Най-просто казано, това са уравнения, в които има поне едно с променлива в знаменателя.

Например:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Пример недробна рационални уравнения:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Как се решават дробни рационални уравнения?

Основното нещо, което трябва да запомните за дробните рационални уравнения, е, че трябва да пишете в тях. И след като намерите корените, не забравяйте да ги проверите за допустимост. В противен случай могат да се появят външни корени и цялото решение ще се счита за неправилно.

Алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение:

Изпишете и "решете" ОДЗ.

Умножете всеки член в уравнението по общ знаменател и намалете получените дроби. Знаменателите ще изчезнат.

Напишете уравнението, без да отваряте скоби.

Решете полученото уравнение.

Проверете намерените корени с ODZ.

Запишете в отговор корените, преминали теста в стъпка 7.

Не запомнете алгоритъма, 3-5 решени уравнения - и той ще бъде запомнен сам.

Пример . Решаване на дробно рационално уравнение \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Решение:

Отговор: \(3\).

Пример . Намерете корените на дробното рационално уравнение \(=0\)

Решение:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Записваме и "решаваме" ОДЗ. Разширете \(x^2+7x+10\) във формулата: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). За щастие \(x_1\) и \(x_2\) вече намерихме.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Очевидно общият знаменател на дробите: \((x+2)(x+5)\). Умножаваме цялото уравнение по него.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Намаляваме дробите
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Отваряне на скобите
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Ние даваме подобни условия
\(2x^2+9x-5=0\)		Намиране на корените на уравнението
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Един от корените не се вписва под ODZ, така че в отговор записваме само втория корен.

Отговор: \(\frac(1)(2)\).

Решение дробни рационални уравнения

Помощно ръководство

Рационалните уравнения са уравнения, в които са както лявата, така и дясната страна рационални изрази.

(Припомнете си, че рационалните изрази са цели числа и дробни изразибез радикали, включително операции събиране, изваждане, умножение или деление - например: 6x; (m – n)2; x/3y и др.)

Дробно-рационалните уравнения, като правило, се свеждат до вида:

Където П(х) и В(х) са полиноми.

За да решите такива уравнения, умножете двете страни на уравнението по Q(x), което може да доведе до външни корени. Следователно при решаване на дробни рационални уравнения е необходимо да се проверят намерените корени.

Рационалното уравнение се нарича цяло число или алгебрично, ако няма деление с израз, съдържащ променлива.

Примери за цяло рационално уравнение:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Ако в рационално уравнение има деление с израз, съдържащ променливата (x), тогава уравнението се нарича дробно рационално.

Пример за дробно рационално уравнение:

15
x + - = 5x - 17
х

Дробните рационални уравнения обикновено се решават, както следва:

1) намерете общ знаменател на дроби и умножете двете части на уравнението по него;

2) решаване на полученото цяло уравнение;

3) изключва от корените си тези, които превръщат общия знаменател на дробите на нула.

Примери за решаване на целочислени и дробни рационални уравнения.

Пример 1. Решете цялото уравнение

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Решение:

Намиране на най-малкия общ знаменател. Това е 6. Разделете 6 на знаменателя и умножете резултата по числителя на всяка дроб. Получаваме уравнение, еквивалентно на това:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

От лявата и дясната страна същият знаменател, може да се пропусне. Тогава имаме по-просто уравнение:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Решаваме го, като отваряме скоби и намаляваме подобни термини:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Примерът е решен.

Пример 2. Решете дробно рационално уравнение

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Намираме общ знаменател. Това е x(x - 5). Така:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Сега отново се отърваваме от знаменателя, тъй като той е един и същ за всички изрази. Ние намаляваме подобни членове, приравняваме уравнението на нула и получаваме квадратно уравнение:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

След като решим квадратното уравнение, намираме неговите корени: -2 и 5.

Нека проверим дали тези числа са корените на оригиналното уравнение.

За x = –2 общият знаменател x(x – 5) не изчезва. Така че -2 е коренът на оригиналното уравнение.

При x = 5 общият знаменател изчезва и два от трите израза губят значението си. Така че числото 5 не е коренът на оригиналното уравнение.

Отговор: x = -2

Още примери

Пример 1

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Отговор: -2,2; 6.

Пример 2

Т. Косякова,
училище № 80, Краснодар

Решение на квадратни и дробно-рационални уравнения, съдържащи параметри

Урок 4

Тема на урока:

Целта на урока:за формиране на умение за решаване на дробно-рационални уравнения, съдържащи параметри.

Тип урок:въвеждане на нов материал.

1. (Устно.) Решете уравненията:

Пример 1. Решете уравнението

Решение.

Намерете невалидни стойности а:

Отговор. Ако ако а = – 19 , тогава няма корени.

Пример 2. Решете уравнението

Решение.

Намерете невалидни стойности на параметрите а :

10 – а = 5, а = 5;

10 – а = а, а = 5.

Отговор. Ако а = 5 а № 5 , тогава x=10– а .

Пример 3. При какви стойности на параметъра б уравнението То има:

а) два корена б) единственият корен?

Решение.

1) Намерете невалидни стойности на параметрите б :

x= б, б 2 (б 2 – 1) – 2б 3 + б 2 = 0, б 4 – 2б 3 = 0,
б= 0 или б = 2;
x = 2, 4( б 2 – 1) – 4б 2 + б 2 = 0, б 2 – 4 = 0, (б – 2)(б + 2) = 0,
б= 2 или б = – 2.

2) Решете уравнението х 2 ( б 2 – 1) – 2б 2x+ б 2 = 0:

D=4 б 4 – 4б 2 (б 2 – 1), D = 4 б 2 .

а)

С изключение на невалидни стойности на параметри б , получаваме, че уравнението има два корена, ако б № – 2, б № – 1, б № 0, б № 1, б № 2 .

б) 4б 2 = 0, б = 0, но това е невалидна стойност на параметъра б ; ако б 2 –1=0 , т.е. б=1 или.

Отговор: а) ако б № –2 , б № –1, б № 0, б № 1, б № 2 , след това два корена; б) ако б=1 или b=-1 , тогава единственият корен.

Самостоятелна работа

Опция 1

Решете уравненията:

Вариант 2

Решете уравненията:

Отговори

В 1. какво ако а=3 , тогава няма корени; ако б) ако ако а № 2 , тогава няма корени.

В 2.Ако а=2 , тогава няма корени; ако а=0 , тогава няма корени; ако
б) ако а=– 1 , тогава уравнението губи смисъла си; ако тогава няма корени;
ако

Домашна работа.

Решете уравненията:

Отговори: а) Ако а № –2 , тогава x= а ; ако а=–2 , тогава няма решения; б) ако а № –2 , тогава х=2; ако а=–2 , тогава няма решения; в) ако а=–2 , тогава х- произволно число, различно от 3 ; ако а № –2 , тогава х=2; г) ако а=–8 , тогава няма корени; ако а=2 , тогава няма корени; ако

Урок 5

Тема на урока:„Решение на дробно-рационални уравнения, съдържащи параметри“.

Цели на урока:

обучение за решаване на уравнения с нестандартно условие;
съзнателно усвояване от учениците на алгебрични понятия и връзки между тях.

Тип урок:систематизиране и обобщение.

Проверка на домашната работа.

Пример 1. Решете уравнението

а) спрямо x; б) спрямо y.

Решение.

а) Намерете невалидни стойности г: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– невалидна стойност на параметъра г.

Ако г№ 0 , тогава x=y-2; ако y=0, тогава уравнението губи смисъла си.

b) Намерете невалидни стойности на параметрите х: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– невалидна стойност на параметъра х; y(2+x-y)=0, y=0или у=2+х;

y=0не отговаря на условието y(y–x)№ 0 .

Отговор: а) ако y=0, тогава уравнението губи смисъла си; ако г№ 0 , тогава x=y-2; б) ако х=0 х№ 0 , тогава y=2+x .

Пример 2. За какви цели стойности на параметъра a са корените на уравнението принадлежат към интервала

D = (3 а + 2) 2 – 4а(а+ 1) 2 = 9 а 2 + 12а + 4 – 8а 2 – 8а,

D = ( а + 2) 2 .

Ако а № 0 или а № – 1 , тогава

Отговор: 5 .

Пример 3. Намерете относително хцялостни решения на уравнението

Отговор. Ако y=0, тогава уравнението няма смисъл; ако y=–1, тогава х- всяко цяло число, различно от нула; ако y# 0, y# – 1, тогава няма решения.

Пример 4Решете уравнението с параметри а и б .

Ако а№ – б , тогава

Отговор. Ако a= 0 или b= 0 , тогава уравнението губи смисъла си; ако а№ 0,б№ 0, a=-b , тогава х- всяко число, различно от нула; ако а№ 0,б№ 0,а№ -б тогава x=-a, x=-b .

Пример 5. Докажете, че за всяка ненулева стойност на параметъра n, уравнението има един корен равен на - н .

Решение.

т.е. x=-n, което трябваше да се докаже.

Домашна работа.

1. Намерете цели решения на уравнението

2. При какви стойности на параметъра ° Суравнението То има:
а) два корена б) единственият корен?

3. Намерете всички цели корени на уравнението ако аО н .

4. Решете уравнението 3xy - 5x + 5y = 7:а) относително г; б) относително х .

1. Уравнението се удовлетворява от всякакви цели равни стойности на x и y, различни от нула.
2. а) Кога
б) на или
3. – 12; – 9; 0 .
4. а) Ако тогава няма корени; ако
б) ако тогава няма корени; ако

Тест

Опция 1

1. Определете вида на уравнението 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 на: а) c=-3; б) c=2;в) c=4 .

2. Решете уравненията: а) x 2 –bx=0;б) cx 2 –6x+1=0; в)

3. Решете уравнението 3x-xy-2y=1:

а) относително х ;
б) относително г .

nx 2 - 26x + n \u003d 0,знаейки, че параметърът n приема само цели числа.

5. За какви стойности на b прави уравнението То има:

а) два корена
б) единственият корен?

Вариант 2

1. Определете вида на уравнението 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0на: а) c=-4;б) c=7;в) c=1 .

2. Решете уравненията: а) y 2 +cy=0 ;б) ny2 –8y+2=0;в)

3. Решете уравнението 6x-xy+2y=5:

а) относително х ;
б) относително г .

4. Намерете целочислените корени на уравнението nx 2 -22x+2n=0 ,знаейки, че параметърът n приема само цели числа.

5. За какви стойности на параметъра a уравнението То има:

а) два корена
б) единственият корен?

Отговори

В 1. 1. а) Линейно уравнение;
б) непълно квадратно уравнение; в) квадратно уравнение.
2. а) Ако b=0, тогава х=0; ако b#0, тогава x=0, x=b;
б) ако cО (9;+Ґ ), тогава няма корени;
в) ако а=–4 , тогава уравнението губи смисъла си; ако а№ –4 , тогава х=- а .
3. а) Ако y=3, тогава няма корени; ако);
б) а=–3, а=1.

Допълнителни задачи

Решете уравненията:

литература

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. За параметрите от самото начало. - Възпитател, бр.2/1991г., с. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Необходимите условияв задачи с параметри. – Квант, бр.11/1991 г., с. 44–49.
3. Дорофеев Г.В., Затакаваи В.В. Разрешаване на проблем, съдържащ параметри. Част 2. - М., Перспектива, 1990, с. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Петстотин и четиринадесет задачи с параметри. - Волгоград, 1991г.
5. Ястребинецки G.A. Задачи с параметри. - М., Образование, 1986.

В тази статия ще ви покажа алгоритми за решаване на седем вида рационални уравнения, които се редуцират до квадратни чрез промяна на променливи. В повечето случаи трансформациите, които водят до подмяната, са много нетривиални и е доста трудно да се досетите сами.

За всеки тип уравнение ще обясня как да направя променлива промяна в него и след това ще покажа подробно решение в съответния видео урок.

Имате възможност да продължите сами да решавате уравненията и след това да проверите решението си с видеоурока.

И така, да започнем.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Обърнете внимание, че произведението на четири скоби е от лявата страна на уравнението, а числото е от дясната страна.

1. Нека групираме скобите по две, така че сумата от свободните членове да е еднаква.

2. Умножете ги.

3. Нека въведем промяна на променливата.

В нашето уравнение групираме първата скоба с третата, а втората с четвъртата, тъй като (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

В този момент промяната на променливата става очевидна:

Получаваме уравнението

Отговор:

2 .

Уравнение от този тип е подобно на предишното с една разлика: от дясната страна на уравнението е произведението на число от. И се решава по съвсем различен начин:

1. Групираме скобите по две, така че произведението на свободните членове да е същото.

2. Умножаваме всяка двойка скоби.

3. От всеки фактор изваждаме x от скобата.

4. Разделете двете страни на уравнението на .

5. Въвеждаме промяна на променливата.

В това уравнение групираме първата скоба с четвъртата, а втората с третата, тъй като:

Имайте предвид, че във всяка скоба коефициентът at и свободният член са еднакви. Нека извадим множителя от всяка скоба:

Тъй като x=0 не е коренът на оригиналното уравнение, ние разделяме двете страни на уравнението на . Получаваме:

Получаваме уравнението:

Отговор:

3 .

Забележете, че знаменателите на двете дроби съдържат квадратни триноми, чийто водещ коефициент и свободен член са еднакви. Изваждаме, както в уравнението от втория тип, x от скобата. Получаваме:

Разделете числителя и знаменателя на всяка дроб на x:

Сега можем да въведем промяна на променливата:

Получаваме уравнението за променливата t:

4 .

Забележете, че коефициентите на уравнението са симетрични спрямо централния. Такова уравнение се нарича подлежащ на връщане .

За да го реша

1. Разделете двете страни на уравнението на (Можем да направим това, тъй като x=0 не е коренът на уравнението.) Получаваме:

2. Групирайте термините по този начин:

3. Във всяка група изваждаме общия фактор:

4. Нека представим заместител:

5. Нека изразим израза чрез t:

Оттук

Получаваме уравнението за t:

Отговор:

5. Хомогенни уравнения.

Уравнения, които имат структура на хомогенна, могат да се срещнат при решаване на експоненциални, логаритмични и тригонометрични уравнения, така че трябва да бъде разпознат.

Хомогенните уравнения имат следната структура:

В това равенство A, B и C са числа, а същите изрази са обозначени с квадрат и кръг. Тоест, от лявата страна на хомогенното уравнение е сборът от едночлени, които имат една и съща степен (в този случай степента на мономи е 2) и няма свободен член.

За да решим хомогенното уравнение, разделяме двете страни на

Внимание! Когато разделите дясната и лявата част на уравнението с израз, съдържащ неизвестно, можете да загубите корените. Следователно е необходимо да се провери дали корените на израза, с който разделяме двете части на уравнението, са корените на оригиналното уравнение.

Да вървим по първия път. Получаваме уравнението:

Сега въвеждаме заместване на променлива:

Опростете израза и получете биквадратично уравнение за t:

Отговор:или

7 .

Това уравнение има следната структура:

За да го решите, трябва да изберете пълния квадрат от лявата страна на уравнението.

За да изберете пълен квадрат, трябва да добавите или извадите двойното произведение. Тогава получаваме квадрата на сбора или разликата. Това е от решаващо значение за успешното заместване на променливата.

Нека започнем с намирането на двойното произведение. Това ще бъде ключът за замяна на променливата. В нашето уравнение двойното произведение е

Сега нека да разберем какво е по-удобно за нас - квадратът на сбора или разликата. Помислете за начало сумата от изразите:

Отлично! този израз е точно равен на двойното произведение. След това, за да получите квадрата на сбора в скоби, трябва да добавите и извадите двойното произведение:

Самите уравнения с дроби не са трудни и много интересни. Помислете за видовете дробни уравненияи начини за решаването им.

Как се решават уравнения с дроби - x в числителя

Ако е дадено дробно уравнение, където неизвестното е в числителя, решението не изисква допълнителни условия и се решава без допълнителни проблеми. Обща форматакова уравнение е x/a + b = c, където x е неизвестно, a, b и c са обикновени числа.

Намерете x: x/5 + 10 = 70.

За да решите уравнението, трябва да се отървете от дробите. Умножете всеки член от уравнението по 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x и 5 се намаляват, 10 и 70 се умножават по 5 и получаваме: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Намерете x: x/5 + x/10 = 90.

Този пример е малко по-сложна версия на първия. Тук има две решения.

• Вариант 1: Отървете се от дробите, като умножите всички членове на уравнението по по-голям знаменател, тоест по 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300
• Вариант 2: Добавете лявата страна на уравнението. x/5 + x/10 = 90. Общият знаменател е 10. Разделете 10 на 5, умножете по x, получаваме 2x. 10 разделено на 10, умножено по x, получаваме x: 2x+x/10 = 90. Следователно 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Често има дробни уравнения, в които x са от противоположните страни на знака за равенство. В такава ситуация е необходимо да прехвърлите всички дроби с x в една посока, а числата в друга.

• Намерете x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Преместете 2x/5 надясно с противоположен знак: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Намаляваме 5x/5 и получаваме: x = 130.

Как да решим уравнение с дроби - x в знаменателя

Този тип дробни уравнения изисква записване на допълнителни условия. Посочването на тези условия е задължителна и неразделна част правилно решение. Като не ги приписвате, рискувате, тъй като отговорът (дори и да е верен) може просто да не се брои.

Общата форма на дробни уравнения, където x е в знаменателя, е: a/x + b = c, където x е неизвестно, a, b, c са обикновени числа. Имайте предвид, че x може да не е никакво число. Например, x не може да бъде нула, тъй като не можете да разделите на 0. Това е, което е допълнително условие, което трябва да уточним. Това се нарича диапазон от допустими стойности, съкратено - ODZ.

Намерете x: 15/x + 18 = 21.

Веднага записваме ODZ за x: x ≠ 0. Сега, когато ODZ е посочено, решаваме уравнението, използвайки стандартна схемада се отървем от дроби. Умножаваме всички членове на уравнението по x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Често има уравнения, в които знаменателят съдържа не само x, но и някаква друга операция с него, като събиране или изваждане.

Намерете x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Вече знаем, че знаменателят не може да бъде равен на нула, което означава x-3 ≠ 0. Прехвърляме -3 в дясната страна, като променяме знака “-” на “+” и получаваме, че x ≠ 3. ODZ е посочено.

Решете уравнението, умножете всичко по x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Преместете x надясно, числата наляво: 24 = 3x => x = 8.