B$ est égale à la somme des probabilités de ces événements moins la probabilité de leur produit :

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

Il y a deux machines à café identiques dans le hall du cinéma. La probabilité que la machine soit à court de café à la fin de la journée est de 0,6 $. La probabilité que les deux machines soient à court de café est de 0,32 $. Trouvez la probabilité qu'au moins un des distributeurs automatiques soit à court de café d'ici la fin de la journée.

Dénotons les événements, soit :

$A$ = le café finira dans la première machine,

$B$ = le café se terminera dans la deuxième machine.

$A B =$ il n'y aura plus de café dans les deux distributeurs automatiques,

$A + B =$ il n'y aura plus de café dans au moins un distributeur automatique.

Par convention, $P(A) = P(B) = 0,6 ; P(A B) = 0,32 $.

Les événements $A$ et $B$ sont conjoints, la probabilité de la somme de deux événements conjoints est égale à la somme des probabilités de ces événements, diminuée de la probabilité de leur produit :

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$

Présenté à ce jour dans la banque ouverte de problèmes USE en mathématiques (mathege.ru), dont la solution est basée sur une seule formule, qui est une définition classique de la probabilité.

Le moyen le plus simple de comprendre la formule consiste à utiliser des exemples.
Exemple 1 Il y a 9 boules rouges et 3 bleues dans le panier. Les balles ne diffèrent que par la couleur. Au hasard (sans regarder) nous en obtenons un. Quelle est la probabilité que la balle ainsi choisie soit bleue ?

Commenter. Dans les problèmes de probabilité, il se passe quelque chose (dans ce cas, notre action de tirer la balle) qui peut avoir résultat différent- résultat. Il convient de noter que le résultat peut être vu de différentes manières. "On a sorti un ballon" est aussi un résultat. "On a sorti la boule bleue" est le résultat. "Nous avons tiré cette balle particulière parmi toutes les balles possibles" - cette vue la moins généralisée du résultat s'appelle le résultat élémentaire. Ce sont les résultats élémentaires qui sont signifiés dans la formule de calcul de la probabilité.

Décision. Calculons maintenant la probabilité de choisir une boule bleue.
Evénement A : "la balle choisie s'est avérée être bleue"
Nombre total de tous les résultats possibles : 9 + 3 = 12 (nombre de toutes les balles que nous pourrions tirer)
Nombre de résultats favorables pour l'événement A : 3 (le nombre de tels résultats dans lesquels l'événement A s'est produit - c'est-à-dire le nombre de boules bleues)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Réponse : 0,25

Calculons pour le même problème la probabilité de choisir une boule rouge.
Le nombre total de résultats possibles restera le même, 12. Le nombre de résultats favorables : 9. La probabilité souhaitée : 9/12=3/4=0,75

La probabilité de tout événement est toujours comprise entre 0 et 1.
Parfois, dans le langage courant (mais pas dans la théorie des probabilités !), la probabilité des événements est estimée en pourcentage. La transition entre l'évaluation mathématique et conversationnelle se fait en multipliant (ou en divisant) par 100 %.
Alors,
Dans ce cas, la probabilité est nulle pour les événements qui ne peuvent pas se produire - improbable. Par exemple, dans notre exemple, ce serait la probabilité de tirer une boule verte du panier. (Le nombre de résultats favorables est 0, P(A)=0/12=0 si compté selon la formule)
La probabilité 1 a des événements qui se produiront absolument, sans options. Par exemple, la probabilité que "la boule choisie soit rouge ou bleue" correspond à notre problème. (Nombre d'issues favorables : 12, P(A)=12/12=1)

Nous avons examiné un exemple classique qui illustre la définition de la probabilité. Tous similaires UTILISER les tâches selon la théorie des probabilités sont résolus en appliquant cette formule.
Au lieu de balles rouges et bleues, il peut y avoir des pommes et des poires, des garçons et des filles, des tickets appris et non appris, des tickets contenant et ne contenant pas une question sur un certain sujet (prototypes , ), des sacs ou des pompes de jardin défectueux et de haute qualité (prototypes , ) - le principe reste le même.

Légèrement différent dans la formulation du problème de la théorie Probabilités d'utilisation, où vous devez calculer la probabilité qu'un événement se produise un jour spécifique. ( , ) Comme dans les tâches précédentes, vous devez déterminer ce qu'est un résultat élémentaire, puis appliquer la même formule.

Exemple 2 La conférence dure trois jours. Les premier et deuxième jours, 15 orateurs chacun, le troisième jour - 20. Quelle est la probabilité que le rapport du professeur M. tombe le troisième jour, si l'ordre des rapports est déterminé par tirage au sort ?

Quel est le résultat élémentaire ici ? - Affectation du rapport d'un professeur à l'un des numéros de série possibles pour un discours. 15+15+20=50 personnes participent au tirage au sort. Ainsi, le rapport du professeur M. peut recevoir l'un des 50 numéros. Cela signifie qu'il n'y a que 50 résultats élémentaires.
Quels sont les résultats favorables ? - Ceux dans lesquels il s'avère que le professeur parlera le troisième jour. C'est-à-dire les 20 derniers chiffres.
Selon la formule, la probabilité P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Réponse : 0,4

Le tirage au sort est ici l'établissement d'une correspondance aléatoire entre des personnes et des lieux ordonnés. Dans l'exemple 2, l'appariement a été considéré en fonction des places qu'une personne particulière pouvait occuper. Vous pouvez aborder la même situation de l'autre côté : laquelle des personnes avec quelle probabilité pourrait arriver à un endroit particulier (prototypes , , , ) :

Exemple 3 5 Allemands, 8 Français et 3 Estoniens participent au tirage au sort. Quelle est la probabilité que le premier (/deuxième/septième/dernier - peu importe) soit un Français.

Le nombre de résultats élémentaires est le nombre de tous personnes possibles qui pourrait, par tirage au sort, entrer dans endroit donné. 5+8+3=16 personnes.
Des résultats favorables - les Français. 8 personnes.
Probabilité souhaitée : 8/16=1/2=0,5
Réponse : 0,5

Le prototype est légèrement différent. Certaines tâches concernant les pièces () et les dés () sont un peu plus créatives. Les solutions à ces problèmes peuvent être trouvées sur les pages prototypes.

Voici quelques exemples de tirage au sort ou de lancer de dés.

Exemple 4 Quand on lance une pièce, quelle est la probabilité d'avoir pile ?
Résultats 2 - pile ou face. (on pense que la pièce ne tombe jamais sur le bord) Résultat favorable - pile, 1.
Probabilité 1/2=0.5
Réponse : 0,5.

Exemple 5 Et si on lançait une pièce deux fois ? Quelle est la probabilité qu'il tombe face les deux fois ?
L'essentiel est de déterminer quels résultats élémentaires nous prendrons en compte lorsque nous lancerons deux pièces. Après avoir lancé deux pièces, l'un des résultats suivants peut se produire :
1) PP - les deux fois, c'est pile
2) PO - pile pour la première fois, face pour la deuxième fois
3) OP - la première fois pile, la deuxième fois pile
4) OO - tête haute les deux fois
Il n'y a pas d'autres options. Cela signifie qu'il y a 4 résultats élémentaires. Seul le premier est favorable, 1.
Probabilité : 1/4=0,25
Réponse : 0,25

Quelle est la probabilité que deux lancers de pièce tombent sur pile ?
Le nombre de résultats élémentaires est le même, 4. Les résultats favorables sont les deuxième et troisième, 2.
Probabilité d'obtenir une pile : 2/4=0,5

Dans de tels problèmes, une autre formule peut être utile.
Si d'un coup de pièce options on a 2 résultats, alors pour deux lancers les résultats seront 2 2=2 2 =4 (comme dans l'exemple 5), pour trois lancers 2 2 2=2 3 =8, pour quatre : 2 2 2 2 =2 4 = 16, … pour N lancers il y a 2·2·...·2=2 N issues possibles.

Ainsi, vous pouvez trouver la probabilité d'obtenir 5 piles sur 5 lancers de pièces.
Le nombre total de résultats élémentaires : 2 5 =32.
Résultats favorables : 1. (RRRRRR - tous les 5 fois pile)
Probabilité : 1/32=0,03125

Il en est de même pour les dés. Avec un lancer, il y a 6 résultats possibles, donc pour deux lancers : 6 6=36, pour trois 6 6 6=216, etc.

Exemple 6 Nous lançons un dé. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Nombre total de résultats : 6, selon le nombre de visages.
Favorable : 3 résultats. (2, 4, 6)
Probabilité : 3/6=0,5

Exemple 7 Lancez deux dés. Quelle est la probabilité que le total obtienne 10 ? (arrondir au centième)

Il y a 6 résultats possibles pour un dé. Donc, pour deux, selon la règle ci-dessus, 6·6=36.
Quels résultats seront favorables pour qu'un total de 10 tombent?
10 doit être décomposé en la somme de deux nombres de 1 à 6. Cela peut se faire de deux manières : 10=6+4 et 10=5+5. Ainsi, pour les cubes, des options sont possibles :
(6 sur le premier et 4 sur le second)
(4 sur le premier et 6 sur le second)
(5 sur le premier et 5 sur le second)
Au total, 3 options. Probabilité souhaitée : 3/36=1/12=0,08
Réponse : 0,08

D'autres types de problèmes B6 seront abordés dans l'un des articles "Comment résoudre" suivants.

V-6-2014 (tous les 56 prototypes de la banque USE)

Être capable de construire et d'explorer les plus simples modèles mathématiques(théorie des probabilités)

1. Dans une expérience aléatoire, deux dés sont lancés. Trouvez la probabilité d'obtenir 8 points au total. Arrondis le résultat au centième près. Décision: Le nombre de résultats dans lesquels 8 points tomberont à la suite d'un lancer de dés est de 5 : 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Chacun des dés peut tomber de six manières, donc le nombre total de résultats est 6 6 = 36. Par conséquent, la probabilité que 8 points tombent au total est de 5 : 36=0,138…=0,14

2. Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée deux fois. Trouvez la probabilité que face tombe exactement une fois. Solution: Il y a 4 résultats possibles de l'expérience : pile-face, pile-face, pile-face, pile-face. Face apparaît exactement une fois dans deux cas : pile-face et pile-face. Par conséquent, la probabilité que face tombe exactement 1 fois est de 2 : 4 = 0,5.

3. 20 athlètes participent au championnat de gymnastique : 8 de Russie, 7 des États-Unis, le reste de Chine. L'ordre de passage des gymnastes est déterminé par tirage au sort. Trouvez la probabilité que l'athlète qui concourt en premier soit originaire de Chine. Solution: Participe au championnatathlètes de Chine. Alors la probabilité que l'athlète qui performe en premier soit originaire de Chine est de 5 : 20 = 0,25

4. En moyenne, sur 1 000 pompes de jardin vendues, 5 fuient. Trouvez la probabilité qu'une pompe choisie au hasard ne fuie pas. Solution: En moyenne, sur 1 000 pompes de jardin vendues, 1 000 - 5 = 995 ne fuient pas. Cela signifie que la probabilité qu'une pompe sélectionnée au hasard pour le contrôle ne fuie pas est de 995 : 1000 = 0,995

5. L'usine produit des sacs. En moyenne, pour 100 sacs de qualité, il y a huit sacs avec des vices cachés. Trouvez la probabilité que le sac acheté soit de haute qualité. Arrondis le résultat au centième près. Solution: Selon la condition, pour 100 + 8 = 108 sacs, il y a 100 sacs de qualité. Cela signifie que la probabilité que le sac acheté soit de haute qualité est de 100 : 108 \u003d 0,925925 ... \u003d 0,93

6. 4 athlètes finlandais, 7 athlètes danois, 9 athlètes suédois et 5 athlètes norvégiens participent à la compétition de lancer du poids. L'ordre dans lequel les athlètes concourent est déterminé par tirage au sort. Trouvez la probabilité que le dernier joueur à concourir soit suédois.. Solution : Au total, 4 + 7 + 9 + 5 = 25 athlètes participent à la compétition. Ainsi, la probabilité que l'athlète qui concourt en dernier soit suédois est de 9 : 25 = 0,36

7. La conférence scientifique se tient dans 5 jours. Au total, 75 rapports sont prévus - les trois premiers jours, 17 rapports chacun, les autres sont répartis également entre les quatrième et cinquième jours. L'ordre des rapports est déterminé par un tirage au sort. Quelle est la probabilité que le rapport du professeur M. soit programmé pour le dernier jour de la conférence ? Solution: Pendant les trois premiers jours 51 rapports seront lus, 24 rapports sont prévus pour les deux derniers jours. Par conséquent, 12 rapports sont prévus pour le dernier jour. Cela signifie que la probabilité que le rapport du professeur M. soit prévu pour le dernier jour de la conférence est de 12 : 75 = 0,16

8. Le concours d'interprètes se déroule dans 5 jours. Au total, 80 représentations ont été annoncées - une de chaque pays. Le premier jour, il y a 8 représentations, le reste est réparti également entre les jours restants. L'ordre des représentations est déterminé par tirage au sort. Quelle est la probabilité que la performance du représentant de la Russie ait lieu le troisième jour de la compétition ? Solution: Prévu pour le troisième jourdiscours. Cela signifie que la probabilité que la performance d'un représentant de la Russie soit programmée pour le troisième jour de la compétition est de 18 : 80 = 0,225

9. 3 scientifiques de Norvège, 3 de Russie et 4 d'Espagne sont venus au séminaire. L'ordre des rapports est déterminé par un tirage au sort. Trouvez la probabilité que le huitième soit le rapport d'un scientifique russe. Solution: Au total, 3 + 3 + 4 = 10 scientifiques participent au séminaire, ce qui signifie que la probabilité que le scientifique qui parle en huitième soit de Russie est de 3:10 = 0,3.

10. Avant le début du premier tour du championnat de badminton, les participants sont répartis au hasard en paires de jeu par tirage au sort. Au total, 26 joueurs de badminton participent au championnat, dont 10 participants de Russie, dont Ruslan Orlov. Trouvez la probabilité qu'au premier tour, Ruslan Orlov joue avec n'importe quel joueur de badminton de Russie ? Solution: Au premier tour, Ruslan Orlov peut jouer avec 26 − 1 = 25 joueurs de badminton, dont 10 − 1 = 9 de Russie. Cela signifie que la probabilité qu'au premier tour Ruslan Orlov joue avec n'importe quel joueur de badminton russe est de 9 : 25 = 0,36

11. Il n'y a que 55 tickets dans la collection de tickets de biologie, 11 d'entre eux contiennent une question sur la botanique. Trouvez la probabilité qu'un étudiant reçoive une question sur la botanique dans un ticket d'examen sélectionné au hasard. Solution : 11 : 55 = 0,2

12. 25 athlètes participent au championnat de plongeon, dont 8 sauteurs de Russie et 9 sauteurs du Paraguay. L'ordre des représentations est déterminé par tirage au sort. Trouvez la probabilité que le sixième sauteur provienne du Paraguay.

13. Deux usines produisent le même verre pour les phares de voiture. La première usine produit 30% de ces verres, la seconde - 70%. La première usine produit 3% de verres défectueux et la seconde - 4%. Trouvez la probabilité qu'un verre acheté accidentellement dans un magasin soit défectueux.

Décision. Convertissez %% en fractions.

Événement A - "Lunettes achetées à la première usine." P(A)=0.3

Événement B - "Les lunettes de la deuxième usine sont achetées." P(B)=0,7

Événement X - "Windows est défectueux".

P(A et X) = 0,3*0,03=0,009

P(B et X) = 0,7*0,04=0,028 Selon la formule de probabilité totale : P = 0,009+0,028 = 0.037

14. Si le grand maître A. joue les blancs, alors il gagne le grand maître B. avec une probabilité de 0,52. Si A. joue noir, alors A. bat B. avec une probabilité de 0,3. Les grands maîtres A. et B. jouent deux jeux, et dans le deuxième jeu, ils changent la couleur des pièces. Trouvez la probabilité que A. gagne les deux fois. Décision: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Vasya, Petya, Kolya et Lyosha ont tiré au sort - qui devrait commencer la partie. Trouvez la probabilité que Petya commence la partie.

Solution : Expérience aléatoire - tirage au sort.
Dans cette expérience, l'événement élémentaire est le participant qui remporte le lot.
Nous listons les événements élémentaires possibles :
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lesha).
Il y en aura 4, c'est-à-dire N=4. Le lot implique que tous les événements élémentaires sont également possibles.
L'événement A= (Petya a remporté le lot) est favorisé par un seul événement élémentaire (Petya). Donc N(A)=1.
Alors P(A)=0.25 Réponse : 0,25.

16. 16 équipes participent au championnat du monde. Par tirage au sort, ils doivent être répartis en quatre groupes de quatre équipes chacun. La boîte contient des cartes avec des numéros de groupe : 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Les capitaines d'équipe tirent une carte à la fois. . Quelle est la probabilité que l'équipe russe soit dans le deuxième groupe ? Décision: Il y a 16 résultats au total. avec le chiffre 2 sera 4. Donc 4 : 16=0,25

17. À l'examen de géométrie, l'étudiant reçoit une question de la liste des questions d'examen. La probabilité qu'il s'agisse d'une question avec un cercle inscrit est de 0,2. La probabilité qu'il s'agisse d'une question parallélogramme est de 0,15. Il n'y a pas de questions liées à ces deux sujets en même temps. Trouvez la probabilité que l'étudiant obtienne une question sur l'un de ces deux sujets à l'examen.

= (question sur le thème "Cercle inscrit"),
= (une question sur le thème "Parallélogramme").
Événements et sont incompatibles, car par condition il n'y a pas de questions dans la liste liées à ces deux sujets en même temps.
Événement= (question sur l'un de ces deux sujets) est leur union :.
Nous appliquons la formule d'addition des probabilités d'événements incompatibles :
.

18.B centre commercial deux distributeurs identiques vendent du café. La probabilité que la machine soit à court de café à la fin de la journée est de 0,3. La probabilité que les deux machines soient à court de café est de 0,12. Trouvez la probabilité qu'à la fin de la journée il reste du café dans les deux distributeurs automatiques.

Définissons les événements
= (le café se terminera dans la première machine),
= (le café se terminera dans la deuxième machine).
Selon la tâche et .
En utilisant la formule d'addition des probabilités, nous trouvons la probabilité d'un événement
et = (le café finira dans au moins une des machines):

.
Par conséquent, la probabilité de l'événement opposé (le café restera dans les deux machines) est égale à
.

19. Un biathlète tire cinq fois sur des cibles. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8. Trouvez la probabilité que le biathlète atteigne les cibles les trois premières fois et rate les deux dernières. Arrondis le résultat au centième près.

Dans ce problème, on suppose que le résultat de chaque tir suivant ne dépend pas des précédents. Par conséquent, les événements « touché au premier coup », « touché au deuxième coup », etc. indépendant.
La probabilité de chaque coup est. La probabilité de chaque échec est donc. Nous utilisons la formule pour multiplier les probabilités d'événements indépendants. On obtient que la suite
= (hit, hit, hit, miss, miss) a une probabilité
=
= . Répondre: .

20. Il y a deux machines de paiement dans le magasin. Chacun d'eux peut être défectueux avec une probabilité de 0,05, quel que soit l'autre automate. Trouver la probabilité qu'au moins un automate soit utilisable.

Ce problème suppose également l'indépendance du fonctionnement des automates.
Trouver la probabilité de l'événement opposé
= (les deux machines sont défectueuses).
Pour ce faire, nous utilisons la formule de multiplication des probabilités d'événements indépendants :
.
Donc la probabilité d'un événement= (au moins un automate est opérationnel) est égal à. Répondre: .

21. La pièce est éclairée par une lanterne à deux lampes. La probabilité qu'une lampe brûle en un an est de 0,3. Trouvez la probabilité qu'au moins une lampe ne grille pas en un an. Solution : les deux s'éteindront (les événements sont indépendants et on utilise la formule du produit des probabilités) avec la probabilité p1=0.3⋅0.3=0.09
Événement opposé(PAS les deux s'éteindront = au moins UN ne s'éteindra pas)
arrivera avec probabilité p=1-p1=1-0.09=0.91
RÉPONSE : 0,91

22. Probabilité que le nouveau Bouilloire électrique servira plus d'un an, est égal à 0,97. La probabilité qu'il dure plus de deux ans est de 0,89. Trouvez la probabilité qu'elle dure moins de deux ans mais plus d'un an.

Décision.

Soit A = "la bouilloire durera plus d'un an, mais moins de deux ans", B = "la bouilloire durera plus de deux ans", puis A + B = "la bouilloire durera plus d'un an".

Les événements A et B sont conjoints, la probabilité de leur somme est égale à la somme des probabilités de ces événements, diminuée de la probabilité de leur produit. La probabilité du produit de ces événements, consistant en le fait que la bouilloire tombera en panne dans exactement deux ans - exactement le même jour, heure et seconde - est égale à zéro. Puis:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),

d'où, en utilisant les données de la condition, nous obtenons 0,97 = P(A) + 0,89.

Ainsi, pour la probabilité souhaitée, nous avons : P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23. Agrofirm achète oeufs de poule dans deux ménages. 40% des œufs de la première ferme sont des œufs de la catégorie la plus élevée et de la deuxième ferme - 20% des œufs de la catégorie la plus élevée. Au total, 35% des œufs reçoivent la catégorie la plus élevée. Trouvez la probabilité que l'œuf acheté à cette ferme provienne de la première ferme. Décision: Laissé dans la première ferme, l'entreprise agricole achèteœufs, y compris œufs de la catégorie la plus élevée et dans la deuxième ferme -œufs, y compris œufs de la catégorie la plus élevée. Ainsi, au total, l'agroforme achèteœufs, y compris œufs de la catégorie la plus élevée. Par condition, 35% des œufs ont la catégorie la plus élevée, alors :

Par conséquent, la probabilité que l'œuf acheté provienne de la première ferme est égale à =0,75

24. Il y a 10 chiffres sur le clavier du téléphone, de 0 à 9. Quelle est la probabilité qu'un chiffre composé au hasard soit pair ?

25. Quelle est la probabilité qu'un nombre naturel choisi au hasard entre 10 et 19 soit divisible par trois ?

26. Cowboy John frappe une mouche sur le mur avec une probabilité de 0,9 s'il tire avec un revolver. Si John tire un revolver non tiré, il touche une mouche avec une probabilité de 0,2. Il y a 10 revolvers sur la table, dont seulement 4 sont tirés. Cowboy John voit une mouche sur le mur, attrape au hasard le premier revolver qu'il rencontre et tire sur la mouche. Trouvez la probabilité que John manque. Solution : Jean touche une mouche s'il attrape un revolver à vue et tire dessus, ou s'il attrape un revolver non tiré et tire dessus. Selon la formule de probabilité conditionnelle, les probabilités de ces événements sont respectivement de 0,4 0,9 = 0,36 et 0,6 0,2 = 0,12. Ces événements sont incompatibles, la probabilité de leur somme est égale à la somme des probabilités de ces événements : 0,36 + 0,12 = 0,48. L'événement que John rate est le contraire. Sa probabilité est 1 − 0,48 = 0,52.

27. Il y a 5 personnes dans un groupe de touristes. A l'aide de lots, ils choisissent deux personnes qui doivent se rendre au village pour se nourrir. Le touriste A. aimerait aller au magasin, mais il se soumet au lot. Quelle est la probabilité que A aille au magasin ? Décision: Il y a cinq touristes au total, deux d'entre eux sont choisis au hasard. La probabilité d'être sélectionné est de 2:5 = 0,4. Réponse : 0,4.

28.Avant de commencer match de football L'arbitre lance une pièce de monnaie pour déterminer quelle équipe commencera le jeu de balle. L'équipe Physicien joue trois matchs avec des équipes différentes. Trouvez la probabilité que dans ces jeux "Physicist" remporte le lot exactement deux fois. Solution: Désignons par « 1 » la face de la pièce qui est chargée de remporter le lot par « Physicien », l'autre face de la pièce sera désignée par « 0 ». Ensuite, il y a trois combinaisons favorables : 110, 101, 011, et il y a 2 combinaisons au total 3 = 8 : 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Ainsi, la probabilité recherchée est :

29. Un dé est lancé deux fois. Combien de résultats élémentaires d'expérience favorisent l'événement "A = somme des points égale 5" ? Solution : La somme des points peut être égale à 5 dans quatre cas : « 3 + 2 », « 2 + 3 », « 1 + 4 », « 4 + 1 ». Réponse : 4.

30. Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée deux fois. Trouvez la probabilité que le résultat de l'OR se produise (face la première fois, pile la seconde). Décision: Il y a quatre résultats possibles : pile-face, pile-face, pile-face, pile-face. Favorable en est un : pile-face. Par conséquent, la probabilité souhaitée est de 1 : 4 = 0,25. Réponse : 0,25.

31. Des groupes se produisent au festival de rock - un de chacun des pays déclarés. L'ordre d'exécution est déterminé par tirage au sort. Quelle est la probabilité qu'un groupe danois se produise après un groupe suédois et après un groupe norvégien ? Arrondis le résultat au centième près. Décision: Le nombre total de groupes se produisant au festival n'a pas d'importance pour répondre à la question. Peu importe leur nombre, il y a 6 voies pour les pays indiqués position relative parmi les locuteurs (D - Danemark, S - Suède, N - Norvège) :

L...S...N..., ...D...N...Sh..., ...Sh...N...L..., ...Sh. ..L...N..., ...N...D...W..., ...N...S...L...

Le Danemark vient après la Suède et la Norvège à deux reprises. Par conséquent, la probabilité que les groupes soient répartis aléatoirement de cette manière est égale à Réponse : 0,33.

32. Lors du tir d'artillerie système automatique tire sur la cible. Si la cible n'est pas détruite, le système se déclenche à nouveau. Les tirs sont répétés jusqu'à ce que la cible soit détruite. La probabilité de détruire une certaine cible avec le premier tir est de 0,4 et avec chaque tir suivant - 0,6. Combien de tirs seront nécessaires pour s'assurer que la probabilité de détruire la cible est d'au moins 0,98 ? Décision: Vous pouvez résoudre le problème "par des actions", en calculant la probabilité de survivre après une série d'échecs successifs : P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384 ; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. La dernière probabilité est inférieure à 0,02, donc cinq tirs sur la cible sont suffisants.

33. Pour passer au tour suivant de la compétition, une équipe de football doit marquer au moins 4 points en deux matchs. Si une équipe gagne, elle obtient 3 points, en cas d'égalité - 1 point, si elle perd - 0 point. Trouvez la probabilité que l'équipe puisse passer au tour suivant de la compétition. Considérez que dans chaque jeu les probabilités de gagner et de perdre sont les mêmes et égales à 0,4. Décision : Une équipe peut obtenir au moins 4 points en deux matchs de trois façons : 3+1, 1+3, 3+3. Ces événements sont incompatibles, la probabilité de leur somme est égale à la somme de leurs probabilités. Chacun de ces événements est le produit de deux événements indépendants - le résultat du premier et du deuxième jeu. Nous avons donc :

34. Dans une certaine ville, sur 5000 bébés nés, 2512 sont des garçons. Trouvez la fréquence des naissances des filles dans cette ville. Arrondissez le résultat au millième. Décision: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. Il y a 12 sièges à bord de l'avion à côté des issues de secours et 18 sièges derrière les cloisons séparant les cabines. Le reste des sièges est gênant pour le passager haut. Le passager V. est grand. Trouvez la probabilité qu'à l'enregistrement, avec un choix aléatoire de siège, le passager B. obtienne un siège confortable s'il y a 300 sièges dans l'avion. Décision : Dans l'avion, 12 + 18 = 30 sièges conviennent au passager V., et au total il y a 300 sièges dans l'avion. Par conséquent, la probabilité que le passager B. obtienne un siège confortable est de 30 : 300 = 0,1. Réponse : 0,1.

36. Lors de l'Olympiade à l'université, les participants sont répartis dans trois salles de classe. Dans les deux premiers, 120 personnes chacun, les autres sont emmenés dans un auditorium de réserve dans un autre bâtiment. Lors du décompte, il s'est avéré qu'il y avait 250 participants au total. Trouvez la probabilité qu'un participant choisi au hasard ait écrit l'Olympiade dans la chambre d'amis. Décision: Au total, 250 − 120 − 120 = 10 personnes ont été envoyées au public de réserve. Par conséquent, la probabilité qu'un participant sélectionné au hasard ait écrit l'Olympiade dans la chambre d'amis est de 10 : 250 = 0,04. Réponse : 0,04.

37. Il y a 26 personnes dans la classe, dont deux jumeaux - Andrey et Sergey. La classe est divisée au hasard en deux groupes de 13 personnes chacun. Trouvez la probabilité qu'Andrey et Sergey soient dans le même groupe. Décision: Que l'un des jumeaux soit dans un groupe. Avec lui, 12 personnes sur les 25 camarades restants feront partie du groupe. La probabilité que le deuxième jumeau soit parmi ces 12 personnes est de 12:25 = 0,48.

38. Il y a 50 voitures dans la compagnie de taxis ; 27 d'entre eux sont noirs avec des inscriptions jaunes sur les côtés, les autres sont jaunes avec des inscriptions noires. Trouvez la probabilité qu'une voiture jaune avec des inscriptions noires arrive à un appel aléatoire. Résolution : 23:50=0,46

39. Il y a 30 personnes dans un groupe de touristes. Ils sont projetés par hélicoptère en plusieurs étapes dans une zone reculée, 6 personnes par vol. L'ordre dans lequel l'hélicoptère transporte les touristes est aléatoire. Trouvez la probabilité que le touriste P. effectue le premier vol en hélicoptère. Décision: Il y a 6 sièges sur le premier vol, un total de sièges 30. Ensuite, la probabilité que le touriste P. vole sur le premier vol en hélicoptère est de : 6:30 = 0,2

40. La probabilité qu'un nouveau lecteur de DVD soit réparé dans l'année est de 0,045. Dans une certaine ville, sur 1 000 lecteurs DVD vendus dans l'année, 51 pièces sont arrivées à l'atelier de garantie. Quelle est la différence entre la fréquence de l'événement de « réparation sous garantie » et sa probabilité dans cette ville ? Solution: La fréquence (fréquence relative) de l'événement « réparation sous garantie » est de 51 : 1 000 = 0,051. Elle diffère de la probabilité prédite de 0,006.

41. Dans la fabrication de roulements d'un diamètre de 67 mm, la probabilité que le diamètre ne diffère pas de celui spécifié de plus de 0,01 mm est de 0,965. Trouvez la probabilité qu'un roulement aléatoire ait un diamètre inférieur à 66,99 mm ou supérieur à 67,01 mm. Décision. Selon la condition, le diamètre du roulement sera compris entre 66,99 et 67,01 mm avec une probabilité de 0,965. Par conséquent, la probabilité souhaitée de l'événement opposé est 1 − 0,965 = 0,035.

42. La probabilité que l'élève O. résolve correctement plus de 11 tâches d'un test de biologie est de 0,67. La probabilité que O. résolve correctement plus de 10 problèmes est de 0,74. Trouvez la probabilité que O. résolve correctement exactement 11 problèmes. Décision: Considérons les événements A = "l'élève va résoudre 11 problèmes" et B = "l'élève va résoudre plus de 11 problèmes". Leur somme est l'événement A + B = "l'élève va résoudre plus de 10 problèmes". Les événements A et B sont incompatibles, la probabilité de leur somme est égale à la somme des probabilités de ces événements : P(A + B) = P(A) + P(B). Alors, en utilisant les données du problème, on obtient : 0,74 = P(A) + 0,67, d'où P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Réponse : 0,07.

43. Pour entrer à l'Institut de spécialité "Linguistique", le candidat doit obtenir au moins 70 points à l'examen d'État unifié dans chacune des trois matières - mathématiques, langue russe et langue étrangère. Pour entrer dans la spécialité "Commerce", vous devez obtenir au moins 70 points dans chacune des trois matières - mathématiques, langue russe et études sociales. La probabilité que le candidat Z. reçoive au moins 70 points en mathématiques est de 0,6, en russe - 0,8, en une langue étrangère- 0,7 et en sciences sociales - 0,5. Trouvez la probabilité que Z. puisse entrer dans au moins une des deux spécialités citées. Solution: Pour entrer au moins quelque part, Z. doit réussir à la fois le russe et les mathématiques avec au moins 70 points, et en plus de cela, réussir une langue étrangère ou des études sociales avec au moins 70 points. Laisser être A , B , C et D - ce sont des événements dans lesquels Z. réussit respectivement les mathématiques, les études russes, étrangères et sociales avec au moins 70 points. Puis depuis

Pour la probabilité d'arrivée, on a :

44. A l'usine de plats en céramique, 10% des assiettes produites présentent un défaut. Lors du contrôle qualité des produits, 80% des plaques défectueuses sont détectées. Le reste des assiettes est à vendre. Trouver la probabilité qu'une assiette choisie au hasard au moment de l'achat ne présente aucun défaut. Arrondissez votre réponse au centième près. Décision : Laissez l'usine produireassiettes. Toutes les cymbales de haute qualité et 20 % des cymbales défectueuses non détectées seront mises en vente :assiettes. Parce que ceux de qualité, la probabilité d'acheter une plaque de qualité est de 0,9p:0,92p=0,978 Réponse : 0,978.

45. Il y a trois vendeurs dans le magasin. Chacun d'eux est occupé avec un client avec une probabilité de 0,3. Trouvez la probabilité qu'à un moment aléatoire, les trois vendeurs soient occupés en même temps (en supposant que les clients entrent indépendamment les uns des autres). Décision : La probabilité de produire des événements indépendants est égale au produit des probabilités de ces événements. Par conséquent, la probabilité que les trois vendeurs soient occupés est

46. ​​Sur la base des avis des clients, Ivan Ivanovich a évalué la fiabilité de deux magasins en ligne. La probabilité que produit désiré livré du magasin A est de 0,8. La probabilité que ce produit soit livré depuis le magasin B est de 0,9. Ivan Ivanovich a commandé les marchandises immédiatement dans les deux magasins. En supposant que les magasins en ligne fonctionnent indépendamment les uns des autres, trouvez la probabilité qu'aucun des magasins ne livre les marchandises. Décision: La probabilité que le premier magasin ne livre pas la marchandise est de 1 − 0,9 = 0,1. La probabilité que le deuxième magasin ne livre pas la marchandise est de 1 − 0,8 = 0,2. Puisque ces événements sont indépendants, la probabilité de leur produit (les deux magasins ne livreront pas la marchandise) est égale au produit des probabilités de ces événements : 0,1 0,2 = 0,02

47. Un bus relie quotidiennement le centre du district au village. La probabilité que lundi il y ait moins de 20 passagers dans le bus est de 0,94. La probabilité qu'il y ait moins de 15 passagers est de 0,56. Trouvez la probabilité que le nombre de passagers soit compris entre 15 et 19. Solution: Considérons les événements A = « il y a moins de 15 passagers dans le bus » et B = « il y a entre 15 et 19 passagers dans le bus ». Leur somme est l'événement A + B = "moins de 20 passagers dans le bus". Les événements A et B sont incompatibles, la probabilité de leur somme est égale à la somme des probabilités de ces événements : P(A + B) = P(A) + P(B). Alors, en utilisant les données du problème, on obtient : 0,94 = 0,56 + P(B), d'où P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Réponse : 0,38.

48. Avant le début d'un match de volley-ball, les capitaines d'équipe tirent au sort équitablement pour déterminer quelle équipe commencera le jeu de ballon. L'équipe Stator joue à tour de rôle avec les équipes Rotor, Motor et Starter. Trouvez la probabilité que Stator ne démarre que le premier et le dernier jeux. Décision. Il est nécessaire de trouver la probabilité du produit de trois événements : "Stator" démarre le premier jeu, ne démarre pas le deuxième jeu, démarre le troisième. La probabilité de produire des événements indépendants est égale au produit des probabilités de ces événements. La probabilité de chacun d'eux est égale à 0,5, d'où l'on trouve : 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Réponse : 0,125.

49. Il existe deux types de temps à Fairyland: bon et excellent, et le temps, s'étant installé le matin, reste inchangé toute la journée. On sait qu'avec une probabilité de 0,8, le temps de demain sera le même qu'aujourd'hui. Aujourd'hui c'est le 3 juillet, il fait beau à Fairyland. Trouvez la probabilité qu'il fasse beau à Magicland le 6 juillet. Décision. Pour la météo des 4, 5 et 6 juillet, il y a 4 options : XXO, XOO, OXO, LLC (ici X c'est beau, O c'est excellent). Trouvons les probabilités d'un tel temps : P(XXO) = 0,8 0,8 0,2 = 0,128 ; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128 ; P(OXO) = 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,008 ; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Ces événements sont incompatibles, la probabilité de leur somme est égale à la somme des probabilités de ces événements : P(XXO) + P(XXO) + P(XXO) + P(OOO) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50. Tous les patients suspects d'hépatite subissent un test sanguin. Si l'analyse révèle une hépatite, le résultat de l'analyse est appelé positif . Chez les patients atteints d'hépatite, l'analyse donne résultat positif avec une probabilité de 0,9. Si le patient n'a pas d'hépatite, le test peut donner un résultat faussement positif avec une probabilité de 0,01. On sait que 5 % des patients admis avec suspicion d'hépatite ont en réalité une hépatite. Trouvez la probabilité que le résultat du test d'un patient admis à la clinique avec une suspicion d'hépatite soit positif. Décision . L'analyse du patient peut être positive pour deux raisons : A) le patient a une hépatite, son analyse est correcte ; B) le patient n'a pas d'hépatite, son analyse est fausse. Ce sont des événements incompatibles, la probabilité de leur somme est égale à la somme des probabilités de ces événements. On a : p(A)=0,9 0,05=0,045 ; p(B)=0,01 0,95=0,0095 ; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.

51. Dans la poche de Misha, il y avait quatre bonbons - Grillage, Squirrel, Cow et Swallow, ainsi que les clés de l'appartement. En sortant les clés, Misha a accidentellement laissé tomber un bonbon de sa poche. Trouvez la probabilité que le bonbon Grillage soit perdu.

52.Montres mécaniques avec un cadran de douze heures à un moment donné s'est cassé et a cessé de marcher. Trouvez la probabilité que petite aiguille a gelé, atteignant la barre des 10, mais n'atteignant pas la barre des 1 heure. Résolution : 3 : 12=0,25

53. La probabilité que la batterie soit défectueuse est de 0,06. Le client dans le magasin sélectionne un paquet aléatoire contenant deux de ces batteries. Trouvez la probabilité que les deux batteries soient bonnes. Solution: La probabilité que la batterie soit bonne est de 0,94. La probabilité de produire des événements indépendants (les deux batteries seront bonnes) est égale au produit des probabilités de ces événements : 0,94 0,94 \u003d 0,8836. Réponse : 0,8836.

54. Une ligne automatique fabrique des batteries. La probabilité qu'une batterie finie soit défectueuse est de 0,02. Avant l'emballage, chaque batterie passe par un système de contrôle. La probabilité que le système rejette une batterie défectueuse est de 0,99. La probabilité que le système rejette par erreur une bonne batterie est de 0,01. Trouvez la probabilité qu'une batterie fabriquée sélectionnée au hasard soit rejetée par le système de contrôle. Décision. La situation dans laquelle la batterie sera rejetée peut être le résultat des événements suivants : A = la batterie est vraiment mauvaise et a été rejetée équitablement, ou B = la batterie est bonne, mais rejetée par erreur. Ce sont des événements incompatibles, la probabilité de leur somme est égale à la somme des probabilités de ces événements. Nous avons:

55. La figure montre un labyrinthe. L'araignée rampe dans le labyrinthe au point "Entrée". L'araignée ne peut pas faire demi-tour et ramper en arrière, donc, à chaque bifurcation, l'araignée choisit l'un des chemins qu'elle n'a pas encore rampé. En supposant que le choix du chemin supplémentaire est purement aléatoire, déterminez avec quelle probabilité l'araignée viendra à la sortie.

Décision.

A chacune des quatre fourches marquées, l'araignée peut choisir soit le chemin menant à la sortie D, soit un autre chemin avec une probabilité de 0,5. Ce sont des événements indépendants, la probabilité de leur produit (l'araignée atteint la sortie D) est égale au produit des probabilités de ces événements. Par conséquent, la probabilité d'arriver à la sortie D est (0,5) 4 = 0,0625.

Plan d'un atelier pour les enseignants de mathématiques de l'établissement d'enseignement de la ville de Tula sur le thème «Résoudre les tâches USE en mathématiques des sections: combinatoire, théorie des probabilités. Méthodes d'enseignement"

Passer du temps: 12 00 ; 15 00

Emplacement: MBOU "Lycée n°1", salle. N° 8

JE. Résolution de problèmes pour les probabilités

1. Résoudre des problèmes sur la définition classique de la probabilité

En tant qu'enseignants, nous savons déjà que les principaux types de tâches de l'USE en théorie des probabilités sont basés sur la définition classique de la probabilité. Rappelez-vous ce qu'on appelle la probabilité d'un événement ?

Probabilité d'un événement est le rapport entre le nombre de résultats favorables à un événement donné et nombre total résultats.

Dans notre association scientifique et méthodologique des professeurs de mathématiques, un régime général résolution de problèmes pour les probabilités. Je voudrais le présenter à votre attention. Soit dit en passant, nous avons partagé notre expérience de travail, et dans les documents que nous avons portés à votre attention pour une discussion commune sur la résolution de problèmes, nous avons donné ce schéma. Cependant, je veux l'exprimer.

À notre avis, ce schéma permet de tout mettre rapidement et logiquement sur les étagères, et après cela, la tâche peut être résolue beaucoup plus facilement pour l'enseignant et les élèves.

Donc, je veux analyser en détail le problème du contenu suivant.

Je voulais parler avec vous afin d'expliquer la méthodologie sur la façon de transmettre une telle solution aux gars, au cours de laquelle les gars comprendraient cette tâche typique, et plus tard ils comprendraient eux-mêmes ces tâches.

Qu'est-ce qu'une expérience aléatoire dans ce problème ? Maintenant, nous devons isoler l'événement élémentaire dans cette expérience. Quel est cet événement élémentaire ? Listons-les.

Des questions?

Chers collègues, vous aussi, vous avez manifestement réfléchi aux problèmes de probabilité avec les dés. Je pense qu'il faut le démonter, car il y a quelques nuances. Analysons ce problème selon le schéma que nous vous avons proposé. Puisqu'il y a un nombre de 1 à 6 sur chaque face du cube, les événements élémentaires sont les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nous avons trouvé que le nombre total d'événements élémentaires est de 6. Déterminons lesquels les événements élémentaires favorisent l'événement. Seuls deux événements favorisent cet événement - 5 et 6 (puisqu'il découle de la condition que 5 et 6 points doivent tomber).

Expliquez que tous les événements élémentaires sont également possibles. Quelles seront les questions sur la tâche ?

Comment comprendre que la pièce est symétrique ? Soyons clairs, parfois certaines phrases provoquent des malentendus. Comprenons ce problème conceptuellement. Traitons avec vous dans cette expérience, qui est décrite, quels peuvent être les résultats élémentaires. Pouvez-vous imaginer où est la tête, où est la queue ? Quelles sont les options de retombées ? Y a-t-il d'autres événements ? Quel est le nombre total d'événements ? Selon le problème, on sait que les têtes sont tombées exactement une fois. Alors cet événementévénements élémentaires de ces quatre faveurs OR et RO, cela ne peut pas déjà se produire deux fois. Nous utilisons la formule par laquelle la probabilité d'un événement est trouvée. Rappelez-vous que les réponses de la partie B doivent être soit un nombre entier soit un nombre décimal.

Afficher sur le tableau blanc interactif. Nous lisons la tâche. Quel est le résultat élémentaire de cette expérience ? Précisez que la paire est ordonnée - c'est-à-dire que le nombre est tombé sur le premier dé et sur le deuxième dé. Dans toute tâche, il y a des moments où il faut choisir des méthodes rationnelles, des formulaires et présenter la solution sous forme de tableaux, schémas, etc. Dans ce problème, il est commode d'utiliser une telle table. je te donne déjà clé en main, mais au cours de la résolution, il s'avère que dans ce problème, il est rationnel d'utiliser la solution sous la forme d'un tableau. Expliquez ce que signifie le tableau. Vous comprenez pourquoi les colonnes indiquent 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Dessinons un carré. Les lignes correspondent aux résultats du premier lancer - il y en a six, car le dé a six faces. Tout comme les colonnes. Dans chaque cellule, nous écrivons la somme des points perdus. Montrez le tableau rempli. Colorons les cellules où la somme est égale à huit (comme requis dans la condition).

Je crois que le problème suivant, après avoir analysé les précédents, peut être confié aux gars pour qu'ils le résolvent eux-mêmes.

Dans les problèmes suivants, il n'est pas nécessaire d'écrire tous les résultats élémentaires. Il suffit juste de compter leur nombre.

(Sans solution) J'ai donné aux gars de résoudre ce problème par eux-mêmes. Algorithme de résolution du problème

1. Déterminez ce qu'est une expérience aléatoire et ce qu'est un événement aléatoire.

2. Trouvez le nombre total d'événements élémentaires.

3. Nous trouvons le nombre d'événements qui favorisent l'événement spécifié dans la condition du problème.

4. Trouvez la probabilité d'un événement en utilisant la formule.

On peut poser une question aux étudiants, si 1000 batteries sont mises en vente, et parmi elles 6 sont défectueuses, alors la batterie sélectionnée est déterminée comme ? Qu'en est-il de notre tâche ? Ensuite, je pose une question sur la recherche de ce qui est utilisé ici comme nombreet je propose de le trouverNuméro. Alors je demande, quel est l'événement ici? Combien d'accumulateurs favorisent la réalisation de l'événement ? Ensuite, en utilisant la formule, nous calculons cette probabilité.

Ici, les enfants peuvent se voir proposer une seconde solution. Discutons de ce que cette méthode peut être?

1. Quel événement peut être considéré maintenant ?

2. Comment trouver la probabilité d'un événement donné ?

Il faut parler aux enfants de ces formules. Ils sont à côté

La huitième tâche peut être proposée aux enfants seuls, puisqu'elle est similaire à la sixième tâche. Il peut leur être proposé comme travail indépendant, ou sur une carte au tableau.

Ce problème peut être résolu par rapport à l'Olympiade, qui se déroule actuellement. Malgré le fait que différents événements participent aux tâches, cependant, les tâches sont typiques.

2. Les règles et formules les plus simples pour calculer les probabilités (événements opposés, somme d'événements, produit d'événements)

C'est une tâche de UTILISER la collection. Nous mettons la solution au tableau. Quelles questions devrions-nous poser aux élèves pour analyser ce problème.

1. Combien y avait-il de mitrailleuses ? Une fois deux automates, il y a déjà deux événements. Je demande aux enfants quel sera l'événement? Quel sera le deuxième événement ?

2. est la probabilité de l'événement. Nous n'avons pas besoin de le calculer, puisqu'il est donné dans la condition. Selon l'état du problème, la probabilité qu'"il n'y ait plus de café dans les deux machines" est de 0,12. Il y a eu un événement A, il y a eu un événement B. Et un nouvel événement apparaît ? Je pose aux enfants la question - quoi? Il s'agit d'un événement lorsque les deux distributeurs automatiques sont à court de café. Dans ce cas, dans la théorie des probabilités, il s'agit d'un nouvel événement, qui est appelé l'intersection de deux événements A et B et est noté de cette manière.

Utilisons la formule d'addition de probabilité. La formule est la suivante

Nous vous le donnons dans le matériel de référence et les gars peuvent donner cette formule. Il vous permet de trouver la probabilité de la somme des événements. On nous a demandé la probabilité de l'événement opposé, dont la probabilité est trouvée par la formule.

Le problème 13 utilise le concept d'un produit d'événements, dont la formule pour trouver la probabilité est donnée en annexe.

3. Tâches pour l'application de l'arbre des options possibles

Selon l'état du problème, il est facile d'établir un schéma et de trouver les probabilités indiquées.

Avec quelle aide matériel théorique Avez-vous travaillé avec des étudiants pour résoudre des problèmes de ce genre? Avez-vous utilisé un arbre des possibilités ou avez-vous utilisé d'autres méthodes pour résoudre ces problèmes ? Avez-vous donné le concept de graphes? En cinquième ou sixième année, les gars ont de tels problèmes, dont l'analyse donne le concept de graphiques.

J'aimerais vous demander si vous et vos élèves avez envisagé d'utiliser un arbre des possibilités pour résoudre des problèmes de probabilité ? Le fait est que non seulement l'USE a de telles tâches, mais des tâches plutôt complexes sont apparues, que nous allons maintenant résoudre.

Discutons avec vous de la méthodologie pour résoudre de tels problèmes - si cela coïncide avec ma méthodologie, comme je l'explique aux gars, il me sera alors plus facile de travailler avec vous, sinon, je vous aiderai à résoudre ce problème.

Discutons des événements. Quels événements du problème 17 peuvent être identifiés ?

Lors de la construction d'un arbre sur un plan, un point est désigné, appelé racine de l'arbre. Ensuite, nous commençons à considérer les événementset. Nous allons construire un segment (en théorie des probabilités, on l'appelle une branche). La condition dit que la première usine produit 30% téléphones portables cette marque (quoi? Celle qu'ils produisent), donc dans ce moment Je demande aux étudiants, quelle est la probabilité que la première usine produise des téléphones de cette marque, ceux qu'ils produisent ? Étant donné que l'événement est la sortie du téléphone à la première usine, la probabilité de cet événement est de 30 % ou 0,3. Les téléphones restants sont produits dans la deuxième usine - nous construisons le deuxième segment et la probabilité de cet événement est de 0,7.

On pose aux étudiants la question - quel type de téléphone peut être produit par la première usine ? Avec ou sans défaut. Quelle est la probabilité que le téléphone produit par la première usine présente un défaut ? Selon la condition, on dit qu'il est égal à 0,01. Question : Quelle est la probabilité que le téléphone produit par la première usine ne présente pas de défaut ? Puisque cet événement est opposé à celui donné, sa probabilité est égale.

Il est nécessaire de trouver la probabilité que le téléphone soit défectueux. Cela peut provenir de la première usine ou de la seconde. Ensuite, nous utilisons la formule d'addition des probabilités et nous obtenons que la probabilité entière est la somme des probabilités que le téléphone soit défectueux de la première usine et que le téléphone soit défectueux de la deuxième usine. La probabilité que le téléphone ait un défaut et ait été produit dans la première usine est trouvée par la formule du produit des probabilités, qui est donnée en annexe.

4. L'un des plus tâches difficiles de la banque USE pour la probabilité

Analysons, par exemple, le n° 320199 du FIPI Task Bank. C'est l'une des tâches les plus difficiles en B6.

Pour entrer à l'institut de spécialité "Linguistique", le candidat Z. doit obtenir au moins 70 points à l'examen d'État unifié dans chacune des trois matières - mathématiques, langue russe et langue étrangère. Pour entrer dans la spécialité "Commerce", vous devez obtenir au moins 70 points dans chacune des trois matières - mathématiques, langue russe et études sociales.

La probabilité que le candidat Z. reçoive au moins 70 points en mathématiques est de 0,6, en russe - 0,8, en langue étrangère - 0,7 et en études sociales - 0,5.

Trouver la probabilité que Z. puisse entrer dans au moins une des deux spécialités citées.

Notez que le problème ne demande pas si un candidat nommé Z. étudiera à la fois la linguistique et le commerce et recevra deux diplômes. Ici, nous devons trouver la probabilité que Z. puisse entrer dans au moins une de ces deux spécialités - c'est-à-dire qu'il gagnera quantité requise points.

Pour entrer dans au moins une des deux spécialités, Z. doit obtenir au moins 70 points en mathématiques. Et en russe. Et pourtant - sciences sociales ou étrangères.

La probabilité de marquer 70 points en mathématiques pour lui est de 0,6.

La probabilité de marquer des points en mathématiques et en russe est égale.

Parlons des études étrangères et sociales. Les options nous conviennent lorsque le candidat a marqué des points en études sociales, en langue étrangère ou dans les deux. L'option ne convient pas lorsqu'il n'a pas marqué de points ni en langue ni en « société ». Cela signifie que la probabilité de réussir des études sociales ou étrangères est égale à au moins 70 points. En conséquence, la probabilité de réussir des études mathématiques, russes et sociales ou étrangères est égale à

C'est la réponse.

II . Résolution de problèmes combinatoires

1. Nombre de combinaisons et factorielles

Analysons brièvement le matériel théorique.

Expressionn ! se lit "en-factorial" et désigne le produit de tous nombres naturels de 1 àn compris:n ! = 1 2 3 ...n .

De plus, en mathématiques, par définition, on considère que 0 ! = 1. Une telle expression est rare, mais se produit toujours dans les problèmes de théorie des probabilités.

Définition

Soit des objets (crayons, bonbons, peu importe) parmi lesquels il faut choisir des objets exactement différents. Alors le nombre d'options pour un tel choix est appelénombre de combinaisons à partir des éléments. Ce nombre est indiqué et calculé selon une formule spéciale.

La désignation

Que nous donne cette formule ? En fait, presque aucune tâche sérieuse ne peut être résolue sans elle.

Pour mieux comprendre, analysons quelques problèmes combinatoires simples :

Tâche

Le barman propose 6 variétés de thé vert. Pour la cérémonie du thé, vous devez soumettre thé vert exactement 3 différentes variétés. De combien de manières un barman peut-il terminer une commande ?

Décision

Tout est simple ici : il y an = 6 variétés au choixk = 3 variétés. Le nombre de combinaisons peut être trouvé par la formule :

Répondre

Substitut dans la formule. Nous ne pouvons pas résoudre tous les problèmes, mais tâches typiques nous avons écrit, ils sont présentés à votre attention.

Tâche

Dans un groupe de 20 étudiants, 2 représentants doivent être sélectionnés pour prendre la parole lors de la conférence. De combien de manières cela peut-il être fait ?

Décision

Encore une fois, tout ce que nous avonsn = 20 élèves, mais il faut choisirk = 2 élèves. Trouver le nombre de combinaisons :

Veuillez noter que les facteurs inclus dans les différents factoriels sont marqués en rouge. Ces multiplicateurs peuvent être réduits sans douleur et ainsi réduire considérablement le nombre total de calculs.

Répondre

190

Tâche

17 serveurs présentant divers défauts ont été amenés à l'entrepôt, ce qui coûte 2 fois moins cher que les serveurs normaux. Le directeur a acheté 14 serveurs de ce type pour l'école et a dépensé l'argent économisé d'un montant de 200 000 roubles pour l'achat d'autres équipements. De combien de manières un directeur peut-il choisir des serveurs défectueux ?

Décision

Il y a beaucoup de données supplémentaires dans la tâche, ce qui peut prêter à confusion. Plus faits importants: il y a toutn = 17 serveurs, et le réalisateur a besoink = 14 serveurs. On compte le nombre de combinaisons :

La couleur rouge indique à nouveau les multiplicateurs qui sont réduits. Au total, il s'est avéré 680 combinaisons. En général, le réalisateur a l'embarras du choix.

Répondre

680

Cette tâche est capricieuse, car il y a des données supplémentaires dans cette tâche. Ils confondent de nombreux étudiants bonne décision. Il y avait 17 serveurs au total, et le directeur devait en choisir 14. En remplaçant dans la formule, nous obtenons 680 combinaisons.

2. Loi de multiplication

Définition

loi de multiplication en combinatoire : le nombre de combinaisons (voies, combinaisons) dans des ensembles indépendants est multiplié.

En d'autres termes, qu'il y aitUN manières d'effectuer une action etB façons d'effectuer une autre action. Le chemin aussi ces actions sont indépendantes, c'est-à-dire en aucun cas lié. Ensuite, vous pouvez trouver le nombre de façons d'effectuer la première et la deuxième action par la formule :C = UN · B .

Tâche

Petya a 4 pièces de 1 rouble chacune et 2 pièces de 10 roubles chacune. Petya, sans regarder, a sorti de sa poche 1 pièce d'une valeur nominale de 1 rouble et une autre pièce d'une valeur nominale de 10 roubles pour acheter un stylo à 11 roubles. De combien de manières peut-il choisir ces pièces ?

Décision

Donc, Petya obtient d'abordk = 1 pièce den = 4 pièces disponibles d'une valeur nominale de 1 rouble. Le nombre de façons de le faire estC 4 1 = ... = 4.

Puis Petya fouille à nouveau dans sa poche et en sortk = 1 pièce den = 2 pièces disponibles d'une valeur nominale de 10 roubles. Ici, le nombre de combinaisons estC 2 1 = ... = 2.

Comme ces actions sont indépendantes, le nombre total d'options estC = 4 2 = 8.

Répondre

Tâche

Il y a 8 boules blanches et 12 noires dans un panier. De combien de façons pouvez-vous obtenir 2 boules blanches et 2 boules noires de ce panier ?

Décision

Total dans le paniern = 8 boules blanches au choixk = 2 balles. Ça peut être faitC 8 2 = ... = 28 façons différentes.

De plus, le panier contientn = 12 boules noires à choisir à nouveauk = 2 balles. Le nombre de façons de le faire estC 12 2 = ... = 66.

Le choix de la boule blanche et le choix de la noire étant des événements indépendants, le nombre total de combinaisons est calculé selon la loi de multiplication :C = 28 66 = 1848. Comme vous pouvez le voir, il peut y avoir pas mal d'options.

Répondre

1848

La loi de la multiplication montre combien de façons vous pouvez effectuer une action complexe composée de deux actions simples ou plus - à condition qu'elles soient toutes indépendantes.

3. Loi d'addition

Si la loi de multiplication opère sur des événements « isolés » qui ne dépendent pas les uns des autres, alors dans la loi d'addition c'est le contraire qui est vrai. Il traite d'événements mutuellement exclusifs qui ne se produisent jamais en même temps.

Par exemple, "Pierre a sorti 1 pièce de sa poche" et "Pierre n'a pas sorti une seule pièce de sa poche" sont des événements mutuellement exclusifs, puisqu'il est impossible de sortir une pièce sans en sortir aucune.

De même, les événements "Balle sélectionnée au hasard - blanche" et "Balle sélectionnée au hasard - noire" s'excluent également mutuellement.

Définition

Loi d'addition en combinatoire : si deux actions mutuellement exclusives peuvent être réaliséesUN etB façons, respectivement, ces événements peuvent être combinés. Cela va générer un nouvel événement qui peut être exécutéX = UN + B façons.

En d'autres termes, lors de la combinaison d'actions mutuellement exclusives (événements, options), le nombre de leurs combinaisons s'additionne.

On peut dire que la loi d'addition est un "OU" logique en combinatoire, lorsque l'une des options mutuellement exclusives nous convient. A l'inverse, la loi de multiplication est un "ET" logique, dans lequel on s'intéresse à l'exécution simultanée de la première et de la seconde actions.

Tâche

Il y a 9 boules noires et 7 boules rouges dans un panier. Le garçon sort 2 balles de la même couleur. De combien de manières peut-il le faire ?

Décision

Si les balles sont de la même couleur, il y a peu d'options : les deux sont soit noires, soit rouges. Évidemment, ces options s'excluent mutuellement.

Dans le premier cas, le garçon doit choisirk = 2 boules noires den = 9 disponibles. Le nombre de façons de le faire estC 9 2 = ... = 36.

De même, dans le second cas, nous choisissonsk = 2 boules rouges den = 7 possibles. Le nombre de voies estC 7 2 = ... = 21.

Il reste à trouver le nombre total de voies. Comme les variantes avec boules noires et rouges s'excluent mutuellement, selon la loi d'addition on a :X = 36 + 21 = 57.

Répondre57

Tâche

Le stand vend 15 roses et 18 tulipes. Un élève de 9e veut acheter 3 fleurs pour son camarade de classe, et toutes les fleurs doivent être identiques. De combien de façons peut-il faire un tel bouquet ?

Décision

Selon la condition, toutes les fleurs doivent être identiques. Ainsi, nous achèterons soit 3 roses soit 3 tulipes. En tous cas,k = 3.

Dans le cas des roses, vous devrez choisir parmin = 15 options, donc le nombre de combinaisons estC 15 3 = ... = 455. Pour les tulipesn = 18, et le nombre de combinaisons -C 18 3 = ... = 816.

Puisque les roses et les tulipes sont des options mutuellement exclusives, nous travaillons selon la loi de l'addition. Obtenir le nombre total d'optionsX = 455 + 816 = 1271. C'est la réponse.

Répondre

1271

Conditions et restrictions supplémentaires

Très souvent, dans le texte du problème, il existe des conditions supplémentaires qui imposent des restrictions importantes sur les combinaisons qui nous intéressent. Comparez deux phrases :

Il y a un ensemble de 5 stylos Couleurs différentes. De combien de manières les poignées à 3 temps peuvent-elles être sélectionnées ?

Il y a un ensemble de 5 stylos de différentes couleurs. De combien de manières peut-on choisir des poignées 3 temps si l'une d'elles doit être rouge ?

Dans le premier cas, nous avons le droit de prendre toutes les couleurs que nous aimons - il n'y a pas de restrictions supplémentaires. Dans le second cas, tout est plus compliqué, puisqu'il faut choisir une poignée rouge (on suppose qu'elle est dans le jeu d'origine).

De toute évidence, toute restriction réduit considérablement le nombre total d'options. Alors, comment trouvez-vous le nombre de combinaisons dans ce cas? Rappelez-vous juste règle suivante:

Soit un ensemble den éléments au choixk éléments. Avec l'introduction de restrictions supplémentaires sur le nombren etk diminuer du même montant.

En d'autres termes, si vous devez choisir 3 stylos sur 5, et que l'un d'eux doit être rouge, alors vous devrez choisir parmin = 5 − 1 = 4 éléments park = 3 − 1 = 2 éléments. Ainsi, au lieu deC 5 3 doit être pris en compteC 4 2 .

Voyons maintenant comment cette règle fonctionne pour exemples concrets:

Tâche

Dans un groupe de 20 étudiants, dont 2 excellents étudiants, vous devez choisir 4 personnes pour participer à la conférence. De combien de manières ces quatre peuvent-elles être choisies si les excellents étudiants doivent se rendre à la conférence ?

Décision

Il existe donc un groupe den = 20 élèves. Mais tu n'as qu'à choisirk = 4 d'entre eux. S'il n'y avait pas de restrictions supplémentaires, le nombre d'options était égal au nombre de combinaisonsC 20 4 .

Cependant, on nous a donné condition supplémentaire: 2 honneurs doivent figurer parmi ces quatre. Ainsi, selon la règle ci-dessus, nous réduisons les nombresn etk par 2. Nous avons :

Répondre

153

Tâche

Petya a 8 pièces dans sa poche, dont 6 pièces en roubles et 2 pièces de 10 roubles. Petya déplace trois pièces dans une autre poche. De combien de manières Petya peut-elle le faire si l'on sait que les deux pièces de 10 roubles se sont retrouvées dans une autre poche ?

Décision

il y a doncn = 8 pièces. Petya changek = 3 pièces, dont 2 de dix roubles. Il s'avère que sur 3 pièces qui seront transférées, 2 sont déjà fixées, donc les numérosn etk doit être diminué de 2. Nous avons :

Répondre

III . Résolution de problèmes combinés sur l'utilisation de formules de combinatoire et de théorie des probabilités

Tâche

Petya avait 4 roubles et 2 roubles dans sa poche. Petya, sans regarder, a déplacé trois pièces dans une autre poche. Trouvez la probabilité que les deux pièces de deux roubles soient dans la même poche.

Décision

Supposons que les deux pièces de deux roubles se retrouvent réellement dans la même poche, alors 2 options sont possibles : soit Petya ne les a pas du tout décalées, soit elles ont décalé les deux à la fois.

Dans le premier cas, lorsque des pièces de deux roubles n'étaient pas transférées, des pièces de 3 roubles devraient être transférées. Puisqu'il y a 4 de ces pièces au total, le nombre de façons de le faire est égal au nombre de combinaisons de 4 par 3 :C 4 3 .

Dans le second cas, lorsque les deux pièces de deux roubles ont été transférées, une pièce de rouble supplémentaire devra être transférée. Il doit être choisi parmi 4 existants, et le nombre de façons de le faire est égal au nombre de combinaisons de 4 à 1 :C 4 1 .

Trouvons maintenant le nombre total de façons de déplacer les pièces. Puisqu'il y a 4 + 2 = 6 pièces au total, et que seulement 3 d'entre elles doivent être choisies, le nombre total d'options est égal au nombre de combinaisons de 6 à 3 :C 6 3 .

Il reste à trouver la probabilité :

Répondre

0,4

Afficher sur le tableau blanc interactif. Faites attention au fait que, selon l'état du problème, Petya, sans regarder, a déplacé trois pièces dans une poche. En répondant à cette question, nous pouvons supposer que deux pièces de deux roubles sont réellement restées dans une poche. Reportez-vous à la formule pour ajouter des probabilités. Montrez à nouveau la formule.

Tâche

Petya avait 2 pièces de 5 roubles et 4 pièces de 10 roubles dans sa poche. Petya, sans regarder, a déplacé quelques 3 pièces dans une autre poche. Trouvez la probabilité que des pièces de cinq roubles se trouvent maintenant dans des poches différentes.

Décision

Pour que les pièces de cinq roubles se trouvent dans différentes poches, vous n'avez besoin d'en déplacer qu'une seule. Le nombre de façons de faire est égal au nombre de combinaisons de 2 par 1 :C 2 1 .

Puisque Petya a transféré 3 pièces au total, il devra transférer 2 autres pièces de 10 roubles chacune. Petya a 4 de ces pièces, donc le nombre de façons est égal au nombre de combinaisons de 4 à 2 :C 4 2 .

Reste à trouver combien d'options il y a pour décaler 3 pièces sur 6 disponibles. Ce nombre, comme dans le problème précédent, est égal au nombre de combinaisons de 6 à 3 :C 6 3 .

Trouver la probabilité :

Dans la dernière étape, nous avons multiplié le nombre de façons de choisir des pièces de deux roubles et le nombre de façons de choisir des pièces de dix roubles, puisque ces événements sont indépendants.

Répondre

0,6

Ainsi, les problèmes avec les pièces ont leur propre formule de probabilité. Il est si simple et si important qu'il peut être formulé comme un théorème.

Théorème

Laisse tomber la piècen une fois. Alors la probabilité que face tombe exactementk les temps peuvent être trouvés en utilisant la formule:

OùC n k - nombre de combinaisons den éléments park , qui est calculé par la formule :

Ainsi, pour résoudre le problème des pièces, deux nombres sont nécessaires : le nombre de lancers et le nombre de faces. Le plus souvent, ces numéros sont donnés directement dans le texte du problème. De plus, peu importe ce qu'il faut compter exactement: les queues ou les aigles. La réponse sera la même.

A première vue, le théorème semble trop lourd. Mais cela vaut un peu de pratique - et vous ne voulez plus revenir à l'algorithme standard décrit ci-dessus.

La pièce est lancée quatre fois. Trouvez la probabilité que face sorte exactement trois fois.

Décision

Selon l'état du problème, le nombre total de lancers étaitn = 4. Nombre de têtes requis :k = 3. Remplaçantn etk dans la formule :

Avec le même succès, vous pouvez compter le nombre de queues :k = 4 − 3 = 1. La réponse sera la même.

Répondre

0,25

Tâche [ Cahier« USE 2012 en mathématiques. Tâches B6»]

La pièce est lancée trois fois. Trouvez la probabilité qu'il n'y ait jamais pile.

Décision

Ecrire à nouveau les chiffresn etk . Comme la pièce est lancée 3 fois,n = 3. Et puisqu'il ne devrait pas y avoir de pile,k = 0. Il reste à substituer les nombresn etk dans la formule :

Permettez-moi de vous rappeler que 0 ! = 1 par définition. AlorsC 3 0 = 1.

Répondre

0,125

Tâche [ UTILISATION d'essai en mathématiques 2012. Irkoutsk]

Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée 4 fois. Trouvez la probabilité que pile tombe plus de fois que pile.

Décision

Pour qu'il y ait plus de pile que de pile, ils doivent tomber soit 3 fois (alors il y aura 1 pile) ou 4 (alors il n'y aura pas de pile du tout). Trouvons la probabilité de chacun de ces événements.

Laisser êtrep 1 - la probabilité que face tombe 3 fois. Puisn = 4, k = 3. Nous avons :

Trouvons maintenantp 2 - la probabilité que face tombe toutes les 4 fois. Dans ce casn = 4, k = 4. Nous avons :

Pour obtenir la réponse, il reste à additionner les probabilitésp 1 etp 2 . N'oubliez pas : vous ne pouvez ajouter des probabilités que pour des événements mutuellement exclusifs. Nous avons:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Répondre

0,3125

Afin de gagner du temps lors de la préparation avec les gars de l'examen d'État unifié et du GIA, nous avons présenté des solutions à de nombreuses autres tâches que vous pouvez choisir et résoudre avec les gars.

Matériaux du GIA, examen d'État unifié de différentes années, manuels et sites.

IV. Matériel de référence

La théorie des probabilités à l'examen de mathématiques peut être représentée sous la forme tâches simples sur la définition classique de la probabilité, et sous la forme de définitions assez complexes, sur l'application des théorèmes correspondants.

Dans cette partie, nous considérons des problèmes pour lesquels il suffit d'utiliser la définition de la probabilité. Parfois, ici, nous appliquerons également une formule pour calculer la probabilité de l'événement opposé. Bien que cette formule puisse être supprimée ici, elle sera toujours nécessaire pour résoudre les problèmes suivants.

Partie théorique

Un événement aléatoire est un événement qui peut ou non se produire (il est impossible de le prédire à l'avance) lors d'une observation ou d'un test.

Laissez pendant le test (lancer une pièce ou un dé, tirer carte d'examen etc.) des résultats tout aussi possibles sont possibles. Par exemple, lorsque vous lancez une pièce de monnaie, le nombre de tous les résultats est 2, car il ne peut y avoir d'autres résultats que la perte de « piles » ou « aigles ». En lançant un dé, 6 issues sont possibles, puisque n'importe lequel des nombres de 1 à 6 peut figurer sur la face supérieure du dé. Soit aussi un événement A favorisé par des issues.

La probabilité d'un événement A est le rapport du nombre d'issues favorables à cet événement sur le nombre total d'issues également possibles (c'est la définition classique de la probabilité). Nous écrivons

Par exemple, supposons que l'événement A consiste à obtenir un nombre impair de points sur un lancer de dé. Au total, 6 issues sont possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6 sur la face supérieure du dé. Dans le même temps, les issues avec 1, 3, 5 tombant sont favorables à l'événement A. Ainsi, .

Notez que la double inégalité est toujours valable, donc la probabilité de tout événement A se situe sur l'intervalle, c'est-à-dire . Si votre réponse a une probabilité supérieure à un, alors vous avez fait une erreur quelque part et vous devez revérifier la solution.

Les événements A et B sont appelés opposé l'autre si un résultat est favorable pour exactement l'un d'entre eux.

Par exemple, lorsqu'un dé est lancé, l'événement "lancé nombre impair» est l'opposé de l'événement « nombre pair lancé ».

L'événement opposé à l'événement A est noté. De la définition des événements opposés, il résulte
, moyens,
.

Problèmes liés à la sélection d'objets dans un ensemble

Tache 1. 24 équipes participent au championnat du monde. Par tirage au sort, ils doivent être répartis en quatre groupes de six équipes chacun. Dans la boîte se trouvent des cartes mixtes avec des numéros de groupe :

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Les capitaines d'équipe piochent chacun une carte. Quelle est la probabilité que l'équipe russe soit dans le troisième groupe ?

Le nombre total de résultats est égal au nombre de cartes - il y en a 24. Il y a 6 résultats favorables (puisque le numéro 3 est écrit sur six cartes). La probabilité recherchée est égale à .

Réponse : 0,25.

Tâche 2. Une urne contient 14 boules rouges, 9 jaunes et 7 vertes. Une boule est tirée au hasard de l'urne. Quelle est la probabilité que cette boule soit jaune ?

Le nombre total de résultats est égal au nombre de boules : 14 + 9 + 7 = 30. Le nombre de résultats favorables à cet événement est de 9. La probabilité souhaitée est égale à .

Tâche 3. Il y a 10 chiffres sur le clavier du téléphone, de 0 à 9. Quelle est la probabilité qu'un chiffre composé au hasard soit pair et supérieur à 5 ?

Le résultat ici est d'appuyer sur une certaine touche, il y a donc 10 résultats également possibles au total. L'événement indiqué est favorisé par les résultats, ce qui signifie appuyer sur la touche 6 ou 8. Il existe deux tels résultats. La probabilité requise est .

Réponse : 0,2.

Tâche 4. Quelle est la probabilité qu'un nombre naturel entre 4 et 23 choisi au hasard soit divisible par 3 ?

Il y a 23 - 4 + 1 = 20 nombres naturels sur l'intervalle de 4 à 23, ce qui signifie qu'il y a 20 résultats possibles au total. Sur ce segment, les nombres suivants sont des multiples de trois : 6, 9, 12, 15, 18, 21. Il y a 6 de ces nombres au total, donc 6 résultats favorisent l'événement en question. La probabilité recherchée est égale à .

Réponse : 0,3.

Tâche 5. Sur les 20 tickets proposés à l'examen, l'étudiant ne peut en répondre que 17. Quelle est la probabilité que l'étudiant ne puisse pas répondre au ticket choisi au hasard ?

1er chemin.

Puisque l'élève peut répondre à 17 tickets, il ne peut pas répondre à 3 tickets. La probabilité d'obtenir l'un de ces tickets est, par définition, de .

2ème voie.

Notons A l'événement "l'élève peut répondre au ticket". Puis . La probabilité de l'événement opposé est =1 - 0,85 = 0,15.

Réponse : 0,15.

Tâche 6. Dans le championnat gymnastique rythmique 20 athlètes y participent : 6 de Russie, 5 d'Allemagne, le reste de France. L'ordre de passage des gymnastes est déterminé par tirage au sort. Trouvez la probabilité que le septième athlète soit français.

Il y a 20 athlètes au total, tous ont des chances égales d'être septièmes. Par conséquent, il y a 20 résultats également probables. De France 20 - 6 - 5 = 9 athlètes, il y a donc 9 résultats favorables pour cet événement. La probabilité requise est .

Réponse : 0,45.

Tâche 7. La conférence scientifique se tient dans 5 jours. Au total, 50 rapports sont prévus - les trois premiers jours, 12 rapports chacun, les autres sont répartis également entre les quatrième et cinquième jours. L'ordre des rapports est déterminé par un tirage au sort. Quelle est la probabilité que le rapport du professeur N. soit programmé pour le dernier jour de la conférence ?

Commençons par déterminer combien de rapports sont programmés pour le dernier jour. Les rapports sont programmés pour les trois premiers jours. Il y a encore 50 - 36 = 14 rapports qui sont répartis également entre les deux jours restants, donc les rapports sont programmés pour le dernier jour.

Nous considérerons comme résultat le numéro de série du rapport du professeur N. Il y a 50 tels résultats également possibles.Il y a 7 résultats qui favorisent l'événement indiqué (les 7 derniers numéros dans la liste des rapports). La probabilité requise est .

Réponse : 0,14.

Tâche 8. Il y a 10 sièges à bord de l'avion à côté des issues de secours et 15 sièges derrière les cloisons séparant les cabines. Le reste des sièges est gênant pour les passagers de grande taille. Le passager K. est grand. Trouvez la probabilité qu'à l'enregistrement, avec un choix de siège aléatoire, le passager K. obtienne un siège confortable s'il y a 200 sièges dans l'avion.

Le résultat de ce problème est le choix de l'emplacement. Au total, il y a 200 résultats également possibles. Privilégier l'événement « le lieu choisi est convenable » 15 + 10 = 25 résultats. La probabilité requise est .

Réponse : 0,125.

Tâche 9. Sur les 1000 moulins à café montés en usine, 7 pièces sont défectueuses. L'expert vérifie un moulin à café sélectionné au hasard parmi ces 1000. Trouvez la probabilité que le moulin à café contrôlé soit défectueux.

Lors du choix d'un moulin à café au hasard, 1000 issues sont possibles, et 7 issues sont favorables pour l'événement A « le moulin à café sélectionné est défectueux ». Par définition de probabilité.

Réponse : 0,007.

Tâche 10. L'usine produit des réfrigérateurs. En moyenne, pour 100 réfrigérateurs de haute qualité, il y a 15 réfrigérateurs présentant des défauts cachés. Trouvez la probabilité que le réfrigérateur acheté soit de haute qualité. Arrondis le résultat au centième près.

Cette tâche est similaire à la précédente. Cependant, la formulation « pour 100 réfrigérateurs de qualité, il y en a 15 avec des défauts » nous dit que 15 pièces défectueuses ne sont pas incluses dans la qualité 100. Par conséquent, le nombre total de résultats est 100 + 15 = 115 (égal au nombre total de réfrigérateurs), les résultats favorables sont 100. La probabilité requise est . Pour calculer la valeur approximative d'une fraction, il est pratique d'utiliser la division par un coin. Nous obtenons 0,869 ... soit 0,87.

Réponse : 0,87.

Tâche 11. Avant le début du premier tour du championnat de tennis, les participants sont répartis au hasard en paires de jeu par tirage au sort. Au total, 16 joueurs de tennis participent au championnat, dont 7 participants de Russie, dont Maxim Zaitsev. Trouvez la probabilité qu'au premier tour, Maxim Zaitsev affronte n'importe quel joueur de tennis russe.

Comme dans la tâche précédente, vous devez lire attentivement la condition et comprendre quel est le résultat et quel est le résultat favorable (par exemple, l'application irréfléchie de la formule de probabilité conduit à la mauvaise réponse).

Ici, le résultat est le rival de Maxim Zaitsev. Puisqu'il y a 16 joueurs de tennis au total et que Maxim ne peut pas jouer avec lui-même, il y a 16 - 1 = 15 résultats également probables. Un résultat favorable est un rival de la Russie. Il y a 7 résultats favorables de ce type - 1 = 6 (nous excluons Maxim lui-même parmi les Russes). La probabilité requise est .

Réponse : 0,4.

Tâche 12. La section football est fréquentée par 33 personnes, dont deux frères - Anton et Dmitry. Les participants à la section sont divisés au hasard en trois équipes de 11 personnes chacune. Trouvez la probabilité qu'Anton et Dmitry fassent partie de la même équipe.

Formons des équipes en plaçant séquentiellement les joueurs dans des emplacements vides, en commençant par Anton et Dmitry. Tout d'abord, plaçons Anton sur une place choisie au hasard parmi 33 places libres.Maintenant, nous plaçons Dmitry sur une place vide (nous considérerons le choix d'une place pour lui comme le résultat). Il y a 32 places libres au total (une a déjà été prise par Anton), donc il y a 32 issues possibles au total. Il reste 10 places libres dans la même équipe avec Anton, donc l'événement "Anton et Dmitry dans la même équipe" est favorisé par 10 résultats. La probabilité de cet événement est .

Réponse : 0,3125.

Tâche 13. La montre mécanique avec un cadran de douze heures s'est cassée à un moment donné et a cessé de fonctionner. Trouvez la probabilité que l'aiguille des heures soit gelée lorsqu'elle atteint 11 heures mais n'atteigne pas 2 heures.

Classiquement, le cadran peut être divisé en 12 secteurs situés entre les marques de chiffres voisins (entre 12 et 1, 1 et 2, 2 et 3, ..., 11 et 12). Nous considérerons l'arrêt de l'aiguille des heures dans l'un des secteurs indiqués comme le résultat. Au total, il y a 12 résultats également possibles. Cet événement est favorisé par trois issues (secteurs entre 11 et 12, 12 et 1, 1 et 2). La probabilité recherchée est égale à .

Réponse : 0,25.

Résumer

Après avoir étudié le matériel sur la résolution de problèmes simples en théorie des probabilités, je recommande d'effectuer des tâches pour une solution indépendante, que nous publions sur notre chaîne Telegram. Vous pouvez également vérifier l'exactitude de leur mise en œuvre en entrant votre réponses dans le formulaire proposé.

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Source "Préparation à l'examen. Mathématiques Théorie des probabilités ». Edité par F.F. Lyssenko, S.Yu. Koulaboukhov